Widerstand und Auftrieb

Widerstand und Auftrieb - SystemPhysik
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Widerstand und Auftrieb
Aus SystemPhysik
Fliegende Körper tauschen mit dem Gravitationsfeld und der umgebenden Luft Impuls aus. Die Stärke des
quellenartigen Impulsaustausches mit dem Gravitationsfeld nennt man Gewichtskraft. Der Impulsaustausch
mit der Luft wird in verschiedene Kräfte aufgespalten:
statischer Auftrieb
dynamischer Auftrieb
Widerstand (schädlicher und induzierter Widerstand)
Schub
Luftschiffe und Ballone führen den gravitativ zufliessenden z-Impuls über ihre Oberfläche als statischen
Auftrieb an die umgebende Luft ab. Bei Objekten, die spezifisch viel schwerer sind als die Luft, wird dieser
Auftrieb vernachlässigt bzw. direkt mit der Gewichtskraft verrechnet. Nachfolgend suchen wir nur eine
brauchbare Beschreibung der einwirkenden Kräfte und fragen nicht, wieso ein Flugzeug überhaupt fliegt.
Inhaltsverzeichnis
1 Lernziele
2 Strömungswiderstand
2.1 Potenzialströmung
2.2 laminare und turbulente Strömung
2.3 einfaches Modell
2.4 reales Modell
3 statischer Auftrieb
4 dynamischer Auftrieb
5 Flugdynamik
5.1 Segelflug
5.2 Reiseflug
6 Kontrollfragen
7 Antworten zu den Kontrollfragen
Lernziele
In dieser Vorlesung lernen Sie
dass sowohl der statische als auch der dynamische Auftrieb aus der Druckverteilung an der Oberfläche
des Körpers bestimmt werden kann
wieso der statische Auftrieb gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit oder des verdrängten
Gases ist
wie man den turbulenten Strömungswiderstand beschreibt
dass die resultierende Kraft auf ein Flugzeug in Widerstand (parallel zur Anströmung) und Auftrieb
(normal zur Anströmung) zerlegt werden kann
dass sowohl der Widerstand als auch der Auftrieb proportional zum Quadrat der
Anströmungsgeschwindigkeit und proportional zur Dichte der Luft sind
wie der Strömungsbeiwert und der Auftriebsbeiwert definiert sind
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Strömungswiderstand
Potenzialströmung
Ein Körper, der reibungsfrei von einer Potenzialströmung umflossen wird,
erfährt keine Strömungskraft (d'Alembertsches Paradoxon). Begründet wird
dieses Paradoxon mit der Symmetrie der Strömung. Wohl staut sich das
Fluid (Flüssigkeit oder Gas) an der Vorderseite des Körpers (vorderer
Staupunkt), doch entsteht auf der Rückseite des umströmten Körpers ein
zweiter Punkt, in dem die Strömungsgeschwindigkeit ebenfalls gleich Null
ist (hinterer Staupunkt). Das d'Alembertsche Paradoxon, wonach der
Strömungswiderstand (totale Impulsstromstärke bezüglich der
Körperoberfläche) verschwindet, beruht auf den sich kompensierenden
Wirkungen der beiden Gebiete um den vorderen und hinteren Staupunkt.
laminare und turbulente Strömung
Potenzialströmung und
turbulente Strömung
Ein reales Fluid wirkt infolge der eigenen Zähigkeit (Viskosität) mit Scherkräften (querfliessende
Impulsströme) auf den umströmten Körper ein. Bei Newtonschen Flüssigkeiten nimmt der durch die
Zähigkeit verursachte Impulsaustausch zwischen Fluid und Körper linear mit der
Anströmungsgeschwindigkeit zu. Überschreitet die Scherbelastung in der Flüssigkeit eine gewisse Grenze,
lösen sich erste Grenzschichten ab. Die sich vom Körper ablösenden Grenzschichten bilden hinter dem
Körper eine turbulente Wirbelstrasse. Der Unterdruck im Gebiet der Wirbelstrasse ist die eigentliche
Ursache für den Strömungswiderstand bei turbulenter Umströmung.
