Die Geometrie des Universums

Die Geometrie
des Universums
Max Camenzind
APCOSMO
TUDA @ SS2012
Das Universum Expandiert
 Der Raum wird gestreckt
• Hubble: Das
Universum
der Galaxien
expandiert !
• Das
Universum
ist jedoch ein
Kontinuum
aus Raum
und Zeit
Mike Turner 2009
Basics zur Kosmologie
• Wie beschreibt man ein expandierendes
Universum ? – nur über Einstein
• Woraus besteht das Universum ? – DM, B, DE
• Dynamik: Die 2 Friedmann-Gleichungen
• Die Zustandsgleichung der Materie - w
• Zeitliche Dichteentwicklung bis heute.
• Modelle des Universums: de Sitter, LCDM, …
• Alter des Universums
• Leuchtkraftdistanz  SN Ia vermessen das
Universum.
• Winkeldurchmesser im expandierenden
Universum.
• Die Fundamentalebene der Kosmologie.
Grundlage  ART
1915 zeigt Albert Einstein  Die Geometrie
der RaumZeit folgt aus Energie und Impuls Verteilung.
Allgemeine Relativitätstheorie
(ART)
(ART) zur Beschreibung des
RaumZeit Kontinuums.
Albert Einstein
Albert Einstein
Deutsch
Allgemeine
Relativität (1915);
Statisches, geschl.
Universum (1917)
W. de Sitter
Holländer
Vakuum-Energiegefülltes
Universum
“de Sitter” (1917)
A. Friedmann
Russe
H.P. Robertson
Amerikaner
A.G. Walker
Britisch
Allgemeine Herleitung der Metrik eines
isotropen und homogenen Universums in
ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)
Die Begründer der Kosmologie
G. LeMaitre
Belgier
Entwicklung eines homogenen,
expandierenden Universums
“Friedmann Modelle” (1922)
„burst of fireworks“ 1927
hat den Big Bang erfunden
Lemaître überzeugt Einstein 1932
 Einstein gibt das statische Universum auf
… treffen sich in Kalifornien  Lemaître überzeugt Einstein !  Einstein-de-Sitter
Einsteinsches Äquivalenzprinzip
• Im freien Fall sieht ein Fundamental-Beobachter
lokal die RaumZeit der Speziellen Relativität
(Einsteinsches Äquivalenzprinzip):
 Minkowski RaumZeit = flach
ds  c d  c dt  dx  dy  dz
2
2
2
2
2
2
2
2
• Spezielle Relativität  Minkowski-Raum: 4D
• Alle Fundamental-Beobachter messen daher
dieselben Zeitunterschiede dt.
Kausale Struktur der RaumZeit
Zeitartig
Lichtartig, Null
Raumartig
3-Raum
In jedem Ereignis
ist ein Lichtkegel
definiert.
Beobachtungen
sind nur längs
Lichtkegel
möglich !
Messen mit Euklidischer Metrik
dS
z
ds
r sind
dr
dy
rsin
dx
ds
dz
rd

ds2  dx 2  dy 2
3-D
ds2  dx 2  dy 2  dz 2
2-D
ds2  dr 2  r 2d 2
3-D
dr
d
y

(dx2+dy2)1/2
2-D
r
d
x
dS
Kugelkoordinaten
ds 2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2 d 2
rd
dr
Messen auf der Kugelfläche S²
Sphäre mit Radius r
Winkel d(Rektaszension)
rd
Großkreise Winkel
(Deklination)
r sin() d
Nach Pythagoras:
ds² = r² d² + r²sin² d²
ds² = g11d² + g22d²
Metrische Funktionen:
g11 = r² , g22 = r²sin²
Einstein 1915: RaumZeit =
Riemannsche Geometrie
ds 
2
n
 g dx dx
i
j
ij
i, j 0
• gij is der Metrische Tensor (symmetrischer Tensor 2. Stufe) : 10 Fun
• Vorschrift, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet
• Aus metrischem Tensor werden Riemann und Ricci Tensoren
berechnet.
Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der
frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole.

