Blatt 7

UNIVERSITÄT KONSTANZ
Fachbereich Physik
Prof. Dr. Matthias Fuchs
Raum P 907, Tel. (07531)88-4678
E-mail: [email protected]
Übungen zur Statistischen Mechanik
Wintersemester 2005/06
Übungsblatt 7, Ausgabe 06.12.2005, abzugeben bis 12.12.2005
Besprechung in der Zentralübung am 12.12.2005.
Präsenzaufgaben
38. Gleichgewicht und Druckensemble
a) Betrachten Sie zwei von der Außenwelt isolierte Systeme, die durch eine bewegliche
Wand Energie und Volumen austauschen können. Dabei gilt: E = E1 + E2 und
V = V1 + V2 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit p(E1 , V1 ), dass Teilsystem 1 die
Energie E1 und das Volumen V1 annimmt, als Erwartungswert hδ(H1 − E1 )i mit dem
1
δ(H − E)θ(q ∈ V ). Die Integration über
mikrokanonischen Dichteoperator ρmk = W (E,V
)
das Phasenraumvolumen lässt sich aufteilen in Integrationen über die beiden Teilsysteme
und damit in ein Produkt der jeweiligen Anzahl der Zustände Wi (Ei , Vi ). Bestimmen Sie
das Maximum der Verteilung für E1 und V1 .
b) Nehmen Sie nun an, dass ein Teilsystem sehr viel größer wird als das Andere, d.h. das zu
betrachtende (kleinere) Teilsystem ist in Kontakt mit einem Wärme- und
Volumenreservoir. Die Zustandssumme in diesem Druckensemble ist damit:
ZD (T, p, N ) = Sp e−β Ĥ−βpV̂ .
Die Spurbildung lässt sich aufteilen in einen kanonischen Anteil bei festem Volumen, und
einer Spur über das Volumen. Zeigen Sie, dass die Zustandssumme des Druckensembles
mit der kanonischen Zustandssumme über folgende Laplacetransformation
zusammenhängt:
Z ∞
1
ZD (T, p, N ) =
dV Zk (T, V, N )e−βpV .
∆V 0
V N
1
,
c) Berechnen Sie Z
für
das
ideale
Gas.
(Erinnerung:
Z
(T,
V,
N
)
=
D
k
3
N! λ
R∞
h
−t N
λ = (2πmkT
,
dte
t
=
N
!)
Für
den
thermodynamischen
Limes
sind
nicht
alle
0
)1/2
Therme relevant. Mit den relevanten erhält man das zugehörige thermodynamische
Potential, die Gibbs freie Enthalpie,
G(T, p, N ) = −kT ln ZD (T, p, N ).
Diese haben Sie in der Thermodynamik als Legendretransformierte der inneren Energie
bzgl. Temperatur-Entropie und Druck-Volumen kennengelernt.
G(T, p, N ) = E − T S + pV = µ(T, p)N
dG = −SdT + V dp + µdN
, die mittlere Energie
Bestimmen Sie die Entropie S(T, p, N ) = − ∂G
∂T
∂ ln ZD
hEi(T, p, N ) = − ∂β |βp=konst. und das mittlere Volumen
hV i(T, p, N ) = − β1 ∂ ln∂pZD |β=konst. . Lösen Sie die letzte Gleichung nach dem Druck auf
p = p(T, hV i, N ) und setzen Sie dies in die Ausdrücke für die Entropie und die mittlere
Energie ein.
39. Kanonische Verteilungsfunktion
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion Pi (d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass das System im
i-ten Energieniveau ist) eines P
Systems, das an ein Wärmereservoir angeschlossen ist, indem
Sie die Entropie S{PP
}
=
−k
i
i Pi ln Pi mit den Nebenbedingungen der Normierung der
VerteilungsfunktionP i Pi = 1 und der durch das Reservoir vorgegebenen mittleren Energie hEi = i Ei Pi variieren. (Variation mit Nebenbedingungen → Lagrangeparameter)
schriftlich
40. Mikrokanonisches und Kanonisches Ensemble (6 Punkte)
Es ist leicht einzusehen, daß das Mikrokanonische und das Kanonische Ensemble über eine
Laplace-Transformation miteinander verknüpft sind. Die Kanonische Zustandssumme ist
gegeben durch
X
Z(N, V, T ) =
e−βEν ,
ν=states
wobei die Summe über alle Zustände des Systems erfolgt. Dies kann in eine Summe über
Energiebereiche umgeschrieben werden. Man verwendet die Mikrokanonische
Verteilungsfunktion W (N, V, E) um die Zustände im Intervall [E − ∆E, E] zu zählen. Wenn
der Abstand der Energiebereiche kB T ist, kann die Summe durch ein Integral ersetzt
werden:
Z ∞
X
1
−βEν
→
Z(N, V, T ) =
W (N, V, E) e
dE W (N, V, E) e−βE .
