Stand 29.01.10

Vorlesung
von Prof. Dr. rer. nat. habil. Stefan Siegmund
und Dr. rer. nat. habil. Norbert Koksch
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
WS 2009/2010
(Modul WW-BA-01)
Dresden, 30. Juni 2010
Literaturverzeichnis
[1] Sydsaeter, K. und Hammond P.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler – Basiswissen mit Praxisbezug. Pearson Studium, München, 3. Auﬂage 2009
[2] Böker, F.: Formelsammlung für Wirtschaftswissenschaftler. Pearson Studium, München, 1. Auﬂage 2009
[3] Luderer, B. und Würker, U.: Einstieg in die Wirtschaftsmathematik. Vieweg+Teubner,
Leipzig, 7. Auﬂage 2009
[4] Luderer, B. und Würker, U.: Arbeits- und Übungsbuch Wirtschaftsmathematik. Vieweg+Teubner, Leipzig, 3. Auﬂage 2008
[5] Luderer, B.: Klausurtraining - Mathematik und Statistik für Wirtschaftswissenschaftler.
Vieweg+Teubner, Leipzig, 6. Auﬂage 2008
[6] Luderer, B.; Nollau, V. und Vetters, K: Mathematische Formeln für Wirtschaftswissenschaftler. Vieweg+Teubner, Leipzig, 5. Auﬂage 2008
[7] Karmann, A.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, München – Wien, 6. Auﬂage 2008.
[8] Schmidt, K. D.: Mathematik – Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. Springer,
Berlin–Heidelberg–New York, 2. Auﬂage 2000.
[9] Schmidt, K. D.; Macht, W.; Hess, K. Th.: Arbeitsbuch Mathematik. Berlin–Heidelberg–New York: Springer 2. Auﬂage 2005.
[10] Nollau, V.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Teubner, Stuttgart - Leipzig, 4.
Auﬂage 2003.
[11] Opitz, O.: Mathematik – Lehrbuch für Ökonomen. Oldenbourg, München - Wien, 9.
Auﬂage 2004.
3
Literaturverzeichnis
4
1 Mengen und Funktionen
1.1 Grundlagen
1.1.1 Logik
Eine Aussage p ist ein sinnvolles sprachliches Gebilde, das die Eigenschaft hat, entweder
wahr oder falsch zu sein. Man nennt „wahr“ bzw. „falsch“ den Wahrheitswert der Aussage
p. Die Wahrheitswerte werden mit w (wahr) bzw. f (falsch) bezeichnet.
Beispiel 1.1. 1) „5 ist eine Primzahl.“ (Aussage, wahr)
2) „3 ist Teiler von 7.“ (Aussage, falsch)
3) „Daniel ist krank.“ (keine Aussage, Daniel ist nicht festgelegt.)
4) „a2 + b2 = c2 “ (keine Aussage, was sind a, b, c?)
Die letzten beiden Beispiele sind keine Aussagen, aber Aussageformen, die einen Wahrheitswert erhalten durch Belegung der Aussagevariablen Daniel, a, b, c.
Sind p und q Aussagen, so lassen sich durch sprachliche Verbindung neue Aussagen gewinnen:
Neue Aussage
„nicht p“
„p und q“
„p oder q“ (im Sinne von „oder
auch“)
„wenn p so q“, „aus p folgt q“, „p
ist hinreichend für q“, „p impliziert
q“, „q ergibt sich aus p“
„p genau dann, wenn q“, „p gilt
dann und nur dann, wenn q“, „p ist
äquivalent zu q“
Symbol
¬p
p∧q
p∨q
Name
Negation
Konjunktion
Disjunktion
p⇒q
Implikation
p⇔q
Äquivalenz
Die Wahrheitswerte sind wie folgt deﬁniert:
p
w
f
¬p
f
w
und
p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
p∧q
w
f
f
f
p∨q
w
w
w
f
p⇒q
w
f
w
w
p⇔q
w
f
f
w
5
1 Mengen und Funktionen
Elementarausdrücke sind die Konstanten w und f . Durch Zusammensetzen lassen sich nach
bestimmten Regeln weitere aussagenlogische Ausdrücke bilden.
1.1.2 Äquivalenz von aussagenlogischen Ausdrücken
Zwei Ausdrücke p, q heißen äquivalent bzw. werteverlaufsgleich (in Zeichen p = q),
wenn für jede Belegung der Variablen sich jeweils die gleichen Wahrheitswerte ergeben.
Kommutativgesetz :
Assoziativgesetz :
p∧q = q∧p,
(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r) ,
p∨q = q∨p.
(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r) .
Distributivgesetz :
(p ∧ q) ∨ r = (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) ,
(p ∨ q) ∧ r = (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) .
Konjunktion und Disjunktion verhalten sich also formal so wie Multiplikation und Addition
in den natürlichen Zahlen.
Ersetzung der Implikation und Äquivalenz:
p ⇒ q = p ∨ q , p ⇔ q = (p ∨ q) ∧ (q ∨ p) .
de Morgansche Regeln:
p∧q = p∨q,
p∨q = p∧q.
1.1.3 Prädikative Ausdrücke, Quantifikatoren
Die in der Mathematik verwendeten Aussagen sind Aussagen über die Eigenschaften der
betrachteten Objekte: „3 ist eine Primzahl“, „7 ist Teiler von 343“. „ist Teiler von 343“ ist
ein einstuﬁges Prädikat, „ist Teiler von“ ein zweistuﬁges Prädikat.
Ist P z.B. ein einstuﬁges Prädikat und ist x eine Variable, so ist xP ein (nullstuﬁger)
prädikativer Ausdruck.
xP wird auch als „x : P “ geschrieben uns als „x mit (der Eigenschaft) P “ gesprochen.
Beispiel 1.2. „x > 3“ oder „x ist größer als 3“: Variable x, Prädikat P = „ist größer als 3“
„7|5“ oder „7 ist Teiler von 5“: Variable (Konstante) 7, Prädikat P = „ist Teiler von 5“
Die genannten Möglichkeiten zur Bildung neuer Aussageformen aus gegebenen reichen noch
nicht aus, um z.B. die Aussage „Die Gleichung x + 3 = 8 besitzt eine Lösung“ zu bilden.
Man betrachtet daher noch Quantiﬁkatoren. Hier die beiden wichtigsten:
6
1.1 Grundlagen
All-Quantor:
Existenz-Quantor:
^
_
oder ∀ (für jedes . . .) ,
oder ∃ (es gibt ein . . .) .
Bilden wir nun das einstuﬁge Prädikat P = „ist Lösung von x+3 = 8“, so können wir obiges
Problem als ∃xP schreiben (zu lesen: „es existiert ein x mit der Eigenschaft P ), oder in der
mathematische Umgangssprache
∃x (x + 3 = 8) .
Die Aussage
∀x (x2 ≥ 0)
mit der Bedeutung „Für jedes x gilt x2 ≥ 0“ ist falsch (z.B. für x = i), wenn wir uns nicht
auf spezielle x beschränken. Wahr wäre hingegen
∀x (x ∈ R ⇒ x2 ≥ 0) ,
wobei hier schon die Elementschreibweise aus der Mengenlehre verwendet wird.
Um solche Ausdrücke kürzer schreiben zu können, deﬁnieren wir restringierte Quantiﬁkatoren durch
∀x ∈ M P (x) := ∀x (x ∈ M ⇒ P (x)) ,
∃x ∈ M P (x) := ∃x (x ∈ M ∧ P (x)) .
Häuﬁg muss man Negationen von Quantiﬁkatoren bilden. Es gelten folgende Äquivalenzen:
∃xP = ∀xP ,
∀xP = ∃xP .
Manchmal wollen wir auch die Existenz genau eines bzw. höchstens eines Individuums beschreiben. Dazu nutzen wir ∃=1 bzw. ∃≤1 . Analog ist die Bildung weiterer Quantiﬁkatoren.
Bemerke:
∃ = ∃≥1 .
1.1.4 Mengen
Eine exakte Deﬁnition ist hier noch nicht möglich, daher die von Georg Cantor:
Definition 1.3. Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die
»Elemente« von M genannt werden) zu einem Ganzen.
7
1 Mengen und Funktionen
Eine Menge kann endlich oder unendlich viele Elemente enthalten.
Mengen mit endlich vielen Elementen lassen sich durch die Angabe aller ihrer Elemente
beschreiben, zum Beispiel
A = {1, 2, 3},
B = {2, 4, 6, 8} .
Die Reihenfolge der Elemente ist bei dieser Schreibweise nicht relevant.
Normalerweise werden Mengen anhand ihrer Eigenschaften beschrieben, zum Beispiel
B = {0, 2, 4, 6, 8} = {n | n ist eine gerade natürliche Zahl mit n < 10} .
(1.1)
Mit dem Symbol N bzw. R bezeichnet man die Menge der natürlichen Zahlen bzw. die der
Menge der reellen Zahlen.
Ist A eine Menge und x ein Element dieser Menge, so drückt man dies mit der Schreibweise
x∈A
aus.
Beispiel 1.4. Für die Menge B in (1.1) gilt
4∈B.
Beispiel 1.5. Für die Menge
C := {n | es gilt n ∈ N und es gibt ein k ∈ N mit n = k 2 }
:= {n ∈ N | es gibt ein k ∈ N mit n = k 2 }
(1.2)
gelten 9 ∈ C und 36 ∈ C.
Der Ausdruck „x ∈ A“ ist eine logische Aussageform, welche durch Festlegung von x und A
zu einer logischen Aussage wird.
Die Negation dieser Aussageform ist, dass x kein Element von A ist.
Hierfür schreiben wir kurz
x∈
/ A.
Beispiel 1.6. Es gilt 8 6∈ C für die Menge C aus (1.2).
8
1.1 Grundlagen
1.1.5 Teilmengen
Definition 1.7. Die Menge A heißt Teilmenge der Menge B, geschrieben A ⊆ B, wenn
jedes Element von A auch Element von B ist,
A⊆B
∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) .
:⇐⇒
Gilt neben A ⊆ B auch A 6= B, dann heißt A echte Teilmenge von B und man schreibt
A ⊂ B.
Bemerkung 1.8. 1. Man unterscheide zwischen „enthalten (als Element) in“ und „enthalten
(als Teilmenge) in“ und verwende besser „ist Element von“ bzw. „ist Teilmenge von“.
2. Ist A keine Teilmenge von B so schreibt man A 6⊆ B.
Beispiel 1.9. Es seien A = {1, 2, 3, 4, C}, B = {1, 2}, C = {∅, 2, 5}. Dann gelten
B ⊂A,
C 6⊆ A ,
C ∈A,
A 6⊆ C ,
∅⊂A,
∅ 6∈ A ,
∅⊂C,
∅∈C.
Definition 1.10. Zwei Mengen A und B heißen gleich (oder identisch),
A=B,
wenn sie die gleichen Elemente besitzen.
Satz 1.11. Es gilt A = B genau dann, wenn sowohl A ⊆ B als auch B ⊆ A gelten,
A=B
⇐⇒
A⊆B∧B ⊆A.
1.1.6 Leere Menge
Wir betrachten die Menge
L = {x | x 6= x}
(1.3)
aller der Objekte, die nicht gleich zu sich selber sind.
Angenommen, es gilt m ∈ L für irgendein Objekt m. Dann muss m 6= m für dieses Objekt
gelten, was aber stets falsch ist und daher einen Widerspruch darstellt. Die Menge L nach
(1.3) hat folglich keine Elemente, sie ist also leer.
Sei nun M eine weitere Menge, die keine Elemente hat. Es gilt
x∈L
=⇒
x∈M,
9
1 Mengen und Funktionen
da x ∈ L stets falsch ist und die Implikation =⇒ aus etwas Falschem stets etwas Wahres
ergibt. Daher gilt
L⊆M.
Andersherum folgt aber auch
M ⊆L.
Nach Satz 1.11 folgt L = M . Folglich gibt es genau eine Menge, welche keine Elemente hat.
Definition 1.12. Die Menge
heißt leere Menge.
∅ := {x | x 6= x}
Bemerkung 1.13. Für jede Menge B gilt
∅⊆B,
d. h., die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
1.1.7 Potenzmengen
Definition 1.14. Ist M eine Menge, so nennt man die Menge aller Teilmengen von M ,
P(M ) oder 2M ,
die Potenzmenge von M .
Beispiel 1.15. Für M = {1, 2, 3} gilt
P(M ) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} .
Bemerkung 1.16. In obigem Beispiel bemerken wir, dass M 3 Elemente hat, die Potenzmenge
P(M ) = 2M hat 23 = 8 Elemente. Dies ist ein Hinweis für die Bezeichnung 2M .
Bemerkung 1.17. Typischer Fehler bei der Bestimmung der Potenzmenge P(M ) einer Menge
M ist, dass die leere Menge ∅ und die gesamte Menge M als Teilmengen von M vergessen
werden. Es gilt stets
∅ ∈ P(M ), M ∈ P(M ) .
10
1.2 Mengenalgebra
1.2 Mengenalgebra
Wir betrachten nun gewissen Grundoperationen beim Arbeiten mit Mengen.
Definition 1.18. Die Vereinigung A ∪ B von A und B ist die Menge, die aus allen
Elementen von A und allen Elementen von B besteht,
A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} .
A
B
Beispiel 1.19. Es seien A = {2, 3, 4}, B = {1, 3}, C = {1, 5}. Dann gelten
A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ,
B ∪ C = {1, 3, 5} ,
A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5} .
Definition 1.20. Der Durchschnitt A ∩ B von A und B ist die Menge, die aus allen
Elementen besteht, die sowohl zu A als auch zu B gehören:
A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} .
A
B
Beispiel 1.21. Es seien A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C = {5}. Dann gelten
A ∩ B = {3, 4} ,
B ∩ C = {5} ,
A∩C =∅.
Definition 1.22. Die Diﬀerenz A \ B von A und B ist die Menge, die aus allen Elementen
von A besteht, die nicht Element von B sind:
A \ B := {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B} .
A
B
Beispiel 1.23. Es seien A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C = {5}. Dann gelten
A \ B = {1, 2} ,
A\C =A,
C \B =∅.
Definition 1.24. Die symmetrische Diﬀerenz A△B ist die Menge, aller der Elemente,
die entweder zu A oder zu B gehören,
A△B := {x | (x ∈ A ∧ x 6∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x 6∈ A)}
= (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) .
A
B
Beispiel 1.25. Es seien A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, C = {4, 5, 6}. Dann gelten
A△B = {1, 2, 4, 5} ,
A△C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,
B△C = {3, 6} .
Definition 1.26. Zwei Mengen heißen disjunkt oder durchschnittsfremd , wenn ihr
Durchschnitt die leere Menge ∅ ist.
11
1 Mengen und Funktionen
1.2.1 Komplement
Definition 1.27. Seien M und A Mengen mit A ⊆ M . Dann heißt CM A := M \ A Komplement von A bezüglich M .
Es gilt:
CM (CM A) = A ,
CM ∅ = M ,
CM M = ∅ .
Beispiel 1.28. Es seien M = {1, 2, 3, 4, 5}, N = {0, 1, 2, 3, . . .} und B = {0, 1, 2}. Dann
gelten
CM B = {3, 4, 5} , CN B = {n ∈ N | n ≥ 3} .
Bemerkung 1.29. Wenn M durch den Kontext fest gewählt ist, schreibt man auch
CA oder Ac
anstelle von CM A.
1.2.2 Regeln für das Rechnen mit Mengen
Für Mengen A, B, C, M gelten u.a. folgende Eigenschaften:
A∩B ⊆A⊆A∪B,
A∪∅=A,
A∩∅=∅,
A∪A=A∩A=A.
Kommutativgesetze:
A∩B =B∩A,
A∪B =B∪A.
Assoziativgesetze:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ,
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C .
Distributivgesetze:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ,
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) ,
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) .
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) .
Für A ⊆ M , B ⊆ M gelten die De Morgansche Regeln:
CM (A ∩ B) = CM A ∪ CM B ,
CM (A ∪ B) = CM A ∩ CM B .
Der Beweis dieser Eigenschaften erfolgt durch direktes Überprüfen der Teilmengenbeziehungen durch Umformung der Prädikate unter Verwendung der logischen Umformungsregeln,
12
1.2 Mengenalgebra
z. B.:
A ∪ B = {x : (x ∈ A ∨ x ∈ B)} = {x : (x ∈ B ∨ x ∈ A)} = B ∪ A .
1.2.3 Mengenfamilien
Die Vereinigung (bzw. der Durchschnitt) von je zwei (und damit endlich vielen) Mengen
lässt sich verallgemeinern:
Definition 1.30. Es sei I eine Indexmenge und (Ai )i∈I eine Familie von Teilmengen
von M . Dann deﬁnieren wir
[
\
Ai := {x ∈ M | ∃i ∈ I : x ∈ Ai } .
Ai := {x ∈ M | ∀i ∈ I : x ∈ Ai } ,
i∈I
i∈I
T
Die Menge
Mengen Ai .
i∈I
S
Ai heißt der Durchschnitt und die Menge
i∈I
Ai die Vereinigung der
Für Ai ⊆ M für i ∈ I und dem Komplementen bezüglich M gelten:
[
i∈I
Ai
c
=
\
Aci ,
i∈I
\
Ai )c =
[
Aci .
i∈I
i∈I
Beispiel 1.31. Es seien N = {0, 1, 2, . . .}, An := {k ∈ N : k ≥ n} = {n, n + 1, ...} für n ∈ N.
Dann gelten
A0 ⊇ A1 ⊇ A2 ⊇ ... ⊇ An
und daher
A0 ⊇ A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An =
\
Ai =:
i={0,1,...n}
n
\
Ai = An .
i=0
Weiter gelten
\
n∈N
An = ∅ ,
[
An = N .
n∈N
13
1 Mengen und Funktionen
1.3 Kartesisches Produkt und Relationen
Definition 1.32. Es seien X und Y Mengen. Dann heißt
(x, y)
mit x ∈ X und y ∈ Y ein geordnetes Paar aus X und Y (in dieser Reihenfolge). Die
Menge aller geordneten Paare
X × Y := {(x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }
von X und Y heißt kartesisches Produkt von X und Y .
Beispiel 1.33. Es seien X = {a, b}, Y = {1, 2, 3}. Dann gilt
X × Y = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} .
Man beachte, dass X, Y und X × Y hier 2, 3 bzw. 2 · 3 = 6 Elemente besitzen.
Definition 1.34. Ähnlich deﬁniert man das kartesische Produkt von endlich vielen Mengen X1 , X2 , . . . , Xn durch
X1 × X2 × · · · × Xn =
n
Y
i=1
Xi := {(x1 , x2 , ..., xn ) | xi ∈ Xi für 1 ≤ i ≤ n} .
Stimmen die Mengen Xi überein, d. h. gilt Xi = X für i = 1, ..., n, so schreibt man
X n :=
n
Y
Xi .
i=1
Beispiel 1.35. Es seien X = X1 = X2 = X3 = {a, b}. Dann gilt
X 3 = {a, b}3 = {(a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b)} .
Definition 1.36. Es seien X, Y Mengen. Eine Teilmenge r von X × Y heißt Relation
zwischen X und Y .
Bemerkung 1.37. „Relation“ heißt „Beziehung“. Eine Relation zwischen X und Y gibt also
eine Beziehung zwischen Elementen von X und Elementen von Y an.
Bemerkung 1.38. Häuﬁg betrachtete Relationen sind Ordnungsrelationen, Äquivalenzrelationen und Abbildungen (Funktionen).
14
1.4 Abbildungen und Funktionen
Bemerkung 1.39. Es gibt viele Möglichkeiten, Relationen zu notieren, zum Beispiel:
• Nennen aller Paare in der Relation in Mengenschreibweise,
16.10.09
• Nennen aller Paare in der Relation in tabellarischer Schreibweise,
• Kennzeichnen aller Paare in der Relation durch Punkte in einem Koordinatensystem.
1.4 Abbildungen und Funktionen
1.4.1 Abbildungsbegriff
Wir beginnen mit Begriﬀen zu Relationen, welche insbesondere für Abbildungen und Funktionen wichtig sind.
Definition 1.40. Eine Relation r ⊆ X × Y heißt rechtseindeutig , wenn zu jedem x ∈ X
höchstens ein y ∈ Y mit (x, y) ∈ r gehört,
∀x ∈ X∀y1 , y2 ∈ Y : (x, y1 ) ∈ r ∧ (x, y2 ) ∈ r =⇒ y1 = y2 .
Sie heißt linkseindeutig , wenn zu jedem y ∈ Y höchstens ein x ∈ X mit (x, y) ∈ r gehört,
∀x1 , x2 ∈ X∀y ∈ Y : (x1 , y) ∈ r ∧ (x2 , y) ∈ r =⇒ x1 = x2 .
Sie heißt linkstotal , wenn für jedes x ∈ X ein y ∈ Y existiert mit (x, y) ∈ r,
∀x ∈ X∃y ∈ Y : (x, y) ∈ r .
Sie heißt rechtstotal , wenn für jedes y ∈ Y ein x ∈ X existiert mit (x, y) ∈ r,
∀y ∈ Y ∃x ∈ X : (x, y) ∈ r .
Beispiel 1.41. Es seien X = {1, 2, 3} und Y = {1, 2, 3}. Die Relation
r1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}
mit den Darstellungen
3
b
2
b
1
b
b
b
b
(1, 3) (2, 3) (3, 3)
b
3
b
b
3
2
b
b
2
1
b
b
1
b
(1, 2) (2, 2)
x
y
b
1
1
1
2
1
3
2
2
2
3
3
3
(1, 1)
b
b
b
1
2
3
15
1 Mengen und Funktionen
ist weder rechts- noch linkseindeutig. Sie ist rechtstotal und linkstotal. Sie stellt die ≤Relation auf {1, 2, 3} dar.
Beispiel 1.42. Es seien X = {1, 2, 3} und Y = {1, 2}. Die Relation
r2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}
mit den Darstellungen
2
b
1
b
b
b
3
(1, 2) (2, 2)
x
y
b
(1, 1)
b
b
1
1
1
1
2
2
2
2
b
b
2
b
1
b
2
b
1
b
2
b
1
b
b
2
1
3
b
ist rechtstotal aber nicht linkstotal. Sie ist weder links- noch rechtseindeutig.
Beispiel 1.43. Es seien X = {1, 2, 3} und Y = {1, 2}. Die Relationen
r3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 2)} ,
r4 = {(1, 1), (2, 2)}
mit den Darstellungen
2
b
1
b
b
b
3
(2, 2) (3, 2)
x
y
b
(1, 1)
b
b
1
2
b
1
b
1
1
2
2
3
2
2
b
b
b
2
3
1
b
3
b
b
(2, 2)
x
y
b
(1, 1)
b
1
b
2
1
1
2
2
2
b
b
3
1
b
sind beide rechtstotal und rechtseindeutig. Die Relation r3 ist linkstotal, aber nicht linkseindeutig. Die Relation r4 ist hingegen linkseindeutig, aber nicht linkstotal.
Bemerkung 1.44. Wenn eine Relation r ⊆ X × Y rechtseindeutig ist und (x, y) ∈ r gilt,
so stehen x und y nicht nur bezüglich dieser Relation r in Beziehung, sondern zu diesem x
gehört nur dieser eine Wert y. Dies kann daher interpretiert werden als: „Durch die Relation
r wird dem Wert x der Wert y zugeordnet.“
Definition 1.45. Es seien X, Y Mengen. Eine rechtseindeutige Relation f ⊆ X × Y heißt
Abbildung oder Funktion aus X in Y .
16
1.4 Abbildungen und Funktionen
Bemerkung 1.46. Wir haben hier den Begriﬀ „Funktion“ oder „Abbildung“ ohne Rückgriﬀ
auf „Zuordnung“ deﬁniert: „Zuordnung“ ist auch nur ein Synonym für „Abbildung“.
Bemerkung 1.47. Mathematisch gesehen sind „Abbildung“ und „Funktion“ Synonyme. Andererseits wird „Abbildung“ auch im allgemeinerem Sinne (z. B. „geometrische Abbildungen“) und „Funktion“ im spezielleren Sinne für Abbildungen aus einem Zahlenbereich in
einem Zahlenbereich verwendet.
Beispiel 1.48. Von den Relationen r1 , r2 , r3 , r4 aus den Beispielen 1.41, 1.42 und 1.43 sind
nur r3 und r4 Abbildungen, da nur diese rechtseindeutig sind.
Bemerkung 1.49. 1. Bei Abbildungen schreibt man anstelle von (x, y) ∈ f kürzer y = f (x)
mit der Interpretation, dass durch f dem Argument x ∈ X dieses y ∈ Y als Funktionswert
zugeordnet wird oder x auf y abgebildet wird.
2. Unterscheide zwischen der Funktion f und einem Funktionswert f (x).
Definition 1.50. Es sei f eine Abbildung aus X in Y . Dann heißen
D(f ) = {x ∈ X | ∃y ∈ Y : y = f (x)} ,
W(f ) = {y ∈ Y | ∃x ∈ X : y = f (x)}
Definitionsbereich bzw. Wertebereich von f . Die Menge
graph(f ) = {(x, f (x)) | x ∈ D(f )} = f
heißt Graph von f .
Bemerkung 1.51. 1. Zur vollständigen Beschreibung einer Abbildung f aus X in Y müssen
X, Y und die Relation f angegeben werden. Damit sind D(f ) und W(f ) schon festgelegt.
Der Graph graph(f ) stimmt als Menge mit der Relation f überein, enthält aber nicht mehr
die volle Information über X und Y .
2. Man schreibt
f : X ⊇ D(f ) → Y
für eine Abbildung aus X in Y mit dem Deﬁnitionsbereich D(f ).
Definition 1.52. Zwei Funktionen f aus X in Y und g aus V in W heißen genau dann
gleich, wenn X = V , Y = W und f = g gelten.
Beispiel 1.53. Für die Funktionen r3 , r4 aus Beispiel 1.43 gelten
D(r3 ) = {1, 2, 3} = X ,
D(r4 ) = {1, 2} ⊂ X ,
W(r3 ) = Y ,
W(r4 ) = Y .
17
1 Mengen und Funktionen
Oﬀenbar sind r3 und r4 verschieden.
Beispiel 1.54. Die Funktionen f aus X = R in Y = R und g aus U = R≥0 in V = R≥0 mit
f = {(x, y) | x ∈ R ∧ y = x2 } ,
g = {(x, y) | x ∈ R≥0 ∧ y = x2 }
sind verschieden.
Die Funktion f ist linkstotal aber weder rechtstotal noch linkseindeutig.
Die Funktion g ist linkstotal und rechtstotal sowie linkseindeutig und, da sie eine Funktion
ist, rechtseindeutig.
Definition 1.55. Wenn f eine linkstotale Abbildung aus X in Y ist, so gilt D(f ) = X und
man nennt f eine Abbildung von X in Y und schreibt
f: X →Y .
Wenn f eine rechtstotale Abbildung aus X in Y ist, so gilt W(f ) = Y und man nennt f
eine Abbildung aus X auf Y oder eine surjektive Abbildung oder Funktion.
Bemerkung 1.56. Häuﬁg werden Funktionen nur als linkstotale, rechtseindeutige Relation
deﬁniert.
Die Funktion f : R ⊇ D(f ) → R mit f (x) = ln x für x ∈ D(f ) = R>0 ist im üblichen
Sprachgebrauch aber eine Funktion einer reellen Variablen, d. h. eine Funktion aus R in R,
obwohl ihr Deﬁnitionsbereich nur die Menge der positiven reellen Zahlen ist. Würde man
nur linkstotale Funktionen betrachten, müsste man sie eine Funktion einer positiven reellen
Variablen nennen.
Definition 1.57. Wenn f eine linkseindeutige Funktion aus X in Y ist, so man nennt f
eineindeutig oder injektiv .
Bemerkung 1.58. Eine linkseindeutige Funktion ist nach Deﬁnition von „Funktion“ stets
auch rechtseindeutig. Dieses zweifache „ein“ in „rechts-ein-deutig“ und „links-ein-deutig“
führt zu „ein-ein-deutig“.
1.4.2 Verkettung von Funktionen
Definition 1.59. Es sei f eine Funktion aus X in Y . Seien U und V Mengen. Dann heißen
f (U ) = {f (x) | x ∈ U ∩ D(f )} ,
Bild von U bzw. Urbild von V unter f .
18
f −1 (V ) = {x | x ∈ D(f ) ∧ f (x) ∈ V }
1.4 Abbildungen und Funktionen
Beispiel 1.60. Es seien X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = {1, 2, 3, 4, 5} und
f = {(1, 2), (2, 4), (3, 2), (4, 5)} .
Dann gelten D(f ) = {1, 2, 3, 4}, W(f ) = {2, 4, 5}, f ({1, 2, 7}) = {2, 4}, f −1 ({2, 4, 6}) =
{1, 2, 3}.
Definition 1.61. Es seien f : X ⊇ D(f ) → Y und g : U ⊇ D(g) → V zwei Funktionen. Die
durch
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) für x ∈ D(g ◦ f ) := f −1 (D(g))
deﬁnierte Funktion g ◦ f heißt Verkettung , Komposition oder Hintereinanderausführen von g und f .
Bemerkung 1.62. 1. Der Deﬁnitionsbereich D(g ◦ f ) besteht somit aus den Elementen von
D(f ), die durch f in den Deﬁnitionsbereich D(g) von g abgebildet werden. Wenn W(f ) und
D(g) disjunkt sind, dann ist der Deﬁnitionsbereich D(g ◦ f ) von g ◦ f leer.
2. In der Regel sind g ◦ f und f ◦ g nicht gleich.
3. Die Verkettung ist assoziativ: Es gilt h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
4. Die Verkettung von Funktionen darf nicht mit der Multiplikation von Funktionen verwechselt werden.
Bemerkung 1.63. „g ◦ f “ wird als „g verkettet mit f “ oder „g Kringel f “ gelesen.
Beispiel 1.64. Es seien f : R ⊇ D(f ) → R, g : R ⊇ D(g) → R mit f (x) =
D(f ) = R≥0 und g(x) = sin x für x ∈ D(g) = R. Dann gelten
√
x für x ∈
√
(g ◦ f )(x) = sin( x) für x ∈ D(g ◦ f ) = f −1 (D(g)) = f −1 (R) = D(f ) = R≥0 ,
[
√
(f ◦ g)(x) = sin x für x ∈ D(f ◦ g) = g −1 (D(f )) = g −1 (R≥0 ) =
[2kπ, (2k + 1)π] .
k∈Z
Bemerkung 1.65. Wenn f : X ⊇ D(f ) → Y links- und rechtstotal ist,
D(f ) = X
und W(f ) = Y ,
und wenn g : Y ⊇ D(g) → Z linkstotal ist,
D(g) = Y ,
dann gilt
D(g ◦ f ) = X .
19
1 Mengen und Funktionen
Beispiel 1.66. f : R → R sei gegeben durch f (x) = 2x − 1, g : R → R sei gegeben durch
g(x) = x + 1. Dann gelten
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2x − 1) = (2x − 1) + 1 = 2x für x ∈ D(g ◦ f ) = R ,
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = 2(x + 1) − 1 = 2x + 1 für x ∈ D(f ◦ g) = R .
1.4.3 Umkehrabbildung
Durch Abbildungen f : X ⊆ D(f ) → Y können verschiedenste Vorgänge modelliert werden. Eine Interpretation ist, dass aus den Eingangsgrößen aus X durch die Abbildung f
Ausgangsgrößen aus Y erzeugt werden. Es entsteht dann die Frage, ob man zu einem gewünschtem Ausgang y0 einen entsprechenden Eingang x0 mit y0 = f (x0 ) bestimmen kann.
Ein Idee dazu ist, die Wirkung von f umzukehren: Angenommen, es gäbe eine Umkehrabbildung f −1 zu f mit f −1 (f (x0 )) = x0 , dann ergäbe sich
x0 = f −1 (y0 ) .
Wir benötigen dazu, dass f −1 eine Abbildung ist, die mindestens auf W(f ) oder besser auf
Y deﬁniert ist.
Definition 1.67. Die Abbildung idX : X → X mit idX (x) = x für x ∈ X heißt die Identität (oder auch: identische Abbildung ) auf X.
Sei nun f : X ⊇ D(f ) → Y . Wir fragen uns, unter welchen Bedingungen an f eine Abbildung
g von Y nach X existiert mit
g ◦ f = idX .
Eine solche Abbildung macht die Wirkung von f auf X rückgängig.
Definition 1.68. Eine Abbildung f −1 : Y ⊇ D(f −1 ) → X mit
f −1 ◦ f = idX
und f ◦ f −1 = idY
heißt Umkehrabbildung zu f .
Betrachten wir f ⊆ X × Y als Relation, so ist die Umkehrelation f −1 ⊆ Y × X trivial
deﬁniert durch
f −1 := {(y, x) | (x, y) ∈ f } ,
also durch einfaches Umkehren der Paare in f . Insbesondere kann es nur eine Umkehrabbildung geben. Wegen
X = D(idX ) = D(f −1 ◦ f ) ⊆ D(f ) ⊆ X
muss D(f ) = X gelten, f muss also linkstotal sein. Zu klären ist nur noch, wann die Relation
f −1 eine Abbildung, also rechtseindeutig ist: Da f −1 durch Vertauschen der Reihenfolge in
den Paaren aus f entsteht, ist f −1 genau dann rechtstotal, linkstotal, rechtseindeutig bzw.
