8 - Institut für Mathematik

Prof. Dr. Jörn Steuding, Pascal Stumpf
Institut für Mathematik, Universität Würzburg
12. Dezember 2016
Elementare Zahlentheorie — 8. Übung
Aufgabe 1. [5 × 2 Punkte]
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen, die alle der Aufgabe im fünften
Türchen vom Mathekalender 2016 des Matheon Forschungszentrums entnommen
sind, die unter
https://www.mathekalender.de/index.php?page=problem&problemID=10
ausführlich über ein Wettrennen der neun Rentiere des Weihnachtsmannes berichtet.
(i) Es ist unmöglich, dass ein Rentier nach Wettkampfende 31 Punkte hat.
(ii) Falls ein Rentier mehr als 31 Punkte sammelt, so haben alle anderen Rentiere
höchstens 28 Punkte.
(iii) Die Summe der Punkte aller Rentiere zusammen ist mindestens 108.
(iv) Es ist möglich, den Wettkampf mit 12 Punkten zu gewinnen.
(v) Selbst 29 Punkte garantieren einem Rentier nicht den Sieg.
Aufgabe 2. [3 + 4 + 3 Punkte]
Es bezeichne ϕ(n) die Eulersche Phifunktion, also
ϕ(n) = ♯{1 ≤ a ≤ n : ggT(a, n) = 1}.
(i) Berechnen Sie ϕ(n) für 1 ≤ n ≤ 20.
(ii) Für welche natürlichen Zahlen n ist ϕ(n) gerade?
(iii) Für welche natürlichen Zahlen n ist ϕ(n) ≤ 3?
Sie dürfen folgende Formeln für die Bearbeitung der nachstehenden Aufgabe benutzen:
Y
1
1−
ϕ(n) = n
,
p
p|n
und
ϕ(mn)
= ϕ(m) · ϕ(n)
falls
ggT(m, n) = 1.
Hinweis: Sollten Sie Probleme haben, diese Formeln zu lesen, ist es sinnvoll sich ein
paar Beispiele anzuschauen!
Aufgabe 3. [7 + 3 Punkte]
Willis Sohn berichtet stolz, er hätte ein Kriterium für Primzahlzwillinge entdeckt. Er
behauptet: Die natürlichen Zahlen n > 1 und n + 2 sind genau dann prim, wenn
(n − 1)! 6≡ 0 mod n,
(n − 1)! 6≡ 0 mod (n + 2).
Geben Sie drei Beispiele von Primzahlzwillingen n, n + 2 an und berechnen Sie für
diese jeweils (n − 1)! modulo n bzw. n + 2 explizit. Gilt das Kriterium von Willis Sohn
für diese Beispiele? Wenn ja, versuchen Sie das Kriterium zu verifizieren!
Übungsblätter werden immer montags in der Vorlesung ausgegeben; sie stehen auch online
auf der homepage https://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼steuding/elemzahltheo2016.htm zur
Verfügung (wie auch die Folien). Bearbeitete Übungsblätter müssen in Gruppen von maximal
drei Studierenden im Raum 00.105 des BSZ im Briefkasten Elementare Zahlentheorie bis 12 Uhr
am Mittwoch der darauffolgenden Woche abgegeben werden. Die Klausur findet von 10 bis 12
Uhr am 20. Februar 2017 im Turing-Hörsaal statt! Für die Klausurzulassung sind 50% der
Übungspunkte (jeweils 30 pro Blatt) nötig.
Viel Spaß!
2
Lösungshinweis zu Aufgabe 1:
Die maximale Punktzahl, wenn ein Rentier in seinen acht Rennen jeweils alle drei
Runden und damit auch noch einen Bonuspunkt gewinnt, ist 8 · (3 + 1) = 32. Für 31
Punkte, also nur einen Punkt weniger, müsste es dann in einem seiner Rennen genau
3 Punkte gewinnen, was aber nicht möglich ist, denn je nachdem ob es 0, 1, 2 oder 3
Runden vorne liegt, erhält es 0, 1, 2 oder 3 + 1 = 4 Punkte für ein Rennen. Folglich
sind 31 Punkte am Ende nicht mehr möglich, und Aussage (i) ist wahr.
Damit wissen wir im Fall von mehr als 31 Punkten, dass unser Rentier 32 Punkte
bzw. in seinen acht Rennen jeweils alle Runden gewonnen haben muss. Die anderen
Rentiere haben dann im Rennen mit ihm jeweils gar keinen Punkt erreicht, also auf
alle Fälle höchstens noch 7 · 4 = 28 Punkte (falls eines von ihnen in seinen anderen
sieben Rennen alle Runden gewinnt), was Aussage (ii) belegt.
Für die Summe aller Punkte
bemerken wir, dass (auf Grund der neusten Technik)
in jeder der insgesamt 92 · 3 = 36 · 3 = 108 Runden sicher ein Punkt vergeben wird
(und eventuell nach Rennen sogar noch Bonuspunkte), was gerade (iii) entspricht.
Dabei kann diese minimale Summe aller Punkte tatsächlich angenommen werden,
wenn wir die Punkte in den 36 Rennen zum Beispiel wie folgt auf die entsprechenden
Rennpärchen verteilen, wobei wir die Namen der neun Rentiere 1 bis 9 nummerieren
und ein Eintrag in Zeile i und Spalte j (mit 1 6 i, j 6 9 und i 6= j) für die Punkte
steht, die i gegen j in den drei Runden ihres Rennens gewonnen hat:
∗
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2
∗ 2
1 ∗
1 1
1 1
1 1
2 1
2 2
2 2
2 2
3
2
2
∗
1
1
1
1
2
2
4
2
2
2
∗
1
1
1
1
2
5 6
2 1
2 2
2 2
2 2
∗ 2
1 ∗
1 1
1 1
1 1
7
1
1
2
2
2
2
∗
1
1
8
1
1
1
2
2
2
2
∗
1
9
1
1
1
1
2
2
2
2
∗
Σ
12
12
12
12
12
12
12
12
12
In diesem Beispielfall haben sogar alle Rentiere jeweils genau 12 Punkte erreicht, von
denen dann noch eines zum entgültigen Gewinner ausgelost wird. Es ist also wirklich
möglich mit 12 Punkten zu gewinnen, und daher ist Aussage (iv) ebenfalls richtig.
