Musterlösung zu¨Ubung 7

PC I Thermodynamik
J. Stohner / M. Quack
SoSe 2006
Musterlösung zu Übung 7
7.1 Exemplarische Fragen:
Frage 1: Was ist der Unterschied zwischen ortho- und para-Wasserstoff (Skript S. 20,
Tabelle 1.2, Bemerkung 3)?
Von dem Wasserstoffmolekül H2 existieren zwei sogenannte Kernspinisomere orthoH2 mit Kernspin I=1 (Rotationsquantenzahlen ungerade) und para-H2 mit Kernspin I=0 (Rotationsquantenzahlen gerade) mit leicht unterschiedlichen physikalischchemischen Eigenschaften. Der Unterschied wird besonders bei sehr tiefen Temperaturen bedeutsam. ’Normaler’ Wasserstoff ist bei 20 ◦ C eine Mischung aus 75%
ortho- und 25% para-Wasserstoff.
Frage 2: Wie kommt man auf Gleichung (2.42) auf Seite 33 (Kapitel 2), also
pV = n · 23 Ekin (molar)?
Ersetzen Sie in Gl. (2.33), (Seite 31) auf der rechten Seite NA · m < v 2 > durch 2
Ekin (molar), gemäss Gl. (2.41), (Seite 33). Dann folgt direkt Gl. (2.42).
Anmerkung zur Nomenklatur endotherme und exotherme Reaktion: Gemäss der
ursprünglichen sprachlichen Bedeutung (griechisch Thermae =Wärme, kombiniert
mit endo- oder exo-) wird eine Reaktion im Skript als endotherm oder exotherm
bezeichnet, wenn das Reaktionssystem aus einem Thermostaten Wärme aufnimmt
(endo) oder diese abgibt (exo). Wenn die Reaktion bei konstantem Volumen wie
üblich in einem Bombenkalorimeter durchgeführt wird, entspricht das QV oder ΔU.
Bei konstantem Druck handelt es sich um die Wärme Qp oder ΔH. Will man sich auf
ΔU festlegen, wählt man dann endo- bzw. exoergisch und für ΔH endoenthalpisch
bzw. exoenthalpisch (oder endenthalpisch und exenthalpisch unter Auslassung eines
Vokals) .
Nach einer neueren Empfehlung einer IUPAC Kommission (Gold Book 1997) soll die
Terminologie endo- exotherm jedoch neuerdings spezifisch auf ΔH bezogen werden.
Das erscheint weniger glücklich, und es ist nicht klar ob sich diese Empfehlung
durchsetzen sollte.
7.2 1 mol N2 entspricht ca. 28 g Stickstoff.
ΔU = mg0 h = 28 × 10−3 kg × 9.806 m s−2 × 10 000 m = 2.75 kJ
ΔU = nCV ΔT = 1 mol · 2.5RΔT ⇒ ΔT = 132 K
7.3 Aus der Adiabatengleichung (Gl. 2.38a) T1 V1 κ−1 = T2 V2 κ−1 ergibt sich unter Verwendung des idealen Gasgesetzes:
(κ−1)/κ κ κ−1
p2
RTi
T2
p2
Vi =
⇒
=
⇒ ΔT = T1 − T2 = T1 1 −
pi
T1
p1
p1
1
wobei κ = Cp /CV = [(7/2) · R]/[(5/2) · R] = 1.4 (Cp = CV + R)
Das Verhältnis der Drücke ist: p2 (h = 10 000 m)/p1 (h = 0 m) ≈ 32 (siehe Übung 4.
Mit T1 = 300 K ergibt sich mit Hilfe der barometrischen Höhenformel eine Temperaturdifferenz ΔT ≈ 83.4 K, also T2 = 216.6 K.
7.4 (“Gewicht der Wärme”).
1. X : Temperatur in ◦ F;
Y : Temperatur in ◦ C;
T : Temperatur in K;
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· (X/◦ F − 32)
9
T /K = 273.15 + Y /◦ C
Y /◦ C =
61 ◦ F = 16.1 ◦C = 289.3 K und 29 ◦ F = −1.7 ◦ C = 271.5 K.
2. Grains (Troy) ist eine angelsächsische Masseinheit für Gewichte, die für Edelmetalle und Arzneien gebraucht wird.
1 g = 15.4323 Grains (Troy); 4107.86 Grains (Troy) = 0.266 kg
Lit.: CRC Handbook of Chemistry and Physics, 77th edition, 1996-97.
3. Bei geöffneten Flaschen ergibt sich die gemessene Gewichtsdifferenz ΔF aus der
Gewichtsänderung der beiden Flüssigkeiten aufgrund ihrer unterschiedlichen
Volumenänderung mit der Temperatur T (ρ : Dichte; g: Erdbeschleunigung;
m: gemäss Aufgabenstellung gleiche Masse der Flüssigkeiten):
ΔF = FAlkohol − FW asser
m
m
=
m · g − ρLuf t ·
· g − m · g − ρLuf t ·
·g
ρ
ρW asser
Alkohol
ρAlkohol − ρW asser
= m · g · ρLuf t ·
ρW asser · ρAlkohol
Die scheinbare (temperaturabhängige!) Massendifferenz, die mit dem Golddraht austariert werden muss, ist also:
ρAlkohol (T ) − ρW asser (T )
Δm(T ) = ΔF/g = m · ρLuf t (T ) ·
ρW asser (T ) · ρAlkohol (T )
Δm (271.5 K) = −1.89·10−4 kg; Δm (289.3 K) = −3.14·10−4 kg. Bei geöffneten
Flaschen scheint das Wasser also durch die Abkühlung 0.125 g an Masse zu
verlieren (relativistische Effekte werden vernachlässigt).
