Brückenkurs Schulmathematik

Brückenkurs Schulmathematik
6. Veranstaltung: Geometrie 2: Abbildungen, ebene Figuren
12. Mai 2011
1. Abbildungen
1. Aufgabe: Lösen Sie zunächst die Aufgaben auf dem Arbeitblatt https://www.friedrichverlag.de/data/68BD7F10BC305BD1C8C8B2A39239561A.0.pdf ! Diskutieren Sie
anschließend über folgende Fragen im Plenum:
a. Welche Punkte der Ebene sind Original- und welche Bildpunkte bei der ersten
bzw. bei der zweiten Abbildung?
b. Gibt es Fixpunkte bei diesen Abbildungen?
c. Welche Abbildung(en) würde(n) das erzeugende Element (d.h. das
Ausgangsmuster) auf sich selbst abbilden?
d. Welche Abbildung(en) würde(n) das entstandene Mandala auf sich selbst
abbilden?
e. Welche weiteren Kongruenzabbildungen sind Ihnen bekannt?
f. Beschreiben Sie anhand der Teilaufgaben c. und d. den Zusammenhang
zwischen Kongruenz und Symmetrie!
2. Aufgabe: Schauen Sie sich das erzeugende Element des Mandalas noch einmal an. Sie
finden bestimmt mehrere Dreiecke in der Zeichnung.
a. Welche von diesen Dreiecken sind kongruent zueinander? Warum?
b. Welche Dreiecke sind ähnlich zueinander? Warum?
c. Finden Sie weitere zueinander ähnliche oder sogar kongruente ebene Figuren
im Ausgangsmuster? Können Sie Ihre Vermutung begründen?
3. Aufgabe: Zeichnen Sie zwei unterschiedliche Kreise (mit unterschiedlichem Radius) die
nicht ineinander liegen und sich weder schneiden noch berühren. Bestimmen Sie die
zentrischen Streckungen, mit denen die Kreise aufeinander abgebildet werden können. (In
Anlehnung an: Cukrowitz et al. (2006): Mathenetz 9 Gymnasium. Braunschweig:
Westermann, S. 51.) Was passiert, wenn die Kreise den gleichen Radius haben?
4. Aufgabe: In der ersten Veranstaltung haben wir die Strahlensätze bereits formuliert:
Werden zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Anfangspunkt von zwei Parallelen
geschnitten, so verhalten sich die Längen von je zwei Streckenabschnitten auf der einen
Halbgeraden wie die Längen der entsprechenden Streckenabschnitte auf der anderen
Halbgeraden.
(In: Mathematik Grundkurs 9, S. 66)
Werden zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Anfangspunkt von zwei Parallelen
geschnitten, so verhalten sich die Längen der Streckenabschnitte auf den Parallelen wie
die vom Anfangspunkt aus gemessenen Längen der entsprechenden Abschnitte auf jeder
der Halbgeraden.
(In: Mathematik Grundkurs 9, S. 68)
Beweisen Sie diese Sätze mithilfe der Ähnlichkeit! Formulieren Sie die Umkehrungen der
Sätze und prüfen Sie, ob die derart entstandenen Aussagen richtig sind. Versuchen Sie zu
widerlegen oder zu beweisen.
5.
Aufgabe (In: Cukrowitz et al. (2006): Mathenetz 6 Gymnasium. Braunschweig:
Westermann, S. 133.) : Überlegen Sie folgende Fragen:
a. Wie muss eine Gerade verlaufen, damit sie bei einer Achsenspiegelung
Fixgerade ist?
b. Welche Geraden sind bei einer Punktspiegelung Fixgeraden?
c. Bei welchen Drehungen gibt es Fixgeraden?
d. Bei Verschiebungen gibt es keine Fixpunkte. Gibt es Fixgeraden?
2. Ebene Figuren
6.
Aufgabe: Die folgende Abbildung zeigt das chinesische Legespiel Tangram.
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Tangram
a. Aus welchen geometrischen Figuren besteht dieses Spiel? Gibt es gleichseitige
/ reguläre Vielecke unter ihnen? Welche der Figuren sind achsen- oder
punktsymmetrisch?
b. Bestimmen Sie die Innenwinkel der 7 geometrischen Figuren. Was fällt Ihnen
dabei auf?
c. Bezeichne a die Kantenlänge des Ausgangsquadrates. Bestimmen Sie den
Umfang und den Flächeninhalt (diesen evtl. auf mehrere Lösungswege) der 7
geometrischen Figuren!
d. Begründen Sie, warum das blaue und das grüne bzw. das rosa und das
zitronengelbe Dreieck kongruent sind.
e. Welche Dreiecke sind ähnlich in der Abbildung? Bestimmen Sie jeweils den
Ähnlichkeitsfaktor!
7. Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Meinung!
a. Jedes gleichseitige Dreieck ist regulär.
b. Jedes gleichseitige Viereck ist regulär.
c. Ein Stern mit fünf Spitzen ist kein Vieleck.
d. Ein Stern mit fünf Spitzen ist ein reguläres Zehneck.
e. Jedes Fünfeck, dessen Innenwinkel 72° betragen, ist ein reguläres Fünfeck.