Slides aus Vorlesung 09

Lineare Algebra I
- 9.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
Korrektur:
2. Klausurtermin: 09.02.2017
Aus der letzten Vorlesung:
• Linearkombination von Vektoren
w = k1 · v 1 + . . . + kn · v n
V Vektorraum über einem Körper K
vi 2 V
ki 2 K
Endliche Summen!
• lineare Hülle
L(S) Vektorraum aller Linearkombinationen von Vektoren in S ✓ V
L(S) ist der kleinste Unterraum, der S enthält!
• Erzeugendensystem S
S ✓ V sodass L(S) = V
• lineare Unabhängigkeit
v ist l.u. von S , v 2
/ L(S)
S ist l.u. , v ist l.u. von S \ {v} 8 v 2 S
Ziel: minimales Erzeugendensystem - Basis
4.3. Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit, Basen
S, falls v 2 L(S). Anderenfalls ist vmlinear unabhängig
von S. Die Menge S heißt linear
n
Xängig von S \ {v}.
unabhängig, falls für alle v 2 S gilt:X
v ist0 linear
unabh
0
kj v j = w =
ki v i ,
j=1
i=1
Beispiel 4.16.
(1) nicht
Für vPermutationen
2 V ist {v} linear
unabhängig
genau
dann wenn
v 6= 0.disjunkte v̂i 2 S, so dass
die
voneinander
sind.
Definiere
paarweise
Lineare
Unabhängigkeit
0 k v linear
0
(2)
F
ür
v
2
V
ist
abh
ängig
von
{v}. gilt
{v1 , . . . , vn } [ {v1 , . . . , vm } = {v̂1 , . . . , v̂k }. Dann
(3) Betrachte die Vektoren e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1) in R2 . Dann ist S = {e1 , e2 } linear
m
n
k
unabhängig. Aber e1 e2 = X
(1,
1) ist X
linear
abhängig
von S.
X
0 0
0=
kj v j
ki v i =
k̂l v̂l .
Lemma 4.17. Sei S ✓ V eine Teilmenge.
Dann
folgenden Aussagen äquivalent:
j=1
i=1 sind diel=1
(1) S ist linear unabhängig.
Da
keineverschiedene
Permutationen
dass zumindest
(2) die
Fürbeiden
alle n 2Darstellungen
N, alle paarweise
v1 , . . voneinander
. , vn 2 S, undsind,
alle kgilt
1 , . . . , kn 2 K gilt
einige der Summanden von Null verschieden sind. Also gilt (2) nicht. Gilt andererseits
(2)
P
n
nicht, so gibt es nX
> 1 paarweise verschiedene vi 2 S und ki 2 K, so dass ni=1 ki vi = 0,
vi =Null
k1 v1verschieden
+ . . . + knsein
vn =muß.
0 )Wähle
k1 =oBdA
. . . = kkn1 6=
= 0.
0 . Dann gilt
wobei mindesten ein kkii von
i=1
n
X
Pn
(3) Für jedes 0 6= w 2 L(S) ist
diew Darstellung
ki vi , vi 2 S, ki 2 K bis auf
0 6=
:= k1 v1 = w = ki vi=1
i.P
m
0 0
0
0
i=2 w =
Vertauschung der Reihenfolge eindeutig. D.h. falls
i=1 ki vi für vi 2 S, ki 2 K,
so gilt m = n und vi0 = v (i) , ki0 = k (i) für ein 2 Sn .
w hat also zwei unterschiedliche (d.h. nicht durch Permutationen ineinander überführbare)
Darstellungen als Linearkombinationen der vi . Also gilt (3) nicht. Dies zeigt (2),(3).
Proposition 4.18. Sei S ✓ V linear unabhängig, und 0 6= v 62 L(S). Dann ist S 0 := S [ {v}
auch linear unabhängig.
Beweis. Anderenfalls P
gäbe es k, ki 2 K, die nicht alle Null sind, und vi 2 S (paarweise
verschieden) mit k v + ni=1 ki vi = 0. Falls k = 0, so folgt
Pnauskider linearen Unabhängigkeit
von S, dass ki = 0 für alle i. Also k 6= 0, und daher v = i=1 k vi . Das bedeutet aber, dass
v 2 L(S), .
Definition 4.19. Eine Teilmenge S ✓ V nennt man Basis von V , wenn S ein linear
4.3.von
Erzeugendensysteme,
lineare Unabhängigkeit, Basen
unabhängiges Erzeugendensystem
V ist.
Darstellungen als Linearkombinationen der vi . Also gilt (3) nicht. Dies zeigt (2),(3).
