Zulassungsarbeit - Friedrich-Alexander-Universität Erlangen

Ein Praktikumsversuch für
Fortgeschrittene
Zulassungsarbeit
zur wissenschaftlichen Staatsprüfung
für das Lehramt an Gymnasien
von
Andreas Philippi
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Physikalisches Institut
Lehrstuhl für angewandte Optik
Mai 1996
Inhaltsverzeichnis
2
ZUSAMMENFASSUNG..................................................................................................... 5
1 EINLEITUNG UND MOTIVATION............................................................................. 6
1.1 WAS SIND SPECKLE?..................................................................................................... 6
1.2 FORSCHUNG UND ANWENDUNG .................................................................................... 8
1.3 ZIELE DES VERSUCHS ................................................................................................... 9
1.4 AUFBAU DER ARBEIT .................................................................................................. 10
2 GRUNDLAGEN DER OPTIK ...................................................................................... 11
2.1 OPTISCHE ABBILDUNGSGLEICHUNG ........................................................................... 11
2.2 WELLENOPTIK ............................................................................................................ 12
2.3 INTERFERENZ .............................................................................................................. 16
2.4 BEUGUNGSTHEORIE .................................................................................................... 17
2.4.1 Skalare Beugungstheorie ................................................................................18
2.4.2 Fresnelsche Näherung.....................................................................................18
2.4.3 Fraunhofersche Näherung ..............................................................................19
2.4.4 Fraunhofersche Beugungsbilder – Fouriertransformation..............................20
2.5 KOHÄRENZTHEORIE .................................................................................................... 24
2.5.1 Zeitliche Kohärenz .........................................................................................24
2.5.2 Räumliche Kohärenz ......................................................................................27
2.5.3 Van Cittert-Zernike Theorem .........................................................................30
2.5.4 Begriffe der Kohärenztheorie .........................................................................33
3 SPECKLETHEORIE..................................................................................................... 35
3.1 ENTSTEHUNG VON SPECKLE ....................................................................................... 35
3.1.1 Objektive Speckle...........................................................................................36
3.1.2 Subjektive Speckle .........................................................................................36
3.2 FIRST-ORDER STATISTIK ............................................................................................ 38
3.2.1 Random walk in der komplexen Ebene..........................................................38
3.2.2 Statistik der komplexen Amplitude ................................................................40
3.2.3 Statistik der Intensität und Phase....................................................................41
3.2.4 Specklekontrast...............................................................................................43
3.3 SPECKLEGRÖßE ........................................................................................................... 43
3.3.1 Größe objektiver Speckle ...............................................................................44
3.3.2 Größe subjektiver Speckle..............................................................................48
3.3.3 Longitudinale Ausdehnung objektiver Speckle..............................................50
3.4 MEßUNSICHERHEIT DURCH SPECKLE - PARALLELEN ZUR HEISENBERGSCHEN
UNSCHÄRFE ................................................................................................................ 51
3.4.1 Meßunsicherheit beim Triangulationssensor..................................................51
3.4.2 Heisenbergsche Unschärfe und Meßunsicherheit...........................................54
3.5 SPECKLE BEI PARTIELL KOHÄRENTER BELEUCHTUNG................................................. 56
Inhaltsverzeichnis
3
3.5.1 Räumlich partielle Kohärenz ..........................................................................56
3.5.2 Weißlichtspeckle ............................................................................................57
3.6 ZUSAMMENFASSUNG DER SPECKLETHEORIE ............................................................... 58
4 VERSUCHSAPPARATUR ........................................................................................... 60
4.1 BESCHREIBUNG DER OPTISCHEN BAUTEILE UND INSTRUMENTE ................................. 60
4.1.1 Lichtquellen ....................................................................................................60
a) Laser .................................................................................................................... 60
b) Halogenlampe ..................................................................................................... 62
4.1.2 Optische Bauteile............................................................................................63
a) Filter .................................................................................................................... 63
b) Linse .................................................................................................................... 64
c) Mattscheibe ......................................................................................................... 66
d) Blende ................................................................................................................. 67
4.1.3 Das menschliche Auge ...................................................................................67
a) Aufbau des Auges ............................................................................................... 68
b) Bilderzeugung ..................................................................................................... 68
c) Sehwinkel und Auflösungsvermögen.................................................................. 70
4.1.4 Beobachtungsinstrumente...............................................................................71
a) Lupe..................................................................................................................... 71
b) Mikroskop ........................................................................................................... 72
4.2 VERSUCHSAUFBAU ..................................................................................................... 73
5 EXPERIMENTELLER TEIL ....................................................................................... 75
5.1 OBJEKTIVE SPECKLE ................................................................................................... 76
5.1.1 Laterale Specklegröße ....................................................................................77
5.1.2 Fokusbestimmung mit Hilfe der Specklebewegung.......................................78
a) Specklebewegung ................................................................................................ 78
b) Fokusbestimmung ............................................................................................... 80
5.1.3 Abhängigkeit der Speckle von der Beleuchtungsapertur ...............................80
a) Kreisblende.......................................................................................................... 81
b) Spaltblende .......................................................................................................... 81
c) Astigmatismus ..................................................................................................... 82
5.2 SUBJEKTIVE SPECKLE ................................................................................................. 83
5.2.1 Scheinbare Bewegung und Größe subjektiver Speckle im Auge ...................83
a) Scheinbare Specklebewegung ............................................................................. 83
b) Specklegröße ....................................................................................................... 84
5.2.2 Subjektive Speckle beim künstlichen Auge ...................................................85
a) Specklebewegung ................................................................................................ 86
b) Beugungsbild....................................................................................................... 86
c) Größe der subjektiven Speckle............................................................................ 87
5.3 MEßUNSICHERHEIT DURCH SPECKLE .......................................................................... 87
5.4 SPECKLE BEI PARTIELL KOHÄRENTER BELEUCHTUNG................................................. 89
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4
5.4.1 Laser mit rotierender Mattscheibe..................................................................89
a) Specklekontrast und räumlich partielle Kohärenz............................................... 90
b) Subjektive Speckle bei räumlich partieller Kohärenz ......................................... 91
5.4.2 Weißlichtspeckle ............................................................................................92
ANHANG A:
ANLEITUNG FÜR DEN VERSUCH IM PRAKTIKUM FÜR
FORTGESCHRITTENE....................................................................... 93
ANHANG B:
RAYLEIGHSCHES SCHÄRFENTIEFEKRITERIUM .................. 100
VERZEICHNIS DER VERSUCHSGERÄTE .............................................................. 103
LITERATURVERZEICHNIS ....................................................................................... 105
SACHWORTVERZEICHNIS ....................................................................................... 107
DANK.................. ..................................... FEHLER! TEXTMARKE NICHT DEFINIERT.
SELBSTÄNDIGKEITSERKLÄRUNG FEHLER! TEXTMARKE NICHT DEFINIERT.
Zusammenfassung
Wenn kohärentes Licht an einer optisch rauhen Oberfläche gestreut wird, so überlagern sich viele
unabhängige Elementarwellen. Im Raum entsteht ein Interferenzbild, das eine granulare Struktur besitzt.
Diese Granulation wird Speckle genannt. Die Eigenschaften des Specklemusters hängen von der Kohärenz
der Beleuchtung und von der Mikrostruktur des beleuchteten Objektes ab. Im Specklefeld sind Informationen
über die Beleuchtung und die dreidimensionale Gestalt des Objektes codiert.
Die Specklephänomene lassen sich mit Hilfe der Vielstrahlinterferenz, der Beugung und der Kohärenz der
Beleuchtung erklären. Die gestreuten Huygensschen Elementarwellen von der rauhen Oberfläche
interferieren im Raum. Die Phase der einzelnen Streuwellen variiert in Abhängigkeit von der
unterschiedlichen optischen Weglänge, die durch die Mikrostruktur der Oberfläche bedingt ist. Mit Hilfe
eines statistischen Modells für die optisch rauhe Oberfläche läßt sich für kohärente Beleuchtung zeigen: Die
Intensität im Specklefeld besitzt eine negative exponentielle Verteilungsfunktion. Die häufigste Intensität ist
null, der Specklekontrast ist eins. Die Größe der objektiven Speckle ist proportional zu Wellenlänge und
Abstand sowie umgekehrt proportional zum Beleuchtungsspotdurchmesser. Wird das Specklefeld durch ein
optisches System abgebildet, so entstehen subjektive Speckle. Ihre Größe ist ungefähr gleich dem halben
Durchmesser des Beugungsscheibchens der abbildenden Optik.
Bei der Untersuchung der Meßunsicherheit von 3D-Sensoren stößt man auf eine fundamentale
Meßunsicherheit, deren Hauptursache die Speckle sind. Überraschenderweise ergibt sich dasselbe Ergebnis,
wenn die Heisenbergsche Unschärfe auf ein einzelnes Photon angewandt wird. Die Meßunsicherheit ist
proportional zum Specklekontrast. Durch die Verwendung von partiell kohärentem Licht kann der Kontrast
reduziert werden. Er hängt bei subjektiven Speckle von mehreren Einflußgrößen ab: von der räumlichen und
zeitlichen Kohärenz des Lichtes, von der Punktbildfunktion der Abbildung und von der Oberflächenrauhigkeit.
Inhaltsverzeichnis
6
1 Einleitung und Motivation
Etwa 70% aller Informationen aus unserer Umwelt nehmen wir visuell auf. Licht, das an Gegenständen
gestreut wird und unser Auge erreicht, liefert uns Informationen über Lage, Form und Farbe dieser Objekte.
In der Netzhaut weiterverarbeitet, auf Fotomaterial gespeichert oder von einer Videokamera in elektrische
Signale umgesetzt, bildet es die Grundlage zur quantitativen Beschreibung von Beobachtungen. Licht ist ein
vielseitiger Meßfühler bei physikalischen Experimenten. Die Information, die man damit über das Objekt
gewinnen kann, hängt von den Charakteristika des Lichtes, wie Farbe, Intensität, zeitlicher Verlauf und
räumliche Verteilung ab. Auch der Detektor, etwa das Auge oder die Kamera, ist entscheidend.
Seit der Entwicklung des Lasers Anfang der 60er Jahre kommt zu den klassischen Eigenschaften des Lichtes
noch eine weitere hinzu, perfekte Kohärenz. Beleuchtet man Gegenstände mit Laserlicht, so sehen sie anders
aus als in weißem Licht oder im Licht einer gleichfarbigen Spektrallampe. Als Beispiel hierfür wurde in Bild
1.1 ein Zementblock einmal mit dem Licht einer Quecksilberbogenlampe beleuchtet, ein anderes Mal mit
Laserlicht.
a)
b)
Bild 1.1: Fotos eines Zementblockes bei Beleuchtung mit Quecksilberbogenlicht (a) und HeNe Laserlicht (b): eine feine Körnigkeit, Lasergranulation oder Speckle genannt,
überzieht das Laserbild. (aus [Hecht, 1989, S.626])
Die Laserbeleuchtung fügt dem Bild eine alles überziehende Körnigkeit hinzu, die sogenannten Speckle. Im
Deutschen spricht man auch von Granulation. Eine interessante Frage ist, welche Informationen über das
Objekt die Speckle zusätzlich liefern.
1.1 Was sind Speckle?
Schon mit einem kleinen Laser, wie er als optischer Zeigestock im Handel ist, lassen sich Specklephänomene
leicht beobachten: Der Laser wird mit einer einfachen Linse aufgeweitet und auf eine weiße Wand gelenkt.
Inhaltsverzeichnis
7
Der Lichtspot erscheint mit hellen und dunklen Gebieten gefleckt1. Die Flecken führen einen
psychedelischen Tanz auf, sie schimmern und funkeln. Bei der detaillierten Beobachtung zeigen sich eine
Vielzahl weiterer Phänomene, die im Zusammenhang mit Speckle auftreten: Betrachtet man durch ein
kleines Loch, so ziehen sich immer gröbere Körner über die Beobachtungsfläche. Weiter fällt auf, daß sich
das Specklemuster bei Kopfbewegung verschiebt. Betrachtet ein Brillenträger das Muster und setzt dabei
seine Brille ab, so bleiben die Speckle scharf. Fokussiert man mit dem Auge auf verschiedene Abstände vor
der Wand, so wird die Wand unscharf, die Speckle sind jedoch stets gestochen scharf. Die Granulation läßt
sich auch ohne jede optische Abbildung durch das Auge oder Linsen erzeugen. Ein He-Ne-Laser zum
Beispiel, der auf eine matte Oberfläche fokussiert ist, überzieht den Raum mit grobstrukturierter Fleckigkeit
(Bild 1.2).
Bild 1.2: Das Streulicht einer von einem He-Ne-Laser beleuchteten Mattscheibe erfüllt das
Labor mit einem Specklefeld.
Die körnige Erscheinung im gestreuten Licht ist die beeindruckende Manifestation der räumlichen und
zeitlichen Kohärenz des Laserlichtes. Die Kohärenz ist der Schlüssel zur Erklärung des Specklemusters:
Hierzu werde angenommen, daß das Laserlicht vollkommen kohärent und somit unbegrenzt interferenzfähig
ist. Die Ausbreitung einer Lichtwelle läßt sich nach dem Huygensschen Prinzip durch Überlagerung vieler
gestreuter Kugelwellen beschreiben (Bild 1.3).
einfallendes
Licht
λ
Specklefeld
Streulicht
Rauhigkeit
Oberfläche
Bild 1.3: Entstehung des Specklefeldes durch kohärente Überlagerung einer großen Anzahl
Huygensscher Streuwellen
1
Speckle kommt aus dem Englischen und heißt Fleck bzw. Flecken.
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8
Wegen der Kohärenz müssen die Amplituden addiert werden, wobei ihre Phasenlage entscheidend ist. Im
Raum vor einer lichtstreuenden Fläche überlagern sich sehr viele solcher Wellen. Ist die Fläche »optisch
rauh«, d.h. sind die feinen, zufällig verteilten Unregelmäßigkeiten mindestens von der Größenordnung der
Lichtwellenlänge λ, so haben die einzelnen Teilwellen, durch den jeweils zurückgelegten Weg, variierende
Phasen erhalten. Bei der Addition ergibt sich nach statistischen Gesetzen eine örtlich wechselnde Lichtintensität, das Specklemuster. Mit Hilfe eines einfachen statistischen Modells für die optisch rauhe Oberfläche können die Eigenschaften des Specklefeldes untersucht werden.
Bei der Abbildung mit dem Auge oder Fotoapparat ergibt sich die Überlagerung von Wellen aufgrund des
endlichen Auflösungsvermögens der abbildenden Optik: Die beugungsbegrenzten Bilder benachbarter
Objektpunkte interferieren. Die resultierende Helligkeitsverteilung ist wieder durch die zufällig verteilten
Phasen bestimmt. Die Körnigkeit des Musters hängt in diesem Fall von der Apertur ab, da diese die Größe
des Beugungsbildes bestimmt.
Sowohl bei der Abbildung als auch bei der freien Ausbreitung des Specklefeldes, ist die jeweilige Phasenlage
der Teilwellen durch die Mikrostruktur der Oberfläche bestimmt. Sie ist entscheidend für das entstehende
Muster. Das Specklemuster ist ein verschlüsselter Träger der dreidimensionalen Information über die
Oberflächenform. Von besonderem Interesse dabei ist, daß alle Details und Größen in dieser 3D-Information
in Einheiten der Lichtwellenlänge (≈0,6 µm) codiert sind. Das Specklemuster ändert sich bereits, wenn durch
feine Oberflächenveränderungen die Phase der gestreuten Lichtwellen verändert wird. Als Grenze kann man
etwa ein Zehntel der Wellenlänge annehmen. Das Specklebild (Bild 1.1b) enthält damit weitaus detailliertere
Informationen als das Bild im Quecksilberbogenlicht (Bild 1.1a).
Zufällig verteilte Phasen entstehen nicht nur durch unterschiedlich lange geometrische Wege, wie in Bild 1.3,
sondern maßgeblich ist der optische Weg: das Produkt aus Brechungsindex und Weglänge. Bei konstantem
Weg kann ein örtlich variierender Brechungsindex, z.B. durch Temperaturfluktuationen in der Luft, ebenfalls
Speckle hervorrufen. Das Flackern des Lichtes von Sternen, Szintillation genannt, das durch die Störungen
der Erdatmosphäre hervorgerufen wird, ist ebenfalls ein Specklephänomen.
Der vollständig kohärente Laserstrahl ist ideal um Speckle zu betrachten. Zwingende Voraussetzung ist er
jedoch nicht. Auch mit Lichtquellen des täglichen Lebens, wie Sonne oder Glühlampen, lassen sich Speckle
beobachten. Denn auch sie erzeugen partiell kohärentes Licht, wenn der Beobachtungsort nur weit genug von
der Strahlungsquelle entfernt liegt. Im ungefilterten Sonnenlicht sind die beobachtbaren Speckle klein und
farbig. Der Effekt kann leicht auf einem matten schwarzen Material wahrgenommen werden, auf dem man
die diffusen Reflexionen der Sonne betrachtet. Ebensogut sind Sonnenspeckle auf einem Fingernagel oder
einer abgenutzten Münze zu beobachten [Hecht, 1989,S.626].
Das Specklephänomen ist besonders in den Blickpunkt des naturwissenschaftlichen Interesses gerückt, seit
der Laser zu Beginn der 60er Jahre erfunden wurde. Doch Speckleerscheinungen wurden bereits früher durch
zahlreiche Wissenschaftler untersucht. Der erste war Newton im Jahr 1730. Er interpretierte die
Beobachtung, daß Szintillation zwar für Sterne, nicht aber für Planeten wahrgenommen werden kann
[Newton, 1979, S.110]. Heute erklären wir dies mit Hilfe der unterschiedlichen räumlichen Kohärenz der
beiden Quellen.
Es sollte erwähnt werden, daß auch in anderen Bereichen des elektromagnetischen Spektrums und auch bei
Teilchen Phänomene auftreten, die eng mit den Speckleerscheinungen verwandt sind. Der Speckleeffekt bei
Radiowellen macht sich zum Beispiel bemerkbar, wenn man ein bewegtes Radio hört, dessen Signalstärke
von einem Ort zum anderen schwankt, abhängig von der Umgebung und dem sich ergebenden Interferenzmuster [Hecht, 1989, S.626].
1.2 Forschung und Anwendung
Heute liegt das Hauptinteresse auf der Erforschung und Anwendung der Specklemuster in folgenden sechs
Gebieten:
(1) Fundamentale statistische Eigenschaften
(2) Specklereduktion in optischen und holographischen Systemen
(3) Messung von Oberflächenrauhigkeiten
(4) Anwendungen in der Bildverarbeitung
(5) Anwendungen in der Meßtechnik
(6) Stellare Speckle-Interferometrie
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9
Auf die elementaren statistischen Eigenschaften wird in Kapitel 3 dieser Arbeit eingegangen. Detaillierte
Analysen der Specklestatistik für kohärente bzw. partiell kohärente Beleuchtung sind in [Goodman, 1984]
und [Parry, 1984] gegeben.
Speckle müssen nicht immer nur ästhetisch schön und didaktisch lehrreich sein, wie in den anfangs
geschilderten kleinen Experimenten. Bei kohärent beleuchteten Systemen in der Praxis können Speckle
äußerst unangenehm werden. Zum Beispiel bei kohärenten Abbildungen in der Holographie ist das
Specklemuster ein sehr störendes Untergrundrauschen. In der optischen Meßtechnik erweisen sich Speckle
als Hauptursache der Meßunsicherheit [Herrmann, 1994]. Es werden deshalb zahlreiche Versuche
unternommen Speckle zu reduzieren, wie in [McKechnie, 1984] beschrieben. Alle diese Methoden arbeiten
mit einem gewissen Grad an partieller Kohärenz.
In der letzten Zeit hat sich das Interesse von den ungeliebten Eigenschaften hin zur Nützlichkeit von
Specklemustern verlagert. Die Speckle werden hierbei nicht länger als Störung betrachtet, sondern sie
avancieren zum wesentlichen Träger der Information über das beleuchtete Objekt. Eine der offensichtlichen
Anwendungen ist die Messung von Oberflächenrauhigkeiten. Speziell bei der Verwendung von partiell
kohärentem Licht hängt die zugrundeliegende Statistik und damit auch das entstehende Specklemuster von
der Rauhigkeit der Oberfläche ab. Siehe z.B. [Pedersen, 1975] und [Sprague, 1972].
Ein anderes wichtiges Einsatzgebiet der Specklemuster ist ihre Anwendung in der Informationsverarbeitung.
Wie bereits erwähnt codiert das Streulicht eines kohärent beleuchteten Gegenstands eine Vielzahl an
Informationen über den Körper. Deshalb kann ein Specklemuster als Informationsträger (z.B. zum Festellen
von Unterschieden zwischen zwei Objekten) verwendet werden. Dieses Einsatzgebiet ist in [Françon, 1984]
beschrieben.
Eine verwandte Anwendung hierzu, mit wachsender Wichtigkeit in der Technik, ist die Verwendung von
Specklemustern für die Untersuchung von Objektverschiebungen und -verformungen, bei der
(berührungslosen) optischen Meßtechnik. Die angewandten Methoden werden Speckleinterferometrie und
Specklefotografie genannt. Der Hauptvorteil der Specklemethoden ist in diesem Fall, daß man die
Specklegröße an das Auflösungsvermögen der Detektoren (z.B. CCD-Chip) anpassen kann, während man
immer noch Information über Verschiebungen oder Verformungen von der Größenordnung der Wellenlänge
erhält. Der Einsatz von Speckle in der Meßtechnik ist in [Ennos, 1984] beschrieben.
Eine der interessantesten Anwendungen der Speckletechnik findet man in der Astronomie. Bei einer kurzzeitbelichteten Aufnahme von einem vergrößerten Bild eines unaufgelösten Sterns zeigt das Bild
Specklestruktur. Das Specklemuster ist in vielen Aspekten ähnlich zu dem, das im Labor mit dem Laser
erzeugt werden kann. Speziell ist die Specklegröße von der gleichen Ordnung wie das Airyscheibchen des
Teleskops. Das bedeutet, daß die kurzzeit-belichtete Aufnahme eines auflösbaren Objektes (z.B. eines
Doppelsterns) Informationen über das Objekt bis zur Größe des Auflösungsvermögens des Teleskops enthält.
Für das 5 Meter Teleskop von Mount Palomar sind dies 0,02 Bogensekunden. Zum Vergleich: Bei den
gebräuchlichen Langzeit-Aufnahmen ist die Auflösung durch atmosphärisches Seeing begrenzt auf
1 Bogensekunde. Die stellare Speckle-Interferometrie ist in [Lauterborn/Kurz/Wiesenfeldt, 1993, S.94-97],
[Dainty, 1984, Kap.7] und [Weigelt, 1991, (Specklemasking)] beschrieben.2
Es gibt noch eine Vielzahl von Anwendungen bei denen Speckle als Testmuster für optische Systeme benutzt
werden. Beispielsweise läßt sich der Akkommodationszustand des Auges mit Hilfe von Speckle untersuchen;
siehe [Hennessy/Leibowitz, 1970], [Ronchi/Fontana, 1975] und Versuch 5.2.1.
Schließlich sollte man noch die enge Analogie zwischen der Theorie der Specklephänomene und der
Kohärenztheorie erwähnen. Ensemblemittelwerte, die in der Speckletheorie berechnet werden, sind
äquivalent zu Zeitmittelwerten, die man verwendet, um die Kohärenz des Lichtfeldes zu beschreiben.
Zeitveränderliche Specklephänomene, wie bei lebenden Objekten (siehe [Briers, 1975] und [Hinsch, 1992]),
zeigen deutlich die enge Verbindung zwischen den zwei Gebieten, die im wesentlichen zwei Aspekte
desselben Themas sind.
1.3 Ziele des Versuchs
Diese Arbeit dient als Begleitheft für den Versuch »Speckle« im physikalischen Praktikum für
Fortgeschrittene. Das Experimentieren mit Speckle ist ideal geeignet, um die wichtigsten Phänomene der
Optik – die Interferenz und Beugung, und die Kohärenz des Lichtes – anschaulich und begreifbar im
2
Für Lehramtsstudenten ist ein interessanter Demonstrationsversuch für den Unterricht zu diesem Thema in
[Schlosser/Schmidt-Kaler, 1982, S.117-123] zu finden.
Inhaltsverzeichnis
10
Experiment »zu erleben«. Darüber hinaus stellen Speckle ein faszinierendes Demonstrationsexperiment dar.
Die Kohärenz des Lichtes läßt sich mit den Augen »greifen«. Neben dem Einblick in die Optik, den die
Experimente gewähren, finden in der Speckletheorie auch Elemente der Statistik, speziell die Lösung des
random-walk-Problems, ihre Anwendung. Der Praxisbezug ist mit diesem Praktikumsversuch ebenfalls
gegeben: Die Auswirkung der Speckle auf die Meßunsicherheit von 3D-Sensoren werden experimentell
untersucht. Hierbei zeigt sich ein Zusammenhang zwischen der Speckletheorie und der Heisenbergschen
Unschärferelation.
1.4 Aufbau der Arbeit
Diese Arbeit stellt das nötige theoretische Wissen und die experimentellen Grundlagen für die
Praktikumsteilnehmer bereit.
Die Grundlagen der Optik werden in Kapitel 2 zusammengefaßt: Die Abbildungsgleichung ist unentbehrlich
für die Arbeit im Labor. Kenntnisse aus der Wellenoptik mit der Interferenz- und Beugungstheorie,
einschließlich der Fouriertransformation, sind in der Speckletheorie (Kapitel 3) ebenso hilfreich, wie die
Grundlagen der Kohärenztheorie.
Es sei an dieser Stelle noch betont, daß das Kapitel 2 vor allem dafür gedacht ist, den unterschiedlichen
Wissensstand der Praktikumsteilnehmer anzugleichen. Für viele Leser wird das meiste der optischen
Grundlagen bereits aus dem Grundstudium bekannt sein. Jeder kann also für sich selbst entscheiden, welche
Abschnitte des Kapitels für ihn lohnend und welche weniger wichtig sind. Für alle ist es jedoch von großem
Vorteil, im Bedarfsfall schnell etwas nachschlagen zu können, was in der Speckletheorie als bekannt
vorausgesetzt wird. Hierbei ist das Sachwortverzeichnis am Ende der Arbeit eine gute Hilfe.
Im dritten Kapitel wird zunächst allgemein die Entstehung der Speckle diskutiert. Mit Hilfe der Statistik
können Intensität, Phase, Kontrast und räumliche Ausdehnung der Speckle hergeleitet werden. Die
Abhängigkeit der Meßunsicherheit bei einem 3D-Sensor wird mit Hilfe der Speckletheorie untersucht, und
ergibt erstaunlicherweise dasselbe Ergebnis, wie man aus der Heisenbergschen Unschärfe für ein einzelnes
Photon erhält. Die Meßunsicherheit kann durch die Verwendung von partiell kohärentem Licht verringert
werden. Die Auswirkungen von partiell kohärenter Beleuchtung auf das Specklemuster werden deshalb
untersucht.
Die verwendeten Geräte und optischen Bauteile werden in Kapitel 4 charakterisiert. Zur besseren Übersicht
wird der Versuchsaufbau in drei Komponenten (Lichtquelle, optisch rauhes Medium, Beobachtung)
gegliedert.
Der experimentelle Teil in Kapitel 5 gibt Hinweise zur Versuchsdurchführung und Auswertung. Die
Experimente sollen zunächst die elementaren Speckleeigenschaften der objektiven und subjektiven Speckle
näherbringen. Im weiteren wird die Meßunsicherheit eines Triangulationssensors untersucht. Die
Erforschung der Auswirkung von partieller Kohärenz schließt den experimentellen Teil ab.
Inhaltsverzeichnis
11
2 Grundlagen der Optik
Bei der Beschreibung und Diskussion der Speckleerscheinungen kann man auf weite Gebiete der Optik
zurückgreifen. Die Eigenschaften der Speckle hängen eng mit der Kohärenz des verwendeten Lichts
zusammen. Ebenso beteiligt sind elementare Phänomene aus der Interferenz und Beugung, einschließlich der
Fouriertransformation. Grundlagenwissen über die geometrische Optik (speziell die Abbildungsgleichung)
wird natürlich für jeden optischen Versuchsaufbau benötigt.
Bevor im nächsten Kapitel die spezielle Theorie der Speckle untersucht wird, sind hier die optischen
Grundlagen für den Leser zusammengefaßt. Die wichtigsten Begriffe, Definitionen und Erscheinungen
werden diskutiert. Dies dient einerseits dazu die nötigen Hilfsmittel einzuführen, auf die später
zurückgegriffen wird, andererseits gibt es dem Leser die Möglichkeit, an dieser Stelle seine Vorkenntnisse
aufzufrischen. Aus dem Grundstudium wird bereits ein Großteil der optischen Grundlagen bekannt sein.
Dieses Kapitel gehört also für den optisch versierten Leser nicht zur Pflicht, sondern ist eher dazu gedacht,
bei Bedarf darin nachzuschlagen. Hierbei ist das Sachwortverzeichnis am Ende des Buches eine gute Hilfe.
Für einen tieferen Einstieg in die einzelnen Themenbereiche sei auf die jeweils angegebene Literatur
verwiesen.
2.1 Optische Abbildungsgleichung
Bevor man sich darauf stürzt, einen optischen Versuchsaufbau zu realisieren, ist es sinnvoll, sich ein paar
Gedanken über die Abbildungseigenschaften von Linsen zu machen. Sind einem die grundlegenden Formeln
bekannt, so weiß man schnell, wo welche Linse mit welcher Brennweite aufgestellt werden muß, damit das
Bild am gewünschten Ort zu sehen ist oder ein paralleles Strahlenbündel erzeugt wird.
Die wichtigsten Größen einer Linse sind die Lage der Hauptebenen und die der Brennpunkte. Aus ihnen läßt
sich geometrisch die Lage des Bildes bestimmen. Der gegenstandsseitige Brennpunkt ist F, der bildseitige F´
3
, G´ ist das Bild von G, wie in Bild 2.1 dargestellt.
3
Die Größen nach der Abbildung werden gestrichen, die Größen davor ohne Strich bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
12
Linse
G
L
F
H
F´
H´
L´
G´
f
x
f´
x´
Bild 2.1: Geometrische Veranschaulichung des Abbildungsgesetzes für dünne Linsen in der
Newtonschen Form
Der Optiker verwendet meist die Newtonsche Form der Abbildungsgleichung, weil mit ihr schnell und
einfach gerechnet werden kann. Auf beiden Seiten der Linse sei das gleiche Medium, also n = n´. Daraus
folgt für die Brennweite f = –f ´. Alle gegenstandsseitigen Entfernungen werden auf den gegenstandsseitigen
Brennpunkt F bezogen, alle bildseitigen auf F´. Die Brennweite f ist die Länge des Vektors von F zur
Hauptebene H. Die Gegenstandsweite x ist die Länge des Vektors von F zum Objekt. Das Vorzeichen der
Größen wird nach folgender allgemeiner Konvention festgelegt: Alle Vektoren, die gegen die Ausbreitungsrichtung des Lichts zeigen, bekommen negatives Vorzeichen. Alle Vektoren in Lichtrichtung
erhalten positives Vorzeichen. Die Bildweite x´ ist entsprechend die Länge des Vektors von F´ zum Bild.
Eine weitere Regel ist: Alle Längen L bzw. L´ der Objekte bzw. Bilder oberhalb der optische Achse haben
positives Vorzeichen, alle unterhalb negatives Vorzeichen. Beispiel: In Bild 2.1 ist x negativ, f postiv und
f = –f ´, L positiv, L´ negativ, x´ positiv. Die Ähnlichkeit der Dreiecke (siehe Schraffur) führt zu:
x
f
=
L L′
x′
f
=−
L′
L
(2.1)
.
Multiplikation der beiden Gleichungen ergibt:
x ⋅ x′ = − f 2
L′
x′ f
β=
=− =
L
f
x
,
(2.2)
wobei β der Abbildungsmaßstab ist. Diese Gleichungen (2.2) werden als Newton-Formeln bezeichnet. Mit
ihnen rechnet der Optiker!
Soviel zur Theorie, jetzt werden ein paar wichtige Beispiele aus der Praxis besprochen. Oft sollen parallele
Strahlen erzeugt werden. Das bedeutet, x´→∞. Dies läßt sich erreichen wenn x→0 geht. Das Objekt muß also
in der Brennebene liegen. Ein anderes Beispiel ist die Abbildung eines unendlich entfernten Gegenstandes
bzw. eines parallelen Strahlenbündels. Hier gilt x→∞, und entsprechend liegt das Bild in der bildseitigen
Brennebene, bei x´ = 0. Ein weiterer wichtiger Fall ist die größentreue Abbildung mit β = -1. Es folgt x = -f
und x´ = f. Dies läßt sich mit einem Aufbau realisieren, bei dem Bild und Objekt jeweils den Abstand 2f von
den Hauptebenen H bzw. H´ haben. Weiteres zum Thema Abbildung siehe [Klein/Furtak, 1988, S.129-133]
und [Bergmann/Schäfer, 1993, S.93].
2.2 Wellenoptik
Licht besitzt einen Wellen- und einen Quantenaspekt. Bei der Ausbreitung dominiert der Wellenaspekt von
Licht. Grundzüge der Wellenoptik werden hier knapp in Anlehnung an [Lauterborn/Kurz/Wiesenfeldt, 1993,
Inhaltsverzeichnis
13
S.15-22] dargestellt. Die zugehörige Theorie ist die klassische Theorie elektromagnetischer Felder, wie sie
von Maxwell vollendet wurde. Ihre Grundlagen sind nachfolgend zusammengefaßt.
Maxwellgleichungen. Die Maxwellgleichungen im Vakuum lauten:
div E = 0
(2.3)
div B = 0
(2.4)
rot E = −
∂B
∂ t
rot B = ε 0 µ 0
(2.5)
∂E
,
∂ t
(2.6)
mit der elektrischen Feldstärke E, der magnetischen Feldstärke B, der elektrischen Feldkonstante ε0 und der
magnetischen Feldkonstante µ0.
Im homogenen, nichtleitenden und linearen Medium müssen die effektiven Feldkonstanten εε0 und µµ0
verwendet werden. Dies führt zu einer anderen, im allgemeinen kleineren Ausbreitungsgeschwindigkeit cm
der elektromagnetischen Welle im Medium:
c
cm =
εµ
=
c
.
n
(2.7)
Dabei ist ε die Dielektrizitätskonstante, µ die relative Permeabilität, n der Brechungsindex des Materials und
c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
Wellengleichung. Die Lichtausbreitung im Vakuum soll beschrieben werden. Hierzu kann man aus den
Maxwellgleichungen (2.3) bis (2.6) die sogenannte Wellengleichung (2.8) ableiten:
∂ 2E
∆ E − ε 0µ 0
=0 .
∂ t2
(2.8)
Die Herleitung dazu findet man in [Lauterborn/Kurz/Wiesenfeldt, 1993, S.17]. Wird die Beziehung
c=
1
ε 0µ 0
(2.9)
benutzt, so hat die Wellengleichung folgende Form:
∆E−
1 ∂ 2E
= 0.
c2 ∂ t 2
(2.10)
Eindimensionale Wellen. Für eine eindimensionale, skalare, linear polarisierte Welle im Vakuum, die sich
in z-Richtung ausbreitet, vereinfacht sich die Beziehung (2.10) zu:
∂ 2E 1 ∂ 2E
−
=0 .
∂ z 2 c2 ∂ t 2
(2.11)
Eine Lösung der Wellengleichung ist die harmonische Welle. Sie ist in reeller Form und bei Ausbreitung in
positiver z-Richtung, bei geeigneter Festlegung des Zeitnullpunktes, gegeben durch:
E ( z , t ) = A sin( kz − ω t ) ,
(2.12)
wobei A die Amplitude und (kz - ωt) die Phase der Welle ist. Die Wellenzahl k ist mit der Wellenlänge λ
durch die Beziehung
k=
2π
λ
(2.13)
verknüpft. Die Kreisfrequenz ω hängt mit der gewöhnlichen Frequenz ν gemäß
ω = 2π ν
(2.14)
Inhaltsverzeichnis
14
zusammen. Weiter läßt sich die Frequenz ν mit Hilfe der Schwingungsdauer T ausdrücken:
ω=
2π
T
(2.15)
.
Man kann die harmonische Welle (2.12) daher auch mit ihren anschaulichen Merkmalen, Wellenlänge und
Schwingungsdauer, beschreiben:
 2π z 2π t 
E ( z , t ) = A sin 
−

