Die Determinantenfunktion

Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Determinante einer Matrix A ∈ R2,2
Die Determinantenfunktion
M.Gruber
19. Dezember 2006
1. det : R2,2 → R ist definiert durch
a b
= ad − bc .
det
c d
2. Spaltentausch ⇒ Vorzeichenwechsel:
a b
b a
.
= − det
det
c d
d c
3.
Literatur
det At = det A .
[1] Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 3rd Edition, Wellesley Cambridge Press, 2003 (englisch).
[2] Gilbert Strang, Lineare Algebra, Springer, 2003, ISBN-10: 3540-43949-8, ISBN-13: 978-3-540-43949-3 (deutsch).
4. Zeilentausch ⇒ Vorzeichenwechsel.
5.
det A 6= 0 ⇔ A invertierbar .
6.
– Typeset by FoilTEX –
−1
1
d −b
a b
.
=
c d
ad − bc −c a
−1 !
1
a b
=
det
.
c d
det [ ac db ]
– Typeset by FoilTEX –
1
Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
Lineare Algebra
Determinante einer Matrix A ∈ Rn,n
Determinante einer Matrix A ∈ R3,3
1.
1. det : R3,3 → R ist definiert durch
det
h a11 a12 a13 i
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
WS 2006/2007, IFB1
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
det : Rn,n → R ist definiert durch
X
det A =
(−1)i+j aij det Aij
(1)
1≤j≤n
−a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12
i ∈ {1, . . . , n} beliebig. Dabei ist Aij diejenige (n − 1) ×
(n − 1)-Matrix, die man aus A durch Streichung der i-ten Zeile
und j -ten Spalte erhält (“Streichungsmatrix”).
2. Spaltentausch ⇒ Vorzeichenwechsel.
3.
det At = det A .
(1) ist die “Determinantenentwicklung nach der i-ten Zeile”.
2. Es gilt auch:
4. Zeilentausch ⇒ Vorzeichenwechsel.
5. Hat A zwei gleiche Spalten oder Zeilen, so ist
det A = 0.
6. det A ist spaltenweise linear:
ha a a i
(a11 +sb11 ) a12 a13
11 12 13
det (a21+sb21) a22 a23
= det aa21 aa22 aa23
(a31 +sb31 ) a32 a33
31
+s det
32
33
b11 a12 a13
b21 a22 a23
b31 a32 a33
.
X
(−1)i+j aij det Aij
(2)
1≤i≤n
(“Determinantenentwicklung nach der j -ten Spalte”).
3.
det E = 1 .
4. Spaltentausch ⇒ Vorzeichenwechsel.
5. Zeilentausch ⇒ Vorzeichenwechsel.
6. det A ist spaltenweise und zeilenweise linear.
7. Ist A eine obere oder untere Dreiecksmatrix, dann ist
Y
aii .
det A =
7. det A ist zeilenweise linear.
8.
det A 6= 0 ⇔ A invertierbar .
– Typeset by FoilTEX –
det A =
1≤i≤n
2
– Typeset by FoilTEX –
3
Lineare Algebra
WS 2006/2007, IFB1
WS 2006/2007, IFB1
Multiplikationssatz
Volumeninterpretation
det AB = det A · det B .
1. Der Betrag der Determinante einer reellen Matrix A
stimmt mit dem n-dimensionalen Volumen des von den
Spalten A∗j aufgespannten Spats überein:
1. Es gilt


| det A| = vol
xj A∗j 0 ≤ xj ≤ 1 .


1≤j≤n

 X
(Multiplikationssatz).
2. Für LU -Zerlegungen von A ∈ Rn,n gilt:
det LU =
Y
uii .
2. Die Determinante einer reellen Matrix A stimmt mit
dem orientierten n-dimensionalen Volumen des von den
Spalten A∗j aufgespannten Spats überein:
1≤i≤n
3.
Lineare Algebra
A B
det
= det A · det D .
O D
4. Cramer-Regel: Wenn Ax = b und det A 6= 0 ist,
dann ist
xj =
det Bj
det A


xj A∗j 0 ≤ xj ≤ 1 .
det A = vol∗


1≤j≤n

 X
∀ j ∈ {1, . . . , n} ,
wobei Bj aus A entsteht, wenn man deren j-te Spalte
durch b ersetzt.
– Typeset by FoilTEX –
4
– Typeset by FoilTEX –
5