Zusammenfassung Hydraulik I

HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
1 Hydraulische Eigenschaften von Fluiden
1.1 Dichte
Blatt 1.2
1.1.1 Dichte
Die Dichte ρ ist definiert als Masse m pro Volumeneinheit V:
ρ=
m
V
 kg 
 m3 
Infolge seiner Anomalien besitzt Wasser ein Dichtemaximum bei 4°C und das Volumen nimmt beim
Gefrieren um circa 10 Prozent zu. Reines Wasser bei 4°C hat eine Dichte von 1'000 kg/m3.
1.1.2 Spezifisches Gewicht
Das spezifische Gewicht γ ist das Gewicht G pro Volumeneinheit V:
γ=
N
 m3 
G m⋅g
=
= ρ⋅g
V
V
1.2 Schubspannung und Viskosität
Blatt 1.3
1.2.1 Schubspannungen infolge Zähigkeit
Zwischen Schubspannung und Geschwindigkeitsgefälle besteht häufig folgender funktionaler Zusammenhang:
 dvx 

 dz 
n
τ xz = τ f + η ⋅ 
Der erste Index der Schubspannung (x) bezeichnet jeweils die Wirkungsrichtung, der zweite (z) die
Flächennormale zu A; vx ist die Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung. Für Newton’sche Flüssigkeiten ist τf = 0 und n = 1.
1.2.2 Viskosität
Es wird zwischen zwei Arten von Viskosität unterschieden: der dynamischen Viskosität η und der
kinematischen Viskosität ν. Die Definitionen sind die folgenden:
 dv 
η = (τ xz − τ f ) ⋅  x 
 dz 
−n
N
 m 2 
bzw.
ν=
η
ρ
 m2 
 s 
 
Die kinematische Viskosität von Wasser beträgt bei 20°C ungefähr ν = 1 · 10-6 m2/s
1.3 Oberflächenspannung
Blatt 1.4
1.3.1 Definition der Oberflächenspannung
Um eine Flüssigkeitsoberfläche zu vergrössern, muss Arbeit entgegen der Bindungskräfte in der
Flüssigkeit verrichtet werden. Die pro Flächenzuwachs dA zu leistende Arbeit dE ist die spezifische
Oberflächenenergie σ:
σ=
dE
dA
N 
 m 
Für die Grenzfläche Wasser gegen Luft beträgt die Oberflächenenergie bei 15°C ungefähr σ = 0.074
N/m. Eine andere Definition besagt, dass die Summe der Oberflächenspannungen σ0 gleich der
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Summe aller Kräfte F ist, die in einer geschnittenen Oberfläche (z.B. Seifenblase…) wirken, dividiert
durch die Länge L der geschnittenen Oberfläche:
∑σ
0
=
∑ Kräfte
Länge der geschnittenen Oberfläche
Nähere Ausführungen zu dieser Art der Definition sind dem Merkblatt „Oberflächenspannung“ zu
entnehmen!
1.3.2 Kapillardruck
Falls auch normal zur Oberfläche eine Kraft auftritt, ist diese gekrümmt. Die resultierende Normalkraft, auf die die Oberflächeneinheit bezogen, wird als Kapillardruck pkap bezeichnet. Es lassen sich
zwei Hauptkrümmungsradien ausmachen: der lokale Maximalwert R1 und der senkrecht dazu stehende
Minimalwert R2 von R. Für den Kapillardruck gilt nun:
1
1 
pkap = σ ⋅  + 
 R1 R2 
Wenn die Flüssigkeit eine Wand berührt, treten Adhäsionskräfte auf. Je nachdem, ob diese grösser
oder kleiner sind als die Kohäsionskräfte, bildet sich in Wandnähe ein konkaver oder konvexer
Flüssigkeitsspiegel. In einem runden Kapillarrohr nimmt die Flüssigkeitsoberfläche Wasser/Luft bei
idealer Benetzung eine halbkugelförmige Form an und es gilt R1 = R2.
1.3.3 Kapillare Steighöhe
Die kapillare Steighöhe hkap ergibt sich aus dem Umstand, dass der Unterdruck unter der Oberfläche in
der Kapillare mit Radius R gerade eine Wassersäule der Höhe hkap hochzuziehen vermag:
2σ
cos ϕ
ρgR
hkap =
φ gibt den Winkel der Wölbung der Flüssigkeitsoberfläche an und beträgt bei idealer Benetzung φ = 0.
1.4 Kompressibilität, Schallgeschwindigkeit und Wärmeausdehnung
Blatt 1.6
1.4.1 Kompressibilität
Die Kompressibilität κ wird bei konstanter Temperatur definiert als die relative Volumenänderung pro
Druckänderung:
 m2 
dim κ =  
N
dV
= −κ ⋅ dp
V
Für Wasser bei 10°C gilt κ = 4.73 · 10-10 m2/N.
1.4.2 Schallgeschwindigkeit in Fluiden
Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit a0 einer Druckwelle (Schallwelle) in einer Flüssigkeit ergibt aus:
a0 =
1
ρ ⋅κ
Die Schallgeschwindigkeit in Wasser bei 20°C beträgt ungefähr a0 = 1490 m/s.
1.4.3 Wärmeausdehnung
Bei gegebenem Druck ist der Wärmeausdehnungskoeffizient β die relative Volumenänderung pro
Temperaturänderung:
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dV
= β ⋅ dT
V
Für Wasser zwischen 0°C und 15°C wird diese Abhängigkeit näherungsweise gegeben durch:
β (T ) = 14 ⋅ 10−6 (T − 4)
1.5 Dampfdruck
Blatt 1.7
Der Dampfdruck ist der Druck, der sich über einer Flüssigkeit mit ebener Oberfläche einstellt, die mit
ihrem Dampf im thermischen Gleichgewicht steht, d.h. die Kondensationsrate gleich der
Evaporationsrate ist. Es besteht folgende Abhängigkeit des Dampfdruckes ps und der Temperatur T in
Celsius (!):
 − 5411°C 
ps = p0 ⋅ e