linkseindeutig, wenn f linkstotal, rechtstotal, linkseindeutig bzw. rechtseindeutig ist.
20
1.4 Abbildungen und Funktionen
Die Abbildung f muss also linkseindeutig, also injektiv sein.
Als Abbildung ist f auch rechtseindeutig. Wegen
Y = D(idY ) = D(f ◦ f −1 ) ⊆ D(f ) ⊆ Y
muss f auch rechtstotal, also surjektiv sein.
Wir deﬁnieren daher:
Definition 1.69. Eine Abbildung f aus X in Y heißt bĳektiv oder Bĳektion, wenn
sie linkstotal, surjektiv und injektiv ist, d. h., wenn sie links- und rechtstotal, links- und
rechtseindeutig ist.
Bemerkung 1.70. Die identische Abbildung idX : X → X ist eine Bĳektion und für jede
Abbildung f : X ⊇ D(f ) → Y gilt
f ◦ idX = f = idY ◦ f .
Satz 1.71. Wenn f : X → Y bĳektiv ist, so existiert die Umkehrabbildung f −1 : Y → X zu
f.
Ist f : X → Y nämlich bĳektiv, so ist f links- und rechtstotal, links- und rechtseindeutig
und die Relation f −1 ist entsprechend rechts- und linktstotal, rechts- und linkseindeutig,
also eine Bĳektion von Y auf X.
Beispiel 1.72. Es seien X = Y = {1, 2, 3, 4} und f = {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 2)}. Dann ist
f eine Bĳektion von X auf Y und es gilt
f −1 = {(1, 1), (3, 2), (4, 3), (2, 4)} = {(1, 1), (2, 4), (3, 2), (4, 3)} .
Beispiel 1.73. Es sei f : R → R die durch f (x) = 2x+1 für x ∈ R deﬁnierte Funktion. Dann
ist f linkstotal und rechtseindeutig. Für jedes y ∈ R gibt es genau ein x ∈ R mit f (x) = y:
Aus y = 2x + 1 folgt 2x = y − 1 und weiter x = 12 (y − 1). Folglich ist f auch linkseindeutig
(injektiv) und rechtstotal (surjektiv) und somit bĳektiv. Die Umkehrabbildung f −1 : R → R
ist gegeben durch
f −1 (x) = 12 · (x − 1) für x ∈ R .
21
23.10.09
1 Mengen und Funktionen
5
4
3
2
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
1
Beispiel 1.74. Wieviel von einem Gut kaufen die Konsumenten, wenn ein bestimmter
(Markt-) Preis gegeben ist? Die Nachfragemenge x eines Gutes ist abhängig vom Preis
p. Wir betrachten eine lineare Nachfragefunktion D : [0, 4] → [0, 2] (D wie „demand“ =
„Nachfrage“) mit
D(p) = 2 − 0.5 · p für p ∈ R .
In Abhängigkeit vom Preis p erhalten wir durch D die Nachfrage x des Gutes.
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Wie hoch ist nun der Preis p, wenn eine bestimmte Nachfrage x vorliegt?
Sei x ∈ [0, 2] beliebig. Aus x = 2 − 0.5 · p folgt 2 · (2 − x) = p ∈ [0, 4]. Die Abbildung D ist
folglich bĳektiv mit der Umkehrabbildung
D−1 : [0, 2] → [0, 4] ,
22
D−1 (x) = 4 − 2x .
1.4 Abbildungen und Funktionen
4
3
2
1
0
1
2
23
1 Mengen und Funktionen
Bemerkung 1.75. Viele Probleme lassen sich auf die Form
f (x) = y
bringen, wobei die Abbildung f : X ⊇ D(f ) → Y und y ∈ Y vorgebenen sind und x ∈ X
gesucht ist
Wenn f umkehrbar ist, ergibt sich x = f −1 (y).
Im Allgemeinen ist es keineswegs trivial, von einer Abbildung zu zeigen, dass sie bĳektiv
und daher umkehrbar ist. Noch problematischer ist, die Umkehrabbildung tatsächlich formelmäßig zu bestimmen.
Vielfach versucht man daher mit Mitteln der Analysis die Existenz der Umkehrabbildung
und Eigenschaften der Umkehrabbildung herzuleiten. Einige Hilfsmittel dazu werden wir in
der Vorlesung kennenlernen. Das Berechnen geschieht dann meist nur numerisch.
In anderen Fällen geht es darum, von einer Abbildung f : X ⊇ D(f ) → R Maximal- bzw.
Minimalstellen zu ﬁnden und dies eventuell zusätzlich noch unter Nebenbedingungen.
Im ersten Teil der Vorlesung beschäftigen wir uns vorrangig mit linearen Problemen, bei
denen f im gewissen Sinne linear ist. Hierfür können Hilfsmittel der linearen Algebra genutzt
werden.
Im zweiten Teil der Vorlesung beschäftigen wir uns auch mit nichtlinearen Problemen. Dafür
benötigen wir Hilfsmittel der Analysis, konkret der Diﬀerentialrechnung.
24
2 Zahlen
2.1 Natürliche Zahlen
2.1.1 Menge der natürlichen Zahlen
Der Ausgangspunkt für den Aufbau der Zahlenbereiche ist die Menge
N = {0, 1, 2, 3, ...}
der natürlichen Zahlen
0,
1,
2,
3,
4,
...
2.1.2 Induktionsprinzip
Unmittelbar verbunden mit den natürlichen Zahlen ist das Prinzip der vollständigen
Induktion.
Satz 2.1 (Prinzip der vollständigen Induktion). Für jedes n ∈ N≥n0 = {n0 , n0 +1, . . .} seien
A(n) von n ∈ N≥n0 abhängende mathematische Aussage. Wenn
• A(n0 ) wahr ist und
• für jedes n ≥ n0 aus A(n) auch A(n + 1) folgt,
dann gilt A(n) für alle n ∈ N≥n0 .
Beispiel 2.2. Die Ungleichung n2 ≥ n + 5 gilt für alle natürlichen Zahlen n ≥ 3.
(Beweis durch vollständige Induktion)
1. Induktionsanfang: Die Ungleichung gilt für n = n0 = 3, da
32 = 9 ≥ 8 = 3 + 5 .
2. Induktionsschritt: Die Ungleichung gelte für ein beliebiges n ≥ 3, d. h., es sei
n2 ≥ n + 5 .
(2.1)
Zu zeigen ist, dass sie dann auch für n + 1 gilt. Nun, es gilt unter Verwendung von (2.1)
(n + 1)2 = n2 + 2n + 1 ≥ n + 5 + 2n + 1 ≥ (n + 1) + 5 .
25
2 Zahlen
2.1.3 Prinzip der rekursiven Definition
Ein Begriﬀ B(n), der für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 deﬁniert werden soll, kann folgendermaßen festgelegt werden:
1. Deﬁniere B(n) für n = n0 .
2. Deﬁniere B(n) für n ∈ N≥n0 unter Zuhilfenahme der (hypothetisch) bereits erfolgten
Deﬁnition von B(n0 ), . . . , B(n − 1).
Definition 2.3. Für n ∈ N und x ∈ N deﬁnieren wir die Potenzen mit natürlichem
Exponenten rekursiv durch
x0 := 1 ,
xn := x · xn−1
(n ∈ N≥1 ) .
Bemerkung 2.4. Insbesondere wurde 00 := 1 deﬁniert, was später z. B. beim binomischen
Lehrsatz, Polynomen und Potenzreihen benutzt wird.
2.2 Kombinatorik
2.2.1 Permutationen
2.2.1.1 Anordnung ohne Wiederholung
Aufgabe ist, n verschiedene Objekte auf n Plätze anzuordnen. Anordnen heißt insbesondere,
die Reihenfolge zu beachten. Für den ersten Platz gibt es n Objekte zur Auswahl, für den
zweiten Platz sind es noch n − 1 Objekte, . . . , für den vorletzten Platz noch zwei Objekte,
auf den letzten Platz kommt das verbleibende Objekt. Es sind somit
n · (n − 1) · · · · · 2 · 1
Möglichkeiten.
Für n ∈ N deﬁnieren wir n! (sprich: n-Fakultät) rekursiv durch
0! := 1 ,
n! := n · (n − 1)! = n · (n − 1) · · · 2 · 1 für n ∈ N≥1 .
Damit gilt zum Beispiel
0! = 1 ,
1! = 1 · 0! = 1 ,
2! = 2 · 1! = 2 ,
3! = 3 · 2! = 6 ,
4! = 4 · 3! = 24 , . . . .
Definition 2.5. Sei M eine endliche Menge. Eine Anordnung aller Elemente von M unter
Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung von Elementen heißt Permutation.
26
2.2 Kombinatorik
Satz 2.6. Sei n ∈ N \ {0}. Dann besitzt eine n-elementige Menge genau n! Permutationen.
Beispiel 2.7. Es werde die Menge {1, 2, 3} betrachtet. Deren Elemente kann man in folgenden Weisen anordnen:
1−2−3,
1−3−2,
2−1−3,
2−3−1,
3−1−2,
3−2−1.
Dies sind 6 = 3! Anordnungen.
Beispiel 2.8. Ein Firmenvertreter hat sich beim Besuch von 6 Kunden A, B, C, D, E, F zu
überlegen, welche der 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 möglichen Reihenfolgen er wählt.
Beispiel 2.9. Um 20 Studenten in einer Reihe antreten zu lassen, gibt es
20! = 2 432 902 008 176 640 000
Möglichkeiten. (Würde man pro Anordnung nur 1 Sekunden benötigen, bräuchte man wegen
2 432 902 008 176 640 000
≈ 70 · 109
60 · 60 · 24 · 365
etwa 70 Milliarden Jahre. Das Weltall ist erst etwa 14 Milliarden Jahre alt.
2.2.1.2 Anordnung mit Wiederholung
Aufgabe ist, insgesamt n Objekte aus k Klassen zu ℓ1 , ℓ2 , . . . , ℓk Mitgliedern, ℓ1 + ℓ2 +
· · · + ℓk = n anzuordnen, wobei die Reihenfolge unter den Mitgliedern einer Klasse nicht
beachtet werden soll. Unter Beachtung aller Reihenfolgen wären es n! Möglichkeiten. Nun
soll die Reihenfolge der ℓ1 Mitgliedern der ersten Klasse nicht beachtet werden. Dies sind
ℓ1 ! Möglichkeiten. Es verbleiben noch n!/ℓ1 ! Möglichkeiten. Führt man die Betrachtungen
bis zu k-ten Klasse weiter, so erhält man die Zahl der gesuchten Möglichkeiten als
n!
.
ℓ1 ! · ℓ2 ! · · · · · ℓk !
Eine andere Interpretation der Aufgabe ist, k Objekte unter Beachtung der Reihenfolge
anzuordnen, wobei das erste Objekt ℓ1 -mal, das zweite ℓ2 -mal, . . . , das k-te ℓk -mal auftreten
soll (und mehrmals wiederholte Objekte wegen ihrer Gleichheit auch in der Reihenfolge nicht
unterscheiden werden können).
Beispiel 2.10. Es soll die Anzahl aller Zeichenketten aus den Buchstaben a, b und c bestimmt werden, bei denen a viermal, b dreimal und c zweimal vorkommen. Hier haben wir
ℓ1 = 4, ℓ2 = 3, ℓ3 = 2 und n = 4 + 3 + 2 = 9. Somit ist die gesuchte Anzahl
9!
9·8·7·6·5·4·3·2·1
9·8·7·6·5
9·8·7·5
=
=
=
= 9 · 4 · 7 · 5 = 1260 .
4!3!2!
(4 · 3 · 2 · 1) · (3 · 2 · 1) · (2 · 1)
3·2·2
2
27
2 Zahlen
2.2.2 Variationen
2.2.2.1 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung
Es sind k ≤ n Objekte aus n Objekten mit Beachtung der Reihenfolge ohne Wiederholung
auszuwählen: Für das erste Objekt haben wir n Möglichkeiten, für das zweite n − 1, . . . , für
das k-te Objekt noch n − k + 1. Dies gesuchte Anzahl ist somit
Vkn = n · (n − 1) · · · · · (n − k + 1) =
n!
n · (n − 1) · · · · · (n − k + 1)(n − k) · · · · · 2 · 1
=
.
(n − k) · · · · · 2 · 1
(n − k)!
Diese Auswahl heißt auch „ohne Zurücklegen“ anstatt „ohne Wiederholung“.
Definition 2.11. Eine Auswahl von k verschiedenen Elementen mit Berücksichtigung der
Reihenfolge aus einer endlichen Menge heißt Variation k-ter Ordnung .
Satz 2.12. Ist M eine n-elementige Menge, so gibt es
Vkn =
n!
(n − k)!
Variationen k-ter Ordnung von M .
Beispiel 2.13. Es seien vier Zahlen aus {1, 2, ..., 6} vier Zahlen auszuwählen und in einer
Reihe anzuordnen.
Die Anzahl der möglichen Auswahlen ist
V46 =
6·5·4·3·2·1
6!
=
= 6 · 5 · 4 · 3 = 360 .
(6 − 4)!
2·1
Beispiel 2.14. Ein zehnköpﬁges Leistungsgremium habe einen 1. und 2. Sprecher zu wählen.
Die Anzahl der möglichen Auswahlen ist
V210 =
10!
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
=
= 10 · 9 = 90 .
(10 − 2)!
8·7·6·5·4·3·2·1
Beispiel 2.15. Ein Firmenvertreter, der 3 seiner 6 Kunden an einem Tag besuchen kann,
überlegt sich, in vielen verschieden Reihenfolgen er sie besuchen könnte.
Die Anzahl der möglichen Auswahlen ist
V36 =
6·5·4·3·2·1
6!
=
= 6 · 5 · 4 = 120 .
(6 − 3)!
3·2·1
Beispiel 2.16. Aus den n = 3 Buchstaben a, b, c können V23 = 3!/(3 − 2)! = 3! = 6
zweibuchstabige Zeichenketten ohne Wiederholung und unter Beachtung der Reihenfolge
erzeugt werden, nämlich
ab , ac , ba , bc , ca , cb .
28
2.2 Kombinatorik
2.2.2.2 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung
Es sind k Objekte aus n Objekten mit Beachtung der Reihenfolge und mit zugelassener
Wiederholung auszuwählen: Für jedes der k Objekte haben wir jeweils n Möglichkeiten.
Dies gesuchte Anzahl ist somit
W n
V k = nk .
Diese Auswahl heißt auch „mit Zurücklegen“ anstatt „mit Wiederholung“.
Beispiel 2.17. Aus den n = 2 Ziﬀern 0 und 1 können so 23 = 8 dreiziﬀrige Zeichenketten
mit Wiederholung und unter Beachtung der Reihenfolge erzeugt werden:
000 ,
001 ,
010 ,
011 ,
100 ,
101 ,
110 ,
111 .
2.2.3 Kombinationen
2.2.3.1 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung
Es sind k ≤ n Objekte aus n Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung auszuwählen: Wir haben Vkn Möglichkeiten für die Auswahl von k Objekten aus n
unter Beachtung der Reihenfolge. Diese k ausgewählten Objekte lassen sich auf jeweils k!
Arten anordnen. Die gesuchte Anzahl ist damit
Ckn = Vkn /k! =
n!
.
k!(n − k)!
Diese Auswahl heißt auch „ohne Zurücklegen“ anstatt „ohne Wiederholung“.
Definition 2.18. Für k, n ∈ N, n ≥ k setzen wir
n!
n
:=
k
k!(n − k)!
und lesen „n über k“ oder „k aus n“.
Definition 2.19. Sei M eine Menge. Die Auswahl von k Elementen von M ohne Beachtung
der Reihenfolge und ohne Wiederholung von Elementen heißt Kombination zur k-ten
Klasse.
Satz 2.20. Seien n, k ∈ N, 0 < k ≤ n. Dann gibt es
n
n
Ck =
k
Kombinationen einer n-elementigen Menge zur k-ten Klasse.
29
2 Zahlen
Beispiel 2.21. Bei „6 aus 49“ sind sechs Zahlen aus 49 ohne Wiederholung (d. h. ohne
Zurücklegen) zu ziehen. Die Anzahl ist
C649 =
49!
49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44
=
= 13 983 816 .
6!(49 − 6)!
6·5·4·3·2·1
Hier sehen wir auch einen Trick: Nicht 49! ausrechnen, sondern mit (49 − 6)! kürzen!
Beispiel 2.22. Aus {1, 2, 3, 4, 5, 6} sind 4 Zahlen ohne Wiederholung und ohne Beachtung
der Reihenfolge auszuwählen.
Die Anzahl der möglichen Auswahlen ist
6
6·5·4·3
6
C4 =
=
= 15 ,
4
1·2·3·4
und zwar gibt es folgende Auswahlen:
{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 4, 6}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 6},
{1, 3, 5, 6}, {1, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 6}, {2, 3, 5, 6}, {2, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6} .
Beispiel 2.23. Ein zehnköpﬁges Leistungsgremium habe zwei gleichberechtigte Sprecher zu
wählen.
Es gibt hierfür
C210
Möglichkeiten für diese Wahl.
=
10
10 · 9
=
= 45
2
1·2
Rechenregeln für 1 ≤ k ≤ n:
n
n
n
n
n
n
n+1
n
n
=
= 1,
=
= n,
=
,
=
+
.
0
n
1
n−1
k
n−k
k
k−1
k
Diese Formeln sind Grundlage für das Pascalsche
0
1
0
1
1
k
2
1
2
k
3
1
3
k
4
1
4
6
k
5
1
5
10
k
..
..
.
.
Dreieck:
1
1
3
1
4
10
1
5
Folgerung 2.24. Seien n, k ∈ N, 0 < k ≤ n. Dann gibt es
Teilmengen einer n-elementigen Menge.
30
1
n
k
verschiedene, k-elementige
2.3 Rationale und Reelle Zahlen
2.2.3.2 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung
Es sind k ≤ n Objekte aus n Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge aber mit zugelassener Wiederholung auszuwählen. Diese Anzahl ist komplizierter herzuleiten und sei nur der
Vollständigkeit halber angegeben:
n+k−1
W n
Ck =
.
k
2.2.4 Zusammenfassung
Permutation
anordnen
ohne Wiederh.
mit Wiederh.
n! = n · (n − 1) · · · · · 1
n!
ℓ1 !·ℓ2 !·····ℓk !
Variation
Kombination
k aus n auswählen
mit Reihenfolge
ohne Reihenfolge
n
n!
n!
n
= nk
Vk = (n−k)! = k · k! Ckn = k!(n−k)!
WV n = nk
WC n = n+k−1
k
k
k
2.3 Rationale und Reelle Zahlen
2.3.1 Weitere Zahlenbereiche
Der Aufbau weiterer Zahlenbereiche lässt sich in folgendem Schema darstellen:
N = {0, 1, 2, ...}
Menge der natürlichen Zahlen
a, b ∈ N
a+b∈N
a·b∈N
(Addition)
(Multiplikation)
↓
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}
Menge der ganzen Zahlen
a, b ∈ Z
a + b ∈ Z, a · b ∈ Z
a−b∈Z
(Subtraktion)
↓
Q = { pq | p ∈ Z ∨ q ∈ Z \ {0}}
Menge der rationalen Zahlen
a, b ∈ Q, a − b ∈ Q,
a + b ∈ Q, a · b ∈ Q,
a : b ∈ Q für b 6= 0
(Division)
↓
R
Menge aller reellen Zahlen
(Menge der Dezimalbrüche)
a, b ∈ R, a − b ∈ R
a + b ∈ R, a · b ∈ R
a : b ∈ R (für b 6= 0)
31
30.10.09
2 Zahlen
2.3.2 Gemeinsame Eigenschaften der rationalen und reellen Zahlen
Im Folgenden sei K ∈ {Q, R}, K sei also die Menge der rationalen bzw. der reellen Zahlen.
2.3.2.1 Algebraische Eigenschaften
Die Addition „+“ und die Multiplikation „·“ besitzen folgende Eigenschaften:
∀x, y ∈ K : x + y = y + x
∀x, y ∈ K : x · y = y · x
∀x, y, z ∈ K : x + (y + z) = (x + y) + z
∀x, y, z ∈ K : x · (y · z) = (x · y) · z
∀x, y, z ∈ K : x · (y + z) = x · y + x · z
∀x ∈ K : x + 0 = x, 1 · x = x
∀x ∈ K : ∃=1 − x ∈ K : x + (−x) = 0
∀x ∈ K \ {0}∃=1 x−1 ∈ K : x−1 · x = 1)
(Kommutativgesetze)
(Assoziativgesetze)
(Distributivgesetz)
(neutrale Elemente 0 bzw. 1
(additiv inverse Zahl)
(multiplikativ inverse Zahl)
Definition 2.25. Eine Menge K mit Operationen + und · und Elementen 0 6= 1 und obigen
Gesetzen heißt (Zahlen-) Körper .
Zahlenkörper sind also die Mengen, in denen wir „richtig“ rechnen können, in dem Sinne,
dass alle aus der Schule bekannten Rechenregeln gelten. Wir werden später die komplexen
Zahlen als einen weiteren Körper kennenlernen.
In einem Körper sind Subtraktion und Division über Addition bzw. Multiplikation deﬁniert:
x − y := x + (−y) , x : y := x · y −1 ,
die Division aber nur für y 6= 0.
Weitere Gesetze wie 0 · x = 0 und −1 · x = −x folgen aus den Körpergesetzen.
Bemerkung 2.26. Wenn man unter Beihaltung der bisherigen Eigenschaften von Addition
und Multiplikation eine Division durch 0 deﬁnieren will, so folgt 0 = 1 und weiter K = {0},
was nicht sehr nützlich wäre.
2.3.2.2 Ordnungseigenschaften
In K ∈ {Q, R} gibt es eine Ordnungsrelation ≤ und eine Relation < deﬁniert durch
x<y
mit folgenden Eigenschaften:
32
:⇔
x≤y
und x 6= y
2.3 Rationale und Reelle Zahlen
∀x ∈ K : x ≤ x
∀x, y ∈ K : (x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y
∀x, y, z ∈ K : (x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z
∀x, y ∈ K : x ≤ y ∨ y ≤ x
∀x, y ∈ K : x < y ⇒ ∃u ∈ K(x < u < y)
∀x, y, z ∈ K : x < y ⇔ x + z < y + z
∀x, y, z ∈ K : z > 0 ⇒ (x < y ⇔ x · z < y · z)
(Reflexivität)
(Antisymmetrie)
(Transitivität)
(totale Ordnung)
(Dichtheit)
(Verträglichkeit mit Addition)
(Verträglichkeit mit Multipl.)
Damit gilt die Trichotomie-Eigenschaft: Für je zwei Zahlen x, y ∈ K gilt genau eine der
drei Beziehungen
x<y, x=y, x>y.
Eine Zahl x ∈ K heißt positiv , nichtnegativ , nichtpositiv bzw. negativ , wenn x > 0,
x ≥ 0, x ≤ 0 bzw. x < 0.
Definition 2.27. Ein Körper K mit einer Ordnungsrelation mit obigen Eigenschaften heißt
total angeordneter Körper .
Q und R sind also total angeordnete Körper. Der Körper C der komplexen Zahlen wird sich
hingegen als nicht anordenbar erweisen.
2.3.3 Unterschiede der rationalen und reellen Zahlen
Bezüglich der algebraischen und Ordnungseigenschaften gibt es keine Unterschiede zwischen
den rationalen und den reellen Zahlen.
Die Erweiterung der rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen ist jedoch notwendig, da allein
schon Rechtecke mit rationalen Seitenlängen keine rationale Diagonalenlänge haben müssen.
Beispiel 2.28. Wir
√ betrachten
√ ein Quadrat mit der Seitenlänge 1. Dann ist nach dem Satz
von Pythagoras 12 + 12 = 2 die Diagonalenlänge dieses Quadrates.
√
√
Angenommen, 2 wäre rational. Dann gibt es ganze Zahlen p und q mit q 6= 0 und 2 = pq .
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass p und q teilerfremd sind:
Anderfalls teilen wir p und q durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Durch Quadrieren
und Multiplikation mit q 2 folgt nun
2q 2 = p2 ,
(2.2)
Wegen p2 eine gerade Zahl ist. Da das Quadrat ungerader Zahlen ungerade ist, muss p
folglich eine gerade Zahl sein, d. h. es existiert eine ganze Zahl p0 mit p = 2 · p0 . Setzen wir
dies in (2.2) ein und dividieren dann durch 2, so folgt
q 2 = 2p20 ,
weswegen auch q gerade
sein muss, im Widerspruch zur Teilerfremdheit von p und q. Folglich
√
ist die Annahme, 2 wäre rational, falsch.
Durch die Erweiterung der rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen wird erst die Deﬁnition
von Potenz- und Exponentialfunktion und weiterer Funktionen möglich.
33
2 Zahlen
2.4 Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen
Ein Grundproblem der Mathematik ist die Ermittelung aller Lösungen von Systemen von
Gleichungen und Ungleichungen. Am günstigsten ist immer eine äquivalente Umformung
von Gleichungen und Ungleichungen.
2.4.1 Äquivalente Umformungen
Äquivalente Umformungen sind Umformungen, welche die Lösungsmenge nicht verändern. Nichtäquivalente Umformungen führen zu einer Änderung der Lösungsmenge der Gleichungen oder Ungleichungen: Es können scheinbar Lösungen hinzukommen aber es können
auch Lösungen verloren gehen.
Folgende Regeln zur äquivalenten Umformung (für a, b, x, y, p, q ∈ R beliebig) ergeben
sich aus den Eigenschaften der reellen Zahlen:
x=y
x≤y
x≤y
⇔
⇔
⇔
x=y
⇔
x≤y
⇔
0<x≤y
⇔
x+a=y+a
x+a≤y+a
x+a≤y+b,
falls a ≤ b
ax = ay , falls a 6= 0
(
ax ≤ ay , falls a > 0
ax ≥ ay , falls a < 0
1
1
0< ≤ .
y
x
Folgende Regeln können zur Lösung von Gleichungen genutzt werden:
xy = 0
x2 = a2
x2 + px + q = 0
⇔
⇔
⇔
x = 0 oder y = 0
x = a oder x = −a
r
r
p
p
p2
p2
− q oder x = − −
−q,
x=− +
2
4
2
4
wenn p2 ≥ 4q.
Beispiel 2.29. Man bestimme die Lösungsmenge L der folgenden Gleichung
(x − 2)2 + x = 2 .
34
2.4 Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen
Es gibt mehrere Lösungsweg, einer davon ist der folgende:
(x − 2)2 + x = 2
⇔ x2 − 4x + 4 + x = 2
x2 − 3x + 2 = 0
⇔
r
−3
9
+
−2=2
x= −
2
4
r
−3
9
oder x = −
−
−2=1,
2
4
⇒
und damit L = {1, 2}.
2.4.2 Rechnen mit Beträgen
Das Rechnen mit Beträgen wird vom Anwender oft als unangenehm empfunden, da der
Begriﬀ "Betrag" zweigeteilt deﬁniert ist. Man kann aber alle Schwierigkeiten ausräumen,
wenn man sich stur an die Deﬁnition und die Rechenregeln hält. Diese seien im folgenden
benannt.
Definition 2.30. Für eine reelle Zahl a ∈ R wird der Betrag von a festgesetzt durch
|a| := a, falls a ≥ 0 und |a| := −a, falls a < 0.
Beispiel 2.31. Es gilt |3| = 3, aber auch | − 3| = 3 = −(−3).
Rechenregeln (für a, b, x ∈ R beliebig):
| − a| = |a|
−|a| ≤ a ≤ |a|
|a · b| = |a| · |b|
1
= 1
(a 6= 0)
a |a|
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a| ≤ |b|
|x − a| ≤ b
√
⇔
⇔
a2 = |a|
(Dreiecksungleichung)
−b ≤ a ≤ b
oder b ≤ a ≤ −b
a−b≤x≤a+b
|a|2 = a2
Beispiel 2.32. Es sei A = {x | |x − 2| < 3}. Wegen
(
(
x<5
für x ≥ 2
x−2<3
für x − 2 ≥ 0
⇐⇒
|x − 2| < 3 ⇐⇒
x > −1 für x < 2
−x + 2 < 3 für x − 2 < 0
folgt A = {x | −1 < x < 5}.
35
2 Zahlen
Beispiel 2.33. Ein Unternehmen legt fest, dass der Preis x einer Ware höchstens 20% (von
x) gegenüber dem unverbindlichen Richtpreis von 48 e variieren darf.
Für die Preisspanne gilt also
|x − 48| ≤ 0.2 · x
Für x ≥ 48 ergibt sich
x − 48 ≤ 0.2 · x ,
0.8x ≤ 48 ,
x ≤ 60 .
Für x < 48 ergibt sich
48 − x ≤ 0.2 · x ,
1.2 · x ≥ 48 ,
x ≥ 40 .
Das heißt, für den Preis x ergibt sich die Spanne
40 ≤ x ≤ 60 .
Eine Auﬂösung komplizierterer Betragsungleichungen geschieht in der Regel durch Fallunterscheidung oder durch Veranschaulichung auf der Zahlengeraden.
Beispiel 2.34. Man bestimme die Lösungsmenge L von |x + 1| + |x − 1| ≤ 2 .
Fallunterscheidung:
1. Fall: x < −1. Dann gilt
|x + 1| + |x − 1| ≤ 2
⇔
−(x + 1) − (x − 1) ≤ 2
⇔
x ≥ −1 ,
(x + 1) − (x − 1) ≤ 2
⇔
2≤2,
(x + 1) + (x − 1) ≤ 2
⇔
x≤1,
und daher L1 = ] − ∞, −1[ ∩ [−1, ∞[ = ∅.
2. Fall: −1 ≤ x < 1. Dann gilt
|x + 1| + |x − 1| ≤ 2
⇔
und daher L2 = [−1, 1[ ∩ R = [−1, 1[.
3. Fall: 1 ≤ x. Dann gilt
|x + 1| + |x − 1| ≤ 2
⇔
und daher L3 = [1, ∞[ ∩ ] − ∞, 1] = {1}.
Zusammengefasst: L = L1 ∪ L2 ∪ L3 = [−1, 1].
2.5 Weitere Definitionen und Aussagen
2.5.1 Summen und Produkte
Für vorgegebene Zahlen ak , ak+1 , . . . , an , . . . ∈ R setzen wir rekursiv fest:
36
2.5 Weitere Definitionen und Aussagen
n
X
i=k
n
Y
n
X
ai := 0 für n < k ,
i=k
n
Y
ai := 1 für n < k ,
i=k
i=k
ai := an +
ai = an ·
n−1
X
i=k
n−1
Y
ai = ak + · · · + an für n ≥ k ,
ai = ak · · · · · an für n ≥ k .
i=k
Aus der Dreiecksungleichung folgt mit vollständiger Induktion:
n n
X X
|ai | .
ai ≤
i=0
i=0
Beispiel 2.35. Für n ∈ N gilt
n! =
n
Y
i.
i=1
Satz 2.36 (Binomischer Lehrsatz). Für a, b ∈ R und n ∈ N gilt
n X
n k n−k
n
(a + b) =
a b
.
k
k=0
Folgerungen:
n
n
2 = (1 + 1) =
n X
n
k=0
k
k n−k
1 1
=
n X
n
k=0
k
,
n
(1 + x) =
n X
n
k=0
k
xk .
Folgerung 2.37. Sei n ∈ N>0 . Dann hat die Potenzmenge 2M einer n-elementigen Menge
2n Elemente.
2.5.2 Potenzen und Wurzeln
Wir deﬁnieren hier die Potenzen mit reellen Exponenten.
Definition 2.38. Für x ∈ R werden n-ten Potzenz xn rekursiv deﬁniert durch
x0 = 1 ,
xk+1 = x · xk .
Definition 2.39. Für x ∈ R≥0 und n ∈ N≥1 ist die n-te Wurzel
nichtnegative Lösung der Gleichung w der Gleichung wn = x.
√
n
x deﬁniert als die
37
2 Zahlen
Definition 2.40. Für x ∈ R>0 und r ∈ Q≥0 , r = pq mit p, q ∈ N≥1 , deﬁnieren wir die
Potenzen mit rationalen Exponenten durch
p
√ p
1
xr := x q := q x
und x−r := r .
x
Durch einen Grenzübergang kann die Deﬁnition von rationalen zu reellen Exponenten ausgedehnt werden.
Die Deﬁnition kann zum Teil auch auf nichtpositive Basen fortgesetzt werden.
Die Potenzen zu positiven Basen a, b genügen folgenden Potenzgesetzen:
ar · as = ar+s ,
ar /as = ar−s ,
ar br = (ab)r ,
ar /br = (a/b)r ,
(ar )s = ars .
Bemerkung 2.41. Die Potenzgesetze gelten nicht für negative Basen.
Zum Beispiel gilt
für x ∈ R und nicht
√
√
x2 = |x|
x2 = x (häuﬁger Fehler!), z.B.
p
(−1)2 = 1.
2.5.3 Logarithmen
Definition 2.42. Es seien a > 0, a 6= 1, b > 0. Wir deﬁnieren den Logarithmus von b
zur Basis a als die Lösung x der Gleichung ax = b.
Bemerkung 2.43. Es gilt also nach Deﬁnition
aloga b = b .
(2.3)
Aus den Potenzgesetzen ergeben sich folgende Logarithmengesetze für a, b > 0, 6= 1,
x, y > 0, r ∈ R:
loga b · logb a = 1 ,
r
loga (x ) = r loga x ,
06.11.09
loga (xy) = loga x + loga y ,
logb x = logb a · loga x .
Übliche Basen sind 10, 2 (in der Informatik) und die irrationale Zahl e = 2.71828 . . ..
38
3 Matrizen und Determinanten
3.1 Matrizen
3.1.1 Matrizen und Gleichungssysteme
Grundlegende Begriﬀe der „linearen Algebra“ und „linearen Optimierung“ sind die Begriﬀe
Matrix, Vektor, Determinante und lineares Gleichungssystem.
Beispiel 3.1. Ein volkswirtschaftlicher Bereich bestehe aus drei produzierenden Sektoren
A1 , A2 und A3 , die durch Lieferströme untereinander verbunden sind und (nichtproduzierende) Endverbraucher E.
xij sei die Lieferung, die Aj von Ai erhält, i, j = 1, 2, 3.
yi sei die Lieferung, die E von Ai erhält, i = 1, 2, 3.
Dies kann auch durch die folgende Tabelle dargestellt werden:
Lieferung
von A1
von A2
von A3
an A1
x11
x21
x31
an A2
x12
x22
x32
an A3
x13
x23
x33
an E
y1
y2
y3
Für i = 1, 2, 3 sei nun xi die Gesamtproduktion (Output) von Ai , also
x1 = x11 + x12 + x13 + y1 ,
x2 = x21 + x22 + x23 + y2 ,
(3.1)
x3 = x31 + x32 + x33 + y3 .
Definition 3.2. Ein rechteckiges Schema reeller Zahlen mit m Zeilen und n Spalten


