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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 10 Impuls
10 Impuls
Vertiefung und Kompetenzüberprüfung
Martin Apolin (Stand April 2011)
Impulssatz allgemein
A1 Nimm an, eine Milliarde Chinesen springt gleichzeitig hoch (siehe Abb. 1 und Kap. 10. 1, S. 100).
Nimm vereinfacht an, dass sich alle Chinesen an derselben Stelle befinden. Nimm weiters an, dass die
Chinesen einen Meter hoch springen.
a Wie müsste man den letzten Satz eigentlich exakter
formulieren?
b Mit welcher Geschwindigkeit fliegt die Erde zu Beginn in die Gegenrichtung? Dazu musst du zuerst die
Absprunggeschwindigkeit der Menschen ausrechnen
(siehe S. 94, Kap. 9.7).
c Welche Beschleunigung wirkt auf die Erde während
ihres „freien Fluges“? Berechne mit diesem Wert, wie
weit die Erde fliegt, bevor sie ihren „höchsten Punkt“
erreicht hat.
A3 Wenn aus einer mit Pressluft gefüllten Rakete die
Luft nach rechts austritt, bewegt sich diese dadurch
nach links (Abb. 3 oben). Wie ist es aber im umgekehrten Fall, wenn im Inneren ein Vakuum herrscht und die
Luft einströmt? In welche Richtung bewegt sich die Rakete nach dem Einströmen der Luft (Abb. 3 unten)?
Abb. 3: Die obere Rakete bewegt sich durch
den Rückstoß nach
links. Wohin bewegt
sich aber die untere
Rakete?
(Grafik: Janosch Slama)
A4 Was wiegt die Zeit? a Hängt das Gewicht einer
Sanduhr (Abb. 4) davon ab, ob der Sand in Ruhe ist
oder gerade rinnt? b Was passiert, wenn der Sand gerade zu rieseln beginnt bzw. das Rieseln gerade aufhört? Versuche zuerst mit Hausverstand zu argumentieren (also heuristisch) und dann die Effekte zu quantifizieren.
Abb. 4 Wird die Sanduhr leichter, wenn der Sand rieselt ?
Grafik: Janosch Slama)
Abb. 1 (Grafik: Janosch Slama; siehe Abb. 10.6, S. 100)
A2 Ein Astronaut hat
sich zu weit von der
Raumbasis entfernt, als
ihm der Treibstoff ausging. Könnte er mit Hilfe des Magneten wieder zurück zur Raumbasis (Abb. 2)?
Abb. 2 Grafik: Janosch Slama)
A5 Im Film „Armageddon“ entdeckt ein Hobbyastronom einen Asteroiden mit einem Durchmesser von ca.
1000 km, der geradewegs auf die Erde zusteuert. Träfe
er auf, würde er jedes Leben auf ihr auslöschen. Der
NASA bleiben 18 Tage, um eine Lösung für dieses Problem zu finden. Die einzige Möglichkeit, die Erde vor dieser Katastrophe zu bewahren, ist eine Sprengung des
Asteroiden von innen durch eine nukleare Bombe. Welche der Bahnen der Bruchstücke in Abb. 5 ist nach der
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Explosion möglich: a, b oder beide? Wie kann man
das begründen?
A8 Mit welchem physikalischen Problem hätte prinzipiell jeder Superheld zu kämpfen, der fliegen kann (siehe
Abb. 7)?
A9 In vielen Filmen kann man in vielen Variationen folgende Situation sehen: Der Held schießt mit einer Waffe auf den Bösewicht (oder auch umgekehrt), und dieser fliegt, vom Projektil getroffen, einige Meter nach
hinten. Was ist an dieser Darstellung falsch?
Abb. 5: Wie können die Bruchstücke des Asteroiden nach der
Explosion weiterfliegen? (Grafik: Martin Apolin)
A6 Ein Pinguin steht am linken Ende eines Schlittens,
der sich reibungsfrei auf Eis befindet (Abb. 6). Schlitten und Pinguin haben die selbe Masse. Der horizontale Abstand der Schwerpunkte soll 1 m betragen.
Nun watschelt der Pinguin 2 m an das rechte Ende.
a Wie weit bewegt sich dadurch der Gesamt-KSP
Schlitten-Pinguin? b Wie weit bewegt sich der KSP des
Schlittens relativ zum Boden? c Wie weit bewegt sich
der KSP des Pinguins relativ zum Boden?
Abb. 6 (Grafik: Martin Apolin)
A7 Flugzeuge, Helikopter, Vögel, Raketen, … . Was
passiert aus Sicht des Impulssatzes mit bzw. bei allen
fliegenden Objekten?