 λ
T 
.
(2.16)
Bei der Verwendung der trigonometrischen Funktionen kommt es bei der Berechnung von
Wellenüberlagerungen zu einem großen Rechenaufwand. Daher wird fast ausschließlich die komplexe
Schreibweise verwendet. Der Sinus wird dazu durch Exponentialfunktionen gemäß der Eulerschen Formel
ersetzt:
sin α =
(
)
1 iα
e − e − iα .
2i
(2.17)
Die harmonische Welle (2.12) lautet dann:
E( z, t ) =
1
1
i kz −ω t )
− i kz −ω t )
E0 e (
+ E0∗e (
,
2
2
(2.18)
mit der komplexen Amplitude4
E0 =
A
.
i
(2.19)
E0∗ ist die zu E0 konjugiert komplexe Amplitude. Oft schreibt man auch einfach:
E( z, t ) =
1
i kz −ω t )
E0 e (
+ c.c. ,
2
(2.20)
wobei c.c. für das konjugiert Komplexe des davorstehenden Ausdrucks steht. Wenn nur mit linearen
Beziehungen gearbeitet wird, kann noch weiter vereinfacht und die harmonische Welle in der rein komplexen
Schreibweise angeben werden:
E ( z , t ) = E0 e i( kz −ω t ) ,
(2.21)
unter der Bedingung, daß nach Beendigung der Rechnung der Realteil zu nehmen ist. In dieser Schreibweise
ist bei der Berechnung der Intensität I Vorsicht geboten, weil die Bildung des Mittelwerts eine nichtlineare
Operation beinhaltet. Der Begriff Intensität wird auf Seite 15 näher definiert.
Ebene Welle. Das wahrscheinlich einfachste Beispiel einer dreidimensionalen Welle ist die ebene Welle. Zu
einem bestimmten Zeitpunkt sieht sie aus wie in Bild 2.2 dargestellt. Alle Flächen gleicher Phase bilden
einen Satz von Ebenen, die gewöhnlich senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung stehen.
Für ebene Wellen gilt:
k ⋅ r = const. ,
(2.22)
wobei k = (kx, ky, kz) den Wellenvektor und r = (x, y, z) den Ortsvektor bezeichnen. Die ebene harmonische
Welle lautet dann
E ( r , t ) = A sin( k ⋅ r − ω t )
(2.23)
bzw. in komplexer Schreibweise
E(r, t ) =
1
E0 e i( k⋅r −ω t ) + c.c.
2
(2.24)
oder
E ( r , t ) = E 0 e i( k⋅r −ω t ) ,
4
Komplexe Funktionen werden in dieser Arbeit zur Veranschaulichung in Fettdruck geschrieben.
(2.25)
Inhaltsverzeichnis
15
wenn abschließend der Realteil genommen wird.
E
=0
E
=0
E
=0
E
=0
k
E (r )
λ
Verschiebung
in die Richtung
von k
Bild 2.2: Wellenfronten für die harmonische ebene Welle
Ebene Wellen werden in der Praxis nur näherungsweise erreicht. Mit dem Laser lassen sich annähernd ebene
Wellen erzeugen.
Poyntingvektor und Intensität. (In Anlehnung an [Hecht, 1989, S.44-46].) Um den Fluß der
elektromagnetischen Energie darzustellen, wird der Poyntingvektor S definiert:
S=
1
µ0
E×B .
(2.26)
Der Betrag von S ist die Leistung pro Einheitsfläche, d.h. der Energietransport pro Zeiteinheit und
Einheitsfläche. Betrachtet man den Fall der harmonischen, linear polarisierten, ebenen Welle, die durch den
freien Raum in der Richtung von k wandert, so ergibt sich mit Hilfe der harmonischen Wellen
E = E0 sin( k ⋅ r − ω t )
(2.27)
B = B0 sin( k ⋅ r − ω t ) ,
(2.28)
unter Anwendung von (2.26), folgender Ausdruck:
S = c 2ε 0 E 0 × B0 sin 2 ( k ⋅ r − ω t ) .
(2.29)
Die Funktion S schwingt zwischen dem Maximum und null. Bei optischen Wellen ist S eine extrem schnell
veränderliche Funktion der Zeit. Die Kreisfrequenz ω ist von der Größenordnung 1015. Der Momentanwert
von S ist in der Praxis nicht meßbar. Es gibt keinen Detektor, der den Lichtfrequenzen folgen könnte. Daher
wird statt S der zeitliche Mittelwert ⟨S⟩ oder meistens der zeitliche Mittelwert des Betrags des
Poyntingvektors, die Intensität5 I = ⟨|S|⟩ = ⟨S⟩ :
I ≡ ⟨S ⟩ =
c 2ε 0
E 0 × B0 ,
2
(2.30)
verwendet. Für die Berechnung des zeitlichen Mittelwertes wurde benutzt, daß ⟨sin2(k⋅r-ωt)⟩ = ½ ist. Mit der
Beziehung B = E/c ergibt sich daraus:
5
Eigentlich sollte der Begriff Intensität nach internationalen (aber nicht einheitlichen Vereinbarungen) durch
Strahlungsflußdichte bzw. Bestrahlungsstärke ersetzt werden. In der Praxis wird jedoch in den meisten
Publikationen weiter der Begriff Intensität verwendet (vgl. die Bemerkung in [Hecht, 1989, S.45]),
weshalb diese Bezeichnung auch in dieser Arbeit einheitlich benutzt wird.
Inhaltsverzeichnis
16
I=
cε 0
2
E0 .
2
(2.31)
Die Intensität I ist proportional zum Quadrat der Amplitude des elektrischen Feldes:
2
I = ε 0c E
.
(2.32)
Die Intensität beschreibt den Energiefluß pro Zeiteinheit und Einheitsfläche.
2.3 Interferenz
Was ist Interferenz, und wie kommt sie zustande? Interferenzerscheinungen entstehen, wenn zwei oder
mehrere kohärente Wellensysteme zusammentreffen. Im Überlagerungsgebiet kommt es dann zu Punkten
maximaler und minimaler Intensität I. Der Vorgang kann durch Superposition der einzelnen Wellensysteme
beschrieben werden. Nach Gleichung (2.32) ist die Intensität I proportional zu ⟨|E|²⟩. Damit man die
Proportionalitätskonstanten nicht beachten muß, wird eine neue Größe, die Lichterregung u, definiert:
u
2
≡ I = ε0c E
2
.
(2.33)
Als Beispiel betrachten wir den einfachen Fall zweier ebener, monochromatischer Wellen, deren k-Vektoren
in der y-z Ebene liegen. Siehe hierzu Bild 2.3.
Die Wellen seien linear polarisiert und haben dieselbe Schwingungsrichtung. Die Lichterregung erhält man
durch Überlagerung beider Wellen:
u = u1 + u2
= u1e (
i k⋅r +ω t +ϕ1 )
+ u2 e (
i k⋅r +ω t +ϕ2 )
(2.34)
.
Wird in der Ebene z0 = 0 beobachtet und die Zeitabhängigkeit vernachlässigt, die nach der Bildung des
zeitlichen Mittelwertes keine Rolle mehr spielt, so erhält man:
u = u1e
(
i ky sin α 1 +ϕ 1
) + u e i( ky sin α 2 +ϕ 2 ) .
2
(2.35)
Die Intensität I ergibt sich aus dem Betragsquadrat der Lichterregung u:
2
2
2
( (
)
u = u ⋅ u∗ = u1 + u2 + 2 u1 u2 cos ky sin α 2 − sin α 1 + ϕ 2 − ϕ1
)
(2.36)
y
k1
z
α1
α2
k2
z=z
Bild 2.3: Zur Interferenz ebener Wellen
I
∆y
Inhaltsverzeichnis
17
Die Periode des Interferenzmusters ist:
∆ y=
λ
sin α 2 − sin α1
.
(2.37)
Setzt man die Intensitäten I1 und I2 ein, ergibt sich:
( (
)
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos ky sin α 2 − sin α1 + ϕ 2 − ϕ1
)
.
(2.38)
Die Gesamtintensität besteht aus einem konstantem Term und einem modulierenden Term. Der konstante
Term entsteht durch Addition der Intensitäten der beiden Einzelquellen. Der modulierende Term, auch
Interferenzterm genannt, hat die Periode ∆y. Wird für die Phasendifferenz der beiden Wellen ∆ϕ = ϕ1 - ϕ2
eingesetzt, so gilt:


y
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos 2π
+ ∆ ϕ .
 ∆y

(2.39)
Einen tieferen Einstieg in die Theorie der Interferenz geben [Born/Wolf, 1989, S.256-259] und
[Bergmann/Schäfer, 1993, S.301-306].
2.4 Beugungstheorie
Der Begriff Beugung bezeichnet die Abweichung der Lichtausbreitung von den Gesetzen der geometrischen
Optik. Diese Abweichungen treten auf, wenn die freie Ausbreitung der Wellen durch Objekte (z.B. Blenden
oder ähnliches) geändert wird. Den komplizierten Schatten, den ein undurchsichtiger Körper auf eine Wand
wirft, ganz anders als es nach der geometrischen Optik zu erwarten wäre, zeigt Bild 2.4.
Bild 2.4: Das Beugungsbild einer Hand, die ein Geldstück zwischen Daumen und Zeigefinger
hält6 [Hecht, 1989, S.414]
Mit Hilfe der skalaren Beugungstheorie wird dieses Phänomen untersucht und anschließend die
gebräuchlichen Näherungen, die Fresnelsche- und die Fraunhofersche Näherung, diskutiert. Mit der
Fouriertransformation ist man in der Lage, die Beugungsbilder von Kreis- und Rechteckblende zu berechnen.
Die Ausführungen lehnen sich an [Lauterborn/Kurz/Wiesenfeldt, 1993, S.146-150], [Goodman, 1968, S.5774] und [Stössel, 1993, S.38-43] an.
An dieser Stelle sei noch auf eine Bezeichnungsweise hingewiesen: Die Lichtbeugung an mikroskopischen
Teilchen wird als Streuung bezeichnet. Man spricht vor allem dann von Streuung, wenn der
6
Die Beleuchtung bestand aus einem He-Ne-Laser. Es wurden keine Linsen verwendet.
Inhaltsverzeichnis
18
Teilchendurchmesser kleiner als die Wellenlänge ist, bzw. bei statistisch angeordneten Objekten (z.B.
Mattscheibe). Die Lichtablenkung durch periodische Strukturen (z.B. Gitter) wird Beugung genannt.
2.4.1 Skalare Beugungstheorie
Die Beugung von Licht an einer Öffnung der (ξ, η)-Ebene mit vorgegebener Verteilung der komplexen
Lichterregung u(ξ, η) wird in diesem Abschnitt in der Näherung der skalaren Beugungstheorie betrachtet.
Siehe hierzu Bild 2.5.
Eine Beugungsstruktur mit der Transmissionsverteilung t(ξ, η) in der Ebene z = 0 werde von einer ebenen,
monofrequenten, linear polarisierten Lichtwelle der Wellenlänge λ beleuchtet. Dann ergibt sich nach
Durchtritt durch das beugende Objekt eine Feldverteilung in dem dahinterliegenden Halbraum. Diese soll
beschrieben werden. Zunächst entsteht unmittelbar hinter der Ebene z = 0 die Lichterregung
u(ξ , η) = t (ξ , η)ue (ξ , η) ,
(2.40)
wobei ue(ξ, η) die Lichterregung der einlaufenden Welle in der Ebene (ξ, η, 0) ist.
η
y
(ξ,η)
r =r r
einlaufende
ebene Welle
ξ
z=0
(x,y)
x
n
z
Bild 2.5: Geometrie zur Beugung einer ebenen Welle an einer Transmissionsverteilung t(ξ, η)
in der Ebene z = 0
Die Ausbreitung in den rechten Halbraum kann in guter Näherung durch Anwendung des Huygensschen
Prinzips beschrieben werden. Von jedem Punkt (ξ, η, 0) geht nach diesem Prinzip eine Kugelwelle aus. In
der Beobachtungsebene (x, y, z) erhält man dann die Feldverteilung u(x, y, z), die durch das Kirchhoffsche
Beugungsintegral gegeben ist:
u( x , y , z ) =
1
iλ
∞ ∞
∫
∫ u(ξ , η)
−∞−∞
e ikr
cos( n$ , r$ )dξdη .
r
(2.41)
Das Integral entspricht im wesentlichen einer Aufsummierung (Integration) der von allen Punkten der
(ξ, η, 0)-Ebene ausgehenden Kugelwellen. Der Faktor 1/(iλ) ist ein Phasen- und Amplitudenfaktor und
cos( n$ , r$ ) ein Richtungsfaktor, die beide aus den Maxwellschen Gleichungen hervorgehen, die bei der
Herleitung des Integrals (2.41) zugrunde liegen.
2.4.2 Fresnelsche Näherung
Das Kirchhoff-Integral (2.41) ist im allgemeinen sehr unhandlich, und für explizite Berechnungen sind
Näherungen nötig. Bei der sogenannten paraxialen Näherung beschränkt man sich auf ξ- und η-Werte bzw.
x- und y- Werte, die klein sind im Vergleich zum Abstand z zwischen Beugungsblende und Beugungsbild.
Das bedeutet, daß nur Strahlen berücksichtigt werden, deren Winkel zur optischen Achse (z-Achse) klein ist.
Dann läßt sich in guter Näherung der Kosinus-Term im Integranden von (2.41) vernachlässigen, da alle
Inhaltsverzeichnis
19
(
)
Lichtstahlen annähernd parallel zur z-Achse verlaufen, und folglich cos n$ , r$ ≈ 1 gilt. Weiter darf die rAbhängigkeit der Amplitude ignoriert werden. Man setzt 1/r =1/z , da r ≈ z. In der Exponentialfunktion eikr ist
diese Näherung allerdings zu grob, da hier schon kleine Änderungen in der Entfernung r eine große
Änderung in der Phase bedeuten. Statt dessen ist es möglich eine Reihenentwicklung der Wurzel, aus der sich
r berechnet, durchzuführen, die nach dem zweiten Glied abgebrochen wird:
r=
(x − ξ)
≈z+
2
+ ( y − η) + z = z
(x − ξ)
2z
2
2
+
2
( y − η)
2z
2
2
x − ξ)
y − η)
(
(
1+
+
z2
z2
(2.42)
2
.
Mit diesen Annahmen erhält man die Fresnelsche Näherung des Beugungsintegrals:
e ikz
u( x , y , z ) =
iλz

∫ ∫ u(ξ, η) exp 2 z (( x − ξ )
∞ ∞
ik
2
−∞ −∞
)
2
+ ( y − η)  dξdη .(2.43)

Ausmultiplizieren der Terme (x - ξ)² und (y - η)² und geeignetes Zusammenfassen ergibt:
u( x , y , z ) =
∞ ∞
e ikz
 iπ 2

exp
x + y2 
 λz

iλz
(
)
 iπ 2

 i2π
ξ + η 2  exp −
⋅ ∫ ∫ u(ξ , η) exp
( xξ + yη) dξdη
 λz

 λz
−∞−∞
(
)
(2.44)
oder anders formuliert:
u( x , y , z ) =
∞ ∞
e ikz
 iπ 2

exp
x + y2 


iλz
λz
(
)
y 

 iπ 2

 x
ξ + η 2  exp − i2π  ξ + η  dξdη .
⋅ ∫ ∫ u(ξ , η) exp
 λz

 λz

λz  
−∞−∞
(
)
(2.45)
Das obige Integral ist nichts anderes als eine Fouriertransformation:
u( x , y , z ) =
e ikz
 iπ 2

exp
x + y2 


iλz
λz
(
)

 iπ 2
ξ + η2
⋅ F u(ξ , η) exp

λz

(
)
  x y 
  , 
   λz λ z 
(2.46)
,
wobei F[...] die Fouriertransformierte bezeichnet, und x/(λz), y/(λz) die Raumfrequenzen der
Fouriertransformation sind. Die Amplitudenverteilung des Lichtfeldes in der Ebene z = const. ist also im
wesentlichen gegeben durch eine Fouriertransformation der mit einem quadratischen Phasenfaktor
multiplizierten Amplitudenverteilung in der beugenden Ebene. Der quadratische Phasenfaktor ist
exp[iπ/(λz)·(ξ2+η2)]. Mit Hilfe der Fouriertransformation werden in Abschnitt 2.4.4 zwei ausgewählte
Beispiele berechnet: das Beugungsbild der Rechteckblende und der kreisförmigen Blende. Weiterführendes
zur Fouriertransformation kann in [Goodman, 1968], [Lauterborn/Kurz/Wiesenfeldt, 1993] und [Stössel,
1993] nachgelesen werden.
2.4.3 Fraunhofersche Näherung
Die Fresnelsche Näherung ist im allgemeinen bereits in relativ geringer Entfernung von der beugenden Ebene
brauchbar, nämlich ab etwa zehn Wellenlängen. Für große Entfernungen von der beugenden Ebene, bei
Inhaltsverzeichnis
20
gleichzeitiger endlicher Ausdehnung des beugenden Objektes in ξ und η, wird die quadratische
Phasenabweichung klein und kann vernachlässigt werden. Genauer muß gelten:
z >>
π 2
ξ + η2 .
λ
(
)
(2.47)
Dann wird der quadratische Phasenfaktor
 iπ 2

exp
ξ + η2  ≈ 1 ,

 λz
(
)
(2.48)
und man erhält die Fraunhofersche Näherung:
u( x , y , z ) =
e ikz
 iπ 2

exp
x + y2 
 λz

iλz
(
)
(2.49)
∞ ∞
y 

 x
⋅ ∫ ∫ u(ξ , η) exp − 2iπ  ξ + η  dξdη .
 λz

λz  
−∞ −∞
Das Integral kann wieder durch eine Fouriertransformation dargestellt werden:
u( x , y , z ) =
e ikz
 iπ 2

exp
x + y 2  F u(ξ , η) ν x , ν y
 λz

iλz
(
) [
](
)
,
(2.50)
mit den Raumfrequenzen νx = x/λz und νy = y/λz.
Die Berechnung des komplexen Beugungsbildes im Fernfeld läßt sich auf eine Fouriertransformation der
Eingangsverteilung der Lichterregung in der Beugungsebene zurückführen.
2.4.4 Fraunhofersche Beugungsbilder – Fouriertransformation
In diesem Abschnitt werden zwei wichtige Beugungsbilder in der Fraunhoferschen Näherung berechnet, und
zwar für Rechteck- und Kreisblende. Weitere Blendenformen sind in [Goodman, 1968, S.62-70],
[Lauterborn/Kurz/Wiesenfeldt, 1993, S.152-162] und [Stössel, 1993, S.61-88] behandelt.
Rechteckblende. Eines der einfachsten beugenden Objekte ist eine rechteckige Blende in einem sonst
undurchlässigen Schirm. Es sei lξ die Breite und lη die Höhe der Öffnung, dann lautet die
Transmissionsfunktion
l
l

 1 für ξ < ξ ∧ η < η
t (ξ , η) = 
2
2
0
sonst.
(2.51)
Wenn die Blende gleichförmig von einer monochromatischen ebenen Welle beleuchtet wird, so ist die
Feldverteilung über der Blendenöffnung gleich der Transmissionsfunktion. Das Fraunhofersche
Beugungsbild erhält man mit Hilfe der Fouriertransformation der Transmissionsfunktion:
](
[
)
F t (ξ , η) ν x , ν y =
lξ / 2
∫e
− lξ / 2
− 2πiνx x
lη / 2
dx
∫e
− 2πiν y y
dy =lξ lη
− lη / 2
(
) (
sin πν x lξ sin πν y lη
πν x lξ
)
,
πν y lη
(2.52)
mit den Raumfrequenzen νx = x/λz und νy = y/λz. In der Optik wird die Funktion sinc(x) := sin(πx)/(πx)
definiert. In Gleichung (2.50) eingesetzt, erhält man die Lichterregung des Beugungsbildes:
e ikz
 iπ 2

u( x , y , z ) =
exp
x + y 2  lξ lη sinc ν x lξ sinc ν y lη .
 λz

iλz
(
)
(
) (
)
(2.53)
Für die Intensität des Beugungsbildes I(x, y, z) =|u(x, y, z)|² auf einem Schirm im Punkt (x, y, z) ergibt sich:
Inhaltsverzeichnis
21
I ( x, y, z ) =
lξ 2 lη 2
λz
2 2
( )
(
sinc 2 ν x lξ sinc 2 ν y lη
)
.
(2.54)
Einen Ebenenschnitt durch die Intensitätsverteilung des Beugungsmusters bei y = 0 zeigt Bild 2.6.
Inormiert
x·lξ/λz
Bild 2.6: Schnitt durch das Fraunhofersche Beugungsbild einer Rechteckblende bei y = 0
Der Abstand x1 des ersten Minimums vom nullten Maximum ist:
x1 =
λz
lξ
.
Die Breite des Beugungsscheibchens in x-Richtung ist umgekehrt proportional zur Ausdehnung der
Rechteckblende lξ in ξ-Richtung.
(2.55)
Inhaltsverzeichnis
22
y·lξ/λz
x·lξ/λz
Bild 2.7: Fraunhofersches Beugungsbild einer Rechteckblende mit einem Breite-zu-HöheVerhältnis lξ/lη = 2/1; (berechnet)
Das Beugungsbild einer Rechteckblende mit einem Breite-zu-Höhe-Verhältnis von lξ/lη = 2/1 ist in Bild 2.7
dargestellt. Die breitere Öffnung in x-Richtung erzeugt ein enger zusammenliegendes Beugungsmuster als
die Öffnung mit der halben Breite in y-Richtung.
Kreisblende. Es wird nun eine runde Blende mit Durchmesser D betrachtet. In der Blendenebene mit
Polarkoordinaten ρ und θ ausgedrückt ergibt sich eine Transmissionsfunktion
 ρ
1 für ρ ≤ D / 2
t ( ρ, θ ) = t ( ρ ) = 
 =:circ D  .
sonst 
 2
0
(2.56)
Unter der Annahme gleichförmiger, monochromatischer Beleuchtung mit ebenen Wellen ist die
Feldverteilung in der Blende gleich der Transmissionsfunktion. Die Fouriertransformierte dieser neu
definierten circ-Funktion kann mit Hilfe der Besselfunktionen angegeben werden. Siehe ausführlicher z.B. in
[Stössel, 1993, S.68-69]. Man erhält:
  ρ    D  2 J (πDν r )
,
F circ   =   1
D 


2
2
π
D
ν

r
2


(2.57)
wobei J1 die Besselfunktion erster Ordnung ist. Mit Hilfe der Gleichung (2.50) ausgedrückt ergibt sich die
Lichterregung des Fraunhoferschen Beugungsbildes:
 iπr 2   D  2 J1 (πDr / λz ) 
e ikz
u(r ) =
exp
  

iλz
Dr / 2λz 
 λz   2 
 iπr 2  πD 2  J1 (πDr / λz ) 
= e ikz exp

2

πDr / λz 
 λz  4 i λz 
Für die Intensität erhält man:
(2.58)
.
Inhaltsverzeichnis
23
 πD 2   J1 (πDr / λz ) 
I (r ) = 
 2
 .
πDr / λz 
 4 λz  
2
2
(2.59)
Diese Intensitätsverteilung wird allgemein als Airy-Muster bezeichnet. Ein Schnitt durch die normierte
Intensitätsverteilung in der Beobachtungsebene bei y = 0 ist in Bild 2.8 dargestellt.
Der Radius r1 des ersten Minimum ist gegeben durch:
r1 = 1,22
λz
D
.
(2.60)
Inormiert
x·D/λz
Bild 2.8: Querschnitt durch die Intensitätsverteilung des Beugungsbildes einer runden Blende
(Airy-Muster); (y = 0)
Das Fraunhofersche Beugungsbild einer Kreisblende ist in Bild 2.9 graphisch dargestellt.
Inhaltsverzeichnis
24
y•D/(λz)
x•D/(λz)
Bild 2.9: Fraunhofersches Beugungsbild einer Kreisblende (mathematisch berechnet)
2.5 Kohärenztheorie
Im allgemeinen kann bei der Überlagerung zweier Lichtwellen, die aus verschiedenen Quellen stammen,
keine Interferenz beobachtet werden. Man spricht dann von inkohärenter Beleuchtung. Voraussetzung für das
Auftreten von Interferenz ist eine wichtige Eigenschaft des Lichtes: die Kohärenz. Es werden zwei Typen der
Kohärenz unterschieden: zeitliche und räumliche. Die zeitliche Kohärenz beschreibt die Fähigkeit eines
Strahlenbündels mit einem zeitlich verzögerten (aber nicht räumlich verschobenen) Teil von sich selbst zu
interferieren. Die räumliche Kohärenz ist ein Maß für die Fähigkeit eines Strahlenbündels mit einem
räumlich verschobenen (aber nicht zeitlich verzögerten) Teil von sich zu interferieren. Diese beiden Typen
stellen jeweils einen Grenzfall dar. Treten gleichzeitig sowohl zeitliche Verzögerung als räumliche
Verschiebung auf, so kann dies mit Hilfe der wechselseitigen Kohärenzfunktion untersucht werden. Neben
den idealisierten Grenzfällen, der inkohärenten und der kohärenten Beleuchtung, gibt es den in der Praxis
relevanten Fall der partiell kohärenten Beleuchtung.
In diesem Abschnitt werden die Grundlagen der Kohärenztheorie detailliert besprochen. Die folgenden
Ausführungen lehnen sich eng an [Born/Wolf, 1989, S.497-512] und [Goodman, 1985, S.157-228] an. Als
weitere Lehrbücher für den vertieften Einstieg in die Kohärenztheorie empfehlen sich [Hecht, 1989],
[Lauterborn/Kurz/Wiesenfeldt, 1993] und [Marathay, 1982].
2.5.1 Zeitliche Kohärenz
Zwei Teilwellen einer Lichtquelle sind zeitlich kohärent, wenn sie trotz unterschiedlicher Laufzeit, also
verschieden langer optischer Wege, noch eine feste Phasenbeziehung haben. Dies kann am Beispiel des in
Bild 2.10 gezeigten Michelson-Interferometers erläutert werden.
Das Licht der punktförmigen Lichtquelle wird kollimiert und von dem Strahlteiler in zwei Teilstrahlen
zerlegt. Diese werden von den Spiegeln S1 und S2 reflektiert, im Strahlteiler wieder miteinander überlagert
und auf den Detektor fokussiert. Wenn man den Spiegel S2 in z-Richtung verschiebt, so werden die optischen
Wege in den Teilarmen unterschiedlich lang. Ein Teilstrahl ist gegenüber dem anderen zeitlich verzögert.
Das Licht, das auf den Detektor fällt, geht von konstruktiver Interferenz zu destruktiver und wieder zu
Inhaltsverzeichnis
25
konstruktiver Interferenz über, wenn der Spiegel S2 um λ/2 7 (das bedeutet eine Weglängendifferenz von
λ) verschoben wird.
S1
S1
Strahlteiler
Lichtquelle
S2
Strahlteiler
Lichtquelle
S2
∆z
∆z
Detektor
Detektor
Bild 2.10: Michelson-Interferometer und zeitliche Kohärenz
Die Intensität am Detektor läßt sich berechnen durch:
(C1u(t ) + C2 u(t + τ ))
I D (τ ) =
2
.
(2.61)
Dabei ist u(t) die komplexe Amplitude (Lichterregung) des einfallenden Lichts8, C1 und C2 sind Konstanten,
mit denen die Aufteilung des Lichtes auf die beiden Interferometerarme und eventuell auftretende
unterschiedliche Dämpfung berücksichtigt werden. τ = 2∆z/c ist die durch die Verschiebung des Spiegels S2
hervorgerufene Laufzeitdifferenz der beiden Teilstrahlen. Der Operator ⟨...⟩ bezeichnet die zeitliche
Mittelung. Durch Ausmultiplizieren der Gleichung (2.61) erhält man:
(
)
I D (τ ) = C12 + C2 2 I 0 + 2C1C2 Re( Γ (τ )) ,
(2.62)
I 0 := u( t )
(2.63)
mit
2
= u( t + τ )
2
und
Γ(τ ):= u(t + τ )u∗ (t )
.
(2.64)
Γ(τ) wird als Selbstkohärenzfunktion (self coherence function) bezeichnet. Nach mathematischem
Sprachgebrauch ist sie die Autokorrelationsfunktion der Funktion u(t). Da Γ(0) = I0 gilt, kann man die
Selbstkohärenzfunktion normieren und erhält so den komplexen Kohärenzgrad
γ (τ ):=
Γ(τ )
.
Γ ( 0)
(2.65)
Er hat die wichtigen Eigenschaften:
7
8
λ ist die mittlere Wellenlänge.
Der ortsabhängige Anteil der Wellenfunktion wurde bereits separiert, da im folgenden immer am Ort des
Detektors beobachtet wird
Inhaltsverzeichnis
26
γ ( 0) = 1 und
γ (τ ) ≤ 1 .
(2.66)
Mit dem komplexen Kohärenzgrad γ(τ) läßt sich die vom Detektor gemessene Intensität aus Gleichung (2.62)
folgendermaßen schreiben:


