Zahlen, Mengen, Aussagen

1. Zahlen, Mengen, Aussagen
Was sind Zahlen?
Alles ist Zahl. (Pythagoras)
Äpfel sind etwas anderes als Birnen, dennoch haben drei Äpfel etwas mit drei Birnen gemeinsam, nämlich
die Anzahl. (Reinhard Winkler)
Für Wiederholung und Auffrischung gibt es ein Themenheft: Einstieg in die Oberstufe (SBNR 145.640)
Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als Mittel, um die Verschiedenheit
der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und
durch das in ihr gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von
Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen. (Richard Dedekind)
5
22812_ThemaMathe5_K01.indd 5
29.09.2009 16:01:55
2. Terme
Sprache der Mathematik
373 Gegeben sind Rechtecke und rechtwinklige Dreiecke. Ordne jeder Berechnung die passende Formel zu:
1. Länge der Diagonale
a∙b
2
2. Umfang des Dreiecks
a·b
3. Umfang des Rechtecks
a
√ a2 + b2
a + b + √ a2 + b2
4. Höhe des Dreiecks
5. Flächeninhalt des Rechtecks
6. Flächeninhalt des Dreiecks
2 (a + b)
374 Thema Terme
Gib an, ob es sich um einen Term handelt:
Term
kein Term
2
1. 3 x − 4 + (· x)
2.
3.
x2
3x + 1
1 − 3x
4. 4 x +
x
0
375 Thema Prozentrechnung
Ordne jeder Aussage den richtigen Term zu:
1. Der Lohn ist um 3 % erhöht worden.
2. Der Fettgehalt beträgt 3 %.
3. Zum Nettopreis kommen 3 % dazu.
4. Der Preis wird um 3 % gesenkt.
y = x + 0,03 x
y = 0,97 x
y = 0,03 x
y = 1,03 x
376 Thema Binome
Gib an, ob es sich um ein Binom handelt:
Binom
1.
6 x2
5
2. 9 x3 −
3. x + 1x
4. x2 + 1
kein Binom
4 x2
3
377 Wahr oder falsch? – Thema Terme
Überlege, welche Aussage wahr und welche falsch ist. Erkläre, warum eine Aussage wahr ist oder
gib ein Beispiel an, welches zeigt, dass eine Aussage falsch ist.
Nach dem
wahr
falsch
1. Ausmultiplizieren von Klammern hat ein Term die Struktur eines Produkts.
2. Ausmultiplizieren von Klammern hat ein Term die Struktur einer Summe.
3. Herausheben gleicher Faktoren hat ein Term die Struktur eines Produkts.
4. Herausheben gleicher Faktoren hat ein Term die Struktur einer Summe.
378 Wahr oder falsch? – Thema Bruchterme
Überlege, welche Aussage wahr und welche falsch ist. Erkläre, warum eine Aussage wahr ist oder
gib ein Beispiel an, welches zeigt, dass eine Aussage falsch ist.
wahr
1.
2.
3.
4.
falsch
Nur Bruchterme mit gleichem Nenner können addiert werden.
Beim Multiplizieren muss man Bruchterme auf gleichen Nenner bringen.
Beim Dividieren von Polynomen kann ein Rest bleiben.
Der Nenner eines Bruchterms muss gleich null sein.
59
22812_ThemaMathe5_K02.indd 59
29.09.2009 20:42:13
4.1 Was ist eine Funktion?
Der Funktionsbegriff
Karin hat auf ihrem Handy drei Kurzrufnummern gespeichert:
1 55 513 798
2 55 580 336
3 55 522 844
Karin legt damit eine Zuordnung fest: Den Zahlen 1, 2 und 3 ordnet
sie entsprechende Telefonnummern zu. Mathematisch gesprochen
hat sie eine Funktion f definiert.
G
Grundvorstellung:
Eine Funktion f kannst du dir als eine Zahlenmaschine
vorstellen: Links gibst du eine Zahl x ein. Dann liefert
die Maschine rechts ein Ergebnis y = f (x).
x
„Zahlenmaschine“
f (x)
Karins Handy ist eine solche Zahlenmaschine. Immer wenn Karin z.B. die Taste 1 drückt, erscheint genau
eine Telefonnummer, und zwar verlässlich immer dieselbe.
Eine Zahlenmaschine, die für einen Eingabewert x manchmal zwei Ergebnisse, oder jedesmal ein anderes
Ergebnis y liefert, ist keine Funktion!
Definition: Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung. Für jeden zulässigen Eingabewert x legt sie
eindeutig einen Funktionswert y fest.