Proposition 4.18. Sei S ✓ V linear unabhängig, und 0 6= v 62 L(S). Dann ist S 0 := S [ {v}
auch linear unabhängig.
Proposition 4.18. Sei S ✓ V linear unabhängig, und 0 6= v 62 L(S). Dann ist S 0 := S [ {v}
auch
linearAnderenfalls
unabhängig.gäbe es k, ki 2 K, die nicht alle Null sind, und vi 2 S (paarweise
Beweis.
Pn
verschieden) mit k v + i=1 ki vi = 0. Falls k = 0, so folgt
aus der linearen Unabhängigkeit
P
Basis
n sind,
Beweis.
Anderenfalls
gäbei.es
k, kki 6=
2 0,
K,und
die daher
nicht valle
und vi 2 S (paarweise
ki
von S, dass
ki = 0 für P
alle
Also
= Null
n
i=1 k vi . Das bedeutet aber, dass
verschieden)
v 2 L(S), . mit k v + i=1 ki vi = 0. Falls k = 0, so folgt
Pnauskider linearen Unabhängigkeit
von S, dass ki = 0 für alle i. Also k 6= 0, und daher v = i=1 k vi . Das bedeutet aber, dass
v 2 L(S), .
Definition 4.19. Eine Teilmenge S ✓ V nennt man Basis von V , wenn S ein linear
unabhängiges Erzeugendensystem von V ist.
Definition 4.19. Eine Teilmenge S ✓ V nennt man Basis von V , wenn S ein linear
unabh
ängiges Erzeugendensystem
vongenau
V ist. dann wenn sich jedes Element v 2 V eindeutig
Proposition
4.20. S ✓ V ist Basis
P
(bis auf Permutationen) schreiben läßt als v = ni=1 ki vi , wobei vi 2 V paarweise verschieden
Proposition 4.20. S ✓ V ist Basis genau dann
Pn wenn sich jedes Element v 2 V eindeutig
sind, und ki 2 K.
(bis auf Permutationen) schreiben läßt als v = i=1 ki vi , wobei vi 2 S paarweise verschieden
sind, und ki 2 K.
4.3. Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit, Basen
Zusammenfassung:
• Linearkombination von Vektoren
w = k1 · v 1 + . . . + kn · v n
V Vektorraum über einem Körper K
vi 2 V
ki 2 K
• lineare Hülle
L(S) Vektorraum aller Linearkombinationen von Vektoren in S ✓ V
L(S) ist der kleinste Unterraum, der S enthält!
• Erzeugendensystem S
S ✓ V sodass L(S) = V
• lineare Unabhängigkeit
v ist l.u. von S , v 2
/ L(S)
S ist l.u. , v ist l.u. von S \ {v} 8 v 2 S
• Basis
l.u. Erzeugendensystem
Jeder Vektor kann eindeutig als
Linearkombination von Basisvektoren
dargestellt werden.
4.3. Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit, Basen
unabhängig,
Beweis.
Sei denn
M die Menge aller Teilmengen von S, die V erzeugen:
n
X
M besteht aus endlichen Mengen
und
ist ✓nicht
leer) (S
2} M
). Sei B 2 M die Teilmenge,
M
:=
{U
S
|
L(U
=
V
.
L(B \ {eAnzahl
= |B|
{(k1
, . .|U
. ,|kfnür
) | alle
ki 2UK2, M
kj .=Dann
0} 63 ist
ej .B linear
j }) = {von k
i ei | ki 2 K}
mit der kleinsten
Elementen,
d.h.
i=1
unabh
ängig
und
insbesondere
i6=j eine Basis von V . Wäre dem nicht so, gäbe es ein b 2 B mit
M besteht aus endlichen Mengen
und ist nicht leer (S 2 M ). Sei B 2 M die Teilmenge,
0
Endlich
erzeugte
haben eine Basis:
bmit
2 L(B
\ {b}), und
B := von
B \ Elementen,
{b} 2 M ,Vektorräume
denn
der kleinsten
Anzahl
d.h. |B|  |U | für alle U 2 M . Dann ist B linear
unabhängig und insbesondere
eine Basis
von V . Wäre dem nicht so, gäbe es ein b 2 B mit
0
0
L(B
)
=
L(L(B
))
(Bemerkung 4.13)
b 2 L(B \ {b}), und B 0 := B \ {b} 2 M0 , denn
= L(L(B ) [ {b})
(b 2 L(B 0 ))
Lemma 4.22. Sei S eine
endliche
Teilmenge
eines(L(B
Vektorraumes
V , die V erzeugt. Dann
0
0
0V
◆
L(B)
=
)
[
{b}
◆
B)
L(B
= die
L(L(B
4.13)
gibt es eine Teilmenge
B )✓ S,
eine 0 ))
Basis von V (Bemerkung
ist.