∆E
0
ν=bands
Z(N, V, T ) ist daher die Laplace-Transformierte von W (N, V, E) mit der
Transformations-Variablen β.
a) Die Funktion W ist im allgemeinen eine exponentiell wachsende Funktion der Energie (in
Aufgabe 36 zeigten wir für ein spezielles Modell W (N, V, E) = N !/((E/)!(N − (E/))!).
Skizzieren Sie den Integranden im Ausdruck für Z als Funktion von E. Was stellen Sie
fest?
b) Der Peak des Integranden kennzeichnet die wahrscheinlichste Energie E ∗ . Zeigen Sie, daß
das Ergebnis −kB T ln(Z) = E ∗ − T S ∗ mit S ∗ ≡ S(E ∗ ) folgt, sofern man einen unendlich
scharfen Peak annimmt.
c) Die allgemeine Sattelpunktsnäherung erster Ordnung ist gegeben durch
Z
b
dt e
a
xg(t)
∼
2π
00
|g (t0 )|x
12
exg(t0 ) ,
wobei der Integrand bei t0 scharf gepeakt und a < t0 < b ist. Verifizieren Sie dieses
Resultat durch eine Taylor-Entwicklung von g(t) um den Peak bei t0 bis zur
quadratischen Ordnung und werten Sie das Gauß integral aus.
d) Der Integrand im obigen Ausdruck für Z kann als exp(ln(W ) − βE) - gepeakt um E ∗ geschrieben werden. Leiten Sie zunächst den folgenden Ausdruck für die spezifische
Wärme ab:
∂ 1
1
.
=−
∂E kB T V
kB CV T 2
Verwenden Sie nun die Sattelpunktsmethode um
1
−kB T ln(Z) = E ∗ − T S ∗ − kB T ln(2πkB CV T 2 )
2
zu zeigen. Da CV ∼ N , skaliert die Korrektur wie ln(N ) und kann deshalb für N → ∞
mit hinreichender Genauigkeit vernachlässigt werden.
41. Polymerkette unter Spannung (6 Punkte)
Betrachten Sie ein frei rotierendes Polymermodell (wie in Aufgabe 1). Diesmal aber mit einer
Zugkraft f an beiden Enden der Kette.
R
−f
f
l
Die Segmente haben die einheitliche Länge l und die Gesamtlänge ist R. Das entspricht einem
Polymer mit unterschiedlichen Ladungen an jedem Ende in einem elektrischen Feld (dabei
ignorieren wir die Wechselwirkung der Ladungen untereinander). Wir nehmen den Fall an, in
welchem die einwirkenden Kräfte entlang des Vektors R wirken, so dass die Energie durch
U = −f R gegeben ist.
a) Zunächst untersuchen wir das (N, R, T ) Ensemble, in dem das Polymer eine konstante
Länge R hat und die Kraft f variieren kann. Die allgemeine Form der Zustandsumme
W (N, R, T ) ist kompliziert, aber im Limes R N l ergibt sich eine Gaussfunktion
3R2
,
W (N, R, T ) = C(N ) exp −
2N l2
wobei C(N ) ein N -abhängiger Normierungsfaktor ist. Die Zustandsumme in diesem
(N, f, T ) Ensemble (in dem die Kraft konstant gehalten wird) ist durch eine
Laplacetransformation
Z ∞
1
Ξ(N, f, T ) =
dR W (N, R, T ) e−βf R ,
∆R 0
gegeben. Dabei dient ∆R der Normierung und besitzt Einheiten der Länge. Berechnen
Sie Ξ(N, f, T ).
b) Die oben errechnete Formel gilt nur im Limes R N l. Allerdings kann das exakte
Ergebnis erzielt werden, indem man direkt im (N, f, T ) Ensemble arbeitet. Indem Sie R
als Funktion von l und dem Winkel θi zwischen dem Segment i und dem Vektor R
schreiben, kommen Sie auf die Zustandssumme
Z Y
N
Ξ(N, f, T ) =
dθi dφi sin(θi ) e−βf R .
i=1
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem aus Aufgabe 18. Nutzen Sie nun den Ausdruck, um
die mittlere Gesamtlänge hRi als Funktion der angelegten Kraft zu skizzieren. Der Limes
R N l aus Teil (a) ist gleichbedeutend mit βf l 1. Zeigen Sie, dass in diesem Regime
das exakte Ergebnis die Lösung aus (a) reproduziert.
