Unterlagen - Institut für Statistik und Ökonometrie

Johannes Gutenberg-Universität
Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Ökonometrie
Univ.-Prof. Dr. Peter M. Schulze
Unterlagen zur Vorlesung
„Statistik II“
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schließende Statistik
Formeln, Tabellen, Beispiele
Wintersemester 2006/2007
Aktuelle Informationen zur Organisation von Lehrveranstaltungen, Klausuren
etc. finden Sie auf unserer Homepage:
http://www.statoek.de/
1
GLIEDERUNG
1
GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
EINDIMENSIONALE ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNG
2.1
2.2
2.3
2.4
3
Begriff einer Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
2.2.1
Wahrscheinlichkeitsfunktion
2.2.2
Verteilungsfunktion
Stetige Zufallsvariablen
2.3.1
Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion)
2.3.2
Verteilungsfunktion
Parameter der Verteilung einer Zufallsvariablen
2.4.1
Erwartungswert
2.4.2
Varianz
2.4.3
Momente
SPEZIELLE EINDIMENSIONALE WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
3.1
3.2
4
Einführung
Zufällige Ereignisse und Operationen mit zufälligen Ereignissen
Verschiedene Wahrscheinlichkeitsbegriffe
1.3.1
Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
1.3.2
Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
1.3.3
Subjektive Wahrscheinlichkeit
Axiome und Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kombinatorik
Verteilungen diskreter Zufallsvariablen
3.1.1
Binomialverteilung
3.1.2
Hypergeometrische Verteilung
3.1.3
Poisson-Verteilung
Verteilungen stetiger Zufallsvariablen
3.2.1
Exponentialverteilung
3.2.2
Normalverteilung
MEHRDIMENSIONALE ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN
4.1
4.2
4.3
Diskrete zweidimensionale Zufallsvariable und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Randverteilungen, Bedingte Verteilungen und Unabhängigkeit
Parameter zweidimensionaler Zufallsvariablen X und Y
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2
5
ELEMENTE DER STICHPROBENTHEORIE
5.1
5.2
5.3
6
SCHÄTZMETHODIK
6.1
6.2
6.3
7
Grundbegriffe
Stichprobenfunktion und Stichprobenverteilung
5.2.1
Stichprobenfunktion
5.2.2
Stichprobenmittel und seine Verteilung
Zwei wichtige Sätze der Statistik
5.3.1
Gesetz der großen Zahlen
5.3.2
Zentraler Grenzwertsatz
Punktschätzungen
6.1.1
Methoden
6.1.2
Eigenschaften von Schätzfunktionen
Intervallschätzungen
6.2.1
Konfidenzintervall für μ einer NV, σ bekannt
6.2.2
Konfidenzintervall für μ einer NV, σ unbekannt,
t-Verteilung
6.2.3
Konfidenzintervall für π einer Binomialverteilung
Notwendiger Stichprobenumfang
TESTVERFAHREN
7.1
7.2
Prinzip eines Tests
7.1.1
Einführungsbeispiel
7.1.2
Testschema
Spezielle Tests
7.2.1
Parametertests
7.2.1.1 Einstichprobentests
7.2.1.2 Zweistichprobentests
7.2.2
Nichtparametrische Tests
7.2.2.1 Unabhängigkeitstest
7.2.2.2 Homogenitätstest
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3
8
REGRESSIONSANALYSE
8.1
8.2
8.3
9
Problemstellung
Lineare einfache Regression
8.2.1
Grundannahmen des Modells
8.2.2
Bestimmung der Schätzfunktion
8.2.3
Beurteilung der Güte der Schätzergebnisse
8.2.4
Determinationskoeffizient (Bestimmtheitsmaß) R2
Multiple und nichtlineare Regression
TABELLEN
Binomialverteilung
Poissonverteilung
Standard-Normalverteilung
t-Verteilung
χ2-Verteilung
F-Verteilung
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4
LITERATURHINWEISE
BLEYMÜLLER, J./
GEHLERT, G./
GÜLICHER, H.
Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
14. überarb. Auflg.
München: Vahlen 2004
U
_____
FAHRMEIR, L./
KÜNSTLER, R./
PIGEOT, I./
TUTZ, G.
Statistik: Der Weg zur
Datenanalyse
5. verb. Auflg.
Berlin u.a.: Springer 2004
U
_____
BOHLEY, P.
Statistik
7. vollst. überarb. u. akt. Auflg.
München/Wien: Oldenbourg 2000
U
_____
Statistics for Business
and Economics
Singapore usw.: Thomson Learning 2002
U
_____
Beschreibende Statistik
5. Auflg.
München/Wien: Oldenbourg 2003
U
_____
KOHLER, H.
b 178
s 387
b 218
k 166
Als Ergänzung:
SCHULZE, P.M.
SCHULZE, P.M./
DEXHEIMER, V.
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
und Schließenden Statistik
Frankfurt (Harri Deutsch)
(Erscheint im Dezember 2006)
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s 319
5
1 GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
1.1 Einführung
Rückschlüsse von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit sind nur mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit möglich.
1.2 Zufällige Ereignisse und Operationen mit zufälligen Ereignissen
(1)
Einen Vorgang, dessen Ergebnis nicht mit Sicherheit vorausgesagt werden kann, nennen
wir Zufallsvorgang. Das Ergebnis ist ein zufälliges Ereignis.
(2)
Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorganges bezeichnen wir als
Elementarereignisse ei
i = 1, ... , n
(3)
Die Menge aller Elementarereignisse eines Zufallsvorganges wird als
Stichprobenraum S bezeichnet.
(4)
Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Stichprobenraumes S.
(5)
Ein Ereignis tritt ein, wenn irgendeines seiner Elementarereignisse das Ergebnis eines
Zufallsvorganges ist.
(6)
Das Ereignis, das alle Elementarereignisse des Stichprobenraumes S enthält, heißt
sicheres Ereignis.
(7)
Das Ereignis, das kein Elementarereignis des Stichprobenraumes S enthält, heißt
unmögliches Ereignis.
