Lösungen für das 7. Aufgabenblatt

Chr.Nelius: Graphentheorie (WS 2016/17) , 7.Aufgabenblatt (Lösungen)
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23. Aufgabe: a) Zeichne den vollständig bipartiten Graphen K3,6 . Stelle die Gradfolge von
K3,6 auf und bestimme damit die Kantenzahl von K3,6 .
(4)
w
U
V
Der Graph K3,6 besitzt drei Ecken vom Grade 6 und sechs Ecken vom Grade 3 , so dass K3,6
die Gradfolge
Γ(K3,6 ) = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6)
hat. Mit (1.10) folgt 2 · |K(K3,6)| = 6 · 3 + 3 · 6 = 36 , d.h. K3,6 hat 18 Kanten.
b) Begründe, dass K3,6 zusammenhängend ist.
Die Ecke w ∈ U ist mit allen Ecken aus V durch eine Kante (also einen Weg der Länge 1) verbunden und mit den anderen Ecken aus U durch einen Weg der Länge 2 (farbig eingezeichnet).
Damit folgt für die Zusammenhangskomponente von w
Z(w) = E(K3,6 ) .
Da es nur eine Zusammenhangskomponente gibt, ist K3,6 zusammenhängend (4.13).
c) Sei G ein bipartiter Graph mit der Bipartition (U, V ) . Von der Ecke u ∈ U gebe es einen
ungeraden Weg zu einer anderen Ecke x ∈ E(G) . Gehört x zu U oder zu V ?
Da E(G) die disjunkte Vereinigung von U und V ist, gilt entweder x ∈ U oder x ∈ V .
Annahme: x ∈ U . Dann hat jeder Kantenzug zwischen u und x nach (6.6a) eine gerade
Länge im Widerspruch dazu, dass es nach Vor. einen ungeraden Weg zwischen u und x gibt.
(Ein Weg ist ja ein spezieller Kantenzug!) Folglich x ∈ V .
24. Aufgabe: Beantworte die folgenden Fragen (natürlich mit Begründung). Die Ergebnisse
(6.8) und (6.9) dürfen für diese Aufgabe nicht benutzt werden.
(5)
a) Für welche Zahlen n ∈
N ist der Weg–Graph P
n
bipartit und für welche nicht?
Für n = 1 ist P1 nicht bipartit, da ein bipartiter Graph nach (6.3a) mindestens 2 Ecken haben
muss.
Für alle n ≥ 2 ist Pn nach (6.4) bipartit, da Pn keine Schlingen enthält und es eine 2–EF gibt
(färbe die Ecken abwechselnd mit 2 Farben).
Bemerkungen: 1) 2–EF bedeutet, dass es eine Färbung der Ecken mit zwei verschiedenen
Farben gibt, so dass adjazente Ecken immer unterschiedlich gefärbt sind.
2) Ohne die Einschränkung in der Aufgabenstellung lässt sich mit (6.9) viel einfacher beweisen,
dass Pn für n ≥ 2 bipartit ist: Ein Weg–Graph ist ja ein Baum–Graph.
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b) Für welche Zahlen n ∈
N ist der Kreis–Graph C
n
bipartit und für welche nicht?
Für n = 1 besteht C1 nur aus einer Ecke (mit einer Schlinge) ist also nicht bipartit (6.3a).
Ist n ≥ 3 ungerade, so enthält Cn einen ungeraden Kreis (nämlich Cn selbst) und kann daher
nach (6.6c) nicht bipartit sein.
Für gerades n lassen sich die Ecken abwechselnd mit zwei Farben färben, so dass adjazente
Ecken unterschiedlich gefärbt sind. Da Cn keine Schlingen enthält, ist Cn nach (6.4) bipartit.
Bemerkung: Ohne die Einschränkung in der Aufgabenstellung lässt sich mit (6.8) viel einfacher beweisen, dass Cn für gerades n bipartit ist: Cn besitzt einen einzigen Kreis, nämlich
Cn selbst. Folglich gibt es in Cn keine ungeraden Kreise, und Cn ist nach (6.8) bipartit.
c) Für welche Zahlen n ∈
N ist der vollständige Graph K
n
bipartit und für welche nicht?