einfaches Modell
Die Grösse des Strömungswiderstandes bei turbulenter Umströmung kann
mit Hilfe eines einfachen Modells abgeschätzt werden. Dazu stellen wir uns
eine starre Scheibe (Fläche A) vor, die normal zur Anströmung stehend mit
der Geschwindigkeit v gegen das Fluid bewegt wird. Vereinfachend machen
wir folgende Annahmen
Modell zur Bestimmung des
die sich einstellende Strömung ist eine Superposition aus
Strömungswiderstandes
Potenzialströmun und scharf berandeter Wirbelstrasse
der Querschnitt der turbulenten Wirbelstrasse ist gleich A
der Mittelwert über das Quadrat der Strömungsgeschwindigkeiten in der Wirbelstrasse ist unmittelbar
hinter der Scheibe gleich v2
Zieht man nun diese Scheibe mit konstanter Geschwindigkeit durch ein ruhendes Fluid, kann eine
Leistungsbilanz aufgestellt werden. Die Leistung der Zugkraft (Kraft mal Geschwindigkeit) ist gleich der
Änderungsrate der kinetischen Energie der Luft (Dichte der kinetischen Energie mal Änderungsrate des
Volumens der Wirbelstrasse)
Bei gleichförmiger Bewegung der Scheibe ist die Zugkraft gleich dem gesuchten Strömungswiderstand. Also
gilt
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reales Modell
Der Querschnitt der Wirbelstrassse hängt von vielen Faktoren wie Form des umströmten Körpers oder
Rauhigkeit und Elastizität der Oberfläche ab. Zudem dürfte die Annahme, dass die Dichte der kinetischen
Energie in der Wirbelstrasse im Mittel gleicht halbe Massendichte des Fluids mal das Quadrat der
Anströmungsgeschwindigkeit ist, kaum zutreffen. Die dem einfachen Modell zugrunde liegende Annahme,
dass der Strömungswiderstand proportional zur Dichte der kinetischen Energie der Antströmung und zum
Querschnitt des umströmten Körpers zunimmt, ist durch Experimente vielfach bestätigt worden. Die
verbleibende Unstimmigkeit wird nun in eine Zahl verpackt, die das Verhältnis zwischen Messung und
einfachem Modell beschreibt. Diese Verhältniszahl nennt man Widerstandsbeiwert.
Der Strömungswiderstand lässt sich somit als Produkt aus Dichte der kinetischen Energie des anströmenden
Fluids mal die um den Widerstandsbeiwert korrigierte Querschnittsfläche schreiben
statischer Auftrieb
Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Diesen Zusammenhang, der von
Archimedes erstmals formuliert worden ist, kennt wohl jedes Kind. Doch wie kann eine Flüssigkeit, die
verdrängt worden ist, noch eine Wirkung entfalten? Betrachten wir dazu einen Teich, auf dessen Grund ein
Felsbrocken liegt. Würde man den Felsbrocken hoch heben, wäre die Hubkraft gleich der Gewichtskraft
minus den Auftrieb.
In der Vorlesung zur Hydrodynamik haben Sie den Druck als Energiebeladung des Volumenstroms kennen
gelernt. Aus der Sicht der Translationsmechanik ist der Druck in ruhenden Gasen und Flüssigkeiten eine
dreifache Impulsstromdichte. Der Druck besagt, wie viel x-, y- bzw. z-Impuls pro Zeit und pro Fläche in x-,
y- bzw. z-Richtung transportiert wird. Befindet sich eine unter Druck stehende Flüssigkeit in einem Gefäss,
muss jede Impulskomponente, die in der Flüssigkeit in ihre eigene Bezugsrichtung fliesst, von den
Gefässwänden wieder zurück transportiert werden. Deshalb stehen Gefässwände immer unter Zugspannung.
Nun führt das Gravitationsfeld der Flüssigkeit zusätzlich z-Impuls zu (Quellendichte ρ g). Weil die
Flüssigkeit diesen Impuls nur vorwärts transportieren kann, nimmt die Impulsstromdichte infolge Zunahme
der Quellen proportional mit der Eintauchtiefe zu
Um die Grösse der Auftriebskraft zu bestimmen, greifen wir einen beliebigen Teil des Wassers im Teich
heraus und betrachten diesen Teil als Körper. Die Stärke der Impulsquelle heisst Gewichtskraft, die
resultierende Druckkraft auf den ausgewählten Teil des Wasser nennt man Auftrieb. Weil der ausgewählte
Körper natürlicherweise im Gleichgewicht ist, muss der Auftrieb gleich der Gewichtskraft sein. Ersetzt man
nun das im ausgewählten Gebiet enthaltene Wasser durch einen gleich geformten Körper, ändert sich in der
Regel das Gewicht. Die Druckverteilung an der Oberfläche und damit der Auftrieb bleibt dagegen gleich.
Damit ist gezeigt, dass der Auftrieb gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ist.