(8) Wenn jedes Elementarereignis, das zum Ereignis A gehört, auch im Ereignis B enthalten
ist, dann ist das Ereignis A in B enthalten; A ist Teilereignis von B: A ⊂ B
(9)
Das Summen- oder Vereinigungsereignis von A und B ist das Ereignis, daß wenigstens
eines der Ereignisse A oder B eintritt: A ∪ B
(10) Der Durchschnitt (bzw. das Produktereignis) von A und B ist die Menge aller
Elementarereignisse, die sowohl zu A als auch zu B gehören: A ∩ B
(11) Das Ereignis, welches die Elementarereignisse enthält, die zum Ereignis A, aber nicht
zum Ereignis B gehören, nennen wir Differenzereignis: A \ B
(12) Die Differenz S \ A nennen wir das zu A komplementäre Ereignis A .
(13) Zwei Ereignisse A und B heißen unvereinbar oder disjunkt, wenn A ∩ B = ∅ gilt.
Verallgemeinerung: Wenn je zwei verschiedene Ereignisse i und j unvereinbar sind, dann
nennt man das System von Ereignissen paarweise disjunkt,
Aj ∩ Ai = ∅ i ≠ j i, j = 1, ... , n
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6
(14) Die Ereignisse A1, ... , An bilden ein vollständiges System S, wenn bei jeder
Durchführung eines Zufallsvorgangs eines von ihnen eintreten muß:
S = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An
Wenn zusätzlich gilt, daß die Ereignisse paarweise disjunkt sind ( Ai ∩ Aj = ∅ ), dann
handelt es sich um ein vollständiges System paarweise disjunkter Ereignisse.
1.3 Verschiedene Wahrscheinlichkeitsbegriffe
1.3.1 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
P( A ) =
m
n
P(A): Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A
m:
Zahl der für A günstigen Fälle
n:
Zahl aller gleichmöglichen Fälle
1.3.2 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
P( A ) =
k
n
k:
Zahl des Eintreffens von Ereignis A
n:
Zahl aller beobachteten Zufallsvorgänge
1.3.3 Subjektive Wahrscheinlichkeit
Sie ist ein Maß für den Grad der persönlichen Überzeugung bezüglich eines Ereignisses.
1.4 Axiome und Theoreme der Wahrscheinlichkeitsrechnung
I Axiome
1.
Jedem Ereignis A ⊂ S wird eine nichtnegative Zahl P(A) zugeordnet. Diese
Zahl heißt Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: P(A) ≥ 0.
2.
Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses S beträgt Eins: P(S) = 1
3.
Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier disjunkter Ereignisse A und B ist
die Summe der Wahrscheinlichkeit P(A) und P(B) dieser Ereignisse:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) mit A ∩ B = ∅ und A, B ⊂ S.
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II Theoreme
1.
Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist Null: P(∅) = 0.
2.
Für die Wahrscheinlichkeit des zu A komplementären Ereignisses A in S gilt:
P( A ) = 1 – P(A)
3.
Additionssatz für paarweise disjunkte Ereignisse:
Seien A1, A2, ... , An ⊂ S paarweise disjunkt, so gilt:
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)
4.
Additionssatz für zwei beliebige Ereignisse A, B ⊂ S:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
5.
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung B
[P (A B) ] ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter
der Voraussetzung, daß das Ereignis B eingetreten ist. Wenn A, B ⊂ S und
P(B) > 0, dann ist
P( A B) =
6.
P( A ∩ B)
P( B)
Multiplikationssatz für zwei Ereignisse A und B:
P(A ∩ B) = P(A ) ⋅ P(B A ) = P(B) ⋅ P(A B)
7.
Multiplikationssatz für zwei unabhängige Ereignisse A und B:
Zwei Ereignisse sind dann und nur dann unabhängig, wenn gilt
P( A ∩ B) = P( A ) ⋅ P( B)
[P(A ), P(B) > 0]
Wenn A und B unabhängig sind, gilt also
P(A B) =
P(A ∩ B) P(A ) ⋅ P(B)
=
= P(A )
P(B)
P(B)
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8
8.
Für n Ereignisse A1, A2, ... , An gilt für die Wahrscheinlichkeit des Produkts
dieser Ereignisse
P(A1 ∩ A 2 ∩...∩ A n )
= P(A1 ) ⋅ P(A 2 A1 ) ⋅ P(A 3 A1 ∩ A 2 ) ⋅ ... ⋅ P(A n A1 ∩ A 2 ∩...∩ A n −1 )
9.
Theorem für die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B:
Wenn die Ereignisse A1, A2, ... , An paarweise disjunkt sind und in ihrer
Gesamtheit den Stichprobenraum S ausmachen, wobei P(Ai) > 0 für i = 1,
2, ..., n dann gilt für ein zufälliges Ereignis B (B ⊂ S)
P(B) = P(A1 ) ⋅ P(B A1 ) + P(A 2 ) ⋅ P(B A 2 ) + ...+ P(A n ) ⋅ P(B A n )
=
∑ P(A ) ⋅ P(B A )
n
i
i =1
i
10. Bayes-Theorem:
Erfüllen A1, A2, ... , An und B die Voraussetzungen des Satzes über die totale
Wahrscheinlichkeit und ist P(B) > 0, so gilt für j = 1, 2, ... , n
P(A i ) ⋅ P(B A i )
P(A i B) =
=
P(A1 ) ⋅ P(B A1 ) + P(A 2 ) ⋅ P(B A 2 ) + ...+ P(A n ) ⋅ P(B A n )
P(A i ) ⋅ P(B A i )
∑ P(A )⋅ P(B A )
n
j =1
j
j
1.5 Kombinatorik
● Permutation
○ ohne Wiederholung
(1) PN = N!
Es gilt:
(2) 0! = 1
● Variation (mit Berücksichtigung der Anordnung)
○ ohne Wiederholung
(3) VN(n ) =
N!
(N − n )!
○ mit Wiederholung
(n ) = N n
(4) VN
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9
● Kombination (ohne Berücksichtigung der Anordnung)
○ ohne Wiederholung
⎛ N⎞
⎟
⎟
n
⎝ ⎠
(5) C (Nn ) = ⎜⎜
=
○ mit Wiederholung
⎛N + n
(6) C (Nn ) = ⎜⎜
⎝
N!
n ! (N − n )!