Technische

Details, s. ART Vorlesung, oder Lehrbuch:
Hobson, Efstathiou & Lasenby: GR, Introduction for Phys., CUP2006
Die Sphäre S² ist eine 2-dimensionale
Riemann-Mannigfaltigkeit – sie kann
durch 2-dimensionale Karten dargestellt.
Krümmung der RaumZeit
Rik  2 Rgik  gik  (8G / c )Tik
4
1
GEOMETRIE
VAKUUM
MATERIE
Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm:
folgt aus Riemann Tensor
Albert Einstein 1915:
Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R
(auch Photonen, Vakuum-Energie, …)
Bestätigung im Sonnensystem
• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).
• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.
• Periheldrehung der Planeten, insbesondere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.
• Shapiro-Laufzeitverzögerung.
• Diese Effekte treten verstärkt auch bei
Binär-Pulsaren auf.
• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitationswellen existieren (gibt es in Newtonscher
Physik nicht).
Materie des heutigen Universums
22 %
73 %
Sichtbare Materie
des Universums
trägt unwesentlich bei
Dunkle Materie im Coma-Haufen
Fritz Zwicky 1933  Haufen nicht gebunden
Dunkle Materie im Coma-Haufen
 Bindet Haufengas gravitativ
Optisch
dominiert 2 Ellipsen
Röntgenstrahlung
Van Waerbeke & Heymans
Galaxienhaufen bilden sich in DM Halos
Dunkle Materie in Galaxien
 Vera Rubin Rotationskurven
Halo
Scheibe
100 kpc
Galaxie eingebettet
in Halo Dunkler Materie
Mike Turner
Michael S Turner
Weder Erde noch Sonne
im Zentrum des Universums !
Kosmologisches Prinzip
(Milne 1933)
1. Wir befinden uns an keiner
ausgezeichneten Position des
Universums ( kein Zentrum).
2. Das Universum ist isotrop.
 Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!
Isotropie der CMB-Strahlung
2000 – 2008 SDSS DR7
Isotropie der Galaxienverteilung auf Sphären
600 Mpc
420 Mpc
Jeder Punkt
ist eine Galaxie
Big Bang
Wir sind
scheinbar
im Zentrum
des
Universums
r=0
Jede
KugelSchale:
r = const
Kugelschalen
expandieren
mit der Zeit
r  a(t) r
Kosmische Sphären
Photosphäre
Universum
3000 K
2,725 K
GalaxienSphäre
Strahlungs-Sphäre
Modernes Universum
Kosmische Sphären
Photosphäre
Universum
 CMB 1965
r=0
?
 je tiefer umso jünger
381000 a
Alter des Universums in Mrd. Jahren
0
Geometrien des 3-Raumes
• Wie sieht der Raum aus ds32 ?
• Aus Kosmologischen Prinzip
(Homogenität + Isotropie)
 räumliche Krümmung
überall konstant.
•  Nur 3 Möglichkeiten:
• 3-Sphäre – positive
Krümmung K > 0
• 3-Sattel – negative
Krümmung K < 0
• Flacher E3 – keine
Krümmung K = 0
FLRW RaumZeit des Universums
Räumliche Krümmung (+1,0,-1)
r,, sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Objekte).
t: ausgezeichnete kosmologische Zeit (gemessen von Atomuhren im Zentrum von Galaxienhaufen).
dx = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).
a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.
a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt
die universelle Expansionsrate des Universums.
a(t0) = 1 normiert, wobei t0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).
FLRW Geometrie des Universums
Das Friedmann-Universum erklärt
• Dieses Friedmann-Modell des expandierenden Universums erklärt folgendes:
•  1. wie Photonen im Universum
propagieren  Lichtkegelstruktur;
•  2. die kosmologische Rotverschiebung;
•  3. das Hubble-Gesetz und seine nichtlineare Erweiterung für z > 0,1;
•  4. Distanzen im Universum als Func(z);
•  5. Winkeldurchmesser als Func(z).
•  6. Alter des Universums als Func(z).
1. Lichtausbreitung: längs Null-Geodäten
• Wie propagieren Photonen im expandierenden Universum ?
• Betrachte Photon emittiert bei
(re) längs einer Linie mit konst
Länge und Breite (d= 0 = d).
• Die Trajektorie ist eine
Null-Geodäte (Eigenzeit = 0):
c d  c dt  R (t )dr  0
2
2
2
2
2
2
k=0
Lichtausbreitung unter Expansion
• Bewegungsgleichung eines Photons (a = R):
c dt  R (t )dr
2
2
2
r (t )  
t
0
2
cdt
R(t )
“Comoving distance”
= mitbewegte Distanz
nimmt ab.
2. Kosmologische Rotverschiebung
Da rechte Seiten identisch 
X
X
Der erste Term hebt sich gegen letzten weg 
Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt !
3. Das Hubble-Gesetz  Expansion
Intrinsische Leuchtkraft und beobachter Strahlungsstrom:
Die Berechnung der intrinsischen Leuchtkraft einer Galaxie bei Rotversch. z
mittels beobachtetem Strom beruht auf der Struktur der Null-Geodäten
ds 2  0
Robertson-Walker Metrik:
 ds 
2
2

