Lösung¨Ubungsblatt Zusatzaufgaben

Abteilung Empirische
Wirtschaftsforschung
Ökonometrie WS 2011/2012
Prof. Fitzenberger, Ph.D.
Lösung Übungsblatt Zusatzaufgaben
Aufgabe 1:
a) Berechnung des Mittelwertes: µ = 61 (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 2, 5
Berechnung der Varianz: σ 2 = 16 (02 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) − 2, 52 =
35
12
¯
= 2.9166
1
, da in der Aufgabenstelb) Jeder Stichprobenmittelwert hat eine Ziehungswahrscheinlichkeit von 36
lung eine große Grundgesamtheit unterstellt ist. Man kann also davon ausgehen, dass die Zufallsvariablen unabhängig sind. Mögliche Stichprobenmittelwerte für X̄2 für n = 2 und ihre Verteilung sind
folglich:
X̄2 = 0 →
1
36
X̄2 = 1 →
3
36
X̄2 = 2 →
5
36
X̄2 = 3 →
5
36
X̄2 = 4 →
3
36
X̄2 = 5 →
1
36
(0,0)
X̄2 = 0, 5 →
2
36
X̄2 = 1, 5 →
4
36
X̄2 = 2, 5 →
6
36
X̄2 = 3, 5 →
4
36
X̄2 = 4, 5 →
2
36
(0,1)(1,0)
(0,2)(2,0)(1,1)
(0,3)(3,0)(2,1)(1,2)
(0,4)(4,0)(3,1)(1,3)(2,2)
(1,4)(4,1)(3,2)(2,3)(0,5)(5,0)
(2,4)(4,2)(3,3)(1,5)(5,1)
(3,4)(4,3)(2,5)(5,2)
(4,4)(3,5)(5,3)
(4,5)(5,4)
(5,5)
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1
+0, 5· 36
+1· 36
+1, 5· 36
+2· 36
+2, 5· 36
+3· 36
+3, 5· 36
+4· 36
+4, 5· 36
+5· 36
= 2, 5
c) E(X̄2 ) = 0· 36
2
3
4
1
· 02 + 36
· 0, 52 + 36
· 12 + 36
· 1, 52 +
V (X̄2 ) = 36
2
1
35
2
2
2
¯
·
4,
5
+
·
5
−
2,
5
=
=
1.458
33
36
36
24
5
36
· 22 +
6
36
· 2, 52 +
d) Alternative Berechnung der Varianz des Mittelwertes: V (X̄2 ) =
σ2
n
=
5
36
· 32 +
2.9166
2
4
36
· 3, 52 +
3
36
· 42 +
¯
= 1.45833
e) P (2 < X̄2 ≤ 3, 5) → d.h. es wird die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass der X̄2 den Wert 2, 5, 3 oder
3, 5 annimmt. Dazu verwendet man die Verteilung aus Teilaufgabe b.
P (2 < X̄2 ≤ 3, 5) = f (2, 5) + f (3) + f (3, 5) =
6
36
+
5
36
+
4
36
=
5
12
f) P (2 < X̄50 ≤ 3, 5) → hier ist der Stichprobenumfang mit n = 50 hinreichend groß um durch die
Normalverteilung zu approximieren.
E(X̄50 ) = µ = 2, 5
V (X̄50 ) =
σ2
n
2−2,5
<z≤
P (2, 5 < X̄50 ≤ 3, 5) = P ( 0,2415
2,9166
50
3,5−2,5
0,2451 )
=
= 0, 05833
σX̄ =
√
0, 05833 = 0, 2415
P (2, 0704 < z ≤ 4, 1408) = FSt (4, 1408)−FSt (−2, 0704) = FSt (4, 1408)+FSt (−2, 0704)−1 = 0, 9775
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Aufgabe 2:
Die Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt und beträgt σ 2 = 16. Desweiteren sind der Stichprobenumfang mit n = 100 und der Stichprobenmittelwert mit x̄ = 73, 17 gegeben.
a) Zur Berechnung des Konfidenzintervalles um den Mittelwert der Grundgesamtheit µ nutzt man
Formel (14-6). Es muss also auch die Standardabweichung des Mittelwertes berechnet werden:
σx̄ =
√4
100
=
4
10
= 0, 4
Symmetrisches Konfidenzintervall (zweiseitig) 1 − α = 0, 95 ⇒ z = 1, 96
KI(µ, 1 − α) = [x̄ − zσx̄ , x̄ + zσx̄ ]
KI(µ, 0, 95) = [73, 17 − 1, 96 · 0, 4; 73, 17 + 1, 96 · 0, 4]
KI(µ, 0, 95) = [72, 386; 73, 954]
µ liegt mit einer Konfidenzwahrscheinlichkeit von 95% zwischen 72,386 und 73,954.
b) Das Intervall wird nicht kleiner oder größer, wenn sich der Stichprobenmittelwert verändert. Die
Größe des Intervalls hängt von der gewählten Vertrauenswahrscheinlichkeit ab und wird kleiner
wenn diese auch kleiner wird bzw. wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit steigt.
c) Eine Intervall-Länge von 0,4 entspricht ± 0,2 auf beiden Seiten des Intervalls.