Abb. 7 zu A8: Superalbert in Aktion (Grafik: Janosch Slama;
siehe auch Abb. 40.8, BB8). Mit welchem Problem hätte er zu
kämpfen?
A10 Im Film „X-Men: Der letzte Widerstand“ gibt es eine Szene mit dem Oberschurken Magneto, der, wie
sein Name schon vermuten lässt, über magnetische Superkräfte verfügt. Ein Konvoi mit vier ziemlich fetten
Autos und einem Sattelschlepper fährt auf der Straße
auf Magneto zu. Dieser bewegt nur ganz cool die Hände und lässt aus einiger Entfernung zuerst die PKWs
nach links und rechts von der Straße fliegen, koppelt
dann den Anhänger des Trucks ab und bringt diesen
ziemlich abrupt zum Stehen - wohl durch seine magnetischen Kräfte. Danach steht er unbeeindruckt weiter
auf der Straße. Was ist an dieser Szene höchst unrealistisch?
Plastische und elastische Stöße, Kraftstoß
A11 Die Sache in Abbildung 8 sieht schlimmer
aus als sie tatsächlich
ist. Warum? Weil der
Amboss die untere Person abschirmt. Aber
wovor: vor dem Impuls
oder der Energie?
A12 Zwei Kugeln stoßen
im dreidimensionalen
Raum elastisch zusammen (Abb. 9; p und E k
bleiben also erhalten).
Die Kugeln werfen
Schatten. Was bewahren
dann die kollidierenden
Schatten, wenn man annimmt, dass sie ebenfalls
eine Masse haben?
Abb. 8: Ist nur halb so schlimm
(Grafik: Janosch Slama).
Abb. 9 (Grafik: Janosch Slama)
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A13 Der Meteorit, der den Barringer-Krater (Abb. 10)
schlug, hatte eine Masse von etwa 1,5·108 kg und
schlug mit geschätzten 12 km/s ein. Wie weit hat sich
die Erde bis heute dadurch bewegt? Nimm dazu vereinfacht an, dass der Meteorit senkrecht eingeschlagen hat. Die Masse der Erde beträgt 6∙1024 kg.
Abb. 10: Der Barringer-Krater von oben (Quelle: NASA; siehe
auch Abb. 10.7, S. 100).
A14 In Abb.11 siehst du die Geschwindigkeitsverläufe
von Fußspitze und Ball bei einem Fußballschuss. Nimm
an, der Stoß ist zu 100 % elastisch, das Bein wird
während des Stoßes nicht mehr aktiv beschleunigt,
und die Masse des Fußballs beträgt 380 g. Wie groß
ist dann die „wirksame Masse“ des Beines?
Abb. 11: Geschwindigkeits-Zeit-Verläufe von Fußspitze und Ball
bei einem Schuss (Grafik: Janosch Slama; siehe Abb. 10.14, S.
102).
A15 Für diesen Versuch brauchst du zwei elastische
Bälle mit möglichst unterschiedlicher Masse. Die absolute Masse der Bälle spielt dabei keine Rolle. Halte den
kleinen Ball in geringem Abstand über dem großen
Ball (Abb. 12). Lasse beide Bälle nun etwa aus Bauch-
höhe fallen. Das Zusammenspiel beider Bälle führt zu
einem verblüffenden Ergebnis: Der obere Ball fliegt
nach dem Aufprall am Boden weit in die Höhe. Man
nennt diesen Versuch auch Ballschleuder. Überlege, warum der kleine Ball so hoch fliegt, und schätze ab, um
wie viel höher er springt als er fallen gelassen wird.
Du brauchst dazu die Infobox „4-mal Wumm“ auf
S. 103 und die Formel für
den Zusammenhang von
Höhe und Geschwindigkeit
(siehe Infobox Energiegleichsetzung S. 94, BB5). Achtung: Wenn du die Bälle
Abb. 12 (Grafik: Martin
nicht exakt übereinander
Apolin)
hältst, dann fliegt der obere
Ball mit Karacho zur Seite!
A16 Der englische Begriff Swing-by – auch als Fly-by
oder Gravity-Assist bezeichnet - ist eine Methode der interplanetaren Raumfahrt, bei der eine Raumsonde dicht
an einem massereichen Körper, meist einem Planeten,
vorbeifliegt. Dank der Gravitation des massereichen
Körpers ändert sich die Flugbahn des Raumflugkörpers,
und dieser wird dabei beschleunigt (Abb. 13).