dr
2
2
2
2
2 
  cdt   R (t) 
 r  sin d  d  
2
1  kr

2
2
dr
0  ds 2  cdt 2  R(t) 2
1  kr 2
=
Hubble-Gesetz
& Bedeutung H0
Hubble-Gesetz mit Supernovae
• H0 ist die “Hubble
Konstante”,
•  H0 = 63 +/- 6
km/s/Mpc
Calán/Tololo Daten
1989 - 1995
Fazit: Expansion
•  in jedem expandierenden Universum
tritt die kosmische Rotverschiebung auf
 1+z = 1/a Maß für die Schrumpfung;
•  Wellenlängen werden durch die
Expansion gestreckt: lBeob = lem(1+z);
•  kosmische Rotverschiebung ist kein
Dopplereffekt (Lemaître 1927);
•  in jedem expandierenden Universum
ist Hubble-Relation cz = H0d erfüllt, z<0,1
Von Einsteins Feld-Gleichungen zu
Friedmann-Gleichungen 1922
Gmn = Rmn – 1/2 mn R = 8G/c4 Tmn Einsteins Feld Glg
i,k = 1,2,3
G00 = 3/a2 (å2 + kc²)/c²
Gki = 1/a2 (2aä + å2 + kc²)/c² ki
Tmn= diag[(t)c², –p(t), –p(t),
–p(t)]
= Energie-Impuls-Tensor
3 (å2 + kc²) /a2 = 8  G (t)
(2a ä + å2 + kc²) /a2 = -8 G p(t)/c²
FriedmannGleichungen
Gegeben Zustandsgleichung p(), zu lösen a(t)…
Lemaître 1927
c²
Friedmann
1922 & 1924
1. Hauptsatz der
Thermodynamik
Beschleunigung
 2 Terme
Materie bremst
c²
Lemaître 1927
Energieerhaltung (1. Hauptsatz)
• Aus den Friedmann-Gleichungen (c=1):
3 (å2 + k) /a2 = 8  G (t)
(2a ä + å2 + k) /a2 = -8  G p(t)
• folgt
– d/dt(a3) = -p d/dt(a3)  dU = -p dV , dS = 0
• Für Zustandsgleichung p = w  gilt dann
• a3 d = -(w+1) 3  a2 da
• Falls w=constant
 ~ a-3(w+1)
Die Kosmische
Zustandsgleichung w
• Definiert über die Gleichung: p = w c²
• als “Zustandsgleichung (EoS)” bezeichnet
• Spezielle Werte:
– w=0  p=0 zB. Dunkle Materie, Baryonen;
– gut erfüllt für nicht-relativistische Baryonen!
– w=1/3  Strahlung, masselose Neutrinos
– w=-1 Vakuumenergie, sieht wie
kosmologische Konstante aus.
Die Entwicklung der Dichte
 ~ a-3(w+1)
•
•
•
•
Materie dominiert (w=0):
 ~ a-3
Strahlung dominiert (w=1/3):
 ~ a-4
Kosmologische Konstante (w=-1):  = const
Dunkle Energie mit w<-1, zB w=-2:  ~ a3
–  Energiedichte würde dann zunehmen!
–  würde dann sogar Materie dominieren, die aus
normalen Elementen besteht! (sog. “Big Rip”)
–  w < -1 ist unwahrscheinlich.
– -1 < w < -1/3 jedoch möglich.
Dichte-Entwicklung im
expandierenden Universum
Dichte-Entwicklung ; 1+z = 1/a
Dunkle Energie
aeq
Totale Dichte-Entwicklung
• tot = r + m + DE
• r = r 0 a-4 , da  ~ a-4 und a = 1 heute
– r0 ≡ heutige Strahlungsenergiedichte
– r0 ≡ r0 / crit nach Definition
– Index 0 wird häufig weggelassen r0
• Deshalb gilt
r = crit r a-4
– und ähnlich für m, DE
• Daher finden wir für Dichte in Friedman-Glg
tot = crit [ r a-4 + m a-3 + DE a-3(1+w)]
falls w für DE constant
Omega-Parameter des Universums
8G
M 
M
2
3H 0
Hubble-Radius
RH = c/H0
= 4200 Mpc
2
kc
k   2 2
R H0
c
 