KI(µ, 0, 95) = [73, 17 − 0, 2; 73, 17 + 0, 2]
0, 2 = z · σx̄ = z ·
0, 2 = 1, 96 ·
√4
n
√σ
n
auflösen nach n ergibt einen Stichprobenumfang von n = 864, 36 ⇒ n = 1536, 64.
d) KI(µ, 0, 99) = [73, 17 − 0, 2; 73, 17 + 0, 2] ⇒ z = 2, 575
0, 2 = z · σx̄ = z ·
√σ
n
0, 2 = 2, 575 · √4n auflösen nach n ergibt einen Stichprobenumfang von n = 1491, 89 ⇒ n = 2652, 25.
Aufgabe 3:
1. Aufstellen der Hypothesen:
H0 : µ ≥ 450Euro
H1 : µ < 450Euro
2. Schätzung
der Standardabweichung
q q
√
1
20
171 = 3Euro
σ̂X̄ = 20
19 ·
3. Berechnung der Prüfgröße
x̄−µ0
= −6, 667
= 430−450
σ̂
4,36
X̄
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4. Kritischer Wert zu α = 0.05
Da Normalverteilung in der Grundgesamtheit angenommen und n < 30, gilt unter der Nullhypothese:
X̄−µ0
∼ tn−1
σ̂
X̄
hier: X̄−450
∼ t19
3
Ft19 [t] = 0.05 → t = −1.729
5. Testentscheidung
−6, 667 < −1.729 ⇒ H0 verwerfen!
Aufgabe 4:
Gegeben:
Stichprobe aus Verteilung 1
mit wahrem Erwartungswert µ1
n1 =46
x1 = 60
s1 = 6
Stichprobe aus Verteilung 2
mit wahrem Erwartungswert µ2
n2 =65
x1 = 57
s2 = 6.4
α = 0.01
Es gilt n1 ; n2 > 30.
⇒ X1 ∼ N V ; X2 ∼ N V
⇒ ∆ ∼ NV
Berechnen der Verteilungsparameter:
q 2
q
s1
1
2
s21 + n12 n2n−1
s22 = n1 −1
+
σ̂∆ = n11 n1n−1
s22
n2 −1
=
q
62
45
+
6.42
64
=
q
36
45
+
40.96
64
=
√
1.44 = 1, 2
Unter der Annahme dass µ1 = µ2 gilt:
α
X 1 − X 2 ∼ N (0, 1.2)
⇒
X 1 −X 2
σ∆
=
X 1 −X 2 α
∼
1.2
N (0, 1)
Aufstellen der Hypothese:
H0 : µ1 ≤ µ2 ⇐⇒ H0 : µ1 − µ2 ≤ 0
H1 : µ 1 > µ 2
Bestimmen des kritischen Wertes: Da es sich um einen einseitigen Test mit Ablehnungsbereich in der
oberen Hälfte der Verteilung handelt, gilt:
FSt [z0 ] = 0.99 ⇒ z0 = z = 2.33
Bestimmen der Prüfgröße:
|x1 −x2 |
σ∆
Es ist
|60−57|
1.2
=
|60−57|
1.2
= 2.5
= 2.5 > 2.33 = z, d.h. die Stiellänge hat sich tatsächlich vergrößert.
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Aufgabe 5:
1. Hypothese aufstellen:
H_0: E(F7)-1 = 0 versus H_A: E(F7)-1 <= 0
2. Kritische Werte der Standardnormalverteilung bestimmen, hier: zweiseitiger Test
set ecrit975 = cnormi(0.975);
H0 nicht ablehnen, wenn t ≤ ecrit 975
3. Teststatistik:
set tf7 = abs(@mean/(@stddev/sqrt(@nobmsd))) ;
4. Entscheidungsregel:
title ’Testergebnis fuer H_0: E(F7)-1 <= 0’;
print tf7 ecrit975;
Das dazugehörige Output lautet:
Testergebnis fuer H_0: E(F7)-1 <= 0
==================================
Value
TF7
9.42361
ECRIT95
1.96
Der kritische Wert lautet 1,96 und die Teststatistik ist der Betrag von: 0.46409/(0.66256/sqrt(181)) =
9.424. Damit wird die Nullhypothese verworfen, d.h. die Studierenden erwarten keine Erhöhung der
Inflationsrate.
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