2C C
I D (τ ) = C12 + C2 2 I 0 1 + 2 1 2 2 Re( γ (τ )) .
 C1 + C2

(
)
(2.67)
Mit dem Ziel, einen Ausdruck zu erhalten, der das entstehende Interferenzmuster anschaulicher beschreibt,
führt man folgende Schreibweise ein:
( (
γ (τ ) = γ (τ ) exp − i 2π ντ − α (τ )
))
,
(2.68)
mit der mittleren Frequenz des Lichts ν und α(τ) := arg(γ(τ)) + 2πντ. Unter Verwendung von Gleichung
(2.68), und mit der Annahme gleicher Lichtverluste in den Armen des Interferometers (C = C1 = C2), kann
das entstehende Interferenzbild auf folgende Art dargestellt werden:
[
I D (τ ) = 2C 2 I 0 1 + γ (τ ) cos(α (τ ) − δ )
]
,
(2.69)
mit δ = 2πντ. Hierin ist gut die Modulation im Interferenzbild erkennbar, die durch den cos-Term
(Interferenzterm) bewirkt wird.
Beispiel: Bei einer monochromatischen Lichtquelle läßt sich die Wellenfunktion folgendermaßen schreiben:
u(t ) = A e i( ωt −Φ0 ) .
(2.70)
Mit den Gleichungen (2.64) und (2.65) ergibt sich dann der komplexe Kohärenzgrad
Γ(τ )
γ (τ ) =
=
Γ(0)
2 i ω t +τ +Φ −ωt −Φ0 )
A e( ( ) 0
2 i ( Φ0 −Φ0 )
A e
= e iωτ = 1 .
(2.71)
In Worten ausgedrückt: monochromatisches Licht ist, unabhängig von der Verzögerung, zeitlich kohärent.
Die Selbstkohärenzfunktion Γ(τ) bzw. der komplexe Kohärenzgrad γ(τ) sind im Interferenzterm der
resultierenden Intensität enthalten. Leider ist beides nicht unmittelbar meßbar. Dagegen ist es einfach, den
Kontrast der entstehenden Interferenzstreifen zu bestimmen, der mit Hilfe der maximalen und minimalen
Intensität definiert wird:
K=
I max − I min
.
I max + I min
(2.72)
Verwendet man Gleichung (2.69), so zeigt sich, daß der komplexe Kohärenzgrad direkt mit dem lokalen
Kontrast verknüpft ist:
K (τ ) = γ (τ ) .
(2.73)
Für monochromatisches Licht (2.71) ist der Kontrast stets maximal, K = 1. Monochromatisches Licht kann
beliebig zeitlich verschoben mit sich überlagert werden, ohne daß sich die Kohärenzfähigkeit, und somit auch
der Kontrast, ändert.
Monochromatische Beleuchtung ist natürlich ein idealisierter Grenzfall. Mit einem stabilisierten Ein-ModenLaser (wie er im Praktikumsversuch verwendet wird) ist sie jedoch näherungsweise erreichbar. Für andere
Lichtquellen kann die Kontrastfunktion sehr unterschiedliche Formen annehmen. Zeitlich völlig inkohärentes
Licht, das durch γ(τ) = 0 für τ ≠ 0 charakterisiert wird, stellt den anderen Grenzfall dar. Annähernd wird
dies z.B. durch die Glühlampe oder normales Tageslicht erreicht. Der Zwischenbereich 0 ≤ γ(τ) ≤ 1 heißt
partiell kohärente Beleuchtung.
Die Breite der Selbstkohärenzfunktion Γ(τ) bzw. des komplexen Kohärenzgrades γ(τ) wird als Kohärenzzeit
τc bezeichnet. Anschaulich ist dies die zeitliche Verschiebung, bei der die kohärente in die inkohärente
Überlagerung übergeht; siehe hierzu auch Bild 2.10. Da die Breite einer Funktion nicht eindeutig zu
definieren ist, besteht hierüber in der Literatur keine Einigkeit. Die gebräuchlichste Definition der
Kohärenzzeit ist folgende [Goodman, 1985, S.167]:
Inhaltsverzeichnis
τ c :=
27
∞
∫ γ (τ )
2
dτ .
(2.74)
−∞
Die Selbstkohärenzfunktion Γ(τ), und damit auch der komplexe Kohärenzgrades γ(τ), ist mit dem Spektrum
der Lichtquelle korreliert. Nach dem Wiener-Khintchine Theorem ist die Fouriertransformierte der
Autokorrelationsfunktion9 gleich dem Leistungsdichtespektrum10. Demnach sind auch die Breiten der
Autokorrelationsfunktion und des Leistungsdichtespektrums entsprechend der Fouriertransformation
miteinander gekoppelt. Die Kohärenzzeit τc läßt sich daher wie folgt bestimmen:
τc ≈
1
∆ν
,
(2.75)
wobei ∆ν die Halbwertsbreite des Leistungsdichtespektrums ist. Die Kohärenzzeit kann über die
Lichtgeschwindigkeit c in die Kohärenzlänge
lc := cτ c =
c
(2.76)
∆ν
umgerechnet werden. Zwei Strahlen deren optische Weglängendifferenz kleiner ist als lc sind kohärent und
damit interferenzfähig.
2.5.2 Räumliche Kohärenz
Räumlich kohärent sind zwei Teilstrahlen einer Lichtquelle an zwei Punkten P1 und P2 im Raum, wenn sie an
diesen Punkten eine feste Phasenbeziehung haben. Im Gegensatz zur zeitlichen Kohärenz hängt die
räumliche Kohärenz also nicht nur von der Lichtquelle ab, sondern sie kann immer nur bezüglich zweier
Punkte definiert werden. Mit Hilfe des in Bild 2.11 dargestellten Youngschen Interferenzversuchs läßt sich
dies veranschaulichen.
P
1
r1
S
P2
r2
LichtquelleQ
Schirm
Bild 2.11: Youngscher Interferenzversuch
Im letzten Abschnitt haben wir uns auf zeitliche Kohärenz beschränkt und zur Vereinfachung angenommen,
daß es sich bei der Lichtquelle um eine ideale Punktlichtquelle handle. In der Praxis hat natürlich jede
Lichtquelle eine endliche Ausdehnung. Die Auswirkungen werden hier näher untersucht. Um das Problem
zeitlich inkohärenter Beleuchtung zu umgehen, wird quasi-monochromatisches Licht betrachtet, dessen
Kohärenzlänge groß im Vergleich zu den auftretenden Wegunterschieden ist.
9
Wie bereits erwähnt stellt die Selbstkohärenzfunktion die Autokorrelationsfunktion von u(t) dar.
Das Leistungsdichtespektrum wird auch spektrale Energieverteilung bezeichnet.
10
Inhaltsverzeichnis
28
Eine ausgedehnte Lichtquelle beleuchtet die zwei Pinholes11 bei den Punkten P1 und P2. Von dort gehen nach
dem Huygensschen Prinzip Elementarwellen aus, die sich auf dem Schirm überlagern. Eine ausgedehnte
Lichtquelle verhält sich in einem Beugungsexperiment so, als ob sie aus inkohärent strahlenden Punktquellen
bestünde. Für jeden einzelnen Punkt der ausgedehnten Lichtquelle entsteht ein Interferenzmuster auf dem
Beobachtungsschirm. Die Lichtquellenpunkte emittieren voneinander völlig unabhängig, also inkohärent. Die
Interferenzmuster der einzelnen Punktquellen sind gegeneinander verschoben, wie in Bild 2.12 illustriert.
I(x)
I(x)
a)
s
b)
Q1
P1
nur Q 2
P2
Gesamtintensität
d
Q2
nur Q
l
Q1
Q2
1
x
Q2
1
P2
x
I(x)
c)
Q1
P
P1
P2
x
Bild 2.12: Youngscher Interferenzversuch mit unterschiedlichem Pinholeabstand und unterschiedlicher Lichtquellenausdehnung
Erreicht die dabei maximal auftretende Phasendifferenz den Wert π, so ist auf dem Schirm keine Interferenz
mehr zu erkennen; siehe Bild 2.12b+c. Je ausgedehnter die Lichtquelle ist, um so näher müssen die Pinholes
beieinander liegen, damit noch Interferenz beobachtet werden kann. Siehe hierzu Bild 2.12c. Für eine
gegebene Lichtquelle gibt es somit einen maximalen Abstand der Pinholes, der nicht überschritten werden
darf, wenn noch Interferenz auftreten soll12. Die räumliche Kohärenzbedingung lautet:13 d sin u << λ/2, mit
der Beleuchtungsapertur sin u ≈ s/(2l) (siehe Bild 2.12). Das Produkt aus der größten Abmessung des
beugenden Objektes und der Beleuchtungsapertur der Lichtquelle muß hinreichend klein sein gegen die
Wellenlänge des Lichtes. Das Wellenfeld heißt an den Punkten P1 und P2 räumlich kohärent, wenn ein
Interferenzmuster auf dem Schirm zu beobachten ist.
Der geschilderte Sachverhalt läßt sich auch mathematisch erfassen. Hierzu möchte man die Intensität auf
dem Schirm berechnen. Die Wellenfunktion u(S, t) zur Zeit t, am Ort S des Beobachtungsschirms, kann als
(gewichtete) Überlagerung der Teilwellen u(P1, t1) und u(P2, t2) durch die Punkte P1 und P2 mit ti = t - ri / c
ausgedrückt werden:
r
r 


u(S, t ) = C1 u P1 , t − 1  + C2 u P2 , t − 2  .


c
c
(2.77)
C1 und C2 sind Konstanten, die von den geometrischen Parametern (z.B. Lochgestalt) des Versuchsaufbaus
abhängen. Die auf dem Schirm im Punkt S beobachtbare Intensität ist
I S = u(S, t )
2
.
(2.78)
Ausquadrieren der Gleichung ergibt:
11
(Engl.) Pinhole = Nadelloch, runde Öffnung mit kleinem Durchmesser.
Siehe hierzu auch den Begriff der Kohärenzfläche, der im folgenden Abschnitt 2.5.3 eingeführt wird.
13
Herleitung siehe z.B. [Stössel, 1993, S.115].
12
Inhaltsverzeichnis
29

 r − r 
IS = I1 + I 2 + 2C12 C2 2 Re Γ 12  2 1   ,
 c 

(2.79)
mit

I i : = Ci 2 u Pi , t −

ri 

c
2
;
i = 1, 2
(2.80)
und
Γ12 (τ ): = u( P1 , t + τ )u ∗ ( P2 , t )
,
(2.81)
wobei τ = (r2 - r1)/c die Zeitverzögerung zwischen r1 und r2 ist. Die Funktion Γ12(τ) ist grundlegend für die
Theorie der partiellen Kohärenz, sie heißt wechselseitige Kohärenzfunktion (mutual coherence function).
Mathematisch stellt sie die Kreuzkorrelationsfunktion der Funktionen u(P1, t) und u(P2, t) dar. Γ12(τ) hängt
sowohl von der Zeitverzögerung τ als auch von der Lage der beiden Punkte P1 und P2 ab. Wenn P1 und P2
zusammenfallen (P1 = P2), so erhält man die bereits aus Abschnitt 2.5.1 bekannte Selbstkohärenzfunktion
Γ11 (τ ): = u( P1 , t + τ )u ∗ ( P1 , t )
(2.82)
als Sonderfall der wechselseitigen Kohärenz. Oft wird Γ12(τ) normiert und man erhält den komplexen
Kohärenzgrad γ12(τ):
γ 12 (τ ) =
Γ12 (τ )
Γ11 (0) Γ 22 (0)
.
(2.83)
Streng genommen müßte γ12(τ) der komplexe wechselseitige Kohärenzgrad und γ(τ) der komplexe
Selbstkohärenzgrad14 genannt werden. Dies wird aber meist vernachlässigt. Zur weiteren Veranschaulichung
wird
((
γ 12 (τ ) = γ 12 (τ ) exp i α12 (τ ) − 2πντ
))
,
(2.84)
gesetzt, mit
α12 (τ ): = 2πντ + arg( γ 12 (τ ))
(2.85)
und der mittleren Frequenz ν des Lichts. Mit Hilfe der Gleichungen (2.83) und (2.84) läßt sich die Intensität
auf dem Schirm und speziell die Periodizität des Interferenzterms anschaulich ausdrücken:
I s = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 γ 12 (τ ) cos(α12 (τ ) − δ ) ,
(2.86)
mit δ = 2πντ. Dies ist das allgemeine Interferenzgesetz für stationäre Felder.
Für den Fall gleicher Intensitäten I1 = I2 zeigt sich, daß für den Streifenkontrast15 K gilt:
K=
I max − I min
= γ 12 (τ ) .
I max + I min
(2.87)
Der Betrag des komplexen Kohärenzgrades bestimmt den Streifenkontrast. |γ12(τ)| kann Werte zwischen 0
und 1 annehmen. In den beiden Extremfällen |γ12(τ)| = 1 bzw. 0 wird das Licht als kohärent bzw. inkohärent
bezeichnet. Für Werte dazwischen spricht man von partiell kohärentem Licht. Dieser Fall tritt in der Realität
auf. Die beiden Extremfälle werden nur näherungsweise erreicht. Das Interferenzmuster für verschiedene
Werte des komplexen Kohärenzgrades ist in Bild 2.13 dargestellt.
14
γ(τ) wurde als Normierung der Selbstkohärenzfunktion im Abschnitt 2.5.1 eingeführt, siehe Gleichung
(2.65).
15
Der Streifenkontrast K wird wieder gewählt, weil er sich im Gegensatz zu γ12(τ) leicht messen läßt, vgl. Gl.
(2.73).
Inhaltsverzeichnis
30
I(x)
I(x)
x
γ 12 = 1
0 < γ 12 < 1
I(x)
x
γ 12 = 0
x
Bild 2.13: Interferenzmuster für verschiedene Werte des komplexen Kohärenzfaktors bei
monochromatischer Lichtquelle
Zu bemerken ist noch, daß im vorliegenden Youngschen Interferenzexperiment sowohl zeitliche als auch
räumliche Kohärenzeffekte eine Rolle spielen, wenn keine monochromatische Lichtquelle16 vorausgesetzt
wird. In der Praxis müssen meist beide Kohärenztypen berücksichtigt werden.
2.5.3 Van Cittert-Zernike Theorem
Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, daß die räumliche Kohärenz von der Lage der Punkte P1 und P2 im
Wellenfeld abhängt. Es ist daher von besonderem Interesse, die wechselseitige Kohärenzfunktion einer
ausgedehnten, inkohärenten Quelle17 im Raum genau zu kennen. Hierzu wird vereinfachend angenommen,
daß die auftretenden Zeitverzögerungen τ sehr viel kleiner als die Kohärenzzeit des Lichts τc sind. Unter
dieser Annahme genügt es, die Zusammenhänge für τ = 0 zu betrachten. Zur Charakterisierung von
räumlicher Kohärenz im quasi-monochromatischen Fall werden folgende Größen eingeführt:
J12 : = Γ12 (0) wechselseitige Intensität (mutual intensity)
µ12 : = γ 12 (0) komplexer Kohärenzfaktor (complex coherence factor)
β12 : = α12 (0) = arg( µ12 )
Das Interferenzgesetz aus Gleichung (2.86) lautet mit diesen Bezeichnungen:
I s = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 µ12 cos( β12 − δ ) ,
(2.88)
unter der Bedingung, daß |r1 - r2|<< c/∆ν = lc, also die Weglängendifferenz klein gegen die Kohärenzlänge
ist.
Unter diesen Voraussetzungen ist das Verhalten einer ausgedehnten Quelle durch das Van Cittert-Zernike
Theorem beschrieben. Zur Illustration dient Bild 2.14.
Die Herleitung des Theorems findet man in [Born/Wolf, 1989, S.508-512] und in [Goodman, 1985, S.207211]. Hier soll das Ergebnis des Theorems und seine Konsequenzen diskutiert werden. Nach Van CittertZernike ergibt sich für den komplexen Kohärenzgrad
µ12 =
1
I1
ik r − r
e ( 2 1)
I (Q)
dQ ,
r2 r1
I 2 ∫ σ∫
(2.89)
wobei:
I1,2 die Intensitäten am Ort P1,2,
I(Q) die Intensitätsverteilung der Lichtquelle,
k = 2πν / c = 2π / λ
und σ das Gebiet der Lichtquelle ist.
16
17
In diesem Abschnitt wurde monochromatische Beleuchtung angenommen.
Unter einer ausgedehnten, inkohärenten Quelle versteht man eine Lichtquelle, die sich verhält, als sei sie
aus einzelnen Punktlichtquellen zusammengesetzt, die voneinander unabhängig, also inkohärent strahlen.
Inhaltsverzeichnis
31
η
y
x
ξ
P1
r1
Q
z
Quelle
r2
P2
Beobachtungsebene
Bild 2.14: Geometrie für das Van Cittert-Zernike Theorem
Die Punkte P1 und P2 liegen in einer Ebene, die von einer ausgedehnten, quasi-monochromatischen,
inkohärenten Lichtquelle beleuchtet wird.
Das Ergebnis läßt sich folgendermaßen interpretieren: Der komplexe Kohärenzfaktor µ12 gibt die
Korrelation18 zwischen Wellen an dem festen Punkt P2 und einem variablen Punkt P1 an. Der komplexe
Kohärenzfaktor ist nach Gleichung (2.89) gleich der normierten komplexen Amplitude eines gedachten
Beugungsbildes am Ort von P1. Das Beugungsbild hat sein Zentrum in P2. Man kann es wie folgt
konstruieren: Eine Blende, derselben Form und Größe wie die Lichtquelle, werde von einer sphärischen
Welle, die in P2 konvergiert, beleuchtet. Die Geometrie ist dieselbe wie in Bild 2.15. Die Amplitudenverteilung der Wellenfront in der Blendenebene muß proportional zur Intensitätsverteilung der Quelle sein.
In den meisten Anwendungen kann man zusätzlich noch weitere vereinfachende Bedingungen annehmen.
Die Intensität I(Q) sei unabhängig vom Ort auf der Quelle (gleichförmige Intensität). Die Abweichungen von
der optischen Achse seien sowohl für Punkte P1 und P2 als auch für die Ausdehnung der Lichtquelle klein
gegenüber dem Abstand z der Beobachtungsebene von der Lichtquelle. Dann erhält man mit einigen
Umformungen (siehe [Goodman, 1985, S.510]):
e iψ
µ12 =
∫∫ I (ξ, η) e
σ
− ik ( pξ + qη )
∫∫ I (ξ, η) dξdη
dξdη
,
(2.90)
σ
mit
und
p = (x1-x2)/z , q = (y1-y2)/z
ψ = k[(x12-x22)-(y12-y22)]/(2z).
Der Faktor e ist nur durch den Wegunterschied zwischen r1 und r2 bedingt. Die rechte Seite der obigen
Gleichung ist nichts anderes als die normierte Fouriertransformierte der Intensitätsverteilung der Lichtquelle.
Das Van Cittert-Zernike Theorem läßt sich für diesen Spezialfall folgendermaßen in Worte fassen:
Vorausgesetzt, die Abmessungen der Lichtquelle und die Entfernung zwischen den Punkten P1 und P2 sind
klein im Vergleich zur Entfernung der Punkte von der Quelle, so gilt:
»Der Kohärenzfaktor |µ12| ist gleich dem Absolutwert der normierten
Fouriertransformierten der Intensitätsverteilung der Lichtquelle.«
Dieser Sachverhalt wird in Bild 2.15 veranschaulicht.
iψ
18
Korrelation = wechselseitige Beziehung.
Inhaltsverzeichnis
32
η
y
ξ
x
P1
P2
Lichtquelle
η
y
ξ
y
x
Fouriertransformation
Fraunhofer Beugungsbild
P1
P2
Inormiert
1
I(P1 ) stimmt mit
Blende
γ12 überein
Bild 2.15: Bestimmung der Kohärenzfläche
Durch die Vorgabe der Intensitätsverteilung einer Quelle ist die Interferenzfähigkeit zweier Punkte in der
Beobachtungsebene festgelegt. Als Beispiel läßt sich für eine homogene, zirkulare Lichtquelle mit dem
Durchmesser d0 die Ausdehnung der Kohärenzfläche berechnen. Siehe hierzu [Born/Wolf, 1989, S.511]. Die
Größe der Kohärenzfläche gibt an, für welchen maximalen Abstand die Wellen an zwei Punkten noch
kohärent sind. Zur Abschätzung berechnet man meist den Abstand dc zwischen zwei Punkten, bei dem der
komplexe Kohärenzfaktor auf null abgefallen ist.19 Das ergibt für die Größe der Kohärenzfläche:
dc =
1,22 z λ
zλ
≈
,
d0
d0
(2.91)
wobei z der Abstand zwischen Quelle und Beobachtungsebene, λ die mittlere Wellenlänge und do der
Durchmesser der Lichtquelle ist.
Anschaulich wird hierbei folgendermaßen vorgegangen: Die Fouriertransformation einer Lochblende ergibt
das aus Abschnitt 2.4 bekannte Beugungsmuster, mit dem Airyscheibchen. Um die Kohärenzfläche zu
bestimmen, prüft man wo beim normierten Airyscheibchen der Wert der Intensität auf null abgefallen ist.
Das ergibt den gesuchten Abstand, wie in Bild 2.16 zu erkennen ist.
19
Je nach Anwendung kann man aber auch andere Werte benutzen um die Kohärenzfläche zu definieren.
Siehe z.B. [Born/Wolf, 1989, S. 511].
Inhaltsverzeichnis
33
P2
Inormiert
yd0/λz
P1
xd0/λz
Bild 2.16: Bestimmung der Kohärenzfläche bei einer runden Lichtquelle
Am Rand des Airyscheibchens ist der Wert auf null abgefallen. Der komplexe Kohärenzfaktor |µ12| ist null.
Das bedeutet, das Wellenfeld bezüglich der Punkte P2, im Zentrum, sowie P1 am Rand des Scheibchens ist
inkohärent. Für alle Punkte, deren Abstand kleiner ist als dc, ist das Feld räumlich partiell kohärent.
Was kann man aus dem Van Cittert-Zernike Theorem folgern? Die aus der Beugungstheorie bekannten
Tatsachen über die Fouriertransformierte können auf die Kohärenztheorie übertragen werden. Zwischen der
Halbwertsbreite einer Funktion und der Halbwertsbreite ihrer Fouriertransformierten besteht eine enge
Beziehung: Ihr Produkt ist ungefähr eins. Dies folgt aus der Unschärferelation. In der Praxis bedeutet das:
Eine ausgedehnte Lichtquelle besitzt eine kleine Kohärenzfläche, eine punktförmige Lichtquelle eine breite
Kohärenzfläche.
2.5.4 Begriffe der Kohärenztheorie
In diesem Abschnitt über die Kohärenztheorie wurden eine Reihe wichtiger Funktionen definiert. Die Namen
und Definitionen der Größen werden in Tabelle 2.1 zusammengefaßt.
Inhaltsverzeichnis
34
Tabelle 2.1: Namen und Definitionen verschiedener Maßgrößen der Kohärenztheorie
Symbol
Γ11 (τ )
Definition
Name
u( P1 , t + τ )u∗ ( P1 , t )
Merke: Γ11 (0) = I ( P1 )
Selbstkohärenzfunktion
zeitliche oder
räumliche Kohärenz
zeitlich
γ 11 (τ )
Γ11 (τ )
Γ11 (0)
komplexer (Selbst-)
Kohärenzgrad
zeitlich
Γ12 (τ )
u( P1 , t + τ )u∗ ( P2 , t )
wechselseitige
Kohärenzfunktion
räumlich
und zeitlich
komplexer
(wechselseitiger)
Kohärenzgrad
räumlich
und zeitlich
wechselseitige
Intensität
räumlich, quasimonochromatisch
komplexer
Kohärenzfaktor
räumlich, quasimonochromatisch
γ 12 (τ )
J12
µ12
Γ12 (τ )
Γ11 (0) Γ22 (0)
u( P1 , t )u∗ ( P2 , t ) = Γ12 (0)
J12
J11 J 22
= γ 12 (0)
⟨...⟩ symbolisiert hier die zeitliche Mittelwertbildung.
Inhaltsverzeichnis
35
3 Speckletheorie
Werden rauhe Objektoberflächen von kohärentem Licht beleuchtet, so tritt Vielstrahlinterferenz auf. Es
entsteht eine granulare Struktur in der Intensitätsverteilung, die Specklemuster genannt wird. In diesem
Kapitel werden zunächst die allgemeinen physikalischen Prinzipien, die für das Entstehen von Speckle
entscheidend sind, erläutert. Mit Hilfe der Statistik lassen sich die Speckleeigenschaften, wie Intensität,
Phase, Kontrast und Größe herleiten. Im weiteren wird die Ursache der Meßunsicherheit von 3D-Sensoren
am Beispiel eines Triangulationssensors erforscht. Die Meßunsicherheit hängt vom Specklekontrast ab, den
man über die Kohärenz des Lichtes beeinflussen kann. Die Speckleeigenschaften bei partiell kohärenter
Beleuchtung, speziell der Specklekontrast, werden im weiteren untersucht. Die Ergebnisse der Speckletheorie
sind am Ende des Kapitels zusammengefaßt.
Die folgenden Ausführungen orientieren sich an [Goodman, 1984, S.9-18 u. 35-42], [Goodman, 1985, S.347356], [Dainty, 1980], [George, 1980] und [Lauterborn/Kurz/Wiesenfeldt, 1993, S.75-84]. Besonders
empfehlenswert zum Thema Speckle ist das Buch »Laserspeckle and related phenomena« von J. Christopher
Dainty (Hrsg.) [Dainty, 1984].
3.1 Entstehung von Speckle
Wenn Laserlicht auf eine (nicht-spiegelnde) Objektoberfläche fällt, so kann im gestreuten Licht ein
granulationsartiges Muster beobachtet werden, das Specklemuster genannt wird. Ein typisches Beispiel
dieser Erscheinung demonstriert Bild 3.1. Dort wurde das von einer Mattscheibe gestreute Licht auf Film
aufgenommen. Offensichtlich zeigt die körnige Struktur keine Beziehung zu den makroskopischen
Eigenschaften des beleuchteten Objektes.
Die physikalischen Ursachen des beobachteten Specklemusters lassen sich folgendermaßen erklären: Die
Oberfläche der meisten Materialien ist rauh20 im Vergleich zur optischen Wellenlänge, die nur ≈0,5·10-6 m
beträgt. Solche Oberflächen werden deshalb als optisch rauh bezeichnet. Von allen Punkten der rauhen
Oberfläche gehen Kugelwellen aus, deren gegenseitige Phasenlage zwar zeitlich konstant ist, aber statistisch
mit dem Ausgangspunkt der Welle schwankt. Das Streulicht von der rauhen Oberfläche erzeugt wegen der
Kohärenz des Laserlichtes ein komplexes, im Raum stationäres Wellenfeld. Durch Interferenz der von
verschiedenen Oberflächenpunkten kommenden Lichtwellen enthält das Wellenfeld statistisch verteilte
Feldstärken, und damit statistisch verteilte Intensitäten an verschiedenen Raumpunkten.
20
Viele Objekte des täglichen Lebens werden durch Schleifen, Fräsen oder Bohren hergestellt.
Inhaltsverzeichnis
36
Bild 3.1: Specklemuster im Streulicht einer kohärent beleuchteten Mattscheibe
Speckle sind ein Phänomen der statistischen Vielstrahlinterferenz. Auf die Statistik wird zurückgegriffen,
weil die detaillierte mikroskopische Struktur des streuenden Objektes nicht mit solcher Genauigkeit bekannt
ist, daß man die Lichtwegunterschiede für die interferierenden Strahlen bestimmen könnte. Deshalb wird ein
statistisches Modell für die Oberfläche entwickelt, das die Realität gut beschreibt.
3.1.1 Objektive Speckle
Kohärentes Licht beleuchtet eine rauhe Oberfläche. Die von verschiedenen Streuzentren auf der Oberfläche
kommenden Teilwellen überlagern sich kohärent im Punkt P, wie in Bild 3.2 dargestellt. Wegen der
unterschiedlichen Entfernungen, die diese Strahlen zurückgelegt haben, treten Phasendifferenzen von einigen
bis zu vielen Wellenlängen auf. Die Elementarwellen verlieren ihre Phasenkorrelation. Auf einem
Beobachtungsschirm, der den Punkt P enthält, entsteht ein statisches Interferenzmuster. Diese durch freie
Ausbreitung, also ohne optische Abbildung, entstehende Struktur nennt man objektive Speckle, weil sie ohne
das menschliche Auge oder ein Abbildungssystem vorhanden ist.
Oberfläche
λ
Beobachtungspunkt
P
Bild 3.2: Entstehung objektiver Speckle
3.1.2 Subjektive Speckle
Ein Abbildungssystem verändert natürlich die kohärente Überlagerung von Wellen gegenüber dem obigen
Fall. Bei dieser Diskussion muß neben der Interferenz auch die Beugung berücksichtigt werden. Wird das
Streulicht der rauhen Oberfläche durch eine Optik abgebildet, so bezeichnet man die entstehende Granulation
als subjektive Speckle.
Inhaltsverzeichnis
Oberfläche
37
λ
Linse
Punktbildfunktionen
mit unterschiedlicher
Phasenlage
Bild 3.3: Entstehung subjektiver Speckle
Das Licht eines Streupunktes wird durch die beugende Wirkung des Abbildungssystems auf eine kleine
Beugungsscheibe abgebildet, wie in Bild 3.3 dargestellt. Licht von benachbarten Streupunkten kann deshalb
in der Bildebene, im Überlappungsbereich der einzelnen Beugungsbilder, interferieren. Voraussetzung dafür
ist, daß die beugungsbegrenzte Punktbildfunktion des Abbildungssystems breit ist im Vergleich zur mikroskopischen Oberflächenstruktur. Dann können sich viele phasenverschobene Teilwellen kohärent in einem
Punkt der Bildebene überlagern.
Beim menschlichen Auge wird durch die Augenlinse eine Abbildung auf die Netzhaut durchgeführt. Deshalb
spielen bei jeder Beobachtung mit dem Auge stets subjektive Speckle eine Rolle. Eine Mischung aus
objektiven und subjektiven Speckle ergibt sich, wenn ein grobes Specklefeld, das auf einen Beobachtungsschirm21 projiziert ist, mit dem Auge betrachtet oder auch fotografiert wird. Die Anordnung ist in Bild 3.4
dargestellt.
Beobachtungsschirm
Mattscheibe
objektive
Speckle
statistische
Phasenlage der
Wellenfronten
Laser
statistische Phasenlage
der vom Schirm zurückgestreuten
Wellenfronten
Linse (Auge)
Filmebene (Netzhaut)
Bild 3.4: Objektive und subjektive Speckle
Objektive Speckle allein können daher nur instrumentell, z.B. mit einem CCD-Chip oder einem Fotoapparat
ohne Objektiv, bestimmt werden. Andernfalls entsteht durch die Abbildung immer eine Überlagerung mit
subjektiven Speckle. Es hängt allerdings von den geometrischen Abmessungen ab, ob die subjektiven
Speckle noch aufgelöst werden.
21
Der Beobachtungsschirm kann z.B. eine Mattscheibe oder eine weiße Wand sein.
Inhaltsverzeichnis
38
3.2 First-Order Statistik
Im allgemeinen ist es nicht möglich, die detaillierte mikroskopische Struktur der komplexen Wellenfront, die
vom streuenden Objekt ausgeht, zu beschreiben. Deshalb ist es notwendig, die Eigenschaften der Speckle mit
Hilfe der Statistik zu untersuchen. Es läßt sich zwar damit nicht die Intensität oder Phase an einem
festgelegten Punkt vorhersagen, aber man kann bestimmen, wie wahrscheinlich verschiedene Intensitäten
und Phasen in einem Wellenfeld vorkommen, und wie groß der Kontrast des Specklefeldes ist. Die
Herleitung erfolgt in diesem Abschnitt.
Zunächst werden die statistischen Eigenschaften der Speckle an einem Punkt untersucht. Dies ist die
sogenannte first-order Statistik. Die Intensität und Phase der Speckle sind solche Größen, die an einem Punkt
bestimmt werden. Im nächsten Abschnitt wird die Specklegröße untersucht. Hierzu muß man die statistischen
Eigenschaften an zwei oder mehreren Punkten betrachten. Dies ist in der second-order Statistik beschrieben.
Prinzipiell sind die statistischen Eigenschaften im Specklefeld von der Kohärenz des einfallenden Lichts und
den speziellen Oberflächengegebenheiten (Rauhtiefe) abhängig. Für kohärente, monochromatische
Beleuchtung, wie sie durch die Verwendung des Lasers erreicht werden kann, ist die Abhängigkeit von der
Rauhtiefe im allgemeinen vernachlässigbar, falls die durch die Oberfläche erzeugten Wegunterschiede größer
als eine Wellenlänge sind. Um die Untersuchung des entstehenden komplexen Wellenfeldes zu vereinfachen,
werden einige Anforderungen an die Beleuchtung des Objektes und an die Objektoberfläche gestellt:
(1) Das Objekt wird kohärent, monochromatisch beleuchtet.
(2) Die statistischen Eigenschaften des Mediums (Rauhtiefe) führen zu Phasendifferenzen, die
größer als 2π sind.
(3) Das Medium wirkt nicht depolarisierend.
(4) Zu der Intensität an einem Punkt in der Beobachtungsebene trägt eine Vielzahl von Streuzentren
auf der Objektoberfläche bei.
(5) Die gestreuten Wellen und das Specklemuster sind vollständig polarisiert.
3.2.1 Random walk in der komplexen Ebene
Es sei nun u(x, y, z; t) die Lichterregung, die eine Polarisationskomponente des elektrischen Feldes im
Beobachtungspunkt (x, y, z) repräsentiert. Für eine monochromatische Welle hat die Lichterregung die Form:
u( x , y , z; t ) = A( x , y , z ) exp(i2πνt ) ,
(3.1)
mit der optischen Frequenz ν und der komplexen Amplitude A, die von den Raumkoordinaten θ(x, y, z)
abhängt:
A( x , y , z ) = A( x , y , z ) exp( iθ ( x , y , z )) .
(3.2)
A ist eine komplexwertige Zufallsvariable und wird in diesem Zusammenhang auch Phasor22 genannt. A
repräsentiert die Amplitude und Phase einer monochromatischen Welle im Punkt (x, y, z). Die Intensität der
Welle ist gegeben durch:
1
I ( x , y , z ) = lim
T →∞ T
T
2
u( x , y , z; t )
∫
−T
2
dt = A( x , y , z ) .
2
(3.3)
2
Egal ob das Specklemuster objektiv oder subjektiv entsteht, ergibt sich die Amplitude des elektrischen Feldes
an einem Beobachtungspunkt (x, y) durch Überlagerung von phasenverschobenen Wellen, die von
verschiedenen Streuflächen auf der rauhen Oberfläche ausgehen. Die Phasoramplitude A(x, y, z) wird durch
die Summe einer Vielzahl von Beiträgen elementarer Phasoren ak(x, y, z)/N1/2 , k =1, ..., N dargestellt:
22
Zum Begriff Phasor und dessen Bedeutung in der Statistik siehe [Goodman, 1985, S.44].
Inhaltsverzeichnis
39
N
A( x , y , z ) = ∑
1
1
a k ( x, y, z ) =
N
N
N
∑ a k eiΦ
k
.
(3.4)
k =1
k =1
Anschaulich wird in Bild 3.5 illustriert, wie sich die vielen Elementarphasoren in der komplexen Ebene zur
Phasoramplitude A(x, y, z) addieren.
Im
ak . N
-1/2
A
Re
Bild 3.5: Random walk in der komplexen Ebene
Um im weiteren die Intensität und Phase des Specklemusters bestimmen zu können, muß die
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des komplexen Feldes bekannt sein. Das zu lösende Problem ist identisch
mit dem klassischen statistischen Problem des random-walk in der komplexen Ebene, das in Bild 3.5
skizziert ist.
Das random-walk-Problem beschreibt folgende Situation: Von einem Ausgangspunkt in der Ebene wird in
jede Richtung mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Schritt in einer bestimmten (oder auch für alle Richtungen
in derselben Weise statistisch verteilten) Länge gemacht. Dieser Prozeß wiederholt sich beliebig oft. Damit
man sich dabei nicht unendlich weit vom Ausgangspunkt entfernt, wird jeweils durch die Anzahl der
durchgeführten Schritte geteilt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Entfernung vom Ausgangspunkt
läßt sich dann mit dem zentralen Grenzwertsatz bestimmen (siehe Seite 40).
Ausführlich wird das random-walk-Problem in [Goodman, 1985, S.44-56] behandelt. Hier werden die
benötigten Ergebnisse besprochen. Wichtig ist, daß man die statistischen Voraussetzungen, die der Theorie
des random-walk-Problems unterliegen, beachtet und ihre physikalische Bedeutung kennt.
Die elementaren Phasoren sollen die folgenden statistischen Eigenschaften besitzen:
(i) Die Amplitude ak/N1/2 und die Phase φk des k-ten Elementarphasors sind statistisch unabhängig
voneinander, und auch unabhängig von den Amplituden und den Phasen aller anderen
Elementarphasoren. Das bedeutet, daß die einzelnen elementaren Streuflächen ohne gegenseitige
Beziehung zueinander sind, und die Stärke einer Streukomponente nicht von der Phase abhängt.
(ii) Die Phasen φk sind gleichverteilt im Intervall [-π, π[. Das heißt, die Oberfläche ist rauh
verglichen mit der Wellenlänge. Die auftretenden Phasenunterschiede sind viel größer als 2π.
Für die Überlagerung ist aber nur der Phasenunterschied modulo 2π entscheidend. Deshalb wird
auf diese Weise eine gleichförmige Verteilung auf das Intervall [-π, π[ erzeugt.
Mit diesen Annahmen werden jetzt die statistischen Eigenschaften des resultierenden komplexen Feldes
untersucht.
Inhaltsverzeichnis
40
3.2.2 Statistik der komplexen Amplitude
Der Real- und Imaginärteil des resultierenden Feldes läßt sich folgendermaßen darstellen:
N
1
r
A( ) : = Re{ A} =
N
∑ ak cos φk
1
i
A( ) : = Im{ A} =
N
∑ ak sin φk
k =1
N
(3.5)
.
k =1
Die Ensemblemittelwerte23 ⟨...⟩ von A(r) und A(i) über makroskopisch ähnliche aber mikroskopisch
verschiedene Objektoberflächen sind:
N
1
r
A( ) =
N
1
i
A( ) =
N
∑
k =1
N
∑
ak sin φk
k =1
N
1
N
∑
1
=
N
∑
ak cos φk =
k =1
N
ak cos φk = 0
(3.6)
ak sin φk = 0 .
k =1
Hierbei wurde die statistische Eigenschaft aus Annahme (i) verwendet, um über akund φk getrennt zu
mitteln. Aus der Annahme (ii) folgt, daß ⟨cos φk⟩ und ⟨sin φk⟩ den Wert null ergeben. Auf ähnliche Weise
sieht man:
[ ]
A( r )
[A ]
( i)
2
2
N
N
1
=
N
∑∑
1
=
N
N
A( r ) A( i ) =
k =1 m=1
N
∑∑
ak am cos φk cos φ m
ak am sin φk sin φ m
k =1 m=1
N N
1
N
∑∑
N
1
=
N
1
=
N
∑
ak
2
k =1
N
∑
k =1
2
ak
2
2
(3.7)
ak am cos φk sin φ m = 0 .
k =1 m=1
Hierbei wurde die Tatsache benutzt, daß für unabhängige und gleichförmig verteilte Phasen gilt:
 1 2 für k = m
cos φ k cos φ m = sin φ k sin φ m = 
 0 für k ≠ m
cos φ k sin φ m = 0 .
(3.8)
Die obigen Gleichungen lassen sich folgendermaßen deuten: Der Real- und der Imaginärteil der komplexen
Felder hat den Mittelwert null. Die Varianz
σ2 =
[ A( ) ]
r
2
=
[ A( ) ]
i
2
1
=
N
N
∑
k =1
ak
2
2
(3.9)
ist identisch, und Real- und Imaginärteil sind unkorreliert, da ⟨A(r) A(i)⟩ = 0.
Weiter wird angenommen, daß die Anzahl N der Elementarphasorbeiträge extrem groß ist, was in der Praxis
im allgemeinen auch zutrifft. Dadurch können der Real- und Imaginärteil des Feldes in Gleichung (3.5) als
Summe vieler unabhängiger Zufallsvariablen aufgefaßt werden. Unter diesen Voraussetzungen läßt sich der
zentrale Grenzwertsatz anwenden. Siehe hierzu [Goodman, 1985, S.31-33] und [Krengel, 1991, S.153-157]
Der zentrale Grenzwertsatz lautet: Kann eine Zufallsgröße als Summe einer großen Anzahl N statistisch
unabhängiger Summanden aufgefaßt werden, von denen jeder nur einen extrem kleinen Beitrag liefert, so ist
diese Zufallsgröße für N → ∞ annähernd normalverteilt.
23
⟨...⟩ steht in diesem Abschnitt über Speckletheorie für das Ensemblemittel und soll nicht mit dem zeitlichen
Mittel verwechselt werden, das im Abschnitt 2.5 der Kohärenztheorie verwendet wurde.
Inhaltsverzeichnis
41
Auf unseren Fall angewandt bedeutet das: Wenn die Anzahl der beitragenden Streuflächen N gegen
unendlich geht, werden A(r) und A(i) annähernd zu Gaußfunktionen. Verknüpft man diese Tatsache mit den
Ergebnissen aus Gleichung (3.6) und (3.7), ergibt sich für die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion von
Real- und Imaginärteil des Feldes asymptotisch folgende Näherung:
p r ,i
(
[ ] [ ] 