Wir nennen x die unabhängige Variable und y die (von x) abhängige Variable und schreiben die
Funktionsgleichung:
y = f (x)
(sprich: y ist gleich f von x)
Die unabhängige Variable muss nicht unbedingt x heißen. Genauso wenig musst du die abhängige Variable
mit y bezeichnen. Diese Bezeichnungsweisen haben sich jedoch eingebürgert und wir halten uns vorläufig
daran.
Karin kann also schreiben: f (1) = 55513798 , f (2) = 55580336 und f (3) = 55522844.
Kürzer kann sie dies mit einer Wertetabelle angeben:
x
y
1
55513798
2
3
55580336
55522844
Der Wert x = 4 ist sinnlos, weil f (4) nicht existiert. Bei einer Funktion muss festgelegt sein, welche
Eingabewerte überhaupt zulässig sind!
Definition: Die Definitionsmenge Df einer Funktion f besteht aus allen zulässigen Eingabewerten x.
Die Wertemenge Wf einer Funktion f besteht aus allen auftretenden y-Werten.
Für Karins Handy-Funktion
y
y-Funktion
f gilt: Df = {1, 2, 3} und Wf = {55513798, 55580336, 55522844}
102
22812_ThemaMathe5_K04.indd 102
29.09.2009 21:40:45
4. Funktionen
Aufgaben
605 Eine Zahlenmaschine liefert für folgende Ein-
608 Erkläre jeweils, warum keine Funktion vorliegt!
gaben x die in der Wertetabelle angegebenen
Ergebnisse y.
Liegt eine Funktion vor? Gib in diesem Fall die
Definitionsmenge an!
a) x
y
1
b)
x
y
0
1
2
1
2
1
3
3
d) x
y
1
1
e)
c)
x
y
1
1
1
1
2
1
1
2
3
2
1
3
4
3
1
x
y
x
y
f)
1
1
1
0
1 −1
2
2
2
0
1
3
3
3
0
4
4
4
0
1
1 −1
606 Definitions- und Wertemenge sind grafisch dar-
a)
f
1
b)
4
b)
−2
3
a)
f
3
611
Wie könnte die Funktion von Aufgabe 607 a)
allgemein festgelegt sein?
Überlegt zuerst die Funktionswerte von x = 4
und x = −4.
612
Gebt wie in den Aufgaben 606 − 608 jeweils
zwei Mengen grafisch an und zeichnet die Zuordnungen so ein, dass
a) eine Funktion gegeben ist,
b) keine Funktion gegeben ist.
Sucht weitere Beispiele!
613
Zu Aufgabe 612 a): Diskutiert und formuliert allgemeine Regeln, wann Funktionen vorliegen.
Darf es mehr Pfeile als Zahlen in Wf geben?
Dürfen zu einem Funktionswert in Wf auch zwei
(oder mehrere) Pfeile führen?
614
Zu Aufgabe 612: Diskutiert folgende Frage:
Was passiert, wenn die Pfeile umgedreht werden? Kann das wieder eine Funktion sein?
Wenn ja, welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein?
−3
−1
−3
−2
b)
1
f
2
1
0
f
0
−1
−2
f
3
−5
1
Die Funktionen von Aufgabe 606 können
auch mit einer Formel festgelegt werden. Versucht, diese zu finden und gebt anschließend
f (5) und f (6) an.
1
2
f
610
f
607 Wie 606:
−1
607 jeweils eine Wertetabelle.
−1
2
f
−7
609 Erstelle für die Funktionen der Aufgaben 606 −
8
1
f
7
−1
0
1
f
4
1
f
2
2
f
7
−7
7
gestellt. Pfeile zeigen, welche y-Werte welchen
x-Werten zugeordnet sind. Gib diese Zuordnungen mit der Schreibweise f (1) = …, f (2) = …
usw. an!
a)
7
103
22812_ThemaMathe5_K04.indd 103
05.10.2009 12:50:35
Meine Kapitelcheckliste zu Funktionen
Ich weiß ...
Ich kann ...
(d.h. ich kenne, ich kann beschreiben, sagen,
erklären, verdeutlichen, … )
thema
Was ist eine Funktion? Wertetabelle und Funktionsgraph, Funktionsterme
… was eine Funktion ist.
… was unter Definitionsmenge und Wertemenge verstanden wird.
thema
… eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten grafisch interpretieren.
… ein lineares Gleichungssystem grafisch
lösen und die Lösungsfälle diskutieren.
Quadratische Funktionen und Modelle
… was eine quadratische Funktion ist und
dass ihr Graph eine Parabel ist.