 T + 273°C 
mit :
p0 = 2.0213 ⋅ 109 mbar
2 Hydrostatik
2.1 Druck
Der Druck p in einem Fluid ist eine skalare Grösse und ist definiert als Normalkraft F pro Einheitsfläche A. Der Betrag der Druckkraft auf ein Flächenelement ist nicht von dessen Orientierung im
Raum abhängig. Die Kraft steht senkrecht (normal) zum Flächenelement.
r
dF
p= r
dA
N
 m 2  = [Pa ]
2.1.1 Hydrostatische Druckverteilung
Blatt 2.1
In einem ruhenden homogenen Fluid im Erdschwerefeld nimmt der Druck mit der Tiefe linear zu
(hydrostatische Druckverteilung). Wenn an einer freien Oberfläche bei z = h der Referenzdruck pr = 0
gesetzt wird, ergibt sich der hydrostatische Druck zu:
p = ρ ⋅ g ⋅ (h − z )
Der Referenzdruck ist im Prinzip frei wählbar; p ist in diesem Falle der Überdruck gegenüber der
Atmosphäre.
2.1.2 Druck, Druckhöhe und piezometrische Höhe
3 / 29
Blatt 2.2
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Der Druck pA in einem Punkt A eines ruhenden Fluids im Erdschwerefeld ist gemäss obiger Figur:
Druck in A:
p A = pwsp
{
Referenzdruck
+ ρ ⋅ g ⋅ (hwsp − z A )
1442443
hydrostatischer Druck
Die Druckhöhe in einem Punkt A ist definiert als die Höhe der Flüssigkeitssäule gleicher Dichte, die
den in A herrschenden Überdruck erzeugt (Angabe in Meter Flüssigkeitssäule):
Druckhöhe in A :
p A − pr
= hP − z A
ρ⋅g
[m Flüssigkeitssäule]
Die piezometrische Höhe hP im Punkt A ist definiert als die Höhe des Fluidspiegels im Standrohr über
dem Bezugsniveau (Angabe in Meter Flüssigkeitssäule):
Piezometrische Höhe in A : hP =
p A − pr
+ zA
ρ⋅g
[m Flüssigkeitssäule]
2.2 Ölhydraulische Antriebe
Blatt 2.4
Ölhydraulische Pressen arbeiten nach dem Prinzip der kommunizierenden Röhren (s. Abb. Blatt 2.4):
p=
F1 F2
=
A1 A2
Wird also mit einer kleinen Kraft F1 auf eine kleine Fläche A1 gedrückt, so bewirkt das Prinzip der
kommunizierenden Röhre, dass auf F2 eine grosse Kraft wirkt, weil A2 gross ist.
2.3 Hydrostatische Druckkraft auf ebene Flächen
2.3.1 Grundlegende Gesetze
Blatt 2.4
Für die Druckkraft, die von einem Fluid auf ein ebenes Flächenstück beliebiger Kontur in beliebiger
Lage ausgeübt wird, gelten folgende zwei Gesetze:
Druckkraft auf Fläche = Volumen des Druckkörpers · ρ · g
Die Wirkungslinie der Druckkraft geht durch den Schwerpunkt des Druckkörpers.
Daraus kann auch folgendes Gesetz abgeleitet werden:
Druckkraft auf ebene Fläche = Druck im Schwerpunkt der gedrückten Fläche · gedrückte Fläche
2.3.1 Angriffspunkt der Druckkraft auf eine ebene Fläche
Blatt 2.6
Der Angriffspunkt der resultierenden Druckkraft auf eine Fläche wird als Druckmittelpunkt bezeichnet. Dieser Druckmittelpunkt stimmt im allgemeinen Fall nicht mit dem Schwerpunkt der gedrückten
Fläche zusammen. Die Lage des Druckmittelpunktes D besitzt die Koordinaten (ξD, ηD), der Flächenschwerpunkt S der gedrückten Fläche erhält die Koordinaten (ξS, ηS). Es gilt nun:
ξD =
1
⋅ ξη ⋅ dA
A ⋅ η S ∫A
und
2.4 Zerlegung von Druckkräften in Komponenten
ηD =
1
⋅ ∫η 2 ⋅ dA
A ⋅ηS A
Blatt 2.8
Die durch den Druck erzeugten infinitesimalen Kräfte können in Komponenten zerlegt werden;
beispielsweise in eine horizontale Kraftkomponente RH und in eine vertikale RV. Angriffswinkel α und
Betrag der resultierenden Gesamtkraft R ergeben sich so zu:
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 RV
 RH
α = arctan



und
2
R = RH + RV
2.5 Hydrostatischer Auftrieb
2
Blatt 2.10
Die resultierende Auftriebskraft FA, die ein Körper erfährt, ist gegeben durch:
FA = ρ ⋅ g ⋅ VD
Dabei bezeichnet ρ die Dichte des Fluids und VD das Volumen des Déplacements, d.h. das Volumen
der verdrängten Flüssigkeit („verdrängtes Volumen“). Die Auftriebskraft wirkt im Déplacementschwerpunkt SV, welcher nicht notwendigerweise mit dem Massenschwerpunkt SK identisch ist.
2.6 Stabilität eines Schwimmkörpers
Blatt 2.11
Das Volumen der verdrängten Flüssigkeit VD wird als Déplacement bezeichnet. Der Massenschwerpunkt SK des Schwimmkörpers ist normalerweise nicht mit dem Schwerpunkt SD des Déplacements
identisch. In der Ruhelage liegen beide Schwerpunkte auf einer vertikalen Gerade im Abstand a
zueinander. Liegt SD über SK, so ist die Schwimmlage immer stabil. Liegt SD hingegen unter SK, so
kann die Schwimmlage auch instabil sein, d.h. der Körper kann bei einer Auslenkung kippen. SK
bleibt immer an Ort, SD hingegen ändert je nach Lage des Schwimmkörpers.
In der untenstehenden Formel ist J das kleinste Flächenträgheitsmoment der Schwimmfläche A
bezüglich der Längsachse durch den Drehpunkt bei O. hM ist die metazentrische Höhe, welche in einer
stabilen Schwimmlage positiv sein muss:
Stabilitätsbedingung : hM =
Die Kriterien für die Schwimmlagen sind demnach:
hM > 0:
hM = 0:
hM < 0:
stabile Schwimmlage
indifferente Schwimmlage
labile Schwimmlage
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J
−a>0
VD
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3 Hydrodynamik idealer, reibungsfreier Fluide
3.1 Kontinuitätsgleichung
3.1.1 Stromröhrenabschnitt, Kontrollvolumen
Blatt 3.3
Für inkompressible Strömungen kann unter der Voraussetzung, dass die Geschwindigkeit im Ein- und
Austrittsquerschnitt senkrecht zur Querschnittsfläche ist und dass die Geschwindigkeit über den
Querschnitten homogen verteilt ist, die Kontinuitätsgleichung in folgender Form geschrieben werden:
Q = v1 ⋅ A1 = v2 ⋅ A2 = const.
Q steht dabei für den Durchfluss, das heisst das Wasservolumen, welches pro Zeiteinheit die Querschnittfläche passiert. v symbolisiert die Fliessgeschwindigkeit im Querschnitt und A die Querschnittfläche.
3.1.2 Differentielle Kontinuitätsgleichung
Blatt 3.4
Die lokale Form der Kontinuitätsgleichung für den allgemeineren Fall instationärer Strömungen und
kompressibler Fluide lautet:
r
∂ρ
+ ∇ ⋅ (ρ ⋅ v) = 0
∂t
3.2 Impulsgleichung
3.2.1 Stromröhrenabschnitt, Stützkraftsatz
Blatt 3.6
Die Impulserhaltung gilt immer. Die Impulsgleichung findet dann Anwendung, wenn Verluste nicht
quantifizierbar sind, aber die Kräfte ermittelt werden können.
Der Impulssatz resp. Stützkraftsatz kann für inkompressible Strömungen, bei denen die Geschwindigkeit in den Ein- und Austrittsquerschnitten senkrecht zu den Querschnittsflächen steht und die
Geschwindigkeit homogen über die Querschnitte verteilt ist, in folgender Form geschrieben werden:
( )
r r& r
r&
r r r
P1 + I1 + P2 + − I 2 + K + G = 0
12
3 142
4
3
r
r
S1
r&
r
mit: I = ρ ⋅ Q ⋅ v
S2
Die Bezeichnungen können nachfolgender Skizze entnommen werden. Wichtig anzumerken ist, dass
r&
r&
die Kräfte I1 und − I 2 wie die Druckkräfte immer in das Kontrollvolumen hineingerichtet sind. Der
Betrag der Stützkräfte S ist P + ρQv falls Ein- und Austrittsfläche senkrecht zur Strömungsrichtung
stehen.
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3.2.2 Differentielle Impulsgleichung (Euler-Gleichung)
Die Euler’sche Gleichung trifft ebenfalls die Annahme der Inkompressibilität:
Blatt 3.7
r
r
r ∂v
(v ⋅ ∇ )v + = − g ⋅ ∇ p + z  = − g ⋅ ∇hP
∂t
 ρg