( r ) 2 + A( i )
A

1
A( r ) , A( i ) =
exp −
2
2πσ
2σ 2


)
2


,
(3.10)
mit der Varianz
1
σ 2 = lim
N →∞ N
ak
N
∑
2
2
k =1
.
(3.11)
Dieser Typ von Dichtefunktion ist allgemein als zirkulare Gaußsche Dichtefunktion bekannt, da Linien
gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte Kreise in der komplexen Ebene sind. Die Phasoramplitude A stellt eine
zirkulare komplexe Gaußsche Zufallsvariable dar.
3.2.3 Statistik der Intensität und Phase
In den meisten optischen Experimenten wird die Intensität des Wellenfeldes direkt gemessen. Wir wollen
daher versuchen, aus der Statistik der komplexen Amplitude die entsprechenden statistischen Eigenschaften
der Intensität in einem Specklemuster zu bestimmen. Gleichzeitig wird dabei als mathematisches
Nebenprodukt die Statistik der Phase erhalten. Die Intensität I und die Phase θ des entstehenden Feldes läßt
sich mit Hilfe des Real- und Imaginärteils der komplexen Amplitude ausdrücken:
r
A( ) =
I cos θ
i
A( ) =
I sin θ
(3.12)
oder äquivalent dazu:
[ ] + [ A( ) ]
I = A( r )
θ = tan
−1
2
A( i )
A( r )
i
2
(3.13)
⋅
Um die Verbundwahrscheinlichkeitsdichte der Intensität und Phase zu erhalten, wendet man die Technik der
Transformation von Zufallsvariablen24 an. Die gesuchte Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion für I und
θ kann durch die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion für A(r) und A(i) ausgedrückt werden:
p I .θ ( I , θ ) = pr ,i ( I cos θ , I sin θ ) J
,
(3.14)
mit der Jacobimatrix der Transformation
∂A( r )
J = ∂I( i )
∂A
∂I
∂A( r )
∂θ = 1 ,
2
∂A( i )
∂θ
(3.15)
wobei ||...|| die Determinante symbolisiert. Einsetzen von Gleichung (3.10) in (3.14) ergibt:
I 
 1


exp −

2
p I ,θ ( I , θ ) =  4πσ
 2σ 2 
 0
24
für I ≥ 0, − π ≤ θ < π
sonst.
Eine ausführliche Darstellung hierzu wird in [Goodman, 1985, S.21-29] gegeben.
(3.16)
Inhaltsverzeichnis
42
Hieraus läßt sich die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Intensität bestimmen:
pI ( I ) =
I 
 1

 2 exp −

p
I
,
θ
d
θ
=
 2σ 2 
∫ I ,θ ( )  2σ
 0
−π
π
für I ≥ 0
(3.17)
sonst.
Die Statistik für die Intensität ist in Bild 3.6 dargestellt. Die Intensität im Specklemuster gehorcht einer
negativen exponentiellen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Daraus folgt für den Mittelwert der Intensität
⟨I⟩ = 2σ². Damit ergibt sich:
pI ( I ) =
 I 
1
exp −

I
 I 
für I ≥ 0 .
(3.18)
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Intensität und Phase ist in Bild 3.6 dargestellt. Die
wahrscheinlichste Intensität eines Speckle ist gleich null. Hohe Intensitäten kommen mit zunehmend
geringerer Wahrscheinlichkeit vor.
pI(I)·⟨I⟩
I/⟨I⟩
Bild 3.6: Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pI (I)
Die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Phase ist gegeben durch:
pθ (θ ) =
∞
∫
0
 1
p I ,θ ( I , θ )dI =  2π
 0
für − π ≤ θ < π
(3.19)
sonst.
In Bild 3.7 ist pθ(θ) graphisch dargestellt. Die Phasen im Specklefeld sind gleichverteilt. Alle Phasen treten
mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/2π auf.25
25
Dies stimmt mit der Voraussetzung (ii) auf Seite 39 überein.
Inhaltsverzeichnis
43
pθ(θ)
1/(2π )
−π
0
π
θ
Bild 3.7: Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion pθ(θ)
3.2.4 Specklekontrast
Die Intensität im Specklemuster gehorcht einer negativen exponentiellen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion,
vergleiche Bild 3.6. Diese Verteilung hat die wichtige Eigenschaft, daß ihre Standardabweichung σI gleich
dem Mittelwert ⟨I⟩ ist, und beide gleich 2σ² sind [Goodman, 1985, S.124 bzw. S.16-19]:
σ I = I = 2σ 2 .
(3.20)
σ² ist die Varianz der Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion, siehe Gleichung (3.11). Eine andere
wichtige first-order Eigenschaft ist der Specklekontrast. Er ist folgendermaßen definiert [Goodman, 1984,
S.17]:
C=
σI
I
.
(3.21)
Für kohärente Beleuchtung ist der Kontrast immer eins, da nach obiger Gleichung die Standardabweichung
der Intensität σI eines polarisierten Specklefeldes gleich der mittleren Intensität ist. Der Specklekontrast kann
als das inverse Signal-zu-Rauschen-Verhältnis SNR (signal to noise ratio) aufgefaßt werden: C = SNR-1. Ein
verspeckeltes Bild hat deshalb ein Signal-zu-Rauschen-Verhältnis von 1:1. Dies kann bei der
Signalverarbeitung enorm stören. Verringert sich die räumliche oder zeitliche Kohärenz, so kommen immer
mehr Beiträge von einzelnen Streuflächen, die nicht mit denen anderer interferieren können. Ihre Intensitäten
müssen inkohärent addiert werden. Das führt zu einer Verringerung der Standardabweichung, was wiederum
den Specklekontrasts C mindert. Gleichzeitig steigt das Signal-zu-Rauschen-Verhältnis an. Im vollständig
inkohärenten Fall addieren sich schließlich alle Beiträge inkohärent, der Specklekontrast wird null. Wenn
sich N unabhängige Specklemuster inkohärent überlagern, wird σI,N = N-1/2 ⟨I⟩ und somit C = σI,N / ⟨I⟩ = N-1/2.
Dies nutzt man z.B. bei der hochauflösenden Sternbeobachtung aus.
3.3 Specklegröße
Im letzten Abschnitt wurden die statistischen Eigenschaften der Speckle an einem Punkt betrachtet. Solche
Untersuchungen sind geeignet die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Intensität und Phase zu beschreiben.
Um eine andere fundamentale Eigenschaft der Speckle – die Größe ihrer räumlichen Struktur – zu
bestimmen, muß man die second-order Statistik untersuchen. Sie charakterisiert die statistischen
Eigenschaften an zwei Punkten im Wellenfeld.
Inhaltsverzeichnis
44
3.3.1 Größe objektiver Speckle
Wir betrachten die freie Ausbreitung des Wellenfeldes, ohne Abbildung. Die Anordnung ist in Bild 3.8
dargestellt.
x
η
he che
rau erflä
Ob
gsun
h
c
a
ob
Be ene
y
b
e
ξ
z
einfallendes Licht
Bild 3.8: Geometrie zur Entstehung objektiver Speckle
Monochromatisches Licht fällt auf eine rauhe Oberfläche. Das gestreute Licht wird in einiger Entfernung
untersucht. Die von der rauhen Oberfläche gestreuten Felder lassen sich in einer direkt an die rauhe
Oberfläche angrenzenden Ebene durch die komplexwertige Funktion α(ξ, η) beschreiben. Dabei nimmt man
an, daß α(ξ, η) eine lineare Polarisationskomponente des elektrischen Feldes repräsentiert. Die zweite lineare
Polarisationskomponente kann (in erster Näherung) unabhängig von der ersten auf die gleiche Weise
behandelt werden. Der Einfachheit halber wird hier nur eine Komponente betrachtet.
Autokorrelationsfunktion. Das komplexe Feld A(x, y) soll in einer Ebene parallel zur (ξ, η)-Ebene in der
Entfernung z untersucht werden. Um etwas über die Specklegröße in der (x, y)-Ebene zu erfahren, kann man
die Autokorrelationsfunktion der Intensitätsverteilung betrachten:
R I ( x1 , y1; x 2 , y 2 ) = I ( x1 , y1 ) I ( x 2 , y 2 ) .
(3.22)
Hierin ist I(x, y) = |A(x, y)|² und ⟨...⟩ bezeichnet wieder den Ensemblemittelwert über makroskopisch
ähnliche, aber mikroskopisch verschiedene Oberflächen. Die Breite dieser Autokorrelationsfunktion liefert
ein vernünftiges Maß für die durchschnittliche Größe eines Speckle.
Um die obige Funktion zu berechnen, wird die Tatsache benutzt, daß für eine optisch rauhe Oberfläche
A(x, y) eine zirkulare komplexe Gaußsche Zufallsvariable in jedem Punkt (x, y) ist.26 Für solche Felder läßt
sich die Autokorrelationsfunktion der Intensität mit Hilfe der Autokorrelationsfunktion der Felder
beschreiben, die durch
J A ( x1 , y1; x 2 , y 2 ) = A( x1 , y1 ) A∗ ( x 2 , y 2 )
(3.23)
repräsentiert wird. JA ist die wechselseitige Intensität des Feldes, die in der Kohärenztheorie im Abschnitt
2.5.3 eingeführt wurde.27 Für zirkular komplexe Gaußsche Felder ist die Beziehung zwischen RI und JA
gegeben durch:
26
27
Dies wurde im letzten Abschnitt gezeigt (Seite 41).
Da es für monochromatische Wellen einen Unterschied zwischen Ensemblemittelwerten und Zeitmittelwerten gibt, muß man sorgfältig zwischen zeitlich gemittelter Kohärenz und Ensemble-gemittelter
Kohärenz unterscheiden, siehe [Goodman, 1985, S.351-352]. Die Größe JA, und später der entsprechende
komplexe Kohärenzfaktor µA, wird deshalb zur Unterscheidung anders notiert als in Abschnitt 2.5.3, da
hier in diesem Abschnitt Ensemble-gemittelte Kohärenz untersucht wird.
Inhaltsverzeichnis
45
R I ( x1 , y1; x 2 , y 2 ) = I ( x1 , y1 ) I ( x 2 , y 2 ) + J A ( x1 , y1; x 2 , y 2 ) ,
2
(3.24)
wobei die Tatsache benutzt wurde, daß JA(x, y) = ⟨I(x, y⟩ ist. ⟨I(x1, y1⟩ und ⟨I(x2, y2⟩ sind nur langsam
veränderliche Funktionen und in erster Näherung gleich groß. Da für die Abschätzung der Specklegröße nur
die Veränderungen in der Autokorrelationsfunktion wichtig sind, läßt sich das Problem der Untersuchung
von RI auf die Berechnung der wechselseitigen Intensität JA reduzieren. Durch diesen Term werden nämlich
die Modulationen in der Autokorrelationsfunktion der Intensität hervorgerufen.
Die wechselseitige Intensität der Felder A(x, y) in der Beobachtungsebene ist mit den Feldern α(x, y) auf der
Streuoberfläche über eine fundamentale Beziehung verknüpft; vergleiche [Goodman, 1984, S.37]. Diese
Beziehung ist das Huygens-Fresnelsche Prinzip in der Fresnelnäherung (siehe [Goodman, 1968, S.60]):
A( x , y ) =
1
π 2


exp − i
x + y2 


λz
λz
(
)
∞
π 2


 2π

⋅ ∫ ∫ α(ξ , η) exp − i
ξ + η 2  exp i ( xξ + yη) dξdη.
 λz

 λz

(
−∞
)
(3.25)
A(x1, y1) wird nun, wie in Gleichung
(3.25), als ein Integral mit Integrationsvariablen (ξ1, η1) und
A(x2, y2) als Integral mit den Integrationsvariablen (ξ2, η2) ausgedrückt, und dann in (3.23) eingesetzt.
Vertauscht man noch die Reihenfolge der Integration und Mittelwertbildung, so ergibt sich die folgende
Beziehung zwischen der wechselseitigen Intensität JA in der Beobachtungsebene und der wechselseitigen
Intensität Jα auf der Streuoberfläche:
J A ( x1 , y1; x 2 , y 2 ) =
⋅∫
(
)
π
1


exp − i
x12 − x 2 2 + y12 − y 2 2 


λz
λz
2 2
∞
∫ ∫ ∫ Jα (ξ1 , η1; ξ2 , η2 ) exp − i λz (ξ1

−∞
π
2
)

− ξ2 2 + η12 − η2 2 

 2π
⋅ exp i
( x ξ + y1η1 − x2ξ2 − y2η2 ) dξ1dη1dξ2 dη2
 λz 1 1
(3.26)
.
Für unsere Ziele können zwei Vereinfachungen in dieser allgemeinen Beziehung gemacht werden. Erstens
sind nur die Modulationen von JA von Interesse, da die Veränderung der Autokorrelationsfunktion in
Gleichung (3.24) untersucht werden soll. Deshalb darf man den ersten exponentiellen Faktor, der von (x1, y1)
und (x2, y2) abhängt, weglassen. Zweitens sei die Mikrostruktur der Streuoberfläche so fein, daß sie von einer
Linse der Größe der Beobachtungsfläche nicht aufgelöst werden kann. Für diesen Fall gilt [Goodman, 1984,
S.37]:
J α (ξ1 , η1; ξ2 , η2 ) ≅ κP (ξ1 , η1 ) P ∗ (ξ2 , η2 )δ (ξ1 − ξ2 , η1 − η2 ) ,
(3.27)
wobei κ eine Proportionalitätskonstante ist, und P(ξ, η) die Amplitude des auf den Streupunkt (ξ, η)
einfallenden Feldes repräsentiert. δ(ξ, η) ist die zweidimensionale Deltafunktion. Das Ergebnis dieser
Vereinfachungen ist:
J A ( x1 , y1; x 2 , y 2 ) =
⋅∫
∞
κ
λz
2 2
∫ P (ξ1 , η1 )
−∞
2
 2π
exp i
(ξ ( x − x2 ) + η1 ( y1 − y2 )) dξ1dη1 .
 λz 1 1
(3.28)
Die wechselseitige Intensität der beobachteten Felder hängt nur von der Differenz der Koordinaten in der
(x, y)-Ebene ab. Sie ist bis auf multiplikative Konstanten durch die Fouriertransformation der Intensitätsverteilung |P(ξ, η)|², mit der die rauhe Objektoberfläche beleuchtet wird, gegeben. Diese Beziehung kann als
völlig analog zum Van Cittert-Zernike Theorem28 der Kohärenztheorie betrachtet werden.29
28
Van Cittert-Zernike Theorem siehe Abschnitt 2.5.3.
Inhaltsverzeichnis
46
In vielen Fällen ist es üblich, mit der normierten wechselseitigen Intensität zu arbeiten. Sie ist aus Abschnitt
2.5.3 der Kohärenztheorie bereits als komplexer Kohärenzfaktor bekannt und folgendermaßen definiert:
µ A ( x1 , y1; x 2 , y 2 ): =
J A ( x1 , y1; x 2 , y 2 )
J A ( x1 , y1; x1 , y1 )J A ( x 2 , y 2 ; x 2 , y 2 )
.
(3.29)
Wird die Gleichung (3.28) benutzt, so nimmt der komplexe Kohärenzfaktor die Form
∞
µ A ( ∆x , ∆y ) =
2
 2π

∫ ∫ P (ξ, η) exp i λz (ξ ∆x + η ∆y ) dξdη
−∞
∞
∫ ∫ P (ξ, η)
2
(3.30)
dξdη
−∞
an. Der komplexe Kohärenzfaktor µA ist also die normierte Fouriertransformierte der Intensitätsverteilung
|P(ξ, η)|² auf der Objektoberfläche. µA hängt nur von den Koordinatendifferenzen ∆x =x1 - x2 und ∆y =y1 - y2
ab. Der Betrag von µA liegt zwischen 0 und 1, und wird Korrelationskoeffizient genannt. |µA| stellt ein
Ähnlichkeitsmaß dar und ermöglicht Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Veränderungen der Intensität und
der Phase zwischen zwei Punkten in einem Specklefeld.
Schließlich läßt sich durch Einsetzen in Gleichung (3.24) die Autokorrelationsfunktion für die Intensität
angeben:
R I ( ∆x , ∆y ) = I
2
[1 + µ (∆x, ∆y) ]


2
= I 1 +



2
A
2

 2π


+
ξ
η
ξ
η
ξ
η
P
,
exp
i
∆
x
∆
y
d
d
)
∫ ∫ ( )  λz (

−∞
.
∞
2

∫ ∫ P (ξ, η) dξdη

−∞

∞
2
(3.31)
Um dieses Ergebnis zu veranschaulichen, gibt man sich als Beispiel eine Intensitätsverteilung auf dem
rauhen Objekt vor und berechnet µA , und damit RI. Für einen gleichförmig beleuchteten, runden Spot mit
dem Durchmesser d0 auf der rauhen Oberfläche kann die Größe der objektiven Speckle im Abstand z
bestimmt werden, indem man die Intensitätsverteilung des Spots Fourier-transformiert. Das ist aber analog
zur Bestimmung des Fraunhoferschen Beugungsbildes einer gleichgroßen, runden Blende, in deren Blendenebene die gleiche Intensitätsverteilung vorliegt, wie im Spot. Das Fraunhofersche Beugungsbild ergibt sich
aus der Fouriertransformation. Diese Beziehungen sind in Bild 3.9 dargestellt.
Nach der Beugungstheorie in Abschnitt 2.4 ergibt sich als Beugungsbild das bekannte Airy-Muster
2
2
 πd
2 J1  0 ( ∆x ) + ( ∆y ) 
 λz

µ A ( ∆x , ∆y ) =
.
πd 0
2
2
( ∆x ) + ( ∆y )
λz
(3.32)
Als »durchschnittliche Größe« eines objektiven Speckle wird nach [Goodman, 1984, S.39] der Wert ∆y
bezeichnet, bei dem der komplexe Kohärenzfaktor zum ersten Mal auf den Wert null abgenommen hat.
Übertragen aufs Fraunhofersche Beugungsbild entspricht dies dem Radius bzw. dem halben Durchmesser des
Beugungsscheibchens.
29
Hierzu muß angemerkt werden, daß beim Van Cittert-Zernike Theorem der Mittelwert für J12 über die Zeit
gebildet wird. Hier wird jedoch über ein Ensemble von makroskopisch ähnlichen, aber mikroskopisch
verschiedenen, rauhen Oberflächen gemittelt.
Inhaltsverzeichnis
47
η
y
ξ
x
d0
Beobachtungsebene
Bestimmung von
µA (0,∆ y)
∆y
Spot auf rauher Oberfläche
z
η
y
ξ
d0
Fouriertransformation
Inormiert
1
I(0,y) stimmt mit
Blende
µA (0,∆ y) überein
Bild 3.9: Geometrie zur Bestimmung der Specklegröße
Die Specklegröße ist deshalb30
d obj = 1,22
λz
d0
≈
λz
d0
,
(3.33)
mit der Wellenlänge λ, dem Abstand z von der rauhen Oberfläche und dem Spotdurchmesser d0. Für die
Autokorrelationsfunktion ergibt sich aus Gleichung (3.31)

πd
2
2
2 J1 0 ( ∆x ) + ( ∆y )

2
λz
R I ( ∆x , ∆y ) = I 1 +
π
d
2
2

0
∆x ) + ( ∆y )
(

λz

2


 .



Die Specklegröße ist die »halbe Breite« der Autokorrelationsfunktion der Intensitäten in der
Beobachtungsebene. Siehe Bild 3.10.
30
Siehe Beugungstheorie Abschnitt 2.4.
(3.34)
Inhaltsverzeichnis
48
R I (0, ∆ y)/ ⟨ I⟩
2
d obj
∆ y·d 0 /( λz)
Bild 3.10: Autokorrelationsfunktion in der (0, ∆y)-Ebene für runden Beleuchtungsspot
Für einen quadratischen Spot der Größe L×L ergeben analoge Betrachtungen [Goodman, 1984, S.39]
d obj =
λz
L
(3.35)
für die Größe der objektiven Speckle.
Im allgemeinen wird bei der runden Öffnung, wie oben betrachtet, mit dem Näherungswert31
d obj =
λz
do
(3.36)
gearbeitet, so daß allgemein für beide Fälle mit einer »Spotgröße« d0 gerechnet werden kann. Die Größe der
objektiven Speckle ist proportional zur Wellenlänge und zur Entfernung zwischen rauher Oberfläche und
Beobachtungsschirm. Sie ist umgekehrt proportional zur Spotgröße auf der Oberfläche des Mediums.
3.3.2 Größe subjektiver Speckle
Im folgenden wird die Größe der subjektiven Speckle, die in einem Abbildungssystem entstehen, untersucht.
Die Situation ist in Bild 3.11 skizziert. Bei diesen geänderten Voraussetzungen müssen einige
Modifikationen gegenüber den oben hergeleiteten Ergebnissen gemacht werden.
31
Es ist in der Praxis meist ausreichend, mit Näherungswerten zu arbeiten, da die Specklegröße keine
eindeutig festgelegte Größe darstellt. Die durchschnittliche Specklegröße ist als halbe Breite der
Autokorrelationsfunktion definiert.
Inhaltsverzeichnis
49
η´
x
η
he che
rau erflä
b
O
enpill e der
u
P en
e b se
Lin
ξ´
ξ
ne
ebe
d
l
i
B
y
z
einfallendes Licht
Bild 3.11: Abbildungsgeometrie bei der Entstehung subjektiver Speckle
Das zu untersuchende Objekt sei wieder gleichförmig reflektiv und die Ausdehnung der beleuchteten Region
groß, verglichen mit dem Auflösungsvermögen der benutzten Linse. Die Objektbeleuchtung wird als
gleichförmig angenommen. Unter diesen Bedingungen ist die Größe der auf die Eintrittspupille der Linse
fallenden Speckle sehr klein im Vergleich zum Durchmesser der Pupille. Damit folgt in guter Näherung, daß
die wechselseitige Intensität des Feldes in der Pupille der Linse gegeben ist durch Gleichung (3.27) aus der
Untersuchung der objektiven Speckle:
J α (ξ1 , η1; ξ2 , η2 ) ≅ κP (ξ1 , η1 ) P ∗ (ξ2 , η2 )δ (ξ1 − ξ2 , η1 − η2 ) .
(3.37)
Wobei hier das Koordinatensystem (ξ, η) in der Pupillenebene liegt, siehe Bild 3.11. P(ξ, η) ist die
(möglicherweise komplexwertige) Pupillenfunktion der Linse. An diesem Punkt kann nun auf die Kenntnisse
zurückgegriffen werden, die bei den Berechnungen für objektive Speckle gewonnen wurden. Dazu behandelt
man die Pupillenebene so, als sei sie eine gleichförmig beleuchtete rauhe Oberfläche, und berechnet die
Autokorrelationsfunktion, die sich in der Bildebene ergibt. Es wird also folgende Annahme gemacht: Die
statistische Phasen- und Amplitudenverteilung des komplexen Specklefeldes in der Pupillenebene entspricht
der statistischen Phasen- und Amplitudenverteilung auf einer rauhen Oberfläche. Diese Hypothese ist wegen
der kleinen Speckle in der Linsenpupille auch gut erfüllt.
Da bei der Ausbreitung des Lichts von der Pupillenebene zur Bildebene nur die Ausbreitung im freien Raum
auftritt, lassen sich die Ergebnisse aus den Untersuchungen über objektive Speckle an dieser Stelle direkt
anwenden. Es muß nur die neue Interpretation von P(ξ, η), als komplexes Feld in der Pupillenebene,
verwendet werden. Zu bemerken ist, daß die Autokorrelationsfunktion demzufolge unabhängig von jeglichen
Aberrationen ist, die durch das Abbildungssystem entstehen, da solche Aberrationen nur die Phase von
P(ξ, η) beeinflussen. Die Autokorrelationsfunktion des entstehenden Specklemusters ist durch
R I ( ∆x , ∆y ) = I
2
[1 + µ (∆x, ∆y) ]


2
= I 1 +



2
A
2

 2π


ξ
η
ξ
η
ξ
η
P
,
exp
i
∆
x
+
∆
y
d
d
)
∫ ∫ ( )  λz (

−∞

∞
2

∫ ∫ P (ξ, η) dξdη

−∞

∞
2
(3.38)
gegeben. Sie besteht aus einem konstanten Term plus den quadratischen Modulationen der normierten
Fouriertransformierten der Intensitätstransmission |P(ξ, η)|² in der Linsenpupille. Dies kann wieder als
Analogon zum Van Cittert-Zernike Theorem in Abschnitt 2.5.3 aufgefaßt werden. Siehe Bild 3.12.
Inhaltsverzeichnis
50
η´
η
y
ξ
ξ ´
x
D
Bildebene
Bestimmung von
µA (0,∆ y)
∆ y
Linse
Spot
z
η
y
ξ
D
Fouriertransformation
Inormiert
1
I(0,y) stimmt mit
Blende
µA (0,∆ y) überein
Bild 3.12: Bestimmung der Größe subjektiver Speckle
Für den üblichen Fall einer runden Linse mit Durchmesser D ergibt sich aus Rechnungen, die völlig analog
zu denen für objektive Speckle sind, für die Autokorrelationsfunktion in der Bildebene der Linse:

πD
2
2
2 J1
∆x ) + ( ∆y )
(

2
λz
R I ( ∆x , ∆y ) = I 1 +
π
D

( ∆x )2 + ( ∆y )2

λz

2


 .