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A= .
..
.. 
 ..
.
...
. 
am1 am2 . . . amn
heißt m × n-Matrix oder Matrix vom Typ m × n. Die Menge aller reellen m × n-Matrizen
wird mit Rm×n bezeichnet.
39
3 Matrizen und Determinanten
Definition 3.3. Eine m × 1-Matrix heißt auch m-dimensionaler (Spalten-)Vektor. Eine
1 × n-Matrix heißt auch n-dimensionaler Zeilenvektor. Die n Spaltenvektoren




a1n
a11
 a2n 
 a21 




,
.
.
.
,
 ..  ∈ Rm×1
 .. 
 . 
 . 
amn
am1
bzw. die m Zeilenvektoren
a11 a12 . . . a1n , . . . , am1 am2 . . . amn ∈ R1×n
heißen Spalten bzw. Zeilen von A.
Bemerkung 3.4. Wir betrachten die Menge Rn der reellen n-Tupel. Oﬀenbar unterscheiden
sich ein n-Tupel
(a1 , . . . , an ) ∈ Rn
und ein n-dimensionaler Zeilenvektor
a1 a2 . . . an ∈ R1×n
sowie ein n-dimensionaler Spaltenvektor
 
a1
 a2 
 
 ..  ∈ Rn×1 .
.
an
Es ist aber sinnvoll, die in der mehrdimensionalen Analysis verwendeten n-Tupel mit den in
der Algebra verwendeten n-dimensionalen Spaltenvektoren zu identiﬁzieren:
 
a1
 a2  n≥2
n≥2
 
(a1 , . . . , an ) =  .  6= a1 a2 . . . an , Rn = Rn×1 6= R1×n .
 .. 
an
Beispiel 3.5. (Fortsetzung von Beispiel 3.1). Das rechteckige Schema


x11 x12 x13
x21 x22 x23  ∈ R3×3
x31 x23 x33
40
3.1 Matrizen
ist eine 3 × 3-Matrix. Die dreizeilige Spalte
 
y1

y = y2  ∈ R3×1 = R3
y3
ist ein 3-dimensionaler Spaltenvektor oder eine 3 × 1-Matrix. Die dreispaltige Zeile
x11 x12 x13 y1 ∈ R1×4
ist ein 4-dimensionaler Zeilenvektor oder eine 1 × 4-Matrix.
Beispiel 3.6. (Fortsetzung von Beispiel 3.1). Setzt man die Menge xij , die Ai an Aj liefert
ins Verhältnis zur Gesamtmenge xj , die Aj produziert, so erhält man die Liefermenge von
Ai an Aj , die zur Produktion einer Einheit von Aj erforderlich ist,
zij =
xij
xj
für i, j = 1, 2, 3 .
Die Zahlen zij heißen Produktionskoeffizienten oder Input-Output-Koeffizienten und
können in der Praxis oftmals bestimmt oder geschätzt werden. Hierbei ist zii der prozentualen Anteil der „Lieferung von Ai an sich selbst“, der nötig ist, um eine Einheit zu produzieren.
Die Produktion macht natürlich nur Sinn, wenn zii < 1 gilt.
Aus (3.1) und den Beziehungen xij = xj · zij erhalten wir die sogenannte Output-Bilanz
x1 = z11 x1 + z12 x2 + z13 x3 + y1
x2 = z21 x1 + z22 x2 + z23 x3 + y2
(O)
x3 = z31 x1 + z32 x2 + z33 x3 + y3 .
Durch Umstellen erhält man das lineare Gleichungssystem
(1 − z11 )x1
−z12 x2
−z21 x1 +(1 − z22 )x2
−z31 x1
−z13 x3 = y1
−z23 x3 = y2
(L)
−z32 x2 +(1 − z33 )x3 = y3 ,
welches ein spezielles Leontief-Modell darstellt.
41
3 Matrizen und Determinanten
Definition 3.7. Es seien aij und bj für i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n reelle Zahlen. Dann heißt
a11 x1 + a12 x2 +· · ·+ a1n xn = b1
(G)
a21 x1 + a22 x2 +· · ·+ a2n xn = b2
..
..
.
.
am1 x1 +am2 x2 +· · ·+amn xn = bm
ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten. Die m×n-Matrix
A und die Spaltenvektoren b ∈ Rm und x ∈ Rn mit

 
 

x1
b1
a11 a12 · · · a1n
 b2 
 x2 
 a21 a22 · · · a2n 

 
 

A = (aij )i=1,...,m;j=1...,n =  .
..  , b =  ..  , x =  .. 
 . 



 ..
.
.
am1 am2 · · · amn
bm
xn
heißen Koeﬃzientenmatrix , rechte Seite oder Vektor der Absolutglieder bzw. Vektor der Unbekannten von (G).
Jeder Vektor der Unbekannten x, welcher den Gleichungen (G) genügt, heißt Lösung des
linearen Gleichungssystems (G).
Bemerkung 3.8. Zu untersuchen ist nun:
Unter welchen Voraussetzungen an A und b ist (G) lösbar?
Welche Struktur besitzt die Lösungsmenge von (G)?
Mit welchem Verfahren kann über die Lösbarkeit von (G) entschieden werden und wie kann
die Lösungsmenge von (G) bestimmt werden?
Definition 3.9. Es sei
A = (aij )i=1,...,3;j=1...,3
eine 3 × 3-Matrix. Dann

a11
det A = det a21
a31
heißt


a11 a12 a13
= a21 a22 a23 
a31 a32 a33
 a11 a12 a13 a12 a13
a22 a23  = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a32 a33
:= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31
(dreireihige) Determinante von A.
42
3.1 Matrizen
Bemerkung 3.10. Der Wert für det A ergibt sich in einfacher Weise nach der Sarrus-Regel als Diﬀerenz der Summe der Produkte parallel zur Hauptdiagonale (ցցց) und
der Summe über die Produkte parallel zur Nebendiagonalen (ւււ), wenn man die ersten beiden Spalten nochmals
anfügt.
Beispiel 3.11. Wir setzen Beispiel 3.1 fort. Durch einfache, jedoch etwas aufwändige Rechnung ergibt sich, dass die Lösung von (L) für den jeweiligen Output x1 , x2 , x3 der Sektoren
A1 , A2 , A3 bei vorgegebenen Lieferungen y1 , y2 , y3 an die Endverbraucher sich genau dann
ergibt als
1 − z11 y1 −z13 y1 −z12
−z
13
−z21 y2 −z23 y2 1 − z22 −z23 −z31 y3 1 − z33 y3 −z32 1 − z33 , x2 = ,
x1 = 1 − z11 −z12
1 − z11 −z12
−z
−z
13
13
−z21 1 − z22 −z23 −z21 1 − z22 −z23 −z31
−z31
−z32 1 − z33 −z32 1 − z33 1 − z11 −z12 y1 −z21 1 − z22 y2 1 − z11 −z12
−z13 −z31
−z32 y3 , falls −z21 1 − z22 −z23 6= 0 .
x3 = 1 − z11 −z12
−z
13
−z31
−z32 1 − z33 −z21 1 − z22 −z23 −z31
−z32 1 − z33 3.1.2 Spezielle Matrizen
Definition 3.12. Jede Matrix 0n×m ∈ Rm×n , deren Koeﬃzienten alle Null sind, heißt


Nullmatrix,
0 ··· 0

..  .
0 = 0n×m =  ...
.
0 ··· 0
Definition 3.13. Es sei A eine m×n-Matrix. Die zu A transponierte Matrix A⊤ (sprich:
A transponiert) ist diejenige n × m-Matrix, die durch Vertauschen der Zeilen von A mit den
Spalten entsteht:




a11 a12 · · · a1n
a11 a21 · · · am1
 a12 a22 · · · am2 
 a21 a22 · · · a2n 




A= .
, A⊤ =  .

.
.
..
..  .
.
.
.
.
 .
 .
.
. 
.
. 
am1 am2 · · · amn
a1n a2n · · · amn
43
3 Matrizen und Determinanten
Beispiel 3.14.


2 1
A = 3 2 ,
0 6
⊤
A =
2 3 0
.
1 2 6
Definition 3.15. Eine n × n-Matrix A heißt (n-reihige) quadratische Matrix.
Eine quadratische Matrix mit A = A⊤ heißt A symmetrische Matrix.

3 2 1
Beispiel 3.16. Die Matrix A = 2 0 6  ist symmetrisch, da sie quadratisch ist und
1 6 −3
A = A⊤ gilt.

Definition 3.17. Die symmetrische Matrix n × n-Matrix


1 0 ··· 0
(

.. 

0 1
.
 mit eij = 1,
E = En = (eij )i,j=1,...,n = 
 ..
.
. . 0
0,

.
0 ··· 0 1
heißt n-reihige Einheitsmatrix .
44
i=j
i 6= j
3.1 Matrizen
3.1.3 Addition und Subtraktion von Matrizen
Definition 3.18. Es seien

a11 a12
 a21 a22

A= .
..
 ..
.
am1 am2



a1n
b11 b12 · · · b1n
 b21 b22 · · · b2n 
a2n 



und
B
=

 ..
..
..
.. 


.
.
.
. 
· · · amn
bm1 bm2 · · · bmn
···
···
m × n-Matrizen. Dann heißen die m × n-Matrizen

a11 + b11
a12 + b12
 a21 + b21
a22 + b22

A + B := 
..
..

.
.
···
···
a1n + b1n
a2n + b2n
..
.



,

am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn


a11 − b11
a12 − b12 · · · a1n − b1n
 a21 − b21
a22 − b22 · · · a2n − b2n 


A − B := 

..
..
..


.
.
.
am1 − bm1 am2 − bm2 · · · amn − bmn
die Summe bzw. die Diﬀerenz von A und B.
Beispiel 3.19.
−1
3 2 0
+
4
2 8 2
−1
3 2 0
−
4
2 8 2
3 7
0 6
3 7
0 6
=
=
2 5 7
,
6 8 8
4 −1 −7
.
−2 8 −4
Bemerkung 3.20. Summe und Diﬀerenz von Matrizen sind nicht deﬁniert, wenn die Matrizen
verschiedenen Typ haben.
Beispiel 3.21. Ein Unternehmen stellt vier Produkte E1 , E2 , E3 , E4 her und liefert sie
an drei Verkäufer V1 , V2 , V3 . Die Stückzahlen der Lieferungen in zwei Quartalen eines 1.
Halbjahres werden durch zwei 3 × 4-Matrizen A1 und A2 angegeben:
Lief. 1. Qu. E1 E2 E3 E4
V1
17 23 45 58
A1 :
101 34 16 17
V2
13 51 53 42
V3
Lief. 2. Qu. E1 E2 E3 E4
V1
18 29 46 59
A2 :
120 37 18 19
V2
14 53 60 50
V3
Damit gibt A1 + A2 die Lieferungen für das Halbjahr und A2 − A1 gibt den Zuwachs im 2.
45
3 Matrizen und Determinanten
Halbjahr gegenüber dem 1. Quartal an:
Lief. 1. Halbj. E1 E2 E3 E4
V1
35 52 91 117
221 71 34 36
V2
V3
27 104 113 92
Zuwachs 2. Qu. E1 E2 E3 E4
V1
1
6
1
1
19 3
2
2
V2
V3
1
2
7
8
Satz 3.22. Sind A, B, C und die Nullmatrix 0 vom gleichen Typ, so gelten folgende Rechenregeln:
• A + 0 = A (0 - Nullmatrix).
• A + B = B + A (Kommutativgesetz).
• (A + B) + C = A + (B + C) (Assoziativgesetz).
• (A + B)⊤ = A⊤ + B ⊤ .
3.1.4 Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar)
Definition 3.23. Es seien λ eine reelle Zahl und A = (aij )i=1,...,m;
Matrix. Dann heißt die Matrix
λA := (λaij )i=1,...,m;
j=1,...,n
eine m × n-
j=1,...,n
λ-faches von A oder Produkt der Zahl λ mit der Matrix A.
Beispiel 3.24. (Fortsetzung von Beispiel 3.21) Kann der Unternehmer den durch A2 − A1
gegebenen Zuwachs im dritten Quartal verdoppeln, d. h. gilt
A3 − A2 = 2(A2 − A1 ) ,
wobei A3 die Lieferungen im dritten Quartal beinhaltet, so gilt für A3 − A2 und A3 =
(A3 − A2 ) + A2 :
Zuwachs 3. Qu. E1 E2 E3 E4
V1
2 12 2
2
A3 − A2 :
38 6
4
4
V2
2
4 14 16
V3
13.11.09
Lief. 3. Qu. E1 E2 E3 E4
V1
20 41 48 61
A3 :
158 43 22 23
V2
16 57 74 66
V3
Satz 3.25. Für die Multiplikation von reellen Zahlen λ, µ mit Matrizen A, B gleichen Typs
gelten
(λµ)A = λ(µA) , (λ + µ)A = λA + µA , λ(A + B) = λA + λB .
46
3.1 Matrizen
3.1.5 Multiplikation von Matrizen
Definition 3.26. Es seien A eine m × p-Matrix und

 
a11 a12 · · · a1p
b11
 a21 a22 · · · a2p  b21

 
A·B = .
..
..  ·  ..
.
 .
.
.   .
am1 am2 · · · amp
bp1

a11 b11 + · · · + a1p bp1 · · ·

..
:= 
.
B eine p × n-Matrix. Dann heißt

b12 · · · b1n
b22 · · · b2n 

..
.. 
.
. 
bp2 · · · bpn

a11 b1n + · · · + a1p bpn

..

.
am1 b11 + · · · + amp bp1 · · · am1 b1n + · · · + amp bpn
das Produkt der Matrizen A und B (oder: Produktmatrix von A und B).
Satz 3.27. Es gilt
mit C = (cik )i=1,...,m;
A·B =C
und
cik =
p
X
l=1
ail · blk
k=1,...,n
für i = 1, ..., m und k = 1, ..., n .
Bemerkung 3.28. Der Koeﬃzient cik der Produktmatrix
C = A · B ist folglich das Skalar
produkt des i-ten Zeilenvektors ai1 ai2 · · · aip von A und des k-ten Spaltenvektors
⊤
b1k b2k · · · bpk
von B, d. h. es gilt
ai1 ai2


b1k


b2k 
· · · aip  .  = ai1 b1k + ai2 b2k + · · · + aip bpk = cik .
 .. 
bpk
4 7 6
0 3
. Dann gilt
,B=
Beispiel 3.29. Es seien A =
−2 3 1
4 2
−6 9 3
.
A·B =
12 34 26
0 −1
1 −1
. Dann gilt
,B=
Beispiel 3.30. Es seien A =
1 0
−1 1
1 −1
−1 −1
=B·A.
6=
A·B =
1 −1
1
1
47
3 Matrizen und Determinanten
Beispiel 3.31. Materialverﬂechtungsmatrizen: Aus vier Rohstoﬀen R1 , R2 , R3 , R4 werden
über drei Zwischenprodukte Z1 , Z2 , Z3 zwei Endprodukte E1 und E2 hergestellt:
Z
A: 1
Z2
Z3
R1 R2 R3 R4
14 6
3
2
0
1
2
1
3
7
1 10
B : E1
E2
Z1 Z2 Z3
6
9 11
3
2
7
Der Betrieb benötigt z. B. 6 Einheiten des Rohstoﬀes R2 , um eine Einheit des Zwischenproduktes Z1 herzustellen; und z. B. 11 Einheiten des Zwischenproduktes Z3 um 1 Einheit des
Endproduktes E1 herzustellen.
Die Koeﬃzienten cik , i = 1, ..., 4; k = 1, 2, der 4 × 2-Produktmatrix


14 6 3 2
117
122
47
131
6 9 11 
,
· 0 1 2 1=
C :=B·A=
63 69 20 78
3 2 7
3 7 1 10
C:
R1 R2 R3 R4
E1 117 122 47 131
E2 63 69 20 78
geben die Einheiten des Rohstoﬀs Ri , i = 1, ..., 4, an, die zur Herstellung einer Einheit des
Endproduktes Ek , k = 1, 2, erforderlich sind.
So benötigt man z. B. für 1 Einheit von E1 6 Einheiten von Z1 und 11 Einheiten von Z3 , die
zu ihrer Produktion wiederum 6 · 14 + 3 · 11 = 117 Einheiten von R1 erforderlich machen.
Beispiel 3.32. Übergangsmatrizen in der Marktforschung: Es seien P1 , P2 , P3 Produkte mit
den Marktanteilen von 0.6, 0.3 bzw. 0.1 zu einem Zeitpunkt T0 . Die Zahl aik mit 0 ≤ aik ≤ 1
sei der Anteil der Käufer von Produkt Pi zum Zeitpunkt T1 , der zum Zeitpunkt T0 das
Produkt Pk gewählt hatten. Dann heißt die quadratische Matrix
A = (aik )i,k=1,2,3
die Matrix der Käuferﬂuktuation. Dabei ist z. B. a22 ·100% die prozentuale Markentreue
und (a12 + a32 ) · 100% ist der prozentuale Markenwechsel bzgl. P2 .
Beschreibt beispielsweise

0.6 0.1 0.3
A = 0.1 0.9 0.0
0.4 0.4 0.2

jeweils die Matrix der Käuferﬂuktuation von T0 zu T1 und von Zeitpunkt T1 zum Zeitpunkt
T2 , so beschreibt A · A =: A2 die Matrix der Kundenﬂuktuationen vom Zeitpunkt T0 zum
Zeitpunkt T2 :


 

0.6 0.1 0.3
0.6 0.1 0.3
0.49 0.27 0.24
A2 = 0.1 0.9 0.0 0.1 0.9 0.0 = 0.15 0.82 0.03
0.4 0.4 0.2
0.4 0.4 0.2
0.36 0.48 0.16
48
3.1 Matrizen
Die Marktanteile der Produkte P1 , P2 , P3 zum Zeitpunkt T0 haben sich im Zeitpunkt T2
folgendermaßen geändert:
P1 : 0.6 → 0.375 ,
wie die Rechnung zeigt:
P2 : 0.3 → 0.456 ,
P3 : 0.1 → 0.169 ,

   

0.3774
0.6
0.49 0.15 0.24
0.27 0.82 0.03 · 0.3 = 0.4128 .
0.3856
0.1
0.36 0.48 0.16
Satz 3.33. Es seien A eine m × p-Matrix, B eine p × q-Matrix, C eine q × n-Matrix, D
eine p × q Matrix und E die p- bzw. m-reihige Einheitsmatrix. Dann gelten
(A · B) · C = A · (B · C) ,
A · (B + D) = A · B + A · D ,
(B + D) · C = B · C + D · C ,
A · E = A ,E · A = A ,
(A · B)⊤ = B ⊤ A⊤ .
3.1.6 Lineare Gleichungssysteme in Matrizen-Darstellung
Wir kehren zum linearen Gleichungssystem (G) mit der Koeﬃzientenmatrix A ∈ Rm×n , der
Seite b ∈ Rm = Rm×1 und dem Vektor der Unbekannten x ∈ Rn = Rn×1 zurück. Unter
Verwendung der Matrizenmultiplikation lautet es nun
A·x=b.
(3.2)
Betrachten wir das Leontief-Modell (L). Mit Z = (zij )i,j=1,2,3 , y = (y1 , y2 , y3 ), x = (x1 , x2 , x3 )
und der dreireihigen Einheitsmatrix E lautet es
(E − Z) · x = y .
Es ist also auch von der Form (3.2) mit A = E − Z und b = y.
Zu klären wäre also, unter welchen Voraussetzungen an A und b das Gleichungssystem (3.2)
lösbar ist und wie gegebenenfalls die Lösungsmenge bestimmt werden kann.
Heuristik: Wenn es eine n × m-Matrix B derart gibt, dass
B · A = En
mit der n-reihige Einheitsmatrix En gilt, so folgt
x = En · x = B · A · x = B · b ,
also x = B · b, d. h., wir hätten (G) gelöst.
49
3 Matrizen und Determinanten
3.1.7 Die inverse Matrix
Für eine Zahl a ∈ R ist a−1 deﬁniert als diejenige Zahl b ∈ R, mit der ab = 1 gilt. Ein solches
b existiert genau dann, wenn a 6= 0 ist, und dann gilt auch ba = 1.
Für eine quadratische m × m-Matrix A soll nun durch die analoge Gleichung
(3.3)
AB = E
die inverse Matrix A−1 deﬁniert werden.
Definition 3.34. Die m × m-Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine m × m-Matrix B
gibt, so dass (3.3) gilt.
Satz 3.35. Ist A invertierbar, so gibt es genau eine Matrix B mit (3.3).
Definition 3.36. Ist A invertierbar, so heißt die Matrix B mit (3.3) die Inverse von A
(oder zu A inverse Matrix) und wird mit A−1 bezeichnet.
Bemerkung 3.37. 1. Neben (3.3) gilt dann auch B A = E; insgesamt gilt also
A A−1 = A−1 A = E .
(3.4)
2. Aus der Analogie zu den Zahlen darf man nicht schließen, dass jede quadratische Matrix
A 6= 0 invertierbar sei.
Beispiel 3.38. Gegeben sei eine 2-reihige Matrix
a11 a12
A=
.
a21 a22
Die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn
(3.5)
a11 a22 − a12 a21 6= 0 ,
und es gilt dann
−1
A
1
=
a11 a22 − a12 a21
a22 −a12
−a21
a11
.
Dies bestätigt man, indem man die Gültigkeit von (3.4) veriﬁziert.
Bemerkung 3.39. Später werden wir sehen, dass die Bedingung (3.5) auch notwendig für die
Existenz von A−1 bei einer 2 × 2 Matrix A ist.
50
3.2 Determinanten
Hiermit ist z. B. die Matrix A =
1 0
1 0
nicht invertierbar.
Satz 3.40. Für invertierbare m × m-Matrizen A, B gelten die folgenden Rechenregeln:
(A−1 )−1 = A ,
(A−1 )⊤ = (A⊤ )−1 ,
(A B)−1 = B −1 A−1 .
Bei der letzten Formel beachte man wieder die Änderung der Reihenfolge.Mittels der Inversen können wir nun gewisse Matrixgleichungen lösen.
Beispiel 3.41. Gegeben seien eine invertierbare m × m-Matrix A und eine m × r-Matrix
B. Gesucht ist eine m × r-Matrix X mit A X = B.
Lösung. Es gilt (man beachte die jeweilige Rechenregel)
AX =B
⇐⇒
⇐⇒
A−1 (A X) = A−1 B
X = A−1 B .
⇐⇒
(A−1 A)X = A−1 B
⇐⇒
E X = A−1 B
3.2 Determinanten
3.2.1 Der Begriff der Determinante
Definition 3.42. Die Determinante det A einer n-reihigen (also quadratischen) Matrix
A wird rekursiv deﬁniert durch:
• Für n = 1 gilt
det A = a11 .
• Für n ≥ 2 gilt
a11 · · · a1n n
X
..
.
.
(−1)i+1 ai1 det Ai1 .
det A = .
. :=
i=1
an1 · · · ann Hierbei bezeichnet Ai1 , i = 1, . . . , n, die (n − 1)-reihige Matrix, die aus A durch Streichen
der ersten Spalte und der i-ten Zeile entsteht.
Bemerkung 3.43. 1. Für n = 2 erhalten wir die schon bekannte Formel
det A = a11 a22 − a21 a12 .
2. Für n = 3 ﬁnden wir
a22 a23
a12 a13
a12 a13
det A = a11 det
− a21 det
+ a31 det
a22 a23
a32 a33
a32 a33
20.11.09
= a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a21 (a12 a33 − a13 a32 ) + a31 (a12 a23 − a13 a22 ) ,
also ebenfalls die schon bekannte Formel.
51
3 Matrizen und Determinanten
Beispiel 3.44. Es gilt

3 1
5
0
 0 2
1 −1
det 
 0 4 −2
3
2 3
0
2





2
1 −1
1
5 0

 = 3 · det  4 −2
3  − |{z}
0 · det  4 −2 3 
 |{z}
3
0
2
3
0 2
a11
a21
|
|
{z
}
{z
}
A11
A21

1
5
0
1 5
0
1 −1 
2 · det  2
+ |{z}
0 · det  2 1 −1  − |{z}
4 −2
3
3 0
2
a41
a31
|
{z
}
{z
}
|



A31
Weiter gilt
det A11 = 2 · det
−2 3
0 2
− 4 · det
1 −1
0
2
A41
+ 3 · det
1 −1
−2
3
= 2 · [(−2) · 2 − 3 · 0] − 4 · [1 · 2 − (−1) · 0] + 3 · [1 · 3 − (−1) · (−2)] = −13 .
det A21 und det A31 brauchen nicht berechnet zu werden, da sie mit Null multipliziert werden
und somit keinen Beitrag liefern. Ferner gilt det A41 = −49 (nachrechnen!). Hiermit erhalten
wir schließlich
det A = 3 · (−13) − 2 · (−49) = 59 .
Es sei nun A eine beliebige obere Dreiecksmatrix:


a11
∗


a22


A=
 (∗ :
..


.
0
ann
beliebige Elemente).
Man erhält
det A = a11 · det A11 − 0 · det A21 + · · · + (−1)n+1 · 0 · det An1 = a11 det A11 .
Hierbei ist z. B.


A11 = 
a22
0
..
.
∗
ann



wieder eine obere Dreiecksmatrix. Daher ergibt sich hier:
Satz 3.45. Für eine obere Dreiecksmatrix A ergibt sich die Determinante det A als Produkt
der Hauptdiagonalelemente,
det A = a11 a22 · · · ann .
Die Determinante einer Dreiecksmatrix lässt sich also besonders einfach berechnen.
52
3.2 Determinanten
3.2.2 Das Rechnen mit Determinanten
Definition 3.46. Sei A eine n × n-Matrix mit n ≥ 2. Mit Aik bezeichnen wir die (n − 1)reihige Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte (also gerade
der Zeile und Spalte, in der aik steht) entsteht.
Satz 3.47 (Entwicklungssatz). Die Determinante det A einer n × n-Matrix A, n ≥ 2, kann
durch Entwicklung nach einer beliebigen Spalte oder Zeile berechnet werden. Dabei bedeutet
– Entwicklung nach der k-ten Spalte:
n
X
det A =
(−1)i+k aik det Aik ,
i=1
n
– Entwicklung nach der i-ten Zeile: X
det A =
(−1)i+k aik det Aik .
k=1
Bemerkung 3.48. 1. Die Vorzeichen (−1)i+k können nach dem „Schachbrettmuster“ ermittelt
werden:


+ − + ···
 − + − ··· 


 + − + ··· .