Abb. 13: Durch den nahen Vorbeiflug an Planeten wurden die
Sonden Voyager 1 und 2 beschleunigt (Grafik: Janosch Slama;
siehe auch Abb. 26.2, BB7).
Swing-bys können dazu dienen, die Flugzeiten von
Sonden zu verkürzen, so wie das bei Voyager 1 und 2
der Fall war. Ohne Swing-by hätte Voyager 2 mehr als
doppelt so lange gebraucht, um den Neptun zu errei-
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chen. Swing-bys werden aber nicht nur dazu verwendet, um die Reisezeit zu verkürzen, sondern um
Raumsonden mit Trägerraketen zu starten, die für den
direkten Flug zum Ziel zu schwach sind (siehe
Abb. 14).
Abb. 14: Benötigte Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnensystem (strichlierte Linie) und Geschwindigkeit der Voyager 2
(durchgezogene Linie). Ohne Swing-by-Manöver hätte diese
nicht aus dem Sonnensystem fliegen können (Quelle: NASA).
a Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit des Jupiter?
Du brauchst das Ergebnis für die nachfolgenden Berechnungen. Die benötigten Daten findest du in Tabelle 1. Eine Astronomische Einheit (AE) entspricht
rund 150 Milliarden Meter.
Merkur Venus
Erde
Mars Jupiter
Abstand zur Sonne
0,39
0,72
1
1,52
5,2
in AE
Umlaufzeit in Erd0,24
0,62
1
1,88
11,9
jahren
Masse in Erdmas0,06
0,81
1
0,11
318
sen (ohne Monde)
Masse in Prozent
der gesamten Pla- 0,013
0,18
0,22
0,02
71,2
netenmasse
Durchmesser in
0,38
0,94
1
0,53
22,4
Erddurchmessern
Neigung der Planetenbahn zur Erd7°
3,4°
0°
1,85°
1,3°
bahn (Ekliptik)
Unterschied in den
2,14%
0%
0,01% 0,43% 0,12%
Halbachsen a und b
mittlere Dichte des
5,43
5,24
5,52
3,94
1,31
Planeten in kg/dm3
prähis- prähis- prähis- prähis- prähisEntdeckungsjahr
torisch torisch torisch torisch torisch
Tab. 1: Daten zu den innersten 5 Planeten (siehe auch
Tab. 12.1, S. 12, BB6)
b Was ist ein Swing-by physikalisch gesehen für ein
Vorgang (wie in Abb. 13 und 15)?
c Welcher maximale Geschwindigkeitszuwachs ist für eine
Sonde bei einem Swing-by möglich? Eine exakte Lösung
des Problems ist sehr kompliziert. Wir können aber eine
Obergrenze des Geschwindigkeitszuwachses abschätzen.
Nimm dazu vereinfacht an, dass der Vorgang so abläuft
wie in Abb. 15. Vergleich dein Ergebnis mit Abb. 14. Überlege außerdem, warum der Planet eine möglichst große
Masse haben sollte.
Abb. 15: Sehr idealisiertes Modell eines Swing-by (Grafik: Martin
Apolin).
Hilfe zu A1 a: Exakt formuliert müsste es eigentlich
heißen: „Nimm weiters an, dass die Chinesen beim
Sprung ihren Körperschwerpunkt (KSP) einen Meter heben.“
Hilfe zu A1 b: Zuerst musst du überlegen, mit welcher
Geschwindigkeit die Chinesen wegspringen. Wenn sie
ihren KSP einen Meter heben, dann benötigen sie dazu
eine Absprunggeschwindigkeit von
2
4,43 m/s (siehe S. 94, Kap. 9.7). Nun kann man den
Impulssatz anwenden. Vor dem Absprung ist der Gesamtimpuls null, daher muss er es auch nach dem Absprung sein:
m Erde·v Erde + m Chinesen·v Chinesen = 0
Wenn die Chinesen durchschnittlich 60 kg haben, dann
ist ihre Gesamtmasse 6·1010 kg. Die Masse der Erde beträgt 6·1024 kg, ist also um den Faktor 1014 größer!
Wenn man nach v Erde auflöst, erhält man -4,43·10-14 m/s.
Das Minus zeigt an, dass sich die Erde in Gegenrichtung
der springenden Chinesen bewegt.
