Zufällige stabile Prozesse und stabile stochastische Integrale

Zufällige stabile Prozesse und stabile
stochastische Integrale
Stochastikseminar, Dezember 2011
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Stabile Prozesse |
Dezember 2011
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Stabile stochastische Prozesse - Definition
Stabile Integrale
α-stabile Zufallsmaße
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Stabile stochastische Prozesse - Definition
Stabile stochastische Prozesse - Definition
Stabile Integrale
α-stabile Zufallsmaße
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Stabile stochastische Prozesse - Definition
Definition
X = {X (t)}t∈T reellwertiger stochastischer Prozess. X heißt (strikt,
symmetrisch) stabil genau dann, wenn ∀t1 , . . . , td ∈ T :
(X (t1 ), . . . , X (td )) (strikt, symmetrisch) stabil ist.
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Stabile stochastische Prozesse - Definition
Definition
X = {X (t)}t∈T reellwertiger stochastischer Prozess. X heißt (strikt,
symmetrisch) stabil genau dann, wenn ∀t1 , . . . , td ∈ T :
(X (t1 ), . . . , X (td )) (strikt, symmetrisch) stabil ist.
Theorem
X = {X (t)}t∈T stochastischer Prozess. DannPist X strikt
stabil/symmetrisch stabil genau dann, wenn dk=1 bk X (tk ) strikt
stabil/symmetrisch stabil ∀t1 , . . . , td ∈ T , ∀b1 , . . . , bd ∈ R.
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Stabile stochastische Prozesse - Definition
Beispiel: α-stabiler Lévy-Prozess
Beispiel
I
X = {X (t)}t≥0 stochastischer Prozess
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Stabile stochastische Prozesse - Definition
Beispiel: α-stabiler Lévy-Prozess
Beispiel
I
I
X = {X (t)}t≥0 stochastischer Prozess
X : α-stabiler Lévy-Prozess genau dann, wenn
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Stabile stochastische Prozesse - Definition
Beispiel: α-stabiler Lévy-Prozess
Beispiel
I
I
X = {X (t)}t≥0 stochastischer Prozess
X : α-stabiler Lévy-Prozess genau dann, wenn
I
I
I
X (0) = 0 f.s.
X (t2 ) − X (t1 ), . . . , X (td ) − X (td−1 ) unabh. ∀t1 ≤ . . . ≤ td
∃α ∈ (0, 2], β ∈ [−1, 1], ∀ 0 ≤ s < t : X (t) − X (s) ∼
Sα ((t − s)1/α , β, 0)
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Stabile stochastische Prozesse - Definition
Beispiel: α-stabiler Lévy-Prozess
Beispiel
I
I
X = {X (t)}t≥0 stochastischer Prozess
X : α-stabiler Lévy-Prozess genau dann, wenn
I
I
I
I
X (0) = 0 f.s.
X (t2 ) − X (t1 ), . . . , X (td ) − X (td−1 ) unabh. ∀t1 ≤ . . . ≤ td
∃α ∈ (0, 2], β ∈ [−1, 1], ∀ 0 ≤ s < t : X (t) − X (s) ∼
Sα ((t − s)1/α , β, 0)
X α-stabiler Lévy-Prozess ⇒ X α-stabiler Prozess
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Stabile Integrale
Stabile stochastische Prozesse - Definition
Stabile Integrale
α-stabile Zufallsmaße
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Stabile Integrale
Endlich dimensionale Verteilungen
I
(E, E, m) Maßraum
I
β : E → [−1, 1] messbar
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Stabile Integrale
Endlich dimensionale Verteilungen
I
(E, E, m) Maßraum
I
β : E → [−1, 1] messbar
I
(
Lα (E, E, m), α 6= 1
R
F =
{f : f ∈ L1 (E, E, m), |f (x)β(x) log |f (x)|| m(dx) < ∞}, sonst
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Stabile Integrale
Ziel:
I
Stochastischer Prozess {I(f )}f ∈F mit Eigenschaften
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Stabile Integrale
Ziel:
I
Stochastischer Prozess {I(f )}f ∈F mit Eigenschaften
I
I
Linearität: I(a1 f1 + a2 f2 ) = a1 I(f1 ) + a2 I(f2 ), ∀a1 , a2 ∈ R, f1 , f2 ∈ F
∀f ∈ F : I(f ) stabile ZV
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Stabile Integrale
Ziel:
I
Stochastischer Prozess {I(f )}f ∈F mit Eigenschaften
I
I
I
Linearität: I(a1 f1 + a2 f2 ) = a1 I(f1 ) + a2 I(f2 ), ∀a1 , a2 ∈ R, f1 , f2 ∈ F
∀f ∈ F : I(f ) stabile ZV
Idee: Spezifikation der endlich-dimensionalen Verteilungen +
Satz von Kolmogorov
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Stabile Integrale
Endlich dimensionale Verteilungen
Für α 6= 1
φf1 ,...,fd (θ1 , . . . , θd ) =
α 