− 1⎞
n
⎟
⎟
⎠
=
(N + n − 1)!
n ! (N − 1)!
Es gilt:
⎛ N⎞ ⎛ N⎞
(7) ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 1
⎝ N⎠ ⎝0 ⎠
(8)
⎛ N⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝1 ⎠
=N
(9) (a + b ) N =
∑ Nn
N
⎛
⎜
⎜
n = 0⎝
⎞ N −n n
⎟a
b
⎟
⎠
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2 EINDIMENSIONALE ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNG
2.1 Begriff einer Zufallsvariablen
Def.: Eine (diskrete) Zufallsvariable X ist eine Größe, die den möglichen Ergebnissen
eines Zufallsvorganges im Stichprobenraum S reelle Zahlen zuordnet.
2.2 Diskrete Zufallsvariablen
2.2.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion
P(X = x i ) = f (x i ) = pi
∑ f (x ) = 1
Es gilt : f (x i ) ≥ 0
i
2.2.2 Verteilungsfunktion
F( x) = P( X ≤ x) =
∑ f (x )
i
x ≤x
i
2.3 Stetige Zufallsvariablen
2.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion)
b
P( a < X ≤ b) = ∫ f ( x)dx
a
+∞
Es gilt: f ( x) ≥ 0
∫f
−∞
( x)dx = 1
2.3.2 Verteilungsfunktion
F( x) = P( X ≤ x ) =
Es gilt:
x
∫f
−∞
( t )dt
F'( x ) = f ( x )
b
P(a < X ≤ b ) =
∫
−∞
a
f ( x )dx −
∫
f ( x )dx = F( b ) − F( a )
−∞
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2.4 Parameter der Verteilung einer Zufallsvariablen
2.4.1 Erwartungswert
○ diskrete ZV:
E( X ) = μ =
○ stetige ZV:
E( X ) =
∑ x f(x ) = ∑ x p
i
i
i i
+∞
∫
xf ( x )dx
−∞
○ Eigenschaften: E( a ) = a
E( aX ) = aE( X )
[
2
[
]
E ( bX)
] = b E( X )
2
2
E( a + bX ) = a + bE ( X )
E g( X ) =
g( x i )f ( x i )
∑
2.4.2 Varianz
Var( X ) = σ 2 = E ( X − μ )2
∑ (x − μ) f (x )
Var( X ) = ∑ x f ( x ) − μ
○ diskrete ZV: Var( X ) =
2
i
2
i
○ stetige ZV:
i
2
i
+∞
+∞
2
Var( X ) = ∫ ( x − μ ) f ( x )dx = ∫ x 2 f ( x )dx − μ 2
−∞
−∞
○ Standardabweichung:
Var( X ) = σ x
○ Eigenschaften: Var ( a ) = 0
Var( a + bX ) = b 2Var( X )
2.4.3 Momente
○ Momente um Null (gewöhnliche Momente) mr
m r = E( X r ) =
∑ x f (x )
r = 1:
r
i
r = 1, 2, ...
i
m1 = E( X ) = μ
Erwartungswert
○ Momente um den Erwartungswert (zentrale Momente) μr
[
] ∑ f (x )(x
μ r = E (X − μ) r =
i
i
− μ) r
r = 2:
μ2 = E ( X − μ )2 = Var( X )
Varianz
r = 3:
μ3 = E ( X − μ )3
Schiefe
r = 4:
μ4 = E ( X − μ )4
Wölbung
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3 SPEZIELLE EINDIMENSIONALE WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN
3.1 Verteilungen diskreter Zufallsvariablen
3.1.1 Binomialverteilung
○ Wahrscheinlichkeitsfunktion
⎛ n⎞ k
⎟π
⎝ k⎠
P(X = k) = ⎜
(1 − π) n − k
k = 0, 1, 2, ... , n
n:
Stichprobenumfang
k:
Anzahl der "Erfolge"
π:
"Erfolgswahrscheinlichkeit"
1 − π:
"Mißerfolgswahrscheinlichkeit"
∑
○ Verteilungsfunktion
F(x) = P(X ≤ x) =
○ Parameter
E ( X) = n ⋅ π
Var(X ) = n ⋅ π ⋅ (1 − π)
⎛ n⎞
⎜ ⎟
⎝ k⎠
k≤x
π k (1 − π )
n−k
k = 0, 1, 2, ... , x
3.1.2 Hypergeometrische Verteilung
○ Wahrscheinlichkeitsfunktion
P(X = m ) =
N:
M:
n:
m:
⎛ M⎞ ⎛ N − M⎞
⎜ ⎟⎜
⎟
⎝ m ⎠⎝ n − m ⎠
⎛ N⎞
⎜ ⎟
⎝n ⎠
m = 0, 1, 2, ... , n
Zahl der Elemente der Grundgesamtheit
Zahl der Elemente der Grundgesamtheit mit dem gewünschten Merkmalswert
Stichprobenumfang
Zahl der Elemente in der Stichprobe mit dem gewünschten Merkmalswert
○ Verteilungsfunktion
F(x) = P(X ≤ x) =
∑
m≤ x
○ Parameter
⎛ M⎞ ⎛ N − M⎞
⎜ ⎟⎜
⎟
⎝ m ⎠ ⎝ n− m ⎠
⎛ N⎞
⎜ ⎟
⎝n ⎠
m = 0, 1, 2, ... , x
⎛M⎞
⎟
⎝ N⎠
E ( X) = n ⋅ ⎜
⎛ M ⎞⎛
⎟⎜
⎝ N ⎠⎝
Var(X ) = n ⋅ ⎜
N − M ⎞⎛ N − n ⎞
⎟⎜
⎟
N ⎠⎝ N − 1 ⎠
○ Approximationsregel:
n
≤ 0,05 kann die Hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung
N
approximiert werden.
Für
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13
3.1.3 Poissonverteilung
○ Wahrscheinlichkeitsfunktion
(n π ) k − n π λk − λ
P(X = k) =
=
k = 0, 1, 2, ... , n
e
e
k!
k!
n:
π:
k:
Stichprobenumfang
„Erfolgswahrscheinlichkeit“
Anzahl der „Erfolge“
○ Verteilungsfunktion
F( X ) = P(X ≤ x ) = e − λ
○ Parameter
∑
λk
k≤x k !
k = 0, 1, 2, ... , x
E(X) = λ = n⋅ π
Var(X) = λ = n⋅ π
○ Approximationsregel:
Für n ≥ 50 und π ≤ 0,1 kann die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung
approximiert werden.