(3.39)
Damit läßt sich die »durchschnittliche Größe« der subjektiven Speckle, die als halbe Breite der
Autokorrelationsfunktion definiert ist, berechnen:
d subj = 1,22
λz
D
≈
λz
D
.
(3.40)
Mit der bildseitigen Apertur sin u´≈ D/(2z) ausgedrückt, erhält man:
d subj ≈
1 λ
.
2 sin u′
(3.41)
Damit ist die Specklegröße ungefähr gleich dem halben Beugungsbilddurchmesser. Weiter ist zu bemerken,
daß die Größe der subjektiven Speckle nur von den Geometrie der Abbildung, nicht aber von der Größe des
beleuchteten Flecks auf der Mattscheibe, abhängt. Der Speckledurchmesser ist proportional zur Wellenlänge
und umgekehrt proportional zur bildseitigen Apertur.
3.3.3 Longitudinale Ausdehnung objektiver Speckle
Im vorangehenden Abschnitt wurde die durchschnittliche laterale Größe objektiver und subjektiver Speckle
bestimmt, hier wird die longitudinale Ausdehnung von objektiven Speckle untersucht. Eine ausführliche
Herleitung ist in [Leushacke/Kirchner, 1990] gegeben. In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse
besprochen. Der optische Aufbau ist derselbe wie in Bild 3.8. Es wird ein dreidimensionaler
Korrelationsfaktor µA(x1, y1, z1; x2, y2, z2), nach dem gleichen Prinzip wie der zweidimensionalen
Korrelationsfaktor µA(x1, y1; x2, y2) (siehe Gleichung (3.29)), bestimmt und damit die Länge der Speckle
abgeschätzt. Es ergibt sich:
Inhaltsverzeichnis
51
lobj ∝ λ
z2
1 λ
,
≈
2
4 sin 2 u
d0
(3.42)
mit der Apertur sin u = d0/(2z). Die longitudinale Specklegröße ist von der Größenordnung der RayleighSchärfentiefe (siehe Anhang B). Zusammen mit der bereits bekannten lateralen Größe der objektiven Speckle
dobj ≈ λz/d0 ergibt sich für die Specklegestalt eine Zigarrenform, wie in Bild 3.13 dargestellt.
Spot auf Objekt
Bild 3.13: Form der objektiven Speckle
Die zigarrenförmigen Speckle zeigen vom Zentrum des Streuspots radial nach außen.
3.4 Meßunsicherheit durch Speckle - Parallelen
zur Heisenbergschen Unschärfe
Optische 3D-Sensoren liefern dreidimensionale Information über die Geometrie der untersuchten
Objektoberfläche. Bei der Verwendung eines kohärenten 3D-Sensors zeigt sich, daß es eine fundamentale
Meßunsicherheit gibt, die nicht unterschritten werden kann. Diese Meßunsicherheit kann aus der
Speckletheorie abgeleitet werden. Überraschenderweise ergibt sich dasselbe Ergebnis direkt aus dem
Heisenbergschen Unschärfeexperiment für ein Photon. Die Speckle sind der Hauptgrund für die
Meßunsicherheit. Es wird deshalb nach Möglichkeiten gesucht, die Speckle zu reduzieren.
In diesem Abschnitt wird die Grenze der Meßunsicherheit untersucht, die nicht durch bessere Technologie
überwunden werden kann, sondern eine fundamentale physikalische Grenze darstellt. Es wird die
Funktionsweise eines kohärenten Sensors, der nach dem Triangulationsprinzip arbeitet, dargestellt, um an
seinem Beispiel die Auswirkungen der Speckle auf die Meßunsicherheit zu demonstrieren. Die
Ausführungen lehnen sich an [Häusler/Herrmann, 1992] und [Herrmann, 1994] an.
3.4.1 Meßunsicherheit beim Triangulationssensor
Die Lasertriangulation ist ein sehr gebräuchliches Meßprinzip. An ihrem Beispiel soll der Ursprung der
Meßunsicherheit untersucht werden. Das Funktionsprinzip des Sensors ist in Bild 3.14 dargestellt.
Inhaltsverzeichnis
52
LichtspotS
ui
Lichtquelle
u
θ
δ z
Objektoberfläche
Bildebene
δ x´
Spotbild S´
Bild 3.14: Prinzip der Lasertriangulation
Ein Lichtspot S wird auf das Testobjekt abgebildet. In der Bildebene entsteht ein Bild S´ dieses Spots. Ein
typisches Spotbild wird in Bild 3.15 gezeigt.
Bild 3.15: Typisches Spotbild S´
Meßgröße für die Lage des Spotbildes S´ ist der Schwerpunkt (center of gravity) der Intensitätsverteilung.
Die Lage des Schwerpunktes hängt von der Mikrostruktur der rauhen Oberfläche ab, die statistisch variiert.
Als eine Konsequenz daraus läßt sich die Lage des Spots nur mit einer statistischen Unsicherheit bestimmen.
Um die Größe der Meßunsicherheit abschätzen zu können, wird S auf eine festgelegte Stelle in der
Objektebene (markiert durch das Fadenkreuz in Bild 3.16) abgebildet, während das Objekt lateral in
x-Richtung verschoben wird. Abhängig von der statistischen örtlichen Mikrotopologie der Oberfläche tanzt
der Bildspot um seine wahre Position, die mit dem Fadenkreuz markiert ist. Dies läßt sich in Bild 3.16 zu
erkennen.
Dem Beobachter bleibt die wahre Position verborgen. Der statistische Fehler δx der Spotlage wird durch die
Abbildungsgeometrie des Sensors zu einer statistischen Entfernungsunsicherheit δz
δz =
δx ′
β sin θ
=
δx
,
sin θ
(3.43)
mit dem Abbildungsmaßstab β des Abbildungssystems. Im folgenden werden alle Variablen von der
Bildebene (gestrichen) in die Objektebene (ungestrichen) projiziert.
Experimente [Herrmann, 1994, Kapitel 6] und theoretische Berechnungen mit Hilfe der Specklestatistik
[Dorsch/Häusler/Herrmann, 1994] haben beide die gleichen Ergebnisse für die Meßunsicherheit ergeben:
Inhaltsverzeichnis
1 λ
2π sin u
λ
1
δz = C
2π sin θ sin u
53
δx = C
(3.44)
,
mit dem Specklekontrast C, der Wellenlänge λ, der Beobachtungsapertur sin u und dem
Triangulationswinkel θ.
Bild 3.16: Abweichung des Spotbildes von der zu erwartenden Position (aus [Herrmann, 1994,
S.75])
Für andere Sensorprinzipien ergeben sich annähernd dieselben Ergebnisse (siehe [Häusler/Herrmann, 1992]):
1 λ
2π sin u
1 λ
δz = C
.
2π sin 2 u
δx = C
(3.45)
Für kohärente Beleuchtung ist C = 1. Die Meßunsicherheit für δx entspricht dann bis auf einen Faktor
1/(1,22π) dem Radius des Airyscheibchens. Die Meßunsicherheit für δx ist also eng mit dem RayleighKriterium für den lateralen Auflösungsabstand verwandt.
Um einen »guten« Sensor zu bauen, müßte nach den Gleichungen (3.44) eine große Beobachtungsapertur
und ein großer Triangulationswinkel gewählt werden. Dem sind aber enge technische Grenzen gesetzt. Die
Reduzierung des Specklekontrasts C ist eine weitere Möglichkeit zur Verringerung der Meßunsicherheit.
Der Specklekontrast wird vermindert, falls über verschiedene Specklefelder gemittelt wird. Dies ist dann der
Fall, wenn sich die Felder inkohärent überlagern. Durch die Verwendung von räumlich partiell kohärenter
Beleuchtung oder dem Einsatz einer breitbandigen Lichtquelle mit verschiedenen Wellenlängen und
entsprechend kurzer Kohärenzlänge kann eine Kontrastreduzierung erreicht werden.
Bei verringerter zeitlicher Kohärenz, aber räumlich kohärenter Beleuchtung, ist der Kontrast im subjektiven
Specklefeld (bei Beobachtung in der Reflexion) annähernd gegeben durch (siehe[Pedersen, 1975]):
Inhaltsverzeichnis
54
1
C2 =
 4σ 
1+  h 
 lc 
2
,
(3.46)
wobei lc die Kohärenzlänge des Lichtes und σh die Rauhigkeit der Oberfläche ist. Mit abnehmender
Kohärenzlänge sinkt der Specklekontrast, und die Meßunsicherheit wird verringert.
Eine weitere Möglichkeit den Specklekontrast zu reduzieren ist es, eine ausgedehnte räumlich inkohärente
Lichtquelle zur Beleuchtung zu verwenden. Es stellt sich aber heraus, daß dabei eine Unschärferelation
zwischen lateraler und longitudinaler Entfernungsunsicherheit existiert, wenn Speckle im Spiel sind
[Häusler/Herrmann, 1992]:
δz ⋅ δx = const .
(3.47)
Eine Verbesserung der Entfernungsunsicherheit δz kann nur erreicht werden, wenn man laterale Auflösung
δx opfert.
Im Experimentellen Teil in Abschnitt 5.3 wird die Meßunsicherheit beim Triangulationsprinzip untersucht. In
Abschnitt 5.4 werden die Einflüsse räumlich und zeitlich partieller Kohärenz auf den Specklekontrast
erforscht.
3.4.2 Heisenbergsche Unschärfe und Meßunsicherheit
Die Meßunsicherheit in den Gleichungen (3.45) ist nicht auf ein bestimmtes Meßprinzip beschränkt, sondern
von fundamentaler Natur. Wenn die Meßunsicherheit nicht aus der Speckletheorie hergeleitet wird [Dorsch/Häusler/Herrmann, 1994], wie oben erwähnt, sondern die Meßunsicherheit für ein einzelnes Photon direkt
aus dem Heisenbergschen Unschärfeprinzip berechnet wird, so erhält man erstaunlicherweise dasselbe
Ergebnis.
Wir betrachten ein Experiment in Anlehnung an [Herrmann, 1994, Kap.8], in dem versucht wird, ein
einzelnes Photon Q anhand seines Ortes in der Bildebene einer Linse mit der Apertur sin u, zu lokalisieren.
Die Heisenbergsche Unschärfe verknüpft die Unschärfe in der z-Komponente des Impulses δpz mit der
Unschärfe für die Entfernung δz :
δpz ⋅ δz ≥
h
,
4π
(3.48)
wobei h das Planksche Wirkungsquantum ist. Diese Relation impliziert, daß eine kleine
Entfernungsunschärfe eine große Unschärfe in der z-Komponente des Photonenimpulses erfordert. Die
Unschärfe δpz des Photonenimpulses in z-Richtung ist für eine gegebene Apertur sin u in Bild 3.17
dargestellt.
Inhaltsverzeichnis
55
δ pz
x
z
Photonenquelle
Q
p
δ px
u
p
p
Linse
Bild 3.17: Unschärfe δpz und δpx des Photonenimpulses für eine Apertur sin u
Für δpz ergibt der Pfeilhöhensatz
δp z =
(δpx )2
2p
.
(3.49)
Setzt man
p =
h
h
k=
2π
λ
,
sin u =
δp x
p
,
(3.50)
ein, so folgt:
δp z =
h sin 2 u
.
2λ
(3.51)
In die Unschärferelation eingesetzt und aufgelöst nach der Entfernungsunschärfe δz, ergibt sich:
δz ≥
1 λ
.
2π sin 2 u
(3.52)
Erstaunlicherweise erhält man aus der Heisenbergschen Unschärfe für das Einzelphoton-Experiment das
gleiche Ergebnis wie beim Speckleexperiment mit vielen Photonen. Der Grund dafür ist, daß das
Einzelphoton-Experiment das gleiche Signal-zu-Rauschen-Verhältnis wie das Speckleexperiment hat,
nämlich eins. Intuitiv würde man eigentlich erwarten, daß die Entfernungsunsicherheit bei N Photonen im
Speckleexperiment um einen Faktor N-1/2 geringer ist als für ein einzelnes Photon. Für kohärente Beleuchtung
auf rauhen Oberflächen gilt dies jedoch nicht. Die Speckle limitieren die Unsicherheit auf den großen Wert
der Ein-Photon-Messung.
Ähnliche Überlegungen wie oben können auch für die Unschärfe δpx des Photonenimpulses durchgeführt
werden, was zu einer Unschärfe δx führt:
δx ≥
1 λ
.
2π sin u
(3.53)
Wird beim Heisenbergexperiment nicht ein einzelnes Photon lokalisiert, sondern bestimmt man den mittleren
Aufenthaltsort von N Photonen, so ergibt sich aus der Unschärferelation:
Inhaltsverzeichnis
1
N
1
δx ≥
N
δz ≥
56
1 λ
2π sin 2 u
1 λ
.
2π sin u
(3.54)
Die Meßunsicherheit wird um N-1/2 geringer. Dieser Vorfaktor läßt sich als 1/(SNR) 32 identifizieren. Ein
formaler Vergleich mit dem Ergebnis für den Specklefall (3.45) zeigt, daß für Speckleexperimente das SNR
mit 1/C korrespondiert. Bei geringerem Specklekontrast C läßt sich also die Meßunsicherheit verringern.
Dies kann man durch Reduzierung der räumlichen und zeitlichen Kohärenz erreichen.
3.5 Speckle bei partiell kohärenter Beleuchtung
Der Specklekontrast kann durch Variation der Kohärenz der Beleuchtung verändert werden. Ebenso hängt
der Kontrast von der Abbildung ab. Die Effekte räumlich und zeitlich partieller Kohärenz werden hier in
Anlehnung an [Herrmann, 1994, Kap.7] diskutiert. Es wird in diesem Abschnitt ausschließlich auf subjektive
Speckle eingegangen, weil diese bei allen Abbildungen relevant sind. Objektive Speckle bei partiell
kohärenter Beleuchtung werden in [Parry, 1984] untersucht.
3.5.1 Räumlich partielle Kohärenz
Die räumliche Kohärenz des Lasers kann z.B. durch eine bewegte Mattscheibe im Strahlengang reduziert
werden. Dadurch entstehen zufällige Phasenfluktuationen über dem Strahlquerschnitt. Mit dem Aufbau in
Bild 3.18 wird eine quasi-monochromatische, räumlich partiell kohärente Lichtquelle erzeugt. Die
Korrelationszeiten der Wellenzüge sind bei dieser Anordnung im Vergleich zu thermischen Lichtquellen
erheblich länger.
bewegte
Mattscheibe
Beobachtungspunkt
Laser
P
Bild 3.18: Räumlich partiell kohärente Lichtquelle; erzeugt durch einen Laser mit bewegter
Mattscheibe
Der Specklekontrast hängt von der Größe der Kohärenzfläche im Lichtspot auf dem Objekt und von der
Beobachtungsapertur ab. Der laterale Bereich auf der Objektoberfläche, von dem Licht in der Bildebene zur
Interferenz kommt, hat nur die Ausdehnung des rückabgebildeten Punktbildes des Beobachtungssystems. Die
Anzahl der unabhängigen Kohärenzzellen im Spot ist bei kleinem Punktbild des Beobachtungssystems unter
Umständen gering. Die Mittelung über viele unabhängige Kohärenzzellen entfällt dann, und der
Specklekontrast wird groß. Bei einer großen Anzahl von Kohärenzzellen im Punktbild wird gemittelt, und
der Kontrast der Speckle wird gering. Dieser Sachverhalt ist in Bild 3.19 dargestellt.
32
SNR = Signal-to-Noise-Ratio, Signal-zu-Rauschen-Verhältnis.
Inhaltsverzeichnis
57
Beleuchtung
Kohärenzzelle
Mittelung
Kontrast gering
Beobachtung
kleine Apertur
Punktbildfunktion
Kohärenzzelle
Beleuchtung
Kontrast hoch
Beobachtung
große Apertur
Punktbildfunktion
Bild 3.19: Illustration zum Specklekontrast bei räumlich partieller Kohärenz
3.5.2 Weißlichtspeckle
Die Effekte veränderter Kohärenz, und veränderter Abbildung bei subjektiven Weißlichtspeckle werden hier
diskutiert. Die Ausführungen lehnen sich an [Nakagawa/Asakura, 1979] und [Herrmann, 1994, S.125-130]
an.
Der Kontrast von Weißlichtspeckle hängt von der räumlichen und zeitlichen Kohärenz der Beleuchtung, dem
Punktbild des Abbildungssystems und der Rauhigkeit der Objektoberfläche ab. Entscheidend ist immer die
Anzahl der unabhängigen Kohärenzzellen im Beleuchtungsspot auf der rauhen Oberfläche, aus denen Licht
in der Bildebene zur Interferenz gebracht wird. Siehe hierzu auch Bild 3.19.
Für unterschiedliche Wellenlängenbereiche entstehen verschiedene Specklemuster. »Rote« und »grünblaue«
Speckle sind dekorreliert; man spricht von Farbseparation, siehe [Nakagawa/Asakura, 1979].
Weißlichtspeckle bei unterschiedlicher Beobachtungsapertur sind in Bild 3.20 zu sehen.
a)
b)
Bild 3.20: Weißlichtspeckle: a) kleine Beobachtungsapertur; b) größere Beobachtungsapertur
Bei Weißlichtspeckle besteht ein Zusammenhang zwischen dem Specklekontrast und der
Oberflächenrauhtiefe σh. Für subjektive Speckle bei räumlich kohärenter Beleuchtung gilt nach [Pedersen,
1975]:
C2 =
1
 4σ 
1+  h 
 lc 
2
,
(3.55)
mit der Kohärenzlänge lc des verwendeten Lichts. Für σh >> lc geht (3.55) über in
C2 =
lc
1
=
,
2σ h N
(3.56)
siehe [Herrmann, 1994, S.130]. Es werden N = 2σh/lc unabhängige Specklemuster überlagert. Das führt zu
einer Kontrastreduktion um 1/N-1/2. Anschaulich kann man sich vorstellen, daß Licht nur für
Lichtwegunterschiede, die kleiner als lc sind, interferenzfähig ist. Dies wird in Bild 3.21 veranschaulicht. Bei
Inhaltsverzeichnis
58
großer Rauhtiefe im Vergleich zur Kohärenzlänge, d.h. σh >> lc, gibt es deshalb viele unabhängige
Specklemuster, die sich inkohärent überlagern; der Kontrast nimmt ab.
einfallendes Licht
gestreutes Licht
Kohärenzlänge l c
rauhe
Oberfläche
σh
lc
2
> Weglängendifferenz l c
Bild 3.21: Illustration zum Specklekontrast bei Licht mit der Kohärenzlänge lc
In der Meßtechnik lassen sich die Gleichungen (3.55) und (3.56) nutzen um Oberflächenrauhigkeiten zu
bestimmen. Siehe hierzu z.B. [Fujii/Asakura, 1977] und [Sprague, 1972]. Der Specklekontrast bei
Weißlichtspeckle wird in [Nakagawa/Asakura, 1978] und [Nakagawa/Asakura, 1980] untersucht.
3.6 Zusammenfassung der Speckletheorie
In diesem Kapitel wurden wichtige Eigenschaften der Speckle hergeleitet und diskutiert. Die elementaren
Ergebnisse sind nachfolgend zusammengefaßt:
Für kohärente monochromatische Beleuchtung auf optisch rauhen Objektoberflächen gilt: Die Phasen im
Specklefeld treten alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Die am häufigsten vorkommende Intensität
ist null. Große Intensitäten kommen mit zunehmend geringerer Wahrscheinlichkeit vor. Der Specklekontrast
ist eins.
Eine weitere wichtige Eigenschaft des Specklefeldes ist die mittlere Größe eines Speckle. Hierzu muß
unterschieden werden, auf welche Art und Weise das Specklemuster entstanden ist. Wird das vom streuenden
Objekt ausgehende Specklefeld ohne optische Abbildung beobachtet, d.h. die Lichtwellen vom Streuer
können sich ungestört zur Beobachtungsebene ausbreiten, so entstehen objektive Speckle. Für ihre mittlere
Größe gilt:
d obj ≈
λz
do
.
(3.57)
Sie ist proportional zur Entfernung z von der rauhen Oberfläche und umgekehrt proportional zum
Beleuchtungsspotdurchmesser d0. Die Wellenlänge λ des verwendeten Lichts geht ebenfalls mit ein.
Wird hingegen die Oberfläche mit einer Optik auf die Beobachtungsebene abgebildet, so handelt es sich bei
der entstehenden Struktur um subjektive Speckle. Ihre mittlere Größe ist
d subj ≈
λz
D
≈
1 λ
,
2 sin u
(3.58)
wobei z die Entfernung zwischen Linse und Beobachtungsebene und D der Linsendurchmesser ist. Die
subjektiven Speckle sind halb so groß wie das Beugungsscheibchen des Abbildungssystems.
Inhaltsverzeichnis
59
Bei partiell kohärenter Beleuchtung und optisch rauhen Oberflächen limitieren Speckle die Meßunsicherheit
von optischen 3D-Sensoren. Für die laterale und longitudinale Meßunsicherheit erhält man:
1 λ
2π sin u
1 λ
.
δz = C
2π sin 2 u
δx = C
(3.59)
Der Specklekontrast C spielt dabei eine wichtige Rolle.
Bei partiell kohärenter Beleuchtung werden die Speckleeigenschaften von mehreren Faktoren beeinflußt. Der
Kontrast hängt von dem gegenseitigen Zusammenwirken der räumlichen und zeitlichen Kohärenz der
Beleuchtung, der Punktbildfunktion der Beobachtung und der Rauhigkeit der Oberfläche ab.
Inhaltsverzeichnis
60
4 Versuchsapparatur
Der Praktikumsversuch besteht aus mehreren einfachen optischen Experimenten, die von den
Praktikumsteilnehmern mit den zur Verfügung stehenden Bauteilen selbst aufgebaut werden. Dazu ist es
nötig mit den wichtigsten Eigenschaften der Geräte vertraut zu sein. In diesem Kapitel werden deshalb die
verwendeten Bauteile und Instrumente charakterisiert und auf ihre Bedeutung im Versuchsaufbau
eingegangen.
4.1 Beschreibung der optischen Bauteile und
Instrumente
In diesem Abschnitt sind die Eigenschaften der verwendeten Lichtquellen – Laser und Halogenlampe –
beschrieben. Die Charakteristika der optischen Bauteile (Filter, Linsen, Blenden und Mattscheibe) werden
erläutert. Speziell unser wichtigstes Instrument für optische Wahrnehmungen – das menschliche Auge – wird
analysiert. Mit Lupe und Mikroskop ist es möglich bestimmte Fähigkeiten des Auges zu verbessern. Auf ihre
Funktionsprinzipien wird deshalb näher eingegangen.
4.1.1 Lichtquellen
a) Laser
Erst seit der Einführung des Lasers 1960 ist die Untersuchung der Specklephänomene verstärkt zum
Gegenstand der Forschung geworden. Der Laser hat einzigartige Eigenschaften unter den Strahlungsquellen.
Er zeigt hohe zeitliche33 und räumliche34 Kohärenz. Beide Eigenschaften können bei natürlichen Lichtquellen
nur durch schmalbandige Filter und enge Blenden erreicht werden, wodurch der Strahlungsfluß stark
geschwächt wird. Nur der Laser liefert kohärente Wellenfelder bei gleichzeitig hoher Strahldichte. Dies
macht ihn zur beliebten Strahlungsquelle in Meßtechnik, optischer Informationsübertragung und
Materialbearbeitung. Welche Folgen sich gerade aus der hohen Kohärenz ergeben, wird in diesem
Praktikumsversuch untersucht.
Wie funktioniert der Laser? Atome besitzen verschiedene diskrete Energieniveaus. Wurde ein Atom durch
irgendeine Energiezufuhr angeregt, d.h. befindet es sich in einem höheren Energiezustand E2 (siehe Bild
4.1a), so fällt es nach kurzer, aber nicht genau definierter Zeit wieder in den Grundzustand E1 zurück. Die
33
34
lange zusammenhängende Wellenzüge;
punktförmige Lichtquelle;
Inhaltsverzeichnis
61
dabei freiwerdende Energie ∆E = E2 - E1 wird als Strahlungsquant hν abgegeben: Es erfolgt eine spontane
Emission. Gewöhnliche Lichtquellen, die mit geringer Kohärenz strahlen, z.B. Spektrallampen, arbeiten nach
diesem Prinzip. Treffen umgekehrt Quanten hν = E2 - E1 auf die Atome, so wird das Quant entweder
absorbiert (Bild 4.1b) und dabei seine Energie für den Übergang E1 nach E2 benutzt, oder es wird der
Übergang E2 nach E1 erzwungen (siehe Bild 4.1c), wobei Energie in Form eines zusätzlichen Quants frei
wird. Die einfallende Strahlung wird verstärkt. Diese induzierte Emission ist die physikalische Grundlage des
LASERs35.
E2
E2
hν
E2
hν
hν
hν
E1
E1
E1
a) spontane Emission
b) Absorption
c) induzierte Emission
Bild 4.1: Atomare Prozesse der Strahlungsemission und Strahlungsabsorption bei zwei
Energieniveaus
Welcher der beiden Effekte, die Absorption oder die induzierte Emission, nach außen bemerkbar wird, hängt
davon ab, welche der Besetzungsdichten N1 oder N2 höher ist. Der Lasereffekt tritt nur bei N2 > N1 auf. Hierin
liegt genau das Problem: Da jedes System spontan in den Zustand niedrigster Energie übergeht, wird E1
bevorzugt besetzt. Höhere Zustände können nur bei Energiezufuhr besetzt sein. Die einfachste Möglichkeit
der Energiezufuhr, nämlich über thermische Energie (Aufheizen, wie bei Glühlampen), scheidet aus. Denn
selbst bei einer Temperatur T = ∞ würde nur N2 = N1 erreicht. Die Besetzungsinversion N2 > N1 ist nur durch
Zufuhr nichtthermischer Energie möglich, z.B. durch elektrische Energie oder optisches Pumpen (Einwirken
einer Pumpstrahlung der Frequenz νp).
Als einfachstes Laserschema ergibt sich ein Drei-Niveau-System (siehe Bild 4.2). Durch Pumpen E1 → E3
und schnellen Übergang E3 → E2 wird N2 > N1. Der Zustand E2 muß metastabil sein – ein Zustand mit einer
vergleichsweise langen Lebensdauer – damit sich viele Atome in ihm ansammeln können. Das Arbeitsniveau
ist E2 und E1. Wenn nun durch eine oder mehrere spontane Emissionen der Prozeß einmal in Gang
gekommen ist, und die Atome den Photonen anderer Atome ausgesetzt sind, so können sie durch stimulierte
Emission kohärente Strahlung abgeben.
35
Laser ist ein Kunstwort aus Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, Lichtverstärkung
durch stimulierte (= induzierte) Emission von Strahlung.
Inhaltsverzeichnis
62
E
E3
schneller Übergang
E2
Pumpen
h νp = E3-E 1
Laser-Übergang
induzierte Emission
h ν = E2-E 1
E1
t
Bild 4.2: Drei-Niveau-System als einfachstes Laserschema
Das aktive Lasermaterial (eine Substanz mit geeignet liegenden Energieniveaus, z.B. Neon) ist in einem aus
Spiegeln gebildeten optischen Resonator angeordnet (siehe Bild 4.3). Die Photonen werden zwischen den
Spiegeln hin und her reflektiert. Einer der Spiegel reflektiert nicht vollständig, z.B. nur 99 %, so daß etwas
Licht entweicht. Wenn man den angeregten Zustand ständig durch optisches Pumpen auffüllt, so wird die
Strahlung im Inneren kontinuierlich ergänzt. Solange die stimulierende Welle vorhanden ist, schwingt alles
austretende Licht kohärent und in Phase. Der Abstand zwischen den Spiegeln, die sogenannte
Resonatorlänge, ist so gewählt, daß sich eine stehende Welle aufbaut. Bei jedem Weg, hin und her, kommen
1 % der kohärenten Strahlungsenergie des Resonators als Laserstrahlung nach außen. Die Photonen aus
denen der Strahl besteht sind also etwa 100mal, immer in Kohärenz mit der stehenden Welle im Innern, hin
und her gespiegelt worden. Die Kohärenzlänge kann beim verwendeten He-Ne-Laser 60 Meter betragen.
Zum Vergleich: bei der Glühlampe ist sie nur ca. 1,5 µm [Herrmann, 1994].
Resonatorlänge
Lasermaterial
Ausgangsstrahlung des Lase
Spiegel
teildurchlässiger
Spiegel
Bild 4.3: Schematische Darstellung eines Lasers
Im Versuch wird ein Helium-Neon-Laser mit einer Wellenlänge λ = 632,8 nm verwendet, der im
Dauerbetrieb (continuous-wave) arbeitet und eine Ausgangsleistung von 2 mW hat. Seine Strahlung ist linear
polarisiert. Aus Sicherheitsgründen wird der Strahlungsfluß durch einen eingebauten Filter auf unter 1 mW
begrenzt. Damit entspricht der Laser der Schutzklasse 2, weshalb ohne Schutzbrille gearbeitet werden darf.
Folgende Sicherheitsregel ist jedoch zu beachten:
NICHT IN DEN DIREKTEN STRAHL BLICKEN!
Der Laser wird mit einem Schlüsselschalter eingeschaltet. Nach 3 Sekunden Einschaltverzögerung startet er.
Mit einem eingebauten Shutter kann man den Strahl abblenden und den Laser damit auf Stand-By schalten,
ohne die Röhre abzuschalten. Das verlängert ihre Lebensdauer.
Weiterführendes zum Thema Laser findet man z.B. in [Haken/Wolf, 1993, S.377-388] und [Bergmann/Schäfer, 1993, S.869-908].
b) Halogenlampe
Speckle treten auch bei thermischen Lichtquellen auf. Für die Untersuchung dieses Phänomens verwenden
wir eine Halogenlampe. Warum eine Halogenlampe und keine herkömmliche Glühlampe? Damit bei einer
thermischen Lichtquelle Speckle beobachtet werden können, muß die räumliche Kohärenz der Quelle
Inhaltsverzeichnis
63
genügend groß, d.h. ihre räumliche Ausdehnung entsprechend klein sein. Die räumliche Kohärenz kann
beispielsweise durch den Einsatz von Blenden erhöht werden. Dabei wird allerdings gleichzeitig der
Lichtstrom36 geringer. Die Halogenlampe erzeugt wegen der höheren Temperatur, bei der sie betrieben wird,
einen größeren Lichtstrom. Außerdem ist die leuchtende Fläche (Glühwendel) der Halogenlampe klein im
Vergleich zu herkömmlichen Glühlampen. Das zusammen bewirkt eine größere Leuchtdichte37 (Lichtstrom
pro Raumwinkel und strahlender Fläche).
Die höhere Temperatur erklärt sich durch das Funktionsprinzip der Lampe: Ihr Wolframglühfaden ist von
einem Quarzkolben, der etwas Joddampf enthält, umgeben. Das Jod verbindet sich mit dem verdampfenden
Wolfram zu Wolframjodid. In der Nähe des Glühfadens zersetzt sich das Wolframjodid wieder zu Wolfram
und Jod. Das Wolfram wird wieder auf dem Glühfaden abgeschieden, während das Jod erneut für den
Kreisprozess zur Verfügung steht. Somit wird verhindert, daß sich verdampfendes Wolfram am Kolben
niederschlägt. Dadurch sind höhere Temperaturen möglich als bei herkömmlichen Glühlampen. Zur
Halogenlampe siehe: [Bergmann/Schäfer, 1993, S.658], [Naumann, 1987, S.202-209].
4.1.2 Optische Bauteile
a) Filter
Im Versuchsaufbau werden Filter verwendet, um den Strahlungsfluß des Lasers auf das nötigste zu
beschränken. Es handelt sich dabei in unserem Fall um Graufilter (auch Neutralfilter genannt), d.h. ihr
Absorptionskoeffizient ist unabhängig von der Wellenlänge. Aufgrund des Lambertschen Absorptionsgesetz
ändert sich der Transmissionsgrad mit der Dicke d des Filters. Für den durchgelassenen Lichtstrom Φ gilt:
Φ = Φ0 e −αd .
(4.1)
Dabei ist Φ0 der in das Material eindringende Lichtstrom und α der Absorptionskoeffizient des Materials.
Diese Beziehung gilt, wenn Grenzflächenreflexionen vernachlässigt werden. Bezeichnet man das Verhältnis
des Lichtstroms an der Austrittsfläche zu dem in den Körper eintretenden Lichtstrom als spektralen
Transmissionsgrad τ, so gilt :
τ=
− αd
Φ
=e
.
Φ0
(4.2)
Im allgemeinen ist τ(λ) von der Wellenlänge abhängig. Für Neutralfilter ist τ(λ) = τ konstant. Die optische
Dichte D ist eine daraus abgeleitete Größe. Es gilt:
 1
D = lg  .
τ 
(4.3)
Auf den Filtern ist üblicherweise die optische Dichte D angegeben. Für die im Praktikumsversuch
verwendeten Filter sind die Werte in Tabelle 4.1 gegeben.
Tabelle 4.1: Zusammenhang zwischen optischer Dichte D und spektralem Transmissionsgrad τ
D
τ
36
37
Einheit [lm]
Einheit [lm/(ster cm²)]
1,0
0,1
2,0
0,01
3,0
1,0⋅10-3
Inhaltsverzeichnis
64
b) Linse
Die verwendeten Linsen sind Achromate mit den Brennweiten f = 100 mm und f = 200 mm. Achromate
werden verwendet, um die chromatische Aberration zu verringern. Diese Farbfehler entstehen, weil die
Brechzahl von der Wellenlänge der Strahlung abhängt, wie in Bild 4.4 dargestellt.
Fviolett
Frot
Bild 4.4: Chromatische Aberration
Durch Hintereinanderschaltung einer geeigneten Sammel- und einer Zerstreuungslinse aus Gläsern mit
unterschiedlichen Brechungsindizes, beispielsweise Kron- und Flintglas, kann die chromatische Aberration
für zwei Wellenlängen korrigiert werden. Siehe Bild 4.5.
Kronglas
Flintglas
rot
violett
F
violett
rot
Bild 4.5:
Achromatische Linse
Die verwendeten Linsen haben aber auch für monofrequente Strahlung, wie sie beim Laser auftritt, Vorteile.
Durch geeignete Wahl der Sammel- und der Zerstreuungslinse ist man in der Lage auch die sphärische
Aberration zu minimieren. Diese Abbildungsfehler treten bei Einzellinsen dadurch auf, daß Strahlen, die auf
weiter außen liegende Linsenzonen treffen, stärker gebrochen werden als Strahlen, die in Achsennähe
verlaufen. Bild 4.6 veranschaulicht, daß achsenparallele Strahlen, die durch den Linsenrand gehen, eine
kürzere Brennweite f2 als achsennahe Strahlen (Brennweite f1) haben.
Inhaltsverzeichnis
65
2
1
1
F2
2
F1
Bild 4.6: Sphärische Aberration: Lage der Brennpunkte für achsennahe Strahlen 1, und
achsenferne Strahlen 2
Die verwendeten Achromate sind für die Abbildung weit entfernter Objekte berechnet. Sie erreichen deshalb
ihre beste Abbildungsqualität für parallelen Lichteinfall. Farbfehler und sphärische Aberration sind dann
minimiert. Es handelt sich bei den Linsen um unsymmetrische Bauelemente, bei denen auf die richtige
Krümmungszuordnung zum Objekt geachtet werden muß. Die stärker gekrümmte Fläche des Achromaten
muß dem weit entfernten Objekt bzw. dem parallelen Strahlenbündel zugewandt werden, damit sich
minimale Abbildungsfehler ergeben. Der Brechungswinkel beim Ein- und Austritt ist dann möglichst klein;
siehe Bild 4.7. Wird ein Achromat falsch in den Strahlengang gesetzt, so vervielfachen sich die
Abbildungsfehler.38
paralleles
Strahlenbündel
divergentes
Strahlenbündel
Bild 4.7: Krümmungszuordnung beim Achromaten
Beim Einsatz des Mikroobjektivs muß ebenfalls auf die richtige Krümmungszuordnung geachtet werden. Die
stärker gekrümmte Fläche liegt auf der Seite des Gewindeanschlusses, die schwächere Krümmung liegt auf
der anderen Seite. Eine vereinfachte Darstellung eines Mikroobjektivs ist in Bild 4.8 abgebildet [Spindler &
Hoyer, 1993]. Real besteht ein Mikroobjektiv aus einem Linsensystem mit mehrerem Achromaten.
38
Die Größe des Brennflecks eines fokussierten Laserstrahls kann bei falscher Krümmungszuordnung ca.
einen Faktor 4 größer sein.
Inhaltsverzeichnis
66
Gewinde
Bild 4.8: Krümmungszuordnung beim Mikroobjektiv (schematisch)
c) Mattscheibe
Eine Mattscheibe ist eine Oberflächenstreuscheibe, die aus einem optisch klarem Medium (Glas, Acrylglas)
besteht. Die Oberflächenkörnung beträgt einige µm39. Diese Rauhigkeit kann durch Ätzen, Sanden oder
Schleifen erreicht werden. Die Mattscheiben werden in diesem Praktikumsversuch für zwei verschiedene
Zwecke verwendet. Der erste ist die Benutzung als optisch rauhe Oberfläche, die die Phasenverschiebung der
gestreuten Lichtwellen erzeugt, und damit für das Entstehen eines Specklemusters verantwortlich ist. Durch
die Mattscheibe wird die Wellenfront deformiert, wie in Bild 4.9 skizziert. Die Mattscheibe wird in diesem
Versuch stets im Durchlicht verwendet. Die Statistik ändert sich gegenüber der Betrachtung von
zurückgestreutem Licht40 nicht, solange die Phasendifferenzen, die durchgehende Streulichtwellen erhalten,
groß gegenüber 2π sind. Dies ist für die verwendete Mattscheibe erfüllt. Die rauhe Seite der Mattscheibe
sollte stets dem einfallenden Lichtbündel zugewandt sein, da es sonst, speziell beim Laserlicht, zu starken
Reflexionen kommt.
einfallende
ebene
Wellenfronten
deformierte Wellenfronten
Mattscheibe
Bild 4.9: Deformierte Wellenfront nach dem Durchgang durch eine Mattscheibe
Der zweite Verwendungszweck der Mattscheibe in diesem Praktikumsversuch ist der als DurchlichtBildschirm. Ein im Raum stationäres Specklemuster kann auf der Mattscheibe betrachtet werden. Dies
basiert auf ihrer streuenden Eigenschaft, die bewirkt, daß ein auftreffender Lichtstrahl in einen
Winkelbereich hinter der Scheibe gestreut wird. Die Verteilung des Strahlungsflusses pro Raumwinkel
dΦ/dω ist in Bild 4.10 dargestellt. Wenn Licht von links auf die Mattscheibe fällt, so kann man das gestreute
Licht von rechts auf dem Schirm beobachten. [Naumann, 1987; S.301f]
39
Je nach Mattscheibentyp zwischen 0,5 und 20 µm. Die im Versuch verwendete Mattscheibe hat eine
Körnung von ca. 10 µm.
40
Siehe Herleitung der Specklestatistik in Kapitel 3.
Inhaltsverzeichnis
67
dΦ
dω (θ)
θ
Bild 4.10: Streuende Wirkung der Mattscheibe: Strahlungsfluß pro Raumwinkel dΦ/dω in
Abhängigkeit vom Streuwinkel θ (in Polardarstellung).
d) Blende
Jedes optische System besitzt nur einen endlichen Durchmesser. Deshalb kann nie die gesamte von einem
Objektpunkt ausgehende Strahlung, die ja im Prinzip den vollen Raumwinkel 4π erfüllt, erfaßt werden. Die
endlichen Abmessungen des Systems werden durch die Apertur beschrieben; siehe hierzu Bild 4.11. Unter
der Apertur versteht man den Sinus des halben Öffnungswinkels u.
Objektoder
Bildpunkt
u
Blende
Bild 4.11: Skizze zur Definition der Apertur: Apertur = sin u
Durch veränderbare Blenden kann der Strahlungsfluß in einem optischen Aufbau kontinuierlich oder in
Stufen verändert werden. Die Flußänderung wird dabei geometrisch über die Variation des
Bündeldurchmessers erreicht. Im Versuch läßt sich mit der verwendeten Irisblende der Strahldurchmesser
stufenlos von 30 mm auf 1,2 mm reduzieren. Mit dem Blendenrevolver lassen sich genau definierte
Öffnungen von 0,2 mm, 0,3 mm, 0,6 mm, 1,0 mm, 2,0 mm und 3,0 mm einstellen. Die Spaltblende
ermöglicht es den Strahl von 0 bis 3 mm zu variieren.
Es muß beachtet werden, daß auch jede Linse und jedes andere Bauteil den optischen Strahlengang
eingrenzen kann. Eine Linse stellt gleichzeitig eine runde Blende dar. Weiterführendes siehe [Bergmann/Schäfer, 1993, S.103f].
4.1.3 Das menschliche Auge
Der Mensch nimmt über das Auge und das nachgeschaltete Gehirn ca. 70 % aller Informationen aus seiner
Umwelt auf. Das Auge stellt deshalb ein besonderes optisches Instrument dar. Wie funktioniert die »Kamera
des Menschen« – das Auge? Welche optischen Prinzipien liegen ihm zugrunde? Diese Fragen werden in
Inhaltsverzeichnis
68
diesem Abschnitt beantwortet. Auf die Physiologie des Auges und die Nachverarbeitung im Gehirn kann an
dieser Stelle nicht tiefer eingegangen werden. Hierzu sei auf weiterführende Literatur wie [Falk/Brill/Stork,
1990, S.149-166 und S.191-218] verwiesen.
a) Aufbau des Auges
Der horizontale Schnitt durch das rechte menschliche Auge ist in Bild 4.12 dargestellt. Die äußerste Schicht
des Auges ist die Lederhaut, die an der Vorderseite in die etwas vorgewölbte, durchsichtige Hornhaut
übergeht. An die Lederhaut schließt unmittelbar die Aderhaut an, die im vorderen Teil in den Ziliarmuskel
und in die Iris übergeht. Der Ziliarmuskel dient zur Formänderung der Kristallinse. Die Iris, auch
Regenbogenhaut genannt, besitzt eine kreisrunde lichtdurchlässige Öffnung, die Pupille, die als
Aperturblende mit variablem Durchmesser dient. Hinter der Hornhaut befindet sich die vordere
Augenkammer, die mit dem Kammerwasser gefüllt ist. Das Augeninnere besteht aus einem Glaskörper, der
vorn von der Kristallinse begrenzt und hinten von der Netzhaut umschlossen wird. Die Netzhaut enthält als
lichtempfindliche Zellen die Zapfen und Stäbchen. In der Mitte der Netzhaut befindet sich das Gebiet des
schärfsten Sehens, die Netzhautgrube. Auf der Nasenseite des Auges liegt der Blinde Fleck, der durch den
Austritt der Sehnerven entsteht.
Schläfenseite
Lederhaut
Ziliarmuskel
Iris
Aderhaut
Pupille
Augenlinse
Glaskörper
Kammerwasser
Hornhaut
Netzhaut
Sehnerv
Nasenseite
Bild 4.12: Horizontaler Schnitt durch das rechte menschliche Auge
b) Bilderzeugung
Im Auge entsteht auf folgende Weise das Bild eines Objektes: Die auf das Auge treffende Strahlung wird an
der Hornhaut am stärksten gebrochen, durchsetzt dann die vordere Kammer, anschließend die Kristallinse
und den Glaskörper und trifft schließlich auf die lichtempfindliche Netzhaut. Die Netzhaut wirkt als gewölbte
Bildfläche; die Öffnung der Regenbogenhaut vor der Linse dient als variable Aperturblende. Die Linse
bewirkt hauptsächlich, daß Gegenstände aus unterschiedlichen Entfernungen scharf auf die Netzhaut
abgebildet werden. Diese Einstellung des Auges auf verschiedene Gegenstandsweiten wird Akkommodation
genannt. Bei entspanntem Auge ist die Linsenkrümmung am geringsten und ihre Brennweite am größten.
Ferne Gegenstände werden scharf auf die Netzhaut abgebildet, wie in Bild 4.13a skizziert.
Inhaltsverzeichnis
69
a) fernes Objekt
b) nahes Objekt
entspannter Muskel
gespannter Muskel
straffe Bänder
schlaffe Bände
Bild 4.13: Akkommodation: (a) Abbildung ferner Gegenstände und (b) Abbildung eines Gegenstandes in kurzer Entfernung
Bei Akkommodation wird die Linse stärker gekrümmt und die Brennweite geringer. Gegenstände, die sich
nahe vor dem Auge befinden, erscheinen scharf auf der Netzhaut (siehe Bild 4.13b). Das normalsichtige
Auge ist in der Lage Gegenstände scharf zu sehen, die sich im Bereich zwischen der deutlichen Sehweite und
unendlich großer Entfernung befinden.
Nicht jedes Auge funktioniert optimal wie in Bild 4.14a. Häufige Fehler des Abbildungssystems im Auge
sind Kurzsichtigkeit (Myopie) und Weitsichtigkeit (Hyperopie). Bei Kurzsichtigen liegt bei entspanntem
Auge der Brennpunkt vor der Netzhaut (Bild 4.14b), bei Weitsichtigen hinter der Netzhaut (Bild 4.14c).
a)
b)
c)
Bild 4.14: Strahlengang beim Normalsichtigen (a), beim Kurzsichtigen (b) und beim
Weitsichtigen (c).
Diese Fehler können durch Brillen mit Zerstreuungs- bzw. Sammellinsen korrigiert werden, wie in Bild 4.15
dargestellt wird.
a)
b)
Bild 4.15: Korrektur bei Kurzsichtigkeit a) und Weitsichtigkeit b)
Die Pupille des Auges ist die strahlenbegrenzende Öffnungsblende, durch die sowohl die Abbildungsfehler
des Augensystems als auch die Beleuchtungsstärke auf der Netzhaut geregelt wird. Diese Fähigkeit des
Auges, sich in einem großen Leuchtdichtebereich den jeweiligen Gegebenheiten anpassen zu können,
bezeichnet man als Adaption.
Inhaltsverzeichnis
70
c) Sehwinkel und Auflösungsvermögen
Der Sehwinkel ε bezeichnet den Winkel, unter dem ein Gegenstand vom Auge aus gesehen wird; siehe Bild
4.16. Die Schenkel des Sehwinkels fallen mit den Hauptstrahlen der Lichtbündel zusammen, die von den
äußersten Gegenstandspunkten in die Pupille fallen.
Gegenstände verschiedener Größe, die in unterschiedlicher Entfernung vor dem Auge liegen, aber unter dem
gleichen Sehwinkel ε gesehen werden, haben die gleiche scheinbare Größe. Für alle in Bild 4.16
eingezeichneten Gegenstände ist das Bild auf der Netzhaut gleich groß. Der Sehwinkel ist also ein Maß für
die scheinbare, vom Auge gesehene Größe des Gegenstands. Weiter ist zu bemerken, daß das Auge einen
Bildumkehr durchführt, wie in Bild 4.16 zu erkennen ist.
G3
G2
G1
ε
G´
Bild 4.16: Sehwinkel ε bei Betrachtung eines Gegenstandes
Als Sehschärfe oder Auflösungsvermögen wird die Fähigkeit bezeichnet, zwei getrennte Punkte gerade noch
unterscheiden zu können. Das Auflösungsvermögen ist durch die Struktur der Netzhaut limitiert. Liegen zwei
Gegenstandspunkte so eng beieinander, daß ihre Bilder auf ein einziges lichtempfindliches Element auf der
Netzhaut fallen, so werden die beiden Punkte nicht mehr getrennt wahrgenommen. Sollen die Punkte
getrennt werden können, so müssen ihre Bilder auf zwei Zapfen auf der Netzhaut treffen. Das Auflösungsvermögen ist in der Netzhautgrube am größten, weil dort die Zapfen am dichtesten stehen. Hier werden zwei
Gegenstandspunkte gerade noch aufgelöst, wenn sie mindestens einen Sehwinkel von εmin ≈ 1´ bilden. Im
Abstand der deutlichen Sehweite s0 = 250 mm müssen zwei Punkte mindestens 0,07 mm voneinander
entfernt sein.
Wenn man einen kleinen Gegenstand deutlicher sehen will, bringt man ihn näher ans Auge heran, um den
Sehwinkel ε möglichst groß zu machen. Das ist aber nur bis zum Nahpunkt des Auges möglich. Eine weitere
Vergrößerung des Sehwinkels ε kann mit Hilfe optischer Instrumente, wie Lupe und Mikroskop, erreicht
werden. Die Wirkung dieser Instrumente wird durch ihre Vergrößerung Γ charakterisiert. Sie ist definiert
durch:
Vergrößerung Γ =
Sehwinkel mit Instrument
.
Sehwinkel ohne Instrument
(4.4)
Für weitere Lektüre zum menschlichen Auge sei [Bergmann/Schäfer, 1993, S.137-148] und [Falk/Brill/Stork,
1990, S.149-166 und S.191-218] empfohlen.
Inhaltsverzeichnis
71
4.1.4 Beobachtungsinstrumente
a) Lupe
Zur Unterstützung des Auges bei der Betrachtung kleiner Objekte dient die Lupe. Kleine Gegenstände
werden selbst in der deutlichen Sehweite s0 des Auges, d.h. bei 250 mm Entfernung nur unter sehr kleinen
Sehwinkeln gesehen (wie in Bild 4.17a dargestellt).
a)
L
ε0
s0
virtuelles Bild
im Unendlichen
L
b)
F
ε
f
L´ virtuelles Bild
L
c)
ε
F
s0
Bild 4.17: Funktionsweise der Lupe:
a) ein normales Auge mit dem Objekt in der deutlichen Sehweite
b) Auge mit Lupe, Bild im unendlichen
c) Auge mit Lupe, virtuelles Bild bei 250 mm
Durch Zwischenschaltung einer Sammellinse mit kurzer Brennweite läßt sich der Sehwinkel vergrößern.
Dazu muß die Lupe dicht vor das Auge gehalten und das Objekt im Brennpunkt angeordnet werden. Die
Vergrößerung der Lupe wird als das Verhältnis der Sehwinkel mit und ohne Instrument angegeben. Aus
geometrischen Gründen ist dies gleich dem Verhältnis der Gegenstandsabstände. Für die sogenannte
Standardvergrößerung ΓStandard gilt:
Γ Standard =
250 mm
f
(4.5)
Das Objekt befindet sich in der Brennweite f der Sammellinse, das Bild liegt im Unendlichen. Siehe hierzu
Bild 4.17b.
Die Vergrößerung wird stärker, wenn das Objekt näher ist als der Brennpunkt, und zwar dort, wo es ein
250 mm vom Auge entferntes virtuelles Bild erzeugt, wie in Bild 4.17c dargestellt. Das Auge kann dieses
virtuelle Bild durch Akkommodation scharf sehen. Die Vergrößerung Γ ist dann: [Bormann, 1991, S.54]
Inhaltsverzeichnis
72
 250 mm 