Z X
d
X
d
exp − θj fj (x) 1 − iβ(x)sign 
θj fj (x) tan(πα/2) m(dx)
E j=1
j=1
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Stabile Integrale
Endlich dimensionale Verteilungen
Für α 6= 1
φf1 ,...,fd (θ1 , . . . , θd ) =
α 





Z X
d
X
d
exp − θj fj (x) 1 − iβ(x)sign 
θj fj (x) tan(πα/2) m(dx)
E j=1
j=1
Für α = 1
φf1 ,...,fd (θ1 , . . . , θd ) =






d
Z X
d
X
d
X
2
θj fj (x) 1 + i β(x)sign 
θj fj (x) log θj fj (x) m(dx)
exp − π
E j=1
j=1
j=1
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Stabile Integrale
1. Schritt
I
Zeige: vorherige Ausdrücke sind CF eines α-stabilen ZV
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Stabile Integrale
1. Schritt
I
Zeige: vorherige Ausdrücke sind CF eines α-stabilen ZV
I
Details: Tafel
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Stabile Integrale
Erinnerung
Theorem
I
I
Sei 0 < α < 2, α 6= 1, X = (X1 , X2 , . . . , Xd ) ZV
X α-stabil ⇐⇒
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Stabile Integrale
Erinnerung
Theorem
I
I
Sei 0 < α < 2, α 6= 1, X = (X1 , X2 , . . . , Xd ) ZV
X α-stabil ⇐⇒
I
I
∃Γ: endliches Maß auf Sd
∃µ0 ∈ Rd sodass
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Stabile Integrale
Erinnerung
Theorem
I
I
Sei 0 < α < 2, α 6= 1, X = (X1 , X2 , . . . , Xd ) ZV
X α-stabil ⇐⇒
I
I
I
∃Γ: endliches Maß auf Sd
∃µ0 ∈ Rd sodass
φX (θ) =
Z
α
exp −
|(θ, s)| (1 − isign((θ, s)) tan(πα/2))Γ(ds) + i(θ, µ0 )
Sd
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Stabile Integrale
2. Schritt
Theorem (Kolmogorov)
I
{Pt1 ,t2 ,...,tn }t1 ,...,tn ∈T W’Maße auf (Rn , B(Rn ))
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Stabile Integrale
2. Schritt
Theorem (Kolmogorov)
I
{Pt1 ,t2 ,...,tn }t1 ,...,tn ∈T W’Maße auf (Rn , B(Rn ))
I
φt1 ,...,tn : charakteristische Funktion von Pt1 ,...,tn
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Stabile Integrale
2. Schritt
Theorem (Kolmogorov)
I
{Pt1 ,t2 ,...,tn }t1 ,...,tn ∈T W’Maße auf (Rn , B(Rn ))