.. .. .. . .
.
. . .
2. Dieser Satz eignet sich zur Berechnung einer n-reihigen Determinante, falls n klein ist
oder viele Elemente gleich 0 sind.
Beispiel 3.49. Die Determinante der Matrix

1
3 4
A =  3 −2 2 
0
2 0

berechnet man zweckmäßig durch Entwicklung nach der 3. Zeile und erhält:
det A = 0 · det A31 − 2 · det
|
1 4
+0 · det A33 = 20 .
3 2
{z
}
det A32
53
3 Matrizen und Determinanten
Beispiel 3.50. Es gilt
1
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
3
0
0
0 0 3
7 −3
0
1 1 = 1 · 0
3 6 0
0 −1
3
= 1 · 3 0
0
0 0
7 −3
0 3
1 1
−
2
·
0 0
3 6 0 0
0 −1
1 1 3
3 6 = 1 · 3 · 3 0
0 −1
4
3
0
0
0 0 1 1 3 6 0 −1
6 = 1 · 3 · 3 · (−3) = −27 ,
−1
wobei stets nach der ersten Spalte entwickelt wurde. Es gilt aber auch
1
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
3
0
0
0 0 3
7 −3
0
1 1 = 1 · 0
3 6 0
0 −1
7 −3
3 1 1 1 1
= 1 · 3 · 0 3 6 3 6
0 0 −1
0 −1
3 1
= 1 · 3 · 3 · (−3) = −27 .
= 1 · 3 · (−1) · 0 3
4
3
0
0
Wir betrachten eine n × n-Matrix A mit den Spalten s1 , . . . , sn , d. h.,

 
s1,1 · · · sn,1
⊤ ··· ⊤

..  .
A = (s1 , . . . , sn ) =  s1 · · · sn  =  ...
. 
⊥ ··· ⊥
s1,n · · · sn,n

Satz 3.51. 1. Vertauscht man zwei (verschiedene) Spalten si und sk , i 6= k, so wechselt die
Determinante das Vorzeichen:
det(s1 , . . . , si , . . . , sk , . . . , sn ) = − det(s1 , . . . , sk , . . . , si , . . . , sn ) .
2. Herausziehen eines gemeinsamen Faktors aus einer Spalte:
det(s1 , . . . , α si , . . . , sn ) = α det(s1 , . . . , si , . . . , sn )
(α ∈ R) .
3. Addition zweier n-reihiger Determinanten, die sich nur in einer Spalte unterscheiden:
det(s1 , . . . , si , . . . , sn ) + det(s1 , . . . , s′i , . . . , sn ) = det(s1 , . . . , si + s′i , . . . , sn ) .
4. Addition eines Vielfachen der k-ten Spalte zur i-ten Spalte, k 6= i, ändert die Determinanten nicht:
det(s1 , . . . , si , . . . , sk , . . . , sn ) = det(s1 , . . . , si + αsk , . . . , sk , . . . , sn )
54
(α ∈ R) .
3.2 Determinanten
Satz 3.52. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man die Matrix transponiert,
det A = det A⊤ .
Bemerkung 3.53. Wegen Satz 3.52 gelten alle Eigenschaften aus Satz 3.51 daher auch für
Zeilen.
Satz 3.54. Für Matrizen n × n-Matrizen A, B gilt
det(A B) = (det A)(det B) .
Weiter haben wir:
Satz 3.55 (Invertierbarkeitskriterium). Für n-reihige Matrizen A gilt
A ist invertierbar
Wenn det A 6= 0 gilt, so gilt
⇐⇒
det(A−1 ) =
det A 6= 0 .
1
.
det A
Die zweite Aussage des Satzes folgt aus 1 = det E = det(A A−1 ) = (det A)(det A−1 ),wobei
das dritte Gleichheitszeichen nach Satz 3.54 mit B := A−1 gilt.
Beispiel 3.56. Für die Matrix
A=
a11 a12
a21 a22
gilt det A = a11 a22 − a12 a21 . Nach Satz 3.55 ist A also genau dann invertierbar, wenn
a11 a22 − a12 a21 6= 0
gilt, vgl. Beispiel 3.38.
3.2.3 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme im Fall m = n
Wir betrachten nun das lineare Gleichungssystem (3.2) mit m = n, d. h.,
Anzahl der Gleichungen (m) = Anzahl der Unbekannten (n),
also ein lineares Gleichungssystem der Form
a11 x1
..
.
an1 x1
+ · · · + a1n xn = b1
..
..
.. ..
.
.
. .
+ · · · + ann xn = bn ,
(3.6)
55
3 Matrizen und Determinanten
kurz
Ax=b
(3.7)
mit einer Matrix A ∈ Rn×n und einem Spaltenvektor b ∈ Rn .
Satz 3.57. Gegeben sei eine Matrix A ∈ Rn×n . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Das homogene lineare Gleichungssystem A x = 0 hat nur die triviale Lösung x = 0.
(b) Für jedes b ∈ Rn hat das inhomogene lineare Gleichungssystem A x = b genau eine
Lösung x.
(c) Die Matrix A ist invertierbar.
(d) Es gilt det A 6= 0.
Folgerung 3.58. Ist A invertierbar, so ist die Lösung x von (3.7) gegeben durch
x = A−1 b .
Satz 3.59. Für invertierbare n-reihige Matrizen A gilt
⊤
−1
i+k det Aik
A = (−1)
.
det A i,k=1,...,n
Beispiel 3.60. Die Lösung (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 des linearen Gleichungssystems
x1 + 2x2 − x3 = b1
x2 + 2x3 = b2
−x1 + 3x2 + x3 = b3
ist für einen beliebigen Vektor (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 zu bestimmen.
Lösung. Für

1 2 −1
2 
A= 0 1
−1 3
1

56
(3.8)
3.2 Determinanten
erhalten wir mit Satz 3.59

A−1
1 2
3 1


  2 −1
1

− =
1 2 −1 
3
1


0 1
2  2 −1
−1 3
1 1
2
 1 1


⊤
1
1
2
5 − 10
2
1
1
1
 =
= 2 0
2
5
1
1
− 21 15 − 10
− 10
Nach (3.8) gilt folglich

 
1
x1
2
1
 x2  = 
5
1
x3
− 10
1
2
0
1
2
− 12
1
5
1
− 10
0 1 0 2 − −1 3 −1 1 1 −1 − 1 2 −1 3 −1
1 1 2 1 −1 − 0 1 0
2 
1
− 21
2
1 
0
.
5
1
1
2 − 10

 
1
b1
2 b1 +
1
  b2  = 
5 b1
1
b3
b1 +
− 10
1
2 b2
1
2 b2
−
+
−
⊤









1
2 b3
1
5 b3
1
10 b3

.
Abschließend geben wir eine Lösungsdarstellung mittels Determinanten an.
Satz 3.61 (Cramer-Regel). Ist A = (aik ) ∈ Rn×n invertierbar und
das lineare Gleichungssystem (3.6) die Lösung x = (x1 , . . . , xn ) mit

a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1n
1

..
..
..
· det 
xi =
.
.
.
det A
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
gilt b ∈ Rn , dann hat


,
(3.9)
d.h., zur Berechnung von xi wird die i-te Spalte von A durch b ersetzt, i = 1, . . . , n.
Wegen des hohen Aufwandes bei der Determinantenberechnung hat diese Regel zur praktischen Lösung eines linearen Gleichungssystems nur für n ≤ 3 und in einigen Spezialfällen
Bedeutung.
Beispiel 3.62. Das lineare Gleichungssystem
2x1 + x2 − x3 = −6
x1
− 2x3 = −8
−x1 + 3x2 + 4x3 = 17
soll nach der Cramer-Regel gelöst werden.
Lösung. Zunächst gilt

2 1 −1
det A = det  1 0 −2  = 7 .
−1 3
4

57
3 Matrizen und Determinanten
Wegen det A 6= 0 ist A invertierbar, also die Cramer-Regel anwendbar. Nach (3.9) gilt




−6 1 −1
2 −6 −1
1
1
x1 = det  −8 0 −2  = −2 , x2 = det  1 −8 −2  = 1 ,
7
7
17 3
4
−1 17
4


2 1 −6
1
x3 = det  1 0 −8  = 3 .
7
−1 3 17
Das folgende Beispiel demonstriert, dass die Cramer-Regel aber auch für spezielle höherdimensionale Probleme sinnvoll eingesetzt werden kann:
Beispiel 3.63. Betrachte das lineare Gleichungssystem


1 2 3 0
 2 3 0 0 

A x = b mit A = 
 3 0 2 1 ,
0 1 0 2
Gesucht ist nur die zweite Komponente x2 der Lösung x.
Lösung. Mit Entwicklung nach der vierten Zeile



1 2
1 3 0
det A = 1 det  2 0 0  + 2 det  2 3
3 0
3 2 1
Weiter folgt mit (3.9) und

1 2
 2 0
det 
 3 1
0 0
und daher x2 =
1
16 .

2
 0 

b=
 1 .
0

erhalten wir

3
0  = −6 + 2 · (6 − 8 − 27)) = −64 .
2
Entwicklung nach der


3 0
1
0 0 
 = 2 det  2
2 1 
3
0 2
vierten Zeile

2 3
0 0  = 2 · (6 − 8) = −4
1 2
3.3 Zusammenfassung
Wir haben gesehen, wie man lineare Gleichungssysteme mit Hilfe von Matrizen schreiben
kann. Im Falle linearer Gleichungssysteme mit n Gleichungen und n Unbekannten haben wir
die Determinanten einerseits als ein Hilfsmittel zur Lösbarkeitsentscheidung kennengelernt
aber auch als ein Hilfsmittel zur Berechnung der Lösungen.
Das Berechnen von Determinanten höherer Ordnung nach den uns bekannten Methoden ist
aber sehr aufwändig. Für lineare Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Unebekannten, m 6= n, nützen und Determinanten nichts.
27.11.09
Wir benötigen als bessere Verfahren zur Berechnung von Determinanten und Lösungsverfahren für allgemeine lineare Gleichheitssysteme.
58
4 Das Austauschverfahren
4.1 Motivation
Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem
a11 x1 + a12 x2 +· · ·+ a1n xn = b1
(4.1)
a21 x1 + a22 x2 +· · ·+ a2n xn = b2
..
..
.
.
am1 x1 +am2 x2 +· · ·+amn xn = bm
aus m Gleichungen mit n Unbekannten. Mit


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A= .
..  ,
.
 .
. 
am1 am2 · · · amn
lautet es kurz

b1
 b2 
 
b =  . ,
 .. 

bm

x1
 x2 
 
x= . 
 .. 

xn
(4.2)
Ax = b .
Im Fall m = n könnte man probieren, (4.2) durch Inversion von A zu lösen,
x = A−1 b ,
falls m = n, det A 6= 0 .
Mit a = −b bringen wir (4.2) in die äquivalente sogenannte Normalform
Ax + a = 0 .
(4.3)
Neben (4.3) betrachten wir das sogenannte allgemeine lineare Gleichungssystem
y = Ax + a .
(4.4)
Interpretiert man x als Eingang und y aus Ausgang, so ist der Eingang x so zu bestimmen,
dass der Ausgang y zum Nullvektor wird.
Mit (4.4) ist die Abbildung
f : Rn → Rm ,
f (x) = A x + a
verbunden. Im Falle von a = 0 ist dies eine sogenannte lineare Abbildung , da dann
f (λx + µy) = λf (x) + µf (y)
für x, y ∈ Rn , λ, µ ∈ R
59
4 Das Austauschverfahren
gilt. Im Allgemeinen ist f nicht mehr linear, ist aber eine aﬃn-lineare Abbildung . Interpretiert man (4.4) zeilenweise, so ist mit (4.4) ein System von reell-wertigen aﬃn-linearen
Funktionen
fi : Rn → R, fi (x) = ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn + ai
verbunden, weswegen (4.4) auch als System linearer Funktionen bezeichnet wird.
Zur Lösung des linearen Gleichungssystems (4.3) versucht man nun x so zu bestimmen,
dass (4.4) mit y = 0 gilt. Eine Idee dazu wäre, die aﬃn-lineare Abbildung f insgesamt zu
invertieren, d. h.
f (x) = y
nach x aufzulösen. Das wird im Allgemeinen nicht gelingen.
Eine abgeschwächte Idee wäre, im Gleichungssystem f (x) = y eine Gleichung nach einer
Komponente von x aufzulösen, also eine der Funktionen fi bezüglich xi zu invertieren, und
dann die erhaltene Beziehung für xi in die anderen Gleichungen einzusetzen. Man probiert
dann das Verfahren weiter anzuwenden, bis man möglichst nach allen xi aufgelöst hat.
Beispiel 4.1. Wir betrachten
y1 = a11 x1 +a12 x2 + a1
y2 = a21 x1 +a22 x2 + a2 .
(4.5)
Wir nehmen a11 6= 0 an. Dann können wir in der ersten Gleichung von (4.7) nach x1 auﬂösen
und erhalten
1
a12
a1
x1 =
y1 −
x2 −
.
a11
a11
a11
Wegen
a21 (
1
a12
a1
a21
a11 a22 − a21 a12
a11 a2 − a21 a1
y1 −
x2 −
) + a22 x2 + a2 =
y1 +
x2 +
a11
a11
a11
a11
a11
a11
ergibt sich durch Einsetzen in (4.5)
x1 = a′11 y1 +a′12 x2 + a′1
y2 = a′21 y1 +a′22 x2 + a′2
(4.6)
mit
1
,
a11
a21
=
,
a11
a12
,
a11
a11 a22 − a21 a12
=
,
a11
a′11 =
a′12 = −
a′21
a′22
a1
,
a11
a11 a2 − a21 a1
b′2 =
.
a11
a′1 = −
Im Unterschied zu (4.5) haben wir in (4.6) die Variablen x1 und y1 ausgetauscht. Gilt nun
a′22 =
60
a11 a22 − a21 a12
6= 0 ,
a11
4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus
so können wir auch x2 gegen y2 austauschen. Analog zu oben erhalten wir
x1 = a′′11 y1 +a′′12 y2 + a′′1
x2 = a′′21 y1 +a′′22 y2 + a′′2
(4.7)
mit
a′22 a′11 − a′21 a′12
a′
, a′′12 = ′12 ,
′
a22
a22
′
a
1
= − ′21 ,
a′′22 = ′ ,
a22
a22
a′′11 =
a′′21
a′21 a′1 − a′11 a′2
,
a′22
a′
a′′2 = − ′2 .
a22
a′′1 =
Mit y1 = y2 = 0 lesen wir aus (4.7) die eindeutige Lösung
x1 = a′′1 ,
x2 = a′′2
ab.
Ziel ist nun, dass im Beispiel beschriebene Verfahren so zu verallgemeinern und zu strukturieren, dass wir damit Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Unbekannten behandeln
können. Dazu sollte eine Schreibweise gewählt werden, die auf weitgehend auf das Nötigste
reduziert aber gut lesbar bleibt.
Mit a10 = a1 ,a20 = a2 könnten wir zum Beispiel (4.5) durch folgendes Tableau ersetzen:
x1
a11
a12
y1
y2
x2
a12
a22
1
a10
a20
4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus
4.2.1 Vorbereitung
Wir schreiben das lineare Gleichungssystem (4.1)
a11 x1 + a12 x2 +· · ·+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +· · ·+ a2n xn = b2
..
..
.
.
als Tableau
am1 x1 +am2 x2 +· · ·+amn xn = bm
y1
y2
..
.
x1
a11
a21
..
.
x2
a12
a22
..
.
···
···
···
xn
a1n
a2n
..
.
1
a10
a20
ym
am1
am2
···
amn
am0
mit
ai0 = −bi
für i = 1, . . . , m .
61
4 Das Austauschverfahren
4.2.2 Theoretische Durchführung des ersten Austauschschrittes
Im Tableau
(T)
y1
..
.
x1
a11
..
.
···
···
xτ
a1τ
..
.
···
···
xn
a1n
..
.
1
a10
..
.
yσ
..
.
aσ1
..
.
···
aστ
..
.
···
aσn
..
.
aσ0
ym
am1
···
amτ
···
amn
am0
wollen wir xτ gegen yσ austauschen und setzen dazu
aστ 6= 0
voraus. Die Zeile σ heißt Pivotzeile, die Spalte τ heißt Pivotspalte und aστ heißt Pivotelement oder Hauptstützelement.
Der Zeile σ entspricht die Gleichung
yσ = aσ1 x1 + · · · + aστ xτ + · · · + aσn xn + aσ0 .
Lösen wir diese Gleichung nach xτ auf und ersetzen wie im Beispiel 4.1 in den anderen
Gleichungen des Gleichungssystems xτ durch den entsprechenden Ausdruck, so erhalten wir
das neue Tableau
(T’)
y1
..
.
x1
a′11
..
.
···
···
yσ
a′1τ
..
.
···
···
xn
a′1n
..
.
1
a′10
..
.
xτ
..
.
a′σ1
..
.
···
a′στ
..
.
···
a′σn
..
.
a′σ0
ym
a′m1
···
a′mτ
···
a′mn
a′m0
mit den Austauschregeln
a′στ =
(R2 )
a′σk
(R3 )
a′iτ
(R4 )
a′ik
Wir erhalten:
62
1
,
aστ
aσk
für k = 0, . . . , n mit k 6= τ ,
=−
aστ
aiτ
=
für i = 1, . . . , m mit i 6= σ ,
aστ
aik aστ − aiτ aσk
für i = 1, . . . , m, k = 0, . . . , n mit k 6= τ, i 6= σ .
=
aστ
(R1 )
4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus
Satz 4.2. Falls aστ 6= 0 gilt, kann man das Tableau (T ) in ein neues Tableau (T ′ ) unter
Anwendung der Regeln R1 , R2 , R3 , R4 so umwandeln, dass die (T) bzw. (T’) entsprechenden
Gleichungssysteme äquivalent sind: Alle Werte x1 , x2 , ..., xn , y1 , y2 , ..., ym , die (T ) erfüllen,
genügen auch (T ′ ) und umgekehrt.
Beweis. Mit p = aστ lautet die Zeile σ von (T )
yσ = aσ1 x1 + aσ2 x2 + · · · + pxτ + · · · + aσn xn + aσ0 .
Wegen p = aστ 6= 0 kann man diese Gleichung nach xτ auﬂösen und erhält:
xτ =
aσ2
1
aσn
aσ0
aσ1
x1 +
x2 + · · · + yσ +
xn +
−p
−p
p
−p
−p
(4.8)
Durch Vergleich von (4.8) mit der Zeile σ von (T ′ )
′
xτ = a′σ1 x1 + a′σ2 x2 + · · · + a′στ yσ + · · · + ασn
xn + aσ0
(4.9)
ergeben sich die Austauschregeln R1 und R2 . Setzt man (4.9) in die i-te Zeile (für i 6= σ)
yi = ai1 x1 + ai2 x2 + ... + aik xk + ... + aiτ xτ + ... + ain xn + ai0
von (T ) ein, so ergibt sich, wenn man nach x1 , x2 , ..., xk , ..., yσ , ..., xn ordnet,
yi = (ai1 +aiτ a′σ1 )x1 +(ai2 +aiτ a′σ2 )x2 +· · ·+aiτ a′στ yσ +· · ·+(ain +aiτ a′σn )xn +(ai0 +aiτ a′σ0 ).
Vergleicht man dies mit der Zeile i 6= σ von (T ′ )
yi = a′i1 x1 + a′i2 x2 + · · · + a′iτ yσ + · · · + a′in xn + a′i0 ,
so erhält man für k 6= τ die Austauschregel R4 und für k = τ unter Beachtung von a′στ =
(Austauschregel R1 ) die Austauschregel R3 .
1
p
Somit ist gezeigt, dass man aus (T ) mit Benutzung von R1 bis R4 das äquivalente Tableau
(T ′ ) erhält.
4.2.3 Praktische Durchführung des ersten Austauschschrittes
Ziel unseres Verfahrens ist auch, die Zahl der Rechenschritte zu minimieren. Aus Regel R4
erhalten wir durch Kürzen
(R4′ )
a′ik = aik −
aiτ aσk
aστ
für i = 1, . . . , m, k = 0, . . . , n mit k 6= τ, i 6= σ ,
was jeweils eine Multiplikation weniger als in R4 ist. Wenden wir nun noch Regel R2 an, so
ergibt sich
63
4 Das Austauschverfahren
(R4′′ )
a′ik = aik + aiτ a′σk
für i = 1, . . . , m, k = 0, . . . , n mit k 6= τ, i 6= σ .
Da die Zahlen a′σk somit zur Berechnung des neuen Tableaus mehrfach verwendet werden,
sollten wir sie an passender Stelle notieren: Wir ergänzen (T ) nach Regel R2 durch die
Kellerzeile K der Zahlen
a′σk = −
aσk
aστ
für k = 0, . . . , n mit k 6= τ ,
wobei wir in die Pivotspalte ein ∗ eintragen:
···
xk
xn
1
···
a1n
..
.
a10
p
..
.
···
aσn
..
.
aσ0
···
aiτ
..
.
···
ain
..
.
ai0
···
amτ
···
amn
am0
a′σn
a′σ0
···
T
x1
y1
..
.
a11
..
.
···
a1k
..
.
···
a1τ
..
.
yσ
..
.
aσ1
..
.
···
aσk
..
.
···
yi
..
.
ai1
..
.
···
aik
..
.
ym
am1
K
···
amk
a′σ1
a′σk
xτ
∗
···
Das neue Tableau (T ′ ) erhalten wir nun durch folgende Austauschschritte:
• (A1 ) Ersetze das Pivotelement aστ entsprechend R1 durch
1
aστ .
• (A2 ) Ersetze anderen Elemente aσk in der Pivotzeile durch die Elemente in der Kellerzeile.
• (A3 ) Ersetze anderen Elemente aiτ in der Pivotspalte entsprechend R3 durch
aiτ
aστ .
• (A4 ) Ersetze schließlich alle übrigen Elemente aik durch ihre Summe mit dem Produkt
aus dem entsprechenden Element der alten Pivotspalte aiτ und dem entsprechenden
Element a′σk aus der Kellerzeile, also durch aik + aiτ a′σk .
Beispiel 4.3. Wir betrachten
64
4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus
y1 = 3x1 + 2x2 − x3 + x4 − 1
S1
x1
x2
x3
x4
1
y2 = 2x1 + x2 − 3x3 + x4
y1
3
2
1
y3 = x1 − x2 − x4
y2
2
1
−1
−1
y4 = x1 + 2x2 + 2x3 + 1 ,
y3
1
0
y4
1
−1
−1
d. h. das rechtsstehende Tableau
2
−3
2
1
0
0
0
1
K
Wir wählen σ = 3 und τ = 4 und damit das Pivotelement
aστ = −1 6= 0 .
Weiter tragen wir die Kellerzeile der Zahσk
len − aaστ
ein.
Wir wenden nun die Austauschschritte
A1 , A2 , A3 und A4 an und erhalten
S1
x1
x2
x3
x4
1
S2
x1
x2
x3
y3
1
y1
3
2
1
4
1
0
−1
0
3
−1
1
y2
−1
2
−1
y1
y2
−1
y3
1
0
x4
1
0
0
1
1
−1
0
y4
−1
1
−1
0
y4
−1
K
1
∗
0
K
−3
2
2
−1
0
1
2
−3
2
−1
0
0
1
4.2.4 Fortsetzung des Austauschverfahrens
Das Verfahren kann immer fortgesetzt werden, wenn es im entstandenem Tableau noch ein
xτ in der Kopfzeile und ein yσ aus der linken Spalte gibt mit
aστ 6= 0 .
In dem Fall ist der Austausch von xτ gegen yσ durch Anwendung der entsprechenden Schritte
durch Anwendung der Schritte A1 , A2 , A3 und A4 möglich.
Beispiel 4.4. Wir setzen Beispiel 4.3 fort. Wir wollen x3 gegen y1 austauschen, σ = 1,
τ = 3, was wegen
aστ = −1 6= 0
möglich ist.
65
4 Das Austauschverfahren
Wir ergänzen das Tableau durch die Kellerzeile und erhalten:
Wir wenden nun die Austauschschritte
A1 , A2 , A3 und A4 an:
S2
x1
x2
x3
y3
1
S3
x1
x2
y1
y3
1
y1
4
1
y2
3
0
−1
−1
−1
−1
−1
−1
x4
1
0
1
−1
0
y4
−1
K
4
−3
0
2
2
1
∗
x3
4
1
0
y2
0
x4
−9
−3
0
1
y4
9
4
−1
−1
K
−1
−1
Hier wollen wir nun x2 gegen y2 austauschen und tragen die entsprechenden Kellerzeile ein.
S3
x1
x2
y1
y3
1
x3
4
1
y2
−9
−3
−1
−1
−1
0
−1
0
x4
1
y4
9
K
−3
−1
4
∗
3
−2
1
2
−2
2
3
3
−1
1
Es verbleibt, x1 gegen y4 auszutauschen,
wozu die entsprechende Kellerzeile eingetragen wird.
x1
y2
x3
1
x2
−3
− 31
− 13
1
3
− 43
− 94
S4
x4
y4
K
4
−3
∗
y1
y3
1
0
− 31
2
3
− 35
2
3
2
9
0
1
−1
2
2
3
1
−1
3
1
1
−1
−2
2
−2
3
−1
Wir wenden die Austauschschritte A1 ,
A2 , A3 und A4 an:
x1
y2
x3
1
x2
−3
− 13
− 31
1
3
− 34
S4
x4
y4
K
4
−3
y1
y3
1
0
− 31
2
3
− 35
2
3
0
1
−1
2
1
−1
3
Wir wenden die Austauschschritte A1 ,
A2 , A3 und A4 an und erhalten das gesuchte Tableau mit vollständigem Austausch:
S5
y4
y2
y1
y3
1
x3
− 31
− 79
2
3
− 19
1
− 34
− 31
− 13
9
− 49
x2
x4
x1
1
1
Dieses entspricht nach Anordnung entsprechend wachsender Indizes
4
2
1
2
x1 = y1 − y2 + y3 − y4 + 1
3
9
9
3
x2 = −y1 + y2 + y4 − 2
2
7
1
1
x3 = y1 − y2 − y3 − y4 + 1
3
9
9
3
13
7
4
5
x4 = y1 − y2 − y3 − y4 + 3 ,
3
9
9
3
66
3
−1
5
3
2
3
0
− 79
2
9
−2
3
1
4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus
woraus wir mit y = (y1 , y2 , y3 , y4 ) = 0 nun die Lösung
x = (1, −2, 1, 3)
des Gleichungssystems leicht ablesen.
Wie wir dem entstandenem System entnehmen, haben wir eigentlich mehr berechnet als nur
die Lösung des Gleichungssystems. Die Frage wäre, was wir mehr berechnet haben und ob
wir die Rechnung nicht noch weiter reduzieren können.
Beispiel 4.5. Wir betrachten
y1 = 2x1 + x2 + x3 − 2
S1
x1
x2
x3
x4
1
y1
2
1
1
0
y3 = x1 + 5x2 + 2x3
y2
1
0
0
y4 = 2x2 + x4
y3
1
−1
−2
5
2
0
0
y4
0
2
0
1
0
y2 = x1 − x2 + 2
bzw. nebenstehendes Tableau
Wir wollen y4 gegen x4 austauschen und
ergänzen um die entsprechende Kellerzeile:
S1
x1
x2
x3
x4
1
y1
2
1
1
0
y2
1
0
0
y3
1
−1
−2
5
2
0
0
y4
0
2
0
1
0
K
0
−2
0
∗
0
2
Wir wollen x1 gegen y2 austauschen und
ergänzen um die entsprechende Kellerzeile:
S2
x1
x2
x3
y4
1
y1
2
1
1
0
y2
1
0
0
y3
1
−1
−2
5
2
0
0
x4
0
0
1
0
K
∗
−2
0
0
−2
1
2
2
Wir wenden die Austauschschritte A1 ,
A2 , A3 und A4 an:
S2
x1
x2
x3
y4
1
y1
2
1
1
0
y2
1
0
0
y3
1
−1
−2
5
2
0
0
x4
0
−2
0
1
0
K
2
Wir wenden die Austauschschritte A1 ,
A2 , A3 und A4 an:
S3
y2
x2
x3
y4
1
y1
2
3
1
0
x1
1
1
0
0
−6
y3
1
6
2
0
x4
0
−2
0
1
K
−2
−2
0
67
04.12.09
4 Das Austauschverfahren
Wir wollen y1 gegen x3 austauschen und
ergänzen um die entsprechende Kellerzeile:
S3
y2
x2
x3
y4
1
y1
2
3
1
0
x1
1
1
0
0
−6
y3
1
6
2
0
x4
0
0
1
K
−2
−2
∗
0
−3
Wir wenden die Austauschschritte A1 ,
A2 , A3 und A4 an:
S4
y2
x2
y1
y4
1
x3
−2
−3
1
0
6
1
0
0
−3
0
2
0
−2
−2
0
1
1
x1
−2
y3
−2
0
x4
0
K
10
0
6
Für einen vollständigen Austausch müsste noch y2 gegen das in der Kopfzeile verbliebene
x2 ausgetauscht werden. Da das zugehörige Pivotelement 0 ist, geht dies jedoch nicht. Wir
erhalten
x1 = y2 + x2 − 2
x3 = y1 − 2y2 − 3x2 + 6
x4 = y4 − 2x2
y3 = 2y1 − 3y2 + 10 .
Auch hieran erkennt man, dass y3 gegen kein xk mehr austauschbar ist, denn y3 kommt nur
in der letzten Gleichung vor und diese enthält kein xk .
Wir erkennen auch, dass x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) nie so gewählt werden kann, dass das Gleichungssystem mit y = (y1 , y2 , y3 , y4 ) = 0 gelöst wird.
Entstehende Fragen sind:
Wäre ein vollständiger Austausch vielleicht möglich gewesen, wenn wir in einer anderen
Ordnung getauscht hätten?
Was besagt, dass der Austausch nicht vollständig durchgeführt werden konnte?
4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV)
4.3.1 Inversion von Matrizen
Sei A = (aij )i,j=1,...,n eine n-reihige Matrix. Wir betrachten die Gleichung
y = Ax
und damit das Tableau
68
y1
y2
..
.
x1
a11
a21
..
.
x2
a12
a22
..
.
···
···
···
xn
a1n
a2n
..
.
1
0
0
..
.
yn
an1
an2
···
ann
0
4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV)
Wir nehmen nun an, dass ein vollständiger Austausch der x1 , . . . , xn gegen die y1 , . . . , yn
durchgeführt wurde, was (nach Sortieren der Spalten und Zeilen) zum Tableau
x1
x2
..
.
y1
c11
c21
..
.
y2
c12
c22
..
.
···
···
···
yn
c1n
c2n
..
.
1
0
0
xn
cn1
cn2
···
cnn
0
geführt habe. Dieses entspricht der Gleichung
x=Cy
mit der quadratischen Matrix C = (cij )i,j=1,...,n . Mit y = Ax folgt
Ex = x = C A x für alle x ∈ Rn
und damit
CA=E,
d. h.,
A−1 = C .
Mit dem Austauschverfahren haben wir also ein weiteres Verfahren zur Bestimmung der
Inversen von quadratischen Matrizen:
Satz 4.6. Wenn das Austauschverfahren mit einer quadratischen Matrix A vollständig
durchführbar ist, dann ist A invertierbar und man erhält die Inverse A−1 aus dem letzten
Tableau.
Es gilt auch die Umkehrung:
Satz 4.7. Wenn die quadratische Matrix A invertierbar ist, dann ist das Austauschverfahren
mit der quadratischen Matrix A vollständig durchführbar ist, dann ist A invertierbar und
man erhält die Inverse A−1 aus dem letzten Tableau.
Bemerkung 4.8. In den obigen Tableaus zur Berechnung von A−1 besteht die letzte Spalte
stets nur aus Nullen. Da sie keinerlei Bedeutung für die Berechnung von A−1 hat, kann sie
auch weggelassen werden.
Wir bestimmen nun die Anzahl der nötigen Multiplikationen (inklusive Divisionen) und
Additionen (inklusive Subtraktionen) für die Inversion einer n-reihigen Matrix nach obigem
Verfahren:
69
4 Das Austauschverfahren
Wir haben n Austauschschritte durchzuführen. Je Austausch benötigen wir eine Inversion
in A1 , n − 1 Multiplikationen zur Erzeugung der Kellerzeile für A2 , n − 1 Multiplikationen
zur Erzeugung der Elemente in der Pivotspalte und je eine Multiplikation und eine Addition
für die verbleibenden Elemente gemäß A4 . Dies sind je Austausch (n − 1)2 Additionen und
n2 Multiplikationen.
Insgesamt sind höchsten (und im Allgemeinen tatsächlich)
n(n − 1)2
n
3
Additionen
Multiplikationen
zur Berechnung der Inversen einer n-reihigen Matrix mit dem Austauschverfahren nötig.
Wir vergleichen mit der Berechnung der Inversen über die Bestimmung von Determinanten
gemäß Satz 3.59 durch
det Aik
A−1 = (−1)i+k
.
(4.10)
det A
Bezeichnen mn und an die Anzahl der Multiplikationen und Additionen zur Berechnung
einer n-reihigen Determinante, so benötigen wir für die Berechnung einer n-reihigen Determinanten nach Entwicklungssatz die Berechnung von n (n − 1)-reihigen Unterdeterminanten
und dann noch n Multiplikationen und n − 1 Additionen, es gilt also
mn = n · mn−1 + n ,
an = n · an−1 + n − 1 .
Mit
m2 = 2 ,
a2 = 1
ergibt sich
mn ≥ an = n! − 1 .
Wir erhalten beispielsweise folgende Höchstzahlen, welche in ungünstigen Fällen auch erreicht werden:
n
3
4
5
10
100
Austauschverfahren
Additionen Multiplikationen
12
27
36
64
80
125
810
1000
9.801 · 105
106
allein für det A
Additionen Multiplikationen
5
9
23
40
119
205
≈ 3.6 · 106
≈ 6.2 · 106
≈ 9.3 · 10157
≈ 1.6 · 10158
Das Austauschverfahren ist also mindestens ab n = 5 der Berechnung über Determinanten
vorzuziehen.
Beispiel 4.9. Zu bestimmen sei die Inverse von
70
4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV)