f


Γ = 1+ 
(4.6)
Beispiel: Mit einer Linse der Brennweite f = 100 mm läßt sich eine Vergrößerung ΓStandard = 2,5 erreichen,
wenn sie wie in Bild 4.17b verwendet wird. Bei einer Anordnung mit akkommodiertem Auge, wie in Bild
4.17c, beträgt die Vergrößerung Γ = 3,5. Zu beachten ist in beiden Fällen, daß sich die Lupe möglichst nahe
am Auge befindet, da sonst nicht die angegebene Vergrößerung erreicht wird.
b) Mikroskop
Eine höhere Vergrößerung als mit der Lupe kann man erzielen, wenn das Objekt in zwei Stufen abgebildet
wird, wie dies beim Mikroskop der Fall ist. Die beiden Linsen bzw. Linsensysteme (zur Korrektur von
Abbildungsfehlern) werden Objektiv und Okular bezeichnet. Der vereinfachte Aufbau ist in Bild 4.18 mit
dünnen Linsen statt der gewöhnlich verwendeten Linsensysteme dargestellt.
virtuelles Bild im Unendlichen
L´
Fob
L
ε
Fok
F́ob´
Fok´
t
Objektiv
Okular
Bild 4.18: Vereinfachter, schematischer Aufbau eines Mikroskops. Die üblicherweise
verwendeten Linsensysteme sind durch dünne Linsen ersetzt worden.
Den Abstand der inneren Linsenbrennpunkte nennt man optische Tubuslänge to. Das zu beobachtende Objekt
L der Größe l liegt innerhalb der doppelten Brennweite des Objektivs, dicht vor dessen Brennpunkt Fob. Das
Objektiv erzeugt ein umgekehrtes, vergrößertes reelles Zwischenbild L´ der Größe l´ in der Brennebene Fok
des Okulars. Die Linse des Okulars wirkt deshalb als Lupe. Für die Normalvergrößerung des Mikroskops Γm
gilt:
Γ m = β ob Γ ok ,
(4.7)
t
l′
=− 0
l
f ob
(4.8)
wobei
βob =
der Abbildungsmaßstab des Objektives und
Inhaltsverzeichnis
73
Γ ok =
s0
250 mm
=
f ok
f ok
(4.9)
die Vergrößerung des Okulars ist. Hierbei ist s0 = 250 mm die deutliche Sehweite. In der Ebene des
Zwischenbildes, also bei Fok, kann eine Strichplatte mit geeichter Skala eingesetzt werden, um die Größe der
Gegenstände zu bestimmen, die mit dem Mikroskop beobachtet werden. Der Abbildungsmaßstab ist bei
Mikroskopobjektiven immer auf die Standardabmessungen nach DIN 58 887 bezogen; (siehe hierzu
[Bergmann/Schäfer, 1993, S.160]).
Beispiel: Ein Mikroskopobjektiv mit der Bezeichnung 20/0,35 ergibt ein in der Zwischenbildebene41 20fach
vergrößertes Bild. Die Zahl 0,35 gibt die numerische Apertur des Objektivs an. Weiterführendes siehe in
[Bergmann/Schäfer, 1993, S.158-162] und [Bormann, 1991, S.54-57].
4.2 Versuchsaufbau
Der Versuchsaufbau gliedert sich für alle Teilversuche in drei Komponenten: Beleuchtung ⇒ optisch rauhes
Medium ⇒ Beobachtung. Diese Trennung erleichtert es vor allem die verschiedenen Aufbauvarianten in den
einzelnen Experimenten schneller zu überblicken. Basis für den Aufbau bildet eine optische Dreikant-Bank,
auf der die Bauteile mit höhenverstellbaren Reitern positioniert werden können.
Beleuchtung. Als Lichtquelle stehen der Laser und die Halogenlampe zur Verfügung. Der Laser wird für die
meisten Versuchsteile durch ein Mikroobjektiv und einen nachfolgenden Achromat aufgeweitet, so daß sich
ein paralleler Strahlenverlauf ergibt, wie in Bild 4.19 dargestellt. Zwischen Linse 1 und Linse 2 wird auf
diese Weise eine annähernd ebene Welle erzeugt. Der Filter dient dazu, den Strahlungsfluß auf das benötigte
Maß zu reduzieren.
Durch die Strahlaufweitung wird der Laserstrahl kollimiert, d.h. seine Divergenz reduziert. Nach der
Aufweitung kann der Strahl bequem durch verschiedene Blenden in seinen Abmessungen begrenzt werden.
Der aufgeweitete Strahl wird mit einer weiteren Sammellinse fokussiert.42
Mikroobjektiv
Laser
Filter
Linse 1
Linse 2
Bild 4.19: Laseraufweitung (die Linsensysteme sind vereinfacht durch dünne Linsen
dargestellt)
Bei einem anderen Experiment wird eine vom Laser beleuchtete rotierende Mattscheibe als Lichtquelle
eingesetzt; siehe Bild 4.20. Man erhält so räumlich partiell kohärentes Licht.
41
Das Zwischenbild liegt exakt bei 150 mm vom Gehäuseende des Mikroobjektivs (Gewindeansatz)
gemessen.
42
Man kann auf diese Weise einen kleinen Brennfleck im Fokus erreichen, da die Brennfleckgröße eines
fokussierten Laserstrahls proportional zur Brennweite der fokussierenden Linse und umgekehrt
proportional zum Strahldurchmesser ist. [Spindler & Hoyer, 1993]
Inhaltsverzeichnis
74
partiell kohärentes Licht
Laser
Laseraufweitung
rotierende
Mattscheibe
Bild 4.20: Laser mit rotierender Mattscheibe als partiell kohärente Lichtquelle (siehe Versuch
5.4.1)
Optisch rauhes Medium. Die zweite Komponente im Aufbau ist die Mattscheibe, die als optisch rauhes
Medium dient. Sie erzeugt die Weglängendifferenzen für die gestreuten Lichtwellen. Bei kohärenter
Beleuchtung entsteht ein Specklemuster.
Beobachtung. Die dritte Komponente dient der Beobachtung. Abhängig von den verschiedenen
Zielsetzungen der einzelnen Experimente werden unterschiedliche Beobachtungsvarianten (siehe Kapitel 5)
verwendet. An dieser Stelle sei nur soviel erwähnt: Das Specklemuster kann mit einer Mattscheibe
aufgefangen werden (objektive Speckle); eine andere Möglichkeit ist es, die Speckle direkt im Auge oder mit
einer Linse auf einer Mattscheibe zu erzeugen (subjektive Speckle). Für Messungen wird teilweise das
Mikroskop bzw. die Lupe eingesetzt.
5 Experimenteller Teil
In diesem Kapitel werden die Experimente beschrieben und wichtige Hinweise für die Durchführung und
Auswertung gegeben. In den ersten beiden Versuchen werden einige grundlegende Tatsachen über objektive
und subjektive Speckle untersucht. Im dritten Versuch wird die Meßunsicherheit von 3D-Sensoren erforscht,
die sich durch Speckle ergibt. Der Einfluß von partiell kohärenter Beleuchtung auf die Speckleerscheinungen
ist Thema des vierten Versuchs.
Ziel der Experimente ist es, mit den Eigenschaften von kohärentem Licht auf optisch rauhen Flächen vertraut
zu werden. Neben den Specklephänomenen sind hierbei vor allem auch Elemente der Kohärenztheorie
relevant. Die Versuche sind einfach aufzubauen, und es gibt keine endlosen Meßreihen. Statt dessen lassen
sich die Ergebnisse durch einfache Messungen und qualitative Beobachtungen erfassen. Kenntnisse über die
physikalischen Zusammenhänge zwischen den Effekten der Beugung, Interferenz und Kohärenz können
dabei vertieft werden.
Hier noch etwas zum Aufbau dieses Kapitels: Die einzelnen Teilversuche sind alle nach dem gleichen
Schema in Abschnitte gegliedert. Zuerst wird jeweils die Zielsetzung des Versuchs vorgestellt und der
verwendete Aufbau beschrieben. Im Anschluß sind die nötigen Hinweise für die Durchführung gegeben.
Falls erforderlich schließt sich daran ein Einschub über die speziell für diesen Versuchsteil benötigte
Theorie43 an. Schließlich werden die Ergebnisse diskutiert. Um den Bezug zur Praxis aufzuzeigen, ist zum
Abschluß jeweils auf interessante Praxisanwendungen hingewiesen. Diese Gliederung soll es dem Leser
ermöglichen, sich auf die für ihn relevanten Passagen zu konzentrieren. Es besteht die Möglichkeit sich ganz
speziell die Abschnitte auszuwählen, die für Aufbau und Durchführung unerläßlich sind. Genauso kann man
mit Hilfe der Theorie und der Diskussion der Ergebnisse das Verständnis vertiefen.
Der allgemeine Versuchsaufbau, der für fast alle Versuche (mit Ausnahme der Weißlichtspeckle in 5.4.2) als
Grundlage dient, ist in Bild 5.1 skizziert. Die in der Versuchsbeschreibung verwendeten Bezeichnungen sind
darin angegeben: Der Laser wird durch einen Filter F auf das benötige Maß reduziert. Mit einem
Mikroobjektiv M2044 (mit 20facher Vergrößerung) und einem Achromat L145 wird der Strahl aufgeweitet
und ein paralleles Strahlenbündel erzeugt. Der Strahl wird bei Bedarf mit einer Blende auf den Durchmesser
D begrenzt. Ein weiterer Achromat L2 fokussiert den Strahl auf die Mattscheibe M46. Die Speckle werden im
Abstand z beobachtet.
43
Falls die Theorie nicht bereits in den vorangehenden Kapiteln besprochen wurde.
Das Mikroobjektiv mit 20facher Vergrößerung wird abgekürzt mit M20.
45
Die Achromate werden entsprechend ihrer Reihenfolge im Strahlengang mit L1, L2 usw. bezeichnet. Die
Brennweite f ist jeweils in Klammern (in der üblichen Einheit mm) angegeben.
46
Die Mattscheibe wird mit M abgekürzt.
44
Inhaltsverzeichnis
76
Speckle
D
a
d obj
Laser
M20
Mikroobjektiv
F
Filter
L1
Achromat
Blende
L2
Achromat
M
Mattscheibe
z
Beobachtungsebene
Bild 5.1: Schematischer Grundaufbau
Der Grundaufbau im Labor mit einer Auswahl der zur Verfügung stehenden Geräte ist in Bild 5.2 abgebildet.
Bild 5.2: Foto des Grundaufbaus
Hinweis: Der verwendete Laser ist durch einen eingebauten Filter auf <1mW reduziert und entspricht somit
der Schutzklasse 2. Es darf also ohne Schutzbrille gearbeitet werden. Trotzdem sind unbedingt die Regeln für
die Arbeit mit dem Laser zu beachten.
ACHTUNG LASERSICHERHEITSHINWEIS!
NIEMALS IN DEN DIREKTEN STRAHL BLICKEN!
INTENSITÄT JEWEILS DURCH FILTER AUF DAS BENÖTIGTE MASS BESCHRÄNKEN!
An der Laserhalterung und -justierung sollte nichts verändert werden, da sonst die Justierung nicht mehr
korrekt ist. (Änderungen dürfen nur nach Absprache mit dem Betreuer vorgenommen werden.)
Vorbereitung: Kalibrierung des Meßmikroskops
Für die Versuchsdurchführung muß zunächst das Meßmikroskop kalibriert werden. Hierzu steht ein Gitter
mit 10 Strichen pro mm auf einem Diapositiv zur Verfügung. Das Gitter wird im Diahalter mit einer Lampe
(z.B. Arbeitsplatzlampe) beleuchtet und über die gegebene Gitterkonstante die Strichplatte im Okular
kalibriert. Für den gesamten Praktikumsversuch wird die Kalibrierung benötigt, um die mit dem
Meßmikroskop bestimmten Größen umzurechnen.
5.1 Objektive Speckle
Wird eine optisch rauhe Oberfläche kohärent beleuchtet, so erhält man bei freier Ausbreitung des gestreuten
Lichts eine granulare Struktur in der Intensitätsverteilung, die objektive Speckle genannt wird. Die
elementaren Eigenschaften werden in diesem Teilversuch erforscht.
Inhaltsverzeichnis
77
5.1.1 Laterale Specklegröße
Um eine bessere Vorstellung von der Gestalt des Specklefeldes zu bekommen, wird zunächst die laterale
Größe der objektiven Speckle und ihre Abhängigkeit von der Geometrie des Aufbaus, speziell von der Größe
der beleuchteten Fläche und dem Abstand der Beobachtungsebene, untersucht. Die Beziehung für die
Specklegröße
d obj ≈
λz
(5.1)
a
läßt sich experimentell verifizieren. Hierin ist λ = 632,8·10-9 m die Wellenlänge des verwendeten Laser, z der
Abstand zwischen Mattscheibe und Beobachtungsebene und a der Spotdurchmesser auf der Mattscheibe.
Aufbau: Siehe Bild 5.3. Der Aufbau sollte in der Reihenfolge des Strahlengangs erfolgen. Beim Einbau jedes
Bauteils muß überprüft werden, ob der Strahlengang parallel zur optischen Achse (z-Achse) ist. Dies kann
man am einfachsten auf einer weißen Fläche (Blatt Papier) in größerer Entfernung kontrollieren.
∆z
Speckle
D
a
d obj
Laser
M20
F
L1
200
I
Irisblende
L2
100
M
z
M
F
Bild 5.3: Versuchsaufbau für 5.1.1 und 5.1.2;
dobj = objektiver Speckledurchmesser
λ = Wellenlänge
a = Spotdurchmesser auf der Mattscheibe
z = Abstand M–MF
∆z = Verschiebung der Mattscheibe
Der Laser wird mit einem Filter auf das benötigte Maß reduziert. Mit einem Mikroobjektiv M20 und einem
nachfolgenden Achromat L1 (f = 200 mm) weitet man den Laser auf.47 Das parallele Strahlenbündel wird
durch eine Irisblende I begrenzt und anschließend mit dem Achromat L2 (f = 100 mm) auf die Mattscheibe
M fokussiert.48
Tip! An dieser Stelle sei nochmals auf die richtige Krümmungszuordnung bei Achromaten und beim
Mikroobjektiv erinnert; siehe hierzu Seite 65. Die stärker gekrümmte Seite muß dem parallelen Strahlengang
zugewandt sein.
Die Mattscheibe befindet sich auf einem x-z-verstellbaren Meßtisch. Die Speckle werden auf einer zweiten
Mattscheibe mit Fadenkreuz MF und Lupe (MF+L) beobachtet.49 MF+L ist auf einem Meßhöhenversteller
angeordnet. Als Lupe dient ein Achromat (f = 100 mm) der mit einer Halterung in festem Abstand an MF
47
Je größer die Brennweite des gewählten Achromaten, desto größer ist der Durchmesser des aufgeweiteten
Strahls.
48
Je größer die Beleuchtungsapertur (kurze Brennweite, großer Strahldurchmesser), desto kleiner ist der Spot
auf M.
49
Die Mattscheibe mit Fadenkreuz wird in dieser Arbeit MF abgekürzt. Wird die Lupe an MF befestigt, so ist
dies mit MF+L bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
78
befestigt werden kann. Die Größe des Laserspots auf der Mattscheibe wird mit dem Meßmikroskop
bestimmt, das hierfür auf dem Meßhöhenversteller mit einem z-Verschieber befestigt wird.
Durchführung:
Die Mattscheibe kann in z-Richtung verschoben und somit die Größe des Laserspots variiert werden. Die
Größe des Laserspots wird auf M, die Specklegröße auf MF gemessen. Die gewählten Spotgrößen lassen sich
jederzeit durch die Meßskala am Meßverschieber wieder einstellen. Zu festen Spotgrößen wird der Abstand
zwischen M und MF verändert und die Abhängigkeit der Specklegröße untersucht.
Die Spotgröße auf der Mattscheibe M wird mit dem Meßmikroskop gemessen. ACHTUNG! Hierzu muß der
Laserstrahl unbedingt durch Filter geschwächt werden, da sonst große Intensitäten im Auge auftreten
können. Man verwendet hierfür am geeignetsten den stärksten Filter (D = 3).
Tip! Für die Messungen mit dem Meßmikroskop müssen folgende Anweisungen beachtet werden: Das
Mikroskop wird stets von der Seite beobachtet und bis auf ca. 1 mm an die Mattscheibe herangefahren
(z-Verschieber). Dann beobachtet man durch das Okular und vergrößert den Abstand, bis die Abbildung
scharf ist. Wird das Mikroskop herangefahren, während man durch das Okular beobachtet, so gibt es leicht
Glasbruch! Die Mattscheibe M wird zusätzlich mit einer Lampe beleuchtet, so daß sich die Meßskala im
Okular leichter ablesen läßt.
Die Abbildung des Laserspots ist genau dann scharf, wenn das Bild des Spots im Okularmaßstab am
kleinsten ist. Nur dann ist die Mattscheibe exakt in der Objektebene des Mikroskops. Falls sich die
Objektebene des Mikroskops vor oder hinter der Mattscheibe befindet, beobachtet man zwar ein scheinbar
scharfes Bild, doch in diesem Fall handelt es sich nicht um den Spot, sondern es sind die subjektiven
Speckle, die im Mikroskop entstehen.
Für die Messung von dobj wählt man kleine runde Speckle und nicht Specklecluster, und vermißt sie mit Hilfe
der Vertikalverstellung der Mattscheibe mit Fadenkreuz. Specklecluster entstehen durch teilweise
Überlagerung oder Berührung mehrerer Specklekörner.
Ergebnisse und Diskussion:
Mit den obigen Messungen können folgende Proportionalitäten verifiziert werden:
d obj ∝ z 
z

