Aufgabe 1 Aufgabe 2

Jan Timo Meyer (342427)
Roman Czyborra (127221)
2-tes Übungsblatt
2013-02-07
TheGI für TI
bei Sebastian Bab
Aufgabe 1
Zu konstruieren ist eine Turingmaschine D, die Dezimaldarstellungen der Vielfachen von 4
erkennt. Wir beschränken uns der Einfachheit halber auf natürliche Zahlen mit Σ = {0 . . . 9}
ohne Vorzeichen und Nachkommanullen (in Q wären ja eh alle Brüche durch 4 teilbar) und
erhalten dann sozusagen L(D) = arabic(4N).
Weil sich die Teilbarkeitsfolge in jeder Ver-(100=(5×(20=5×4)))-fachung wiederholt, reduziert
sich der Filter in P OSIX-Notation auf
egrep ’ˆ[048]$|ˆ[0-9]*([13579][26]|[24680][048])$’
Unsere D implementiert dies intuitiv mit Rückwärtsschritten statt Typ3-potenzmengenoptimiert:
[26],←
- S ,←
[0-9],→
-
T
[13579],→
[24680],→
[048],← - R
V
?
-
Y
Aufgabe 2
Die Sprache L := {(w, w0 ) | Mw hält bei Eingabe w0 } des Halteproblems ist semi-entscheidbar,
weil wir zur Prüfung jedes endlichen Wortes u, sofern es sich in v = (w, w0 ) aufspalten lässt
und w eine Turingmaschine Mw beschreibt, Mw mit der Eingabe w0 simulieren können und das
Tupel immer erst dann akzeptieren, wenn Mw bei Eingabe w0 nach der jeweils nötigen endlichen
Zeit akzeptierend oder verwerfend anhält, die halbe charakteristische Funktion
(
1 v = (w, w0 ) ∧ Mw hält mit w0
0
χL (v) =
⊥ sonst
also berechenbar ist.
Ihr Komplement L = Σ∗ \ L = {v | v = (w, w0 ) ∧ Mw rechnet mit w0 unendlich ∨ v 6= (w, w0 )}
ist generell nicht mal semi-entscheidbar,
• anschaulich deswegen, weil wir durch blindes Warten nicht erkennen können, dass eine
Berechnung nie enden wird,
• logisch stringent deswegen, weil die zugehörige imaginäre Maschine Mu mit L(Mu ) = L
das Tupel (u, u) gleichzeitig verwerfen und erkennen müsste:
(u, u) ∈ L ⇒ u bringt Mu zum Absturz
⇒ (u, u) 6∈ L(Mu ) = L ⇒ u bringt Mu zum Halt ⇒ (u, u) ∈ L(Mu ) = L.
Da die halbe charakteristische Funktion χL0 nicht berechenbar sein kann, ist auch ihr Beitrag
zur vollen charakteristischen χL = 1 − χL nicht berechenbar und L und L beide nicht voll
entscheidbar, somit auch nicht-entscheidbar und unentscheidbar, und L eindeutig nur semientscheidbar.
1
Jan Timo Meyer (342427)
Roman Czyborra (127221)
2-tes Übungsblatt
2013-02-07
TheGI für TI
bei Sebastian Bab
Aufgabe 3
Die N P-Vollständigkeit der V ERTEX -C OVER wurde als eine der ersten wohl schon von Cook
1972 oder spätestens von Karp 1972 bewiesen und ähnlichlautend von Garey & Johnson, von
Hopcroft, Motwani & Ullman, von Cormen, Leiserson & Rivest und von Schöning in Buchform rezitiert. Unerlässlich zur VereinfachungVscheint als Zwischenschritt der Beweis der N PVollständigkeit von 3-C NF -S AT = {φ(~x) = kc=1 ¬dc1 xc1 ∨ ¬dc2 xc2 ∨ ¬dc3 xc3 | ∃~x : φ(~x)} ⊂
S ATISFIABLE ∈ N P.
3-CNF-S ATISFIABLE-Entscheider erlauben, alle Fragen an S ATISFIABLE zu beantworten, indem wir jede Aussagenformel φ(~x) in erfüllbarkeitsäquivalente 3-CNF überführen, was Grigorij
Samuilovič Cejtin aus Leningrad 1968 erstmalig ohne die exponentierende Distributivität mit
P-Aufwand gelang:
DATA formula == x(number: nat) -(1:formula)
*(1:formula, 2:formula) +(1:formula, 2:formula)
<(1:formula, 2:formula) =(1:formula, 2:formula)
FUN reduction : formula -> formula
DEF reduction(F) == *(3CNF,x(top)) WHERE (top,3CNF)==3(maxvar F, deneg F)
FUN
DEF
DEF
DEF
maxvar : formula -> nat
maxvar(x(i))==i
maxvar(-(F))==maxvar F
maxvar(F)==max(maxvar(1(F)), maxvar(2(F)))
FUN
DEF
DEF
DEF
DEF
DEF
DEF
DEF
DEF
DEF
DEF
DEF
deneg : formula -> formula
deneg(x(i))== x i
deneg(-(x(i))== - x i
deneg(-(-(f)))== f
deneg(-(+(1,2)))== *(deneg
deneg(-(*(1,2)))== +(deneg
deneg(-(<(1,2)))== <(deneg
deneg(-(=(1,2)))== =(deneg
deneg(*(1,2))== *(deneg 1,
deneg(+(1,2))== +(deneg 1,
deneg(<(1,2))== <(deneg 1,
deneg(=(1,2))== =(deneg 1,
FUN
DEF
DEF
DEF
DEF
litcount
litcount
litcount
litcount
litcount
- 1, deneg - 2)
- 1, deneg - 2)
- 2, deneg - 1)
- 1, deneg
2)
deneg 2)
deneg 2)
deneg 2)
deneg 2)
: formula -> nat
(x(_)) == 1
(-(_)) == 1
(+(1,2)) == litcount(1) + litcount(2)
(_) == 3
FUN 3: nat ** formula -> nat ** formula
DEF 3(M, C)==IF litcount( C) < 3 THEN (M+1, +(C,- x(M+1)))
ELSE LET (L, E)==3(M, 1 C) (R, F)==3(L, 2 C)
IN (R+1, *(E,*(F,
IF +? C THEN +(x L, +(x R, - x(r+1))))
IF *? C THEN +(- x L,+(- x R, x(r+1)))
IF <? C THEN +(- x L,+(x R, - x(r+1)))
IF =? C THEN *(+(- x L, +(- x R, - x(r+1))), +(x L , +(x R , - x(r+1))))
FI))
FI
Damit kann auch jede Disjunktion von mehr als 3 Literalen sukzessive durch Kopplung erlaubter Disjunktionen wie (¬dc1 xc1 ∨¬dc2 xc2 ∨yc1 )∧(¬yc1 ∨¬dc3 xc3 ∨yc2 )∧(¬yc2 ∨¬dc4 xc4 ∨¬dc4 xc4 )
ersetzt werden.
Nun kann man dem Algorithmus die Frage Ist reduction(φ) ∈ 3-CNF-S ATISFIABLE?“
”
stellen und die Antwort identisch durchreichen. Da bei dieser polynomiellen Reduktion die
Lösungsmenge gleich bleibt, ist somit ∀L ∈ N P : L ≤P S ATISFIABLE ≤P 3-CNF-S AT
und 3-CNF-S AT ∈ N P C , wobei MC die Kontur von M darstellen soll, zumindest skizzenhaft
2
Jan Timo Meyer (342427)
Roman Czyborra (127221)
2-tes Übungsblatt
2013-02-07
TheGI für TI
bei Sebastian Bab
bewiesen.
V-C OVER = {(G, n) | G = (V, E), E ∈ V2 , n ∈ N, ∃C ∈ Vn : ∀e ∈ E : e ∩ C 6= ∅}
Algorithmen, wobei Vk = {t ⊆ V | |t| = k} die Menge der k-elementigen Teilmengen von
V darstellen soll, können wiederrum alle Fragen an 3-CNF-S AT beantworten, indem in deren
Graphen
{(c, i) ∈ N2+ | c ≤ k, i ≤ 3}
V
G=
=
E
{{(c, i), (b, j)} ∈ V2 | c = b ∨ xci = xbj ∧ dci 6= dbj }
nach einer kantenabdeckenden Knotenteilmenge C ∈ |V V|−k mit n = |C| = |V | − k gesucht
wird, welche genau dann existiert, wenn aus jedem Disjunktionstripel genau ein (weil das Streichen zweier Knoten aus einem Disjunktionstripel zur Nichtabdeckung ihrer Zusammenhangskante führen würde) Knoten als erfüllend gestrichen werden kann, ohne dass eine Tripelbrücke
zu einer gleichzeitig zu erfüllenden Kontradiktion verwaist.
Zusammen mit dem nichtdeterministischen Rechenweg für (G, n) ∈ V-C OVER ∈ N P im
Skript (erlaube nichtdeterministisch für jeden Knoten v ∈ V : gehört er zum Cover C 3 v? verifiziere linear: |C| = n und alle Kanten e ∈ E mit C verbunden? dann akzeptiere!) folgt
∀L ∈ N P : L ≤P S ATISFIABLE ≤P 3-CNF-S AT ≤P V-C OVER ∈ N P C .
Aufgabe 4
erwiesenermaßen falsch
2. H ALTING ∈ P, da P unter Komplement abgeschlossen.
3. 6 ∃A ∈ N P : A ∈ P, da ∅ =
6 P ⊆ N P.
erwiesenermaßen wahr
5. P ⊆ D ECIDABLE.
6. N P ⊆ D ECIDABLE.
7. S ATISFIABLE ∈ N P.
bisher unbekannt
1. P = N P.
4. N P ⊆ P.
8. ∀M ∈ DT M : L(M ) ∈ N P C =⇒ TM (n) ∈ Θ(exp(n)).
9. S ATISFIABLE ∈ P.
10. A ≤P S ATISFIABLE ∧ A ∈ P =⇒ P = N P,
3