r
Auf den Niveauflächen einer ruhenden Flüssigkeit in einem beliebigen Beschleunigungsfeld a gilt
nach der Gleichung von Euler:
r
r
r
∇p ⋅ ds = − ρ ⋅ (a + g ⋅ ∇z ) ⋅ ds = 0
3.3 Energie-Gleichung (Bernoulli-Gleichung)
3.3.1 Stromröhre, Stromfaden
Blatt 3.11
Die Energie eines Fluidpakets bleibt auf seiner Reise entlang einer Stromröhre erhalten wenn seine
Summe aus Lage-, Druck- und kinetischer Energie konstant bleibt. Die Bernoulli-Gleichung besagt
damit folgendes:
6piezom
47
4 . Höhe
48
4
p
v2
H = {z +
+
= const.
ρ
⋅
g
2
g
geod .
{
{
Höhe
Geschw.
− höhe
Druckhöhe
Dabei ist H die Energiehöhe, z die geodätische Höhe, der Term p/(ρg) die Druckhöhe, z + p/(ρg) die
piezometrische Höhe und v2/(2g) die Geschwindigkeitshöhe.
Die Bernoulli-Gleichung wird zwischen zwei Punkten in einer stationären Strömung angewandt, die
auf der gleichen Stromlinie liegen. Die Bilanzgleichungen werden dagegen für die Massen- und
Impulsflüsse zwischen Strömungsquerschnitten verwendet.
3.4 Ergänzung: Kontraktionskoeffizient und Kontrollvolumen
3.4.1 Kontraktionskoeffizient
Blatt 3.14
Gegeben sei ein Gefäss mit einem Querschnitt A und dem Ausflussquerschnitt As. Der Kontraktionskoeffizient cc definiert sich nun gemäss:
cc =
As
A
3.4.2 Kontrollvolumen
Blatt 3.15
Um ein Kontrollvolumen sinnvoll abzugrenzen, sollten folgende Kriterien beachtet werden:
- Die gesuchte Kraft muss am Kontrollvolumen als äussere Kraft wirken.
- Ein- und Austrittsquerschnitte sind vorteilhaft im Bereich paralleler, gerader Stromlinien zu legen.
Ist dies nicht möglich, müssen in diesen Querschnitten die Geschwindigkeits- und Druckverteilungen bekannt sein.
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4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide
4.1 Begriffsbestimmungen
Blatt 4.1
4.1.1 Reynoldszahl und Strömungsarten
Die Reynoldszahl ist eine dimensionslose hydromechanische Kennzahl. Die nachfolgende Definition
gilt für R o h r s t r ö m u n g e n :
Re =
Trägheitskraft v ⋅ d
=
Zähigkeitskraft
ν
v steht dabei für die Geschwindigkeit, d für den Rohrdurchmesser und ν für die kinematische
Viskosität. Es kann grob festgehalten werden, dass Rohrströmungen mit Re < 2300 laminar, d.h.
zähigkeitsdominiert sind, während Rohrströmungen mit Re > 2300 turbulent, d.h. trägheitsdominiert,
sind. Allerdings sind diese Werte lediglich Richtwerte mit einer gewissen Streuung.
4.1.2 Euler-Zahl
Der relative Einfluss der Druckkräfte wird durch eine weitere hydromechanische Kennzahl, die EulerZahl, charakterisiert. Sie ist für R o h r s t r ö m u n g e n definiert als:
Eu =
Trägheitskraft
v
=
Druckkraft
2∆p / p
4.1.3 Froude-Zahl
In Strömungen mit einer f r e i e n O b e r f l ä c h e spielt der Einfluss der Schwerkraft eine
dominierende Rolle, so dass hierfür eine weitere Kennzahl, die Froude-Zahl, definiert ist. Mit v als
Fliessgeschwindigkeit und h als Wassertiefe ergibt sich die Froude-Zahl zu:
Fr =
Trägheitskraft
=
Schwerkraft
v
g ⋅h
4.2 Reibungskräfte: Navier-Stokes’sche Gleichung
Blatt 4.3
Bei idealen Fluiden wurden reibungsfreie Strömungen betrachtet und die Euler-Gleichung verwendet.
Bei den realen Fluiden muss die Reibung nun miteinbezogen werden und deshalb die NavierStokes’sche Gleichung angewendet werden. In nachfolgender Gleichung – welche für inkompressible
Fluide gilt – steht u für die Fliessgeschwindigkeit:
r
r
Du
1
= − ∇p − g ⋅ ∇z +
⋅4
∆3
ν2
u
1
4
1
4
2
4
3
r
ρ23 r
Dt
f Re ibungskraft
1
f Schwerkraft
r
f Druckkraft
Diese Kraftgleichung pro Masseneinheit beinhaltet drei Komponentenbedingungen. Die Komponentengleichungen in verschiedenen Koordinatensystemen sind auf Blatt 4.4 niedergeschrieben.
Grössen wie die Zeit t, die Länge x und die Geschwindigkeit u können ausgedrückt werden als
Produkt einer dimensionslosen Zahl und einem für das jeweilige Problem charakteristischen Massstab
T, L, U = L/T. Das heisst, wir schreiben:
t = T ⋅ t∗
x = L⋅x∗
u = U ⋅ u∗
p = ρ ⋅ U 2 ⋅ p∗
∇2 =
2
1
⋅ ∇∗
2
L
T steht dafür für den Zeitmassstab, L für den Längemassstab; die mit einem Asterisk (*) bezeichneten
Parameter sind dimensionslose Zahlen. Damit kann die Navier-Stokes’sche Gleichung in diese Form
gebracht werden:
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r
du ∗
g⋅L
ν ∗ r∗
1
1 ∗ r∗
= −∇∗ p ∗ − 2 ∇∗ z ∗ +
∆ u = −∇∗ p ∗ − 2 ∇∗ z ∗ +
∆u
∗
dt
U
U ⋅L
Fr
Re
Die einzigen dimensionsbehafteten Parameter werden so in der dimensionslosen Froude- resp. der
dimensionslosen Reynoldszahl zusammengefasst.
4.3 Reynoldszahl und Froude-Zahl
4.3.1 Allgemeine Definition von Reynolds- und Froude-Zahl
Blatt 4.4
Unter „4.1 Begriffsbestimmungen“ wurden die Reynolds- und Froude-Zahl für anschauliche
Spezialfälle definiert. Allgemeiner werden sie aber über die Navier-Stokes’sche Gleichung definiert,
welche oben unter „4.2 Reibungskräfte: Navier-Stokes’sche Gleichung“ notiert ist:
Reynoldszahl: Re =
U ⋅L
ν
Froude − Zahl : Fr 2 =
und
U2
g⋅L
U stellt dabei die Fliessgeschwindigkeit dar und L die charakteristische Länge. L kann aber z.B. bei
Rohrströmungen für den Durchmesser stehen oder aber bei freien Wasserspiegeln für die Wassertiefe!
4.3.2 Voraussetzungen für Modellähnlichkeit
Blatt 4.5
Bei der Simulation von Strömungen in kleinerem Massstab im Labor gilt es nun zu beachten, dass eine
Ähnlichkeit der Strömungen erforderlich ist, damit alle Terme (z.B. auch der Druckterm) der NavierStokes’schen Gleichung sowohl im Feld (F) als auch im Labor (L) gleich gross sind. Konkret bedeutet
dies, dass zwei Ähnlichkeiten erfüllt sein müssen:
Geometrische Ähnlichkeit: Es gibt nur einen Skalierungsfaktor (Massstab) λ.
Dynamische Ähnlichkeit: Es muss gelten: ReFeld = ReLabor resp. FrFeld = FrLabor.
Da meist auch im Labor Wasser als Fluid verwendet wird, sind beide dynamischen Ähnlichkeitsforderungen nicht gleichzeitig zu erfüllen. Man konzentriert sich also auf die wesentlichere der beiden
Kennzahlen. Bei Freispiegelströmungen (Gerinneströmungen) ist normalerweise die Schwerkraft
entscheidend und damit die Froude-Ähnlichkeit wichtiger; sonst (also z.B. bei reibungsbehafteten
Rohrströmungen) wird Reynolds-Ähnlichkeit angestrebt.
4.4 Laminare Rohrströmung
4.4.1 Schubspannungsverteilung
Blatt 4.6
Vorausgesetzt sei ein Rohr mit laminarer Rohrströmung und konstantem Rohrdurchmesser. Die auf
der Mantelfläche wirkenden Schubspannungen sind linear über den Querschnitt verteilt, wobei auf der
Achse bei r = 0 die Schubspannung gerade verschwindet:
1
2
τ (r ) = − ρ ⋅ g ⋅ r ⋅
d
[hP ]
dx
4.4.2 Geschwindigkeitsverteilung
Blatt 4.7
Die Geschwindigkeitsverteilung der laminaren Rohrströmung ist gegeben durch folgende Gleichung:
v( r ) = −
ρ⋅g d
2
⋅ [hP ] ⋅ r0 − r 2
4 ⋅ η dx
(
)
Die Geschwindigkeitsverteilung wird also einerseits durch Materialparameter (1. Term) und andererseits durch die Piezometerhöhe hP bestimmt. Die Geschwindigkeitsverteilung beschreibt ein Rotationsparaboloid. Die Geschwindigkeiten sind positiv in Richtung abnehmender Piezometerhöhen.