3.2 Verteilungen stetiger Zufallsvariablen
3.2.1 Exponentialverteilung
○ Dichtefunktion
f ( x ) = λe −( λx ) für x ≥ 0; 0 sonst
○ Verteilungsfunktion
F( X ) = P(X ≤ x ) = 1 − P(X > x ) = 1 − e −( λx ) für x ≥ 0; 0 sonst
○ Parameter
E (X ) =
1
λ
Var(X ) =
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1
λ2
14
3.2.2 Normalverteilung
○ Dichtefunktion
f (x) =
1
e
σ 2π
⎡
⎢−
⎢
⎣
(x −μ) 2 ⎤
2σ 2
⎥
⎥
⎦
Eigenschaften:
- Parameter μ, σ
- Maximum
- Symmetrie
- Wendepunkte
- Asymptot. Annäherung an x-Achse
- Veränderung von μ
- Veränderung von σ
○ Verteilungsfunktion
F( x ) =
x
1
∫e
σ 2π − ∞
⎡
⎢−
⎢
⎣
(t − μ) 2 ⎤
2σ 2
⎥
⎥
⎦
dt
○ Standardisierung
z=
X−μ
σ
○ Dichtefunktion
ϕ(z ) =
1
2π
e
−
z2
2
○ Verteilungsfunktion
φ(z) =
1
2
z −u
e 2 du
∫
2π − ∞
P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a )
⎛b−μ⎞
⎛a
⎟ − φ⎜
⎝ σ ⎠
⎝
= φ⎜
−μ⎞
⎟
σ ⎠
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○ Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
X− n π
∼ NV (0;1)
n π(1 − π )
wenn n π (1 − π ) ≥ 9
- Wahrscheinlichkeitsfunktion
⎛ k + 0,5 − n π ⎞
⎛ k − 0,5 − n π ⎞
⎟ − φ⎜
⎟
⎜ n π(1 − π) ⎟
⎜ n π(1 − π) ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
P(X = k) = P(k − 0,5 ≤ X ≤ k + 0,5) ≈ φ⎜
- Verteilungsfunktion
⎛ b+ 0,5 − n π ⎞
⎛ a − 0,5 − n π ⎞
⎟ − φ⎜
⎟
⎜ n π(1 − π) ⎟
⎜ n π(1 − π) ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
P(a ≤ X ≤ b) ≈ P(a − 0,5 ≤ X ≤ b + 0,5) ≈ φ⎜
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4 MEHRDIMENSIONALE ZUFALLSVARIABLEN UND IHRE VERTEILUNGEN
4.1 Diskrete zweidimensionale Zufallsvariablen und ihre
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
○ Tabelle
Y
X
x1
x2
M
xr
y1
y2
p11
p21
p12
p22
K
K
K
K
K
M
p r1
pr 2
p⋅1
p⋅2
yc
p1c
p2c
p1⋅
p 2⋅
M
p rc
p r⋅
p⋅c
○ Wahrscheinlichkeitsfunktion
⎧pij für alle x = x i , y = y j i = 1, 2,..., r
⎪
f ( x, y) = ⎨
⎪⎩0 für alle übrigen ( x, y) j = 1, 2,..., c
pij: gemeinsame Wahrscheinlichkeit
○ Verteilungsfunktion
P(X ≤ x, Y ≤ y) = F( x, y ) =
∑ ∑
xi ≤ x y j ≤ y
f (xi , y j )
4.2 Randverteilungen, Bedingte Verteilungen und Unabhängigkeit
○ Randverteilungen
f x ( x i )= f ( x i , y1 )+ f ( x i , y 2 )+ ... = pi.
f y ( y j ) = f ( x1, y j ) + f ( x 2 , y j ) + ... = p. j
○ Bedingte Verteilungen
von X bei gegebenem y j :
P(X = x i Y = y j ) =
P(X = x i , Y = y j ) p ij
=
P(Y = y j )
p. j
von Y bei gegebenem x i :
P(Y = y j X = x i ) =
P(X = x i , Y = y j ) p ij
=
P(X = x i )
p i.
