geschwindigkeit - Hu

Grundbegriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung

Die Geschwindigkeit v eines Körpers ist ein Maß für seinen je Zeiteinheit in
einer bestimmten Richtung zurückgelegten Weg. Sie ist, wie der Ort, ein Vektor
und definiert durch die Relation



 r d r 
v( t )  lim

 r (t)
t 0 t
dt
m
s

SI-Einheit:

Dimension: Länge/Zeit -

Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion
Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, deren Länge den Betrag der
Geschwindigkeit und dessen Richtung die Richtung der Bewegung angibt.
L
T
Die Geschwindigkeit kann sich zeitlich ändern!
Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt to ist der Anstieg der Tangente
der Funktion r(t) bei t = to.
Tangente in P0:
Momentangeschwindigkeit

dx ( t )
v( t  t o ) 
|t t o
dt
Die Mittlere Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t1 und t2 erhält man
aus dem Anstieg der Sekante zwischen den Punkten P1(x1,t1) und P2(x2,t2)
x x 2  x1

t
t 2  t1
Für hinreichend kleine t geht die mittlere
Geschwindigkeit in die
Momentangeschwindigkeit über.
v

Ist die Geschwindigkeit v ( t ) eines Körpers gegeben, so kann man die Weg-Zeit
Funktion r ( t ) durch Integration ermitteln:



r ( t )   v( t )dt  rC
oder
t



r ( t )  r0 ( t 0 )   v( t )dt
t0


rC (t ) : Integrationskonstante; r0 ( t 0 ) : Anfangsbedingung
Beispiel:
geradlinig gleichförmige Bewegung



r (t )  r0 (t  0)  v 0 t


Für v ( t ) = const.= v0 (t ) gilt dann:




Da die Größen v ( t ) , v 0 ( t ) und r ( t ) , r0 ( t ) Vektoren sind, erhält man mit




r ( t )  x ( t ) i  y( t ) j  z ( t ) k




v(t )  v x i  v y j  v z k
und
aus obiger Vektorgleichung drei Gleichungen:
x(t) = xo + v0x t ; y(t) = y0 + v0y t ; z(t) = z0 + v0z t

Ist die Funktion v ( t ) bekannt, so kann der zeitliche Mittelwert der
Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t1 und t2 auch folgendermaßen
berechnet werden:
t2
v

v
 (t )dt
t1
t 2  t1

x 2  x1 x

t 2  t1
t
Die Berechnung des zeitlichen Mittelwertes der Geschwindigkeit durch
Integration führt zum selben Resultat, wie die Berechnung aus dem Anstieg der
Sekante.