… Maximum, Minimum, Nullstellen einer
quadratischen Funktion.
… wie quadratische Funktionen zur Modellbildung eingesetzt werden können.
thema
… den Term einer linearen Funktion ermitteln.
… den Zusammenhang zwischen k und d und
dem Graphen einer linearen Funktion herstellen.
… die Spurpunkte einer linearen Funktion ermitteln.
… den Zusammenhang zweier Größen mit linearen Funktionen modellieren.
Geometrische Interpretation von linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten
… welche geometrische Bedeutung lineare
Gleichungen mit zwei Unbekannten haben.
… welche geometrische Bedeutung die Lösung
eines linearen Gleichungssystems hat.
thema
… die Definitions- und Wertemenge einer
Funktion bestimmen.
… eine Funktion in verschiedenen Darstellungen angeben.
Lineare Funktion und Modelle
… was eine homogene lineare Funktion ist
und dass ihr Graph eine Gerade durch den
Ursprung ist.
… was eine inhomogene lineare Funktion ist
und dass ihr Graph eine Gerade ist.
… was k und d bedeuten.
… was das Steigungsdreieck aussagt.
… was Spurpunkte sind.
… was ein lineares Modell ist.
thema
(d.h. ich kann darstellen, berechnen,
interpretieren, begründen, finden …)
… den Scheitel des Graphen der quadratischen Funktion aus dem Funktionsterm
ermitteln.
… die Nullstellen einer quadratischen Funktion
angeben.
… den Zusammenhang zweier Größen mit quadratischen Funktionen modellieren.
Andere nichtlineare Funktionen und abschnittweise definierte Funktionen
… was direkte und indirekte Proportionen
sind.
… was eine Asymptote ist.
… was eine abschnittweise definierte Funktion
ist.
… Asymptoten einer Funktion ermitteln.
… abschnittweise definierte Funktionen zur
Beschreibung von außermathematischen
Sachverhalten einsetzen.
148
22812_ThemaMathe5_K04.indd 148
29.09.2009 21:42:17
4. Funktionen
Ich weiß ...
thema
Ich kann ...
Formeln als Funktionen
… eine Formel als Funktion zu deuten.
… dass in einer Formel mehrere Funktionen
stecken.
thema
… eine Formel als Funktion verwenden.
… entscheiden, ob zwei Größen in einer Formel direkt oder indirekt proportional sind.
Schnittpunkte von Funktionen
… den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer Funktion und dem Lösen von
Gleichungen.
… eine Gleichung als Schnitt zweier Funktionsgraphen interpretieren.
Kompetenzen für meine Matu
ra
Ich weiß, was eine Funktion ist und kann Beis
piele
angeben.
Ich kann anhand eines Graphen oder einer Tabe
lle
entscheiden, ob eine Funktion vorliegt.
Ich kann zwischen verschiedenen Darstellun
gsformen
einer Funktion wechseln.
Ich kann aus Graphen und Tabellen Funktions
werte
und andere Informationen ablesen.
Sehr gut
Sehr gut
Sehr gut
Sehr gut
Sehr gut
Ich kann den Zusammenhang zwischen k und
d und
dem Graphen einer linearen Funktion herstellen
.
Ich kann die Bedeutung von k und d in einem
linearen
Modell interpretieren.
Erfolg
Ich kann lineare Gleichungssysteme lösen und
die
Lösungsfälle geometrisch interpretieren.
Ich kann quadratische Gleichungen lösen und
die Nullstellen einer quadratischen Funktion interpreti
eren.
Ich kenne grundlegende Eigenschaften linea
rer und
quadratischer Funktionen.
Ich kann die Tauglichkeit linearer oder quadratis
cher
Modelle beur teilen.
Ich kann entscheiden, ob zwei Größen proportio
nal
sind und den Zusammenhang funktional besc
hreiben.
149
22812_ThemaMathe5_K04.indd 149
05.10.2009 12:50:45
thema
Von den Ursprüngen
des Vermessungswesens
bis zu Google Earth
Das Vermessungswesen (die Geodäsie) hat ihren Ursprung
im alten Ägypten. Sie diente damals dazu, Land aufzuteilen, Grundstücks- und Landesgrenzen festzulegen und zu
dokumentieren. Vor allem wegen der jährlichen Nilüberschwemmung (Grundstücksgrenzen!) waren Geodäten im
alten Ägypten sehr wichtig und angesehen.
1 Welche Rolle spielten folgende Personen in der
Geschichte des Vermessungswesens? Recherchiert ihre
Biographie im Internet und präsentiert eure RechercheErgebnisse!
