Nicht Lineare Optik aus der Laservorlesung

Nichtlineare Optik - Zusammenfassung
Teil der Laserphysik-Vorlesung bei Prof. Meiners
Inhalt
Nichtlineare Phänomene ....................................................................................................................................................................... 2
Einleitung (Frequenzveränderung von Laserlicht)....................................................................................................................... 2
Nichtlineare Suszeptiblität ............................................................................................................................................................... 2
Wellenausbreitung in nichtlinearen Medien.................................................................................................................................. 4
Frequenzverdopplung (SHG : second harmonic generation)..................................................................................................... 4
Optische Parametrische Oszillation/Verstärkung (OPO/OPA).................................................................................................. 8
1
Nichtlineare Phänomene
Einleitung (Frequenzveränderung von Laserlicht)
(ω) : Laserstrahl mit Frequenz ω
(ω) + (ω) ↔ (2ω) + (ω)
(ω1 ) + (ω2 ) ↔ (±ω1 ±ω2 ) + (ω1 ) + (ω2 )
Frequenzverdopplung (ein Laser)
Summen und Differenzfrequenzbildung
Die Rückrichtung(←) nennt man optische parametrsiche Oszillation (OPO)
Nichtlineare Suszeptiblität
Für isotrope Medien:
r
r
D = εE
D : dielektrische Verschiebung
E : Feldstärke
allgemein muß D nicht parallel zu E sein
ε ist ein Tensor
Anisotrop (immer noch linear!):
Di = ε ij E j (Summenkonvention)
analog Polarisation P:
Pi = ε 0 χij E j
χ : Suszeptibilität
⇒P ~E
Dies ist jedoch nur die erste Näherung!
Mit ai E<<1 ist real
P ~ E (1 + a1E + a2 E + ...)
Betrachtung nur Frequenzverdopplung:
Pi = ε0χ ij E j + ε0 χijk E j Ek
1
2
3
Reihenfolge egal
χ ijk : nichtlineare Suszeptibilität (Tensor 3. Stufe: 3x3x3-Matrix = 27 Elemente)
ε 0χijk wird praktisch oft angegeben als: 2 dijk (die zwei ist Konvention)
E ~ e ± iωt
E 2 ~ ei 2ω t & e 0 (Gleichlichtanteil/-feld, ist konstant)
ω1 + ω2
± (ω − ω )
1
2

E ~ e± iω1t + e± iω2t
E 2 ~ e ixt mit x = 2ω1
2ω
 2
0
Ob Medien den Effekt zeigen, ist abhängig von Symmetrien.
(
)
Zentralsymmetrie: d ijk E j Ek = − d ijk − E j (− Ek ) ⇒ d ijk = 0
Medien mit Zentralsymmetrie zeigen den quadratischen Effekt nicht, evt. jedoch höhere Ordnungen
!
2
Aus dem gleichen Grund tritt der Pockelseffekt bei zentralsymmetrischen Medien auch nicht auf.
Bei Medien(Kristallen) ohne Zentralsymmetrie kann der Effekt auftreten.
Aus der Vertauschung j↔k darf keine Änderung auftreten
⇒ dijk = dikj
⇒ statt 27 möglicher Tensorelemente bleiben nur noch 18
Kontraktion der Indizes
j und k werden zu einem Index, bei folgender Vereinbarung:
xx=1
yy=2
zz=3
yz=zy=4
xz=zx=5
xy=yx=6
dijk wird zu dij mit j=1..6
 E x2 


 E y2 
 Px   d11 d12 ...d16  

  

