Einf¨uhrung in die Astronomie – ¨Ubungen

Einführung in die Astronomie – Übungen
Lösungsvorschläge zur 8. Übungsserie
2016-12-22
Aufgabe 8.1
Man kann mindestens zwei Gründe dafür finden, warum wir keine grünen Sterne sehen. Zum einen würde
dies bedeuten, dass das Spektrum des Sternes ein ausgeprägtes Maximum im Bereich grüner Wellenlängen“
”
haben müsste. Dieser Umstand ist aber bei Sternen nicht gegeben, da der Hauptbeitrag der Strahlung von
thermischer Emission kommt, und das Spektrum entsprechend einem Schwarzkörper recht ähnlich ist. Die Breite
dessen Maximums ist aber vergleichbar oder größer als die Breite des vom menschlichen Auge wahrnehmbaren
Spektralbereichs (und das nicht von ungefähr. . . ), sodass der Abfall zum blauen und roten Rand hin gering
ausfällt. Das Maximum liegt für sonnenähnliche Sterne zwar im Grünen, ist aber eher ein Plateau.
Zum anderen sind grüne Sterne, wenn überhaupt, am ehesten mit sonnenähnlichen Sternen zu identifizieren.
Unglücklicherweise ist unser Auge aber gerade auf deren Farbe abgeglichen. Dies ist der Grund, warum
(reflektiertes) Sonnenlicht uns weiß erscheint. Das beste (oder zumindest aktuellste) Beispiel ist weißer Schnee.
Auch wenn das Maximum also im Grünen liegt, sehen wir das Licht trotzdem als weiß. Relativ zu dieser solaren
Referenz“ bewerten wir ja auch erst, was ein blauer und was ein roter Stern ist.
”
Aufgabe 8.2
Die Linienverbreiterung wird hauptsächlich durch Dopplerverschiebung auf Grund der Bewegung der Emittenten
und Absorber (Moleküle, Atome, Ionen) hervorgerufen, Bewegung auf den Beobachter zu oder von ihm weg.
Ein wichtiger Aspekt ist die Rotationsverbreiterung, also die Verbreiterung der Spektrallinien auf Grund der
Rotation des Sterns um seine Achse. Die maximale Stärke dieses Effekts lässt sich abschätzen indem man
die Ränder des scheinbaren Sternscheibchens betrachtet: Am Rand auf dem Äquator des Stern bewegt sich
die Oberfläche (bei entsprechendem Betrachtungswinkel) rein radial auf den Betrachter zu bzw. von ihm weg.
Die für die Dopplerverschiebung relevante Radialgeschwindigkeit ist hier betragsmäßig gegeben durch die
Tangentialgeschwindigkeit der Rotation:
vrot =
2πR∗
,
P∗
(1)
wobei R∗ den Radius des Sterns und P∗ seine Rotationsperiodendauer bezeichne. Allgemein kann diese Geschwindigkeit die Fluchtgeschwindigkeit des Sterns nicht überschreiten, da sich sonst dessen Hülle ablösen
würde. Es gilt also
r
GM∗
vrot <
,
(2)
R∗
wobei M∗ die Masse des Sterns darstelle. Wählt man einen Stern wie die Sonne als erste Näherung (M∗ ≈
2 · 1030 kg und R∗ = R = 7 · 108 m), dann erhält man etwa
vrot < 440 km/s.
(3)
vrot
−3
Dies entspricht einer Verschiebung ∆λ
λ = c / 1,5 · 10 . Setzt man stattdessen die konkrete Rotationsperiode
der Sonne als Beispiel ein, P∗ = P = 25 d, dann folgt vrot ≈ 2 km/s bzw.
∆λ
λ
= 7 · 10−6 .
(4)
Ebenfalls wichtig ist die thermische Verbreiterung, das heißt der Einfluss der thermischen Bewegung. Näherungsweise
gilt hier
Ekin =
mv2therm
= kT∗
2
(5)
1
und somit
r
vtherm =
2kT∗
.
m
(6)
Der Parameter T∗ bezeichne dabei die effektive Sterntemperatur und m die typische atomare Masse, also konkret
etwa die Masse des Wasserstoffatoms: m ≈ 1,6 × 10−27 kg. Für T ≈ 6000 K erhält
vtherm ≈ 10 km/s
und
∆λ
λ
= 3 · 10−5 .
(7)
Die Abhängigkeit von der Temperatur ist hier relativ gering, sodass sich das Ergebnis selbst über einen Bereich
von 2000 bis 20 000 K nur um einen Faktor 3 ändert. (Einige Fraunhoferlinien gehen auch auf andere Elemente
wie Natrium, Magnesium oder Eisen zurück und weisen durch das größere Atomgewicht eine geringere
thermische Verbreiterung auf.)
Zusammenfassend kann man sagen, dass für alte, langsam rotierende Sterne wie die Sonne die thermische Verbreiterung etwas stärker ist. Für schneller rotierende (wie z. B. Wega) kann allerdings die Rotationsverbreiterung
dominieren.
Aufgabe 8.3
Der Übergang zwischen zwei Energieniveaus des Wasserstoffs findet bei einer Wellenlänge
λik = λ1∞
i2 k2
|i2 − k2 |
(8)
statt. Für i = 10 und k = 11 und mit λ1∞ = 912 Å ergibt dies
λ10,11 ≈ 576λ1∞ ≈ 52,5 µm.
(9)
Diese Wellenlänge liegt im fernen Infraroten, das nahezu vollständig von der Erdatmosphäre geblockt wird.
Daher ist die Beobachtung dieses Übergangs vom Erdboden aus nicht sinnvoll möglich.
Zusatzaufgabe 8.4
Aus der Übergangswahrscheinlichkeit (bzw. Zerfallsrate) p ergibt sich sofort die Lebensdauer dieses Zustandes:
∆t =
1
1
=
= 3,4 · 1014 s = 1,1 · 107 Jahre.
p 2,9 · 10−15 /s
(10)
(auch wenn die explizite Berechnung von ∆t nicht nötig ist, da man, wie sich weiter unten zeigen wird, nur das
bereits gegebene 1/∆t benötigt). Mittels der Unschärferelation gelangt man dann zur (energetischen) Breite der
Linie:
∆E ≥
h̄
.
2∆t
(11)
Die Energie eines Übergangs hängt nun mit der Wellenlänge der zugehörigen Photonen über
E = hν =
hc
λ
(12)
zusammen, woraus sich
∆E =
hc
∆λ
λ2
(13)
2
und
∆λ =
λ2
∆E
hc
(14)
ergibt. Mit λ = 21 cm und 1/∆t = 2,9 · 10−15 /s erhält man schließlich
∆λ ≥
λ2
= 3,4 · 10−26 m.
4πc∆t
(15)
Die extrem geringe (natürliche) Linienbreite ist – genau wie die lange Lebensdauer – ein Maß für die ebenfalls
extrem geringe Wahrscheinlichkeit des Übergangs.
3