1
 2
A=
 3
0
2
3
0
1

0
0 
.
1 
2
3
0
2
0
Mit Austausch von y1 gegen x1 erhalten
wir nebenstehendes Tableau mit entsprechender Kellerzeile.
Wir erhalten mit den Regeln A1 , A2 , A3
und A4
S1
x1
x2
x3
x4
y1
1
2
3
0
y2
2
3
0
0
y3
3
0
2
1
y4
0
1
0
2
K
∗
−2
−3
0
Wir erhalten mit den Regeln A1 , A2 , A3
und A4
S2
y1
x2
x3
x4
S3
y1
y4
x3
x4
x1
1
x1
1
0
y2
2
−3
y3
3
y3
3
0
−7
1
y4
−6
−6
−2
4
2
−3
0
y2
−2
0
2
x2
0
−6
−7
K
0
0
−2
K
−1
1
2
3
−1
1
∗
−1
1
−6
0
2
13
−2
∗
Wir tauschen nun y4 gegen x2 und ergänzen die Kellerzeile.
Wir tauschen nun y2 gegen x4 und ergänzen die Kellerzeile.
Wir erhalten mit den Regeln A1 , A2 , A3
und A4
Wir erhalten mit den Regeln A1 , A2 , A3
und A4
S4
y1
y4
x3
y2
S5
y1
y4
y3
y2
x1
−3
0
9
2
x1
−1
1
2
1
2
3
x4
9
− 64
32
1
2
13
2
12
− 64
2
0
20
64
1
− 64
−6
−1
18
64
6
64
2
64
− 12
64
11
64
7
− 64
13
− 64
14
64
x4
y3
x2
K
−10
∗
x3
x2
− 13
64
4
− 64
20
64
8
64
29
64
1
− 64
6
64
Wir tauschen nun y3 gegen x3 und ergänzen die Kellerzeile.
Damit erhalten wir schließlich
A−1

−12 11
18 −9
1 
8
14 −12 6 
.
·
=

20 −13
2
−1
64
−4 −7
6
29

71
4 Das Austauschverfahren
4.3.2 Lösung Linearer Gleichungssysteme
Wir betrachten die Lösung eines linearen Gleichungssystem
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a12 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
..
.
(4.11)
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
mit n Unbekannten x1 , . . . , xn und m Gleichungen. Hierbei kann m > n, m = n oder m < n
gelten. Wir haben dem Gleichungssystem das allgemeine lineare Gleichungssystem
y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn − b1
y2 = a12 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn − b2
..
.
(4.12)
ym = am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn − bm
und diesem das Tableau
T0
x1
x2
y1
a11
a12
y2
..
.
a21
..
.
a22
..
.
ym
am1
am2
xn
1
···
a1n
a10
···
a2n
..
.
a20
···
amn
am0
···
mit
ai0 = −bi
für i = 1, . . . , m
zugeordnet. Dabei ist x = (x1 , x2 , . . . , xn ) genau dann eine Lösung von (4.11), wenn (4.12)
für dieses x = (x1 , x2 , . . . , xn ) mit y = (y1 , y2 , . . . , ym ) = 0 erfüllt ist.
Nach Satz 4.2 verwandelt jeder Austauschschritte eines xτ in der Kopfzeile gegen ein yσ in
der linken Spalte das Tableau (T0 ) in ein äquivalentes Tableau (T1 ): Alle Werte x1 , x2 , . . . ,
xn , y1 , y2 , . . . , y m , die (T ) erfüllen, genügen auch (T ′ ) und umgekehrt.
Um nun (4.11) zu lösen, tauscht man ausgehend von (T0 ) schrittweise und solange es möglich
ist, Variable yk in der linken Spalte gegen geeignete xi in der Kopfzeile aus und erzeugt so
eine Abfolge von Tableaus (Tℓ ). Diese Tableaus sind ebenfalls alle äquivalent.
Das letzte Tableau (Te ) nach e Austauschschritten, bei dem kein weiterer Austausch mehr
möglich sei, habe die Form
72
4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV)
···
Te
yi1
xk1
..
.
µ11
..
.
xke
µe1
yie+1
..
.
µe+1,1
..
.
yim
µm1
yie
xke+1
···
µ1e
..
.
µ1,e+1
..
.
···
µee
µe,e+1
···
µe+1,e
..
.
µe+1,e+1
..
.
···
µme
µm,e+1
xkn
1
···
µ1n
..
.
µ10
..
.
···
µen
µe0
···
µe+1,n
..
.
µe+1,0
..
.
···
µmn
µm0
···
Hierbei seien schon die Zeilen im Tableau so sortiert, dass in den ersten e Zeilen die aus
der Kopfzeile in die linke Spalte getauschten Variablen xk1 bis xke stehen, welche gegen die
yi1 bis yie getauscht wurden. Danach kommen die Zeilen mit den m − e nichtausgetauchten
Variablen yie+1 bis yim . Entsprechend seien auch die Spalten sortiert: Zuerst die e Spalten zu
den eingetauschten yi1 bis yie und dann die n − e Spalten der in der Kopfzeile verbliebenen
xk,e+1 bis xkn .
Dabei können folgende Fälle eintreten:
Fall 1 Der Austausch ist vollständig möglich. Es gilt m = e und man erhielt das Tableau
Tm
yi1
xk1
..
.
µ11
..
.
xkm
µm1
···
yim
xkm+1
···
µ1m
..
.
µ1,m+1
..
.
···
µmm
µm,m+1
xkn
1
···
µ1n
..
.
µ10
..
.
···
µmn
µm0
···
Mit yi1 = · · · = yim = 0 liest man
xk1 = µ1,m+1 xkm+1 + · · · + µ1n xkn + µ10 ,
..
.
xkm = µm,m+1 xkm+1 + · · · + µ1mn xkn + µm0
ab, wobei die n − m Zahlen xkm+1 bis xkn freie Parameter sind: Das Gleichungssystem
(4.11) ist lösbar. Man erhält eine (n − m)-parametrische Lösungsschar zu (4.11).
Fall 2 Der Austausch ist nicht vollständig möglich. Es gilt e < m und man erhielt das
Tableau
73
4 Das Austauschverfahren
Te
yi1
xk1
..
.
µ11
..
.
xke
µe1
yie+1
..
.
µe+1,1
..
.
yim
µm1
···
yie
xke+1
···
µ1e
..
.
µ1,e+1
..
.
···
µee
µe,e+1
···
µe+1,e
..
.
0
..
.
···
µme
0
xkn
1
···
µ1n
..
.
µ10
..
.
···
µen
µe0
···
0
..
.
µe+1,0
..
.
···
0
µm0
···
mit den 0-Einträgen unten rechts – andernfalls wäre eine weiterer Austausch möglich
gewesen. Die letzten m − e Zeilen der nicht ausgetauschten yie+1 bis yim lauten nun
yie+1 = µe+1,1 yi1 + · · · + µe+1,e yie + µe+1,0 ,
..
.
yim = µm1 yi1 + · · · + µme yie + µm,0 .
Fall 2a Es gilt µe+1,0 = · · · = µm0 = 0. In diesem Fall können alle yi als 0 gewählt
werden, wie es für die Lösung des Gleichungssystem benötigt wird. Mit
yi1 = · · · = yie = 0
liest man
xk1 = µ1,e+1 xke+1 + · · · + µ1n xkn + µ10 ,
..
.
xke = µe,e+1 xke+1 + · · · + µ1en xkn + µe0
aus dem Tableau ab, wobei die n − e Zahlen xke+1 bis xkn freie Parameter sind:
Das Gleichungssystem (4.11) ist lösbar. Man erhält eine (n − e)-parametrische
Lösungsschar zu 4.11.
Fall 2b Mindestens eines der µe+1,0 bis µm0 ist nicht 0. In diesem Fall können nicht
alle yi als 0 gewählt werden, wie es für die Lösung des Gleichungssystem benötigt
wurde: Das Gleichungssystem (4.11) ist nicht lösbar.
Obige Fallunterscheidung und die erhaltenen Lösungsdarstellung zeigen, dass die Werte der
Koeﬃzienten µik , i = 1, . . . , m, k = 1, . . . , e in den ersten e Spalten der in die Kopfzeile eingetauschten yi1 bis yie weder für die Lösbarkeitsentscheidung noch für die Lösungsdarstellung
benötigt werden: Sie brauchen daher gar nicht erst berechnet werden.
Dies führt zum
74
4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV)
Austauschverfahren mit Spaltentilgung (AVS): In jedem Austauschritt wird die aus
der Pivotspalte eigentlich entstehende neue Spalte weggelassen, da in ihr auch in den weiteren
Schritten nun nur noch Koeﬃzienten zu einem in die Kopfzeile eingetauschten yi stehen und
diese Koeﬃzienten auch keinerlei Einﬂuss mehr auf die weitere Rechnung haben.
Das letzte Tableau hat dann die Form
xkn
1
···
µ1n
..
.
µ10
..
.
···
µen
µe0
···
µe+1,n
..
.
µe+1,0
..
.
···
µmn
µm0
···
Te
xke+1
xk1
..
.
µ1,e+1
..
.
xke
µe,e+1
yie+1
..
.
µe+1,e+1
..
.
yim
µm,e+1
Dieses ergibt
xk1 = µ1,e+1 xke+1 + · · · + µ1n xkn + µ10 ,
..
.
xke = µe,e+1 xke+1 + · · · + µ1en xkn + µe0
mit den n − e freien Parametern xke+1 bis xkn genau dann, wenn µe+1 , 0 = · · · = µm0 = 0
gilt.
Beispiel 4.10. Für das lineare Gleichungssystem
x1 − 2x2 + 4x3 − x4 = 2
−3x1 + 3x2 − 3x3 + 4x4 = 3
2x1 − 3x2 + 5x3 − 3x4 = −1
erhält man mit dem AVS
T1
x1
x2
x3
x4
1
T2
x2
x3
x4
1
y1
1
4
−2
2
2
y2
9
1
−3
1
y3
−3
−4
1
−3
−1
x1
y2
−2
2
K
−3
−1
−9
y3
K
2
∗
3
−3
2
T3
−3
5
−4
4
1
−3
x2
x3
1
x1
3
7
y2
−2
−7
x4
K
1
∗
6
−3
3
−4
5
−2
1
−3
1
T4
x3
1
x1
2
1
x2
3
x4
0
−2
∗
5
5
3
75
11.12.09
4 Das Austauschverfahren
Der Austausch konnte vollständig durchgeführt werden (Fall 1). Wir lesen
x1 = 2x3 + 1 ,
x2 = 3x3 − 2 ,
x4 = 3
mit dem freien Parameter x3 ab. Die Gesamtheit der Lösungen ist folglich durch
x1 = 2t + 1 ,
x2 = 3t − 2 ,
x3 = t ,
für t ∈ R
x4 = 3
gegeben.
Eine weitere Verkürzung des Verfahrens kann man in der Weise durchführen, dass man in
Ergänzung zu AVS sich jeweils die aus der Pivotzeile ergebende Gleichung notiert, diese
Zeile aber nicht mit ins Tableau übernimmt. Man erhält das
Austauschverfahren mit Spalten- und Zeilentilgung (AVSZ): In jedem Austauschschritt werden die aus Pivotspalte bzw. Pivotzeile eigentlich entstehende neue Spalte bzw.
Zeile weggelassen, während der Inhalt der eigentlich aus der Pivotzeile entstehenden Zeile
extra als Gleichung notiert wird.
Beispiel 4.11. Ein Unternehmen stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F1 , F2 , F3 , F4
vier Produkte P1 , P2 , P3 , P4 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von Pj , j =
1, . . . , 4, werden aij Mengeneinheiten von Fi , i = 1, 2, 3, benötigt. Mit xj bezeichnen wir die
herzustellenden Mengeneinheiten von Pj mit bj die benötigten Mengeneinheiten von Fi . Die
entsprechende Koeﬃzientenmatrix sei


2 0 4 4
A = (aij )i=1,2,3 j=1,2,3,4 =  6 9 3 0
12 18 6 0
Man erhält das Gleichungssystem
2x1 + 4x3 + 4x4 = b1
6x1 + 9x2 + 3x3 = b2
12x1 + 18x2 + 6x3 = b3
für die Mengeneinheiten xj von Pj bei vorgegebenen Mengeneinheiten bi von Fi .
Mittels AVSZ ergibt sich dann
76
T1
x1
x2
x3
x4
1
y1
2
0
4
4
y2
6
9
3
0
−b1
y3
12
18
6
0
K
∗
0
−2
−2
−b2
−b3
b1
2
S2
x2
x3
x4
1
y2
9
y3
18
−9
−12
3b1 − b2
K
∗
−18
1
−24
4
3
6b1 − b3
1 (b
9 2
− 3b1 )
4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV)
mit
x1 = −2x3 − 2x4 +
b1
2
und schließlich
S3
x3
x4
1
y3
0
0
2(b2 − 3b1 ) + 6b1 − b3
mit
1
4
x2 = x3 + x4 + (b2 − 3b1 ) .
3
9
Das Gleichungssystem ist also genau dann lösbar (Fall 2a), wenn
2(b2 − 3b1 ) + 6b1 − b3 = 0
gilt, d. h., wenn
2b2 = b3
gilt. In diesem Fall hat die allgemeine Lösung die Form
x1 = −2t1 − 2t2 +
b1
,
2
4
1
x2 = t1 + t2 + (b2 − 3b1 ) ,
3
9
x3 = t1 ,
x4 = t2 .
Dabei sind t1 und t2 beliebig reelle Zahlen, die natürlich so gewählt werden müssen, dass
x1 ≥ 0 , . . . , x4 ≥ 0
gilt.
Beispiel 4.12. Es wird nochmals die schon in Beispiel 3.32 behandelte Matrix der Käuferﬂuktuationen


0.6 0.1 0.3
A = 0.1 0.9 0.0
0.4 0.4 0.2
betrachtet. Eine Marktverteilung – beschrieben durch die Marktanteile x1 , x2 , x3 der Produkte P1 , P2 , P3 – heißt stationär, wenn sie bei einem Übergang von T0 zu T1 unverändert
bleibt, d. h.
 
  
x1
0.6 0.1 0.3
x1
x2  = 0.1 0.9 0.0 x2 
x3
0.4 0.4 0.2
x3
oder in Matrizenschreibweise
x = Ax
mit x = (x1 , x2 , x3 ) .
77
4 Das Austauschverfahren
Die stationären Markanteile x1 , x2 , x3 sind dann wegen x = Ex die Lösung des Gleichungssystems
(E − A)x = 0
d. h. von
0.4x1 − 0.1x2 − 0.3x3 = 0
−0.1x1 + 0.1x2 = 0
−0.4x1 − 0.4x2 + 0.8x3 = 0 .
Geht man davon aus, dass der Markt vollständig durch P1 , P2 , P3 abgesättigt wird, ergibt
sich außerdem die zusätzliche Gleichung
x1 + x2 + x3 = 1 .
Das vollständige Gleichungssystem für die stationären Marktanteile x1 , x2 , x3 wird dann
mittels AVSZ folgendermaßen gelöst:
S1
x1
x2
x3
1
y1
0.4
−0.1
−0.3
0
y2
−0.1
0
0
−0.4
−0.4
0.8
0
1
1
∗
−1
−1
−1
y3
y4
K
1
0.1
S3
y1
y3
S2
x2
x3
1
y1
−0.5
−0.7
0.4
y3
0
1.2
K
∗
−0.5
y2
1
0.2
x3
1
−0.45
0.15
S4
1
−0.4
y1
0
K
1.2
0.1
−0.4
0.5
1
3
∗
mit
x1 = −x2 − x3 + 1 ,
−0.1
x2 = −0.5x3 + 0.5 ,
x3 =
1
.
3
Wir erhalten
x3 =
1
,
3
1
1
+ 0.5 = ,
3
3
1
1 1
x1 = − − + 1 = .
3 3
3
x2 = −0.5 ·
Wir schließen diesen Abschnitt wieder mit Überlegungen zur Anzahl der maximal benötigten
Additionen und Multiplikationen bei AVMZ. Wir beschränken uns dabei auf den Fall m =
78
4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV)
n, um mit der Cramer-schen Regel vergleichen zu können und gehen davon aus, dass der
Austausch vollständig möglich ist: Im ersten Schritt sind n Multiplikationen zur Erzeugung
der Kellerzeile (und der notierten Gleichung) erforderlich. Für die restlichen n · (n − 1)
Einträge sind je eine Addition und eine Multiplikation erforderlich. Dies ergibt
n(n − 1) Additionen,
n2
Multiplikationen.
Insgesamt sind dies
n
X
k=2
n
X
k=2
1
k(k − 1) = (n3 − n) Additionen,
3
1
1
1
k 2 = n3 + n2 + n − 1
3
3
6
Multiplikationen.
Noch nicht einberechnet wurden die Additionen und Multiplikationen zur Auswertung der
notierten Gleichungen. Es wurden aber auch noch nicht die Additionen und Multiplikationen zur Berechnung der n weiteren Determinanten und die zugehörige Division einbezogen.
Schlimmstenfalls, d. h. ohne eﬃziente Zwischenspeicherung, wären die Einträge für det A
noch mit n + 1 zu multiplizieren, was die letzten Spalten ergibt.
Wir erhalten beispielsweise folgende Höchstzahlen, welche in ungünstigen Fällen auch erreicht werden:
n
3
4
5
10
100
AVSZ
Add.
Mult.
8
13
20
29
40
54
330
384
≈ 3.3 · 105 ≈ 3.4 · 105
allein für det A
Add.
Mult.
5
9
23
40
119
205
≈ 3.6 · 106
≈ 6.2 · 106
157
≈ 9.3 · 10
≈ 1.6 · 10158
Add.
20
115
714
≈ 4 · 108
≈ 9.5 · 10159
Mult.
36
200
1230
≈ 6.8 · 108
≈ 1.6 · 10160
Das AV und erst recht das AVSZ ist also ziemlich eﬃzient, während die Cramer-sche Regel
für größere n in praktischen Rechnung unbrauchbar ist.
4.3.3 Berechnung von Determinanten
Auch die Berechnung von Determinanten einer n-reihigen Matrix A kann mit dem Austauschverfahren sehr eﬃzient durchgeführt werden: Man verwendet AVSZ für das zu A
gehörige Tableau (ohne letzte Spalte), notiert sich anstelle der aus der Pivotzeile entstehenden Gleichung die Folge der Pivotelemente pℓ und die jeweiligen Indizes σℓ und τℓ der Zeilen
bzw. Spalte des Pivotelements. Dann gilt
det A =
n
Y
(−1)σℓ +τℓ pℓ .
ℓ=1
79
4 Das Austauschverfahren
Beispiel 4.13. Zu bestimmen ist

1
0 3 4
 0 −4 1 7 
.
det 
 8
4 0 1 
2
2 0 1

Mit AVSZ erhalten wir die Folge von Tableaus
S1
x1
x2
x3
x4
y1
1
0
3
4
y2
0
1
7
y3
8
−4
4
0
1
y4
2
2
0
1
K
∗
0
−3
−4
S2
x2
x3
x4
y2
−4
1
7
−24
−31
∗
−7
y3
4
y4
2
K
4
−6
−7
S3
x2
x4
y3
−92
137
S4
x2
35
y3
∗
35
22
− 206
22
y4
K
−22
und damit


1 0 3 4
0 −4 1 7
1+1

· 1 · (−1)1+2 · 1 · (−1)2+1 (−22) · (−1)1+1 ( −206
det 
)
8 4 0 1 = (−1)
22
2 2 0 1
= 206 .
Oﬀenbar erfolgte auch hier die Berechnung sehr eﬃzient.
80
5 Lineare Optimierung
5.1 Lineare Optimierungsprobleme
Eine lineare Zielfunktion f : Rn → R,
f (x) = c0 + c1 x1 + · · · + cn xn ,
x = (x1 , . . . , xn ) ,
(Z)
in n Variablen ist unter bestimmten linearen Nebenbedingungen
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn ≤ a1
..
.
(NB)
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn ≤ am
und den Nichtnegativitätsbedingungen
x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0
(NN)
zu maximieren bzw. zu minimieren. Eine solche Aufgabe heißt lineares Optimierungsproblem (LOP).
Definition 5.1. Die Menge ZB aller Punkte
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
deren Koordinaten den Bedingungen (N ) und (N N ) genügen,
ZB = {x ∈ Rn | x erfüllt (NB) und (NN)}
heißt zulässiger Bereich (ZB) für das LOP.
81
5 Lineare Optimierung
Definition 5.2. Ein Punkt
(0)
n
x(0) = (x1 , . . . , x(0)
n )∈R
wird als optimale Lösung (oder Lösung) des LOP bezeichnet, falls
(0)
für alle x ∈ ZB (Max)
(0)
für alle x ∈ ZB (Min)
(0)
c0 + c1 x1 + · · · + cn x(0)
n = f (x ) ≥ f (x) = c0 + c1 x1 + · · · + cn xn
oder
(0)
c0 + c1 x1 + · · · + cn x(0)
n = f (x ) ≤ f (x) = c0 + c1 x1 + · · · + cn xn
gilt. Im Fall (Max) heißt x(0) maximale, im Fall (Min) minimale Lösung .
Beispiel 5.3. Ein Erzeugnis E kann mittels zweier Verfahren V1 , V2 aus drei Zwischenprodukten Z1 , Z2 , Z3 hergestellt werden, die nur in bestimmten Umfang zur Verfügung stehen.
Die Materialverbrauchsnormen (Bedarf an Mengeneinheiten von Z1 , Z2 , Z3 je Mengeneinheit
von E) und die verfügbaren Mengeneinheiten von Z1 , Z2 , Z3 sind tabellarisch gegeben:
Zwischenprodukt
Z1
Z2
Z3
Materialverbrauchsnormen
für V1
für V2
0.4
2.0
2.0
1.0
0.0
2.0
verfügbare Mengeneinheiten
26
40
24
Die Produktion von E bezüglich V1 und V2 ist so zu gestalten, dass die Gesamtproduktion
maximal wird. Bezeichnet man mit x1 bzw. x2 die Mengeneinheiten (ME) von E, die nach
V1 bzw. V2 produziert werden, so ergibt sich das LOP
z = x1 + x2 −→ max
(Z)
mit den Nebenbedingungen (NB)
0.4x1 + 2.0x2 ≤ 26
2.0x1 + 1.0x2 ≤ 40
(N)
2.0x2 ≤ 24
und den Nichtnegativitätsbedingungen (NN)
x1 ≥ 0 ,
x2 ≥ 0 .
(NN)
Diese Nichtnegativitätsbedingungen garantieren, dass die Lösung in einem praktisch sinnvollen Bereich gesucht wird.
Die Menge aller Punkte (x1 , x2 ), die den Bedingungen (NN) und (NN) genügen, ist der
zulässige Bereich ZB, siehe Bild:
82
5.1 Lineare Optimierungsprobleme
16
0.4x1 + 2x2 = 26
14
12
2.0x1 + 1.0x2 = 40
b
2.0x2 = 24
b
bc
10
(15, 10)
8
x1 + x2 = 25
ZB
6
4
x1 + x2 = 5
2
b
−6
−4
−2
b
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Betrachten wir nun Niveaumengen
NC = {x ∈ ZB | f (x) = C} ⊆ {x ∈ R2 | x1 + x2 = C} .
Diese liegen auf parallelen Geraden x1 + x2 = C. Daher können wir hier die Lösung auf
graphischem Wege (15, 10) einer der Niveaumengen mit dem Rand von ZB ﬁnden. Wir
erhalten die eindeutige Maximalstelle (15, 10) mit dem Maximum zmax = 25.
18.12.09
Beispiel 5.4. Wir betrachten das LOP
z = 2x1 + x2 → max
0.4x1 + 2.0x2 ≤ 26 ,
x1 ≥ 0 ,
x2 ≥ 0 .
(Z)
2.0x1 + 1.0 ≤ 40 ,
2.0x2 ≤ 24 ,
(N)
(NN)
83
5 Lineare Optimierung
16
0.4x1 + 2x2 = 26
14
12
2.0x1 + 1.0x2 = 40
b
2.0x2 = 24
b
(15, 10)
10
b
8
x1 + 2x2 = 25
ZB
6
4
x1 + 2x2 = 5
2
b
−6
−4
b
2
−2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
In diesem Fall ist das LOP mehrdeutig lösbar: Für x1 ∈ [15, 20] und x2 = 40 − 2x1 ist
zmax = 40 das Maximum.
Beispiel 5.5. Wir betrachten das LOP
(Z)
z = x1 + x2 → max
(N)
2.0x2 ≤ 24 ,
x1 ≥ 0 ,
(NN)
x2 ≥ 0 .
16
14
2.0x2 = 24
12
10
8
ZB
6
4
x1 + x2 = 5
2
−6
84
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
5.1 Lineare Optimierungsprobleme
In diesem Fall existiert kein Maximum, z = x1 + x2 kann beliebig groß sein.
Beispiel 5.6. Wir betrachten das LOP
z = x1 + x2 → max
2.0x2 ≤ −24 ,
x1 ≥ 0 ,
x2 ≥ 0 .
(Z)
(N)
(NN)
In diesem Fall gilt ZB = ∅, da sich (N) und (NN) widersprechen.
Bemerkung 5.7. Diese Beispiele zeigen bereits die charakteristischen Eigenschaften eines
LOP:
• Die optimalen Lösungen liegen außer im trivialen Fall f (x) = const immer auf dem
Rand des zulässigen Bereichs ZB. Genauer: Optimale Lösungen liegen in den Eckpunkten des zulässigen Bereiches und auf Hyperﬂächen auf den Rand von ZB, deren
Ecpkunkte optimal sind.
• Ein LOP kann eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar (in diesem Fall gibt es unendlich
viele Lösungen) oder nicht lösbar sein.
Bemerkung 5.8. Eine graphische Lösung wie in den obigen Beispielen ist nur bei höchstens
zwei Variablen möglich, wenn also ZB ein Bereich in der Ebene ist.
Bemerkung 5.9. Allgemein sind die Eckpunkte von ZB zu bestimmen, in denen das Optimum vorliegt. Der zulässige Bereich ZB ist eine Teilmenge des Rn , dessen Rand durch
Hyperﬂächen beschrieben wird. Eine solche Menge heißt auch Simplex . Zu untersuchen
sind also die Ecken des Simplizes ZB.
85
5 Lineare Optimierung
5.2 Normalform der linearen Optimierung
5.2.1 Die Normalform
Um zu einem allgemeinen Verfahren zur Lösung von linearen Optimierungsproblemen (LOP)
zu gelangen, betrachtet man eine
Normalform der linearen Optimierung (NLO):
(Z)
z = f (x) = c0 + c1 x1 + · · · + cn xn −→ min
a11 x1 + · · · + a1n xn = a1 ,
..
.
(G)
am1 x1 + · · · + amn xn = am ,
x1 ≥ 0 ,
... ,
(NN)
xn ≥ 0 .
Mit Hilfe des Matrixkalküls kann eine NLO in der folgenden Weise dargestellt werden:
z = f (x) = c0 + c⊤ x → min
(Z)
(G)
Ax = a ,
(NN)
x≥0,
wobei
 
c1
 .. 
c =  . ,
cn

x1
 
x =  ...  ,

xn

a11
 ..
A= .
···

a1n
..  ,
. 
am1 · · · amn

a1
 
a =  ... 