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○ Unabhängigkeit
f(x i , y j ) = pij = pi .⋅ p. j
P(X = x i Y = y j ) =
(für alle i, j)
f x (x i ) f y (y j )
f y (y j )
= f x (x i )
4.3 Parameter zweidimensionaler Zufallsvariablen X und Y
○ Variablenverknüpfung
Additives Modell:
g(X,Y) = X + Y
Multiplikatives Modell: g(X,Y) = X ⋅ Y
○ Erwartungswert
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X − Y ) = E(X ) − E(Y )
E( X ⋅ Y) =
∑∑x y p
i
j
i j ij
E(X ⋅ Y) = E(X) ⋅ E(Y)
nur bei Unabhängigkeit
○ Varianz
Var (X+Y) = σ 2x + σ 2y + 2 σ xy
Var (X+Y) = Var(X) + Var(Y)
= σ 2x + σ 2y
Var(X − Y ) = Var(X ) + Var(Y )
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nur bei Unabhängigkeit
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○ Kovarianz und Korrelationskoeffizient
)(
(
Cov ( X, Y ) = σ xy = E ⎡ X − μ x Y − μ y
⎢
⎣
Cov ( X, Y ) =
=
i
j
x
j
y
i
j
∑ ∑ x y ⋅ f (x , y ) − μ μ
i
ρ$ = r =
⎤
⎥
⎦
∑ ∑ (x − μ )( y − μ ) ⋅ f (x , y )
i
ρ xy =
)
i j
j
i
j
σ xy
Cov( X, Y )
=
Var( X )Var(Y ) σ x σ y
∑ ( x − x)( y − y)
∑ ( x − x ) ∑ ( y − y)
i
x y
mit: − 1 ≤ ρ xy ≤ +1
i
2
i
2
i
^: Geschätzter Wert
○ Beispiel zum Korrelationskoeffizienten
i
xi
yi
1
2
3
4
5
6
7
8
4
4
5
6
8
8
10
11
56
4
5
6
6
8
10
12
13
64
x=
56
=7
8
x i − x = x i'
–3
–3
–2
–1
1
1
3
4
0
y i − y = y i'
–4
–3
–2
–2
0
2
4
5
0
y=
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(xi − x )2 (yi − y )2 (xi − x )(yi − y )
64
=8
8
9
9
4
1
1
1
9
16
50
16
9
4
4
0
4
16
25
78
12
9
4
2
0
2
12
20
61
19
5 ELEMENTE DER STICHPROBENTHEORIE
5.1 Grundbegriffe
○ Unterscheidung:
- der Größen der Grundgesamtheit und der Stichprobe
- beim Ziehen der Stichproben von „mit Zurücklegen“ und „ohne Zurücklegen“
- der Schlussweisen „Inklusionsschluß“ und „Repräsentationsschluß“
○ Betrachtung eines Stichprobenwertes als Zufallsvariable
5.2 Stichprobenfunktion und Stichprobenverteilung
5.2.1 Stichprobenfunktion
$ = g( X , X ,..., X )
Θ
1 2
n
5.2.2 Stichprobenmittel und seine Verteilung
E( X ) = μ
σx =
σx
n
(Ziehen mit Zurücklegen)
σx =
σx
N−n
⋅
N −1
n
(Ziehen ohne Zurücklegen)
σ x : Standardfehler von X
σ x : Standardfehler von X
n : Stichprobenumfang
N : Grundgesamtheit
5.3 Zwei wichtige Sätze der Statistik
5.3.1 Gesetz der großen Zahlen (für das Stichprobenmittel)
lim P( X n − μ ≤ ε ) = 1
n →∞
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20
5.3.2 Zentraler Grenzwertsatz
○ Für Mittelwerte:
Wenn X1, X2, ... , Xn eine Stichprobe mit E(Xi) = μ und Var (Xi) = σ2 ist, dann ist
σ ⎞
1
⎛
X=
X i bei großen n annähernd normalverteilt mit ⎜ μ; x ⎟ .
n
n⎠
⎝
∑
Es gilt dann:
X ∗n =
X−μ
σx
n
○ Illustration Zentraler Grenzwertsatz:
Verteilung des Stichprobenmittels bei steigendem Stichprobenumfang n
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21
6 SCHÄTZMETHODIK
6.1 Punktschätzungen
6.1.1 Methoden
○ Momentenmethode
○ Methode der kleinsten Quadrate
○ Maximum Likelihood-Methode
Unbekannter
Parameter der
Grundgesamtheit
Θ
Mittelwert
μ
Varianz
σ2
Anteilswert
π
Schätzparameter
$
Θ
μ̂
σ̂ 2
π̂
6.1.2 Eigenschaften von Schätzfunktionen
○ Erwartungstreue
ˆ =Θ
E (Θ)
○ Konsistenz
(
Konkrete Schätzung
(Realisation)
)
$
−Θ ≤ ε =1
lim P Θ
n
n →∞
○ Relative Effizienz
$ ) < Var ( Θ
$ )
Var(Θ
1
2
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∑x
1
=
∑ (x − x )
n− 1
x=
s2
1
n
i
i
p=
k
n
2
22
6.2 Intervallschätzungen
6.2.1 Konfidenzintervall für μ einer NV, σ bekannt
⎛
P⎜ x − z
⎝
σ
σ ⎞
≤ μ ≤ x+ z
⎟ = 1− α
n
n⎠
1− α :
Konfidenzniveau, Rückschlusswahrscheinlichkeit
6.2.2 Konfidenzintervall für μ einer NV, σ unbekannt, t-Verteilung
○ t-Verteilung
○ Konfidenzintervall
P( x − t s x ≤ μ ≤ x + t s x ) = 1 − α
t-Wert der t-Verteilung bei
mit s x =
s
n
α
und (n – 1) Freiheitsgraden.
2
6.2.3 Konfidenzintervall für π einer Binomialverteilung
(
)
P p− z sp ≤ π ≤ p+ z sp = 1 − α
6.3
mit s p =
Notwendiger Stichprobenumfang
2
zσ)
(
n=
d2
z: Zuverlässigkeitskoeffizient
d: Genauigkeit
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pq
n− 1
23
7 TESTVERFAHREN
7.1 Prinzip eines Tests
7.1.1 Einführungsbeispiel
Schlussfolgerungen
Entscheidung
Wahrer Zustand
H0 ist richtig
H0 ist falsch
Annahme von H0
Ablehnung von H0
Richtige Entscheidung
P=1−α
Fehler 2. Art
P=β
Fehler 1. Art
P=α
Richtige Entscheidung
P=1−β
7.1.2 Testschema
1 Formulierung von H0 und H1
2 Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit / des Signifikanzniveaus
3 Festlegung des Prüfmaßes und der Testverteilung
4 Aufstellung der Entscheidungsregel
5 Durchführung der Berechnungen
6 Entscheidung fällen / Schlussfolgerung ziehen
7.2 Spezielle Tests
7.2.1 Parametertests
7.2.1.1 Einstichprobentests
● Test über μ, σ bekannt
Z=
x − μ0
σx
● Test über μ, σ unbekannt
t=
x− μ 0
sx
● Test über σ 2 ,
(n − 1)s 2
σ 02
mit n = n −1 Freiheitsgraden
χ 2 - Verteilung
∑ (x
=
i
− x )2
σ 20
= χ2
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mit n – 1 Freiheitsgraden
24
● Test über π
Z=
p − π0
σP
mit σ P =
π 0 (1 − π 0 )
n
7.2.1.2 Zweistichprobentests
● Test über μ1 = μ2, σ bekannt
Z=
( x1 − x 2 ) − ( μ1 − μ 2 )
σx −x
1
2
mit σ x1 − x 2 =
x − x2
= 1
σx −x
1
2
1
1
σ12 σ 22
+
= σ⋅
+
wenn σ12 = σ 22 = σ 2
n1 n 2
n1 n 2
Der Index 1 bezieht sich jeweils auf die erste Stichprobe, der Index 2 auf die zweite
Stichprobe.