Der Auftrieb kann auch direkt berechnet werden. Dazu muss man den Druck über die ganze Oberfläche des
Körpers aufsummieren. Doch zuerst betrachten wir nur die Wirkung des Drucks auf ein kleines, ebenes
Flächenstück. Zeigt die Flächennormale in x-Richtung wirkt eine in x-Richtung weisende Kraft auf das
Flächenstück ein. Die Grösse dieser Kraft ist gleich Druck mal Fläche (Impulsstromstärke gleich
Impulsstromdichte mal normal dazu stehende Fläche). Weitet man diese Betrachtung auf alle drei
Impulskomponenten aus, erhält man die Kraft auf ein beliebig ausgerichtetes Flächenstück
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Der Vektor A heisst Flächennormalvektor. Der Flächennormalvektor steht
normal auf der Fläche und sein Betrag entspricht der Grösse der Fläche.
Um die gesamte Druckkraft zu berechnen, muss die Oberfläche des Körpers
in beliebig kleine Stücke der Grösse dA zerlegt werden. Danach berechnet
man die Kraft auf jedes Stück und summiert über alle Stücke auf
Die Oberfläche ist nach innen zu orientieren, damit das Integral der
Auftriebskraft auf den Körper entspricht. Sind Körper und Flüssigkeit in
Ruhe, kann der Druck durch die oben hergeleitete hydrostatische Formel
ersetzt werden
Druckkräfte auf prismatischen
Körper
Die zweite Umformung ist für einen prismatischen Körper trivial, im allgemeinen Fall aber nur unter
Verwendung eines Satzes von Gauss sauber durchzuführen. Wem diese Herleitung zu mathematisch ist, halte
sich an die weiter oben gegebene Begründung mit dem ausgegrenzten Wasserkörper.
dynamischer Auftrieb
Ein Flugzeug fliegt, weil es den gravitativ zufliessenden z-Impuls an die
umgebende Luft abführen kann. Schneidet man die Triebwerke weg, erhält
man an den Schnittflächen die Schubkräfte. Die Frage, wie die Triebwerke
Impuls mit der Luft austauschen können, wird im Teil Impulsbilanz bei
offenen Systemen beantwortet. Was für den statischen Auftrieb gilt, trifft
auch auf den restlichen Teil der Flugzeughülle ziemlich gut zu: die Kraft der
umgebenden Luft auf das Flugzeug ist gleich dem Integral über die
Druckverteilung an der Flugzeugoberfläche
In dieser Betrachtung fehlt die durch die vorbei strömende Luft verursachte
Polardiagramm der Beiwerte
Scherspannung (Dichte der querfliessenden Impulsströme). Die Wirkung
dieses Teils des Impulsaustausches ist verglichen mit dem Luftkraft zu
vernachlässigen. Nun kann man zeigen, dass sich diese Luftkraft wie der weiter oben diskutierte
Luftwiderstand verhält, aber infolge Bauweise und Stellung der Flügel eine Komponente normal zur
Anströmung aufweist. Zerlegt man die Luftkraft bezüglich der Anströmung, erhält man den Widerstand
(parallel zur Anströmung) und den dynamischen Auftrieb (normal zur Anströmung)
Als Fläche A nimmt man eine zu definierende Referenzfläche (Tragflügelfläche). Der Auftriebsbeiwert cA
und der Widerstandsbeiwert cW enthalten die wesentliche Information zu den beiden Komponenten der
Luftkraft. Da beide Beiwerte vom Anstellwinkel abhängen, muss die Lage des Flugzeuges gegen die
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Anströmung bekannt sein. Zur Veranschaulichung kann man die Beiwerte in Funkton des Anstellwinkels
auftragen oder beide Beiwerte als Polardiagramm gegeneinander stellen. Im Polardiagramm erscheint der
Anstellwinkel als Parameter auf der Kurve.
Flugdynamik
Sobald sich die Fluggeschwindigkeit der Schallgeschwindigkeit nährert, ändern sich die
Strömungsverhältnisse grundlegend. Nachfolgend ein paar Überlegungen zur Ärodynamik des Flugzeuges im
Unterschallbereich (subsonic flow regime). Dabei gehen wir immer von einer Gleichgewichtssituation
bezüglich Translation und Rotation aus. Im Gleichgewicht ist die Summe über alle Kräfte (Summe über die
Stärken der Impulsströme und Impulsquellen) sowie die Summe über alle Drehmomente (Summe über die
Stärken aller Drehimpulsströme und Drehimpulsquellen) gleich Null. Die Bewegung des Flugzeuges gegen
die umgebende Luft (true air speed) bzw. die Anströmung der Luft gegen das Flugzeug bezeichnen wir als
Geschwindigkeit.