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Die betragsmässig grösste Geschwindigkeit vmax tritt bei r = 0, also in der Rohrachse, auf. Der
Mittelwert der Fliessgeschwindigkeit vm beträgt genau die Hälfte dieser Maximalgeschwindigkeit:
vmax = −
ρ⋅g d
⋅ [hP ] ⋅ d 2
16η dx
1
ρ⋅g d
vm = vmax = −
⋅ [hP ] ⋅ d 2
2
32η dx
bzw.
4.4.3 Gesetz von Hagen-Poiseuille
Blatt 4.8
Das Piezometergefälle I berechnet sich bei gegebener mittlerer Fliessgeschwindigkeit vm zu:
I =−
d
[hP ] = 32η ⋅ 1 ⋅ vm
dx
ρ ⋅ g d2
Dieses Gesetz ist als Fliessgesetz der laminaren Rohrströmung von Hagen-Poiseuille bekannt.
4.5 Reibungskräfte auf umströmte Körper
Blatt 4.9
Ein Körper in einer Strömung mit der Geschwindigkeit v (welche in genügender Entfernung des
Körpers gemessen werden muss, da sonst störende Effekte von Seiten des Körpers auftreten würden!)
erfährt eine Kraft FD, welche von einem Widerstandsbeiwert cD (siehe Tabelle Blatt 4.10), dem
Staudruck ps und der angeströmten Fläche A (Projektion in Richtung der Anströmung) abhängt:
FD = cD ⋅ ps ⋅ A = cD ⋅ ρ
v2
⋅A
2
Für kleine Reynoldszahlen, d.h. laminare Strömung, gilt nach dem Stokes’schen Gesetz für Kugeln
mit Durchmesser d:
cD =
24
Re
FD = 3π ⋅η ⋅ v ⋅ d
oder
4.6 Turbulente Schubspannungen
Blatt 4.11
In turbulenten Strömungen schwanken die Geschwindigkeiten u und v in Längs- als auch
Querrichtung der Strömung. Die Gesamtschubspannung setzt sich deshalb hier aus den Beiträgen
infolge Viskosität und Turbulenz zusammen. In turbulenter Strömung bildet sich ein logarithmisches
Geschwindigkeitsprofil aus. Folgende Grössen gehen in die Gleichung ein: die Karmankonstante κ,
die Schubspannungsgeschwindigkeit u*, die Wandschubspannung τ0, die Dichte ρ der Strömung und
die Dicke der viskosen Unterschicht δW; y beschreibt den Abstand zur Wand:
u ( y) =
 y
⋅ u ∗ ⋅ ln
κ
 δW
1
 1
 y 
τ
 =
⋅ 0 ⋅ ln 
 0.4 ρ
 δW 
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4.7 Grenzschichtströmung
4.7.1 Grenzschichtdicke
Blatt 4.13
Die Grenzschichtdicke ist der Wandabstand, bei dem die Geschwindigkeit 99 Prozent der äusseren
Geschwindigkeit u∞ erreicht. Die Grenzschichtdicke hängt von der Art der Strömung in der
Grenzschicht ab:
laminar: δlam ≈ 5 ⋅
x
Rex
turbulent : δ turb ≈ 0.37 ⋅
resp.
5
x
Re x
4.7.2 Beschreibung der Wandrauheit
Blatt 4.13
Die Unebenheiten der Wandung werden im Allgemeinen durch eine Längenabmessung k beschrieben.
Als Rauheitshöhe k wird bei der Rohrströmung der Korndurchmesser einer Auskleidung mit rundlichen Sandkörnern verwendet, die den gleichen Fliesswiderstand erzeugt, wie die betrachtete Rohrwandung. Diese Rauheitsmessung wird auch als äquivalente Sandrauheit bezeichnet. Für verschiedene
Rohrmaterialien ist die äquivalente Sandrauheit k der Tabelle auf Blatt 4.14 zu entnehmen.
4.8 Geschwindigkeitsprofile in Rohrströmungen
Blatt 4.14
Die Bernoulli-Gleichung, welche in Kapitel 3.3 vorgestellt wurde, kann für die gesamte Stromröhre
wie folgt beschrieben werden:
2
p
v
H =z+
+α m
ρ⋅g
2g
Neu ist dabei der dimensionslose Geschwindigkeitshöhenbeiwert oder Coriolis-Koeffizient α. Neu gilt
es auch, zwischen der Geschwindigkeit v in einem Punkt und dem Querschnittsmittel der Geschwindigkeit vm im Rohr zu unterscheiden. Der Geschwindigkeitshöhenbeiwert α kann nur bei bekanntem
Geschwindigkeitsprofil ermittelt werden. Nachfolgende Formeln zeigen die Berechnung von α und vm:
1
vm = ∫ v ⋅ dA
AA
3
und
1  v 
α = ∫   ⋅ dA
A A  vm 
Der Beiwert α ist in natürlichen Strömungen stets grösser als 1 und nimmt mit zunehmender
Ungleichförmigkeit des Geschwindigkeitsprofils immer grössere Werte an. Hier einige Beispiele:
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5 Rohrströmungen
5.1 Verlustfreie Rohrströmung
Blatt 5.1
Bei verlustfreien Rohrströmungen bleibt die Energielinie konstant, da Schwere-, Druck- und
Trägheitskräfte überwiegen und dissipative Verluste wie Reibung vernachlässigt werden dürfen. Für
stationäre Rohrströmungen darf daher die Energiegleichung nach Bernoulli angewendet werden:
p
v2
H =z+
+
= const.
ρ ⋅ g 2g
Weiter ergibt sich an jeder Stelle der Rohrleitung die mittlere Fliessgeschwindigkeit vi nach der Kontinuitätsgleichung aus dem überall konstanten Durchfluss Q und der lokalen Querschnittsfläche Ai:
vi =
Q
Ai
Die Druckhöhe kann damit einfach berechnet werden als:
pi
Q2
=H−
− zi
2
ρ⋅g
2 g ⋅ Ai
Beim Ausfluss eines Wasserstrahls aus scharfkantigen Düsen oder Schlitzen ist die Querschnittsfläche
des Strahls kurz unterstrom der Öffnung im Allgemeinen kleiner als die Öffnung. Diese Erscheinung
nennt man Kontraktion. Der am weitesten eingeschnürte Strahlquerschnitt heisst auch „vena
contracta“. Die Kontraktion wird zahlenmässig durch den Einschnürungsbeiwert (Kontraktionskoeffizient) cc beschrieben, der gleich dem Verhältnis der eingeschnürten Querschnittsfläche Avc zum
Öffnungsquerschnitt A1 ist:
cc =
Avc
A1
In einem Rohr herrscht Unterdruck, wenn die Piezometerhöhenlinie unter der Rohrachse liegt.
5.2 Verluste in Rohrströmungen
Blatt 5.4
Zur Berechnung von Strömungen in längeren Rohren und solchen mit plötzlichen Querschnitts- und
Richtungsänderungen kann ebenfalls die Energiegleichung verwendet werden, jedoch sind die
Energiehöhenverluste zu berücksichtigen. Es wird zwischen zwei Arten von Verlusten unterschieden:
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- Kontinuierliche Verluste (Verluste infolge Wandreibung entlang der gesamten Länge)
- Lokale Verluste (Gesamter Verlust infolge einer plötzlichen Veränderung von Querschnitt oder
Richtung)
Allgemein gilt, dass die Energiehöhendifferenz ∑∆H zwischen zwei Punkten A und B mit Energiehöhen HA und HB berechnet wird gemäss dem Ansatz:
H A − ∑ ∆H = H B
Der Term ∑∆H sieht in seiner allgemeinsten Form so aus:
2
2
v
L v
∑ ∆H = ∑Verluste = ∑ ζ i ⋅ 2ig + ∑ λi ⋅ di 2ig
123
142i 4
3
örtliche
Verluste
kontinuierliche
Verluste
In den nachfolgenden beiden Kapiteln 5.3 und 5.4 wird die Ermittlung der örtlichen (lokalen) und
kontinuierlichen Verluste eingehend erläutert.
5.3 Kontinuierliche Verluste
5.3.1 Gesetz von Darcy-Weisbach
Blatt 5.5
Die kontinuierlichen Verluste bewirken, dass die hydraulische Energie stromabwärts immer kleiner
wird. Für eine Rohrstrecke der Länge L und mit Durchmesser d wird der Rohrreibungsverlust nach
Darcy-Weisbach folgendermassen ermittelt, wobei ∆hP den Piezometerhöhenverlust bezeichnet und vm
die mittlere Fliessgeschwindigkeit bezeichnet:
2
∆hP = λ ⋅
L vm
d 2g
5.3.2 Berechnung des Reibungsbeiwertes λ
Blatt 5.6
Für laminare Rohrströmungen ist der Reibungsbeiwert nur eine Funktion der Reynoldszahl:
λlam =
64
Re
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
Bei turbulenter Strömung ist der Reibungsbeiwert eine Funktion der Reynoldszahl und der Rauheit k
in Relation zum Rohrdurchmesser d. Diese Beziehung wird durch die Gleichung von PrandtlColebrook beschrieben:
1
λturb
 k
2.51
= −2 ⋅ log10 
+
 3.71 ⋅ d Re⋅ λ
turb