K1 ist nicht bipartit (nur eine Ecke).
K2 = P2 ist nach a) bipartit.
Für alle n ≥ 3 ist Kn nicht bipartit. Wählt man 3 beliebige Ecken u, v, w von Kn , so ist
der induzierte Untergraph mit dieser Eckenmenge ein Dreieck, also besitzt Kn einen ungeraden
Kreis und ist daher nach (6.6c) nicht bipartit.
25. Aufgabe: Zeichne einen aufspannenden Baum T von G in ein Bild von G. T soll eine
Ecke vom Grade 3 und eine Ecke vom Grade 5 haben. Wieviel Kanten von G müssen gelöscht
werden, um T zu erhalten? Hinweis: Kanten dürfen nicht gezählt werden!
(2)
v1
v2
v8
v3
v9
v7
v4
v6
v5
Der rot eingezeichnete Untergraph T von G ist aufspannend, zusammenhängend und besitzt
keine Kreise, ist also ein aufspannender Baum von G . Außerdem gilt deg(v5 ) = 5 und
deg(v9 ) = 3 . G hat 9 Ecken und die Gradfolge Γ(G) = (4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5) . Die
Summe der Grade aller Ecken ist also 40 , so dass G nach (1.10) 20 Kanten hat. Da der Baum
T nach (5.5) 9 − 1 = 8 Kanten hat, mussten 20 − 8 = 12 Kanten gelöscht werden (man kann
auch mit (5.11) argumentieren).
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26. Aufgabe: a) Untersuche, ob der Graph G bipartit ist. Wenn ja, gib eine Bipartition
(U, V ) explizit an. Dabei sei U die Teilmenge von E(G) , für die v1 ∈ U gilt.
Der Graph besitzt keine Schlingen, und es gibt eine 2–EF, wie das folgende Bild zeigt:
v1
v2
v3
v8
v9
v4
v7
v6
v5
Nach (6.4) ist G bipartit. Sei U die Menge der rot gefärbten Ecken und V die Menge der grün
gefärbten Ecken:
U := {v1 , v3 , v5 , v7 } , V := {v2 , v4 , v6 , v8 , v9 } .
Aus dem Beweis von (6.4) ”b) =⇒ a)” geht dann hervor, dass (U, V ) eine Bipartition von G
ist.
b) Kann es in G einen Kreis geben, der durch alle Ecken von G verläuft?
NEIN Annahme: es gibt in G einen Kreis, der durch alle Ecken verläuft. Dieser hat dann
die Länge 9 (s. (3.7e)). Wid! Denn nach (6.6c) gibt es in einem bipartiten Graphen keine
ungeraden Kreise.
c) Welcher uns ”bekannte” Graph ist G ?
G ist ein schlichter bipartiter Graph, in dem jede Ecke aus U (rot gefärbt) adjazent zu jeder
Ecke aus V (grün gefärbt). Nach Definition (6.1b/c) ist G der vollständig bipartite Graph
K4,5 ; denn U hat 4 Elemente und V hat 5 Elemente.
d) Untersuche, ob G den Graphen K3,3 als Untergraphen enthält. Wenn ja, zeichne ihn in
ein Bild von G .
JA Der induzierte Untergraph W von G, der die
Ecken v1 , v2 , v3 , v9 , v7 , v8 hat, ist nach (6.4) bipartit, da er keine Schlingen hat und eine 2–EF
besitzt. ({v1 , v3 , v7 }, {v2 , v8 , v9 }) ist eine Bipartition von W , bei der beide Teilmengen 3 Elemente haben. W ist schlicht, und jede rot gefärbte
Ecke von W ist zu jeder grün gefärbten Ecke von
W adjazent, d.h. W ist der vollständig bipartite
Graph K3,3 .
v1
v2
v3
v8
v9
v4
v7
v6
v5