Diskrete Mathematik (D-ITET) - Cadmo

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ETH Zürich
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. Angelika Steger
Prof. Dr. Emo Welzl
HS 2010
Übungsblatt 5
Diskrete Mathematik (D-ITET)
Abgabe der Hausaufgaben in der Vorlesung am 29.11.2010.
Aufgabe 1
(a) Beweisen Sie, dass die Kantenmenge jedes k-regulären bipartiten Graphen in k
disjunkte perfekte Matchings zerlegt werden kann. Beweisen Sie dazu zunächst
Korollar 2.53 aus dem Skript.
(b) Ein lateinisches r × n-Rechteck (r ≤ n) ist eine Anordnung der Zahlen 1, . . . , n
in r Zeilen und n Spalten, so dass in jeder Zeile und jeder Spalte jede Zahl
höchstens einmal vorkommt. Verwenden sie die Ergebnisse aus Teilaufgabe (a),
um zu zeigen, dass sich jedes lateinische r × n-Rechteck ohne Widersprüche zu
einem lateinischen n × n-Quadrat vervollständigen lässt.
(8 Punkte)
Aufgabe 2
Ein ebener Graph heisst Triangulierung, wenn jedes Gebiet (inklusive dem äusseren
Gebiet) von genau drei Flächen begrenzt wird.
(a) Beweisen Sie die Bemerkung aus dem Skript, dass jede Triangulierung mit n
Knoten genau 3n − 6 Kanten hat.
(b) Zeigen Sie: Jede Triangulierung mit mindestens 13 Knoten besitzt mindestens
einen Knoten vom Grad ≥ 6.
Hinweis: Betrachten Sie Graphen, in denen alle Knoten höchstens Grad 5 haben
und schätzen Sie die Anzahl der Kanten auf geeignete Weise ab.
(8 Punkte)
Aufgabe 3
(a) Zeichnen Sie einen planaren Graphen mit sechs Knoten, in dem alle Knoten
Grad vier haben, oder begründen Sie, warum es einen solchen nicht geben kann.
(b) Zeichnen Sie einen planaren Graphen mit sechs Knoten und dreizehn Kanten,
oder begründen Sie, warum es einen solchen nicht geben kann.
(c) Gegeben sei ein zusammenhängender planarer Graph mit n ≥ 1 Knoten, in dem
alle Knoten mindestens Grad vier haben. Zeigen Sie: Die Anzahl der Gebiete in
einer ebenen Darstellung ist mindestens n + 2.
1
(d) Sind folgende Graphen planar oder nicht? Begründen Sie!
(8 Punkte)
Aufgabe 4
Die folgende Abbildung zeigt ein Netzwerk mit Quelle s und Senke t, wobei die
Zahlen die Kapazitäten der Kanten angeben.
a
b
9
7
8
s
13
4
c
t
8
2
12
8
d
7
e
6
Auf einigen Netzwerkkanten ist eine nichtnegative Funktion f gegeben durch
(x, y) (s, a)
f (x, y)
8
(s, c) (s, d) (a, c) (d, e) (b, t)
8
0
3
1
9
(a) Wie ist f auf alle übrigen Netzwerkkanten fortzusetzen, so dass f ein Fluss ist?
Was ist der Wert dieses Flusses?
(b) Finden Sie einen augmentierenden Pfad von s nach t und erhöhen Sie den Fluss
entlang dieses Pfades um den maximal möglichen Betrag.
(c) Ist der so gefundene Fluss maximal? Falls ja, finden Sie ein überzeugendes Argument dafür. Falls nein, was ist der maximale Wert eines Flusses in diesem
Netzwerk und warum?
(6 Punkte)
2
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