Hilfe zu A1 c: Welche Beschleunigung wirkt auf die
Chinesen während ihres Sprungs? Die Erdbeschleunigung g. Welche Beschleunigung wirkt auf die Erde
während ihres „Fluges“? Das kann man mit dem zweiten und dritten Newton’schen Grundgesetz berechnen
(siehe Kap. 8.3 und 8.5). Die Kraft, die die Erde wäh-
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rend der Flugsphase auf die Chinesen ausübt, ist genau gleich groß, aber entgegengesetzt wie die Kraft,
die die Chinesen auf die Erde ausüben:
F Erde – Chinesen = -F Chinesen – Erde.
Kraft ist aber wiederum Masse mal Beschleunigung. Es
gilt daher: m Erde·a = -m Chinesen∙g. Wenn man alles einsetzt und nach a auflöst, erhält man - 9,81∙10-14 m/s2.
Das Minus zeigt an, dass die beiden Beschleunigungen
in die Gegenrichtung zeigen. Wenn man nun die Gleichung
√2 nach h umformt und einsetzt, erhält
man für die „Flughöhe“ der Erde 10-14 m. Genau dasselbe kommt bei der simplen Berechnung mit dem
Gesamt-KSP heraus (siehe „Unvorstellbar klein“,
S. 100).
Hilfe zu A2: Die Antwort lautet: Nein! Es gibt aber
verschiedene Möglichkeiten, dieses Nein zu begründen. Man kann es so sehen: Wenn der Gesamtschwerpunkt des Astronauten und der Rakete vorher
in Ruhe waren, dann müssen sie auch nachher in Ruhe sein. Es hat ja keine Kraft von außen gewirkt. Oder
man kann argumentieren: Du kannst keine Energie für
die Bewegung erhalten, wenn du auch keine von außen in das System steckst. Und intuitiv kann man das
Nein verstehen, wenn man die Magnet-Rakete zweimal verändert und sich dann fragt, in welche Richtung
sie nun fliegen soll (Abb. 16).
Abb. 16 (Grafik: Janosch Slama)
Hilfe zu A3: Die obere Rakete in Abbildung 3 bewegt
sich nach dem Ausströmen nach links. Warum? Wenn
der Gesamtschwerpunkt vorher in Ruhe war, dann
muss er auch nachher in Ruhe sein. Wenn sich das
Gas nach rechts bewegt, muss sich somit die Rakete
nach links bewegen. Wie ist das bei der unteren Rakete? Bewegt sich nachher das Gas in irgendeine Richtung? Nein, das Gas ist eingeströmt und in Ruhe.
Kann sich somit die Rakete bewegen? Nein, das wäre
eine Verletzung des Impulssatzes. Es gibt aber noch
eine zweite Erklärungsmöglichkeit. Mit Hilfe der Kräfte,
die auf die Wand wirken.
Im ersten Fall wirkt die Kraft an der Stelle des Lochs
nicht auf die Rakete, sondern geht ins Leere (siehe
Abb. 17 oben). Die Summe der Kräfte auf die Rakete ist
links somit größer, und deshalb beschleunigt die Rakete
auch dorthin. Im zweiten Fall wirkt die Kraft zwar auch
nicht auf das Loch, aber die Luft strömt ein und drückt
gegen die linke Wand (Abb. 17 unten). Deshalb sind die
Kräfte von beiden Seiten gleich groß, und die Rakete
bewegt sich nicht.
Bewegt sie sich gar
nicht? Doch, sie bewegt
sich kurz. Wann? Solange die erste Luft einströmt und noch nicht
die linke Wand erreicht
hat, bewegt sich die
Rakete nach rechts.
Abb. 17 (Grafik: Janosch Slama).
Hilfe zu A4: Zunächst die heuristische Erklärung:
a: Das Gewicht ist in beiden Fällen gleich groß. Am einfachsten kann man sich das so überlegen: Wenn der
Sand kontinuierlich rieselt, also der „Sandstrom“ konstant ist, dann senkt sich dabei der KSP des Sandes mit
gleichbleibender Geschwindigkeit ab. Bei gleichbleibender Geschwindigkeit treten keine Beschleunigungen
und somit auch keine Kräfte auf. Daher tritt, zusätzlich
zum Gewicht, keine weitere Kraft auf, das Gewicht ist
„normal“.
Eine andere Möglichkeit der Erklärung: Zwar befindet
sich ein Teil des Sandes im freien Fall, aber es entsteht
eine zusätzliche Kraft beim Aufprallen des Sandes. Diese Kraft ist genau so groß wie die „fehlende Gewichtskraft“ durch den gerade fallenden Sand.
b Wenn der Sand zu rieseln beginnt, erfährt er eine Impulsänderung nach unten. Der Rest der Uhr muss daher
einen gleich großen Gegenimpuls nach oben erhalten,
und das Gewicht sinkt. Wie lang? So lang, bis das erste
Sandkorn auf den Boden aufprallt. Dann ist es so wie
bei a. Genau umgekehrt ist es am Ende der Laufzeit.