.
1 d obj = const ⋅
a
d obj ∝ 
a
(5.2)
Bestimmt man die Konstante const, so ergibt sich ungefähr die Wellenlänge des verwendeten Lasers
λ = 632,8 nm. Somit ist die Formel für die mittlere Größe der objektiver Speckle
d obj ≈
λz
a
,
(5.3)
die in der Speckletheorie hergeleitet wurde, bestätigt.
5.1.2 Fokusbestimmung mit Hilfe der Specklebewegung
In diesem Experiment wird untersucht, wie aus der Bewegung des Specklemusters die Lage des Fokus der
beleuchtenden Linse bestimmt werden kann.
Aufbau: Wie in 5.1.1, siehe Bild 5.3.
a) Specklebewegung
Die Stellung der Mattscheibe bezüglich der fokussierenden Linse kann variiert werden. Man unterscheidet
intrafokale50 und extrafokale51 Einstellung der Mattscheibe. Bei lateraler Verschiebung der Mattscheibe
bewegen sich die objektiven Speckle, und zwar in Abhängigkeit vom Abstand zwischen Mattscheibe und
Laserfokus.
50
51
innerhalb des Fokus
außerhalb des Fokus
Inhaltsverzeichnis
79
Durchführung:
Die Mattscheibe wird innerhalb bzw. außerhalb der Brennweite der fokussierenden Linse aufgestellt. Die
Bewegung der objektiven Speckle bei lateraler Verschiebung der Mattscheibe M wird beobachtet. Wenn man
den Abstand zum Fokus verringert, so verändert sich die Geschwindigkeit der Specklebewegung. Im Fokus
selbst ist keine Specklebewegung sondern nur noch ein »Quellen« wahrnehmbar.
Ergebnisse und Diskussion:
Bei intrafokaler Stellung bewegen sich die Speckle entgegen der Mattscheibenbewegung. Bei extrafokaler
Stellung verschieben sich die Speckle in der gleichen Richtung wie die Mattscheibe. Grund dafür ist die
unterschiedliche Krümmung der Kugelwelle im Spot auf der Mattscheibe.
Das Specklemuster entsteht durch Interferenz zahlreicher überlagerter Wellenzüge, die von den vielen
phasenverschobenen Streupunkten im beleuchteten Spot auf der Mattscheibe ausgehen. Dieselben
Eigenschaften bei einer lateralen Verschiebung von M weisen zwei Streupunkte oder ein Doppelspalt auf.
a)
b)
Speckle
Speckle
S
S
A a
P
p
α+ε
α
B
b
Q
nλ
q
Bild 5.4: Modell für die Specklebewegung; Interferenz einer konvergenten Welle beim
Doppelspalt:
a) vor der Verschiebung des Spalts
b) nach der Verschiebung des Spalts
Bild 5.4a zeigt eine konvergente Wellenfront, die auf solch einen Doppelspalt einfällt. Die Spalte liegen
äquidistant zur optischen Achse. Die konvergente Wellenfront entspricht dem Fall intrafokaler Stellung des
Spaltes.
Wird ein Specklekorn S beobachtet, das sich bei einem Winkel α befindet, und setzt man voraus, daß dort
konstruktive Interferenz auftritt, so haben die Entfernungen in Bild 5.4a folgende Beziehungen:
Aa = Bb
as = bs − nλ
n ∈ IN.
(5.4)
Wenn sich der Doppelspalt nach unten bewegt, wie in Bild 5.4b zu sehen ist, so gilt:
Pp > Aa
Qq < Bb .
(5.5)
Um die konstruktive Interferenz bei S beizubehalten muß, die Entfernung qs im Vergleich zu ps länger
werden. Folglich vergrößert sich der Winkel α um ε. Der Effekt ist, daß sich S nach oben bewegt. Die obigen
Ausführungen folgen dem Paper von [McLaughlin, 1979].
Analoge Betrachtungen mit einer divergenten kohärenten Wellenfront, die auf einen Doppelspalt fällt,
ergeben, daß Mattscheibe und Speckle sich in die gleiche Richtung bewegen, wie in Bild 5.5a+b dargestellt.
Divergente Beleuchtung tritt bei extrafokaler Stellung des Spalts auf.
Inhaltsverzeichnis
80
a)
b)
Speckle
Speckle
S
A a
P
p
α
B
b
Q
nλ
S
α−δ
q
Bild 5.5: Interferenz am Doppelspalt bei divergenter Beleuchtung:
a) vor der Verschiebung des Spalts
b) nach der Verschiebung des Spalts
b) Fokusbestimmung
Mit obigen Ergebnissen läßt sich ohne Probleme die Position des Laserfokus bestimmen.
Durchführung:
Der Laserfokus kann bestimmt werden, indem man die Bewegung der objektiven Speckle bei lateraler
Verschiebung der Mattscheibe betrachtet. Je nachdem, ob die Mattscheibe extra- oder intrafokal steht,
bewegen sich die Speckle gleich- oder gegengerichtet. Mit diesem Wissen ist es möglich die Position von M
dem Fokus solange zu nähern, bis sich die Speckle nicht mehr in eine Richtung bewegen sondern quellen.
Dann befindet sich M im Fokus.
Ergebnis und Diskussion:
Bei sorgfältiger Betrachtung läßt sich mit dieser Methode der Fokus bis auf 0,1 des Rayleighkriteriums für
die Schärfentiefe bestimmen [Tanner, 1974]. Die Rayleigh-Schärfentiefe ist im Anhang B hergeleitet und
beträgt
δz ≈
λ
sin 2 u
(5.6)
mit der Apertur u des fokussierenden Systems (Beleuchtungsapertur).
Praxisanwendung:
Bei bekannter Fokusposition kann mit diesem Versuchsaufbau Abstandsmessung betrieben werden. Der
Abstand des Meßobjekts vom Fokus läßt sich bei bekannter lateraler Geschwindigkeit des Objektes aus der
Specklegeschwindigkeit berechnen. Dies ist ausführlich in [McLaughlin, 1979] und [Hege/Tiziani, 1987]
beschrieben. In modifizierter Form kann das Verfahren verwendet werden, um die Entfernung bewegter
Objekte zu bestimmen [Giglio/Musazzi/Perini, 1981]. Umgekehrt ist es möglich, bei bekannter Entfernung,
die Objektgeschwindigkeit zu bestimmen. Mit dem obigen Aufbau können Kamerasysteme auf
Abbildungsfehler untersucht werden [Tanner, 1974].
5.1.3 Abhängigkeit der Speckle von der Beleuchtungsapertur
In diesem Abschnitt wird untersucht, wie die Specklegestalt und -größe vom Beleuchtungsspot auf der
rauhen Oberfläche abhängen. Aus dem Specklemuster lassen sich Rückschlüsse auf den Beleuchtungsspot
ziehen.
Inhaltsverzeichnis
81
Aufbau: Siehe Bild 5.6.
Laser
M20
F
L1
100
BR
Blendenrevolver
L2
200
Lupe
100
M
oder
Spaltblende
MF
+L
Bild 5.6: Versuchsaufbau für 5.1.3
Der Aufbau entspricht weitgehend dem von 5.1.1. Die Achromate für L1 und L2 werden getauscht: L1
(f = 100 mm) und L2 (f = 200 mm). Es wird wieder ein paralleles Strahlenbündel erzeugt, das aber einen
kleineren Strahlquerschnitt und damit eine größere Intensität besitzt. Das ist in diesem Versuchsabschnitt von
Vorteil, da man den Strahl durch Blenden begrenzt. Die Mattscheibe wird in den Fokus gestellt, was sich mit
dem Wissen aus dem letzten Versuchsteil einfach erreichen läßt. Zwischen L1 und L2 steht der Blendenrevolver bzw. der verstellbare Spalt. Auf der Mattscheibe mit Fadenkreuz MF+L werden die Speckle
beobachtet.
a) Kreisblende
Durchführung:
In den parallelen Strahlengang zwischen L1 und L2 wird der Blendenrevolver gestellt. Mit dem Mikroskop
bestimmt man die Größe des Laserspots auf der Mattscheibe M in Abhängigkeit vom Blendendurchmesser
D. Achtung! Die Intensität hierzu mit einem Filter entsprechend reduzieren! Die objektiven Speckle können
auf der Mattscheibe mit Fadenkreuz und Lupe vermessen werden.
Ergebnis und Diskussion:
Auf M entsteht ein Spot, der dem Fraunhoferschen Beugungsbild der Blende entspricht. Die Spotgröße ist
demzufolge
d spot ≈
λ
sin u
≈
2λf
,
D
(5.7)
mit der Beleuchtungsapertur u bzw. der Brennweite f und dem Blendendurchmesser D. Dies ist der
Durchmesser des Airyscheibchens. Wird die Spotgröße in die Formel für die mittlere Specklegröße
eingesetzt, so erhält man
d obj =
λz
d spot
= z sin u .
(5.8)
Für z = f sind die Speckle gerade halb so groß wie die Beleuchtungsblende.
b) Spaltblende
Durchführung:
Zwischen L1 und L2 wird jetzt der Blendenrevolver entfernt und eine Irisblende in den Strahlengang gestellt.
Mit dem Meßmikroskop wird der Spot auf M vermessen. Achtung! Filter verwenden! Die Speckle werden
auf MF+L beobachtet.
Ergebnis und Diskussion:
Auf M erhält man das Fraunhofersche Beugungsbild des Spalts. Für die Breite des nullten Maximums ergibt
sich:
bspot =
2λz
,
B
(5.9)
Inhaltsverzeichnis
82
mit der Spaltbreite B. Die Speckle sind vertikal gestreckt, weil der Beleuchtungsspot in dieser Richtung
geringere Ausdehnung hat.
c) Astigmatismus
Durchführung:
Die Spaltblende wird aus dem Strahlengang entfernt und die Linse L2 so verdreht, daß ein astigmatisch
verzeichneter Laserfokus entsteht. Die resultierenden Speckle beobachtet man bei unterschiedlich
fokussierter Mattscheibe (extra- und intrafokale Stellung).
Ergebnis und Diskussion:
Steht die Mattscheibe innerhalb der ursprünglichen Brennweite, so entstehen horizontale Speckle, der Fokus
muß also vertikal verzerrt sein. Bei extrafokaler Stellung von M sind die Speckle vertikal gedehnt, was auf
einen horizontal verzerrten Spot schließen läßt. Um den physikalischen Hintergrund zu verstehen muß etwas
über die Theorie der Abbildungsfehler von Linsen bekannt sein.
Theorie:
Trifft ein Strahlenbündel schräg auf eine Linse, so müssen zwei Ebenen des Bündels getrennt betrachtet
werden: Der Meridionalschnitt und der Sagittalschnitt. Die Meridionalebene ist die Ebene, die durch den
außeraxial liegenden Objektpunkt (Lichtquelle) und die optische Achse der Linse definiert ist. Der Schnitt
senkrecht zur Meridionalebene, der den Hauptstrahl enthält, ist der (Haupt-) Sagittalschnitt. Die beiden
Ebenen sind in Bild 5.7 dargestellt.
Bild 5.7: Außeraxiale Abbildung mit Astigmatismus52 [Bergmann/Schäfer, 1993, S.130]
Der meridionale Bildpunkt Qm´ und der sagittale Bildpunkt Qs´ liegen beide auf dem Hauptstrahl, allerdings
im allgemeinen an unterschiedlichen Orten. Der Abstand zwischen den beiden Bildpunkten heißt
astigmatische Differenz. In den meisten Fällen ist die Bildweite des meridionalen Bildpunktes kleiner als die
des sagittalen, wie dies auch in Bild 5.7 dargestellt ist. Weiteres zum Thema Astigmatismus findet man z.B.
in [Bergmann/Schäfer, 1993, S.128-131].
52
Um Bild 5.7 auf das obige Experiment übertragen zu können, muß die Perspektive der Beobachtung richtig
gewählt werden! In Bild 5.7 ist die optische Achse der Linse gegenüber dem Hauptstrahl um die
horizontale Achse verkippt. Im Experiment handelt es sich um eine Verkippung um die vertikale Achse.
Inhaltsverzeichnis
83
5.2 Subjektive Speckle
Wird das Streulicht einer rauhen Oberfläche durch eine Optik abgebildet, so handelt es sich bei der
entstehenden granularen Struktur in der Bildebene der Abbildung um subjektive Speckle. Das
Abbildungssystem kann z.B. auch ein menschliches Auge sein. Um einen Einblick in die Eigenschaften der
subjektiven Speckle zu bekommen, werden zunächst subjektive Speckle im Auge untersucht. Im zweiten
Versuchsteil schließt sich dann etwas allgemeiner die Analyse subjektiver Speckle, die bei einer optischen
Abbildung entstehen, an. Bei subjektiven Speckle spielt auch die Beugung eine wichtige Rolle. Die
Zusammenhänge zwischen Beugung und Speckle werden deshalb explizit untersucht.
5.2.1 Scheinbare Bewegung und Größe subjektiver Speckle im
Auge
Subjektive Speckle, die im Auge entstehen, beeinflussen bei jeder Beobachtung mit dem Auge das Bild auf
der Netzhaut, falls die Beleuchtung des optisch rauhen Objektes entsprechend kohärent ist. Die
Eigenschaften subjektiver Speckle sind deshalb von grundlegendem Interesse.
Aufbau: Siehe Bild 5.8.
Laser
M20
Auge
F
L1
100
Bild 5.8:
M
Versuchsaufbau für 5.2.1
Der Laser mit nachfolgendem Filter wird mit einem Mikroobjektiv M20 und einem Achromat L1
(f = 100 mm) aufgeweitet und bestrahlt als paralleles Strahlenbündel die Mattscheibe M.
a) Scheinbare Specklebewegung
Durchführung:
Die beleuchtete Fläche auf der Mattscheibe wird betrachtet. Dabei entsteht im Auge eine körnige Struktur,
die sich relativ zur beleuchteten Fläche verschiebt, wenn man den Kopf nach oben, unten, rechts oder links
bewegt. Die Bewegungsrichtung der Speckle hängt vom Akkommodationszustand des Auges ab. Mit der
beiliegenden konkaven Brille bzw. mit einem Achromat (f = 100 mm), der vor das Auge gehalten wird, kann
die Abbildung des Auges verändert werden. Das hat Auswirkungen auf die scheinbare Bewegung der
Speckle.
Ergebnis und Diskussion:
Ist das Auge auf einen Punkt akkommodiert, der näher liegt als M (überakkommodiert), so bewegen sich die
Speckle entgegen der Kopfbewegung. Ist das Auge auf einen Punkt scharfgestellt, der weiter entfernt ist als
M (unterakkommodiert), so verschieben sich die Speckle in Richtung der Bewegung des Kopfes. Ist das
Auge exakt auf M fokussiert, so bewegen sich die Speckle nicht, sondern sie quellen. Die scheinbare
Bewegung der Speckle ist ein Ergebnis der Parallaxe (siehe [Ridgen/Gordon, 1962], [Oliver, 1963]).
Abhängig davon, auf welche Entfernung das Auge akkommodiert ist, überlagern sich unterschiedliche
Streuwellen und erzeugen das subjektive Specklemuster auf der Netzhaut. In Bild 5.9a ist ein Auge
dargestellt, das auf eine Ebene vor der Mattscheibe scharfgestellt ist; Bild 5.9b zeigt ein Auge, das eine
Ebene hinter der Mattscheibe scharf abbildet.
Inhaltsverzeichnis
84
M
a)
Ebene, die scharf
abgebildet wird
Ebene, die scharf
abgebildet wird
Auge
Streuwellen von der rauhen Oberfläche
Auge
b)
M
Bild 5.9: Illustration zur Erklärung der scheinbaren Specklebewegung bei unterschiedlich
akkommodiertem Auge
Bei lateraler Kopfbewegung verhalten sich die Speckle wie Objekte, welche sich in der Ebene befinden, auf
die akkommodiert ist. Aufgrund der Parallaxe, die in Bild 5.10 illustriert ist, ergibt sich die scheinbare
Bewegung der subjektiven Speckle.
A
B
Mond
Auge in Position 1
A
Mondstrahlen
A
B
B
Mond
Auge in Position 2
Mondstrahlen
A
Mond
B
Bild 5.10: Zur Parallaxe: Die Lage der Netzhautbilder ändert sich, wenn das Auge aus der
Position 1 in die Position 2 bewegt wird.
Praxisanwendungen:
Die hier untersuchten Eigenschaften der Speckle ermöglichen es den Akkommodationszustand des Auges zu
bestimmen. Kurz- und Weitsichtigkeit kann damit festgestellt werden [Hennessy/Leibowitz, 1970]. Mit
einem ähnlichen Aufbau läßt sich der Schärfentiefebereich des Auges bestimmen [Ronchi/Fontana, 1975].
b) Specklegröße
Mit der Speckletheorie kann die mittlere Größe von subjektiven Speckle abgeschätzt werden:
d subj =
1 λ
,
2 sin u′
mit der Beobachtungsapertur u´. Dieses Ergebnis soll hier qualitativ experimentell untersucht werden.
Blendenrevolver als Augenpupille:
Durchführung:
Der Blendenrevolver wird vor die Augenpupille gehalten und die Speckle bei unterschiedlichem
Blendendurchmesser beobachtet.
(5.10)
Inhaltsverzeichnis
85
Ergebnis und Diskussion:
Bei großem Blendendurchmesser sieht man kleine Speckle, bei abnehmendem Durchmesser der Blende
nimmt die Specklegröße zu. Dies bestätigt
d subj ∝
1
,
sin u′
(5.11)
mit der Beobachtungsapertur u´.
Variation der Augenpupille durch die Iris (Pupillenadaption im Selbstversuch):
Durchführung:
Der gleiche Effekt wie mit dem Blendenrevolver läßt sich erzielen, indem man die Raumbeleuchtung einund ausschaltet und dadurch die Irisblende im Auge verändert. Tip! Um den Effekt deutlicher zu machen,
muß die Differenz in der Lichtintensität zwischen hell und dunkel möglichst groß sein.
Ergebnis und Diskussion: Bei diesem Experiment läßt sich die Pupillenadaption im Selbstversuch
beobachten. Die Deutung der Ergebnisse ist analog zum Blendenrevolver.
5.2.2 Subjektive Speckle beim künstlichen Auge
In der Optik wird meist nicht ein beleuchtetes Objekt selbst, sondern sein Bild, das durch Linsen abgebildet
wird, für Meßzwecke und Informationsverarbeitung genutzt. Speckle können optische Abbildungen enorm
stören. In diesem Abschnitt soll deshalb untersucht werden, welche Auswirkungen das Abbildungssystem auf
subjektive Speckle hat. Eine einfache Abbildung, wie im folgenden Aufbau verwendet, kann auch als Modell
für ein künstliches Auge angesehen werden. Die Linse mit dem Blendenrevolver entspricht dem
Abbildungssystem des Auges, die Mattscheibe korrespondiert mit der Netzhaut. Die Erkenntnisse können
deshalb sowohl auf das menschliche Auge als auch allgemein auf optische Abbildungen übertragen werden.
In diesem Versuchsteil sollen drei Erscheinungen beobachtet werden: die von einer optischen Abbildung
erzeugten subjektiven Speckle und ihre Bewegung, und das Beugungsbild , das von der Pupille der
abbildenden Optik erzeugt wird.
Aufbau: Siehe Bild 5.11.
Laser
M20
F
L1
200
L2
200
M
L3
100
BR
Blendenrevolver
Lupe
100
MF
+L
Bild 5.11: Versuchsaufbau für 5.2.2
Der Laser mit Filter wird mit dem Mikroobjektiv und dem Achromat L1 (f = 200 mm) aufgeweitet. Der
Achromat L2 (f = 200 mm) fokussiert den Strahl auf M. Der Achromat L3 (f = 100 mm) dient als
Abbildungslinse und bildet M vergrößert auf MF+L ab. Über den Blendenrevolver kann die Apertur variiert
werden.
Für die subjektiven Speckle muß ein ausgedehnter Bereich der Mattscheibe ausgeleuchtet sein. Für das
Beugungsbild des Abbildungssystems muß die Ausleuchtung der Objektebene möglichst punktförmig sein,
siehe hierzu Bild 5.12.
Inhaltsverzeichnis
86
a)
b)
M20
M20
L3 BR M Lupe
L1 L2
M
F+L
Bild 5.12: Variation des Versuchsaufbaus: a) subjektive Speckle b) Beugungsbild der Pupille
L1
L3 BR M Lupe
F+L
a) Specklebewegung
Durchführung:
Entfernt man die Linse L2, so wird ein Bereich der Mattscheibe mit einem parallelen Strahlenbündel
beleuchtet; einer annähernd ebenen Welle. Die Lupe wird für dieses Experiment entfernt.53 Wenn man die
Mattscheibe MF entlang der optischen Achse verschiebt, so werden unterschiedliche (Objekt-)Ebenen scharf
auf MF abgebildet. Die Bewegung der Speckle auf der Mattscheibe mit Fadenkreuz MF werden bei lateraler
Verschiebung der Mattscheibe M beobachtet.
Ergebnis und Diskussion:
Mit der lateralen Verschiebung der Mattscheibe M wird das gesamte Specklefeld einer gleichgerichteten
Translation unterzogen. Vergrößert man den Abstand L3-MF, so befindet sich die Objektebene, die scharf auf
MF abgebildet wird, zwischen M und L3. Verschiebt sich das Specklefeld, so bewegen sich auch die
subjektiven Speckle. Wegen der Parallaxe bewegen sich die Speckle schneller als (unscharfe) Bildpunkte von
Objekten, die in der Ebene der Mattscheibe M liegen (z.B. der Mattscheibenrahmen). Das Bild auf MF
bewegt sich wegen der Bildumkehr, die die Abbildung macht, entgegen der Bewegung der Mattscheibe M.54
Verkleinert man den Abstand L3-MF, so befindet sich die Objektebene, die scharf auf MF abgebildet wird,
links von der Mattscheibe M. Es entstehen virtuelle Speckle, die sich wegen der Parallaxe langsamer
bewegen als (unscharfe) Bildpunkte aus der Mattscheibenebene M.
b) Beugungsbild
Durchführung:
Die Linse L2 wird wieder so in den Strahlengang gestellt, daß M im Fokus von L2 ist. Der Achromat L3
bildet M scharf und vergrößert auf MF ab. Dann stellt man einen starken Filter in den Strahlengang und
entfernt die Mattscheibe.55 Der Filter sollte so gewählt werden, daß man beim kleinsten Blendendurchmesser
am Blendenrevolver gerade noch ein Beugungsbild beobachten kann. Achtung! Beim Blendenrevolver liegen
kleinster und größter Blendendurchmesser direkt nebeneinander. Mit dem Meßhöhenversteller wird auf MF
der Durchmesser des Beugungsscheibchens bestimmt.
Ergebnis:
53
Sonst besteht die Gefahr, daß man nicht die Bewegung der subjektiven Speckle des künstlichen Auges
sondern die subjektiven Speckle des Abbildungssystem Lupe + menschliches Auge beobachtet.
54
Vergleicht man dies mit dem menschlichen Auge, so ist zu erwähnen, daß auch das Auge eine Bildumkehr
macht. Diese wird jedoch vom nachgeschalteten Gehirn wieder »umgerechnet«, so daß wir von der
Bildumkehr nichts merken: Objekte die sich nach oben bewegen, bewegen sich für unseren Verstand nach
oben, obwohl ihr Bild auf der Netzhaut nach unten wandert.
55
Da die Mattscheibe nur ca. 1 mm dick ist, bleibt die Abbildung auf MF immer noch annähernd scharf.
Inhaltsverzeichnis
87
Das entstehende Bild ist das Beugungsbild der Blende.
c) Größe der subjektiven Speckle
Durchführung:
Die Mattscheibe wird wieder eingesetzt und L2 entfernt, siehe Bild 5.12a. Am Blendenrevolver wird wie in
Experiment b)) der kleinste Blendendurchmesser gewählt. Auf MF entstehen subjektive Speckle, deren Größe
mit dem Meßhöhenversteller bestimmt wird.
Ergebnis und Diskussion:
Mit der gleichen Blende wie beim Beugungsbild in b) entstehen nun subjektive Speckle in der
Beobachtungsebene. Die subjektiven Speckle, die auf der Mattscheibe MF entstehen, sind etwa halb so groß
wie das Beugungsscheibchen, das im künstlichen Auge entsteht. Anders als bei der Beugung ist die
subjektive Specklegröße praktisch unabhängig von den Aberrationen der (Augen-) Linse. Siehe hierzu
Abschnitt 3.3.2 in der Speckletheorie.
5.3 Meßunsicherheit durch Speckle
In Abschnitt 3.4 wurde die Meßunsicherheit von 3D-Sensoren und die physikalische Grundlage dieser
Meßunsicherheit diskutiert. Die Ursache der Meßunsicherheit ist in der kohärenten Beleuchtung zu suchen,
insbesondere in den durch die Streuung an der rauhen Oberfläche entstehenden Speckle. Das Specklemuster
ist rein statistisch und hängt von der Mikrostruktur der rauhen Oberfläche ab, siehe Bild 5.13.
Bild 5.13: Spotbild mit subjektiven Speckle
Wenn ein anderer Objektpunkt beleuchtet wird, so ändert sich das Specklemuster. Entsprechend läßt sich
auch die Lage des Meßspots nur mit einer statistischen Unsicherheit bestimmen. Dies soll hier experimentell
untersucht werden. Das Experiment lehnt sich an [Herrmann, 1994, Kap.6.2] an.
Aufbau: Siehe Bild 5.14.
∆ x
ui
Laser
F
S´
u
M20(1)
S´´
Spotbild
M20(2)
L1
200
L3
L2
100
M
L4
200
100
Irisblende
Beobachtungsschirm
Bild 5.14: Versuchsaufbau für 5.3
Der Aufbau muß sehr sorgfältig erfolgen, da sonst der Meßspot S´´ auf dem Schirm durch Abbildungsfehler
verzerrt ist.
Laser ⇒ Filter ⇒ Mikroobjektiv M20(1) ⇒ Achromat L1 (f = 200 mm) → paralleles Strahlenbündel ⇒
Achromat L2 (f = 100 mm), der Reihe nach an der optischen Achse ausrichten. Der Strahlengang muß
absolut parallel zur optischen Achse sein! Dann wird M exakt in den Fokus von L2 gestellt. Zur Kontrolle
Inhaltsverzeichnis
88
kann man zu diesem Zeitpunkt den Laserspot auf M mit dem Meßmikroskop auf Abbildungsfehler
kontrollieren. Achtung! Laserstrahl mit starkem Filter reduzieren! Der Spot sollte klein, rund und unverzerrt
sein.
Weiterer Aufbau: Achromat L3 (f = 100 mm) ⇒ Irisblende ⇒ Achromat L4 (f = 200 mm) ⇒ Mikroobjekiv
M20(2) (vom Meßmikroskop). Die Bauteile so positionieren, daß zwischen L3 und L4 ein paralleler
Strahlengang entsteht. L4 bildet den Spot in die Zwischenbildebene (nahe der Brennebene des
Mikroobjektivs) ab. Das Mikroobjektiv M20(2) macht eine stark vergrößerte Abbildung auf einen weit
entfernten (≈ 1000 mm) Beobachtungsschirm. Der gesamte Strahlengang muß absolut parallel zur optischen
Achse verlaufen, da sonst große Abbildungsfehler auftreten. Dies schlägt sich in einem »fokuslosen« Spot
auf dem Beobachtungsschirm nieder.
Durchführung:
Das Spotbild für verschiedene Beobachtungsaperturen ist in Bild 5.15 gezeigt. Die Beleuchtungsapertur
bleibt konstant. Für eine große Beobachtungsapertur kann man das verspeckelte Spotbild, wie in Bild 5.15a,
beobachten.
Für kleine Beobachtungsaperturen verschwindet die Specklestruktur vollkommen, und ein
beugungsbegrenzter Spot erscheint, siehe Bild 5.15d. In der Pupille ist dann nur noch ein Speckle vorhanden.
Nun wird die Mattscheibe in lateraler Richtung auf dem Meßverschiebetisch verschoben. Der Laserspot ist
immer an derselben lateralen Position in der Objektebene der abbildenden Optik. Gemessen wird der Ort S´´
des Spotbildes auf dem Beobachtungsschirm. Das Spotbild S´´ tanzt um eine mittlere Position, siehe hierzu
Bild 3.16 in Kapitel 3. Die mittlere Position des Spots ist dort mit einem Fadenkreuz markiert.
a)
b)
c)
d)
Bild 5.15: Spotbilder für verschiedene Beobachtungsaperturen: von a) nach d) nimmt die
Beobachtungsapertur ab.
Ergebnis und Diskussion:
Der Grund für die Unschärfe in der Lokalisierung des Spots sind Keilphasen der Speckle in der Pupille. Bild
5.16 skizziert die durch Speckle deformierte Wellenfront. Wird durch eine Blende von der Größe der Speckle
nur ein Teil der Wellenfront durchgelassen, so kann die Phasenstörung durch einen linearen Ausdruck
(Keilphase) ausreichend approximiert werden.
Die Bedingung dafür, daß nur ein Speckle in die Blende der Beobachtung fällt, läßt sich berechnen. Der
Speckledurchmesser dobj soll gleich dem Pupillendurchmesser der Beobachtungspupille D0 sein: dobj = D0.
Für den Durchmesser des Spots a auf dem Objekt gilt bei Beleuchtung mit einer beugungsbegrenzten Linse
der Brennweite f und dem Durchmesser D:
a≈
λ
sin ui
≈
2λf
D
(5.12)
Inhaltsverzeichnis
89
mit der Beleuchtungsapertur ui. Setzt man dies in die Specklegröße ein und verwendet dobj = D0 , so erhält
man D0 = ½D oder sin u = ½sin ui, siehe Bild 5.14. Diese Beziehungen wurden in Versuch 5.1.3
experimentell untersucht.
Blende
rauhe Oberfläche
Spot
deformierte
Wellenfront
Speckledurchmesse
Bild 5.16: Durch Speckle deformierte Wellenfront
Vergleicht man die gemessenen Abweichungen der Spotposition vom Mittelwert, so wird deutlich, daß die
Meßunsicherheit von der Größenordnung des Airyscheibchens ist.56 Die Grenzen der Meßunsicherheit, die
sich aus der Theorie herleiten lassen, sind in Abschnitt 3.4 angegeben.
5.4 Speckle bei partiell kohärenter Beleuchtung
In diesem Abschnitt werden die Eigenschaften von Speckle bei partiell kohärenter Beleuchtung untersucht.
Dabei wird gleichzeitig ein tieferes Verständnis der räumlichen und zeitlichen Kohärenzeigenschaften von
Lichtquellen gewonnen.
5.4.1 Laser mit rotierender Mattscheibe
In den bisherigen Versuchsteilen wurde mit dem Laser eine Lichtquelle verwendet, die annähernd zeitlich
und räumlich kohärent ist. Diese hohe Kohärenz kann für einige Bereiche der Optik von Nachteil sein, wie
der letzte Versuchsabschnitt gezeigt hat. In diesem Experiment wird zwar auch der Laser verwendet, doch
werden wir seine Kohärenzeigenschaften verändern.
56
Genauer gesagt liegen die Abweichungen der Spotposition im Bereich RadiusAiry/2, siehe hierzu
[Herrmann, 1994, S.76].
Inhaltsverzeichnis
90
a) Specklekontrast und räumlich partielle Kohärenz
Aufbau: Siehe Bild 5.17.
∆z
Laser
M20
Auge
F
L1
100
L2
100
BR
Blendenrevolver
lMM
rot
M
M rot
Bild 5.17: Versuchsaufbau für 5.4.1a
Laser ⇒ Filter ⇒ Mikroobjektiv M20 ⇒ Achromat L1 (f = 100 mm) → paralleler Strahlengang ⇒
Achromat L2 (f = 100 mm) fokussiert auf die rotierende Mattscheibe Mrot57 ⇒ Mattscheibe M ⇒
(Blendenrevolver BR) ⇒ Auge.
Durchführung:
Wenn man Mrot (vorsichtig!) langsam von Hand dreht, so verschwinden die objektiven Speckle auf M.
Mrot wird angeschaltet. Von rechts beobachtet man M nun durch den Blendenrevolver mit kleiner
Blendenöffnung. Man erkennt subjektive Speckle. Der Specklekontrast verändert sich, wenn Mrot aus dem
Laserfokus herausgeschoben wird und sich dadurch der Durchmesser des leuchtenden Spots verändert. Der
Specklekontrast verändert sich ebenfalls, wenn man den Abstand zwischen Mrot und M variiert.
Ergebnis und Diskussion:
Wenn die Mattscheibe Mrot rotiert, so ist das objektive Specklefeld nicht länger stationär. Zu verschiedenen
Zeiten werden statistisch unabhängige rauhe Oberflächenelemente auf Mrot beleuchtet. Die entstehenden
Specklefelder sind unabhängig. Unser Auge mittelt über die Zeit, weshalb nur die mittlere Intensität auf M
beobachtet wird.
Die rotierende Mattscheibe kann jetzt als neue Lichtquelle betrachtet werden. Sie ist räumlich partiell
kohärent. Wird mit dieser neuen Lichtquelle ein rauhes Medium, hier die Mattscheibe M beleuchtet, so kann
man subjektive Speckle im gestreuten Licht beobachten. Wenn Mrot aus dem Fokus herausgeschoben wird, so
verringert sich die räumliche Kohärenz der Lichtquelle, weil die leuchtende Fläche ausgedehnter wird. Mit
sinkendem Kohärenzgrad sinkt auch der Specklekontrast. Bei Vergrößerung des Abstands M-Mrot, nimmt die
räumliche Kohärenz gemäß dem Van Cittert-Zernike Theorem zu, ebenso der Specklekontrast.
57
Die rotierende Mattscheibe wird Mrot abgekürzt.
Inhaltsverzeichnis
91
b) Subjektive Speckle bei räumlich partieller Kohärenz
Aufbau: Siehe Bild 5.18.
Laser
M20
Auge
F
L1
100
Irisblende
BR
Blendenrevolver
400
M
M rot
Bild 5.18: Versuchsaufbau für 5.4.1b
Laser ⇒ Mikroobjektiv M20 ⇒ Achromat L1(f = 100 mm) → paralleler Strahlengang ⇒ Irisblende I ⇒ Mrot
⇒ Blendenrevolver BR ⇒ Auge. Die Irisblende wird möglichst nahe an Mrot gestellt. Der Abstand M-Mrot
wird konstant gehalten (≈ 400 mm).
Durchführung:
Man läßt Mrot rotieren und betrachtet die Mattscheibe M aus einem Abstand von ≈ 250 mm (deutliche
Sehweite). Das Auflösungsvermögen des Auges beträgt dann ≈ 0,07 mm. Mit der Irisblende wird der Spot
auf Mrot so eingestellt, daß man gerade noch subjektive Speckle mit dem Auge erkennen kann. Tip! Es
besteht die Gefahr, Mattscheibenkörnung und Speckle zu verwechseln. Speckle haben folgende
Eigenschaften: Sie bewegen sich bei Kopfbewegungen über die Mattscheibe. Ihre Größe hängt vom
Durchmesser der Blende des Blendenrevolvers ab.
Der Aperturwinkel u der Beleuchtung läßt sich bestimmen aus:
tan u =
a
2z
,
(5.13)
mit dem Fleckdurchmesser a auf Mrot und dem Abstand z zwischen M und Mrot.
Schließlich wird Mrot angehalten und der Durchmesser der objektiven Speckle auf M mit dem Mikroskop
gemessen.
Ergebnis und Diskussion:
Durch die Beleuchtungsapertur ist die räumliche Kohärenz der Lichtquelle (Mrot) festgelegt. Subjektive
Speckle können beobachtet werden, wenn die Kohärenzfläche auf M größer ist als das Auflösungsvermögen
unseres Auges. Nach dem Van Cittert-Zernike Theorem ist die Kohärenzfläche ungefähr so groß wie das
Beugungsscheibchen, das eine Blende der Größe der Lichtquelle (= Spot auf Mrot) auf M erzeugen würde.
Dies ist aber wiederum von der Größenordnung der Speckle auf M, die bei ruhender Mattscheibe Mrot
gemessen werden. Wenn die Kohärenzfläche auf M (≈ Speckledurchmesser auf M bei ruhender Mattscheibe
Mrot) ungefähr dem Auflösungsvermögen des Auges entspricht, so können subjektive Speckle mit dem Auge
beobachtet werden. Verringert man die räumliche Kohärenz der Lichtquelle, so werden keine subjektiven
Speckle mehr gesehen; der Specklekontrast wird zu gering.
Praxisanwendung:
Speckle sind als die Hauptursache der Meßunsicherheit in Abschnitt 3.4 und im Versuch 5.3 erkannt worden.
Deshalb wird nach Maßnahmen gesucht, die Speckle oder speziell den Specklekontrast zu reduzieren. Die
Beleuchtung mit partiell kohärenter Beleuchtung ist eine Möglichkeit dies zu verwirklichen. Siehe hierzu
[Herrmann, 1994, S.114-122].
Bemerkung:
Zum Thema räumlich partielle Kohärenz sollte unbedingt die Sonne als Lichtquelle erwähnt werden. Die
Kohärenzfläche der Sonne auf der Erde ist so groß, daß sie in der deutlichen Sehweite vom Auge aufgelöst
werden kann. Auf mattschwarzen Objekten, matten Metalloberflächen oder sogar auf einem Fingernagel
lassen sich deshalb im Reflex des Sonnenlichts Speckle erkennen. Die Rauhigkeit der Fläche sollte dabei
Inhaltsverzeichnis
92
klein sein (aber natürlich größer als λ). Das Auge muß sich möglichst nahe an der Oberfläche befinden. Siehe
hierzu [McKechnie, 1984, S.165] und [Hecht, 1989, S.627].
5.4.2 Weißlichtspeckle
Bei den bisherigen Versuchen wurde monochromatische Beleuchtung verwendet. Doch auch bei
polychromatischen Lichtquellen treten Speckle auf, wenn die räumlichen Kohärenzbedingungen erfüllt sind.
Somit sind auch beim Experimentieren mit herkömmlichen Lichtquellen, wie z.B. Halogenlicht,
Specklephänomene zu beachten. Die sogenannten Weißlichtspeckle werden hier untersucht.
Aufbau: Siehe Bild 5.19.
Halogenlampe
Blendenrevolver
Okular
M
L1
100
Auge
Irisblende
Bild 5.19: Versuchsaufbau für 5.4.2
Als Lichtquelle dient eine Halogenlampe. Der Blendenrevolver begrenzt die Austrittsfläche. Der Achromat
L1 (f = 100 mm) bildet die Mattscheibe scharf und vergrößert in die Brennebene des Okulars58 ab. Das
Kriterium hierbei ist: Bei geöffneter Irisblende ist die Mattscheibenkörnung scharf und weiß.
Durchführung:
Jetzt wird defokussiert (z.B. durch Verschieben des Okulars), um das Mattscheibenbild unscharf werden zu
lassen, bis es schließlich verschwindet. Bei unterschiedlichem Durchmesser des Blendenrevolvers wird die
Öffnung der Irisblende variiert und die Speckle beobachtet. Man kann leicht die Mattscheibenkörnung und
Speckle verwechseln. Dies wird durch die Defokussierung der Abbildung verhindert. Erkennungsmerkmal
für Speckle ist außerdem: Speckle bewegen sich, wenn man die Irisblende lateral verschiebt.
Ergebnis und Diskussion:
Über die Irisblende wird die Beobachtungsapertur verändert. Die Specklegröße ist umgekehrt proportional
zur Beobachtungsapertur. Außerdem verändert sich die Auflösungszelle der Beobachtung. Die Größe der
Auflösungszelle ist gleich der Punktbildfunktion der Abbildung (Beobachtung). Ihre Größe ist also
umgekehrt proportional zur Beobachtungsapertur.
Über den Blendenrevolver wird die räumliche Kohärenz der Lichtquelle verändert. Die Größe der
Kohärenzfläche ist etwa so groß wie das Beugungsscheibchen der Blende. Die Kohärenzfläche auf M ist also
umgekehrt proportional zum Durchmesser der Blende am Blendenrevolver.
Der Kontrast hängt bei Weißlichtspeckle von dem Zusammenwirken von räumlicher Kohärenz, Größe der
Auflösungszelle der Beobachtung und der Rauhtiefe des rauhen Mediums ab. Die Einzelheiten hierzu sind
ausführlich in der Speckletheorie in Abschnitt 3.5 diskutiert.
58
vom Meßmikroskop
Anhang A:
Anleitung für den Versuch im Praktikum für
Fortgeschrittene
Speckle
1. Einleitung
Wenn kohärentes Licht an einer optisch rauhen Oberfläche gestreut wird, so überlagern
sich viele unabhängige Elementarwellen, und es ergibt sich im Interferenzbild eine
granulare Struktur, die Specklemuster genannt wird. Speckle stellen ein Phänomen der
Vielstrahlinterferenz dar, und ihre Eigenschaften sind eng mit der Kohärenz des Lichtes
verknüpft. Beugungseffekte sind ebenfalls zu berücksichtigen. In der Optik werden
Speckle einerseits für Meßzwecke und Informationsverarbeitung genutzt, andererseits
erweist sich das Auftreten von Speckle in verschiedenen Anwendungen als überaus
störend und soll möglichst reduziert werden.
In diesem Versuch sollen die typischen Speckleeigenschaften kennengelernt werden.
Der Einfluß, den Speckle auf die Meßunsicherheit in der optischen Meßtechnik haben,
wird exemplarisch experimentell untersucht. Der Specklekontrast erweist sich als
wichtiges Kriterium für die Meßunsicherheit. Seine Abhängigkeit von der zeitlichen
und räumlichen Kohärenz der Beleuchtung wird erforscht.
2. Literatur
59
Philippi Andreas: Speckle - Ein Praktikumsversuch für Fortgeschrittene.
Zulassungsarbeit, Erlangen (1996). Minimalvoraussetzungen: Kapitel 3 und 5.
Empfohlen: 1, 2 und 4.
Dainty J Christopher (Hrsg.): Laser speckle and related phenomena. S.9-19 und S.3541, (1984)
Lauterborn W, Kurz T, Wiesenfeldt M: Kohärente Optik. Kapitel 4 und 6. (1993)
3. Vorbereitung
Wichtig und unerläßlich für diesen Praktikumsversuch ist eine gute Vorbereitung. Es
gibt nur wenige Meßreihen, dafür aber zahlreiche qualitative Experimente, die zur
Vertiefung des Verständnisses dienen. Die nachstehend aufgeführten Kenntnisse
59
Hierbei handelt es sich um die Minimalliteratur, die mehrfach in der Bibliothek des Fortgeschrittenenpraktikums vorhanden ist und auf jeden Fall für die Vorbereitung benötigt wird.
Inhaltsverzeichnis
94
müssen unbedingt beherrscht werden, da sonst die Versuche und ihr physikalischer
Hintergrund nicht verstanden werden können.
Folgende Begriffe sollen in Ihrer schriftlichen Vorbereitung behandelt werden:
Beugungstheorie: Fraunhofersche und Fresnelsche Beugung, Fouriertransformation,
Beugung an Kreis- und Rechteckblende.
Kohärenztheorie: räumliche und zeitliche Kohärenz, partielle Kohärenz, Van CittertZernike Theorem.
Speckletheorie: Entstehen von Speckle, objektive und subjektive Speckle, Speckleintensität, Specklekontrast, Specklegröße, Meßunsicherheit durch Speckle, Speckle bei
partieller Kohärenz.
4. Versuchsdurchführung und -auswertung
Bitte lesen Sie die Anweisungen zu Aufbau, Durchführung und Auswertung genau
durch, Sie sparen sich viel Arbeit und viele Fragen an den Betreuer!
Eine wichtige Bemerkung vorweg:
ACHTUNG LASERSICHERHEITSHINWEIS!
Niemals in den direkten Strahl blicken!
Intensität mit Filter auf das benötigte Maß beschränken!
Verstellen Sie nichts an der Laserhalterung ohne Absprache mit dem Betreuer. Sonst
muß der Laser neu justiert werden!
Tip: Der Aufbau jedes Versuchs sollte in der Reihenfolge des Strahlengangs erfolgen.
Beim Einbau jedes Bauteils muß überprüft werden, ob der Strahlengang parallel zur
optischen Achse (z-Achse) ist. Dies kann man am einfachsten auf einer weißen Fläche
(Blatt Papier) in größerer Entfernung kontrollieren.
Meßmikroskop: Mit dem Meßmikroskop können kleine Laserspotgrößen auf der
Mattscheibe gemessen werden. Im Okular befindet sich eine Meßskala mit
10 Skalenteilen (lange Striche), die jeweils in Zehntelskalenteile (kurze Striche)
unterteilt sind. Zur Umrechnung ist die Kalibrierung angegeben: 1 Skalenteil im Okular
entspricht ≈ 67 µm = 67 ·10-6m in der Objektebene des Mikroskops.
Die Kalibrierung des Meßmikroskops kann (wenn noch genügend Zeit) mit Hilfe eines
Gitters (auf Dia, mit 10 Strichen pro mm) selbst bestimmt werden. Das Gitter wird
dabei mit der Arbeitsplatzlampe beleuchtet.
Wenn mit dem Meßmikroskop der Laserspot bestimmt wird, muß stets der stärkste
Filter (im Strahlengang) verwendet werden!
Inhaltsverzeichnis
95
4.1 Objektive Speckle
4.1.1 Laterale Specklegröße
Man verifiziere die Gleichung für die Größe der objektiven Speckle: dobj = λz/a.
dobj = Speckledurchmesser, λ = Wellenlänge (He-Ne: λ = 632,8 nm), z = Abstand
zwischen Mattscheibe M und Mattscheibe mit Fadenkreuz MF, a = Fleckdurchmesser
auf M.
Aufbau: Siehe auch Bild A.1. Laser ⇒ Filter ⇒ Mikroobjektiv (20x) ⇒ L1 (200 mm)
⇒ Irisblende ⇒ L2 (100 mm) ⇒ M ⇒ MF+Lupe (=Achromat 100 mm) ⇒Auge
∆z
Speckle
D
a
Laser
dobj
M20
F
L1
200
I
Irisblende
L2
100
M
z
MF
Bild A.1: Versuchsaufbau für 4.1.1
dobj = objektiver Speckledurchmesser
λ = Wellenlänge
a = Spotdurchmesser auf der Mattscheibe
z = Abstand M–MF
∆z = Verschiebung der Mattscheibe
Zwischen L1 und L2 paralleler Strahlengang. M in der Brennebene von L2. M auf x-zMeßtisch. MF+Lupe auf Meßhöhenversteller.
Durchführung: Stellen Sie mit dem z-Meßtisch drei verschiedene Spotgrößen ein.
Ermitteln Sie den Spotdurchmesser auf M mit dem Meßmikroskop, das auf dem zVerschieber montiert wird (Filter D = 3 verwenden!). Bestimmen Sie für jede der drei
Spotgrößen auf M, für jeweils drei verschiedene Abstände z, den Durchmesser der
objektiven Speckle auf MF+Lupe(=Achromat 100 mm) mit dem Meßhöhenversteller.
Wählen Sie dafür die kleinsten Speckle und nicht die Specklecluster.
Hinweis zur Bestimmung der Laserspotgröße: Die Abbildung des Spots im Meßmikroskop ist genau dann scharf, wenn das Bild des Spots im Okular am kleinsten ist.
Dann ist die Mattscheibe exakt in der Objektebene des Mikroskops. Der Okularmaßstab
kann zum einfacheren Ablesen mit der Arbeitsplatzlampe beleuchtet werden.
Auswertung: Stellen Sie die Ergebnisse geeignet graphisch dar, vergleichen Sie mit der
Theorie, und diskutieren Sie die Ergebnisse!
4.1.2 Fokusbestimmung mit Hilfe der Specklebewegung
Aufbau wie in 4.1.1.
Durchführung:
Inhaltsverzeichnis
96
a) Specklebewegung. Beobachten Sie die Bewegung des Specklemusters bei lateraler
(d.h. senkrecht zur optischen Achse) Verschiebung von M, bei intra- und extrafokaler
und fokaler Stellung von M.
Auswertung: Diskutieren und erklären Sie die Beobachtungen!
b) Fokusbestimmung. Stellen Sie M zehnmal exakt in die Brennebene von L2 (mittels
Specklebewegung). Bestimmen Sie die (relative) Fokusposition, indem Sie den
Skalenwert von z am Meßverschieber ablesen. Bestimmen Sie den Aperturwinkel der
Beleuchtung.
Auswertung: Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler des arithmetischen
Mittelwertes σ für die Fokusposition. Vergleichen Sie mit der Rayleigh-Schärfentiefe
δzr≈λ/sin²u; u=Aperturwinkel, sin u≈D/(2f), D=Blendendurchmesser, f=Brennweite von
L2.
4.1.3 Abhängigkeit der Speckle von der Beleuchtungsapertur
Aufbau: Laser ⇒ Filter ⇒ Mikroobjektiv ⇒ L1 (100) → paralleler Strahlengang ⇒
Blendenrevolver bzw. Spalt ⇒ L2 (200) ⇒ M ⇒ MF+Lupe ⇒Auge
M in der Brennebene von L2 (mit großem Bündeldurchmesser fokussieren).
Durchführung:
a) Kreisblende. Der Blendenrevolver wird zwischen L1 und L2 gestellt. Beobachten
Sie mit dem Mikroskop (Filter!) die Größe dspot des Laserspots auf M in Abhängigkeit
vom Blendendurchmesser. Verifizieren Sie durch je zwei Messungen: dspot≈λ/sin u und
für die Specklegröße auf MF dobj≈zsin u (bei konstantem Abstand z). Hinweis für die
Messung von dspot: Die Abbildung des Meßmikroskops ist scharf, wenn man die
Beugungsfigur scharf sieht. dspot ist der Durchmesser des Airyscheibchens.
Auswertung: Diskutieren Sie die Ergebnisse und begründen Sie die Gleichungen!
b) Spaltblende. Man ersetzt den Blendenrevolver durch die Spaltblende. Beobachten
Sie den Spot auf M und die Speckle auf MF bei Variation der Spaltgröße.
Auswertung: Diskutieren und erklären Sie die Beobachtungen!
c) Astigmatismus. Entfernen Sie die Spaltblende. Verdrehen Sie L2 so, daß auf M ein
astigmatisch verzerrter Laserfokus entsteht. Beobachten Sie die Speckle, die bei unterschiedlicher Stellung von M bezüglich des Fokus entstehen.
Auswertung: Diskutieren und erklären Sie Ihre Beobachtungen!
4.2 Subjektive Speckle
4.2.1 Scheinbare Bewegung und Größe subjektiver Speckle im Auge
Aufbau: Laser ⇒ Filter ⇒ Mikroobjektiv ⇒ L1 (100)→paralleler Strahlengang ⇒ M
⇒Auge
Durchführung:
a) Scheinbare Specklebewegung. Beobachten Sie subjektive Speckle im Spot auf M.
Bewegen Sie Ihren Kopf lateral. Wie bewegen sich die Speckle? Brillenträger
beobachten sowohl mit als auch ohne Brille. Wiederholen Sie das Experiment mit der
beiliegenden Brille und mit dem Achromat (f=100), den Sie vor ein Auge halten.
Inhaltsverzeichnis
97
Auswertung: Diskutieren und erklären Sie Ihre Beobachtungen!
b) Specklegröße
Blendenrevolver als Augenpupille: Stellen Sie den Blendenrevolver vor die Augenpupille. Beobachten Sie die Speckle bei unterschiedlichem Blendendurchmesser.
Pupillenadaption im Selbstversuch: Verändern Sie den Irisdurchmesser im Auge
durch Ein-/Ausschalten der Raumbeleuchtung. Beobachten Sie dabei die Speckle im
Spot.
Auswertung: Diskutieren und erklären Sie die Beobachtungen! Warum ist die
subjektive Specklegröße unabhängig von Aberrationen der Augenlinse?
60
(4.2.2 Subjektive Speckle beim künstliche Auge)
Aufbau: Siehe Bild A.2. Laser ⇒ Filter ⇒ Mikroobjektiv ⇒ L1 (200) → paralleler
Strahlengang ⇒ L2 (200) ⇒ M ⇒ L3 (100) ⇒ Blendenrevolver ⇒ MF+Lupe ⇒ Auge.
M in der Brennebene von L2. L3 bildet M auf MF ab.
Laser
M20
F
L1
200
L2
200
M
L3
100
BR
Blendenrevolver
Lupe
100
M
F+L
Bild A.2: Versuchsaufbau für 4.2.2
Durchführung:
a) Specklebewegung. L2 wird entfernt. M wird somit mit einer annähernd ebenen
Welle beleuchtet. Beobachten Sie die Bewegung der subjektiven Speckle auf MF bei
lateraler Verschiebung von M, bei unterschiedlicher Scharfstellung der Beobachtung
(d.h. man verschiebt MF, so daß sich die Objektebene des Abbildungssystems L3+MF
vor bzw. hinter M befindet).
Auswertung: Diskutieren und erklären Sie Ihre Beobachtungen!
b) Beugungsbild. Zunächst wird das Abbildungssystem L3+MF wieder so eingestellt,
daß M auf MF abgebildet wird. Bauen Sie L2 wieder ein, entfernen Sie M. Mittels Filter
die Intensität so reduzieren, daß Sie bei kleinstem Blendendurchmesser gerade noch ein
Beugungsbild beobachten können. Bestimmen Sie den Durchmesser des Beugungsscheibchens.
c) Größe der subjektiven Speckle. Die Blende bleibt unverändert. Bauen Sie M
wieder ein, entfernen Sie L2. Bestimmen Sie die Größe der subjektiven Speckle dsubj auf
M F.
60
Versuch 4.2.2a,b,c ist nicht verpflichtend und kann je nach Interesse und/oder Zeit durchgeführt werden.
Inhaltsverzeichnis
98
Auswertung: Diskutieren und vergleichen Sie die Ergebnisse von b) und c)!
4.3 Meßunsicherheit durch Speckle
Aufbau: Siehe Bild A.3. Laser ⇒ Filter ⇒ Mikroobjektiv ⇒ L1 (200) → paralleler
Strahlengang ⇒ L2 (100) ⇒ M ⇒ L3 (100) → paralleler Strahlengang ⇒ Irisblende ⇒
L4 (200) ⇒ Mikroobjektiv (vom Mikroskop) ⇒ Beobachtungsschirm (Wand).
∆ x
ui
Laser
F
S´
u
M20(1)
S´´
Spotbild
M20(2)
L1
200
L3
L2
100
M
L4
200
100
Irisblende
Beobachtungsschirm
Bild A.3: Versuchsaufbau für 4.3
Der Strahlengang muß absolut parallel zur optischen Achse sein (sonst Abbildungsfehler)! M steht in der Brennebene von L2. L3 und L4 bilden M in die Ebene des
Zwischenbildes (nahe der Brennebene des Mikroobjektivs) ab. Das Mikroobjektiv
bildet das Zwischenbild stark vergrößert auf den Schirm ab.
Durchführung: Beobachten Sie das Spotbild beim Verkleinern der Irisblende. Die
Blende wird gerade so klein gewählt, daß das Spotbild unverspeckelt ist. Verschieben
Sie M lateral. Messen Sie die Lage von zehn Spotbildpositionen auf dem Schirm (mmPapier). Bestimmen Sie die für die Auswertung notwendigen Größen.
Auswertung: Berechnen Sie den mittleren Ort des Spotbildes. Errechnen Sie die Meßunsicherheit der einzelnen Spotbilder. Bestimmen Sie mit Hilfe der Fraunhoferschen
Näherung die Größe des Airyscheibchens in der Zwischenbildebene (= Objektebene des
zweiten Mikroobjektivs). Approximieren Sie damit die Größe des Airyscheibchens, die
sich durch die Abbildung des zweiten Mikroobjektivs auf den Beobachtungsschirm
ergibt. Hinweis: Man darf hierzu vereinfachend annehmen, daß das Mikroobjektiv
(20fache Vergrößerung) durch eine dünne Linse mit f = 8,15 mm genähert werden kann.
Vergleichen Sie die Meßunschärfe für die Spotposition mit der Größe des Airyscheibchens. Berechnen Sie aus der Beleuchtungsapertur die Größe des Spots auf M und
daraus die Größe dobj der objektiven Speckle in der Linsenebene L3. Vergleichen Sie
dobj mit dem Durchmesser der Irisblende.
4.4 Speckle bei partiell kohärenter Beleuchtung
4.4.1 Laser mit rotierender Mattscheibe
a) Specklekontrast und räumlich partielle Kohärenz
Aufbau: Siehe Bild A.4. Laser ⇒ Filter ⇒ Mikroobjektiv ⇒ L1 (100) → paralleler
Strahlengang ⇒ L2 (100) ⇒ Mrot ⇒ M ⇒ (Blendenrevolver) ⇒ Auge.
Inhaltsverzeichnis
99
∆z
Laser
M20
Auge
F
L1
100
L2
100
BR
Blendenrevolver
lMM
rot
M
M rot
Bild A.4: Versuchsaufbau für 4.4.1
Mrot steht in der Brennebene von L2. Die rotierende Mattscheibe wird mit dem 12VGleichspannungsnetzgerät betrieben.
Durchführung: Beobachten Sie Speckle auf M, wenn Sie Mrot langsam von Hand
drehen. Schalten Sie Mrot an. Stellen Sie nun den Blendenrevolver hinter M und
beobachten Sie die Speckle durch eine kleine Blendenöffnung. Mrot bildet eine neue
Lichtquelle. Beobachten Sie die Speckle, wenn Sie den Durchmesser des Leuchtflecks
auf Mrot verändern (Mrot aus dem Fokus schieben). Verändern Sie auch den Abstand
Mrot-M und betrachten Sie die Speckle.
Auswertung: Welche Kohärenzeigenschaften hat die neue Lichtquelle? Erklären Sie die
Beobachtungen!
61
(
b) Subjektive Speckle bei räumlich partieller Kohärenz)
Aufbau: Laser ⇒ Filter ⇒ Mikroobjektiv ⇒ L1 (100) → paralleler Strahlengang ⇒
Irisblende ⇒ Mrot ⇒ M ⇒ Blendenrevolver ⇒ Auge.
Die Irisblende möglichst nahe an Mrot. Abstand Mrot-M ≈400 mm.
Durchführung: Mrot wird angeschaltet. Beobachten Sie M aus 250 mm Entfernung.
Stellen Sie die Irisblende so ein, daß Sie gerade Speckle auf M erkennen können.
Messen Sie den Aperturwinkel der Beleuchtung (tan u=a/2z, a Fleckdurchmesser auf
Mrot, z Abstand Mrot zu M). Mattscheibenkörnung und Speckle können verwechselt
werden! Speckle bewegen sich bei Bewegung des Kopfes, ihre Größe hängt vom
Durchmesser des Blendenrevolvers ab. Stoppen Sie Mrot. Messen Sie mit dem
Mikroskop den Durchmesser der Speckle auf M.
Auswertung: Die Specklegröße auf M ist ≈ der Größe der Kohärenzfläche.
Begründung? Diskutieren und erklären Sie die Bedingungen dafür, daß man Speckle
beobachten kann. Vergleichen Sie den Aperturwinkel der Beleuchtung mit dem
Aperturwinkel der Sonne bzgl. der Erde! Wie groß ist die Kohärenzfläche der Sonne auf
der Erde? Kann man Sonnenspeckle in der deutlichen Sehweite beobachten?
61
Das Experiment 4.4.1 b) Subjektive Speckle bei räumlich partieller Kohärenz ist nicht verpflichtend
und kann je nach Interesse und/oder Zeit durchgeführt werden.
Inhaltsverzeichnis
100
4.4.2 Weißlichtspeckle
a) Freihandversuch
Aufbau: Halogenlampe → großer Abstand ⇒ matte Oberfläche (Fingernagel, mattschwarzes Metall) (⇒ Blendenrevolver) ⇒ Auge.
Die Halogenlampe wird mit dem 12V-Trafo betrieben.
Durchführung: Beobachten Sie den Reflex auf der matten Oberfläche in der deutlichen
Sehweite. Betrachten Sie auch durch den Blendenrevolver bei unterschiedlichen
Blendendurchmessern.
Auswertung: Diskutieren und erklären Sie Ihre Beobachtungen!
b) Weißlichtspeckle in einem optischen System
Aufbau: Halogenlampe ⇒ Blendenrevolver ⇒ M ⇒ L1 (100) ⇒ Irisblende ⇒ Okular
des Mikroskops ⇒ Auge.
Die Halogenlampe wird mit dem 12V-Trafo betrieben. Der Abstand Blendenrevolver–
Mattscheibe sollte mindestens 400 mm betragen. L1 bildet M scharf und vergrößert in
die Zwischenbildebene des Okulars ab. Kriterium: Bei geöffneter Irisblende ist die
Mattscheibenkörnung scharf und weiß.
Durchführung: Defokussieren Sie! Stellen Sie die Größe des Blendenrevolvers so ein,
daß Sie farbige Speckle beobachten können, variieren Sie die Beobachtungsapertur
durch die Irisblende.
Auswertung: Diskutieren und erklären Sie Ihre Beobachtungen!
Anhang B:
Rayleighsches Schärfentiefekriterium
Ein Maß für die Tiefenauflösung einer Linse ist die Rayleighsche Schärfentiefe. Umgekehrt entspricht dies
dem longitudinalen Bereich, in dem ein abgebildeter Punkt scharf erscheint. Mit Hilfe von Bild B.1 werden
die wesentlichen Gedankenzüge erläutert. Die Darstellung folgt [Herrmann, 1988, S.67-69].
Inhaltsverzeichnis
101
ξ
p2
p1
x
pd
ξmax
a1
a2
r2
z2
u´
z1
z
δz
r1
--
ξ max
Bild B.1: Illustration zum Rayleighschen λ/4-Kriterium
In der ξ-Ebene befinde sich eine Linse. Es werden zwei Kugelwellen mit den Radien r1 = z1 und r2 = z2
betrachtet. Wie groß muß der Unterschied zwischen den Radien sein, damit man im Punkt (x = 0, z = z1) eine
Intensitätsveränderung feststellen kann? Hierzu werden die Phasoramplituden A1,2 , die sich in den Punkten
z1,2 ergeben betrachtet. Man erhält die Amplituden durch Integration über die entsprechenden Wellenfronten:
A( z ) =
 i2π p(ξ ) 
exp
 dξ .
λ 