(1) Eratosthenes
(2) Abu Reyhan Biruni
(3) Pater Athanasius Kircher
(4) Carl Friedrich Gauß
2 Wer sind die Personen auf den Bildern und welche
Rolle spielten sie im Laufe der Geschichte des Vermessungswesens?
3 Diese Abbildung zeigt ein für die Geodäsie sehr
wichtiges Messinstrument, einen Theodoliten. Recherchiert im Internet und beantwortet folgende Fragen:
• Was konnte mit einem
Theodoliten früher gemessen werden und was
kann man mit einem modernen Gerät messen?
4 Recherchiert im Internet zur
Geschichte
des
Vermessungswesens! Erstellt gemeinsam eine
Präsentation. Berücksichtigt zumindest folgende Stichworte:
• Wie funktioniert ein Theodolit - damals und
heute?
• Vermessungswesen im alten
Ägypten und die jährliche Nilüberschwemmung
• Wann wurde ein Theodolit erstmals verwendet?
• Personen, die in der Geschichte
des Vermessungswesens eine
wesentliche Rolle spielten
• Findet heraus, ob in einem Museum in eurer
Nähe ein historischer
Theodolit ausgestellt ist.
• Rolle der Mathematik in der Geodäsie
• Messinstrumente in der Geodäsie
174
22812_ThemaMathe5_K05.indd 174
29.09.2009 22:14:30
Karten jeder Art spielen im Zusammenhang mit der Geodäsie eine große Rolle.
Im Internet finden wir heute zusätzlich zu verschiedenen Typen von Karten auf
Papier auch elektronisches Kartenmaterial, wie zum Beispiel verschiedene
Routenplaner und Kartenmaterial (Maps) bei Google Earth.
6 Ein Pilot behauptet: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 270°.
Er begründet das mit einem Rundflug, den er kürzlich gemacht hat: „Ich bin in
einer Stadt A direkt am Äquator gestartet und den Äquator nach Westen entlang geflogen. Nach einigen Kilometern bin ich im rechten Winkel nach rechts
abgebogen und zum Nordpol geflogen. Am Nordpol bin ich dann wieder im
rechten Winkel nach rechts abgebogen, zurück zum Äquator. Da bin ich ein
letztes Mal im rechten Winkel nach rechts abgebogen und den Äquator entlang
nach Westen geflogen. Gelandet bin ich wieder in der Stadt A.“
• Die Geschichte des Piloten ist wahr! Beschreibt eine mögliche Flugroute.
Verwendet Google Earth zur Dokumentation.
• Welches Dreieck hat laut Meinung des Piloten die Winkelsumme 270°?
Woran liegt es, dass die Winkelsumme hier nicht 180° beträgt?
Mehr zu diesem Thema gibt es unter: http://www.thema-mathematik.at
5 Vergleicht verschiedene Kartentypen. Welche sind für welche Aufgaben
am besten geeignet?
Ihr habt in diesem Kapitel sehr viele Aufgaben mithilfe von Trigonometrie gelöst. Verwendet verschiedene Karten und / oder Google Earth und formuliert
möglichst unterschiedliche Aufgabenstellungen, die ebenfalls mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens zu lösen sind.
Präsentiert auch die Lösungen eurer Aufgaben!
175
22812_ThemaMathe5_K05.indd 175
29.09.2009 22:14:39
Vermischte Aufgaben
1163
Berechnet mithilfe der unten abgebildeten
Karte die einzelnen Wegvektoren und die Länge
der entsprechenden Luftlinie.
Verwendet folgende Koordinaten:
Dornbirn D (−2 | 0,4), Innsbruck I (0 | 0,2),
Salzburg S (2 | 1,1), Linz L (3,5 | 2),
Klagenfurt K (3,5 | −1), Graz G (5 | −0,2),
St. Pölten P (5,2 | 1,8), Wien W (6,1 | 1,8).