● Test über μ1 = μ2, σ unbekannt
t=
(x1 − x 2 )
s x1 − x 2
mit s x1 − x 2 = s∗ ⋅
mit n = n1 + n 2 − 2 Freiheitsgraden
1
1
+
n1 n 2
und s∗ =
(n1 − 1) s12 + (n 2 − 1) s 22
n1 + n 2 − 2
● Test über σ12 = σ 22 , F-Verteilung
s12
F= 2
s2
mit m = n1 − 1, n = n 2 − 1 Freiheitsgraden
● Test über π1 = π2
Z=
(p1 − p 2 ) − ( π1 − π 2 ) p1 − p 2
=
s p1 − p 2
s p1 − p 2
(
mit s p1 − p 2 = p∗ 1 − p ∗
) n1 + n1
⎛
⎜
⎝ 1
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⎞
⎟
2⎠
n p + n 2p2
und p∗ = 1 1
n1 + n 2
25
7.2.2 Nichtparametrische Tests
7.2.2.1 Unabhängigkeitstest
Für 1 Stichprobe, 2 Zufallsvariablen
χ2 =
∑∑
r
c
fij( beob ) − fij( erw )
i =1 j=1
2
fij( erw )
mit (r − 1)(c − 1) Freiheitsgraden
(erw )
und f ij
=
f i. ⋅ f . j
n
= p i. ⋅ p. j ⋅ n
(pi.; p.j:
7.2.2.2 Homogenitätstest
Für mehrere Stichproben, 1 Zufallsvariable
Formel siehe unter 7.2.2.1
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Werte der Randverteilungen)
26
8 REGRESSIONSANALYSE
8.1 Problemstellung
Quantitative Analyse funktionaler Abhängigkeiten wirtschaftlicher Größen
8.2 Lineare einfache Regression
8.2.1 Grundannahmen des Modells
○ Gleichungen
E(Y X i ) = β 0 + β1 X i
Yi = E(Y X i ) + ε i
○ Modellannahmen
( )
I E εi = 0
( )
II Var (εi) = E ε i 2 = σ 2
( )
III Cov (εi, εj) = E ε i ε j = 0
(Homoskedastie)
i≠ j
(Nicht-Autokorrelation)
IV Cov (εi, Xi) = 0
V εi ∼ NV (0,σ2)
ε i / ε j: latente Variablen
E (Y X i )
β0 + β1X i
E (Y X = x 3 )
E (Y X = x 2 )
(
NV β0 + β1X i , σ 2
E (Y X = x1 )
x1
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x2
x3
X
)
27
8.2.2 Bestimmung der Schätzfunktion mit der KQ-Methode
○ Ansatz
ŷ i = βˆ 0 + βˆ 1x i = b 0 + b1x i
y i = ŷ i + e i
○ Normalgleichungen
∑x = ∑y
b ∑x + b ∑x = ∑x y
b0 n + b1
0
i
i
i
2
i
1
i i
○ Regressionskoeffizienten
b0
b1
∑y ∑x −∑x ∑x y
=
n∑ x − (∑ x )
n∑ x y − ∑ y ∑ x
=
n ∑ x − (∑ x )
2
i
i
i
2
i
i i
2
i
i i
2
i
i
i
2
i
○ Koordinatentransformation
mit yi − y = y ′i
b1 =
x i − x = x i′
∑ y′ x ′
∑ x′
i i
2
i
b0 = y − b1x
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○ Beispiel 1: Nachfragefunktion
yi
xi
xiyi
x 2i
y'i
x'i
y'i x'i
x 'i2
y$ i
y i − y$ i = e i
e 2i
y'i
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
40
4
160
16
17,1
-15,6
-266,76
243,36
36,47
3,5
12,25
292,41
44
5
220
25
21,1
-14,6
-308,06
213,16
35,60
8,4
70,56
445,21
32
7
224
49
9,1
-12,6
-114,66
158,76
33,86
-1,9
3,61
82,81
25
12
300
144
2,1
-7,6
-15,96
57,76
29,51
-4,5
20,25
4,41
19
16
304
256
-3,9
-3,6
14,04
12,96
26,03
-7,0
49,00
15,21
22
20
440
400
-0,9
0,4
-0,36
0,16
22,55
-0,5
0,25
0,81
15
25
375
625
-7,9
5,4
-42,66
29,16
18,20
-3,2
10,24
62,41
13
30
390
900
-9,9
10,4
-102,96
108,16
13,86
-0,9
0,81
98,01
9
37
333
1369
-13,9
17,4
-241,86
302,76
7,76
1,2
1,44
193,21
10
40
400
1600
-12,9
20,4
-263,16
416,16
5,15
4,9
24,01
166,41
229
196
3146
5384
0
0
-1342,40
1542,40
0
192,42
1360,90
2
n = 10
y = 22, 9
x = 19, 6
28
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29
8.2.3 Beurteilung der Güte der Schätzergebnisse
● Standardfehler der Schätzung
s 2e
∑ (y − y ) = ∑ e
=
$i
i
2
n− 2
se =
∑e
2
i
n− 2
2
i
n−2
● Test und Konfidenzintervall für β1
Var( b1 ) =
s 2b
1
=
s 2e
=
s 2e
∑ (x − x) ∑ x ′
2
i
i
2
○ Test
b −β
t= 1 1
s b1
mit n = n − 2 Freiheitsgraden
○ Konfidenzintervall
P⎛⎜ b1 − t ⋅ s b ≤ β1 ≤ b1 + t ⋅ s b ⎞⎟ = 1 − α
⎝
1
1⎠
t-Wert für
α
und n = n − 2 Freiheitsgrade
2
8.2.4 Determinationskoeffizient (Bestimmtheitsmaß) R 2
R2
∑ ( y − y)
=
∑ ( y − y)
$
2
i
i
2
=
∑ ( x − x)
∑ ( y − y)
b12
i
2
i
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2
∑ = 1 − ∑ (y − y )
=1−
∑ ( y − y)
∑ ( y − y)
e i2
i
2
i
$
2
i
2
i
30
Beispiel 2: Excess Return-Modell
- Modell
(1) r jt − rft = α j + β j (rMt − rft ) + ε jt
r jt : Rendite des WPj
rjt =
K jt − K jt −1
K jt −1
rMt : Marktrendite, gleiche Berechnung wie bei rjt
rft : Zinssatz für risikolose Zinsanlage
- Beispiel:
j: ALLIANZ
f: EURIBOR
T = 184 wöchentliche Werte
M: DAX
- Schätzung
Mit y jt = r jt − rft
x Mt = rMt − rft
(2) y jt = α j + β j x Mt + ε jt