Bei hydraulisch glatten Rohren beeinflussen die Rauheiten der Wand die turbulente Hauptströmung
nicht mehr wesentlich. Der Reibungsbeiwert wird dann eine Funktion, welche einzig von der
Reynoldszahl abhängt, d.h. der erste Term im Logarithmus kann vernachlässigt werden:
1
λturb
glatt

2.51
≅ −2 ⋅ log10 
 Re⋅ λ
turb glatt





Bei hydraulisch rauen Rohren hingegen herrschen vollturbulente Strömungen und der
Fliesswiderstand wird prinzipiell von Rauhigkeitserhebungen verursacht (Ablösung). Für diesen Fall
sehr grosser Reynoldszahlen ist der Reibungsverlust praktisch nicht mehr von der Reynoldszahl
abhängig und dieser Term in der Formel von Prandtl-Colebrook kann vernachlässigt werden:
1
λturb
rau
 k 
≅ −2 ⋅ log10 

 3.71 ⋅ d 
Die Formel von Prandtl-Colebrook muss in der Regel iterativ gelöst werden. Auf dem TI-89 existiert
hierfür ein selbst geschriebenes Programm mit Namen pc()!
5.3.3 Hydraulischer Radius
Blatt 5.7
Der hydraulische Radius rhy repräsentiert den Einfluss der bremsenden Schubkräfte (gekoppelt mit
dem Umfang des Rohres) bezogen auf die antreibenden Kräfte (gekoppelt mit der Querschnittsfläche):
rhy =
A
Lu
Lu steht dabei für den benetzten Umfang des Fliessquerschnitts, A für die Querschnittsfläche an sich.
5.3.4 Moody-Diagramm
Blatt 5.8
Der Reibungsbeiwert kann analytisch über die Beziehung von Prandtl-Colebrook ermittelt werden,
oder aber aus dem Moody-Diagramm herausgelesen werden. Im Moody-Diagramm ist der Reibungsbeiwert nämlich in Abhängigkeit der Reynoldszahl und der relativen Rauhigkeit k/d dargestellt.
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
5.4 Örtliche (lokale) Verluste
Blatt 5.10
Strömungsverluste, die durch eine lokale Änderung des Strömungsquerschnittes oder der
Fliessrichtung verursacht werden, bezeichnet man als örtliche Verluste. Die örtlichen Verluste werden
im Allgemeinen analog zur Darcy-Weisbach-Formel angegeben mit:
∆H = ζ ⋅
v2
2g
Dabei steht ∆H für den Energiehöhenverlust und ζ für den Verlustbeiwert. Der Energiehöhenverlust
∆H ist gleich dem Piezometerhöhenverlust ∆hP, wenn Ein- und Austrittsquerschnitt gleich gross sind.
Es muss nun zwischen plötzlichen Rohrerweiterungen (Blatt 5.10), allmählichen Rohrerweiterungen
(Blatt 5.11), plötzlichen Rohrverengungen (Blatt 5.11) und allmählichen Rohrverengungen (Blatt
5.12) unterschieden werden. Ferner sorgen auch Krümmer und Kniestücke für örtliche Verluste (Blatt
5.12). Rohrverzweigungen (Blatt 5.14) und Rohrvereinigungen (Blatt 5.15) sind wie Armaturen und
Absperrorgane (Blatt 5.15) ebenfalls verlustbehaftet. Obige Formel behält aber immer ihre Gültigkeit,
lediglich die Verlustbeiwerte variieren. Sie werden im Allgemeinen aus diversen Tabellen (Blätter
5.11 bis 5.16) entnommen oder in Versuchen bestimmt.
5.5 Pumpen und Turbinen
5.5.1 Leitungen mit Pumpen bzw. Turbinen
Blatt 5.18
Turbinen entnehmen der Flüssigkeit einen Teil der Strömungsenergie und wandeln sie durch einen
Generator in eine andere nutzbare Energieform um. Die Turbinenleistung NT, d.h. die an der
Turbinenwelle abnehmbare Leistung in W, ergibt sich mit dem hydraulischen Wirkungsgrad der
Turbine ηT aus der Energiehöhendifferenz ∆H und dem Durchfluss Q zu:
NT = ηT ⋅ ρ ⋅ g ⋅ ∆H ⋅ Q
Mit Hilfe von Pumpen wird der zu fördernden Flüssigkeit die Energie zugeführt, die zur Überwindung
einer geodätischen Höhendifferenz und der Energieverluste aus Reibung und örtlichen Verlusten
erforderlich ist. Die erforderliche Pumpenleistung in W, d.h. die der Pumpenwelle zugeführte Leistung
NP ergibt sich wieder mit dem hydraulischen Wirkungsgrad der Pumpe ηP aus der Energiehöhendifferenz ∆H und dem Durchfluss Q zu:
NP =
1
ηP
⋅ ρ ⋅ g ⋅ ∆H ⋅ Q
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
5.5.2 Bemessung von Pumpen
Blatt 5.19
Die Kennlinie eine Pumpe gibt an, wie die mögliche Förderhöhe mit dem Durchfluss abnimmt. Die
Rohrleitungskennlinie gibt die Abhängigkeit der Verlusthöhe vom Durchfluss an; die Rohrleitungskennlinie ist eine um die geodätische Förderhöhe nach oben verschobene Parabel. Der Betriebspunkt
einer Pumpe liegt im Schnittpunkt der Pumpen- und Rohrleitungskennlinie. Die Pumpe ist für eine
Anlage günstig gewählt, wenn der Betriebspunkt im Bereich hoher Wirkungsgrade liegt.
5.6 Rohrleitungssysteme
Blatt 5.21
In Rohrleitungssystemen mit sehr langen Rohrleitungen wird im Interesse geringer Fliessverluste eine
Fliessgeschwindigkeit im Bereich von wenigen m/s gewählt. Die Geschwindigkeitshöhen können
deshalb normalerweise vernachlässigt werden, wodurch Energie- und Drucklinie zusammenfallen.
In einem Knoten muss die Summe aller Zuflüsse und Abflüsse gleich null sein, wenn Zuflüsse positiv
und Abflüsse negativ gezählt werden.
An jedem Knoten ist das Energie- bzw. Druckniveau aller angeschlossenen Stränge gleich hoch.
Existieren von einem Knoten A zu einem Knoten B verschiedene Fliesswege, ist die Verlusthöhe auf
all diesen Verbindungen gleich hoch (weil sonst in B unterschiedlich Drucke auftreten würden).
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
6 Gerinneströmungen
6.1 Begriffsbestimmung bei Gerinneströmungen
Blatt 6.1
Gerinneströmungen definieren sich dadurch, dass sie über einen freien Wasserspiegel verfügen.
Dadurch treten in der Regel keine allzu hohen Drucke auf. Für ein Rechteckprofil auf ebener Sohle
werden untenstehende Begriffe festgelegt:
6.2 Allgemeine Prinzipien
6.2.1 Energiegleichung (Bernoulli-Gleichung)
Blatt 6.2
Unter den Voraussetzungen, die Verluste seien vernachlässigbar, die Stromlinien parallel (und damit
eine hydrostatische Druckverteilung in den betrachteten Querschnitten gegeben), die Geschwindigkeitsverteilung gleichförmig, die Strömung stationär und das Fluid inkompressibel, kann die Energiegleichung (Bernoulli-Gleichung) angewendet werden:
HE = z +
p
v2
v2
+
= z0 + h +
= z0 + H 0
ρ ⋅ g 2g
2g
z0 entspricht dabei der Sohlhöhe und h der Wassertiefe. Natürlich behält auch der Impulssatz resp. die
