TU München Reinhard Scholz Physik Department, T33 Thomas

TU München
Reinhard Scholz
Physik Department, T33
Thomas Eissfeller, Peter Greck, Tillmann Kubis, Christoph Schindler
http://www.wsi.tum.de/T33/Teaching/teaching.htm
Übung in Theoretischer Physik 5B (Thermodynamik)
Blatt 2, Lösungen
(Abgabe Di 6. Mai 2008 in Vorlesung)
1. Kreisprozess [4 Punkte]
Mit 2 kg Stickstoff (Molekülmasse: 28 atomare Einheiten) wird der dargestellte Kreisprozess A → B →
C → A durchgeführt. Berechnen Sie die Arbeit für einen Umlauf um diesen Kreisprozess mit Hilfe der
Zustandsgleichung des idealen Gases. Ermitteln Sie die nicht im Diagramm angegebenen Größen pA , TA ,
TB , TC . Verwenden Sie für die Arbeit die Vorzeichen aus der Perspektive des Systems, das aus dem
Arbeitsgas besteht, d.h. die Arbeit ist positiv, wenn sie am System geleistet wird.
p(kPa)
A
Isotherme
100
B
C
2
10
V(m3)
Hilfe: Loschmidt-Zahl (Avogadro number) NA = 6.022·1023 mol−1 , Boltzmannkonstante kB = 1.38·10−23
J K−1 . Zeigen Sie, dass die am System geleistete Arbeit ∆W = 809 kJ beträgt.
Lösung:
Die Masse von m = 2 kg enthält die folgende Anzahl Stickstoffmoleküle
m
2 kg
NA =
6.022 · 1023 mol−1 = 4.30 · 1025
mmol
0.028 kg mol−1
N=
(1)
Die geleistete Arbeit setzt sich aus den Teilprozessen zusammen:
∆W = WA→B + WB→C + WC→A
(2)
Die Arbeit ist für jeden Teilprozess aus
†W = −pdV
(3)
zu ermitteln. Für den Abschnitt A → B ist wegen dV = 0 auch WA→B = 0. Für B → C ist
WB→C = −
Z
VC
VB
dV p = − (VC − VB ) pB = −8 m3 · 100 · 103 Pa = −800 kJ < 0
(4)
Vom System aus betrachtet ist die Arbeit negativ, d.h. das System leistet Arbeit an der Umgebung.
Für den Abschnitt C → A benutzt man die Zustandgleichung des idealen Gases, pV = N kB T , unter
1
Berücksichtigung von T = TC = const :
= −
WC→A
=
=
=
VA
VC
Z VA
dV p
N kB TC
V
VC
Z VA
dV
−N kB TC
V
VC
VA
−N kB TC ln
VC
VC
N kB TC ln
VA
N kB TC ln 5 > 0
= −
=
Z
dV
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
d.h. die Umgebung führt dem System durch Kompression Arbeit zu. Die Temperatur TC = TA ermittelt
man mit Hilfe der Zustandgleichung aus pC = 100 kPa und VC = 10 m3 :
TC =
pC VC
= 1685 K
N kB
(11)
und analog TB = TC /5 = 337 K. Aus der Zustandgleichung pV = N kB T = const entlang C → A ergibt
sich, dass der Druck pA gerade 5 mal so hoch ist wie pC , d.h. pA = 500 kPa. Der Faktor N kB TC beträgt
N kB TC = 1000 kJ
(12)
WC→A = N kB TC ln 5 = 1609 kJ
(13)
so dass
Damit wird insgesamt
∆W
= WA→B + WB→C + WC→A
= 0 − 800 kJ + 1609 kJ
= 809 kJ
(14)
(15)
(16)
2. Adiabatischer Prozess für ideales Gas [3 Punkte]
Ein adiabatischer Prozess ist dadurch definiert, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet.
Betrachten Sie einen adiabatischen Prozess (V1 , T1 ) → (V2 , T2 ) für ein atomares ideales Gas mit f = 3 Freiheitsgraden. Ermitteln Sie aus dem ersten Hauptsatz einen Zusammenhang zwischen den Größen (V1 , T1 )
zu Beginn und den Größen (V2 , T2 ) am Ende des Prozesses. Wie sieht der entsprechende Zusammenhang
zwischen den Variablenpaaren (p1 , V1 ) und (p2 , V2 ) aus?
