¨Ubungen zu Numerik stochastischer Differentialgleichungen

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
J. Schropp
WS 2016/2017
Übungen zu Numerik stochastischer
Differentialgleichungen
http://www.math.uni-konstanz.de/~ schropp/numstoch.html
Blatt 6
Ausgabe: 1.2.2017, Abgabe: 8.2.2017
(6 Punkte)
Aufgabe 1
Wiederholen Sie in Matlab die Rechnungen von den Aufgaben 1 und 2, Blatt 5, indem Sie
mit der dort vorgestellten Technik die schwache Konvergenzordnung (für die Testfunktion
g = id) des Euler-Maruyama- und des Milstein-Verfahrens bestimmen.
(6 Punkte)
Aufgabe 2
Gegeben sei die SDGL
dSt = rSt dt + σSt dWt ,
S0 = S̄ ∈ R,
t ∈ [0, T ],
(1)
welche den Preis einer Aktie modelliert. Die Daten seien durch r = 0.1, σ = 0.01, S̄ = 1
und T = 1 gegeben.
a) Zur Überprüfung ob schwache Konvergenz auch ohne genaue Approximation der
Pfade erzielt werden kann, betrachten wir für (1) das Verfahren
√
Ŷtn+1 = Ŷtn + r Ŷtn h + σ Ŷtn hξn ,
Ŷ0 = S̄,
n<N
mit h = T /N und unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen ξn , die
P (ξn = 1) = P (ξn = −1) =
1
2
erfüllen. Dieses Verfahren sollte mit Ordnung 1 schwach konvergieren, sofern die
Testfunktionen genügend glatt sind.
1) Führen Sie analog zu Aufgabe 1 in Matlab eine numerische Untersuchung der
schwachen Konvergenz durch für die Testfunktionen g(x) = x bzw. g(x) = x2 .
Wählen Sie dazu 200000 Pfade zur approximativen Erwartungswertbestimmung.
2) Wählen Sie nun die (nur Lipschitz-stetigen) Testfunktionen g(x) = e−rT (x −
K)+ bzw. g(x) = e−rT (K − x)+ und überprüfen Sie, ob der Fehler
E(g(S
))
−
E(g(
Ŷ
))
T
T immer noch die Konvergenzordnung 1 erreicht (wählen Sie K = 1.105).
b) Berechnen Sie mit dem Verfahren aus Teil a) für N = 1000 eine möglichst gute
Näherung für den Wert einer asiatischen Call-Option zum Zeitpunkt t = 0 mit der
Auszahlungsfunktion
+
Z
1 T
V (ST ) = ST −
St dt .
T 0
Verwenden Sie hier folgende Daten: r = 0.04, σ = 0.25, S̄ = 100 und T = 1.
(6 Punkte)
Aufgabe 3
a) Seien X eine standard-normalverteilte Zufallsvariable und f : R → R eine monoton wachsende Funktion. Zeigen Sie für f˜(x) := 21 (f (x) + f (−x)) folgende (Un-)
Gleichungen:
1
E(f˜(X)) = E(f (X)) und V (f˜(X)) ≤ V (f (X)).
2
Hinweis: Zeigen Sie für die Ungleichung zunächst cov(f (X), f (−X)) ≤ 0.
b) Betrachten Sie erneut die SDGL (1) mit den zugehörigen Daten, ersetzen Sie aber
σ = 0.01 durch σ = 0.5. Berechnen Sie in Matlab die diskreten Prozesse
√
Sn+1 = Sn (1 + r∆t + σ ∆tXn ),
√
−
Sn+1
= Sn− (1 + r∆t + σ ∆tXn− )
mit Xn ∼ N (0, 1) und Xn− := −Xn für n = 0, 1 . . . , N zur Schrittweite ∆t =
T
. Wählen Sie N = 1000 und veranschaulichen Sie die beiden Lösungspfade in
N
einem Schaubild. Tragen Sie zudem den Pfad S̃n := 21 (Sn + Sn− ) zusammen mit dem
erwarteten Pfad in das Schaubild mit ein.
c) Betrachten Sie nun für die Funktion f aus Teil a) die Auszahlungsfunktion zum
Zeitpunkt T
+
√
1 2
f (X) := S̄ exp
r − σ T + σ TX − K
2
einer Call-Option für die gleichen Daten wie in Teil b) und K = 1.105 mit X ∼
N (0, 1). Berechnen Sie damit in Matlab approximativ den Optionswert zum Zeitpunkt t = 0
V0 = e−rT E(g(X)), X ∼ N (0, 1)
˜ Vergleichen Sie numerisch auch die Varieinmal mit g = f und einmal mit g = f.
anzen V (f (X)) und V (f˜(X)).
Übungstermin: 15.2.2017.