Dann ist kurze Zeit das Gewicht größer.
Man kann dieses Beispiel aber nicht nur qualitativ, sondern auch quantitativ erklären. Dazu muss man ma-
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 10 Impuls
thematisch beweisen, dass die Kraft, die durch den
Aufprall des Sandes entsteht, genau so groß ist wie
das fehlende Gewicht durch den gerade fallenden
Sand, also Gf = Fa (siehe Tabelle 2).
Die Gesamtkraft des Sandes auf die Waagschale (Fges) ist
das Gewicht des gesamten Sandes (G) minus das Gewicht des gerade fallenden Sandes (G f) plus die Kraft,
die durch den Aufprall des Sandes entsteht (Fa):
Fges = G – Gf + Fa = G - I ·tf·g + I ·tf·g
M
G = M·g
∆
∆
Gesamtmasse des Sandes
Gesamtgewicht des Sandes in
der Uhr
I = Δm/Δt
„Sandstrom“: Menge des
Sandes, der pro Zeit durch
eine vertikale
Querschnittsfläche rieselt.
m f = I ·t f
Masse des Sandes, der gerade frei fällt.
G f = m f∙g= I·t f·g
Gewicht des Sandes, der gerade frei fällt.
∆ ∆
∆
Kraft, die der aufprallende
Sand erzeugt.
s
2
Fallhöhe des Sandes
Fallzeit des Sandes
Tabelle 2 zu A4
Berechnen wir zunächst das Gewicht des gerade fallenden Sandes. Dazu brauchen wir zuerst den „Sandstrom“, also die Menge an Sand, die pro Zeit durch
einen bestimmten vertikalen Querschnitt fließt: I =
Δm/Δt. Wir müssen weder Δm noch Δt bestimmen,
weil sich I später wegkürzt. Die Fallhöhe nennen wir s.
Die Fallzeit des Sandes ergibt sich dann durch
(siehe Kap. 6.4.1 S. 55). Die Masse des Sandes, der sich gerade in der Luft befindet (m f), ist
Stromstärke mal der Fallzeit, also m f = I ·t f. Das „fehlende“ Gewicht ist somit G f = I ·t f·g.
Wenn der Sand gerade fällt, gilt somit Fges = G. Wenn
der Sand gerade zu rieseln beginnt und die ersten Körner gerade noch nicht aufgeprallt sind, ist Fa null und es
gilt Fges = G – Gf. Zu Beginn zeigt also die Waage gerade weniger. Wenn der Sand gerade zu rieseln aufhört
und die letzten Körner gerade aufprallen, ist Gf null und
es gilt Fges = G + Fa. Am Ende zeigt also die Waage gerade mehr.
Hilfe zu A5: Diese Frage ist ganz ähnlich wie F1 auf
S. 99. Weil keine Kräfte von außen wirken, muss sich
der Gesamtschwerpunkt sämtlicher Trümmer unbeeindruckt weiterbewegen. Daher scheidet Möglichkeit b
aus, weil hier die Bahn des Gesamt-KSP einen Knick
machen müsste.
Hilfe zu A6 a: Wenn der Schlitten reibungsfrei gelagert
ist, dann treten keine äußeren Kräfte auf. Daher muss
der Gesamt-KSP an derselben Stelle bleiben.
b + c: Weil Pinguin und Schlitten dieselbe Masse haben,
bewegen sie sich auch während des Watschelns gleich
schnell, aber in die Gegenrichtung. Der Gesamt-KSP
bleibt dabei natürlich immer an derselben Stelle. Der
Pinguin watschelt relativ zum Brett 2 m nach rechts.
Das Brett bewegt sich dabei aber relativ zum Boden 1 m
nach links. Also hat sich der Pinguin relativ zum Boden
um 1 m bewegt.
Nun berechnen wir die Aufprallkraft Fa. Dazu müssen
wir zuerst die Aufprallgeschwindigkeit berechnen.
Weil der Sand zu Beginn in Ruhe ist, entspricht die
Aufprallgeschwindigkeit der Geschwindigkeitsänderung. Auf den Sand wirkt die Erdbeschleunigung g.