Segelflug
Auf ein Segelflugzeug wirken nur das Gravitationsfeld und die
umströmende Luft ein. Die Wirkung der umströmenden Luft kann
bezüglich der Anströmung in einen Auftrieb (normal zur Anströmung) und
einen Widerstand (parallel zur Anströmung) zerlegt werden. Weil die
Gewichtskraft und die Gesamtkraft der Luft das Flugzeug im Gleichgewicht
halten, gilt
Kräfte auf Segelflugzeug
Dividiert man die zweite Gleichungen durch die erste erhält man folgende Beziehung
Im Polardiagramm misst man den Gleitwinkel β als Winkel zwischen der Ordinate und der Verbindungslinie
vom Koordinatenursprung zum aktuellen Punkt auf der Polaren. Die Tangente an die Polare liefert deshalb
den kleinstmöglichen Gleitwinkel. Die zum gleichförmigen Gleiten notwendige Geschwindigkeit ergibt sich
aus oben formulierten Gleichgewichtsbedingung.
Reiseflug
Im horizontalen Reiseflug ist der Gleitwinkel β gleich Null. Der Auftrieb sollte dann das Gewicht und der
Schub den Widerstand kompensieren. Falls die Triebwerke dementsprechend ausgerichtet sind, gilt
Im Reiseflug ist das Flugzeug im Gleichgewicht. Dennoch meinen viele Leute, dass die Schubkraft grösser
sein müsse als der Luftwiderstand. Dies hängt mit dem Energieumsatz zusammen. Ein Strahltriebwerk
entzieht der durchstömenden Luft Impuls. Dieser Impuls fliesst über das Flugzeug an die umgebende Luft
zurück. Der gesamte Impulsdurchsatz ist mit zwei Prozessen verbunden. Im ersten Prozess, der in den
Triebwerken stattfindet, muss der Impuls von der durchströmenden Luft ins Flugzeug gepumpt werden. Im
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zweiten Prozess fliesst der Impuls unter Energiedissipation an die umgebende Luft zurück. Die dabei
freigesetzte Prozessleistung ist gleich der Leistung der Luftwiderstandskraft, falls als Bezugssystem die
umgebende Luft genommen wird
Die in den Wirbelstrassen dissipierte Leistung steigt demnach mit der dritten Potenz der Geschwindigkeit.
Eine ähnliche Gesetzmässigkeit findet man auch beim Autofahren. Wer mit 240 km/h über die Autobahn
fährt, benötigt fast acht Mal mehr Leistung als bei einer Fahrt mit 120 km/h (bei der Autofahrt treten neben
dem Luftwiderstand noch weitere Verlustleistungen auf, die zum Teil linear mit der Geschwindigkeit
ansteigen).
Kontrollfragen
1. Der statische Auftrieb ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Wie erklärt man diesen
Sachverhalt?
2. Wie berechnet man den statischen Auftrieb bei bekanntem Volumen und gegebener Dichte des Fluids?
3. Wie geht die Anströmungsgeschwindigkeit in die Berechnung von Widerstand und dynamischen
Auftrieb ein?
4. Wie bestimmt man den kleinst möglichen Gleitwinkel aus dem Polardiagramm (Auftriebsbeiwert
gegen Widerstandsbeiwert)?
5. Wie fliesst der Vertikalimpuls im Reiseflug durch das Flugzeug hindurch? Wie nennt man die beiden
zugehörigen Impulsstrom- bzw. Impulsquellenstärken?
6. Wie fliesst der Horizontalimpuls im Reiseflug durch das Flugzeug hindurch? Wie nennt man die beiden
zugehörigen Impulsstromstärken?
Antworten zu den Kontrollfragen
1. Denkt man sich den eingetauchten Körper aus einem Stoff mit der gleichen Dichte wie die umgebende
Flüssigkeit geschaffen, würde der Körper frei schweben. Die Auftriebskraft (resultierende Druckkraft)
ist dann gleich der Gewichtskraft. Unterscheidet sich nun die Dichte des Körpers von der umgebenden
Flüssigkeit, ändert sich das Gewicht nicht aber der Auftrieb.
2. Der statische Auftrieb ist gleich der Gewichtskraft auf die vom Körper verdrängte Flüssigkeit
.
3. Widerstand und dynamischer Auftrieb nehmen mit dem Quadrat der Anströmgeschwindigkeit zu.
4. Der kleinst mögliche Gleitwinkel ergibt sich durch die Tangente an die Kurve im Polardiagramm.
5. Orientiert man die z-Achse gegen unten, fliesst vom Gravitaionsfeld ein konstanter z-Impulsstrom zu
(Gewichtskraft). Damit das Flugzeug nicht abstürzt, muss dieser Impuls über die Luft abgeführt
werden (dynamischer Auftrieb).
6. Orientiert man die x-Achse in Flugrichtung, fliesst eine geschwindigkeitsabhängiger x-Impulsstrom an
die Luft weg (Luftwiderstand). Damit das Flugzeug seine Geschwindigkeit beibehält, müssen die
Triebwerke diesen Verlust ausgleichen (Schubkräfte).
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