Übungsblatt 2

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Automaten und Formale Sprachen
Prof. Dr. M. Kunde, Dipl.-Inf. Sascha Grau
http://www.tu-ilmenau.de/fakia/ea ws09.html
Effiziente Algorithmen“
”
Übungsblatt 2, WS 09/10
Abgabe: Dienstag, den 03.11.2009, 16:30 Uhr, Briefkasten im Blechhaus, zweiter Stock
Aufgabe 1 (Bottom-Up-Heapsort)
(a) Führen Sie die Prozedur Bottom-Up-Heapsort aus der Vorlesung mit der Eingabe
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] aus und zählen Sie die Anzahl der Schlüsselvergleiche in der Aufbau und
Wegnahmephase.
(b) In der Vorlesung wurde die Anzahl der Vergleiche von Heapsort im Worst-Case bei n
zu sortierenden Schlüsseln analysiert. Dabei wurde HSA (n) als die Anzahl der Vergleiche
in der Aufbauphase und HSW (n) als die Anzahl der Vergleiche in der Wegnahmephase
definiert.
Zeigen Sie: HSA (n) ∈ O(n).
Aufgabe 2 (Median)
Seien X[1, . . . , n] und Y [1, . . . , n] zwei sortierte Felder natürlicher Zahlen. Geben Sie einen
O(log n)-zeitbeschränkten Algorithmus an, der den unteren Median, d.h. das n-kleinste aller
2n Elemente ermittelt.
Aufgabe 3 (BucketSort)
Führen Sie BucketSort mit folgender Eingabe aus:
efgh, gfeg, fegf, heggff, efg, hegf, egfegfg, eh, gege, fe, eheg, feg, ffeg, ggge, gefh
Aufgabe 4 (Untere Schranke für Sortierung durch Mischen)
Beweisen Sie, dass jeder vergleichsbasierte Algorithmus, der zwei beliebige, sortierte Folgen
x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xm und y1 ≤ y2 ≤ · · · ≤ yn−m mit m < n ∈
zu einer sortierten Folge
vereinigt, im schlechtesten Fall mindestens n − 1 Vergleiche benötigt.
N
Aufgabe 5 (Untere Schranken)
Zeigen Sie, dass kein vergleichsbasiertes Sortierverfahren existiert, das für mindestens die Hälfte
der Eingaben mit n Schlüsseln lineare Zeit benötigt. Wie sieht es bei einem Anteil von 1/n oder
1/2n aus?
Hinweis: Benutzen sie den Fakt, dass ln(n!) ≈ n + 21 ln(n) − n + 12 ln(2π).