Aus g = Δv/t f folgt v = g·t f. Die Kraft auf die Waagschale, die durch das Abbremsen zu Stande kommt,
ergibt sich aus der Impulsänderung pro Zeit
∆
∆ ∆
. Du siehst also, dass das Ge∆
∆
wicht des fallenden Sandes G f genau so groß ist wie
die Aufprallkraft Fa.
Abb. 18 zu A6 (Grafik: Martin Apolin)
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Hilfe zu A7: Man kann es so sagen: Die Schwerkraft
zieht alle Objekte nach unten. Sie würden daher vertikalen Impuls ansammeln und abstürzen, wenn sie
nichts dagegen unternehmen. Daher müssen sie diesen Impuls wieder loswerden. Das schaffen sie durch
das Rückstoßprinzip: Sie müssen etwas nach unten in
Bewegung setzen. Bei Flugzeugen, Helikoptern und
Vögeln ist es die Luft, bei einer Rakete der Brennstoff.
Durch den dabei entstehenden Rückstoß wird das Ansammeln des Impulses verhindert.
Abb. 19: Die Träger-Rakete
Saturn V beim Start. Offensichtlich fliegt hinten ganz
schön was raus (Foto: NASA).
Abb. 20: Auch beim Helikopter fliegt ganz schön was
nach unten, wie man hier sehen kann (Foto: U.S. Navy).
Bei Rakete und Helikopter ist das sofort ersichtlich
(Abb. 19 und 20). Für ruhende Tragflächen von Flugzeugen oder von gleitenden Vögeln bedeutet das,
dass diese die Luft nach unten ablenken müssen (Abb.
21). Die Luftströmung muss daher nach der Tragfläche
nach unten zeigen, auch wenn das oft in Abbildungen
falsch dargestellt ist. Wäre das nicht der Fall, könnten
Flugzeuge und Vögel nicht fliegen.
Abb. 21: Luftablenkung nach unten bei einer Tragfläche im
Windkanal (Quelle: NASA).
Hilfe zu A8: Auch der Flug von Superhelden unterliegt
dem Rückstoßprinzip. Er muss etwas nach unten beschleunigen, um die Schwerkraft zu kompensieren, und
etwas gegen die Flugrichtung, um nach vorne zu beschleunigen (siehe A7). Er braucht also eine Art Treibstoff und würde dabei im Flug ständig an Masse verlieren.
Hilfe zu A9: Es gilt die Impulserhaltung. Der Impuls
muss vom Schützen zuerst auf das Projektil übertragen
werden, und dieses überträgt ihn dann wieder auf den
Getroffenen. Wenn dieser wegfliegt, dann muss der
Impuls des Projektils so groß gewesen sein, dass vorher
auch der Schütze beim Abschuss nach hinten geflogen
ist. In Filmen stehen die Schützen aber immer wie angewurzelt herum. Die Impulserhaltung verbietet solche
Szenen.
Hilfe zu A10: Es wird der Impulssatz verletzt. Ein Objekt alleine kann seine Geschwindigkeit nicht ändern.
Das gilt auch für das Abbremsen. Die Sache mit den
von der Straße gefegten PWKs ist daher natürlich auch
nicht astrein. Konzentrieren wir uns aber auf den TruckAnhänger. Wenn Magneto diese zum Stehen bringt,
müsste er, weil er natürlich eine viel geringere Masse
hat, mit Karacho nach hinten wegfliegen. Im Prinzip
handelt es sich hier um einen Stoßvorgang mit Fernwirkung. Aber selbst wenn er diese Fernkräfte aufbrächte,
könnte er den Truck-Anhänger niemals zum Stehen
bringen. Es glaubt ja auch niemand ernsthaft, dass man
diesen mit den Armen stoppen kann? Es handelt sich
daher um einen Doppeltfehler: Magneto müsste nach
hinten wegfliegen, und der Truck würde dadurch nur
unmerkbar langsamer werden.
Hilfe zu A11: Was schirmt der Amboss ab? Es ist zunächst einfacher zu sagen, was er nicht abschirmen
kann: den Impuls. Wenn der Stoß unelastisch ist, wird
der Impuls vom Hammer auf den Amboss übertragen.
Wenn der Stoß elastisch ist, wird sogar der doppelte
Impuls auf den Amboss übertragen, weil sich der Hammer dann wieder mit v nach oben bewegt (Anm.: Hier
ist vereinfacht angenommen, dass die Masse des Ambosses viel viel größer ist als die des Hammers). Also
kann der Amboss niemals vor dem Impuls schützen.
Wie ist das aber mit der Energie? Der Stoß zwischen
Hammer und Amboss ist hauptsächlich unelastisch.