42. Neue Wege zur Suszeptibilität (6 Punkte)
In Aufgabe 31 haben wir einen Ausdruck für die Suszeptibilität abgeleitet, der von einem
Störungparameter λ abhing. Wir wollen hier eine andere Herleitung aufzeigen:
a) Betrachten Sie den Hamiltonoperator H(λ) = H0 − λA. Zeigen Sie, dass ein
Eigenzustand von H(λ) in erster Ordnung von λ mit den Eigenzuständen von H0
ausgeschrieben werden kann:
X hm|A|ni
|mi
|nλ i = |ni + λ
m − n
m6=n
∂hAi ∂λ b) Die Suszeptibilitat χA =
ist durch
λ=0
2 ∂
1
∂
−βH
=
Sp Ae
− ln(Z)
χA =
∂λ2
β
∂λ
λ=0
λ=0
gegeben. Indem Sie den Ausdruck in Sp bis zur ersten Ordnung von λ entwickeln zeigen
Sie, dass
ρm − ρ n
1 X
hm|A|nihn|A|mi
.
χA =
kB T m6=n
n − m
43. Ehrenfestsches Urnenmodell II (6 Punkte)
Im zweiten Abschnitt der Diskussion des Ehrenfestschen Urnenmodells (siehe Aufgabe 37) soll
die Zeitabhängigkeit des Mittelwertes hni und der Fluktuationen h∆n2 i explizit gefunden
werden.
a) Überzeugen Sie sich zuerst, dass die Dynamik des Modells zeitumkehrinvariant ist, d.h.
die folgenden beiden konditionellen Wahrscheinlichkeiten stimmen überein:
P (n(i + 1) = n|n(i) = m) = P (n(i − 1) = n|n(i) = m)
Hinweis: Während die linke Seite einfach zu finden ist, benötigen Sie für die rechte Seite
eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit und eine Annahme über p(n(i − 1), i − 1)/p(n(i), i);
verwenden Sie hier, dass das System schon nahe am Gleichgewicht sei und p = peq gelte.
b) Zeigen Sie, dass ’n(i) in jedem Punkt ein Maximum annimmt’ (wenn n(i) > N2 ;
anderenfall ein Minimum). Diese paradoxe Feststellung, die auf Boltzmann zurückgeht,
soll bedeuten, dass für n(i) > N2 die Abfolge n(i) > n(i + 1) = n(i − 1) wahrscheinlicher
ist als jede der anderen Abfolgen n(i − 1) < n(i) < n(i + 1) etc. . Zeigen Sie dies durch
Berechnung aller möglichen gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten von n(i − 1) und n(i + 1)
unter der Bedingung, dass n(i) = m > N2 gilt.
Hinweis: Verwenden Sie wieder, dass das System nahe am Gleichgewicht sei, und
p(n, i) = peq (n) gelte.
c) Der zeitabhängige Mittelwert sei definiert durch
hnii =
N
X
p(n(i), i) n(i)
n(i)=0
Leiten Sie die Rekursionsformel
2
hnii = 1 + 1 −
N
hnii−1
ab, in dem Sie die Übergangsmatrix verwenden, und lösen Sie sie mit Anfangswert
hni0 = m0 . Wie verhält sich das Ergebnis für lange Zeiten?
Hinweis: Am einfachsten verifizieren Sie, dass das Ergebnise lautet:
i
N
2
N
+ m0 −
1−
hnii =
2
2
N
d) Die Fluktuationen seien definiert durch:
2
h∆n ii =
N
X
n(i)=0
p(n(i), i)
N
n(i) −
2
2
Bestimmen Sie sie auf analoge Art, und diskutieren Sie das Langzeitverhalten.
Hinweis: Das Ergebnise lautet:
i ! 2 i
N
4
4
N
2
+ m0 −
1− 1−
1−
h∆n ii =
4
N
2
N