Dichten von Wasser, Alkohol und trockener Luft (aus CRC Handbook, siehe
oben):
T/K
H2 O (l)
H2 O (s)
C2 H5 OH (l)
Luft (1 bar)
−3
−3
289.3 998.94 kg · m
792.83 kg · m
1.205 kg · m−3
−3
−3
271.5
917 kg · m
807.88 kg · m
1.280 kg · m−3
4. Bei verschlossenen Flaschen ist der Auftrieb für beide Waagschalen gleich. Eine
Massenänderung aufgrund des Temperaturunterschiedes könnte sich prinzipiell relativistisch aus den inneren Energien Ui (T ) (i: Wasser, Alkohol) ergeben
2
(c: Lichtgeschwindigkeit):
Δmi = mi (T2 ) − mi (T1 ) =
Ui (T2 ) − Ui (T1 )
c2
Den bei weitem grössten Beitrag liefert die Schmelzwärme des Wassers
Δm H (1 bar) = 334 kJ · kg−1 (CRC Handbook). Vernachlässigt man die
übrige Wärmeaufnahme des Wassers, des Eises und des Alkohols, so ergibt
sich bei der Abkühlung (T1 = 271.4 K; T2 = 289.3 K) eine Massenabnahme
von ΔmW asser ≈ 334 kJ · c−2 ≈ 3.7· 10−12 kg auf der Seite des Wasser. Das
entspricht 1.88 · 10−11 mol oder 1.1 · 1013 Atomen Gold und wäre das Massenäquivalent zum ”Wärmestoff”. Bisher ist ein solcher Effekt aber noch nicht
gemessen worden. Er läge gerade noch am Rande der Messbarkeit.
5. Fehlerquellen:
•
•
•
•
•
•
•
Reibung der Waagenaufhängung
Luftturbulenzen
Staubniederschlag
Ablesegenauigkeit der Waage
elektrostatische Aufladung
Verdampfung der Flüssigkeit während des Einfüllens
Kondensation von Atmosphärenbestandteilen auf der Flaschenwand
6. ”Wärme”wird als eine Form der Energie betrachtet und besitzt somit nach der
Einsteinschen Äquivalenz eine Masse.
7.5 Die bei der isothermen Kompression verrichtete Arbeit ist gegeben durch
V2
V2
nRT
dV = −nRT ln
,
W =−
V
V1
V1
mit V1 = 2 dm3 , V2 = 0.1 dm3 , T = 288.15 K und n = 0.1 mol erhält man W =
717.7 J. Diese Energie wird als Wärme an das Wasserbad abgegeben, was zu einer
Erhöhung der Badtemperatur führt:
WHe = −QHe = QBad = CVBad ΔT.
Mit CVBad = cH2 O mH2 O = 10 000 cal/K = 41’840 J/K erhält man eine Temperaturerhöhung von
ΔT = 0.01715 K.
Damit berechnet sich Q in Kalorien zu
Q = ΔT CVBad = 171.5 cal.
Genau betrachtet läuft dieser Prozess nicht isotherm ab, da das Wärmebad nicht
unendlich gross ist. Bad und Gas zusammen sind nach aussen isoliert, d.h. wir haben
es mit einer adiabatischen Kompression zu tun, wobei aber die erzeugte Wärme nicht
nur an das Gas selber, sondern an das gesamte System Bad + Gas abgegeben wird.
3
Wie bei der Herleitung der Adiabatengleichung (siehe Kapitel 3.4, Gleichung (3.31)
im Skript) gehen wir aus von der Beziehung
δW = −pdV = −
nRT
dV = (CVGas + CVBad )dT = CVtotal dT
V
mit CVGas = 32 nR und CVBad = cH2 O mH2 O . Die Integration dieser Gleichung ergibt
nach weiteren Umformungen
T2
=
T1
V1
V2
λ
,
λ=
nR
.
CVtotal
Für λ erhalten wir den Wert λ = 1.987 × 10−5 . Damit ergibt sich für die Temperaturerhöhung
λ
V1
ΔT = T2 − T1 = T1
− T1 = T1 20λ − T1 ,
V2
bei der hier verwendeten Genauigkeit exakt der gleiche Wert wie bei der isothermen
Kompression. Aufgrund des sehr kleinen Wertes von λ ist eine Reihenentwicklung
zweckmässig:
V1
V2
λ
= 20λ = exp(λ ln 20) = 1 + λ ln 20 +
(λ ln 20)2
+ ...
2
Damit ergibt sich eine Temperaturerhöhung von
ΔT = T2 − T1 = T1 20λ − T1 = T1 (λ ln 20 +
(λ ln 20)2
+ ..).
2
Setzt man CVtotal ≈ CVBad , was sehr gut erfüllt ist, entspricht der erste Term der
Entwicklung dem isothermen Fall. Der Fehler, der durch Vernachlässigung der Temperaturerhöhung des Gesamtsystems während der Kompression gemacht wird, ist
somit von der Grössenordnung T1 (λ ln 20)2 /2 ≈ 10−6 K.
7.6 Die Temperaturerhöhung erhält man durch Anwendung von Gleichung (3.36), Seite 47 des Skriptes
κ−1
V1
T2
.
=
T1
V2
Für Helium gilt κ = Cp /CV = 5/3. Mit V1 = 2 dm3 , V2 = 0.1 dm3 und T1 = 288 K
erhält man T2 = 2123 K, somit eine Temperaturerhöhung von 1835 K. Für N2 ist
κ = 7/5 = 1.4, womit sich T2 = 955 K und damit ΔT = 667 K ergibt.
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