−ξmax
ξmax
∫
(B.1)
A(z): Phasoramplitude am Ort (x=0, z),
±ξmax: Ränder der Pupille,
2π p(ξ)/λ = ϕ(ξ): Phase der Elementarwellen.
Für die Kugelwelle mit dem Radius r1 überlagern sich alle Wellen gleichphasig bezüglich (0, z1), d.h.
2π p(ξ) = 0 für alle ξ. Für die Kugelwelle mit dem Radius r2 muß für die Phasen der Elementarwellen die
Phasendifferenz pd = 2π(p2-p1)/λ eingesetzt werden, siehe Bild B.1.
Für Näherungen sei ξ/z << 1, so daß p1,2 ≈ a1,2 gilt. Dann folgt:
p1,2 ≈ a1,2 ≈
ξ2
2 z1,2
.
(B.2)
Setzt man z2 = z1 - δz ein, so folgt
pd = p2 − p1 ≈
ξ 2 ⋅ δz
2 z12
.
(B.3)
Rayleigh legte als günstiges Kriterium dafür, daß man gerade eine Intensitätsänderung feststellen kann, einen
Gangunterschied von λ/4 zwischen den Kugelwellen am Rand der Pupille fest:
pd ( ± ξmax ) = λ
4
,
(B.4)
das entspricht einem Phasenunterschied der Wellen von π/2. Eingesetzt in (B.3) ergibt sich
δz =
1 λz12
.
2 ξmax 2
(B.5)
Inhaltsverzeichnis
102
Führt man den Aperturwinkel u ein, mit sin u ≈ ξmax/z1, und berücksichtigt, daß für z3 = z + δz die
Überlegungen analog sind, so lautet das Kriterium für die Rayleighsche Schärfentiefe δzr:
δz r = 2δz ≈
λ
sin 2 u
.
(B.6)
Verzeichnis der Versuchsgeräte
Laser, He-Ne, Laserschutzklasse 3b, reduziert durch fest eingebautes Grauglas auf <1 mW, entspricht somit
Laserschutzklasse 2, Wellenlänge 632,8 nm, linear polarisiert, eingebauter Shutter (Conrad
Bestnr.:598097)
Lasernetzgerät: Festspannungsnetzgerät 13,8 V/2A, nachträglich mit verpolungssicherem Spannungsausgang
ausgestattet (Conrad Bestnr.:510459)
Laserhalterung auf Reiter (2x), horizontale und vertikale Justierbarkeit des Lasers
Halogenlampe (Conrad Bestnr.:584380) mit Gehäuse (Conrad Bestnr.:587800) auf Stab
Transformator 12 V/60 VA (Conrad Bestnr.:592811) für Halogenlampe
Gleichspannungsnetzgerät 12 V/2 A (Conrad Bestnr.:518018)
Optische Dreikant-Bank, 2 m, mit Stellfüßen, cm-Skala
Reiter 28 mm mit Säule (6x)
Reiter 50 mm mit Säule (1x)
Reiter 50 mm mit Meßhöhenversteller (Spindler & Hoyer Bestnr.:023807)
Meßverschiebetisch auf Reiter 50 mm, x-Verschiebetisch (Owis Bestnr.:31.061.2531), z-Meßtisch (Owis
Bestnr.:31.063.2591), Säule
Mattscheibe (Phywe Bestnr.:0820200) mit Halterung auf Stab
Mattscheibe (Phywe Bestnr.:0820200) mit Fadenkreuz, mit Halterung auf Stab
Lupenhalterung, zur Befestigung des Achromaten (100 mm) an der Mattscheibe mit Fadenkreuz
rotierende Mattscheibe mit Antriebsmotor 12 V (Conrad Bestnr.:242799), Anschluß für
Gleichspannungsnetzgerät 12 V/2 A, Halter auf Stab
Meßmikroskop auf Stab, Mikroobjektiv (20/0,4) (Owis Bestnr.:60.712.2220), Okular 10fach mit
Strichteilung (Owis Bestnr.:60.740.2310)
Halter für Okular mit Stab
Gitter auf Diapositiv, 10 Striche pro Millimeter
z-Verschieber für Meßmikroskop
Achromat gefaßt auf Halter mit Stab, f = 100 mm (Owis Bestnr.:63.211.3100) (2x)
Achromat gefaßt auf Halter mit Stab, f = 200 mm (Owis Bestnr.:63.211.3200) (2x)
Mikroobjektiv (20/0,35) (Owis Bestnr.:60.712.2220)
Halter für Mikroobjektiv (2x) auf Stab
Dia-Wechselhalter für Filter und Blende
Filter D = 1, 2, 3 (Phywe Bestnr.:0846500)
Aufbewahrungsbox für Filter
Lochblende 0,4 mm (Phywe Bestnr.:0820604)
Blendenrevolver 0,2 mm, 0,3 mm, 0,6 mm, 1,0 mm, 2,0 mm, 3,0 mm (Spindler & Hoyer Bestnr.:036121) auf
Halter mit Stab
Irisblende 1,2 - 30 mm (Spindler & Hoyer Bestnr.:550507) auf Halter mit Stab
Spaltblende 0 - 3 mm, verstellbar (Leybold Bestnr.:47171), auf Halter mit Stab
Materialständer
Brille -2,5dpt
Inhaltsverzeichnis
Bezugsquellen:
Leybold Didaktik GmbH, Postfach 1365, 50330 Hürth
Phywe Systeme GmbH, 37070 Göttingen
Spindler & Hoyer GmbH & Co, 37070 Göttingen
OWIS GmbH, Im Gaisgraben 7, 79219 Staufen i. Br.
Conrad Electronic, Klaus-Conrad-Strasse, 1, 92240 Hirschau
104
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Sachwortverzeichnis
Fouriertransformation ...............................27; 59
A
Fraunhofersche Näherung ...............................28
Abbildungsmaßstab ........................................ 18
Fraunhofersches Beugungsbild .................59; 99
Aberration....................................................... 62
Frequenz..........................................................20
chromatische-............................................. 79
Fresnelsche Näherung ...............................27; 57
sphärische-................................................. 80
Achromat........................................................ 79
Adaption ......................................................... 86
G
Gaußsche Dichtefunktion
Airy-Muster.................................................... 59
zirkulare- ....................................................52
Airyscheibchen....................................... 31; 109
Gaußsche Zufallsvariable..........................52; 57
Akkommodation..................................... 84; 102
Apertur ........................................................... 83
H
Astigmatismus ...............................................100
Halogenlampe .................................................78
Auge
I
Aufbau ....................................................... 83
Auflösungsvermögen................................. 86
Bilderzeugung............................................ 84
Sehwinkel .................................................. 86
Autokorrelationsfunktion ............................... 34
der Intensität .............................................. 56
B
Informationsverarbeitung................................13
Intensität....................................................23; 49
wechselseitige- .....................................40; 57
Interferenz .......................................................23
Interferenzgesetz .............................................39
Interferenzterm................................................34
K
Besselfunktion ................................................ 31
Beugung ......................................................... 24
Blende............................................................. 83
Iris- ............................................................ 83
kreisförmige- ............................................. 30
rechteckige- ............................................... 28
Revolver- ................................................... 83
Spalt-.......................................................... 83
E
Ensemblemittel......................................... 51; 57
F
Kalibrierung ....................................................93
Kirchhoffsches Beugungsintegral ...................26
Kohärenz .........................................................32
partielle- ...............................................35; 39
räumlich partielle- ....................................110
räumliche- ..............................36; 70; 75; 113
zeitliche- ...............................................33; 75
Kohärenzfaktor
komplexer- ...........................................40; 58
Kohärenzfläche
Größe der- ..................................................42
Kohärenzfunktion
Fernfeld ............Siehe Fraunhofersche Näherung
Selbst-.........................................................34
Filter ......................................................... 78; 95
wechselseitige- ...........................................38
Sachwortverzeichnis
Kohärenzgrad
108
Poyntingvektor ................................................22
komplexer-........................................... 34; 38
Punktbild ...................................................47; 71
Kohärenzlänge................................................ 36
Pupillenadaption............................................103
Kohärenzzeit................................................... 35
Kontrast .................................................... 35; 39
Q
Korrelationskoeffizient................................... 59
quasi-monochromatisch ..................................37
Kreisblende..................................................... 99
R
Kreisfrequenz ................................................. 20
Kreuzkorrelationsfunktion.............................. 38
Krümmungszuordnung
Achromat ................................................... 80
random-walk-Problem.....................................50
Raumfrequenz .................................................27
Rayleigh-Kriterium .........................................98
Kurzsichtigkeit ............................................... 85
S
L
Schwingungsdauer ..........................................20
Laser ............................................................... 75
Lasersicherheit................................................ 92
Lasertriangulation........................................... 65
Lichterregung ........................................... 23; 49
SNR (signal to noise ratio)..............................70
Sonnenspeckle.........................................12; 112
Spaltblende......................................................99
Speckle
Bewegung...........................................96; 105
Lichtquelle
Form ...........................................................64
ausgedehnte- .............................................. 37
Größe objektiver- .................................59; 93
Lupe................................................................ 87
Größe subjektiver-......................63; 103; 106
M
Kontrast ............. 55; 67; 70; 71; 72; 111; 113
Mattscheibe .................................................... 81
Länge..........................................................64
Maxwellgleichungen ...................................... 19
objektive-....................................................46
Meßunsicherheit ..................................... 66; 106
scheinbare Bewegung...............................102
Michelson-Interferometer............................... 33
subjektive- ..................................................47
Mikroobjektiv................................................. 81
Weißlicht-...........................................71; 112
Mikroskop ................................................ 88; 95
Speckle-Interferometrie
stellare-.......................................................13
N
Specklereduktion.............................................13
Newton-Formeln ............................................ 18
Standardabweichung .......................................55
Statistik
O
Feldamplitude.............................................51
Oberfläche
first-order- ..................................................48
optisch rauhe- ............................................ 45
second-order-........................................48; 56
Oberflächenrauhigkeit
Voraussetzungen ........................................50
Messung von- ............................................ 13
Streuung ..........................................................25
optische Dichte ............................................... 79
Szintillation .....................................................12
optische Meßtechnik....................................... 13
P
T
Transmissionsgrad
Parallaxe ........................................................102
spektraler-...................................................79
Pfeilhöhensatz ................................................ 69
Transmissionsverteilung .................................25
Phasor ............................................................. 49
Sachwortverzeichnis
V
Van Cittert-Zernike Theorem ................... 40; 58
Varianz ........................................................... 52
Verbundwahrscheinlichkeitsdichte
Intensität und Phase ................................... 53
Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion ... 52
Vergrößerung ................................................. 86
W
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ................ 50
Intensität .................................................... 53
Phase.......................................................... 54
Weitsichtigkeit................................................ 85
Welle
ebene- ........................................................ 21
eindimensionale-........................................ 20
harmonische- ............................................. 20
Wellengleichung............................................. 19
Wellenzahl...................................................... 20
Y
Youngscher Interferenzversuch...................... 36
Z
zentraler Grenzwertsatz .................................. 52
Zufallsvariablentransformation ...................... 53
109
Sachwortverzeichnis
110