I
φt1 ,...,tn : charakteristische Funktion von Pt1 ,...,tn
Angenommen
I
I
I
I
Symmetrie: φtπ(1) ,...,tπ(n) (θπ(1) , . . . , θπ(n) ) = φt1 ,...,tn (θ1 , . . . , θn ) für
alle Permutationen π ∈ S(n), t1 , . . . , tn ∈ T
Konsistenz: φt1 ,...,tn (θ1 , . . . , θn ) = φt1 ,...,tn ,...,td (θ1 , . . . , θn , 0, . . . , 0)
für alle n ≤ d, t1 , . . . , tn ∈ T
⇒ ∃ stochastischer Prozess {X (t)}t∈T mit endlichen
Verteilungen von Rang n gegeben durch {Pt1 ,...,tn }t1 ,...,tn
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Stabile Integrale
2. Schritt
Theorem (Kolmogorov)
I
{Pt1 ,t2 ,...,tn }t1 ,...,tn ∈T W’Maße auf (Rn , B(Rn ))
I
φt1 ,...,tn : charakteristische Funktion von Pt1 ,...,tn
Angenommen
I
I
I
Symmetrie: φtπ(1) ,...,tπ(n) (θπ(1) , . . . , θπ(n) ) = φt1 ,...,tn (θ1 , . . . , θn ) für
alle Permutationen π ∈ S(n), t1 , . . . , tn ∈ T
Konsistenz: φt1 ,...,tn (θ1 , . . . , θn ) = φt1 ,...,tn ,...,td (θ1 , . . . , θn , 0, . . . , 0)
für alle n ≤ d, t1 , . . . , tn ∈ T
I
⇒ ∃ stochastischer Prozess {X (t)}t∈T mit endlichen
Verteilungen von Rang n gegeben durch {Pt1 ,...,tn }t1 ,...,tn
I
Im konkreten Fall: beide Bedingungen erfüllt
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Stabile Integrale
Linearität
Theorem
I
Seien a1 , a2 ∈ R, f1 , f2 ∈ F . Dann gilt
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Stabile Integrale
Linearität
Theorem
I
Seien a1 , a2 ∈ R, f1 , f2 ∈ F . Dann gilt
I
I(a1 f1 + a2 f2 ) = a1 I(f1 ) + a2 I(f2 ) f.s.
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Stabile Integrale
Linearität
Theorem
I
Seien a1 , a2 ∈ R, f1 , f2 ∈ F . Dann gilt
I
I(a1 f1 + a2 f2 ) = a1 I(f1 ) + a2 I(f2 ) f.s.
I
f3 := a1 f1 + a2 f2 , a3 = −1
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Stabile Integrale
Linearität
Theorem
I
Seien a1 , a2 ∈ R, f1 , f2 ∈ F . Dann gilt
I
I(a1 f1 + a2 f2 ) = a1 I(f1 ) + a2 I(f2 ) f.s.
I
f3 := a1 f1 + a2 f2 , a3 = −1
I
Eexp(iθ(a1 I(f1 ) + a2 I(f2 ) − I(f3 ))) =
α

