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Die x1x2-Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt.
Eine Radarstation befindet sich im Punkt R1(6|3|0).
Das Radar erfasst ein Testflugzeug F1 um 7:00 Uhr im Punkt P(7|29|7) und
ermittelt als Flugbahn des Flugzeugs
Abiturprüfung Mathematik 2009
Baden-Württemberg
Allgemeinbildende Gymnasien
Wahlteil – Geometrie II

7
3
f 1 : x= 29 t −2
7
−1
b) Eine weitere Radarstation befindet sich im Punkt R2(17|9|0).
Der Anflug des Testflugzeugs F1 auf den Flugplatz ist optimal, wenn die
Flugbahn f1 und die beiden Radarstationen in einer Ebene liegen.
Prüfen Sie, ob das zutrifft.
Die Radarstation R2 übernimmt die Flugüberwachung zu dem Zeitpunkt,
ab dem sich das Flugzeug von R1 entfernt.
Um wieviel Uhr ist dies der Fall?
(6 VP)
Klaus Messner, [email protected]
  
18
2
f 2 : x = 11 t 2
7
0
(t in Minuten nach 7.00 Uhr, Koordinatenangaben in km)
Wie weit sind die Flugzeuge F1 und F2 um 7:04 Uhr voneinander entfernt?
Berechnen Sie, wie nahe sich die beiden Flugzeuge kommen.
(4 VP)
Lösung:
(t in Minuten nach 7.00 Uhr, Koordinatenangaben in km)
a) In welchem Punkt befindet sich das Flugzeug um 7:01 Uhr?
Woran erkennen Sie, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet?
Unter welchem Winkel fliegt das Flugzeug auf den Boden zu?
Zu welcher Uhrzeit und in welchem Punkt würde es bei Beibehaltung
dieser Flugbahn auf dem Boden aufsetzen?
(6 VP)
Lösung
der Aufgabe 1
c) Die Flugbahn eines zweiten Testflugzeugs F2 wird beschrieben durch
2
Aufgabe II 1
3
4
a) Es folgt:
∣   ∣ ∣ ∣
7
10
−3
s= 29 − 27 = 2 = −32 22 12≈3,74
7
6
1
s 3,74 km 60⋅3,74 km
km
=
=224,5
Für die Geschwindigkeit gilt dann: v = =
t
1 min
60⋅1 min
h
Schnittwinkel:
Der Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist gegeben
    
durch: sin =
Um 7.01 befindet sich das Flugzeug im Punkt Q(10|27|6).
Mit zunehmender Zeit t nimmt die x3-Koordinate also die Höhe immer
mehr ab. Das Flugzeug befindet sich daher im Sinkflug.
0
3
n= 0 , u = −2
−1
1
7
3
10
a) Setze t=1 und erhalte: x = 29 1 −2 = 27
−1
7
6
Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h: Bestimme zunächst die Entfernung der Punkte P und Q. Diese Entfernung wird in einer Minute zurückgelegt. Daraus ergibt sich die Geschwindigkeit in km/h.
∣n⋅u∣
n der Normalenvektor der Ebene und u
 der
wobei 
∣n∣⋅∣u∣
Richtungsvektor der Geraden ist. Es ergibt sich:
  
⇒ ∣n⋅u
∣=1, ∣n
∣⋅∣u
∣= 1 ⋅ 3 −2 −1 =  14
1
⇒ sin =
⇒ ≈15,5 °
 14
2
2
2
2
Der Schnittwinkel zwischen Flugbahn und Boden beträgt etwa 15,5°.
b) Test, ob f1, R1 und R2 in einer gemeinsamen Ebene liegen:
5
3r  1s = 10
−2r26s =−20
−1r  7s =−7
Die beiden Radarstationen R1 und R2 befinden sich zwar am Boden, aber
zwei Punkte alleine beschreiben noch keine Ebene. Die Frage ist also, ob
es möglich ist, eine Ebene E zu finden, die R1, R2 und die Gerade f1
enthält. Hierzu nehmen wir den Stützvektor von f1 als Stützvektor von
E und den Richtungsvektor von f1 als einen der beiden Richtungsvektoren von E. Damit ist sichergestellt, dass ganz f1 in E liegt. Den zweiten
Richtungsvektor von E bilden wir aus der Differenz des Stützvektors und
R1. Daraus erhalten wir eine vollständige Ebenengleichung für E und wir
haben zu testen, ob auch R2 in dieser Ebene liegt. Somit gilt:
 