0
=
L(L(B
)
[
{b})
(b
2
L(B
))0
0
Also erzeugt B auch V und ◆
ist damit =
Element
von M
, , 0da[|B
V von
{b}| <
◆ |B|.
B)
Beweis. Sei M die Menge allerL(B)
Teilmengen
S, (L(B
die V )erzeugen:
!
Also erzeugt B 0 auch V und ist damit
Element
von )M=, V ,}da
|B 0 | < |B|.
M
:=
{U
✓
S
|
L(U
.
Bemerkung 4.23. Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man Lemma 4.22 auch für nichtendliche S führen. Insbesondere hat jeder Vektorraum eine Basis.
M besteht aus endlichen Mengen und ist nicht leer (S 2 M ). Sei B 2 M die Teilmenge,
Bemerkung
4.23.
Mit Hilfe
des Auswahlaxioms
kann
man
Lemma
4.22
auchistfürB nichtmit
der
kleinsten
Anzahl
von
Elementen,
d.h.
|B|

|U
|
f
ür
alle
U
2
M
.
Dann
linear
Korollar 4.24. Jeder Vektorraum der ein endliches Erzeugendensystem besitzt hat auch
endliche
S
f
ühren.
Insbesondere
hat
jeder
Vektorraum
eine
Basis.
unabh
ängig und
insbesondere eine Basis von V . Wäre dem nicht so, gäbe es ein b 2 B mit
eine
endliche
Basis.
0
bKorollar
2 L(B \ {b}),
und
B
:= B \ {b} 2der
M , ein
denn
4.24. Jeder Vektorraum
endliches Erzeugendensystem besitzt hat auch
eine endliche Basis.
L(B 0 ) = L(L(B 0 ))
(Bemerkung 4.13)
4 Vektorräume
31
= L(L(B 0 ) [ {b})
(b 2 L(B 0 ))
◆ L(B) = V
(L(B 0 ) [ {b} ◆ B)
Definition 4.25. Man nennt einen Vektorraum endlich-dimensional, wenn er eine endliche
besitzt.
AlsoBasis
erzeugt
B 0 auch V und ist damit Element von M , , da |B 0 | < |B|.
Satz 4.26 (Austauschsatz von Steinitz). Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. T ✓ V
eine
endliche Teilmenge,
erzeugt,
und S ✓ Vkann
eine man
linearLemma
unabhängige
Menge.
Dann
Bemerkung
4.23. Mit die
HilfeV des
Auswahlaxioms
4.22 auch
für nichtgilt
endliche S führen. Insbesondere hat jeder Vektorraum eine Basis.
(1) |S|  |T |
Korollar
4.24.
Jeder
der von
ein T
endliches
Erzeugendensystem
besitzt
(2) S kann
durch
|T | Vektorraum
|S| Elemente
zu einem
Erzeugendensystem
von Vhat
ergauch
änzt
eine endliche
werden. Basis.
!
4.3. Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit, Basen
4 Vektorr
Linearäume
unabhängige Mengen können zu Erzeugendensystemen ergänzt werden
31
Definition 4.25. Man nennt einen Vektorraum endlich-dimensional, wenn er eine endliche Basis besitzt.
Satz 4.26 (Austauschsatz von Steinitz). Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. T ✓ V
eine endliche Teilmenge, die V erzeugt, und S ✓ V eine linear unabhängige Menge. Dann
gilt
(1) |S|  |T |
(2) S kann durch |T | |S| Elemente von T zu einem Erzeugendensystem von V ergänzt
werden.
linear unabhängige
Mengen
Beweis. Beweis durch vollständige
Induktion nach
|S|. können
Für |S| nicht
= 0, mehr
d.h. SElemente
= ; ist haben,
die
als zum
vongilt
V nötig
sindMengen mit weniger als |S|
Behauptung trivial. Angenommen
die Erzeugen
Behauptung
für alle
Elementen. Sei b 2 S, und S 0 := S \ {b}. S 0 ist linear unabhängig. Sei n := |T | |S 0 |. Dann
0 ergänzt werden
können
Erzeugendensystemen
ist nach (1) n
0 und es gibtsienach
(2) tzu
, . . . , tn } V erzeugt.