Kontinuitätsgleichung ihre Gültigkeit.
6.2.2 Wellengeschwindigkeit und Art des Abflusses
Blatt 6.3
In schiessender Strömung können keine Oberflächenwellen geringer Amplitude stromaufwärts
wandern. Der Einfluss von Schwellen, Verengungen oder Gefällsknicken wirkt sich deshalb in diesem
Falle nur auf deren Unterstrombereich aus. Wichtig ist zu wissen, dass in jedem Gerinnequerschnitt
beide Abflussarten, d.h. Schiessen und Strömen, auftreten können. Welche Abflussart sich einstellt,
hängt von Rauhigkeit und Sohlgefälle des Gerinnes ab. Die Art des Abflusses wird über die FroudeZahl berechnet:
Fr < 1 ⇔ Strömen
Fr = 1 ⇔ kritischer Abfluss
Fr > 1 ⇔ Schiessen
Für Querschnitte mit einer durchströmten Fläche A und einer Breite des Wasserspiegels bWsp gilt:
Allgemeine Querschnitte: Fr 2 = v 2 ⋅
bWsp
und:
g⋅A
Rechteckgerinne: Fr =
v
g ⋅h
6.2.3 Spezifische Energiehöhe und spezifischer Abfluss im Rechteckgerinne
Blatt 6.4
Für ein Rechteckgerinne lassen sich zwei Arten von Randbedingungen ausmachen: Entweder ist q
(=Q/b) gegeben oder eine feste Energiehöhe H0.
Für ein gegebenes, konstantes q weist die spezifische Energiehöhe H0 die untenstehende Abhängigkeit
von der Wassertiefe auf. Für ein gegebenes q weist die spezifische Energiehöhe bei einer bestimmten
Wassertiefe ein Minimum auf. Die Wassertiefe heisst Grenztiefe oder kritische Tiefe hgr und der
zugehörige Abfluss kritischer Abfluss.
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
Für eine fest vorgegebene, konstante spezifische Energiehöhe und einen variablen Abfluss q (z.B. bei
Strömungen durch eine Verengung) liefert eine Umstellung die entsprechende Wassertiefe:
6.3 Berechnung der Grenztiefe
Blatt 6.7
Im Grenzzustand gelten folgende Grundsätze: (a) ein vorgegebener Abfluss Q wird mit minimaler
Energiehöhe HE abgeführt, (b) bei vorgegebener Energiehöhe HE ist der Abfluss Q maximal, (c) im
Grenzzustand weist auch die Stützkraft ein Minimum auf und (d) die Froude-Zahl beträgt gerade 1.
Für ein Rechteckprofil gelten deshalb folgende Formeln:
Für die Berechnung von Grenztiefen für Trapezquerschnitte sei auf das Diagramm auf Blatt 6.9
verwiesen. In diesem Diagramm erhält man für m = 0 die Werte für den Rechteckquerschnitt, da
dieser einen Spezialfall des Trapezquerschnitts darstellt.
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
6.4 Wasserspiegelverläufe bei Querschnittsveränderungen in Rechteckquerschnitten mit
vernachlässigbaren Verlusten
6.4.1 Sohlschwelle
Blatt 6.10
An einer Sohlschwelle sind für Rechteckgerinne konstanter Breite der spezifische Abfluss q und die
Energiehöhe konstant. Die Abflusstiefe nimmt bei strömendem Abfluss gegen die Schwelle hin ab und
bei schiessendem Abfluss zu. Umgekehrt verhält es sich mit den Strömungsgeschwindigkeiten.
Falls die oberstrom vorhandene Energie nicht ausreicht, um die Sohlschwelle schiessend zu
überwinden, so wird das Wasser soweit aufgestaut, bis die spezifische Energiehöhe vor der Schwelle
mindestens dem minimalen, zu ihrer Überwindung nötigen Wert entspricht. Im Rückstaubereich ist
dann der Abfluss strömend.
6.4.2 Seitliche Einschnürung
Blatt 6.11
Durch eine seitliche Einschnürung eines Rechteckgerinnes nimmt der spezifische Abfluss q in
Strömungsrichtung zu, die spezifische Energie pro Masse und damit die Energiehöhe bleibt dagegen
konstant. Gegen den Engpass hin nimmt bei strömendem Abfluss die Wasserspiegelhöhe ab und bei
schiessendem Abfluss zu. Entsprechend dem veränderten Abstand zwischen Wasserspiegel und
Energielinie nimmt die Geschwindigkeit zu (Strömen) bzw. ab (Schiessen).
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
6.5 Abflusskontrolle
6.5.1 Ursachen der Abflusskontrolle
Blatt 6.11
Reibung in langen Gerinnen (bei Normalabfluss), Abflusskontrollbauwerke (Wehre, Schützen und
Schwellen) und Engpässe oder Untiefen im Gerinne können Abflusskontrolle ausüben. Von besonderer Bedeutung sind dabei seichte oder enge Stellen, in denen der Abfluss gerade kritisch ist.
6.5.2 Abflusskontrolle bei vorgegebenem Energieniveau HE
Blatt 6.12
Die Abflusskontrolle (Grenzabfluss) liegt in dem Querschnitt, in dem aufgrund der Energiehöhe der
maximal mögliche Abfluss Qmax = qmax · b minimal ist.
6.5.3 Abflusskontrolle bei vorgegebenem Abfluss Q
Blatt 6.12
Die Abflusskontrolle (Grenzabfluss) liegt in dem Querschnitt, in dem das zur Abfuhr von Q
erforderliche Mindestenergieniveau HE,min ein Maximum erreicht.
6.6 Fliesswechsel
Blatt 6.12
Beim Übergang von Strömen nach Schiessen wir die Strömung beschleunigt. Der Wasserspiegel sinkt
dabei kontinuierlich ab und die Verluste sind gering.
Beim Übergang von Schiessen nach Strömen wird die Strömung abgebremst. Der Wasserspiegel steigt
diskontinuierlich an und es bildet sich eine stehende Welle oder Deckenwalze aus, bei der es zu
Lufteinmischung kommt. Die Verluste sind hier erheblich.
6.7 Wechselsprung (oder: Wassersprung)
6.7.1 Wechselsprung
Blatt 6.13
Ein Fliesswechsel vom schiessenden Abfluss zum Strömen verläuft diskontinuierlich und wird deshalb
auch als Wechselsprung oder Wassersprung (hydraulic jump) bezeichnet. Die Wassertiefe h1 in einem
Rechteckgerinne mit horizontaler (ebener) Sohle im schiessenden Bereich steht zur Wassertiefe h2 im
strömenden Bereich über die Beziehung der konjugierten Tiefen des Wechselsprunges im Rechteckgerinne in Beziehung:
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
h1 1 
2
= ⋅  1 + 8(Fr2 ) − 1

h2 2 
bzw.
h2 1 
2
= ⋅  1 + 8(Fr1 ) − 1

h1 2 
Die dissipierte Leistung, d.h. die im Wechselsprung in Wärme umgesetzte Energie beträgt:
W = ∆H E ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Q
6.7.2 Bore
Blatt 6.15
Boren sind Wechselsprünge, die sich entlang einer Wasseroberfläche mit der Geschwindigkeit c
bewegen. Die Geschwindigkeit berechnet sich mit den Grössen aus der Abbildung gemäss:
c=
2
 q
g ⋅ h1  ∆h 
∆h
+ 2 −
  + 3
2  h1 
h1
 h