am
gelten und x ≥ 0 genau dann gilt, wenn xi ≥ 0 für alle i = 1, . . . , n gilt.
5.2.2 Überführung in die Normalform
Jedes LOP ist – falls es nicht bereits diese Form besitzt – in die Normalform der linearen
Optimierung (NLO) überführbar mit folgenden Überführungsregeln:
(Ü1 ) Überführung in Minimierungsproblem:
Ist z → max als Aufgabenstellung gegeben, so verwendet man stets z ∗ = −z → min,
d. h., c0 , c1 bis cn werden durch −c0 , −c1 bis −cn ersetzt.
86
5.2 Normalform der linearen Optimierung
(Ü2 ) Beseitigung aller Ungleichungen in (N):
Schrittweise werden alle Ungleichungen, die nicht in (N) enthalten sind, mittels
Schlupfvariablen in die Form von Gleichungen überführt:
1. Ist α1 x1 + · · · + αn xn ≤ α die erste in (N) enthaltene Ungleichung, so wird sie
durch die Einführung der Schlupfvariablen xn+1 ≥ 0 zur Gleichung
α1 x1 + · · · + αn xn + xn+1 = α .
Ist α1 x1 + · · · + αn xn ≥ α die erste in (NN) enthaltene Ungleichung, so wird sie
durch die Einführung der Schlupfvariablen xn+1 ≥ 0 zur Gleichung
α1 x1 + · · · + αn xn − xn+1 = α .
2. Die Zahl der Variablen wird von n auf n + 1 erhöht.
3. Die Ungleichung xn+1 ≥ 0 wird (NN) hinzugefügt.
4. Mit cn+1 = 0 wird die Zielfunktion erweitert zu
f (x) = c0 + c1 x1 + · · · + cn+1 xn+1 −→ min .
5. Sind noch Ungleichungen in (NN) enthalten, beginne man wieder mit mit dem
ersten Schritt.
(Ü3 ) Beseitigung aller freien Variablen:
Falls es im LOP freie Variablen xk gibt, d. h. die nicht der Restriktion xk ≥ 0 unterliegen, werden sie schrittweise entfernt:
1. Ist xk die erste freie Variable, so wird xk durch die Diﬀerenz der neuen Variablen
xk − xn+1 ersetzt.
2. Die Zahl der Variablen wird von n auf n + 1 erhöht.
3. Die Ungleichungen xk ≥ 0, xn+1 ≥ 0 werden (NN) hinzugefügt.
4. Mit cn+1 = −ck wird die Zielfunktion erweitert zu
c0 + c1 x1 + · · · + cn+1 xn+1 −→ min .
5. Sind noch freie Variable vorhanden, beginne man wieder mit dem ersten Schritt.
Bemerkung 5.10. In (Ü3 ) kann man xk auch durch die Diﬀerenz xn+1 − xn+2 ersetzen.
Es ergeben sich dann ck = 0, cn+1 = 1, cn+2 = −1 und entsprechende Änderungen und
Ergänzungen in (G) und (NN). Im Unterschied zur obiger (Ü3 ) wird die Zahl der Variablen
dadurch um 2 statt nur um 1 größer.
87
5 Lineare Optimierung
Für die so gewonnene Normalform (NLO) eines LOP gelten folgende Äquivalenzaussagen:
Satz 5.11. Entsteht ein NLO aus einem LOP nach den Regeln (Ü1 ), (Ü2 ), (Ü3 ), so ist das
NLO genau dann lösbar, wenn das zugrundeliegende LOP lösbar ist.
Satz 5.12. Entsteht ein NLO aus einem LOP nach den Regeln (Ü1 ), (Ü2 ), (Ü3 ), so ergibt
jede Lösung der NLO genau eine Lösung der LOP, indem die eingeführten Schlupfvariablen
unberücksichtigt bleiben und ursprünglich freie Variablen wieder als Diﬀerenz ihrer zugehörigen Variablen geschrieben werden.
Beispiel 5.13. Wir betrachten das LOP
(Z)
z = 3x1 − x2 + 2x3 + 4 → max
x1 + 2x2 ≤ 8 ,
x1 ≥ 0 ,
(N)
−x3 ≤ 4 ,
(NN)
x3 ≥ 0 .
Durch Anwendung von (Ü1 ) ergibt sich
(Z)
z = −3x1 + x2 − 2x3 − 4 → min
x1 + 2x2 ≤ 8 ,
x1 ≥ 0 ,
(N)
−x3 ≤ 4 ,
(NN)
x3 ≥ 0 .
Durch zweimalige Anwendung von (Ü2 ) ergibt sich
z = −3x1 + x2 − 2x3 + 0x4 + 0x5 − 4 → min
−x3 + x5 = 4 ,
x1 + 2x2 + x4 = 8 ,
x1 ≥ 0 ,
x3 ≥ 0 ,
x4 ≥ 0 ,
(Z)
(G)
(NN)
x5 ≥ 0 .
Da x2 noch eine freie Variable ist, muss noch (Ü3 ) angewendet werden:
(Z)
z = −3x1 + x2 − 2x3 + 0x4 + 0x5 − x6 − 4 → min
x1 + 2x2 + x4 − 2x6 = 8 ,
x1 ≥ 0 ,
x2 ≥ 0 ,
−x3 + x5 = 4 ,
x3 ≥ 0 ,
x4 ≥ 0 ,
x5 ≥ 0 ,
(G)
x6 ≥ 0 .
(NN)
Das nun erhalten LOP ist eine NLO.
5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung
5.3.1 Bestimmung einer zulässigen Basisdarstellung von (G)
Damit eine NLO lösbar ist, ist notwendig, dass ihr zulässiger Bereich ZB nichtleer ist. Hierfür
ist notwendig, dass (G) lösbar ist. Wir nehmen daher nun die Lösbarkeit von (G) an, da
andernfalls NLO nicht lösbar ist.
88
5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung
Zur Ermittlung der Lösungen von (G) wird diesem, wie schon mehrfach durchgeführt, das
Tableau
(G)
x1
y1
..
.
a11
..
.
ym
am1
···
···
···
xn
1
a1n
..
.
−a1
..
.
amn
−am
oder kurz
y
x⊤
1
A
−a
zugeordnet.
Mittels des Austauschverfahrens mit Spaltentilgung (AVS) erhält man nach Durchführung
aller möglichen Austauschschritte und Sortieren ein Tableau folgender Form:
(T)
xν1
xµ1
..
.
b11
..
.
xµp
bp1
yτp+1
..
.
bp+1.1
..
.
yτm
bm1
···
xνq
1
···
b1q
..
.
b1
..
.
···
bpq
bp
···
bp+1,q
..
.
bp+1
..
.
···
bmq
bm
Da eine Fortführung des AVS nicht möglich ist, gilt bij = 0 für i = p + 1, . . . , m, j = 1, . . . q.
Da (G) als lösbar vorausgesetzt wurde, muss auch bi = 0 für i = p + 1, . . . , m gelten. Wir
können daher in (T) die Zeilen mit den nichtausgetauschten yi streichen und erhalten ein
Tableau der Form
(B)
xµ1
..
.
xνq
b11
..
.
···
···
xνq
b1q
..
.
1
b1
..
.
xµp
bp1
···
bpq
bp
mit p + q = n.
89
5 Lineare Optimierung
Definition 5.14. Das Tableau (B) wird als eine Basisdarstellung von (G) bezeichnet und
B = (xµ1 , . . . , xµp )
heißt eine Basis von (G). Die Variablen
xµ1 ,
... ,
xµp
bezeichnet man dann als Basisvariablen und
xν1 ,
... ,
xνq
als Nichtbasisvariablen.
Bemerkung 5.15. Die Basisdarstellung (B) ist nicht eindeutig. Sie hängt von der Wahl und
Reihenfolge der Pivotelemente in AVS ab.
Lemma 5.16. Die Lösungsmenge von (G) ist
{x ∈ Rn | xµi =
q
X
bij xνj + bi für i = 1, . . . , p,
j=1
xνj ∈ R für j = 1, . . . , q} .
Für den zulässigen Bereich der NLO gilt
ZB = {x ∈ Rn | xµi =
q
X
j=1
bij xνj + bi ≥ 0 für i = 1, . . . , p,
xνj ≥ 0 für j = 1, . . . , q} .
Definition 5.17. Eine spezielle Lösung von (G), bei der die Nichtbasisvariablen xν1 , . . . ,
xνq gleich Null gesetzt werden, heißt eine Basislösung (BL) von (G),
xµ1 = b1 ,
xµ2 = b2 ,
... ,
xµp = bp
und xν1 = 0 ,
xν2 = 0 ,
... ,
xνq = 0 .
Bemerkung 5.18. Die Menge aller Basislösungen von (G), welche (NN) erfüllen, ist die Menge
der Eckpunkte des zulässigen Bereiches ZB der NLO.
Beispiel 5.19. Wir betrachten
x1 − x2 − x3 = 0
2x1 + x2 + x3 = 9
x1 + x2 + x3 = 6
2x1 − 2x2 + 2x4 − 2x5 = 0 .
90
(G)
5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung
Dann ergibt sich eine Basisdarstellung z. B. in folgender Weise mittels AVS:
(G)
x1
x2
x3
x4
x5
1
y1
1
0
0
2
−1
0
y2
−1
1
0
0
y3
1
1
1
0
0
y4
2
0
2
K
1
−2
∗
0
−2
x2
−1
x1
x2
x4
x5
1
x3
1
0
0
0
−9
y2
3
−1
0
0
0
y3
2
0
0
0
−9
0
y4
2
2
0
0
K
∗
−2
−2
x4
x5
1
0
0
3
0
0
0
0
x1
0
0
0
3
y4
−2
2
−2
6
1
−1
x3
y2
K
−1
1
−6
x4
1
−1
0
3
0
0
0
x1
0
0
3
x5
−1
1
3
y2
3
(B)
x3
x1
x5
x2
−1
0
−1
0
x2
x3
∗
0
0
−6
0
3
d. h., wir erhalten
x4
0
0
1
1
3
3
3
als eine Basisdarstellung von (G). Daher ist
x1 = 3 ,
x2 = 0 ,
x3 = 3 ,
x4 = 0 ,
x5 = 3
eine Basislösung von (G).
Bemerkung 5.20. Fasst man die Basisvariablen (nach eventuellem Umsortieren) zu einem
p-dimensionalen Vektor x̃ und die Nichtbasisvariablen zu einem q-dimensionalen Vektor x̂
zusammen, so hat die Basisdarstellung (B) die Form
x̃ = B x̂ + b

b11
 ..
mit B =  .
bp1
(B)
x̃
 

· · · b1q
b1
..  und b =  .. .
.
. 
bp
· · · bpq
x̂⊤
B
1
b
91
5 Lineare Optimierung
Satz 5.21. Eine Basisdarstellung (B) existiert genau dann, wenn (G) lösbar ist.
5.3.2 Simplextableau
Nach den Bemerkungen 5.9 und 5.18 müssen wir die Basislösungen von (G) untersuchen,
welche (NN) erfüllen, da gerade sie die Ecken des Simplizes ZB beschreiben.
Definition 5.22. Eine Basisdarstellung (B) der NLO heißt zulässig, wenn b1 ≥ 0, . . . ,
bp ≥ 0 in (B) gilt.
Lemma 5.23. Ist (B) eine zulässige Basisdarstellung der NLO, so gilt x = (x1 , . . . , xn ) ∈
ZB mit
xµ1 = b1 ,
xµ2 = b2 ,
... ,
xµp = bp
und
xν1 = 0 ,
xν2 = 0 ,
... ,
xνq = 0 .
Beweis. Nach Konstruktion ist x Basislösung, also insbesondere Lösung von (G). Da (B)
zulässig ist, erfüllt x auch (NN) und liegt somit in ZB.
Bemerkung 5.24. Durch die Menge aller zulässigen Basisdarstellungen der NLO wird folglich
die Menge aller zulässigen Basislösungen der NLO und damit die Menge aller Eckpunkte
des zulässigen Bereiches ZB der NLO beschrieben. Zu bestimmen sind nun die Ecken (d. h.
zulässigen Basislösungen, d. h. zulässigen Basisdarstellungen) in denen das Minimum vorliegt.
Definition 5.25. Ist (B) eine zulässige Basisdarstellung der NLO, so heißt (B) Simplextableau (ST).
Den Wert d0 = f (x) der Zielfunktion f an der Stelle der Basislösung x erhält man auch
dadurch, dass man unmittelbar von dem Tableau
(B)
y
z
x⊤
A
c⊤
1
−a
c0
ausgeht und die z-Zeile in die Austauschschritte einbezieht, die zur Basisdarstellung führen.
Die Basisdarstellung (B) hat in der um die z-Zeile erweiterten Form folgende (tabellarische)
Darstellung
92
5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung
(ST)
xµ1
..
.
xν1
b11
..
.
...
...
xνq
b1q
..
.
1
b1
..
.
xµp
z
bp1
d1
...
...
bpq
dq
bp
d0
Satz 5.26. Es sei (ST) ein (erweitertes) Simplextableau.
1. Es gilt
d0 = c0 + cµ1 b1 + · · · + cµp bp .
2. Wenn x eine zulässige Lösung ist, dann gilt
f (x) =
q
X
dj xνj + d0 .
j=1
3. Wenn x eine zulässige Basislösung, dann gilt
f (x) = d0 .
Bemerkung 5.27. Nach Satz 5.21 wissen wir, dass die Menge der Basisdarstellungen zu (G)
nichtleer ist. Oﬀen ist aber noch, ob es auch zulässige Basisdarstellungen der NLO gibt und
wie man gegebenenfalls eine zulässige Basisdarstellungen der NLO bestimmt. Diese Fragen
werden später beantwortet.
5.3.3 Optimalität und Simplexkriterium
Definition 5.28. Ein Simplextableau heißt optimal , wenn die zugehörige Basislösung x
eine optimale Lösung des NLO ist, d. h., es gilt
d0 = zmin := min f (x) = min (c0 + c⊤ x) .
x∈ZB
x∈ZB
Wir betrachten nun die drei Fälle für ein um die z-Zeile erweitertes Simplextableau (ST)
der NLO:
(S1 ) = „Es gilt dj ≥ 0 für alle j = 1, . . . , q.“
(S2 ) = „Es gibt mindestens eine Spalte τ ∈ {1, ..., q} mit dτ < 0 und biτ ≥ 0 für alle
i = 1, . . . , p.“
(S3 ) = „Es gilt weder (S1 ) noch (S2 ).“
93
08.01.2010
5 Lineare Optimierung
Satz 5.29 (Simplexkriterium). Sei (ST) ein um die z-Zeile erweitertes Simplextableau der
NLO.
1. Wenn (S1 ) gilt, so ist (ST) ein optimales Simplextableau mit der zugehörigen optimalen
Basislösung x mit
xµ1 = b1 ,
xµ2 = b2 ,
... ,
und
xµp = bp
xν1 = 0 ,
xν2 = 0 ,
... ,
, xνq = 0
und dem Minimum
f (x) = d0 .
2. Wenn (S2 ) gilt, so ist die NLO nicht lösbar.
Beweis. 1. Nach Satz 5.26 gilt
f (x) =
q
X
dj xνj + d0
j=1
für alle x ∈ ZB. Wegen dj ≥ 0 für j = 1, . . . , q und da wegen (NN) auch xνj ≥ 0 für
j = 1, . . . , q gilt, minimiert die zu (ST) gehörende Basislösung die Funktion f , sie ist also
eine optimale Basislösung.
2. Sei ein solches τ ﬁxiert. Es sei
bi
α0 := max 0, min −
| j = 1, . . . , p mit biτ 6= 0
.
biτ
Für α ≥ α0 betrachten wir x(α) ∈ Rn mit
xντ (α) = α ,
xνj (α) = 0 für j ∈ {1, . . . , q} \ {τ } ,
xµi (α) = biτ α + bi für i ∈ {1, . . . , p} .
Dann erfüllt x(α) das Simplextableau (ST) und somit (G). Wegen α ≥ α0 erfüllt x(α) auch
(NN). Somit ist x(α) für jedes α ≥ α0 eine zulässige Lösung. Wegen dτ < 0 und
f (x(α)) = dτ α + d0
und kann f (x(α)) durch Wahl von α ≥ α0 beliebig klein gemacht werden. Folglich existiert
kein Minimum von f auf ZB und NLO ist nicht lösbar.
Aufgrund von Satz 5.29 deﬁnieren wir nun:
Definition 5.30. Sei (ST) ein um die z-Zeile erweitertes Simplextableau der NLO. Es heißt
entscheidbar im Fall (S1 ) oder (S2 ) und nicht-entscheidbar im Fall (S3 ).
Weiter zu behandeln ist also nur noch der Fall (S3 ), in dem noch keine Entscheidung über
Optimalität oder Nichtlösbarkeit getroﬀen werden konnte.
94
5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung
5.3.4 Bestimmung des Minimums
Wir behandeln nun den Fall (S3 ) weiter. Da
(S3 ) = (S1 ) ∨ (S2 ) = (S1 ) ∧ (S2 )
und
(S1 ) = „Es gibt ein τ ∈ {1, . . . , q} mit dτ < 0.“
(S2 ) = „Für jedes j ∈ {1, ..., q} gilt dj ≥ 0 oder es gibt ein i ∈ {1, . . . , p} mit bij < 0.“
gilt
(S3 ) = „Es gibt ein τ ∈ {1, . . . , q} und ein i ∈ {1, . . . , p} mit dτ < 0 und biτ < 0.“
Wegen (S3 ) sind folglich folgende Simplex-Regeln durchführbar:
(SR1 ) Wahl der Pivotspalte:
Wähle ein τ ∈ {1, . . . , q} mit dτ < 0 und
J(τ ) := {i | i ∈ {1, . . . , p} und biτ < 0} =
6 ∅
als Pivotspalte.
(SR2 ) Wahl der Pivotzeile:
Berechne
m(τ ) := min
bi
| i ∈ J(τ ) ≥ 0
|biτ |
als den kleinsten Wert von |bbiτi | , wobei der Zeilenindex i innerhalb J(τ ) variiert wird,
und wähle für die Pivotzeile σ ein σ ∈ J(τ ) mit
bσ
= m(τ ) .
|bστ |
(SR3 ) Austauschschritt:
Man führe mit dem gemäß (SR1 ) und (SR2 ) gewähltem Pivotelement p = bστ den
Austausch xµσ ↔ xντ der Basisvariablen xµσ gegen die Nichtbasisvariablen xντ mittels
des Austauschverfahrens (AV) durch.
Dieses Simplexverfahren besitzt folgende wichtige Eigenschaften, die mit Ausnahme des
Entartungsfalls m(τ ) = 0 sichern, dass über die Lösbarkeit eines LOP entschieden wird und
im Falle der Lösbarkeit eine Lösung
xopt mit zopt = f (xopt ) = min f (x)
x∈ZB
gefunden wird:
95
5 Lineare Optimierung
Satz 5.31. Die auf ein nichtentscheidbares Simplextableau (ST) stets anwendbaren Simplexregeln (SR1 ), (SR2 ), (SR3 ) überführen ein nichtentscheidbares Simplextableau (ST) in
ein neues Simplextableau (ST’) mit d′0 ≤ d0 . Gilt dabei m(τ ) > 0, so gilt sogar d′0 < d0 .
Beweis. Dass die Simplex-Regeln (SR1 ), (SR2 ), (SR3 ) stets auf ein nichtentscheidbares Simplextableau (ST) anwendbar sind, wurde oben schon gezeigt als Folgerung aus der Nichtentscheidbarkeit des Tableaus (Fall (S3 )). Wir betrachten das um die Kellerzeile erweiterte
Tableau (ST) und das neue Tableau (ST’)
(ST)
xν1
...
xντ
...
xνq
1
(ST’)
xν1
...
xµσ
...
xνq
1
xµ1
..
.
b11
..
.
...
b1τ
...
b1q
..
.
b1
..
.
xµ1
..
.
b′11
..
.
...
b′1τ
...
b′1q
..
.
b′1
..
.
xµσ
..
.
bσ1
..
.
...
bστ
...
bσq
..
.
bσ
..
.
xντ
..
.
b′σ1
..
.
...
b′στ
...
b′σq
..
.
b′σ
..
.
xµp
bp1
...
bpτ
...
bpq
bp
xµp
b′p1
...
b′pτ
...
b′pq
b′p
z
d1
bσ1
−
bστ
...
dτ
...
dq
bσp
−
bστ
d0
bσ
−
bστ
z
d′1
...
d′τ
...
d′q
d′0
K
∗
K
Es gelten
b′σ = −
bσ
= m(τ ) ≥ 0
bστ
und b′i = bi −
bσ
biτ = bi + m(τ )biτ ≥ 0
bστ
für i ∈ {1, . . . , p} \ {σ} .
Folglich ist (ST’) wieder ein Simplextableau. Wegen dτ < 0 gilt
(
= d0 , falls m(τ ) = 0 ,
bσ
′
d0 = d0 −
· dτ = d0 + m(τ ) · dτ
bστ
< d0 , falls m(τ ) > 0 .
Satz 5.32. Falls der Entartungsfall im Verlauf der Austausch-Schritte nicht auftritt, überführt das Simplexverfahren ein nicht-entscheidbares Simplextableau in endlich vielen Schritten in ein entscheidbares Simplextableau.
Beweis. Der zulässige Bereich ZB hat nur endlich viele Ecken. Damit gibt es nur endlich
viele Werte von f in den den Ecken zugehörigen Basislösungen. Da der Wert des Simplextableaus in jedem Schritt abnimmt, muss das Verfahren abbrechen. Da im Falle der
Nicht-Entscheidbarkeit das Verfahren fortgesetzt werden könnte, muss einer der beiden Entscheidbarkeitsfälle vorliegen.
96
5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung
Beispiel 5.33. Zwei Motoren M1 und M2 können an den Fließbändern A und B montiert
werden. Am Fließband A können je Stunde n1 = 60 Motoren M1 oder n2 = 60 Motoren M2
hergestellt werden. Am Fließband B können je Stunde n3 = 90 Motoren M1 oder n4 = 60
Motoren M2 hergestellt werden.
Die Montage ist so zu organisieren, dass einerseits innerhalb von 8 Stunden doppelt so
viele Motoren M2 wie M1 hergestellt werden soll, und andererseits eine maximale Stückzahl
bezüglich M1 (und damit auch bezüglich M2 ) erreicht wird.
Lösung:
1. Aufstellung des LOP: Bezeichnet man mit x1 bzw. x2 die Montagestunden von A für
M1 bzw. M2 und mit x3 bzw. x4 die Montagestunden von B für M1 bzw. M2 , so ergibt sich
folgendes LOP:
z = f (x) = 60x1 + 90x3 → max
unter den Bedingungen
x1 + x2 ≤ 8
x3 + x4 ≤ 8
2 · (60x1 + 90x3 ) = 60x2 + 60x4
x1 ≥ 0 ,
x2 ≥ 0 ,
x3 ≥ 0 ,
x4 ≥ 0 .
Dieses LOP ist kein NLO.
2. Konstruktion einer zugehörigen NLO: Einführen der Schlupfvariablen x5 und x6
ergibt
z ∗ = −60x1 − 90x3 → min
(Z)
x3 + x4 + x6 = 8 ,
(G)
x1 + x2 + x5 = 8 ,
2(60x1 + 90x3 ) = 60x2 + 60x4 ,
x1 ≥ 0 ,
x2 ≥ 0 ,
x3 ≥ 0 ,
x4 ≥ 0 ,
x5 ≥ 0 ,
x6 ≥ 0 .
(NN)
Die Schlupfvariablen x5 bzw. x6 sind dabei als Stillstandszeiten von A und B interpretierbar.
97
5 Lineare Optimierung
3. Ermittlung einer Basisdarstellung (B) von (G) mittels AVS:
(G)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
1
y1
1
1
0
0
1
0
x5
y2
0
0
1
1
0
1
−8
y3
2
3
0
0
−60
−1
0
z
−1
0
0
0
0
∗
K
−90
0
−1
−1
0
x1
x2
x3
x4
x6
1
−1
−1
0
0
0
8
0
1
1
1
y3
2
3
z
0
0
0
0
8
K
−60
−1
0
0
−1
−8
−1
∗
8
−8
x1
x2
x3
x4
1
−1
−1
0
0
8
2
z
−60
−1
−1
8
y3
−1
x5
x6
K
0
2
0
0
−1
3
−90
−1
0
0
0
∗
0
3
0
y2
0
−90
−1
0
0
(ST)
x1
x2
x3
1
x5
−1
−1
0
8
8
2
-1
−4
3
0
−60
0
−90
0
−2
x6
x4
z
1
0
(ST) ist nun eine Basisdarstellung von (G) mit folgenden Eigenschaften:
• xµ1 = x5 , xµ2 = x6 , xµ3 = x4 sind die Basisvariablen.
• xν1 = x1 , xν2 = x2 , xν3 = x3 sind die Nichtbasisvariablen.
• Die Basislösung x = (x1 , . . . , x6 ) lautet
x1 = 0 ,
x2 = 0 ,
x3 = 0 ,
x4 = 0 ,
x5 = 8 ,
x6 = 8 ,
der zugehörige Wert des Tableaus ist
d0 = f (x) = 0 .
(Diese Basislösung ist natürlich die schlechteste: Wegen x5 = x6 = 8 ﬁndet keine
Montage statt.)
• (ST) ist eine zulässige Basisdarstellung, also ein Simplextableau, da mit
b1 = 8 ,
b2 = 8 ,
b3 = 0
oﬀensichtlich die Bedingung
bi ≥ 0
erfüllt ist.
98
für i = 1, 2, 3
5.3 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung
4. Prüfung des Simplexkriteriums:
(ST) ist nicht entscheidbar, da weder (S1 ) (z. B. wegen d1 = −60 < 0) noch (S2 ) (z. B. wegen
b11 = −1 < 0 und b23 = −4 < 0) erfüllt sind.
5. Simplexverfahren:
Entsprechend (SR1 ) kommen die 1. oder 3. Spalte von (ST) als Pivotspalte in Frage. Wir
wählen
τ =3.
Es gilt nun J(3) = {2}, m(3) =
8
4
und nach (SR2 ) ergibt sich
σ =2.
Entsprechend (SR3 ) ist der Austausch x6 ↔ x3 durchzuführen. Wir erhalten:
(ST’)
x1
x2
x6
1
x5
−1
−1
0
8
− 14
2
x3
x4
z
1
4
− 41
− 90
4
− 12
1
2
−15
− 34
90
4
6
−180
Das Simplextableau (ST’) ist nicht entscheidbar, da weder (S1 ) (z. B. wegen d1 = −15 < 0)
noch (S2 ) (wegen z. B. b1 = −1 < 0 und b12 = −1 < 0) erfüllt sind.
Das Simplexverfahren ist also fortzusetzen.
Entsprechend (SR1 ) kommen die 1. oder 2. Spalte von (ST’) als Pivotspalte in Frage. Wir
wählen
τ =2.
Wegen
J(2) = {1, 3} und m(2) = min
b3
b1
,
|b12 | |b32 |
= min
(
8 6
,
1 14
)
=8
ist nach (SR2 )
σ=1
zu wählen. Durchzuführen ist damit der Austausch x5 ↔ x2 in (SR3 ). Durch AVS erhalten
wir
(ST”)
x1
x5
x6
1
x2
−1
−1
0
8
− 41
− 34
90
4
4
x3
x4
z
− 34
3
4
30
4
− 14
1
4
90
4
4
−360
99
5 Lineare Optimierung
Dieses Simplextableau (ST”) ist entscheidbar, da d1 =
sind, also (S1 ) erfüllt ist. Die Basislösung
x1 = 0 ,
x2 = 8 ,
x3 = 4 ,
30
4 ,
x4 = 4 ,
d2 =
x5 = 0 ,
90
4 ,
d3 =
90
4
nicht negativ
x6 = 0
ergibt eine optimale Lösung der NLO.
Auf das ursprüngliche Problem übertragen heißt das: Es werden 360 Stück von M1 und 720
Stück von M2 hergestellt. Am Fließband A sind nur Motoren M2 , am Fließband B je 4
Stunden M1 bzw. M2 herzustellen. Die Stillstandszeiten x5 und x6 sind gleich Null.
5.4 Ermittlung eines ersten Simplextableaus
pstWie bereits in Bemerkung 5.27 festgestellt wurde, führt die Ermittlung einer Basisdarstellung nicht notwendigerweise zu einer zulässigen Basisdarstellung, d. h. zu einem ersten
Simplextableau.
Dieses Ziel ist aber über ein Hilfproblem erreichbar, bei dem die Pivotelemente bei den Austauschschritten, die von (G) zu (B) führen, bereits entsprechend (SR1 ) und (SR2 ) auswählt.
Wir gehen von einer originalen NLO
z = f (x) = c0 + c⊤ x → min
(Z)
(G)
Ax = a ,
(NN)
x≥0.
mit
 
c1
 .. 
c =  . ,
cn

x1
 
x =  ...  ,

xn

a11
 ..
A= .
···

a1n
..  ,
. 
am1 · · · amn

a1
 
a =  ... 