1 , . . . , tn 2 T , sodass S [ {t1P
Insbesondere gibt es ein w 2 L(S 0 ) und k1 , . . . , kn 2 K mit b = w + ni=1 ki ti . Falls nun
n = 0, so ist b 2 L(S 0 ), zur linearen Unabhängigkeit von S. Also ist n 1, und es folgt
(1) für S. Aus dem gleichen Grund muß mindestens eines der ki ungleich Null sein, oBdA,
kn 6= 0. Es gilt
n 1
X
1
ki
tn = (b w)
ti 2 L(S [ {t1 , . . . , tn 1 }) ,
kn
k
i=1 n
und V wird durch S [ {t1 , . . . , tn 1 } erzeugt. Damit ist (2) für S gezeigt.
Korollar 4.27. Zwei Basen eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V haben die gleiche
4.3. Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit, Basen
Anzahl von Elementen.
(b linearen
w)
tiängigkeit
2 L(S [ {t
. . , Also
tn 1 })ist, n 1, und es folgt
1 , . S.
n = 0, so ist b 2 L(Stn0 ),= kzur
Unabh
von
kn
n
i=1 mindestens
(1) für S. Aus dem gleichen Grund muß
eines der ki ungleich Null sein, oBdA,
kund
0. wird
Es gilt
durch S [ {t1 , . . . , tn 1 } erzeugt. Damit ist (2) für S gezeigt.
n 6= V
n 1
X
1
ki
tn = (b w)
ti 2 L(S [ {t1 , . . . , tn 1 }) ,
k
k
n
i=1 n
Korollar 4.27. Zwei Basen
eines endlich-dimensionalen
Vektorraumes V haben die gleiche
Alle Basen sind gleich groß - Dimension
Anzahl
von durch
Elementen.
und
V wird
S [ {t1 , . . . , tn 1 } erzeugt. Damit ist (2) für S gezeigt.
Beweis. Da V endlich-dimensional ist, gibt es eine endliche Basis S ✓ V . Sei B eine andere
Basis, so folgt
SatzBasen
4.26, eines
dass |B|
 |S| gilt. Wenn man
nun die Rollen
von Bdie
und
S in
Korollar
4.27.aus
Zwei
endlich-dimensionalen
Vektorraumes
V haben
gleiche
dem Satz
folgt aber auch |B| |S|.
Anzahl
vonvertauscht
Elementen.
Beweis. Da V endlich-dimensional ist, gibt es eine endliche Basis S ✓ V . Sei B eine andere
Definition
4.28.
Die Anzahl
der |B|
Elemente
einerWenn
Basis man
einesnun
endlich-dimensionalen
VektorBasis,
so folgt
aus Satz
4.26, dass
 |S| gilt.
die Rollen von B und
S in
raums
V wird
Dimension
von auch
V genannt.
Man schreibt dim(V ).
dem
Satz
vertauscht
folgt aber
|B| |S|.
Korollar 4.29. Sei V endlich-dimensionaler K-Vektorraum, S ✓ V eine linear unabhängige
Teilmenge, und
T Die
✓ V Anzahl
ein endliches
Erzeugendensystem
von V
. Dann gilt:
Definition
4.28.
der Elemente
einer Basis eines
endlich-dimensionalen
Vektor(1) |S|
 dim(V
)
raums
V wird
Dimension
von V genannt. Man schreibt dim(V ).
(2) S ist Basis genau dann wenn |S| = dim(V ).
Korollar
Sei) V endlich-dimensionaler K-Vektorraum, S ✓ V eine linear unabhängige
(3) |T | 4.29.
dim(V
Teilmenge,
✓ V ein
endliches
von V . Dann gilt:
(4) T ist und
BasisT genau
dann
wenn |TErzeugendensystem
| = dim(V ).
(1)
 linear
dim(Vunabh
)
(5) |S|
Jede
ängige Teilmenge S ✓ V kann zu einer Basis ergänzt werden.
(2) S ist Basis genau dann wenn |S| = dim(V ).
(3) |T | (1)
dim(V
Beweis.
V ist) endlich-dimensional hat also eine Basis B. Satz 4.26 impliziert |S| 
(4)=Tdim(V
ist Basis
|B|
). genau dann wenn |T | = dim(V ).
(5)Nach
JedeSatz
linear4.26
unabh
ängige
Teilmenge
S ✓ Vvon
kann
einer
ergänzt zu
werden.
(2)
kann
S durch
Ergänzung
|B| zu |S|
= Basis
0 Elementen
einer Basis
Beweis. (1) V ist endlich-dimensional hat also eine Basis B. Satz 4.26 impliziert |S| 
|B| = dim(V ).
(2) Nach Satz 4.26 kann S durch Ergänzung von |B| |S| = 0 Elementen zu einer Basis
4.3. Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit, Basen