6.8 Einfluss der Sohlenreibung auf Gerinneströmungen
6.8.1 Bezeichnungen
Blatt 6.16
Bei Gerinneströmungen wird zwischen drei Arten von Gefällen unterschieden: dem Sohlgefälle I0,
dem Energieliniengefälle IE und dem Wasserspiegelgefälle Iwsp.
I0 = −
dz0
= sin ϕ0
dx
IE = −
dH E
= sin ϕ E
dx
I wsp = −
dhP
= sin ϕ wsp
dx
21 / 29
HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
6.8.2 Normalabfluss
Blatt 6.16
Als Normalabfluss bezeichnet man einen stationären, gleichförmigen Abflusszustand, bei dem die
antreibenden Kräfte (Hangabtriebskomponente des Fluidgewichts) mit den Reibungskräften (aus
Sohlschubspannung) im Gleichgewicht stehen. Bei gleichförmigen Abfluss gilt:
I 0 = I E = I wsp = −
∆h
= sin ϕ0
∆x
6.8.3 Fliessformel für den Normalabfluss
Blatt 6.18
Für Gerinne und Rohrleitungen gibt die Manning-Strickler-Formel den Zusammenhang zwischen dem
Energieliniengefälle, dem hydraulischen Radius und der Geschwindigkeit wieder:
v = kst ⋅ rhy
2/3
, dim(k st ) = m1 / 3 / s
⋅ IE
Der dimensionsbehaftete Strickler-Beiwert kst kann mit der äquivalenten Sandrauhigkeit k (in m)
verbunden werden. Die gebräuchlichsten Strickler-Beiwerte sind aber auch auf Blatt 6.20 tabelliert.
k st ≈
26
k1/ 6
6.8.4 Normalabflusstiefe in Rechtecks- und Trapezgerinnen
Blatt 6.22
Bei konstanter Querschnittsfläche A ist der Abfluss am grössten, wenn der benetzte Umfang Lu ein
Minimum annimmt. Dies ist gleichbedeutend mit einem Maximum des hydraulischen Radius rhy.
Günstig sind somit Profile, die einem Halbkreis möglichst nahe kommen. Das Diagramm auf Blatt
6.22 zeigt, wie die Normalabflusstiefe in Rechtecks- und Trapezgerinnen ermittelt werden kann.
6.8.5 Freispiegelabfluss in kreisförmigen Rohrleitungen (Kanalrohren)
Blatt 6.25
In Entwässerungsleitungen des Siedlungswasserbaus fliesst das Wasser überwiegend mit freiem
Wasserspiegel in kreisförmigen Kanalrohren ab. Die Teilfüllungskurven für die Fliessgeschwindigkeiten und die Abflüsse lauten:
vT  rhy ,T
=
vV  rhy ,V




0.625
QT AT
=
QV AV
bzw.
r
⋅  hy ,T
r
 hy ,V




0.625
Die Indizes T und V stehen dabei für Voll- resp. Teilfüllung.
6.9 Örtliche Verluste in Gerinneströmungen und Sohlschwellen
Blatt 6.30
Örtliche Verluste entstehen z.B. im Ablösungsgebiet von Brückenpfeilern oder bei Sohlschwellen. Der
Energieverlust an einer Sohlschwelle im Rechteckgerinne berechnet sich näherungsweise nach:
v2
∆H E = ζ ⋅
2g
2
h
ζ = 22
h1
mit
22 / 29

1 − (h2 / h1 ) 
 −1
⋅ 1 − 2 ⋅
2

Fr

1

HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
6.10 Kontrollbauwerke
6.10.1 Kontrollbauwerke als Abflusskontrolle
Blatt 6.30
Kontrollbauwerke üben auf die Strömung eine Abflusskontrolle aus durch Einschnürung des
Fliessquerschnitts. Dadurch kann ein Wechsel von strömendem zu schiessendem Abfluss erzeugt
werden.
Überströmte Kontrollbauwerke werden dann verwendet, wenn man mit kleinen Variationen der Höhe
grosse Änderungen im Abflussvolumen erzielen möchte. Unterströmte Verschlüsse werden dann
verwendet, wenn bei variabler Oberstromtiefe der Abfluss wenig variieren soll.
6.10.2 Scharfkantiger Rechtecküberfall
Blatt 6.32
Betrachtet wird ein scharfkantiges, senkrechtes Wehr auf ebener Sohle mit Rechteckprofil. Unter der
Annahme, die Energielinie sei horizontal, die Strömung verlustlos, die Flüssigkeit ideal, der Wasserspiegel horizontal bis über die Überfallkante (was in Wirklichkeit nicht gegeben ist!) und der Luftdruck überall gleich gross sei (d.h. der Überfallstrahl wird belüftet, ergibt sich der Volumenstrom
annähernd zu:
3/ 2