1 Einheit im Koordinatensystem B 60 km.
a) Dornbirn − Salzburg
b) Innsbruck − Wien
c) Linz − Graz
d) Klagenfurt − St. Pölten
1164 Berechne Umfang und Flächeninhalt der Fünf-
ecke:
a) A (−4 | −1), B (−2 | −3), C (3 | −1), D (3 | 3),
E (−2 | 4)
b) A (−3 | −3), B (2 | −4), C (4 | 1), D (2 | 3),
E (−3 | 1)
c) A (−4 | 3), B (−3 | −2), C (1 | −3), D (3 | −2),
E (3 | 1)
1166 Überprüfe grafisch und rechnerisch, ob die Vek-
alle Winkel:
a) A (−2 | 5), B (0 | 0), C (5 | −1)
b) A (3 | −1), B (7 | 3), C (2 | 7)
c) A (−5 | 0), B (4 | 3), C (1 | 8), D (−4 | 7)
d) A (−4 | 3), B (3 | 4), C (0 | 8), D (−4 | 5)
( −9)
8
a = ( −10),
7
a = ( −12),
−4
a = ( −7),
r
a) a = 15 ,
b)
c)
d)
r
r
r
( 6)
−12
b = ( 15)
−42
b = ( 72)
6
b = ( 10)
r
b = 10
r
r
r
1167 Berechne die fehlende Koordinate so, dass die
( 3)
r
Vektoren zu v = −8 parallel sind:
r
r
a
b
b) b = −2x
a) a = 12x
c)
( )
−7,5
c=( c )
r
d)
y
( )
4,5
d=( d )
r
y
r
1168 Überprüfe, ob die Vektoren ar und b orthogonal
sind:
r
−5
a) a = 11 ,
b)
c)
d)
1165 Berechne den Umfang, den Flächeninhalt und
r
r
toren a und b parallel sind:
( )
7
a = ( 12),
6
a = ( 12),
15
a = ( −9),
( 22)
−42
b = ( 24)
8
b = ( −4)
−12
b = ( 20)
r
b = 10
r
r
r
r
r
r
1169 Berechne die fehlende Koordinate so, dass die
r
( 4)
Vektoren zu v = −9 orthogonal sind:
(a )
18
c=(c )
r
a) a = 6x
c)
r
y
(b )
13,5
d=( d )
r
x
b) b = −10
d)
r
y
y
x
200
22812_ThemaMathe5_K06.indd 200
29.09.2009 23:00:51
7. Analytische Geometrie der Ebene
Teste dein Wissen!
Kreuze die richtige Antwort an. Es können auch mehrere Antworten richtig sein.
1295 Welche Gleichungen beschreiben dieselbe
Gerade?
1299 Gegeben ist die allgemeine Form der Gera-
dengleichung g: a x + b y = c.
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(−4) (4)
4
−2
b: X = (1) + t · ( −1)
−1
2
c: X = ( −2) + t · (1)
8
8
d: X = (3) + t · (4)
a: X = −3 + t · 2
(a)
b
RV (g): v = ( −a)
a
NV (g): n = (b)
b
NV (g): n = ( −a)
r
RV (g): v = b
r
r
r
a und b
a und d
b und d
a und c
b und c
c und d
1300 Gib an, welche Aussagen zur Spiegelung des
Dreiecks ∆ABC richtig sind:
C
F
1296 Welche Gleichungen beschreiben dieselbe
C'
B
Gerade?
E
B'
a: y = 3 x − 17
g
Lösungen zu allen Aufgaben findest du in: Thema Mathematik 5 Lösungen (SBNR 145.638)
b: x + 3 y = 17
A
( ) ( )
() ( )
−4
9
c: X = −7 + t · −3
7
−3
d: X = 3 + t · 1
a und b
a und d
b und d
D
A'
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
AD, BE, CF sind jeweils ein RV (g).
AD, BE, CF sind jeweils ein NV (g).
1301 Welche dieser Aussagen sind für ein Dreieck
immer richtig?
(−39) + t · (−21)
Die Seite c steht normal zur Seitensymmetrale sAB.
k = −2, d = 3
k = −2, d = −3
1298 Berechne den Schnittpunkt von g und h:
g [A (−1 | 1), B (7 | − 2)], h [P (2 | − 2), Q (6 | 2)]
S (3 | 2)
S (1 | 1)
r
r
AD k BE k CF
a und c
b und c
c und d
und bestimme k und d.
k = 2, d = 3
k = 2, d = −3
r
AD = DA', BE = EB', CF = FC'
1297 Beschreibe die Gerade als lineare Funktion
g: X =
r
S (−1 | 1)
S (−1 | 2)
S (2 | 2)
Die Schwerlinien sind parallel zu den Höhen.
Je eine Höhe und eine Seitensymmetrale
sind parallel.
Der Umkreismittelpunkt U kann auch außerhalb der Dreiecksfläche liegen.
Der Höhenschnittpunkt H liegt stets innerhalb der Dreiecksfläche.
Der Schwerpunkt S kann auch außerhalb
der Dreiecksfläche liegen.
228
22812_ThemaMathe5_K07.indd 228
29.09.2009 23:10:16