7
3
7−6
E : x = 29 r −2 s 29−3
7−0
7
−1

=
−1−3t
−262t
−7t
=

7
Ergebnis: Der kürzeste Abstand von F1 zu R1 wird um 7.04 Uhr erreicht
und beträgt dann 22,4km. Ab 7.04 Uhr übernimmt die Radarstation R2
die Flugüberwachung.
c) Wie weit sind die beiden Flugzeuge um 7.04 Uhr voneinander entfernt?
Um die beiden Punkte zu erhalten, in denen sich F1 und F2 um 7.04 Uhr
befinden, setzen wir t=4 in die jeweilige Flugbahn ein und erhalten:
    
7
3
19
p = 29 4 −2 = 21
7
3
−1
    
18
2
26
q = 11 4 2 = 19
für F1 und 
7
0
7
3
für F2
folgt Pt(7+3t|29-2t|7-t).
−1
7
Diesen Term geben Sie über den Y-Editor in den GTR ein und ermitteln
mit 2ND CALC minimum die Koordinaten des Minimums. Sie erhalten: x=4
und y=22,4.
−2r−13=−20
−2r=−7 ⇒ r =3,5
Es sein Pt der Punkt an dem sich das Flugzeug F1 zum Zeitpunkt t
befindet. Wir bestimmen den Zeitpunkt der kürzesten Entfernung von F1
zu R1. Ab diesem Zeitpunkt entfernt sich F1 von R1 und R2 übernimmt
die Flugüberwachung.
Mit f 1 : x= 29 t −2
−1−3t2−262t2−7t2
s =−0,5
Um wieviel Uhr übernimmt die Radarstation R2 die Flugüberwachung?
10
3
1
⇒ −20 =r −2 s 26
7
−7
−1
∣   ∣ ∣ ∣
6
73t
3 − 29−2t
0
7−t
⇒
Die Flugbahn ist optimal.
7
3
1
⇒ E : x = 29 r −2 s 26
7
7
−1
Der Abstand zur Radarstation R1 ist dann gegeben durch:
3r  1s = 10
−2r26s =−20
22s =−11
Das lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, das bedeutet, dass die
beiden Radarstationen mit der Flugbahn f1 in einer Ebene liegen.
            
d = ∣
P t R1∣ =

⋅3
⇒
⇒
⇒
x ein und testen, ob die
Jetzt setzen wir den Ortsvektor von R2 für 
Gleichung erfüllt wird:
17
7
3
1
9 = 29 r −2 s 26
0
7
7
−1
6
b) Wir erhalten das folgende lineare Gleichungssystem:
7
8
c) Für den Abstand gilt dann:
d = ∣
P Q∣ =
∣   ∣ ∣ ∣
26
19
19 − 21
7
3
=
7
−2
4
=
7 2−22 4 2
=
 72−2242
≈ 8,31
Ergebnis: Der Abstand der beiden Flugzeuge um 7.04 Uhr beträgt etwa
8,31km.
Kleinster Abstand der beiden Flugzeuge:
Bestimmen Sie zuerst die beiden Punkte Pt und Qt in denen sich die
Flugzeuge zum Zeitpunkt t befinden. Aus b) wissen wir bereits, dass für
  
18
2
F1 Pt(7+3t|29-2t|7-t) gilt. Aus f 2 : x = 11 t 2 erhalten wir für F2
7
0
Qt(18+2t|11+2t|7). Für den Abstand gilt dann:
d = ∣
P t Qt∣ =
∣   ∣ ∣ ∣
182t
73t
112t − 29−2t
7
7−t
=
11−t
−184t
t
=
11−t 2−184t2t 2
Den Ausdruck  11−t 2−184t 2t 2 geben Sie im Y-Editor Ihres GTR ein.
Lassen Sie sich mit GRAPH die Kurve zeichnen und berechnen Sie mit
2ND CALC minimum das Minimum. Sie erhalten: y=7,89.
9
10
11
12
Ergebnis: Die beiden Flugzeuge können sich höchsten etwa 7,9km nahe
kommen.