3.2 Der Erwartungswert einer Zufallsgröße

Q12
3. Zufallsgrößen und Binomialverteilung
2
3.2 Der Erwartungswert einer Zufallsgröße
Bsp:
Chuck a luck – ein amerikanisches Glücksspiel (LS S. 65, Nr 6: bsv S. 82, Nr 3, delta S. 76, Nr 1)


Z: Die gesetzte Zahl erscheint,  = ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ

ZZZ
ZZZ, ZZZ, ZZZ,
ZZZ, ZZZ, ZZZ
, Zufallsgröße G (Gewinn)
ZZZ
G() = xi
Kontrolle:
P(G = xi )
Ist dieses Spiel fair?
Welchen durchschnittlichen Verlust/Gewinn kann man bei hinreichend vielen Wiederholungen des Spiels erwarten?
€ zu rechnen. Das Spiel ist
Im Mittel hat der Spieler also mit einem
Definition: X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge { x1; x2; ...; xn } und den Wahrscheinlichkeiten P( X  xi )
Dann heißt der zu erwartende Mittelwert   E ( x)  x1  P ( X  x1 )  x2  P ( X  x2 )  ...  xn  P ( X  xn )
Erwartungswert der Zufallsgröße X.
Aufgabe :
Zufallsexperiment: Werfen einer Laplace-Münze, bis Wappen erscheint, aber höchstens 4 mal
Ergebnismenge:
=
Zufallsgröße:
Anzahl der Würfe
X = xi
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
P(X = xi )
Welche durchschnittliche Anzahl von Würfen kann man bei hinreichend vielen Wiederholungen des
Experiments erwarten?
Erwartungswert: E(x) =
Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung:
P(x=xi)
x
Bemerkungen:
-
Der Erwartungswert muss nicht einer der Werte sein, den die Zufallsgröße annimmt.
-
Der Erwartungswert muss nicht in der Nähe des wahrscheinlichsten Wertes der Zufallsgröße liegen.
-
Ein Spiel mit einem Einsatz, bei dem man dem Erwartungswert nach weder verliert noch gewinnt, nennt man
gerecht oder fair. Es gilt dann E(x) = 0.
www.mathematik.digitale-schule-bayern.de
© Maria Eirich, Andrea Schellmann
Q12
3. Zufallsgrößen und Binomialverteilung
2
3.2 Der Erwartungswert einer Zufallsgröße
Bsp:
Chuck a luck – ein amerikanisches Glücksspiel (LS S. 65, Nr 6: bsv S. 82, Nr 3, delta S. 76, Nr 1)


Z: Die gesetzte Zahl erscheint,  = ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ, ZZZ

ZZZ
ZZZ, ZZZ, ZZZ,
ZZZ, ZZZ, ZZZ
ZZZ
G() = xi
-1
1
2
3
3
2
2
, Zufallsgröße G (Gewinn)
Kontrolle:
3
125
1 5
75
1
5
 1  5 15  1 
P(G = xi )   
3   
3   



216
6 6
216
216
6
 6  6 216  6 
125 75
15
1
216





216 216 216 216 216
Ist dieses Spiel fair? Die Wahrscheinlichkeit für ZZZ ist größer als 50%, man müsste untersuchen, ob die Gewinne von
1, 2 und 3 € dieses Ungleichgewicht wieder ausgleichen.
Welchen durchschnittlichen Verlust kann man bei hinreichend vielen Wiederholungen des Spiels erwarten?
1
125
75
15
1
1
17
 1
 2
 3

  125  75  30  3  
 0, 08€
216
216
216
216 216
216
Im Mittel hat der Spieler also mit einem Verlust von 0,08 € zu rechnen. Das Spiel ist nicht fair.
Definition: X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge { x1; x2; ...; xn } und den Wahrscheinlichkeiten P( X  xi )
Dann heißt der zu erwartende Mittelwert   E ( x)  x1  P ( X  x1 )  x2  P ( X  x2 )  ...  xn  P ( X  xn )
Erwartungswert der Zufallsgröße X.
Aufgabe :
Zufallsexperiment: Werfen einer Laplace-Münze, bis Wappen erscheint, aber höchstens 4 mal
Ergebnismenge:
 = {W, ZW, ZZW, ZZZW, ZZZZ}
Zufallsgröße:
Anzahl der Würfe
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
X=k
1
2
3
4
P(X = k)
1
2
1
4
1
8
1
8
Welche durchschnittliche Anzahl von Würfen kann man bei hinreichend vielen Wiederholungen des
Experiments erwarten?
1
1
1
1
Erwartungswert: E(x) = 1 
+2
+3
+4
= 1,875
2
4
8
8
Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung:
P(x=xi)
1/2
1/4
1/8
1
2

3
4
x
Bemerkungen:
-
Der Erwartungswert muss nicht einer der Werte sein, den die Zufallsgröße annimmt.
-
Der Erwartungswert muss nicht in der Nähe des wahrscheinlichsten Wertes der Zufallsgröße liegen.
-
Ein Spiel mit einem Einsatz, bei dem man dem Erwartungswert nach weder verliert noch gewinnt, nennt man
gerecht oder fair. Es gilt dann E(x) = 0.
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© Maria Eirich, Andrea Schellmann