Linear Regression – Estimation by Least Squares
Dependent Variable Y (Allianz)
Usable Observations
R**2
183
Degrees of Freedom
181
0.624846
Variable
Coeff
Std Error
T-Stat
Signif
*******************************************************************
1. Constant
0.0060681103
0.0039843867
1.52297
0.12951087
2. X
1.1933747488
0.0687315727
17.36283
0.00000000
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31
8.3 Multiple und nichtlineare Regression
○ Multiple Regression
(1) E (y x1 i , x 2 i ,..., x mi ) = β 0 + β1x1 i + β 2 x 2 i + ... + β m x mi
(2) y i = b 0 + b1x1i + b 2 x 2i + ... + b m x mi + e i
(3) y = Xb + e
(4) b = (X' X )−1 X' y
○ Nichtlineare Regression
- Nichtlinearität in den Variablen
z. B. Parabolische Regression
ŷ i = b 0 + b1x i + b 2 x i2
- Nichtlinearität in den Parametern
z. B. Potenzfunktion
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b
ŷ i = b 0 x i 1
K, n
K, m
i = 1, 2,
k = 1, 2,
32
○ Beispiel Multiple Regressionsanalyse
(1) Daten
Variablen:
BENZINV
EINKO
PBENZIN
PAUTO
Y
X1
X2
X3
Benzinverbrauch (nur für Autos) pro Kopf in Litern
Reales verfügbares Pro-Kopf-Einkommen in €€
Preisindex für Benzin (Jahr 8 = 100)
Preisindex für neue Autos (Jahr 8 = 100)
Schätzgleichung:
ŷ t = βˆ 0 + βˆ 1x1t + βˆ 2 x 2 t + βˆ 3 x 3t
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33
(2) Ergebnisse
Deskriptive Statistiken:
Korrelationen:
Modellzusammenfassung und Koeffizienten:
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34
9 TABELLEN
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35
Binomialverteilung
⎛ n⎞ k
⎟π
⎝ k⎠
Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion P( X = k ) = ⎜
(1 − π) n − k
π
n
1
k
0
1
.05
.9500
.0500
.10
.9000
.1000
.15
.8500
.1500
.20
.8000
.2000
.25
.7500
.2500
.30
.7000
.3000
.35
.6500
.3500
.40
.6000
.4000
.45
.5500
.4500
.50
.5000
.5000
2
0
1
2
.9025
.0950
.0025
.8100
.1800
.0100
.7225
.2550
.0225
.6400
.3200
.0400
.5625
.3750
.0625
.4900
.4200
.0900
.4225
.4550
.1225
.3600
.4800
.1600
.3025
.4950
.2025
.2500
.5000
.2500
3
0
1
2
3
.8574
.1354
.0071
.0001
.7290
.2430
.0270
.0010
.6141
.3251
.0574
.0034
.5120
.3840
.0960
.0080
.4219
.4219
.1406
.0156
.3430
.4410
.1890
.0270
.2746
.4436
.2389
.0429
.2160
.4320
.2880
.0640
.1664
.4084
.3341
.0911
.1250
.3750
.3750
.1250
4
0
1
2
3
4
.8145
.1715
.0135
.0005
.0000
.6561
.2916
.0486
.0036
.0001
.5220
.3685
.0975
.0115
.0005
.4096
.4096
.1536
.0256
.0016
.3164
.4219
.2109
.0469
.0039
.2401
.4116
.2646
.0756
.0081
.1785
.3845
.3105
.1115
.0150
.1296
.3456
.3456
.1536
.0256
.0915
.2995
.3675
.2005
.0410
.0625
.2500
.3750
.2500
.0625
5
0
1
2
3
4
5
.7738
.2036
.0214
.0011
.0000
.0000
.5905
.3281
.0729
.0081
.0005
.0000
.4437
.3915
.1382
.0244
.0022
.0001
.3277
.4096
.2048
.0512
.0064
.0003
.2373
.3955
.2637
.0879
.0146
.0010
.1681
.3602
.3087
.1323
.0284
.0024
.1160
.3124
.3364
.1811
.0488
.0053
.0778
.2592
.3456
.2304
.0768
.0102
.0503
.2059
.3369
.2757
.1128
.0185
.0313
.1563
.3125
.3125
.1563
.0313
6
0
1
2
3
4
5
6
.7351
.2321
.0305
.0021
.0001
.0000
.0000
.5314
.3543
.0984
.0146
.0012
.0001
.0000
.3771
.3993
.1762
.0415
.0055
.0004
.0000
.2621
.3932
.2458
.0819
.0154
.0015
.0001
.1780
.3560
.2966
.1318
.0330
.0044
.0002
.1176
.3025
.3241
.1852
.0595
.0102
.0007
.0754
.2437
.3280
.2355
.0951
.0205
.0018
.0467
.1866
.3110
.2765
.1382
.0369
.0041
.0277
.1359
.2780
.3032
.1861
.0609
.0083
.0156
.0938
.2344
.3125
.2344
.0938
.0156
7
0
1
2
3
4
5
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Poissonverteilung
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39
Standard-Normalverteilung
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0
α
z
Werte der Verteilungsfunktion
z
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9
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.9936
.9952
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.9974
.9981
.9986
1.0000
41
Quantile der t-Verteilung
0
α
α
1- α
2
t
α
1- α
-t
0
2
t
Hinweis: t n ,1−α = − t n ,α
n : Zahl der Freiheitsgrade
1 − α bzw.