2
3H 0
2
M  k    
Da das Universum flach
erscheint:
k = - 0,006

k = +1
R0 > 10 RH
Fundamentalebene
der Kosmologie
Die 1. Friedmann Gleichung
(å/a)2 = 8  G (t) /3 – kc²/a²
(t) = crit [ r a-4 + m a-3 + DE a-3(1+w)]
1+z = 1/a
DE:
w = const
• Einsetzen in Friedmann-Glgl., H0 ≡ (å/a)0:
H2 (z) = H02 [ r (1+z)4 + m (1+z)3 
+k (1+z)2 + DE (1+z)3(1+w) ]
Die Hubble-Funktion
• Einsetzen in Friedmann-Glgl., 1+z = 1/a
•  beschreibt Expansionsrate bei Rotverschiebung z.
H(z) = H0 [ r (1+z)4 + m (1+z)3 
1/2
2
3(1+w)
+k (1+z) + DE (1+z)
]
Dichte-Entwicklung ; 1+z = 1/a
Drei Phasen in Dichte-Entwicklung
DE
dominiert
Materie
dominiert
Strahlung
dominiert
Die Parameter des Universums
• (i) Hubble-Konstante H0;
• (ii) Dichteparameter der nichtrelativistischen Materie: m = DM + B.
• (iii) Dichteparameter der relativistischen
Materie: rad = g + n
• (iv) Krümmungsparameter k = -k RH²/R0².
Dabei gilt heute R0 >> RH  CDM-Modell
• (v) Parameter der Dunklen Energie DE=
• (vi) Zustandsgleichung der Dunklen Energie
w ~ -1, w´ = 0 („Vakuum Energie“).
Zusammenfassung
• Nur ein Relativistisches Modell kann das
expandierende Universum erklären  FLRW
• Das Kosmologische Prinzip  Geometrie.
• Friedmann-Gleichungen bestimmen die
Expansion des Universums.
• Materie besteht aus verschiedenen
Komponenten: Baryonen, Photonen, Neutrinos,
DM und Dunkle Energie.
• Die Omega-Parameter des Universums.
• Die einzelnen Anteile bestimmen die Expansion –
heutiges Universum offenbar durch Dunkle
Energie dominiert und flach, da R0 > 10 RH.