Z X
3
X
3
exp − θaj fj (x) (1 − iβ(x)sign(
θaj fj (x)) tan(πα/2))m(dx)
E j=1
j=1

= 1,
da a1 f1 + a2 f2 − f3 = 0.
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α-stabile Zufallsmaße
Stabile stochastische Prozesse - Definition
Stabile Integrale
α-stabile Zufallsmaße
Stabile Prozesse |
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Notationen:
I
(Ω, F, P) W’raum
I
L0 (Ω): reellwertige ZVen
α-stabile Zufallsmaße
Stabile Prozesse |
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α-stabile Zufallsmaße
Notationen:
I
(Ω, F, P) W’raum
I
L0 (Ω): reellwertige ZVen
I
(E, E, m) Maßraum
I
β : E → [−1, 1] messbar
I
E0 = {A ∈ E : m(A) < ∞}
Stabile Prozesse |
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α-stabile Zufallsmaße
Notationen:
I
(Ω, F, P) W’raum
I
L0 (Ω): reellwertige ZVen
I
(E, E, m) Maßraum
I
β : E → [−1, 1] messbar
I
E0 = {A ∈ E : m(A) < ∞}
Für M : E0 → L0 (Ω) gelte
I
I
I
P∞
P∞
M σ-additiv: A = i=1 Ai , A ∈ E0 ⇒ M(A) = i=1 M(Ai ) f.s.
M independently scattered: A1 , . . . , Ak pw. disjunkt
⇒ M(A1 ), . . . , M(Ak ) unabhängig
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α-stabile Zufallsmaße
Ziel:
I
Definition stochastischer Prozesse {M(A)}A∈E0
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α-stabile Zufallsmaße
Ziel:
I
I
Definition stochastischer Prozesse {M(A)}A∈E0
Eigenschaften
I
I
I
M(A)Pα-stabil
P∞
∞
A = i=1 Ai , A ∈ E0 ⇒ M(A) = i=1 M(Ai ) f.s.
A1 , . . . , Ak pw. disjunkt ⇒ M(A1 ), . . . , M(Ak ) unabhängig
Stabile Prozesse |
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α-stabile Zufallsmaße
Ziel:
I
I
Definition stochastischer Prozesse {M(A)}A∈E0
Eigenschaften
I
I
I
I
M(A)Pα-stabil
P∞
∞
A = i=1 Ai , A ∈ E0 ⇒ M(A) = i=1 M(Ai ) f.s.
A1 , . . . , Ak pw. disjunkt ⇒ M(A1 ), . . . , M(Ak ) unabhängig
Idee: Setze M(A) = I(1A )
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α-stabile Zufallsmaße
Definition
Sei M : E0 → L0 (Ω) indep.
R scattered und σ-additiv, sodass
1/α
M(A) ∼ Sα ((m(A)) , A β(x)m(dx)/m(A), 0) für alle A ∈ E0 . Dann
heißt M α-stabiles Zufallsmaß auf (E, E).
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α-stabile Zufallsmaße
Definition
Sei M : E0 → L0 (Ω) indep.
R scattered und σ-additiv, sodass
1/α
M(A) ∼ Sα ((m(A)) , A β(x)m(dx)/m(A), 0) für alle A ∈ E0 . Dann
heißt M α-stabiles Zufallsmaß auf (E, E).
Stabile Prozesse |
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α-stabile Zufallsmaße
Definition
Sei M : E0 → L0 (Ω) indep.
R scattered und σ-additiv, sodass
1/α
M(A) ∼ Sα ((m(A)) , A β(x)m(dx)/m(A), 0) für alle A ∈ E0 . Dann
heißt M α-stabiles Zufallsmaß auf (E, E).
I
Existenz: M(A) = I(1A )
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I
|
Dezember 2011
I(1A ) ∼ Sα (m(A)1/α ,
R
α-stabile Zufallsmaße
A β(x)m(dx)/m(A), 0)
Stabile Prozesse |
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I
Dezember 2011
I(1A ) ∼ Sα (m(A)1/α ,
|
α-stabile Zufallsmaße
R
A β(x)m(dx)/m(A), 0)
P
scattered: E(exp(i dj=1 θj M(Aj )))
α 
d
X
independently
=


Z X
d
θj 1Aj (x)) tan(πα/2) m(dx
θj 1Aj (x) 1 − iβ(x)sign(
exp − E j=1
j=1
I
Stabile Prozesse |
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I
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I(1A ) ∼ Sα (m(A)1/α ,
|
α-stabile Zufallsmaße
R
A β(x)m(dx)/m(A), 0)
P
scattered: E(exp(i dj=1 θj M(Aj )))
α 
d
X
independently
=


Z X
d
θj 1Aj (x)) tan(πα/2) m(dx
θj 1Aj (x) 1 − iβ(x)sign(
exp − E j=1
j=1


d Z
X
α
θj 1A (x)(1 − iβ(x)sign(θj 1A (x)) tan(πα/2))m(dx)
= exp −
j
j
I
j=1
E
Stabile Prozesse |
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I
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I(1A ) ∼ Sα (m(A)1/α ,
|
α-stabile Zufallsmaße
R
A β(x)m(dx)/m(A), 0)
P
scattered: E(exp(i dj=1 θj M(Aj )))
α 
d
X
independently
=


