Blatt 2 - Universität Bayreuth

Prof. Dr. Lars Grüne
Mathematisches Institut
Universität Bayreuth
Sommersemester 2003
2. Übungsblatt, Modellierung mit Differentialgleichungen
Abgabe: 14.5.2003 in der Vorlesung
Wir betrachten das vereinfachte Räuber–Beute–Modell mit unbeschränkten Ressourcen
(2.7) und ergänzen zwei Terme −c1 x1 (t) und −c2 x2 (t) mit c1 , c2 ≥ 0, die die (proportionale)
Bejagung der Bestände modellieren. Dies führt auf das Modell
ẋ1 (t) =
ax1 (t)(1 − x2 (t)) − c1 x1 (t)
ẋ2 (t) =
−cx2 (t)(1 − x1 (t)) − c2 x2 (t)
Die Größe c1 ≥ 0 gibt also an, wie stark der Bestand der Beutetiere x1 bejagt wird, während
die Größe c2 ≥ 0 angibt, wie stark die Raubtiere x2 bejagt werden.
Betrachten Sie das Modell für a = c = 1 und die sechs verschiedenen Parameterwerte
(1a) c1 = 0.1, c2 = 0
und
(1b) c1 = 1, c2 = 0
(1c) c1 = 2, c2 = 0
(2a) c1 = 0, c2 = 0.1 (2b) c1 = 0, c2 = 1
(2c) c1 = 0, c2 = 2
In den Fällen (1a)–(1c) wird nur die Beutepopulation, in den Fällen (2a)–(2c) nur die
Räuberpopulation bejagt. Von (a) nach (c) nimmt die Stärke der Bejagung zu.
(A) Analysieren Sie das Verhalten der Lösungen bezüglich der folgenden Kriterien:
(i) Für welche Parameterwerte existieren beide Arten für alle Zeiten?
(ii) Für welche Parameterwerte sterben beide Arten aus?
(iii) Für welche Parameterwerte stirbt nur eine der beiden Arten aus?
(B) Versuchen Sie, das in (A) festgestellte Verhalten aus den Modellannahmen heraus zu
begründen. Erscheint Ihnen das festgestellte Verhalten für ein reales Ökosystem plausibel?
Hinweise: Bei der Bearbeitung können die folgenden Beobachtungen hilfreich sein:
zu (i): Dieser Fall liegt vor, wenn die Gleichung in der Form (2.6) der Vorlesung mit
geeigneten Werten a, b, c, d > 0 geschrieben werden kann.
zu (ii): Dieser Fall liegt vor, wenn x∗ = (0, 0)T ein exponentiell stabiles Gleichgewicht ist.
zu (iii): Dieser Fall (der für mindestens eine Parameterkombination eintritt) ist am schwierigsten zu beweisen; hier ist eine gute Idee gefragt. . .
Die Antworten zu (A) sollen analytisch begründet werden. Es kann aber durchaus hilfreich
sein, sich mittels einer numerischen Simulation zunächst einmal eine Idee vom Verhalten
der Lösungen zu verschaffen.
Vorlesungs–Homepage:
http://www.uni-bayreuth.de/departments/math/∼lgruene/modellierung03/