Lösung:
Im 1. Hauptsatz
dU = †Q − pdV
(17)
gilt bei adiabatischer Prozessführung †Q = 0, d.h. dU = −pdV . Die innere Energie U des idealen Gases
ist proportional zur Zahl f der Freiheitsgrade:
U=
f
3
N kB T = N kB T
2
2
(18)
und damit unabhängig von V . Aus dU = −pdV folgt
3
N kB dT = −pdV
2
(19)
Mit Hilfe der Zustandgleichung kann der Druck eliminert werden,
p=
2
N kB T
V
(20)
so dass die Beziehung
N kB T
3
N kB dT = −
dV
2
V
(21)
dV
3 dT
=−
2 T
V
(22)
gilt. Nach Variablenseparation
und Integration
3
2
Z
findet man
T2
dT
=−
T
T1
Z
V2
V1
dV
V
V2
3 T2
= − ln
ln
2 T1
V1
(23)
(24)
bzw.
ln
µ
µ
T2
T1
T2
T1
µ
¶3/2
¶−1
V2
= ln
V1
µ ¶−1
V2
V1
=
=
V1
V2
¶3/2
Mit Hilfe der Zustandsgleichung kann das Verhältnis
T2
T1
(25)
(26)
folgendermaßen ersetzt werden:
p2 V2
T2
=
T1
p1 V1
(27)
Nach kurzer Umformung findet man
µ
p2
p1
¶3/2
=
p2
p1
=
µ
µ
V1
V2
V1
V2
¶5/2
¶5/3
(28)
(29)
3. Mischungstemperatur [2 Punkte]
Zwei zunächst abgeschlossene Systeme S1 und S2 mit den Temperaturen T1 und T2 werden miteinander
so in Kontakt gebracht, dass das Gesamtsystem zu einer gemeinsamen Temperatur T übergeht. Die
Wärmekapazitäten C1 und C2 werden als temperaturunabhängig angenommen. Zeigen Sie, dass aufgrund
des 1. Hauptsatzes
C1 T1 + C2 T2
T =
(30)
C1 + C2
und somit für T1 < T2 die Ungleichung T1 < T < T2 gilt.
Lösung:
Die Wärmeänderung für die beiden Teilsysteme beträgt
∆Q1
∆Q2
= C1 (T − T1 )
= C2 (T − T2 )
(31)
(32)
Nach dem 1. Hauptsatz ist
∆Q1 + ∆Q2 = 0
=⇒
C1 (T − T1 ) + C2 (T − T2 ) = 0
(33)
Durch Auflösen nach T findet man
(C1 + C2 ) T
T
= C1 T1 + C2 T2
C1 T1 + C2 T2
=
C1 + C2
C1
C2
=
T1 +
T2
C1 + C2
C1 + C2
3
(34)
(35)
(36)
Es handelt sich offensichtlich um ein gewichtetes Mittel zwischen den Temperaturen T1 und T2 , wobei die
Summe der Gewichte gerade 1 ist,
C2
C1
+
=1
(37)
C1 + C2 C1 + C2
so dass die Temperatur T innerhalb des Intervalls (T1 , T2 ) liegt.
4. Ausdehnungskoeffizient [3 Punkte]
An einem idealen Gas wird eine Zustandänderung entlang des Weges
V
=
V0
µ
T
T0
¶b
(38)
in der V T -Ebene durchgeführt, wobei V0 , T0 und b Konstanten sind. Bestimmen Sie für diese Prozessführung den thermischen Ausdehnungskoeffizienten
µ
¶
1 ∂V
α=
(39)
V ∂T
Zeigen Sie unter Benutzung des Ergebnisses für α, dass die bei einer Erhöhung der Temperatur von T1
auf T2 am Gas geleistete Arbeit gerade als ∆W = −bN kB (T2 − T1 ) ausgedrückt werden kann.
Lösung:
Bei der speziellen Prozessführung in der V T -Ebene berechnet man die Ableitung von V nach T :
V = V0
µ
T
T0
¶b
=⇒
dV
bT b−1
= V0
dT
T0b
(40)
Daraus ergibt sich der Ausdehnungskoeffizient
V0
1 bT b−1
1 dV
=
= V0
α=
V dT
V
V
T0b
µ
T
T0
¶b
b
b
=
T
T
(41)
Durch Multiplikation mit dT ergibt sich die folgende Beziehung zwischen differentiellen Änderungen dV
und dT :
b
dV
= dT
(42)
αdT =
V
T
Die Arbeit ist wie üblich als Integral über −pdV definiert. Unter Verwendung der Zustandgleichung und
der Beziehung zwischen dV und dT für die spezielle Prozessführung erhält man
∆W
= −
= −
= −
= −
Z
V2
V1
Z V2
V1
Z T2
T1
Z T2
dV p
(43)
dV
N kB T
V
(44)
dT
b
N kB T
T
dT bN kB
(46)
T1
= −bN kB (T2 − T1 )
4
(45)
(47)