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Wieso? Sonst würde sich der Hammer mit Karacho
wieder vom Amboss wegbewegen. Bei einem unelastischen Stoß zwischen zwei sehr ungleich schweren
Gegenständen geht sehr viel kinetische Energie verloren (siehe Abb. 22). Und vor dieser wird man geschützt. Sie wandelt sich großteils in Wärme um.
Hilfe zu A14: In der Infobox „4-mal Wumm“ auf S.
103 findest du für die Geschwindigkeit des vorher ruhenden Objekts (in unserem Fall der Ball) nach einem
.
elastischen Stoß
In dieser Gleichung sind alle Variablen bis auf m1, die
„wirksame“ Masse des Beines, bekannt. Die Geschwindigkeit des Balles nach dem Aufprall (v2‘) ist knapp 120 km/h
(rund 33 m/s). Die Geschwindigkeit des Fußes bei Beginn des Aufpralls (v1) ist 80 km/h oder rund 22 m/s.
Die Masse des Balles ist 0,38 kg. Wenn man einsetzt,
22 m/s. Daraus
bekommt man 33 m/s
,
kann man für m1 1,14 kg berechnen. Nach Brüggemann 1984 beträgt die Masse eines Fußes tatsächlich
etwa 1 kg. Das bedeutet, dass beim Fußballschuss die
„wirksame Masse“ praktisch nur die des Fußes ist und
nicht die des gesamten Beins.
Abb. 22 (Grafik Janosch Slama; siehe auch Abb. 10.10, S. 101).
Hilfe zu A12: Was behält der Schatten nach dem Zusammenstoß? Der Impuls bleibt immer erhalten. Weil
der Impuls ein Vektor ist, bleibt aber auch jede seiner
Komponenten erhalten (siehe auch F4 S. 99, Kap.
10.1). Und somit behalten auch die „schweren“
Schatten ihrem Impuls. Was ist aber mit der Energie?
Sie bleibt nicht erhalten. Wieso? Ganz einfach. Stell
dir vor, eine Kugel bewegt sich vorher parallel zum
Boden und nachher senkrecht dazu. Dann hat der
Schatten scheinbar seine gesamte kinetische Energie
verloren.
Hilfe zu A13: (Anm.: Diese Berechnung entspricht
F18 aus Kap. 10, ist aber mit genaueren Werten
durchgeführt.) Wir nehmen an, dass die Erde zunächst
ruht, v2 also null ist. Es gilt dann m1v = (m1 + m2) v’.
Weil die Masse des Meteoriten nach dem Stoß nicht
ins Gewicht fällt, können wir m1 weglassen und bekommen vereinfacht: m1v = m2v’ bzw. v’ = v1m1/m2.
Für m2 setzen wir die Erdmasse ein: 6·1024 kg. Der Impuls des Meteoriten ist: 1,5·108 kg · 4,3·104 m/s ≈
6,5·1012 kgms–1. v’, also die Geschwindigkeit der Erde
nach dem Aufprall, ist daher rund 10–12 m/s. Seit dem
Einschlag sind 50.000 Jahre oder 1,6·1012 s vergangen. Die Erde hat sich durch den Aufprall inzwischen
also um etwa 1,7 m weiterbewegt.
Hilfe zu A15: Bei der sogenannten Ballschleuder treten
zwei Stöße kurz hintereinander auf. Im Folgenden sind
Geschwindigkeiten nach unten mit negativem Vorzeichen versehen. Anfangs fallen beide Bälle mit gleicher
Geschwindigkeit –v zu Boden (Abb. 23 a und b). Die
momentane Geschwindigkeit ergibt sich aus
2 ,
wobei h die bisherige Fallstrecke angibt. Dann trifft der
große Ball auf den Boden. b zeigt die Situation genau
beim Beginn des Aufpralls. Der große Ball wird nach
oben reflektiert. Bei einem angenommenen vollkommen elastischen Stoß wird dabei der Geschwindigkeitsvektor umgedreht. In diesem Augenblick hat der kleine
Ball aber noch die Geschwindigkeit -v (c). Großer und
kleiner Ball treffen also mit jeweils v aufeinander.
Abb. 23: a) die Bälle werden gerade fallen gelassen; b) der untere
Ball prallt gerade auf; c) der untere Ball wurde reflektiert und
fliegt wieder nach oben; d) die selbe Situation wie in c), aber aus
Sicht des großen Balles; e) der kleine Ball nach dem Aufprall aus
Sicht des großen Balles; f) die Bälle nach dem Aufprall aus der
Sicht des ruhenden Beobachters (Grafik: Martin Apolin).
© Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2010. | www.oebv.at | Big Bang 5 | ISBN: 978-3-209-04868-4
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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 10 Impuls
Um den spektakulären Abflug des kleinen Balles zu
verstehen, ist es am einfachsten, nun das Bezugssystem zu wechseln. Wir legen dieses in Gedanken in
den großen Ball (d). Die Situation sieht also so aus: der
kleine Ball prallt mit -2v auf den großen auf. Wenn
wir annehmen, dass dessen Masse viel viel kleiner ist,
wird diese Geschwindigkeitskomponente einfach umgedreht. Aus dieser Sicht ist es so, als würde der kleine Ball an einer Wand reflektiert (siehe „4-mal
Wumm“ auf S. 103). Seine Geschwindigkeit beträgt
danach +2v (siehe Abb. 23 d + e). Zum Schluss führen
wir eine Rücktransformation durch und sehen uns die
Situation wieder aus Sicht des Bodens an. Weil der untere Ball viel schwerer ist, verändert sich seine Geschwindigkeit praktisch nicht, er hat also nach der Reflexion immer noch +v. Der kleine Ball hat +2v relativ
zum großen Ball und somit nun zum Boden +3v (Abb.
23 f). Bei dreifacher Geschwindigkeit kann er aber
nun 9-mal so hoch fliegen.
Hilfe zu A16 a: Der Jupiter ist 5,2 AE von der Sonne
entfernt, also 5,2·1,5·109 m = 7,8·1011 m. Der Umfang seiner vereinfacht angenommen Kreisbahn beträgt daher 4,9·1012 m. Dafür benötigt er 11,9 Jahre
oder 3,75·108 Sekunden. Seine Bahngeschwindigkeit
beträgt daher 13,1 km/s. Zum Vergleich: die Erde bewegt sich mit etwa 30 km/s um die Sonne.
Hilfe zu A16 b: Das ist ein Stoßvorgang, vergleichbar
mit einem elastischen Stoß. Darin unterscheidet sich
der physikalische Stoßbegriff vom Alltag, in dem man
nur dann vom Stoß spricht, wenn Objekte zusammenstoßen, also direkten Kontakt haben.
verlässt die Sonde aus Sicht des Planeten diesen wiederum mit v +u. Aus Sicht eines ruhenden Beobachters
kommt aber noch die Schnelligkeit des Planeten dazu.
Die Sonde verlässt den Planeten daher mit v+2u. Sie hat
die doppelte Schnelligkeit des Planeten dazubekommen. Das trifft auf alle elastischen Stöße zu, bei denen
sich der schwerere Stoßpartner bewegt (siehe auch
Abb. 23 c+f).
Der Jupiter hat eine Geschwindigkeit von rund 13 km/s.
Die Voyager 2 hatte vor dem Swing-by am Jupiter rund
10 km/s (Abb. 14). Nachher könnte sie daher maximal
36 km/s haben. Tatsächlich hatte sie etwa 20 km/h,
nachdem sie die Anziehungskraft des Jupiter überwunden hat (also nach der „Zacke“ nach oben; siehe
Abb. 14). Wir haben ja nur den maximal möglichen Geschwindigkeitszuwachs unter Idealbedingungen abgeschätzt.
Die Masse des Planeten muss sehr groß sein, damit die
Bahn der Sonde stark genug abgelenkt wird.
Abb. 24: Das Swing-by-Manöver aus der Sicht eines ruhenden
Beobachters, etwa der Sonne. Weil es diesem Fall besser zu verstehen ist, sind die Beträge der Geschwindigkeiten eingezeichnet,
also die Schnelligkeiten.
Hilfe zu A16 c: Die Geschwindigkeit, die die Sonde in
unserem idealisierten Beispiel dazubekommt, ist die
zweifache Planetengeschwindigkeit. Warum? Betrachten wir im Folgenden nur die Geschwindigkeitsbeträge, also die Schnelligkeit. Die Sonde fliegt zu Beginn
aus Sicht eines ruhenden Beobachters (etwa der Sonne) mit v nach rechts, der Planet mit u nach links. Relativ zum Planeten hat die Sonde daher die Schnelligkeit v +u. Nun fliegt sie halb um den Planeten herum
und nach links weg. Weil der Planet eine viel größere
Masse hat, entspricht diese Situation einem elastischem Stoß gegen eine Wand. Dabei wird die Richtung der Geschwindigkeit einfach umgekehrt. Daher
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