 v12  
2
3/ 2
 
Q = µ ⋅ b ⋅ 2 g ⋅  H − 

3

 2 g  
Ist v1 sehr klein, geht die Gleichung in die Gleichung von Poleni über, welche für den vollkommenen
Überfall gilt:
Q=
2
µ ⋅ b ⋅ 2g ⋅ H 3/ 2
3
Der Überfallbeiwert µ ist der Tabelle auf Blatt 6.33 resp. auf Blatt 6.35 zu entnehmen.
6.10.3 Breitkroniges Wehr
Blatt 6.34
Das breitkronige Wehr ist dadurch gekennzeichnet, dass auf der Wehrkrone ein kurzes Stück nahezu
gleichförmiger Strömung mit Grenztiefe auftritt. Der theoretische Überfallbeiwert beträgt hier 3-1/2 =
0.577; der tatsächliche Wert ist aber kleiner als dieser theoretische:
Q=
2 1
3/ 2
⋅ b ⋅ 2 g ⋅ H1
3 3
Weitere Überfallbeiwerte können Blatt 6.35 entnommen werden.
23 / 29
HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
6.10.4 Scharfkantiger Dreiecksüberfall mit halbem Winkel α
Blatt 6.35
Kleine Abflüsse von Q < 0.15 m3/s lassen sich sehr genau mit scharfkantigen Dreiecksüberfällen
messen. Es gelten die gleichen Annahmen wie beim scharfkantigen Rechtecküberfall (Kapitel 6.10.2).
Die Gleichung von Thomson zeigt, dass:
Q=
8
µ ⋅ tan α ⋅ 2 g ⋅ h15 / 2
15
6.10.5 Unterströmtes Schütz
Blatt 6.36
Bei rückstaufreiem Ausfluss aus der Schützöffnung (vollkommener Grundstrahl) ergibt sich der
Abfluss zu:
Q = µ ⋅ b ⋅ s ⋅ 2 g ⋅ h0
mit
cc
µ=
1 + cc ⋅
s
h0
und
Falls h0 >> s, können die Formeln vereinfacht werden zu:
cc ≅ µ
und
24 / 29
vs ≅ 2 g ⋅ h0
vs =
2 g (h0 − cc s )
c s
1 −  c 
 h0 
2
HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
6.10.6 Ausfluss unter Segmentschützen und Schrägschützen
Blatt 6.37
Für den Ausfluss unter Segmentschützen und Schrägschützen (= schrägstehende Tafelschütze) gelten
folgende Abflussbeiwerte:
Q = b ⋅ µ ⋅ s ⋅ 2 g ⋅ h0
Der Wert von µ hängt auch hier vom Neigungswinkel β am Austritt ab und kann dem Diagramm auf
Blatt 6.37 entnommen werden.
6.10.7 Unvollkommener Grundstrahl
Blatt 6.37
Ein unvollkommener Grundstrahl tritt auf, wenn der Ausflussstrahl vom Unterwasser her eingestaut
wird. Es werden dann die Formeln von Kapitel 6.10.5 mit einem Korrekturfaktor κ versehen:
Q = b ⋅ µ∗ ⋅ s ⋅ 2 g ⋅ h0
mit
µ∗ = κ ⋅ µ
6.11 Abflussmessung
6.11.1 Rohrleitungen
Blatt 6.38
Bei Rohrleitungen wird der Abfluss sinnvoll mittels Auslitern (Volumen- und Zeitmessung) oder dem
Venturi-Meter (Querschnittseinschnürung) gemessen.
6.11.2 Gerinne und Flüsse
Blatt 6.39
In Gerinnen und Flüssen kann der Abfluss via Kontrollbauwerke gemessen werden; hier sind
Messüberfälle oder Venturikanäle anzuführen. Allerdings kann auch die Fliessgeschwindigkeit mit
Staurohren gemessen werden, um so bei bekanntem Fliessquerschnitt den Abfluss zu berechnen.
Entsprechende Geräte sind unten abgebildet. Weitere Methoden sind Messungen mit dem
hydrometrischen Flügel (Messung der Drehzahlen eines ins Wasser getauchten Propellers) oder
Tracer-Messungen (tracer = Markierungsstoff).
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
7 Grundwasserströmungen
7.1 Gesetz von Darcy
Blatt 7.1
Das Darcy-Gesetz setzt laminare schleichende Strömung im Porenraum voraus. Die Bedingung für
laminar schleichende Strömung ist:
Re =
d ⋅q
ν
≤4
Dabei ist d der mittlere Korndurchmesser (in m), q der spezifische Durchfluss oder Filtergeschwindigkeit (in m/s) und ν die kinematische Zähigkeit (in m2/s). Der spezifische Durchfluss ist nun
gegeben durch den Durchlässigkeitsbeiwert kf (auch: Hydraulische Leitfähigkeit), die Querschnittsfläche A und das hydraulische Gefälle ∆h/L, wobei h die Piezometerhöhe und L die Länge der
Fliesstrecke bezeichnet:
q=
Q
∆h
= kf ⋅
A
L
7.2 Allgemeine Betrachtungen bei stationären Verhältnissen
7.2.1 Potentialströmung
Blatt 7.2
Für homogene, isotrope Grundwasserleiter, d.h. für konstanten Durchlässigkeitsbeiwert kf gilt nach
Darcy:

r
p 
 = − k f ⋅ ∇h
q = − k f ⋅ ∇ z +
ρ ⋅ g 

Daraus kann gezeigt werden, dass die Strömung eine Potentialströmung sein muss – eine Potentialströmung ist rotationsfrei. Um die Gleichung zu lösen, müssen Randbedingungen bekannt sein:
∆h = 0
7.2.2 Randbedingungen
Blatt 7.2
Um die Differentialgleichung der Potentialströmung zu lösen, müssen Randbedingungen bekannt sein.
Die Abbildung zeigt, welche vorkommen können:
7.2.3 Eindimensional gespannter Aquifer
Blatt 7.3
Der Durchfluss Q pro Breite b eines eindimensional gespannt Aquifers der Länge L (Druck an der
Oberkante ≠ 0) ergibt sich mit der Transmissivität T und der Schichtdicke m mit hydraulischer Leitfähigkeit kf zu:
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
Q
h −h
= −T ⋅ 2 1
b
L
mit
T = kf ⋅m
7.2.4 Eindimensional freier Aquifer
Blatt 7.4
Nimmt man eine Neubildungsrate N an, so ergibt sich der Durchfluss Q pro Breiteneinheit b zu:
2
2
Q
h − h2
L

= q = kf ⋅ 1
+ N x − 
2L
2
b

7.3 Hydraulische Leitfähigkeit / Durchlässigkeitsbeiwert kf
Blatt 7.5
Die hydraulische Leitfähigkeit kf lässt sich in einen fluidabhängigen Anteil g/ν und in einen nur vom
Medium abhängigen Teil k aufteilen:
kf = k ⋅
g
ν
k symbolisiert hier die nur von der Porengeometrie abhängige Permeabilität.
7.4 Geschichtete Grundwasserleiter
Blatt 7.5
Ein Grundwasserleiter besteht oft aus mehreren Schichten, die in sich zwar homogen und isotrop sind,
jedoch untereinander verschiedene hydraulische Leitfähigkeiten aufweisen. Die verschiedenen
Schichten können parallel oder seriell zur Strömungsrichtung liegen – je nachdem wird eine andere
Art des Mittels für die Gesamtleitfähigkeit verwendet:
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HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
n
di
⋅ k fi
i =1 d
Parallel : k f = ∑
resp.
Seriell :
7.5 Stationäre zweidimensionale Grundwasserströmungen
n
1
d 1
=∑ i ⋅
k f i =1 d k f i
Blatt 7.6
Betrachtet man einen homogenen Grundwasserleiter, d.h. kf ist konstant, so ergibt sich, dass die
Strömung rotationsfrei sein muss – es handelt sich also wiederum um eine Potentialströmung:
r
rot (q ) = 0
7.6 Strömungskräfte im porösen Medium
Blatt 7.10
Hydraulischer Grundbruch tritt immer dann auf, wenn an der Geländeoberfläche die vertikal nach
oben gerichtete Strömungskraft grösser ist als die Gewichtskraft des Bodens unter Auftrieb. In der folgenden Formel bezeichnet n die Porosität und ρs die Dichte des Mediums (ρw steht für die Dichte des
Wassers). ∆h/∆s ist das so genannte Strömungsgefälle; für dessen Berechnung sei auf Blatt 7.10
verwiesen. Um sicherzugehen, dass kein hydraulischer Grundbruch auftritt, fordert man, dass die
Gewichtskraft FG doppelt so gross sein soll wie der Auftrieb FA:
η=
FG (1 − n )( g ⋅ ρ s − g ⋅ ρ w )
=
>2
∆h
FA
g ⋅ ρw ⋅
∆s
7.7 Brunnen in gespannten Grundwasserleitern
Blatt 7.11
Bei Brunnen in gespannten Grundwasserleitern interessiert vor allem der Verlauf der
Piezometerhöhenlinien. Unter den Voraussetzungen, der Grundwasserträger sei homogen und isotrop,
28 / 29
HYDRAULIK I – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
der Brunnen sei vollkommen (d.h. bis zur unteren undurchlässigen Schicht abgeteuft) und die
Strömung radialsymmetrisch, ergibt sich die Absenkung s(r) aus der Reichweite R des Brunnens (d.h.
Entfernung, in der die Absenkung praktisch 0 ist) und der Transmissivität T zu:
s(r ) =
Q
r
⋅ ln 
2π ⋅ T
R
mit
T = m⋅kf
Ist Q > 0, handelt es sich um eine Quelle, bei Q < 0 um eine Senke.
7.8 Brunnen in Grundwasserleitern mit freier Oberfläche
Blatt 7.12
In Grundwasserleitern mit freier Oberfläche entspricht die Drucklinie der freien Grundwasseroberfläche. Unter den gleichen Voraussetzungen wie beim gespannten Grundwasserleiter ergibt sich
die Absenkung wieder zu:
s(r ) =
Q
r
⋅ ln 
2π ⋅ T
R
mit
T = m⋅kf
Ist Q > 0, handelt es sich um eine Quelle, bei Q < 0 um eine Senke. R entspricht wieder der
Reichweite des Brunnens und T der Transmissivität.
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