E z2 

 Py  =  d 21 d 22 ...d 26  ⋅


 P   d d ...d  2 Ex E y

 z   31 32 36  
 2Ez Ex 
 2E E 
 x y
dij ist nicht mehr mit räumlichen Koordinaten korrelierter Tensor, sondern nur eine einfache Matrix
Nachweis:
3
Nichtlinearer Fall (bis 2. Ordnung):
Pi = ε 0χ ij E j + 2d ijk E j Ek
1424
3
NL : Nichtlinear
: =Pi NL
Anharmonischer Oszillator:
d 2x
dx
+ Γ + ω0 2 x + ax 2 = F
2
dt
dt
Lichtwelle: Überlagerung von 2 Frequenzen:
[ (
)
(
q&
E1 e −iω1t + eiω1t + E2 e −iω2t + e iω2t
m
Störungsrechung: x = x (1) + x ( 2) + ...
F=
)]
Auslenkung x des Elektrons aus der Ruhelage entspricht el. Dipolmoment ⇒ Suszeptibilität
Ansatz für 1. Ordnung: x (1) = x (1) (ω1 ) + x (1) (ω2 ) + cc
Ansatz für 2. Ordnung: x ( 2) = x (2 ) (ω1 + ω 2 ) + x ( 2) (ω1 − ω2 ) + x (2 ) (2ω1 ) + x ( 2) (2ω 2 ) + x ( 2) (0) + cc
mit cc : konjugiert komplexes des Vorangegengenen
Wellenausbreitung in nichtlinearen Medien
Maxwell-Gl.,
P NL einsetzen,
Vereinfachung auf eine Richtung,
⇒ DGl.
Lösungsansatz für E: Superponierung ebener Wellen mit verschiedenem ω
SHG: E (z , t ) = Eω ( z , t ) + E2ω ( z , t )
oder mit 2 verschiedenen Wellen:
E (z , t ) = Eω1 ( z , t ) + Eω 2 (z , t ) + Eω3 (z , t )
Summe:
Differenz:
ω3 = ω1 + ω2 optische parametrsiche Oszillation
ω3 = ω1 − ω2
Frequenzverdopplung (SHG : second harmonic generation)
Def.: Phasenfehlanpassung (phase mismatch)
∆kz = (k 2ω − 2 kω )z
regelt, ob man beim Durchstrahlen des Mediums eine nennenswerte Konversion von ω nach 2ω hat.
Phasengeschwindigkeit:
Wenn
v ph, ω = v ph, 2ω
v ph, ω =
ω
kω
v ph, 2 ω =
2ω
kω
⇒ 2kω =k2ω bzw. ∆k=0
⇒ Umwandlung von ω nach 2ω ist an Verschiedenen Orten nicht Phasengleich
⇒ Auslöschung
der Proportionalitätsfaktor ist bei Dispersion frequenzabhängig: Iω ~ n ω |Eω |2
Ist dies nicht der Fall
Iω ~ |Eω |2
Def. normierte Feldvariablen:
E'ω = nω ⋅ Eω
Wechselwirkungslänge für die Erzeugung der 2. harmonischen:
4
l SHG =
λ0 nω n2ω 2ε 0
2πEω (0) d
2
d E '2 ω
d E 'ω
Manley-Rowe-Beziehung (Energiesatz):
=−
dz
dz
2
Phasenanpassung (phase matching):
für wirkungsvolle SHG (second harmonic generation) ist nötig:
∆k=0 oder n ω = n 2ω
Definition Kohärenzlänge:
Welle mit 2ω sei maximal um π Phasenverschoben gegen die Welle mit ω
d.h.: k2ω lc – 2 kω lc = π
(manche Literatur verwendet 2π)
⇔
lc =
λ
4 ⋅ ∆n
Beispiel: λ=1µm, ∆n=10–2 ⇒ lc=25µm
d.h. schon nach 25µm sind die Wellen außer Phase
Konversionswirkungsgrad:
1)
E '2ω ( z ) sin 2 (∆k ⋅ z / 2 )
sin 2 (∆k ⋅ z / 2 )
2 2 2
2
=
~ ω d z E 'ω (0)
123
E 'ω (0 )
(∆k ⋅ lSHG / 2)
(∆k ⋅ z / 2)
abh. von Intens.
d.h. es nützt nichts den Kristall möglichst lang zu machen, sondern es gibt immer periodisch Längen mit
maximaler Konversion. Fig. 3.2 zeigt Messung bei Drehung eines solchen Kristalls
2) ∆k=0 perfektes phase matching
 z  l→∞
E '2 ω ( z )
 
= tanh 2 
→1
E 'ω (0)
 lSHG 
5
Realisierung des Phase matching (∆k=0, n ω=n 2ω)
Beispiel: optisch einachsige Kristalle: Brechungsindex ist abh. vom Winkel zur optischen Achse des Kristalls
Winkelphasematching hat den Nachteil, daß der Winkel exakt eingehalten werden muß. Um die hohen
Feldstärken zu erreichen fokussiert man jedoch, was mit Divergenz einhergeht (Winkel ist nicht fest).
Günstig währe 90° Phasematching, was nur in Sonderfällen realisierbar ist
nur Berührung statt Schnitt der beiden Kurven (Fig. 16.5)
non kritical phase matching
Die Temperaturabhängigkeit von ordentlichen und außerordentlichem Strahl sind unterschiedliche, so daß man
damit ausgleichen kann.
6
Bezeichnung:
Erzeugung der 3. harmonischen , THG (third harmonic generation)
Hier ist gleicher Brechungsindex für ω und 3ω nötig.
Hier sind Gase als Medium möglich,
allgemein Stoffe mit Inversionszentrum
7
Optische Parametrische Oszillation/Verstärkung (OPO/OPA)
Der rechte (Auskoppel-)Spiegel des Resonators, benötigt deshalb eine ausreichende Reflektivität für
R1 und R2 , da eine gewisse Intensität von ω1 und ω2 benötigt wird, damit der Effekt sich verstärkt.
Bei direktem Auskoppeln der beiden Wellenlängen ist deren Intensität geringer.
ω3 → ω1 + ω2
k 3 → k1 + k2
Zwei Varianten:
1) Doppelt resonanter parametrischer Oszillator
Vorteil: geringe Leistung reicht zur Konversion: cw-Betrieb möglich
Nachteile:
hohe Anforderung an coating der Spiegel,
Frequenzstabilität schlecht
d.h. frequency hopping, empfindlich gegen Spiegelverschiebungen
2) Einfach resonanter parametrischer Oszillator
hierbei muß nur die Bedingung für die beiden Frequenzen erfüllt sein Fig. 17.5
Vorteil:
• Anforderungen an coating nicht mehr so hoch
• Frequenzstabilität wie vom Laser gewohnt
Nachteil: höhere Intensitäten notwendig, da ein ωi -Strahl verloren geht ⇒ Pulsbetrieb
ω1 : signal wave
ω2 : idler wave (idle=faul)
8
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