am
aus. Zusätzlich fordern wir nun, dass ohne Beschränkung der Allgemeinheit auch a ≤ 0, d. h.
ai ≤ 0
für i = 1, . . . , m
gilt. Dies ist stets dadurch erreichbar, dass die Zeilen in (G) mit ai > 0 mit −1 durchmultipliziert werden, d. h., dass ai und die i-te Zeile von A mit −1 multipliziert werden, wenn
ai > 0 gilt.
Wir betrachten das Hilfsproblem (H)
h=
m
X
i=1
yi → min
Ax − y = a ,
x≥0,
100
y ≥0.
(ZH)
(GH)
(NNH)
5.4 Ermittlung eines ersten Simplextableaus
Dieses ist eine NLO in den Variablen x und y.
Wenn x und y (GH) erfüllen, gilt
m
X
yi =
i=1
m
X
i=1
ai1 xi −
m
X
ai .
i=1
Wir können also auch das äquivalente Problem
h=
m
X
ai1 xi +
i=1
m
X
i=1
ai → min
(GH)
Ax − y − a = 0 ,
x≥0,
(ZH)
(NNH)
y≥0
in den Variablen x und y betrachten. Wir ergänzen dieses Problem noch um die z-Zeile und
erhalten folgendes Tableau:
(H)
x1
...
xn
1
y1
..
.
a11
..
.
...
a1n
..
.
−a1
..
.
ym
am1
m
P
ai1
...
amn
m
P
ain
−am
m
P
ai
−
h
...
i=1
i=1
z
c1
...
cn
i=1
c0
Oﬀenbar hat dieses Tableau (ohne z-Zeile) die Basislösung (x, y) mit x = 0 und y = −a. Da
nach Voraussetzung a ≤ 0 gilt, ist (H) ohne z-Zeile ein Simplextableau für das Hilfsproblem.
Auf (H) wird nun das Simplexverfahren mit den Schritten (SR1 ), (SR2 ) und (SR3 ) angewandt
bis (nach endliche vielen Schritten) ein entscheidbares Simplextableau entsteht.
Satz 5.34. Das letzte Simplextableau für (H) ist stets optimal.
Beweis. Das Simplexverfahren bricht ab, sobald ein P
entscheidbares Tableau erreicht wird.
Es gilt also (S1 ) oder (S2 ). Wegen y ≥ 0 und h = m
i=1 yi ≥ 0, ist die Zielfunktion des
Hilfsproblems nach unten durch 0 beschränkt. Der Fall (S2 ) kann somit nicht auftreten.
101
5 Lineare Optimierung
Satz 5.35. Sei hmin das Minimum des Hilfsproblems und sei (x, y) optimale Lösung des
letzten aus (H) entstehenden Tableaus.
1. Es gelte hmin = 0. Nach
• Streichen der h-Zeile,
• Streichen der yi -Zeilen, welche nur 0-Einträge haben,
• Streichen der yj -Spalten
• und nach Anwendung des AVS bis alle yi nach oben ausgetauscht worden sind,
erhält man ein Simplextableau für die originale NLO.
2. Wenn hmin > 0 gilt, besitzt die originale NLO keine Lösung.
Beweis. 1. Sei (x, y) optimale Lösung des letzten aus (H) entstehenden Tableaus. Als Lösung
des Hilfsproblems ist
Pm(x, y) eine zulässige Lösung von (GH), es gilt also Ax − y = a mit
y ≥ 0. Aus hmin = i=1 yi > 0 und y ≥ 0 folgt y = 0 und somit Ax − a = 0, d. h. x ist eine
Lösung von (G) und (NN). Durch AV können somit alle noch links verbleiben yi noch oben
ausgetauscht werden, sofern sie in den xj -Spalten nicht nur 0-Einträge haben.
Da (x, y) auch zulässige Basislösung des letzten aus (H) entstehenden Tableaus war, d. h.,
waren alle oben stehenden xi gleich 0. Stand nun noch ein yi links im Tableau, so war der
entsprechende Eintrag in der 1-Spalte eine 0. Ein AV-Schritt zum Austausch eines solchen
yi nach oben ändert die 1-Spalte also nicht, d. h. nach jedem AV-Schritt haben wir (x, y)
wieder als eine optimale Lösung des Simplextableaus.
Das Hochtauschen der yi bricht ab, wenn kein yi mehr links steht, oder die noch da stehenden
nur 0 Zeilen haben. Streicht man diese Zeilen, die h-Zeile und die yj -Spalten, so ist x zulässige
Lösung des entstandenen Tableaus ohne y-Variablen, das entstandene Tableau ist also ein
Simplextableau für die originale NLO.
Dasselbe Tableau erhalten wir auch, wenn man die yi -Zeilen, welche nur 0-Einträge haben,
und die yj -Spalten gleich streicht und AVS abwendet.
15.01.2010
2. Wenn hmin > 0 gilt, dannPgilt nicht y = 0 und x ist keine Lösung von (G). Da (x, y) aber
optimale Lösung ist, kann m
i=1 yi nicht kleiner gemacht werden.
Beispiel 5.36. Gegeben sei ein LOP mit
z = f (x) = x1 + x2 + 3 → min
x1 + x2 − 2x3 ≥ 1 ,
− x1 + x2 − x3 ≥ 2 ,
x3 ≥ x1 ,
x1 ≥ 0 ,
102
x2 ≥ 0 .
5.4 Ermittlung eines ersten Simplextableaus
Durch Einführen der Schlupfvariablen x4 , x5 , x6 und Multiplikation der ersten und zweiten
Gleichung mit −1 ergibt sich die NLO
z = x1 + x2 + 3 → min
(Z)
+ x1 − x2 + x3 + x5 = −2 ,
(G)
− x1 − x2 + 2x3 + x4 = −1 ,
− x1 + x3 − x6 = 0 ,
xi ≥ 0 für i = 1, . . . , 6 .
(NN)
Das Hilfsproblem lautet dann
h = y1 + y2 + y3 → min
(ZH)
y2 = x1 − x2 + x3 + x5 + 2 ,
(GH)
y1 = −x1 − x2 + 2x3 + x4 + 1 ,
y3 = −x1 + x3 − x6 ,
xi ≥ 0 für i = 1, . . . , 6 ,
yj ≥ 0 für i = 1, 2, 3 .
(NNH)
Das zugehörige Simplex-Tableau des Hilfsproblems hat dann – unter Einbeziehung der zZeile – die Form
y1
y2
y3
h
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
1
−1
−1
2
1
0
0
1
1
0
1
0
2
−1
0
1
0
0
0
−2
4
1
1
−1
0
0
0
0
3
1
−1
1
−1
1
−1
3
Entsprechend (SR1 ) (bezüglich der h-Zeile) kann τ = 6 als Pivotspalte gewählt werden.
Nach (SR2 ) ergibt sich σ = 3 und somit der Austausch y3 ↔ x6 .
Ergänzen der Kellerzeile ergibt das Tableau:
y1
y2
y3
h
z
K
Durch AVS nach (SR3 ) folgt:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
1
−1
−1
2
1
0
0
1
y1
1
0
1
0
2
y2
0
1
0
0
0
x6
−2
4
1
1
−1
3
h
1
0
0
0
0
3
z
0
1
0
0
∗
0
1
−1
−1
1
−1
−1
−1
x1
x2
x3
x4
x5
1
−1
−1
2
1
0
1
1
0
1
2
0
1
0
0
0
−2
3
1
1
3
0
0
0
3
1
−1
0
1
−1
1
103
5 Lineare Optimierung
Entsprechend (SR1 ) (bezüglich der h-Zeile) muss τ = 2 als Pivotspalte gewählt werden.
Nach (SR2 ) ergibt sich σ = 1 und somit der Austausch y1 ↔ x2 .
Ergänzen der Kellerzeile ergibt das Tableau:
y1
y2
x1
x2
x3
x4
x5
1
−1
−1
2
1
0
1
x2
1
0
1
2
y2
0
1
0
0
0
x6
−2
3
1
1
3
h
1
0
0
0
3
z
∗
2
1
0
1
−1
1
−1
x6
h
Durch AVS nach (SR3 ) folgt:
0
z
1
K
−1
x1
x3
x4
x5
1
−1
2
1
0
1
−1
−1
1
1
0
0
0
−1
−1
1
1
0
4
2
−1
1
2
0
2
1
Entsprechend (SR1 ) (bezüglich der h-Zeile) wird τ = 3 als Pivotspalte gewählt werden. Nach
(SR2 ) ergibt sich σ = 2 und somit der Austausch y2 ↔ x4 .
Ergänzen der Kellerzeile ergibt das Tableau:
x2
y2
x6
h
x1
x3
x4
x5
1
−1
2
1
0
1
−1
−1
1
0
−1
2
−1
2
z
0
K
2
1
−1
2
−1
Durch AVS nach (SR3 ) folgt:
x1
x3
x5
1
x2
1
1
1
2
1
x4
2
1
1
0
0
x6
1
0
0
1
1
h
−1
−1
0
0
0
0
1
0
4
z
2
1
1
5
∗
1
1
Das Verfahren bricht mit hmin = 0 ab.
Durch Streichen der h-Zeile erhalten wir ein Simplextableau zur originalen NLO.
Dieses Simplextableau ist sogar bereits entscheidbar:
Es liegt ein optimales Simplextableau mit
x1 = 0 ,
und zmin = 5 vor.
104
x2 = 2 ,
x3 = 0 ,
x4 = 1 ,
x5 = 0 ,
x6 = 0
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
6.1 Vektorräume
Vektorräume sind in gewisser Weise Verallgemeinerungen der Zahlenmengen. So gibt es
in einem Vektorraum eine Addition mit Eigenschaften analog der für die reellen Zahlen.
Außerdem kann man Vektoren durch die Multiplikation mit reellen Zahlen stauchen oder
dehnen. Eine Multiplikation mit den von den reellen Zahlen gewohnten Eigenschaften gibt es
jedoch im allgemeinen nicht. Daher werden verschiedene Arten von Ersatz-Multiplikationen
(Zahlen mit Vektoren oder Vektoren mit Vektoren) betrachtet.
Vektoren erlauben vielfältige innermathematische Anwendungen wie in der Geometrie oder
Analysis, sowie auch außermathematische Anwendungen z. B. in der Mechanik. Je nach
Anwendung haben sie unterschiedliche Formen.
Ziel dieses Abschnittes ist einerseits die Wiederholung von Begriﬀen, welche von der Schule
her bekannt sein sollten, und eine allgemeinere Einordnung.
6.1.1 Zahlenkörper
Seien K eine Menge mit einer Addition „+“ und die Multiplikation „·“ mit folgenden
Eigenschaften:
∀x, y ∈ K : x + y = y + x
∀x, y ∈ K : x · y = y · x
∀x, y, z ∈ K : x + (y + z) = (x + y) + z
∀x, y, z ∈ K : x · (y · z) = (x · y) · z
∀x, y, z ∈ K : x · (y + z) = x · y + x · z
∀x ∈ K : x + 0 = x, 1 · x = x
∀x ∈ K : ∃=1 − x ∈ K : x + (−x) = 0
∀x ∈ K \ {0}∃=1 x−1 ∈ K : x−1 · x = 1)
(Kommutativgesetze)
(Assoziativgesetze)
(Distributivgesetz)
(neutrale Elemente 0 bzw. 1
(additiv inverse Zahl)
(multiplikativ inverse Zahl)
Definition 6.1. Eine Menge K mit Operationen + und · und Elementen 0 6= 1 und obigen
Gesetzen heißt (Zahlen-) Körper .
Bemerkung 6.2. Die Menge N der natürlichen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen
Z bilden mit der üblichen Addition und Multiplikation keinen Zahlenkörper, da Inverse
Elemente zu Addition bzw. Multiplikation fehlen.
105
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
Beispiel 6.3. Die Menge Q der rationalen Zahlen pq mit p, q ∈ Z, q 6= 0 ausgestatter mit
der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation bildet einen Zahlenkörper, wobei
• rationale Zahlen
p
q
und
r
s
genau dann als gleich gelten, wenn ps = qr gilt,
p
r
=
q
s
⇐⇒
ps = qr ,
• rationale Zahlen pq und rs addiert werden, indem beide Zahlen auf den gemeinsamen
Hauptnenner gebarcht werden und dann die Zähler addiert werden,
p r
ps qr
ps + qr
+ =
+
=
,
q s
qs qs
qs
• rationale Zahlen
den,
p
q
und
r
s
addiert werden, indem Zähler und Nenner multipliziert werp r
pr
· =
.
q s
qs
Beispiel 6.4. Die Menge R der reellen Zahlen ausgestattet mit der üblichen Addition und
der üblichen Multiplikation bildet einen Zahlenkörper, wobei mir den uns hier in der Vorlesung zur Verfügung stehenden Mitteln weder deﬁniert werden kann, was reelle Zahlen
sind, noch wie sie addiert oder multipliziert werden. (Reelle Zahlen werden als Äquivalenzklassen von Intervallschachtelungen, als Dedekind-Schnitte, als Äquivalenzklassen von
Cauchy-Folgen eingeführt. Die Einführung reeller Zahlen als Dezimalbrüche mangelt daran,
dass Dezimalbrüche als formale Reihen betrachtet werden müssten und es sehr kompliziert
ist, für diese Addition und Multiplikation zu deﬁnieren.)
Beispiel 6.5. Sei M = {0, 1} mit folgender Addition und Multiplikation:
0+0=0,
0+1=1,
1+0=1,
1+1=0,
0·0=0,
0·1=0,
1·0=0,
1·1=1.
Wir erhalten den zweielementigen Zahlenkörper F2 .
Beispiel 6.6. Die Menge Rn der reellen n-Tupel bildet für n > 1 zusammen mit der üblichen
komponentenweisen Addition keinen Zahlenkörper, da eine geeignete Multiplikation fehlt:
Zum Skalarprodukt fehlen Inverse, das Vektorprodukt im R3 ist nicht kommutativ.
Beispiel 6.7. Die Menge Rn×n der n-reihigen Matrizen bildet für n > 1 zusammen mit der
üblichen Matrizenaddition und -multiplikation keinen Zahlenkörper: Die Muliplikation ist
nicht kommutativ und es mangelt an der Existenz inverser Matrizen.
6.1.2 Vektorraum Rn
Sei n ∈ N>0 . Wir betrachten die Menge
Rn := Xni=1 R = |R × ·{z
· · × R} = {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ R}
n−mal
106
6.1 Vektorräume
der reellen n-Tupel .
In Rn deﬁniert man die Addition von Elementen x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) und
die Multiplikation mit einem Skalar (reeller Zahl) λ ∈ R durch
x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) und λ · x := (λx1 , . . . , λxn ) .
x + y heißt Summe von x und y, λx heißt Vielfaches, konkret λ-Faches von x.
Insbesondere betrachtet man die Räume R2 und R3 der Paare bzw. Tripel reeller Zahlen zur
Beschreibung von Punkten in der Ebene oder im (drei-dimensionalen) Raum.
Algebraische Eigenschaften: Seien
0 := (0, . . . , 0)
(Null) ,
−x := (−x1 , . . . , −xn )
(entgegengesetztes Element) .
Dann gelten (für x, y, z ∈ Rn ,λ, µ ∈ R):
x+y =y+x,
λ · (x + y) = λ · x + λ · y ,
x+0=x,
(6.1)
(x + y) + z = x + (y + z) ,
x + (−x) = 0 ,
(λ + µ) · x = λ · x + µ · x ,
0·x=0,
1·x=x,
λ(µ · x) = (λµ) · x ,
(−1) · x = −x .
(6.2)
(6.3)
Wir setzen:
x − y := x + (−y) = (x1 − y1 , . . . , xn − yn ) .
Schreibweise: Wir schreiben ein n-Tupel (x1 , . . . , xn ) auch als so genannten Spaltenvektor . Beachte den Unterschied zum Zeilenvektor (ohne Kommas!):

x1
 für n>1

(x1 , . . . , xn ) =  ...  6= (x1
xn

···
xn ) .
Spezielle Vektoren sind der Nullvektor 0 = (0, . . . , 0) und die i-ten Einheitsvektoren
ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ,
bei denen genau an der i-ten Stelle eine 1 steht.
Ist dann x = (x1 , . . . , xn ) ein Vektor aus Rn , so kann man ihn als
x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en =
n
X
xi ei ,
i=1
107
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
d. h., als eine Linearkombination der ei darstellen. Außerdem ist (e1 , . . . , en ) minimal
in folgendem Sinne: keiner der Vektoren ei lässt sich als Linearkombination der übrigen
Einheitsvektoren darstellen.
(e1 , . . . , en ) heißt kanonische Basis und x1 , . . . ,xn heißen die Koordinaten von x bezüglich der kanonischen Basis.
6.1.3 Allgemeine Vektorräume
Definition 6.8. Sei K ein Körper. Eine Menge V mit einer Addition + und einer Multiplikation · mit Zahlen aus K heißt Vektorraum, wenn genau ein Nullvektor 0 ∈ V und
für jedes x ∈ V genau ein additives Inverses (entgegengesetzter Vektor ) −x ∈ V
existieren, so dass (6.1), (6.2), (6.3) für alle x, y, z ∈ V , λ, µ ∈ K gelten. Die Elemente eines
Vektorraumes heißen Vektoren.
22.01.10
Bemerkung 6.9. Ein Vektorraum ist also eine algebraische Struktur, in der Summe und
Vielfaches mit „vernünftigen“ Eigenschaften deﬁniert sind.
Beispiele von Vektorräumen:
1. Der Raum Rn der reellen n-Tupel ist ein Vektorraum über dem Körper R, siehe oben.
2. Wir betrachten die Menge Rm×n der reellen m × n-Matrizen mit üblicher Summe und
üblichen reellen Vielfachen. Dann ist auch Rm×n ein Vektorraum.
3. Wir betrachten die Lösungsmenge L ⊆ R eines linearen, homogenen Gleichungssystems
mit reellen Koeﬃzienten. Dann ist L ein reeller Vektorraum.
4. Wir betrachten die Lösungsmenge L ⊆ Q eines linearen, homogenen Gleichungssystems
mit rationalen Koeﬃzienten. Dann ist L ein rationaler Vektorraum.
5. Wir betrachten die Menge F aller Funktionen f : R → R. Für f, g ∈ F deﬁnieren wir
Summe und Vielfaches durch
(f + g)(x) := f (x) + g(x) ,
Damit bildet F einen Vektorraum über R.
108
(λf )(x) := λf (x)
(x ∈ R) .
6.1 Vektorräume
Definition 6.10. Seien n Vektoren b1 , . . . , bn in einem Vektorraum V über K gegeben.
Das n-Tupel (b1 , . . . , bn ) heißt linear unabhängig , wenn der Nullvektor 0 nur trivial als
Linearkombination der bi darstellbar ist:
λ 1 b1 + · · · + λ n bn = 0
⇒
λ1 = · · · = λn = 0 .
Das n-Tupel (b1 , . . . , bn ) heißt vollständig , wenn jeder Vektor v ∈ V als Linearkombination
der bi darstellbar ist:
∀v ∈ V ∃x1 , . . . , xn ∈ K : v = x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn .
(6.4)
Ein linear unabhängiges und vollständiges n-Tupel (b1 , . . . , bn ) heißt Basis von V .
Bemerkung 6.11. Die Darstellung (6.4) bezüglich (b1 , . . . , bn ) ist eindeutig.
Definition 6.12. Ist (b1 , . . . , bn ) eine Basis, so heißt V ein n-dimensionaler Vektorraum.
Die Zahlen x1 , . . . , xn (in dieser Reihenfolge) in (6.4) heißen die Koordinaten von v bezüglich der Basis (b1 , . . . , bn ).
Der Vektor (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn in (6.4) heißt Koordinatenvektor von v bezüglich dieser
Basis.
Existiert also eine Basis (b1 , . . . , bn ), so entspricht jedem Vektor v ∈ V genau ein Koordinatenvektor x ∈ Rn und umgekehrt, wobei
V ∋ v = x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn
←→
(x1 , . . . , xn ) = x ∈ Rn .
Außerdem entsprechen sich Addition und Multiplikation mit Skalar in V und Rn .
Bemerkung 6.13. Anstelle eines n-dimensionalen Vektorraumes V über R kann stets der
isomorphe Vektorraum Rn der n-Tupel betrachtet werden.
6.1.4 Skalarprodukt und Norm
Definition 6.14. Für Vektoren x, y ∈ Rn deﬁnieren wir das euklidische Skalarprodukt
hx, yi := x1 y1 + · · · + xn yn =
n
X
xi yi = x⊤ y .
i=1
109
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
Das Skalarprodukt ordnet Vektoren x, y ∈ Rn eine reelle Zahl zu und hat folgende Eigenschaften (α, β ∈ R, x, y, z ∈ Rn ):
hx, yi = hy, xi
hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi
hx, xi ≥ 0 , hx, xi = 0 ⇔ x = 0
(Symmetrie)
(Bilinearität)
(positive Deﬁnitheit) .
(6.5)
Oﬀensichtlich gilt
xi = hx, ei i für i = 1, . . . , n .
Definition 6.15. Eine Abbildung h·, ·i : V × V → R, (v, w) 7→ hv, wi heißt Skalarprodukt
in V , wenn (6.5) für alle α, β ∈ R und alle x, y ∈ V gilt.
Andere Bezeichnungen:
v·w,
(v | w) ,
(v, w) .
Definition 6.16. Die Zahl
q
p
kxk := hx, xi = x21 + · · · + x2n
heißt (euklidischer) Betrag , Länge oder euklidische Norm von x.
Die Länge hat folgende Eigenschaften (λ ∈ R, x, y ∈ Rn ):
kxk ≥ 0 , kxk = 0 ⇔ x = 0
kλxk = |λ| · kxk
kx + yk ≤ kxk + kyk
(positive Deﬁnitheit)
(Homogenität)
(Dreiecksungleichung)
(6.6)
Definition 6.17. Der Vektorraum (Rn , +, ·) ausgestattet mit der Länge k · k heißt euklidischer Raum.
Definition 6.18. Eine Abbildung k · k : V → R, v 7→ kvk heißt Norm in V , wenn (6.6)
entsprechend für alle λ ∈ R und alle x, y ∈ V gilt.
Definition 6.19. v ∈ V heißt normiert oder Einheitsvektor , wenn kvk = 1.
Bemerkung 6.20. Wenn h·, ·i ein Skalarprodukt in V ist, dann ist durch kvk :=
v ∈ V eine Norm in V deﬁniert.
110
p
hv, vi für
6.1 Vektorräume
Es gilt die Cauchy-Schwarz-Bunjakowski-Ungleichung
für alle v, w ∈ V .
|hv, wi| ≤ kvk · kwk
Sei (b1 , . . . , bn ) eine Basis in V und seien v, w ∈ V mit
v=
n
X
xi bi ,
w=
i=1
Dann gilt
hv, wi =
n X
n
X
n
X
y i bi .
i=1
mit
gij xi yj
i=1 j=1
gij := hbi , bj i .
Definition 6.21. Zwei Vektoren a, b ∈ V heißen orthogonal zueinander , wenn
ha, bi = 0
gilt.
Wenn hbi , bi i = 1, hbi , bj i = 0 für i 6= j, dann sind die Vektoren b1 , . . . , bn normiert und
paarweise orthogonal (d. h., orthonormal ) und es gilt gii = 1 und gij = 0 für i 6= j. Daher
gilt dann
n
X
hv, wi =
xi yi .
i=1
Bemerkung 6.22. Die Einheitsvektoren e1 , . . . , en in Rn sind orthonormal bezüglich des
euklidischen Skalarproduktes.
Definition 6.23. Für zwei Vektoren v, w ∈ V \ {0} eines euklidischen Raumes V wird der
Winkel ∡(v, w) ∈ [0, π] deﬁniert durch
cos ∡(v, w) =
hv, wi
.
kvk · kwk
Bemerkung 6.24. Durch obige Deﬁntion wird der Winkelbegriﬀ vom Zweidimensionalen her
verallgemeinert und ist nun auch allgemein in euklidischen Vektorräumen verfügbar.
Bemerkung 6.25. Zwei Vektoren v, w ∈ V \{0} sind genau dann orthogonal zueinander (d. h.
hv, wi = 0), wenn der Winkel zwischen ihnen π2 (also 90◦ ) ist.
111
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
6.1.5 Analytische Geometrie
Aus der Schule sollte die Anwendung des R2 und des R3 für die analytische Geometrie,
Grundaufgaben der analytischen Geometrie und deren Lösung bekannt sein:
• Darstellungen von Geraden und Ebenen,
• Orthogonalprojektion,
• Schnittpunkte von Geraden und Ebenen,
• Winkel zwischen Geraden und Ebenen,
• Lotfußpunkte und Lotgeraden.
Zum Skalarprodukt kommen im R3 noch Kreuzprodukt und Spatprodukt hinzu. Für eine
ausführlichere Darstellung der analytischen Geometrie wird auf andere Vorlesungen bzw.
Bücher verwiesen.
6.2 Komplexe Zahlen
Ziel ist, die Menge R2 so mit einer Addition „+“ und einer Multiplikation „·“ auszustatten,
dass ein Zahlenkörper entsteht.
Wenn dies geht, so können wir mit Punkten in der Ebene R2 richtig rechnen – im Unterschied
zur Vektorrechnung, bei der eine Division fehlt.
6.2.1 Körper der komplexen Zahlen
Wir verwenden für den R2 die schon bekannte Addition
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) .
(6.7)
Sie erfüllt alle an sie forderten Eigenschaften für einen Zahlenkörper.
Beispiel 6.26. Es seien z1 = (2, −1), z2 = (1, 3). Dann gelten
z1 + z2 =(2, −1) + (1, 3) = (3, 2) ,
z1 − z2 =(2, −1) − (1, 3) = (1, −4) .
Benötigt wird noch Multiplikation im R2 , d. h., wir haben
(a, b) · (c, d)
so zu deﬁnieren, dass wieder ein Element des R2 entsteht, und so, dass das Produkt vernünftige Eigenschaften hat (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Existenz von
neutralem Element und von inversen Elementen).
112
6.2 Komplexe Zahlen
Insbesondere wollen wir ein Paar (x, 0) ∈ R2 mit der reellen Zahl x ∈ R identiﬁzieren:
(x, 0) = x
für x ∈ R .
Außerdem soll die Multiplikation mit einer reellen Zahl die schon vom R2 bekannten Eigenschaften haben.
Damit sind schon festgelegt:
• 0 = (0, 0) als Null und 1 = (1, 0) als Eins,
• (a, 0) · (c, d) = (ac, ad) und somit
(a, b) · (c, d) = (a, 0) · (c, d) + (0, b) · (c, d)
= (a, 0) · (c, 0) + (a, 0) · (0, d) + (0, b) · (c, 0) + (0, b) · (0, d)
= ac(1, 0)2 + ad(1, 0)(0, 1) + bc(1, 0)(0, 1) + bd(0, 1)2
= ac(1, 0) + (bc + ad)(0, 1) + bd(0, 1)2
= (ac, ad + bc) + bd(0, 1)2 .
Oﬀen ist somit nur noch die geeignete Deﬁnition von
(0, 1)2 .
Potentielle (einfachste) Elemente wären
(0, 0) ,
(1, 0) ,
(0, 1) ,
(−1, 0) ,
(0, −1) ,
(1, 1) ,
(−1, −1) ,
wovon aber nur (−1, 0) die gewünschten Eigenschaften hat:
Setzen wir
(0, 1)2 := (−1, 0) = −1 ,
so haben wir die Multiplikation vollständig deﬁniert durch
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc) .
(6.8)
Die so deﬁnierte Multiplikation hat vernünftige Eigenschaften:
• Sie genügt dem Kommutativ- und dem Assoziativgesetz.
• Gemeinsam mit der Addition genügt sie dem Distributivgesetz.
• 0 = (0, 0) und 1 = (1, 0) sind die neutralen Elemente bezüglich Addition bzw. Multiplikation.
113
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
• Für jedes (a, b) 6= (0, 0) gilt
a
−b
(a, b) ·
= (1, 0) = 1 ,
,
a2 + b2 a2 + b2
wenn (a, b) 6= 0 ,
genauer: Für (a, b) 6= (0, 0) gibt es genau ein (c, d) mit (a, b) · (c, d) = 1.
Beispiel 6.27. Es seien z1 = (2, −1), z2 = (1, 3). Dann gelten
z1 · z2 =(2 · 1 − (−1) · (3), 2 · 3 + (−1) · 1) = (5, 5) ,
2 1
−(−1)
1
2
=
=
,
,
.
z1
22 + (−1)2 22 + (−1)2
5 5
Satz 6.28. Die Menge R2 zusammen mit der Addition + und der Multiplikation · entsprechend (6.7) und (6.8) bildet einen Zahlenkörper.
29.01.2010
Definition 6.29. Die Menge R2 zusammen mit der Addition + und der Multiplikation ·
entsprechend (6.7) und (6.8) heißt Körper der komplexen Zahlen C. Die Elemente von
C heißen komplexe Zahlen C.
6.2.2 Algebraische Darstellung komplexer Zahlen
Bemerkung 6.30. C ist ein zweidimensionaler Vektorraum über R mit der Basis
(e1 , e2 ) = ((1, 0), (0, 1)) ,
d. h., für jede komplexe Zahl (x, y) gilt
(x, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1) = x · e1 + y · e2 .
(6.9)
(x, y) = x · e1 + y · e2
y · e2
e2
e1
x · e1
Wir können uns daher die Elemente von C auch als Punkte in der Ebene vorstellen, nachdem
wir einen Nullpunkt und zwei aufeinander senkrecht stehende Koordinatenachsen ausgewählt
haben: Die waagerechte Achse gehört zum Basisvektor e1 = (1, 0), d. h., zu den reellen Zahlen, die vertikale Achse gehört zum Basisvektor e2 = (0, 1). Komplexe Zahlen können auch
114
6.2 Komplexe Zahlen
als Zeiger (Ortsvektoren) in der Ebene, Gaußsche Zahlenebene genannt, interpretiert
werden.
Bemerkung 6.31. Addition der komplexen Zahlen (a, b) und (c, d) heißt Verschiebung des
Punktes (a, b) um den Vektor (c, d) in den Punkt (a + c, b + d).
Wir haben schon
1 = e1 = (1, 0) .
Wir setzen
i := e2 = (0, 1) .
Wegen (6.9) haben wir damit
(x, y) = x + iy .
(x, y) = x + yi
yi
i
1
x
Wir können uns daher nun die Elemente von C als Punkte in der Ebene vorstellen, nachdem
wir einen Nullpunkt und zwei aufeinander senkrecht stehende Koordinatenachsen ausgewählt
haben: Die waagerechte, reelle Achse gehört zum Basisvektor 1 = (1, 0), d. h., zu den reellen
Zahlen, die vertikale, imaginäre Achse gehört zum Basisvektor i = (0, 1).
Definition 6.32. Für eine komplexe Zahl z = x + yi nennen wir y := Re(z) den Realteil
und x := Im(z) den Imaginärteil von z.
Für die Multiplikation gilt nun
(a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i .
Beispiel 6.33. Es gelten
(2 + 3i) · (3 − 4i) = 2 · 3 − 3 · (−4) + (2 · (−4) + 3 · 3)i = 18 + i ,
(0 + 1i) · (0 + 1i) = 0 · 0 − 1 · 1 + (0 · 1 + 1 · 0)i = −1 .
Insbesondere haben wir
115
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
i2 = i · i = −1 = (−i) · (−i) = (−i)2 .
Damit hat die Gleichung x2 = −1 in C zwei Lösungen!
Da C ein Zahlenkörper ist, kann man mit komplexen Zahlen im Sinne von Addition und
Subtraktion, Multiplikation und Division genau so rechnen wie mit reellen Zahlen. Beachtet
man i2 = −1, so wird einfach ausmultipliziert.
Beispiel 6.34. Es gelten
(2 + 3i) · (3 − 4i) = 2 · 3 + 2 · (−4i) + 3i3 + 3i · (−4i) = 6 − 8i + 9i − 12i2 = 18 + 1i ,
(3 + 4i)(2 − i) = 6 − 3i + 8i − 4i2 = 10 + 5i.
Definition 6.35. Die komplexen Zahlen z = x + iy und z̄ := x − iy, die gleichen Realteil
und zueinander negativen Imaginärteil haben, heißen komplex konjugiert zueinander.
z = x + iy
y
z+z
x
z = x − iy
Bemerkung 6.36. Das Konjugieren einer komplexen Zahl z = x + iy zu z̄ := x − iy ist das
Spiegeln des Punktes (x, y) an der reellen Achse.
Bemerkung 6.37. Das Produkt zweier zueinander konjugiert komplexer Zahlen ist eine reelle
Zahl:
z · z̄ = (x + iy) · (x − iy) = x2 + ixy − ixy − i2 y 2 = x2 + y 2 .
Dies wird ausgenutzt zum Reellmachen des Nenners und zur Division komplexer Zahlen:
a + ib c − id
ac + bd + (bc − ad)i
ac + bd bc − ad
a + ib
=
·
=
= 2
+ 2
i.
2
2
c + id
c + id c − id
c +d
c + d2
c + d2
Beispiel 6.38. Es gilt
3 + 4i 2 + i
6 + 3i + 8i + 4i2
2 + 11i
2 11
3 + 4i
=
·
=
=
= + i.
2
2−i
2−i 2+i
4 + 2i − 2i − i
4+1
5
5
116
6.2 Komplexe Zahlen
Für Elemente des R2 kennen wir schon den Betrag.
Definition 6.39. Für eine komplexe Zahl z = x + iy wird der Betrag einer komplexen Zahl
|z| deﬁniert durch
p
√
|z| := |x + iy| = x2 + y 2 = zz .
Wir notieren noch die folgenden Rechenregeln:
z1 · z 2 = z1 · z2 ,
|z| = |z| ,
z 1 + z2 = z 1 + z2 ,
|z1 z2 | = |z1 | · |z2 | ,
Re(z) =
1
2 (z
+ z) ,
z=z,
z · z = |z|2
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | ,
Im(z) =
1
2i (z
− z) .
Beachte: Die letzten beiden Formeln lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene gut verstehen. Zu einer komplexen Zahl z erhält man die komplex Konjugierte nämlich (nach Deﬁnition) einfach durch Spiegelung an der reellen Achse. Insbesondere gelten auch
z −1 =
z
1
= 2z ,
z·z
|z|
w · z̄
w
,
=
z
|z|2
Beispiel 6.40. Es seien z1 = 2 − i, z2 = 1 + 3i, vergleiche die Beispiele 6.26, 6.27. Dann
gelten
z1 + z2 = 3 + 2i ,
z̄1 = 2 + i ,
p
√
|z1 | = 22 + (−1)2 = 5 ,
z1 · z2 = 2 + 6i − i + 3 = 5 + 5i
z1 − z2 = 1 − 4i ,
z̄2 = 1 − 3i ,
p
√
|z2 | = 12 + 32 = 10 ,
z1
(2 − i)(1 − 3i)
2 − 6i − i − 3
=
=
z2
10
10
1
7
−1 − 7i
=− − i.
=
10
10 10
Bemerkung 6.41. Im Unterschied zu den reellen Zahlen haben wir keine Ordnungsrelation
mit den vom Reellen bekannten Eigenschaften.
6.2.3 Polardarstellung
Betrachtet man eine komplexe Zahl z 6= 0 als Zeiger in der komplexen Zahlenebene, so kann
z oﬀenbar auch in folgender Form dargestellt werden:
z = |z| cos ϕ + i|z| sin ϕ = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) ,
wobei ϕ = arg(z) ein Winkel sei, den der Zeiger mit der reellen Achse bildet.
117
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
(x, y) = x + yi
yi
r
i
ϕ
1
x
Dieser Winkel wird Argument von z genannt. Üblicherweise wird für eine eindeutige Darstellung der Hauptwert des Winkels im Intervall ] − π, π] gesucht, d. h.,
Arg(z) ∈ ] − π, π] .
Für z = x + iy setzen wir
Arg(z) := ϕ
x
mit cos ϕ =
|z|
und
0 ≤ ϕ ≤ π, falls y ≥ 0
−π < ϕ < 0, falls y < 0
,
wenn z 6= 0. Weiter sei Arg(0) := 0.
Zusammengefasst haben wir die eindeutige trigonometrische Form oder Polardarstellung einer komplexen Zahl z mit
z = |z| (cos Arg(z) + i sin Arg(z)) ,
wobei sich ein beliebiges Argument ϕ von z von Arg(z) nur durch Vielfache von 2π unterscheidet.
6.2.4 Komplexe Sinus-, Cosinus- und Exponential-Funktionen
Ein Vorteil der komplexen Zahlen besteht darin, dass man bestimmte reelle Funktionen unter Erhaltung ihrer wichtigsten Eigenschaften auf C erweitern kann. Außer den (natürlichen)
Potenzfunktionen und damit den Polynomen sind dies die Exponential- und Hyperbelfunktionen sowie die trigonometrischen Funktionen:
exp : C → C ,
sin : C → C ,
sinh : C → C ,
exp z := ez := eRe(z) (cos Im(z) + i sin Im(z)) ,
1 iz
1 iz
e − e−iz , cos : C → C , cos z :=
e + e−iz ,
sin z :=
2i
2
1 z
1 z
−z
sinh z :=
e −e
, cosh : C → C , cosh z :=
e + e−z .
2
2
Diese Funktionen erfüllen die aus dem Reellen bekannten Additionstheoreme. Insbesondere
gelten
118
6.2 Komplexe Zahlen
ez1 +z2 = ez1 ez2 ,
e−z =
1
,
ez
enz = (ez )n .
Für z = iy mit y ∈ R erhalten wir die Euler-Formel bzw. Moivre-Formel
eiy = cos y + i sin y ,
einy = (cos y + i sin y)n = cos ny + i sin ny .
Die Moivre-Formel ermöglicht zum Beispiel die Berechnung von cos 3ϕ:
cos 3ϕ = Re (cos ϕ + i sin ϕ)3
= Re cos3 ϕ + 3 · cos2 ϕ · i sin ϕ + 3 · cos ϕ · i2 sin2 ϕ + i3 sin3 ϕ
= cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ .
6.2.5 Exponential-Darstellung
Aus der Polardarstellung
z = |z| (cos Arg(z) + i sin Arg(z))
und der Euler-Formel erhalten wir nun die Exponentialdarstellung
z = |z|eiArg(z) .
Die komplexen Zahlen z und w werden multipliziert, indem ihre Beträge multipliziert und
ihre Argumente addiert werden:
z · w = |z|eiArg(z) · |w|eiArg(w) = |z||w|ei(Arg(z)+Arg(w)) .
Bemerkung 6.42. Multiplikation der komplexen Zahlen z und w heißt also Dehnen des
Vektors z = (x, y) um den Betrag |w| und Drehen um den Nullpunkt um den Winkel
Arg(w).
Bemerkung 6.43. Die Multiplikation mit der komplexen Zahlen eiϕ ist das Drehen um den
Nullpunkt mit dem Winkel ϕ.
Zwei komplexe Zahlen z und w 6= 0 werden dividiert, indem ihre Beträge dividiert und
ihre Argumente subtrahiert werden:
|z|eiArg(z)
z
|z| i(Arg(z)−Arg(w))
=
e
.
=
iArg(w)
w
|w|
|w|e
119
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl z wird potenziert, indem ihr Betrag potenziert und ihr Argument
n
vervielfacht wird:
= |z|n einArg(z) .
z n = |z|eiArg(z)
√
√ 3π
π
2ei 4 und i − 1 = 2ei 4 gilt
√ π 5 √ 3 7
√ 12
π
3
· ei(5· 4 +7· 4 π)
2ei 4 ·
2ei 4 π
2
(1 + i)5 · (i − 1)7 =
=
Beispiel 6.44. Wegen 1 + i =
1
26
= 26 · ei 4 π = 64 · ei(6π+ 2 π) = 64ei 2 = 64i .
π
Bemerkung 6.45. Während die algebraische Darstellung sehr gut geeignet ist für die Addition
und Subtraktion, ist die Exponentialdarstellung besser geeignet für Multiplikation, Division
und Potenzierung.
6.2.6 Komplexe Faktorisierung eines Polynoms
Wir betrachten eine quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0
im Fall D =
Seien
p2
4
(6.10)
− q < 0, d. h., in dem Fall, indem keine reelle Lösung existiert.
√
p
x1 := − − i −D ,
2
√
p
x2 := − + i −D .
2
Dann gilt
√
√
p
p
(x − x1 )(x − x2 ) = [x + ] − i −D [x + ] + i −D
2
2
p 2
p2 p2
= (x + ) − i2 (−D) = x2 + px +
−
+q
2
4
4
= x2 + px + q .
Damit sind obige x1 und x2 komplexe Lösungen der Gleichung (6.10) im Falle
p2
4
− q < 0.
Insbesondere hat also jede quadratische Gleichung (6.10) mit reellen Koeﬃzienten genau
zwei Lösungen.
Man kann zeigen:
Satz 6.46 (Fundamentalsatz der Algebra). Lässt man auch komplexe Nullstellen zu, so
besitzt jedes Polynom eine Faktorisierung nur in Linearfaktoren. Insbesondere hat jedes Polynom n-ten Grades, n ≥ 1, genau n komplexe Nullstellen, wenn mehrfache Nullstellen
entsprechend oft gezählt werden.
05.02.2010
Beispiel 6.47. x2 + 1 = (x + i)(x − i) .
120
6.2 Komplexe Zahlen
6.2.7 n-te Wurzeln in C
Wir suchen die (reellen und) komplexen Nullstellen des Polynoms f (x) = xn − 1, also die
Wurzeln der Gleichung xn = 1. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra wissen wir, dass f
genau n komplexe Nullstellen besitzt (Vielfachheiten mitgezählt). Über die Exponentialdarstellung können wir unmittelbar n Lösungen der Gleichung angeben. Wegen eik·2π = 1 für
beliebiges k ∈ Z sind (die voneinander verschiedenen komplexen Zahlen)
k
xk := ei n ·2π ,
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
genau n Lösungen der Gleichung, mithin die n komplexen Nullstellen von f (x) = xn − 1.
Wir erweitern die Überlegung auf die Gleichung
zn = a ,
mit a ∈ C vorgegeben.
Sei etwa a = |a| · eiArg(a) . Dann sind die Zahlen
p
n
|a| · ei
Arg(a)+2kπ
n
,
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
genau die n Wurzeln (Lösungen) der Gleichung z n = a.
Damit können wir Gleichungen der Form
(z − a)n + b = 0
a, b ∈ C, n ∈ N>0
in C lösen.
Beispiel 6.48. Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung (z − 2i)3 − 64 = 0 in algebraischer Form: Mit w = z − 2i haben wir w3 = 64 und damit
√
√
2π
2π
w1 = 4 , w2 = 4e 3 i = −2 + 2 3i , w3 = 4e− 3 i = −2 − 2 3i
bzw.
Somit sind
2kπ
2kπ
+ i sin
,
wk = 4 cos
3
3
z1 = 4 + 2i ,
√
z2 = −2 + 2( 3 + 1)i ,
k = 0, 1, 2 .
√
z3 = −2 − 2( 3 − 1)i
die gesuchten Lösungen.
Beispiel 6.49. Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung
(z − 2)3 +
q√
√
algebraischer Form: Sei w = z − 2. Dann gilt |w| = 3 | 8| = 2 und
√
8 = 0 für z ∈ C in
√
1
π 2kπ
2kπ
arg w = arg(− 8) +
= +
,
3
3
3
3
121
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
woraus
√
√
√
π
π
2
6
z0 = 2 + 2 cos + i 2 sin = 2 +
+i
,
3
3
2
2
√
√
π 2π
π 2π
) + i 2 sin( +
)=2−
z1 = 2 + 2 cos( +
3
3
3
3
√
√
π 4π
π 4π
) + i 2 sin( +
)=2+
z2 = 2 + 2 cos( +
3
3
3
3
√
√
2
,
√2
√
2
6
−i
2
2
folgt.
6.2.8 Geometrische Anwendungen
Da C bzw. R2 mit der geometrischen Ebene identiﬁziert werden kann, können wir die geometrischen Anwendungen der Vektoranalysis wie Projektion, Schnitt von Geraden, Lot auf eine
Gerade und Winkel zwischen Geraden auch mit Hilfe der komplexen Zahlen durchführen.
Wir müssen hierzu nur noch
hz, wi = Re z · Re w + Im z · Im w = Re(zw) = Re(zw)
für das (reelle) Skalarprodukt der Vektoren z, w und
det(z, w) = Re z · Im w − Im z · Re w = Im(zw)
für die Determinante der Vektoren z, w bemerken.
Hinzu kommen aber zusätzliche Anwendungen, die sich aus der Anwendung der Multiplikation und des komplex Konjugiertem ergeben.
Beispiel 6.50. Eine Gerade g durch die Punkte z0 und z1 gegeben durch
g = {z0 + t · (z1 − z0 ) | t ∈ R} .
Eine Gerade g durch den Punkt z0 in Richtung r ist gegeben durch
g = {z0 + t · r | t ∈ R} = {z ∈ C | hz, rii = hz0 , rii}
= {z ∈ C | Re(zr̄i) = Re(z0 r̄i)} = {z ∈ C | Im(zr̄) = Im(z0 r̄)} .
Lemma 6.51. Es seien g und h zwei Geraden durch die Punkte a ∈ C und b ∈ C mit den
Richtungen p ∈ C bzw. q ∈ C.
1. Wenn hp, qii = 0 gilt (d. h. wenn Im(pq̄) = 0 gilt), dann sind g und h parallel.
2. Wenn hp, qii =
6 0 gilt, dann sind g und h nicht parallel und ihr Schnittpunkt s ist gegeben
durch
Im(aq̄ip − Im(bp̄)q
ha, qiip − hb, piiq
=
.
s=
hp, qii
Im(pq̄i
122
6.2 Komplexe Zahlen
Beispiel 6.52. Eine Kreislinie K mit Radius R und Mittelpunkt z0 ist gegeben durch
K = {z ∈ C | |z − z0 | = R} .
Mit z = x + iy, z0 = x0 + iy0 entspricht dies
{(x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 } .
Der Schnitt eines Kreises mit einer Geraden führt zu einer quadratischen Gleichung für eine
reelle Unbekannte.
Beispiel 6.53. Die obere Halbebene ist gegeben durch
{z | Imz ≥ 0} .
Die rechte Halbebene ist gegeben durch
{z | Rez ≥ 0} .
Beispiel 6.54. Die Menge
{z | |z + 2 − i| > 2}
stellt das Äußere eines Kreises um −2 + i mit dem Radius 2 dar.
Multiplizieren wir eine komplexe Zahl z mit eiϕ , ϕ ∈ R, so wird ϕ zum Argument von z
addiert, der Betrag ändert sich aber nicht:
|zeiϕ | = |zeiArg(z) eiϕ | = |z||ei(Arg(z)+ϕ | = |z|| cos(Arg(z) + ϕ) + i sin(Arg(z) + ϕ)|
q
= |z| cos2 (Arg(z) + ϕ) + sin2 (Arg(z) + ϕ) = |z| .
Die Multiplikation mit eiϕ bewirkt also eine Drehung um 0 mit dem Winkel ϕ.
Die Multiplikation mit eiπ/2 = i ist also eine Drehung um 0 mit dem Winkel 90◦ .Betrachten
wir nun die Spiegelung an der reellen Achse. Diese ist durch
z = Rez + iImz 7→ Rez − iImz = z
gegeben.
Als dritte elementare Kongruenztransformation fehlt uns nur noch die Verschiebung um
|a| in Richtung eiArg(a) :
z 7→ z + a .
Eine beliebige Kongruenztransformation in der Ebene setzt sich stets aus Drehung um
0, Spiegelung an der reellen Achse und Verschiebung zusammen.
123
6 Vektorräume und Komplexe Zahlen
Beispiel 6.55. Eine Spiegelung an einer Geraden
g = {a + teiα | t ∈ R} , α ∈ R
durch den Punkt a erhält man in folgender Weise:
Zuerst verschieben wir die Gerade g so, dass ihr Bild durch den Nullpunkt verläuft,
z 7→ z − a ,
dann drehen wir um den Winkel −α, so dass das Bild der Gerade nun mit der reellen Achse
zusammenfällt,
z 7→ ze−iα ,
dann wird an der reellen Achse gespiegelt,
z 7→ z ,
und schließlich wieder zurück gedreht und zurück verschoben:
z 7→ zeiα ,
z 7→ z + a .
Insgesamt erhalten wir durch Verkettung dieser fünf Abbildungen die Spiegelung an g durch
z 7→ (z − a)e−iα eiα + a = (z − a) e−iα eiα + a = (z − a)e2iα + a .
Bemerkung 6.56. Im Unterschied zur analytischen Geometrie haben wir hier zusätzliche
Möglichkeiten z. B. durch Verwendung der Division, der Multiplikation mit eiϕ zur Drehung
um ϕ, der Spiegelung an der reellen Achse (durch komplexes Konjugieren) und durch Verwendung n-ter Einheitswurzeln zur Konstruktion von regulären n-Ecken. Andererseits kann
dies so nur auf ebene Geometrie angewandt werden.
Bemerkung 6.57. Komplexe Zahlen ﬁnden außer in der ebenen Geometrie und bei Nullstellen
von Polynomen weitere Anwendungen in Algebra und Analysis, die in vielen Fällen die
Theorie durch Nutzung komplexer Zahlen einfacher wird.
124
Teil 2
125
7 Grenzwerte und Stetigkeit
7.1 Zahlenfolgen
7.1.1 Grundbegriffe
Definition 7.1. Eine Funktion f : D(f ) ⊆ N → R heißt reelle Zahlenfolge.
Wenn D(f ) endlich ist, heißt f endliche Zahlenfolge, andernfalls heißt f unendliche
Zahlenfolge.
Bemerkung 7.2. 1. Durch eine Folge f : D(f ) ⊆ N → R wird jeder natürlichen Zahl n ∈ D(f )
ein Folgenglied f (n) ∈ R zugeordnet.
2. Man kann auch komplexe Zahlenfolgen betrachten.
3. Anstelle von f (n) schreibt man auch fn , d. h.
fn := f (n) .
Das Argument n wird auch (Folgen)-Index genannt.
4. Typischerweise betrachten wir (unendliche) Folgen f mit D(f ) = N≥n0 und speziell
D(f ) = N bei n0 = 0. Anstelle von f : N≥n0 → R und (fn )n∈D(f ) schreibt man dann auch
(fn )n≥n0 .
5. Da Folgen Funktionen sind, können Folgen wie Funktionen beschrieben werden, z. B.
durch explizite Angabe aller Paare (n, fn ), n ∈ N≥n0 . Hinzu kommt hier noch die rekursive
Deﬁnition einer Folge.
Beispiel 7.3. Beachte die unterschiedlichen Schreibweisen!
(i) f : N → R oder (fn )n∈N mit fn = n + 1, . . . für n ≥ 0.
(ii) f : N → R oder (fn )n∈N mit f0 = 1 und fn = n1 , . . . für n ≥ 1.
für n ≥ 2.
(iii) f : N≥2 → R oder (fn )n∈N≥2 mit fn = (−1)n n5−n
2 −1
(iv) Fibonacci-Folge f : N → R oder (fn )n∈N , welche rekursiv deﬁniert wird durch f0 = 1,
f1 = 1 und fn = fn−1 + fn−2 für n ≥ 2.
127
7 Grenzwerte und Stetigkeit
Bemerkung 7.4. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man eine Folge (an )n∈N≥n0
stets auf eine Folge (bn )n∈N zurückführen:
bn := an0 +n
für n ≥ 0 .
Viele Eigenschaften werden daher der Einfachheit halber nur für Folgen (an )n∈N formuliert.
7.1.2 Spezielle Folgen
Arithmetische Folgen (fn )n∈N sind Folgen mit der Bildungsvorschrift
fn = a + n · d
für n ∈ N
mit vorgegebenen Startwert a ∈ R und vorgegebenem Zuwachs d ∈ R. Rekursive Deﬁnition:
f0 = a ,
fn+1 = fn + d
für n ∈ N .
Geometrische Folgen (fn )n∈N sind Folgen mit der Bildungsvorschrift
fn = a · q n
für n ∈ N
mit vorgegebenen Startwert a ∈ R und vorgegebenem Faktor q ∈ R \ {0}. Rekursive Deﬁnition:
f0 = a , fn+1 = qfn
für n ∈ N .
Beispiel 7.5. Sparschwein. Zum Anfangszeitpunkt sei das Kapital k0 vorhanden. Wöchentlich werde ein fester Geldbetrag g in das Sparschwein eingeworfen. Nach einer Woche Jahr
hat man damit
k1 = k0 + g ,
nach zwei Wochen
k2 = k1 + g = k0 + 2g ,
allgemein beträgt das Kapital nach n Wochen
kn = k0 + ng .
Das Kapital in Abhängigkeit von der Sparzeit verhält sich hier wie eine arithmetische Folge.
Beispiel 7.6. Verzinsung eines Kapitals. Zum Anfangszeitpunkt sei das Kapital k0 vorhanden. Jährlich werde mit dem Zinssatz p verzinst. Nach einem Jahr hat man damit
k1 = k0 + k0 p = k0 (1 + p) ,
nach zwei Jahren
k2 = k1 + k1 p = k1 (1 + p) = k0 (1 + p)2 ,
128
7.1 Zahlenfolgen
allgemein beträgt das Kapital nach n Jahren
kn = k0 (1 + p)n .
Das Kapital in Abhängigkeit von der Sparzeit verhält sich hier wie eine geometrische Folge.
7.1.3 Rekursive Definition und lineare Differenzengleichungen
Beispiel 7.7. (Cobweb-Modell) Ein Gut werde zu diskreten Zeitpunkten n ∈ N zu möglicherweise verschiedenen Preisen pn gehandelt. Wir treﬀen folgende Annahmen:
• Das Angebot ynA zum Zeitpunkt n ist abhängig vom alten Preis pn−1 und gegeben
durch
ynA = apn−1 − b , a, b > 0 .
• Die Nachfrage ynN zum Zeitpunkt n ist abhängig vom aktuellen Preis pn und ist gegeben
durch
ynN = c − dpn , c, d > 0 .
• Zu jedem Zeitpunkt n stellt sich ein Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage
ein, d. h. es gilt
ynA = ynN .
Durch Einsetzen folgt
apn−1 − b = c − dpn ,
also nach Umformen
pn =
b+c a
− · pn−1 .
d
d
(7.1)
Wir erhalten so eine Rekursionsformel für die Folge (pn )n∈N der Preise. Oﬀenbar benötigen
wir zur Bestimmung der Preisfolge noch den Anfangspreis p0 .
Gleichung (7.1) ist Spezialfall einer Gleichung der Form
fn = αn fn−1 + βn
(7.2)
fn − fn−1 = γn fn−1 + βn
(7.3)
oder
mit reellen Folgen (αn )n∈N , (βn )n∈N und γn = αn − 1.
129
7 Grenzwerte und Stetigkeit
Definition 7.8. Die Gleichungen (7.2) bzw. 7.3 heißen lineare Rekursionsgleichung
bzw. lineare Diﬀerenzengleichung erster Ordnung.
Wenn βn = 0 für alle n, so heißen (7.2) bzw. (7.3) homogen, andernfalls inhomogen.
Eine Folge (ϕn )n∈N heißt Lösung von (7.2) bzw. (7.3), wenn
ϕn = αn ϕn−1 + βn
für alle n ∈ N gilt. Sie genügt der Anfangsbedingung
(7.4)
f0 = a ,
wenn ϕ0 = a gilt.
Satz 7.9 (Lösungsstruktur).
a) Für jede Lösung ϕ der inhomogenen Gleichung (7.2) und jede Lösung ψ der homogenen
Gleichung
fn = αn fn−1
(7.5)
ist ϕ + ψ = (ϕn + ψn )n∈N eine Lösung der inhomogenen Gleichung (7.2).
b) Für je zwei Lösungen ϕ, ψ der inhomogenen Gleichung (7.2) ist ϕ − ψ = (ϕn − ψn )n∈N
eine Lösung der homogenen Gleichung (7.5).
c) Die Lösungen der homogenen Gleichung (7.5) bilden einen Vektorraum der Dimension 1.
d) Die Lösung ϕ zur Gleichung (7.2) mit der Anfangsbedingung (7.4) ist gegeben durch