Auch die letzte Aussage (v) besteht, denn zum Beispiel kann Blitz zwar alle seiner
(8 · 3 = 24) Runden bis auf zwei von den drei Runden gegen Rudolph gewinnen, also
genau 7 · (3 + 1) + 1 = 29 Punkte erreichen, aber Rudolph unabhängig davon neben
seinen dann 2 Punkten aus dem Rennen mit Blitz ebenso noch alle anderen Runden
gewinnen, wobei er so mit 2 + 7 · (3 + 1) = 30 Punkten vor Blitz gewinnen würde.
Lösungshinweis zu Aufgabe 2:
Zu (i): Unter Verwendung der Formeln berechnet sich leicht
ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6,
und weiter
ϕ(8) = 4, ϕ(9) = 6, ϕ(10) = 4, ϕ(11) = 10, ϕ(12) = 4, ϕ(13) = 12, ϕ(14) = 6,
sowie
ϕ(15) = 8, ϕ(16) = 8, ϕ(17) = 16, ϕ(18) = 6, ϕ(19) = 18, ϕ(20) = 8.
Zu (ii): ϕ(n) ist stets eine natürliche Zahl; die Beispiele aus (i) suggerieren, dass
ϕ(n)Qnur für n = 1 und n = 2 ungerade ist, also ansonsten stets gerade ist. Es sei
n = p pνp (n) die eindeutige Primfaktorzerlegung eines natürlichen n > 1. Aufgrund
3
der Multiplikativitätseigenschaft gilt
Y
Y
pνp (n) =
(1)
ϕ(n) = ϕ
ϕ(pνp (n) ),
p
p
weshalb es also für den Nachweis, dass ϕ(n) für n > 2 stets gerade ist, genügt, sich
zu überlegen, ob unter den Faktoren ϕ(pνp (n) ) immer ein gerader Faktor vorkommt.
Mit der Produktformel gilt für eine Primzahlpotenz n = pν
1
ϕ(pν ) = pν 1 −
= pν − pν−1 = pν−1 (p − 1),
p
was für alle ungeraden Primzahlen p (wegen des Faktors p − 1) gerade ist, aber auch
für den Fall p = 2, sofern ν ≥ 2 gilt (wegen des Faktors pν−1 = 2ν−1 ). Dies beweist,
dass ϕ(n) genau für n > 2 gerade ist.
Zu (iii): Für Primzahlen p > 3 ist ϕ(pν ) ≥ ϕ(p) = p − 1 > 3, weshalb mit der
Multiplikativität (genauer mit (1)) ϕ(n) echt größer ist als 3, sobald n einen Primteiler
p > 3 besitzt (was sich auch in (i) beobachten lässt). Wegen ϕ(2ν ) = 2ν−1 darf auch
kein Primfaktor 2 in einer Potenz gröss er oder gleich drei auftreten. Für die Primzahl
p = 3 gilt ϕ(3) = 2 und ϕ(3ν ) = 2 · 3ν−1 nach (1) für ν ≥ 2, so dass also lediglich die
Zahlen
n = 1, 2, 3, 4 = 22 , 6 = 2 · 3
zu Werten ϕ(n) ≤ 3 führen.
Lösungshinweis zu Aufgabe 3:
Die kleinsten Beispiele von Primzahlzwillingen n, n + 2 sind 3, 5, dann 5, 7 und
11, 13. Wir finden
(3 − 1)! = 2! ≡
1 · 2 = 2 ≡ −1 6≡ 0 mod 3,
(3 − 1)! = 2! ≡
(5 − 1)! = 4! ≡
1 · 2 = 2 6≡ 0 mod 5,
1 · 2 · 3 · 4 = 24 ≡ −1 6≡ 0 mod 5,
(5 − 1)! = 4! ≡
(11 − 1)! = 10! ≡
1 · 2 · 3 · 4 ≡ 3 6≡ 0 mod 7,
1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 10 = 3 628 800 ≡ −1 6≡ 0 mod 11,
(11 − 1)! = 10! ≡
1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 10 ≡ 6 6≡ 0 mod 13,
Primzahlzwillinge sind offensichtlich Paare ungerader natürlicher Zahlen; für n = 2
gelten zwar die Kongruenzbedingungen, aber 2, 4 ist kein Primzahlzwilling! Nach dem
Satz von Wilson ist n > 1 genau dann prim, wenn (n − 1)! ≡ −1 mod n gilt, welches
6≡ 0 mod n ist. Selbiges Kriterium für n + 2 anstelle von n liefert, dass n + 1 genau
dann prim ist, wenn
(n + 1) · n · (n − 1)! = (n + 1)! ≡ −1 mod (n + 2).
Sind nun n und n + 2 prim, so gilt ggT((n + 1)n, n + 2) = 1, und also folgt mittels
Wilson
(n − 1)! 6≡ 0 mod n & 6≡ 0 mod (n + 2),
was zu zeigen war. Die umgekehrte Schlussweise ergibt sich genauso (bis auf den Fall
n = 2).
Übrigens: Willis Sohn ≈ Wilson :-)