Z X
d
θj 1Aj (x)) tan(πα/2) m(dx
θj 1Aj (x) 1 − iβ(x)sign(
exp − E j=1
j=1


d Z
X
α
θj 1A (x)(1 − iβ(x)sign(θj 1A (x)) tan(πα/2))m(dx)
= exp −
j
j
I
j=1
=
Qd
E
j=1 E(exp(iθj M(Aj )))
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I
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f.s. Additivität
|
α-stabile Zufallsmaße
Stabile Prozesse |
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I
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|
α-stabile Zufallsmaße
f.s. Additivität
n
X
i=1
M(Ai ) =
n
X
I(1Ai )
i=1
n
X
= I(
1Ai )
i=1
= M(A1 ∪ . . . ∪ An ) f.s.
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I
I
I
Dezember 2011
|
α-stabile Zufallsmaße
σ-Additivität
S
A1 , A2 , . . . ∈ E0 pw. disjunkt, B = ∞
j=1 Aj ∈ E0
P∞
S
z.z. M(B) − i=1 M(Ai ) = limn→∞ M(B \ nj=1 Aj ) = 0 f.s.
Stabile Prozesse |
20
I
I
I
Dezember 2011
|
α-stabile Zufallsmaße
σ-Additivität
S
A1 , A2 , . . . ∈ E0 pw. disjunkt, B = ∞
j=1 Aj ∈ E0
P∞
S
z.z. M(B) − i=1 M(Ai ) = limn→∞ M(B \ nj=1 Aj ) = 0 f.s.
Theorem
I
I
Seien ξ1 , ξ2 , . . . unabhängige reellwertige ZVen
P
P
Dann: i ξi konvergiert f.s. ⇐⇒
i ξi konvergiert in Verteilung
Stabile Prozesse |
20
I
I
I
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α-stabile Zufallsmaße
σ-Additivität
S
A1 , A2 , . . . ∈ E0 pw. disjunkt, B = ∞
j=1 Aj ∈ E0
P∞
S
z.z. M(B) − i=1 M(Ai ) = limn→∞ M(B \ nj=1 Aj ) = 0 f.s.
Theorem
I
I
I
Seien ξ1 , ξ2 , . . . unabhängige reellwertige ZVen
P
P
Dann: i ξi konvergiert f.s. ⇐⇒
i ξi konvergiert in Verteilung
Genügt z.z. M(B) −
Verteilung
Pn
i=1 M(Ai )
= M(B \
Sn
j=1 Aj )
→ 0 in
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I
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Z.z.: B1 ⊃ B2 ⊃ . . . ∈ E0 ,
Wahrscheinlichkeit
α-stabile Zufallsmaße
T
j
Bj = ∅ ⇒ M(Bn ) → 0 in
Theorem
I
Sei 0 < α < 2, σ > 0
I
∃C1 , C2 > 0∀β ∈ [−1, 1]∀λ > C1 und X ∼ Sα (σ, β, 0) gilt:
I
P(|X | > λ) ≤ C2 λ−α
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I
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Z.z.: B1 ⊃ B2 ⊃ . . . ∈ E0 ,
Wahrscheinlichkeit
α-stabile Zufallsmaße
T
j
Bj = ∅ ⇒ M(Bn ) → 0 in
Theorem
I
Sei 0 < α < 2, σ > 0
I
∃C1 , C2 > 0∀β ∈ [−1, 1]∀λ > C1 und X ∼ Sα (σ, β, 0) gilt:
I
P(|X | > λ) ≤ C2 λ−α
I
M(Bn ) = m(Bn )1/α Xn , Xn ∼ Sα (1, βn , 0) für ein βn ∈ [−1, 1]
I
P(|M(Bn )| > ε) ≤ C2 ε−α m(Bn ) −−−→ 0
d
n→∞
Stabile Prozesse |
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Dezember 2011
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α-stabile Zufallsmaße
Beispiel
I
(E, E, m) = ([0, ∞), B, ν1 ), β(x) = β
I
M zugehöriges α-stabiles Maß
Stabile Prozesse |
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Dezember 2011
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α-stabile Zufallsmaße
Beispiel
I
(E, E, m) = ([0, ∞), B, ν1 ), β(x) = β
I
M zugehöriges α-stabiles Maß
I
Dann: X (t) = M([0, t]) ist α-stabiler Lévy-Prozess
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Stabile Prozesse |
Dezember 2011
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α-stabile Zufallsmaße
Vielen Dank für die
Aufmerksamkeit!
[2],[1]
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Stabile Prozesse |
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α-stabile Zufallsmaße
Literature I
I O. Kallenberg.
Foundations of modern probability.
Springer Verlag, 2002.
I G. Samorodnitsky and M.S. Taqqu.
Stable non-Gaussian processes: Stochastic models with infinite variance.
Chapman & Hall, 1994.