n−1
k
n−1
k
n−1
Y
Y
Y
X
X
βj
ϕn = a ·
αi  , wobei
αi = 1,
αi +
δi = 0 für k < m .
i=0
i=j+1
j=0
i=m
i=m
Beispiel 7.10. Wir setzen Beispiel 7.7 fort. Nach Satz 7.9 und mit
a
αn = − ,
d
βn =
b+c
d
folgen
a n b + c 1 − (a/d)n
a n b + c n−1
X a k
+
= p0 · −
+
·
·
−
pn = p0 · −
d
d
d
d
d
1 + (a/d)
j=0
b+c
b + c a n
p0 −
+ −
=
a+d
d
a+d
und weiter
ynA
=
ynN
a n ac − bd
b+c
=
p0 −
−d· −
.
a+d
d
a+d
Wie verhält sich nun pn in Abhängigkeit vom Anfangswert p0 und den Parameterwerten a,
b, c und d?
130
7.1 Zahlenfolgen
b+c
b+c
gilt, dann ergibt sich pn = a+d
für alle n ∈ N.
• Wenn p0 = a+d
Preise, Angebot und Nachfrage bleiben konstant.
b+c
b+c
• Wenn p0 6= a+d
und a = d gelten, dann gilt pn = p0 für gerades n und pn = p0 + 2 a+d
für
ungerades n.
Der Preis (und damit auch Angebot und Nachfrage) wechselt zwischen zwei Werten periodisch hin und her.
b+c
und a > d gelten, dann werden die Preise mit geradem Index immer größer
• Wenn p0 6= a+d
und die mit ungeradem Index immer kleiner bis ein Preis negativ wird und spätestens damit
unser Modell nicht mehr realistisch ist.
• Was passiert bei p0 6=
b+c
a+d
und a < d? Diese Frage werden wir später beantworten.
Bemerkung 7.11. Viele weitere, einfache Modelle in der Wirtschaft führen auf lineare Diﬀerenzengleichungen erster Ordnung, welche mit Satz 7.9 vollständig behandelbar sind. Kompliziertere Modelle führen auf lineare Diﬀerenzengleichungen höherer Ordnung oder gar auf
nichtlineare Diﬀerenzengleichungen. Dies werden wir hier nicht behandeln. Andere Modelle
mit kontinuierlicher Zeit führen zu Diﬀerentialgleichungen, zu denen später einige Ausführungen kommen werden.
7.1.4 Konvergenz von Folgen
Wir betrachten die Folge (an )n∈N≥1 mit an = n1 und den Abstand |an − 0| der Folgenglieder
zu 0. Es gilt
|an − 0| = |an | = n1
für n ≥ 1 .
Damit wird dieser Abstand immer kleiner. Er wird auch kleiner als jede beliebige positive
Zahl ε. Sei nämlich ε > 0 gegeben. Dann gilt
|an | < ε ⇔
1
n
<ε ⇔
n > 1ε .
Nun gibt es zu jeder reellen Zahl r stets eine natürliche Zahl n > r. Angewandt auf unser
Problem gibt es eine Zahl N ∈ N mit N > 1ε und damit gilt hier auch n > 1ε für n ≥ N .
Damit haben wir
1 <ε
|an | = n1 ≤ N
für n ≥ N .
Oﬀensichtlich hängt N von der Wahl von ε ab.
Diese Tatsache, dass der Betrag |an | beliebig klein wird, wenn wir nur Indizes n ab einem
bestimmten Index betrachten formulieren wir nun allgemein:
Definition 7.12. Eine reelle Folge a = (an )n∈D(a) strebt gegen 0 oder konvergiert gegen
0 oder ist eine Nullfolge, wenn es zu beliebiger Genauigkeitsgrenze ε > 0 immer einen
Folgenindex N (ε) gibt, so dass die Beträge der Folgenglieder kleiner als ε sind für alle
Indizes größer oder gleich N (ε),
∀ε > 0∃N ∈ N∀n ∈ D(a) :
n ≥ N =⇒ |an | < ε .
131
14.04.2010
7 Grenzwerte und Stetigkeit
Beispiel 7.13. Die Folge (an )n≥1 mit an =
1
n
ist also eine spezielle Nullfolge.
Durch den folgenden Satz bekommt man weitere Beispiele für Nullfolgen.
Satz 7.14 (Vergleichskriterium). Seien (an )n∈N , (bn )n∈N zwei Folgen. Ist b eine reelle Nullfolge und gibt es einen Index N mit
0 ≤ |an | ≤ bn
für n ≥ N ,
so ist auch a eine Nullfolge.
Beispiel 7.15.
2. Die Folge (an )n≥1 mit
n ≥ 1.
1
für n ≥ 1 ist eine Nullfolge, da 0 ≤ n12 ≤ n1 für n ≥ 1.
n2
n
an = (−1)
für n ≥ 1 ist eine Nullfolge, da 0 ≤ (−1)n n1 = n1 für
n
1. Die Folge (an )n≥1 mit an =
3. Die Folge (an )n∈N mit an =
über vollständige Induktion!)
n
2n
für n ≥ 0 ist eine Nullfolge wegen 0 ≤ 2nn ≤
1
n
für n ≥ 3
Es sind nicht nur Nullfolgen von Interesse.
Definition 7.16. Sei a∞ eine reelle Zahl. Eine reelle Folge (an )n∈D(a) strebt gegen a∞
oder konvergiert gegen a∞ , wenn die Folge (bn )n∈D(a) mit bn := an − a∞ eine Nullfolge
ist,
∀ε > 0∃N ∈ N∀n ∈ D(a) : n ≥ N =⇒ |an − a∞ | < ε .
Die Zahl a∞ heißt dann Grenzwert der Folge a. Besitzt eine Folge einen Grenzwert so heißt
sie konvergent, andernfalls divergent.
Bemerkung 7.17. 1. Um die Konvergenz einer Folge entsprechend der Deﬁnition nachweisen
zu können, braucht man zuerst eine Zahl a∞ , die Grenzwert sein könnte.
2. Eine Folge (an )n∈D(a) kann nur höchstens einen Grenzwert haben:
Seien a∞ 6= ã∞ zwei Grenzwerte. Für ε = 12 |a∞ − ã∞ | gibt es nun N und Ñ mit
|an − a∞ | < ε für n ≥ N
und
|an − ã∞ | < ε für n ≥ Ñ .
Damit gilt mit Hilfe der Dreiecksungleichung
|a∞ − ã∞ | ≤ |a∞ − an | + |an − ã∞ | < 2ε
für n ≥ max{N, Ñ } .
Wegen 2ε = |a∞ − ã∞ | ist dies aber ein Widerspruch zu a∞ 6= ã∞ .
3. Wenn ein Grenzwert a∞ einer Folge a = (an )n∈N existiert, ist er also eindeutig bestimmt.
Wir schreiben daher auch
a∞ = lim a = lim an
n→∞
132
oder
an → a∞
für n → ∞ .
7.1 Zahlenfolgen
Beispiel 7.18.
1. an =
n−1
n
(n ≥ 1) strebt gegen a∞ = 1: Es gilt
1 − 1 = n − 1 − n = −1 = 1
|an − 1| = n −
n
n
n
n
für n ≥ 1 .
Mit Satz 7.14 folgt die Behauptung.
2. an =
2n2
n2 +1
(n ≥ 1) strebt gegen a∞ = 2: Es gilt
2
2n − 2(n2 + 1) −2 2n2
1
= n2 + 1 ≤ n
n 2 + 1 − 2 = n2 + 1
für n ≥ 1 .
Mit Satz 7.14 folgt die Behauptung.
Weitere Konvergenzkriterien von Folgen liefert der folgende Satz. Dafür brauchen wir noch
einige Bezeichnungen.
Definition 7.19. Eine Folge a = (an )n∈N heißt beschränkt, wenn ein K ∈ R existiert, so
dass |an | ≤ K für alle n ∈ N gilt. Eine reelle Folge a = (an )n∈N heißt monoton, wenn
a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · ·
(monoton wachsend)
oder
a0 ≥ a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ≥ · · ·
(monoton fallend) .
Satz 7.20.
(i) (Notwendiges Kriterium) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
(ii) Jede beschränkte, monotone reelle Folge konvergiert.
(iii) Das Produkt einer beschränkten Folge mit einer Nullfolge ist eine Nullfolge.
(iv) (Cauchy-Kriterium) Eine reelle Folge (an )n∈D(a) konvergiert genau dann, wenn
∀ε > 0∃N ∈ N∀n, m ∈ D(a) :
n, m ≥ N =⇒ |an − am | < ε .
Beispiel 7.21. Wir zeigen die Konvergenz der Folge (yn )n∈N≥1 mit
n+1
yn = 1 + n1
.
Wir zeigen dazu zuerst, dass y monoton fällt:
n
n
1
n−1+1
1
+
n−1
n−1
n2n+1
yn−1
=
=
=
n+1
n+1 n+1
yn
(n − 1)n (n + 1)n+1
1 + n1
n
n+1
n+1
n2
(n − 1)n2n+2
1
n
−
1
n−1 1+
=
=
=
2
n
n
n −1
n2 − 1
n [(n − 1)(n + 1)]n+1
1
1 1 + (n + 1)
1 n
n−1 1+ 1
> n−
= n−
=
n
n
n−1
n n−1
n2 − 1
=1,
133
7 Grenzwerte und Stetigkeit
das heißt yn < yn−1 für alle n ≥ 2. Da yn ≥ 1 für alle n ≥ 1, ist y beschränkt und damit
konvergent gegen eine reelle Zahl y∞ .
7.1.5 Rechnen mit Grenzwerten
Aus der Deﬁnition des Grenzwertes können nun folgende Rechengesetze abgeleitet werden,
die das Rechnen mit Grenzwerten (bzw. mit konvergenten Folgen) enorm erleichtern.
Satz 7.22. Seien (an )n∈D und (bn )n∈D konvergente Folgen und sei c ∈ R. Dann gilt:
(i) (an + bn )n∈D konvergiert und lim (an ± bn ) = lim an ± lim bn .
n→∞
n→∞ n→∞ (ii) (an bn )n∈D konvergiert und lim (an · bn ) = lim an · lim bn .
n→∞
n→∞
(iii) (can )n∈D konvergiert und lim (c · an ) = c · lim an .
n→∞
n→∞
n→∞
(iv) Wenn lim a 6= 0 und wenn an 6= 0 für n ≥ n0 , so konvergiert die Folge c = ( a1n )n∈D≥n0
und es gilt
1
lim cn =
.
n→∞
limn→∞ an
Bemerkung 7.23. Es kann nicht rückwärts auf die Konvergenz von a oder b geschlossen
werden: Zum Beispiel folgt aus der Konvergenz von (an + bn )n∈D nicht die Konvergenz von
a oder b. (Betrachte zum Beispiel eine divergente Folge a und b = −a).
Beispiel 7.24. Wir setzen Beispiel 7.10 fort und betrachten
b+c
b + c a n
p0 −
+ −
pn =
a+d
d
a+d
mit a, b, c, d > 0, p0 6=
b+c
a+d
konstante Folgen und
und a < d. Dann sind
b+c
a+d
− ad
n und
n∈N
n∈N
b+c
p0 −
a+d
n∈n∈N
ist eine Nullfolge. Es gilt somit
b+c
b+c
a n
p0 −
+ lim
−
n→∞ a + d
n→∞
d
a+d
b+c
a n
b+c
· lim p0 −
+ lim −
= lim
n→∞
n→∞
n→∞ a + d
d
a+d
b+c
b+c
b+c
=
+ 0 · p0 −
=
.
a+d
a+d
a+d
lim pn = lim
n→∞
Im Fall p0 6=
134
b+c
a+d
und a < d „stabilisiert“ sich der Preis im Coweb-Modell also auf
b+c
a+d .
7.2 Zahlenreihen
Beispiel 7.25. 1. lim 1 +
n→∞
1
n
1
n
= lim 1 + lim
n→∞
n→∞
2. Wir betrachten die Folge (xn )n∈N≥1 mit
= 1 + 0 = 1.
n
xn = 1 + n1
.
Oﬀensichtlich gilt xn = yn ·
1
1
1+ n
mit yn = 1 +
1 n+1
.
n
Der erste Faktor konvergiert gegen
ein y∞ ∈ R (Beispiel 7.21), der zweite gegen 1. Damit konvergiert auch x auch gegen
y∞ ≈ 2.71828.
Achtung: Es gilt
lim
n→∞
1 + n1
n
6=
lim
n→∞
1 + n1
n
=1.
n wird Eulersche Zahl genannt
Definition 7.26. Der Grenzwert der Folge 1 + n1
n∈N≥1
und mit e bezeichnet:
n
.
e := lim 1 + n1
n→∞
7.2 Zahlenreihen
7.2.1 Bezeichnungen
Eine wichtige Spezialform von Folgen sind (unendliche) (Zahlen-)Reihen.
Definition 7.27. Sei (an )n∈N eine Zahlenfolge. Dann heißt sn mit
sn =
n
X
ai
i=0
n-te Partialsumme der Folge a, und die Folge (sn )n∈N heißt Partialsummenfolge der
Folge a.
P
Bezeichung: Die Partialsummenfolge ( ni=0 ai )n∈N zur Folge (an )n∈N wird auch als unendliche Reihe zur Folge (an )n∈N bezeichnet:
!
∞
n
X
X
ai :=
ai
.
(7.6)
i=0
Bemerkung 7.28.
P∞
i=0 ai
i=0
n∈N
ist also eine Bezeichung für die Folge der Partialsummen sn .
135
7 Grenzwerte und Stetigkeit
Bemerkung 7.29. Jede Zahlenfolge (sn )n∈N ist auch eine Partialsummenfolge zu einer Folge
(an )n∈N : Setze a0 = s0 und an = sn − sn−1 für n ≥ 1.
Wie bei Folgen kann man hier die Frage stellen, ob eine Partialsummenfolge konvergiert.
P∞
Bemerkung 7.30. Eine
unendliche
Reihe
i=0 an konvergiert also genau dann wenn die Folge
Pn
der Partialsummen ( i=0 ai )n∈N konvergiert (da beides die gleichen Objekte sind!).
P∞
Bezeichung: Falls die unendliche
Reihe
i=0 ai konvergiert, so wird ihr Grenzwert auch
P
Summe genannt und mit ∞
a
bezeichnet:
i
i=0
∞
X
ai := lim
i=0
n→∞
n
X
(7.7)
ai .
i=0
P
Bemerkung 7.31. Je nach Zusammenhang bezeichnet ∞
i=0 ai also die Folge der Partialsummen, wie in (7.6), oder ihren Grenzwert, wie in (7.7).
P
So bezieht sich die Aufgabe „UntersuchePdie Konvergenz von ∞
i=0 ai !“ auf die Folge der
∞
Partialsummen, die Aufgabe „Bestimme i=0 ai !“ auf den Grenzwert.
7.2.2 Allgemeine Konvergenzkriterien
Da Reihen Folgen sind, kann man die Konvergenzkriterien von Folgen auf Reihen übertragen.
Satz 7.32 (Cauchy-Konvergenzkriterium für Reihen). Die Reihe
dann, wenn
∀ε > 0∃N ∈ N∀m, n ∈ N :
m ≥ n ≥ N =⇒ |
P∞
m
X
i=n
i=0 ai
konvergiert genau
ai | < ε .
(7.8)
Beweis. Für die Partialsummen sn gilt
|sn − sm | = |
Folgerung 7.33 (Notwendige Bedingung). Ist
.
Beweis. Wähle m = n in (7.8).
136
m
X
i=n+1
P∞
ai | .
i=0 ai
konvergent, dann an → 0 für n → ∞
7.2 Zahlenreihen
Bemerkung 7.34. Die Konvergenz
an → 0 für n → ∞ ist nicht hinreichend
P∞
P∞ 1für die Kon1
√
vergenz! