Grundlagen der Monte-Carlo-Methode
Werbung
Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Probieren geht über studieren Oliver Frost Institut für experimentelle Kernphysik Karlsruher Institut für Technologie 16. November 2009 Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Übersicht 1 Definitionen und Motivation Typische Problemstellung 2 Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Schätzer 3 Monte-Carlo-Integration Varianzreduktion Quasi-Monte-Carlo-Integration 4 Zufallszahlen Charakterisierung Erzeugung 5 Lösung der Problemstellung 6 Zusammenfassung und Ausblicke Steckbrief eines Monte-Carlo-Problems Anwendungsbereiche Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Typische Problemstellung Definition Monte-Carlo-Algorithmus Definition Monte Carlo ist eine Technik zur numerischen Lösung von Problemen mit Hilfe von Zufallszahlen. Motto Ausprobieren anstatt exakt zu berechnen. Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Typische Problemstellung Problemstellung am Collider Teilchen kollidieren mit hoher Geschwindigkeit Gehen Reaktionen ein Jede mit eigener Wahrscheinlichkeit, Streuwinkel- und Impulsverteilung Wechselwirken mit Detektormaterie Elektronisches Rauschen und viele andere Fehlerquelle Analytische Behandlung Ausweg Komplette aussichtslos Monte-Carlo-Simulation Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Typische Problemstellung Beispiel Kaonzerfall (hypothetische) Experiment: Kaonen fliegen aus einer Quelle mit einer bestimmten Impulsverteilung in x-Richtung. Irgendwo auf dem Weg zerfällt es in zwei Pionen. In einiger Entfernung steht ein Detektor für Pionen. Mögliche Fragen: Treffen beide Pionen den Detektor? Kann man das Impulsspektrum des Kaons rekonstruieren? Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Typische Problemstellung Annahmen Massen Kaonmasse mK 0 = 497.614 MeV Pionmasse mπ± = 139.57018 MeV Zerfälle Mittlere Zerfallszeit im Ruhesystem des Kaons τ = 1, 2945 · 10−10 s Zerfall findet im Ruhesystem des Kaons isotrop statt. Pionen zerfallen nicht. Apperatureigenschaften Impulsverteilung der Quelle f (p) = a · p b · e −c·p Detektormaße: quadratisch mit 2 m · 2 m Entfernung Detektor zu Quelle 50 m Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Typische Problemstellung Lösungsansatz analytisch 1 2 3 4 5 6 Nehme Impulsverteilung und transformiere sie in eine Geschwindigkeitsverteilung. Nehme expontielles Zerfallsgesetz und ersetze τ mit τ (v ) für die unterschiedlichen Zeitdilatationen. Falte beides zu einer Weglängenverteilung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit. Nehme zwei antikorrelierte Gleichverteilung im (Raum-)Winkel für den Zerfall im Ruhesystem und booste mit der Geschwindigkeitsverteilung des Kaons ' Faltung. Kombiniere Weglängen und Flugrichtungsverteilung zu einer Verteilung auf dem Detektor ' Faltung. Integriere über die Detektorfläche. Viel zu kompliziert Ganze Verteilungen werden betrachtet. Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Typische Problemstellung Lösungsansatz Monte-Carlo 1 Würfel einen Impuls. 2 Würfel eine Zerfallszeit. 3 Berechne den geflogen Weg. 4 Würfel einen Raumwinkel. 5 Bestimme die Impulsvektoren der Pionen. 6 Booste ins Laborsystem. 7 Verfolge Flugrichtungen und schaue, ob sie den Detektor schneiden. Einfacher Betrachte Einzelereignisse und wiederhole. Faltungen werden zu arithmetischen Operationen. Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Monte-Carlo-Schätzer Erinnerung an Statistik Diskrete Zufallszahl X ∼ fX (x) Kontinuierliche Zufallszahl X ∼ fX (x) Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeit fX (x) = P(X = x) fX (x) dx = P(x < X < x + dx) Kumulierte Wahrscheinlichkeit X FX (x) = P(X = x 0 ) Kumulierte Verteilungsfunktion Z x FX (x) = P(X ≤ x) = fX (x 0 ) dx 0 x 0 <x −∞ Erwartungswert X E [X ] = x · fX (x) Erwartungswert Z dx x · fX (x) E [X ] = x x Varianz Varianz V [X ] = E [(X − E [X ])2 ] V [X ] = E [(X − E [X ])2 ] Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Monte-Carlo-Schätzer Wahrscheinlichkeitsverteilung - Beispiel Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Monte-Carlo-Schätzer Verteilungsfunktion - Beispiel Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Monte-Carlo-Schätzer Erwartungswert und Varianz Varianz von X nochmal anders V [X ] = E [(X − E [X ])2 ] = E [X 2 ] − E 2 [X ] Erwartungswert von Y = g (X ) Z E [g (X )] = dx g (x) · fX (x) Varianz von Y = g (X ) V [g (X )] = E [g 2 (X )]−E 2 [g (X )] = Oliver Frost Z Z 2 dx g 2 (x)·fX (x)− dx g (x)fX (x) Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Monte-Carlo-Schätzer Konkretisierung der Problemstellung Funktion (Algorithmus) F mit Zufallszahlen X1 . . . Xn F = F (X1 , . . . , Xn ) Erwartungswert für die Funktion ' Faltung Z Z E [F ] = I = . . . dx1 . . . dxn F (x1 , . . . , xn ) · fX1 (x1 ) · . . . · fXn (xn ) Monte-Carlo-Methode schätzt (berechnet numerisch) dieses Integral. Î = n 1X (i) F (x1 , . . . , xn(i) ) n i=1 (i) wobei x1 konkrete Zufallszahlen mit Verteilung von X1 sind. Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Monte-Carlo-Schätzer Eigenschaften des Monte-Carlo-Schätzers Der Monte-Carlo-Schätzer hat Form Î = n 1X F (x (i) ) n i=1 ist konsistent ist unverzerrt ist asymptotisch normalverteilt hat eine Varianz von V [F (X )] 1 V [Î ] = ≈ · n n n 1 X 2 (i) F (x ) − Î 2 n i=1 berechnet immer ein Integral Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode ! Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Varianzreduktion Quasi-Monte-Carlo-Integration Monte-Carlo-Integration Algorithmus für Integration in einer Dimension 1 H(x − a) · H(b − x) b−a F (X ) = g (X ) (g stückweise stetig) Z b 1 E [F ] = I = g (x) dx b−a a X ∼ fX (x) = Monte-Carlo-Schätzer für I Î = n 1X g (x (i) ) n i=1 Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Varianzreduktion Quasi-Monte-Carlo-Integration Monte-Carlo-Integration - Algorithmus Integration einer Funktion f in beliebiger Dimension Verteile zufällig Zahlen x (i) gleichveteilt im Integrationsgebiet G Integral (geschätzt) Î = n |G | X · g (x (i) ) n i=1 Varianz (geschätzt) " # n 1 |G |2 X 2 (i) 2 V̂ [Î ] = · g (x ) − Î n n i=1 In vielen Dimensionen bester Methode zur Integration. Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Varianzreduktion Quasi-Monte-Carlo-Integration Monte-Carlo-Integration - Varianzreduktion Bestimme Integral auf 2 Weisen 1 Ganzes Integrationsgebiet ⇒ I,V 2 Teile Gebiet in 2 Hälften ⇒ I1 , I2 , V1 , V2 Kombiniere Ergebnisse I 0 = I1 + I2 V 0 = V1 + V2 Es gilt stets V 0 ≤ V Grund: Fehlerfortpflanzungsgesetze Abbildung: Teilung des Intervalls Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Varianzreduktion Quasi-Monte-Carlo-Integration Quasi-Monte-Carlo-Integration Quasizufallszahlen sind weniger zufällig verteilt (supergleichverteilt) sind nur für wenige Integrationsgebiete verfügbar Quasi-Monte-Carlo-Integration führen zu schnellerer (theoretischer) Konvergenz V [Îquasi ] < cd · Variation2 (g ) · (log n)2d n2 ist nur effektiv für geringe Dimension d (wegen (log n)2d ) Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Charakterisierung Konkrete Zufallszahlen Eine Reihe von Zahlen die keiner (schwache) inneren Korrelation unterliegen. Verteilung beschreibt Wahrscheinlichkeit für auftretende Zahl ändert sich nicht durch das Ziehen Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Erzeugung von Zufallszahlen Durch physikalischen Zufall Beispiel: Radioaktiver Zerfall Vorteil: Echter Zufall Nachteil: Verteilung meist nicht bekannt,technisch aufwendig, nur in geringer Zahl vorhanden im Vergleich zur Rechenleistung eines PC Durch geeignete determistische Funktionen Beispiel: TRandom in ROOT Vorteil: Schnell und in großer Zahl erzeugbar, reproduzierbar Nachteil: Kein echter Zufall, endliche Periode, oft versteckte Korrelationen Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Erzeugung von Zufallszahlen Durch physikalischen Zufall Beispiel: Radioaktiver Zerfall Vorteil: Echter Zufall Nachteil: Verteilung meist nicht bekannt,technisch aufwendig, nur in geringer Zahl vorhanden im Vergleich zur Rechenleistung eines PC Durch geeignete determistische Funktionen Beispiel: TRandom in ROOT Vorteil: Schnell und in großer Zahl erzeugbar, reproduzierbar Nachteil: Kein echter Zufall, endliche Periode, oft versteckte Korrelationen Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Weitere Generatoren Generatoren weit verbreitet (z.B. in ROOT) TRandom1 ' RANLUX langsam bester Zufall Periode 10171 TRandom2 ' Tausworthe Generator schnell mäßige Periode 1026 TRandom3 ' Mersenne-Twister sehr hohe Periode 106000 Produzieren gleichverteilte Zufallszahlen in [0, 1] Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Erzeugung weiterer Verteilungen Rückweisungsmethode Transformationsmethode Majorantenmethode Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Rückweisungsmethode Schließe Verteilung in Rechteck ein Verteile dort Zufallspunkte mit konstanten Verteilungen Verwirf die Punkte außerhalb der Verteilungskurve Abbildung: Rückweisungsmethode Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Rückweisungsmethode - Beispiel Gleichverteilung in der 3-dimensionalen Kugel ( 1 |~x | ≤ 1 3 · fX (~x ) = 4·π 0 |~x | > 1 Verfahren: Erzeuge 3 Zufallszahlen x,y,z zwischen −1 und 1 . p Bilde r = x 2 + y 2 + z 2 Verwirf, wenn r > 1 Zusatz: Gleichverteilung auf der Kugeloberfläche Bilde x 0 = xr , y 0 = yr , Kugeloberfläche. z0 = Oliver Frost z r für einen Vektor auf der Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Rückweisungsmethode - anschaulich Abbildung: Gleichverteilung in der Kugel Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Transformationsmethode Gegeben: X ∼ H(x) · H(1 − x) Y = g (X ) mit g monton wachsend Frage: Was hat Y für eine Verteilung? P(Y < g (x)) = P(X < x) Z g (x) Z 0 0 dy fY (y ) = FY (g (x)) = −∞ −1 0 fY (y ) = (g x dx 0 = x 0 ) (y ) Vice versa: fY (y ) gewünscht ⇒ wähle g (x) = FY−1 (x) Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Transformationsmethode - anschaulich Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Transformationsmethode - anschaulich Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Transformationsmethode - Beispiele Konstante Verteilung GLV([a,b]) 1 H(x − a) · H(b − x) b−a g (x) = (b − a) · x + a fY (y ) = Exponentialverteilung Breit-Wigner-Verteilung 1 1 π y2 + 1 g (x) = tan π · x − π2 fY (y ) = Log-Weilbull-Verteilung 1 −y e τ τ g (x) = −τ · ln(1 − x) fY (y ) = e −x−e fY (y ) = −x g (x) = − ln(− ln(x)) Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Transformationsmethode - anschaulich Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Majorantenmethode - anschaulich Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Majorantenmethode Kombination beider Methoden! Suche Einhüllende m(x) zur Verteilung f (x) (Transformationsmethode) R Benötige I = dx M(x) Ziehe y aus GLV([0, I ]) Bilde x = M −1 (y ) Ziehe z aus GLV([0, 1]) Verwirf, wenn f (x) < m(x) · z Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Impulsverteilung mit Majorantenmethode Impulsverteilung fP (p) = a · p b · e −c·p Wähle zusammengesetzte Hüllenfunktion ( fmax 0 ≤ p ≤ ps m(p) = −d·p g ·e ps < p mit Parametern b b · e −b c −d b b fmax = a · e −b c d b ps = − · ln 1 − d c g =a· Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Impulsverteilung - anschaulich Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Impulsverteilung - Algorithmus Benötige Integrale I1 = fmax · ps I2 = fmax d Algorithmus Würfel y aus GLV ([0, I1 + I2 ]) Würfel z aus GLV ([0, 1]) Falls y < I1 p=y· ps I1 Falls I1 < y < I2 1 p = − ln d „ y − I1 I2 « + ps Akzeptiere, wenn f (p) > z · m(p) Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Charakterisierung Erzeugung Vergleich der Methoden Rückweisungsmethode Vorteil: Immer anwendbar Nachteil: Geringe Effizenz Transformationsmethode Vorteil: Hohe Effizenz Nachteil: Nur für invertierbare Verteilungsfunktion Majorantenmethode Vorteil: Verbessert Rückweisungsmethode Nachteil: Gute Hüllenfunktion meist schwer bestimmbar Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Zurück zum Problem Haben alle Zutaten Ab zum Quellcode Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Steckbrief Anwendungsbereiche Schlussfolgerung Monte-Carlo-Lösung 1 erfordert einen Bruchteil der analystischen Fähigkeiten. 2 ist nicht exakt 3 ist Zufallsgröße 4 hat einen (abschätzbaren) Fehler Vorteile Eigenschaften vor Durchführung des Experiments bekannt (Toy-Monte-Carlo) Zerlegbarkeit des Problems Erweiterbarkeit Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Steckbrief Anwendungsbereiche Steckbrief Wanted to be solved Viele Freiheitsgrade Zufälliges Verhalten des Systems Interaktion von vielen Einzelkomponenten Unbekannten Verteilungsfunktionen und komplexe Transformationen Integration in hochdimensionalen Räumen Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Steckbrief Anwendungsbereiche Anwendungsbereiche Physik Wechselwirkung von Stahlung mit Materie Phasenraumintegrationen Systeme am Phasenübergang ... Chemie Simulationen von chemischen Reaktionen ... Biologie Schwarmverhalten Populationsdynamik ... Wirtschaft Börse Versicherung ... ... Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Steckbrief Anwendungsbereiche Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode Definitionen und Motivation Monte-Carlo-Methode Monte-Carlo-Integration Zufallszahlen Lösung der Problemstellung Zusammenfassung und Ausblicke Steckbrief Anwendungsbereiche Quellen Einführung in Statistik und und Messwertanalyse für Physiker (Bohm unn Zech) Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse (Blobel und Lohrmann) Monte Carlo theory and practice (F. James) Physik per Computer (Kinzel und Reents) Particle Data Booklet (Ausgabe Juli 2008) Vorlesung Rechnernutzung in der Physik (Quast und Steinhauser) de.wikipedia.org root.cern.ch/root/ Oliver Frost Grundlagen der Monte-Carlo-Methode