1−
α
2
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
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0.99
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2.896
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1.069
1.067
1.066
1.064
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
4.015
3.965
3.922
3.883
3.850
21
22
23
24
25
.686
.686
.685
.685
.684
.859
.858
.858
.857
.856
1.063
1.061
1.060
1.059
1.058
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
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1.717
1.714
1.711
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2.074
2.069
2.064
2.060
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2.508
2.500
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2.819
2.807
2.797
2.787
3.819
3.792
3.768
3.745
3.725
26
27
28
29
30
.684
.684
.683
.683
.683
.856
.855
.855
.854
.854
1.058
1.057
1.056
1.055
1.055
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
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1.703
1.701
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1.697
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2.052
2.048
2.045
2.042
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2.473
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2.462
2.457
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
3.707
3.690
3.674
3.659
3.646
40
60
120
∞
.681
.679
.677
.674
.851
.848
.845
.842
1.050
1.045
1.041
1.036
1.303
1.296
1.289
1.282
1.684
1.671
1.658
1.645
2.021
2.000
1.980
1.960
2.423
2.390
2.358
2.326
2.704
2.660
2.617
2.576
3.551
3.460
3.373
3.291
n
© 2006 Institut für Statistik & Ökonometrie, Universität Mainz
42
Quantile der χ²-Verteilung
α
1- α
χ2
0
1− α
n
1
2
3
4
5
0.005
.000
.010
.072
.207
.412
0.010
.000
.020
.115
.297
.554
0.025
.001
.051
.216
.484
.831
0.050
.004
.103
.352
.711
1.145
0.950
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
0.975
5.024
7.378
9.348
11.143
12.833
0.990
6.635
9.210
11.345
13.277
15.086
0.995
7.879
10.597
12.838
14.860
16.750
6
7
8
9
10
.676
.989
1.344
1.735
2.156
.872
1.239
1.646
2.088
2.558
1.237
1.690
2.180
2.700
3.247
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
14.449
16.013
17.535
19.023
20.483
16.812
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20.090
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20.278
21.955
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11
12
13
14
15
2.603
3.074
3.565
4.075
4.601
3.053
3.571
4.107
4.660
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3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
21.920
23.337
24.736
26.119
27.488
24.725
26.217
27.688
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30.578
26.757
28.300
29.819
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32.801
16
17
18
19
20
5.142
5.697
6.265
6.844
7.434
5.812
6.408
7.015
7.633
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6.908
7.564
8.231
8.907
9.591
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
26.296
27.587
28.869
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31.410
28.845
30.191
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32.852
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32.000
33.409
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21
22
23
24
25
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8.643
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9.886
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26
27
28
29
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11.808
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14.953
13.844
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16.791
15.379
16.151
16.928
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18.493
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45.722
46.979
45.642
46.963
48.278
49.588
50.892
48.290
49.645
50.993
52.336
53.672
© 2006 Institut für Statistik & Ökonometrie, Universität Mainz
Quantile der F-Verteilung
m = Zahl der Freiheitsgrade der größten Varianz
1 − α = 0,95
m
α
1- α
Hinweis: Fm ,n ,1−α = 1 / Fn , m,α
12
15
20
24
30
40
60
120
∞
243,9
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8,74
5,91
4,68
245,9
19,43
8,70
5,86
4,62
248,0
19,45
8,66
5,80
4,56
249,1
19,45
8,64
5,77
4,53
250,1
19,46
8,62
5,75
4,50
251,1
19,47
8,59
5,72
4,46
252,2
19,48
8,57
5,69
4,43
253,3
19,49
8,55
5,66
4,40
254,3
19,50
8,53
5,63
4,36
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,90
2,80
2,71
2,65
2,59
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
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2,57
2,47
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2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,45
2,34
2,25
2,18
2,11
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,54
2,49
2,46
2,42
2,39
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,35
2,31
2,27
2,23
2,20
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,19
2,15
2,11
2,07
2,04
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
2,49
2,46
2,44
2,42
2,40
2,42
2,40
2,37
2,36
2,34
2,37
2,34
2,32
2,30
2,28
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
2,01
1,98
1,96
1,94
1,92
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
2,47
2,46
2,45
2,43
2,42
2,39
2,37
2,36
2,35
2,33
2,32
2,31
2,29
2,28
2,27
2,27
2,25
2,24
2,22
2,21
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
2,45
2,37
2,29
2,34
2,25
2,18
2,25
2,17
2,09
2,18
2,10
2,02
2,12
2,04
1,96
2,08
1,99
1,91
2,00
1,92
1,83
1,92
1,84
1,75
1,84
1,75
1,66
1,79
1,70
1,61
1,74
1,65
1,55
1,69
1,59
1,50
1,64
1,53
1,43
1,58
1,47
1,35
1,51
1,39
1,25
2,21
2,10
2,01
1,94
1,88
1,83
1,75
1,67
1,57
1,52
1,46
1,39
1,32
1,22
1,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
161,4
18,51
10,13
7,71
6,61
199,5
19,00
9,55
6,94
5,79
215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
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19,30
9,01
6,26
5,05
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19,33
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6,16
4,95
236,8
19,35
8,89
6,09
4,88
238,9
19,37
8,85
6,04
4,82
240,5 241,9
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8,81
8,79
6,00
5,96
4,77
4,74
6
7
8
9
10
5,99
5,59
5,32
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4,96
5,14
4,74
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4,26
4,10
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
11
12
13
14
15
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
3,98
3,89
3,81
3,74
3,68
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,20
3,11
3,03
2,96
2,90
3,09
3,00
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2,79
3,01
2,91
2,83
2,76
2,71
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
16
17
18
19
20
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4,41
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3,52
3,49
3,24
3,20
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3,13
3,10
3,01
2,96
2,93
2,90
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2,85
2,81
2,77
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2,71
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2,63
2,60
2,66
2,61
2,58
2,54
2,51
21
22
23
24
25
4,32
4,30
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3,01
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2,60
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27
28
29
30
4,23
4,21
4,20
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4,17
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
2,98
2,96
2,95
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2,73
2,71
2,70
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2,59
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60
120
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2,76
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2,61
2,53
2,45
∞
3,84
3,00
2,60
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n
1
2
3
4
5
43
Quantile der F-Verteilung
1− α = 0,99
m
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2
3
4
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6
7
8
9
10
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120
∞
1
2
3
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n
44