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Der Energiesatz der Mechanik
Wir gehen davon aus, dass sich ein Kraftfeld durch ein Potential
ausdrücken lässt. Dies ist dann der Fall, wenn das Potential nur vom
Ort abhängt und nicht von dem Weg, auf dem ein Massenpunkt
dorthin gebracht wird. Solche Kraftfelder, z.B. das Gravitationsfeld,
nennt man konservativ (wie wir sehen werden, weil sie die
mechanische Energie erhalten). Es muss also gelten:
 
 FK ds  0
Mittels der allgemein geltenden Vektoridentitäten
 
 
 Fds   rotF dA (Stokes'scherSatz )
A
und
rot gradV  0
folgt sofort auch formal mathematisch, dass die Kraft aus einem
Potential abgeleitet werden kann, wenn das geschlossene Wegintegral
über der Kraft gleich Null ist:

F  gradV
Für die Reibungskraft gilt dagegen:
 
 FR ds  0
Es ist sofort einzusehen, dass die Reibungsarbeit nicht verschwindet,
wenn man auf einem geschlossenen Kreis fährt. Hier wird
mechanische Energie in Wärme verwandelt, ist also keine
Erhaltungsgröße (Dies ist keine Aussage über die allgemeine
Energieerhaltung).
Die Kraft lässt sich aus einem Potential ableiten, wenn sie nur vom
Ort abhängt. Kräfte, die nur vom Ort abhängen, heißen konservative
Kräfte. Kräfte, die von der Zeit bzw. der Geschwindigkeit abhängen,
sind keine Potentialkräfte.
Für konservative Kräfte gilt mit

F  gradE pot
und




  E pot  E pot  E pot   
gradE pot  d r  
i
j
k  dx i  dy j  dzk 
y
z 
 x
E pot
E pot
E pot
dx 
dy 
dz  dE pot
x
y
z
auch

dE pot

Fv  gradE pot  v  
dt
Außerdem gilt


dv  d
Fv  m v  E kin
dt
dt
Durch Vergleich erhält man:
d
d
E kin   E pot
dt
dt
bzw.
d
E kin  E pot   0
dt
Wenn die totale zeitliche Ableitung einer Größe Null ist, so ist sie eine
Erhaltungsgröße. Die letzte Gleichung drückt somit die Erhaltung der
mechanischen Energie aus, sofern die wirkenden Kräfte konservativ
sind:
E
kin
 E pot   const .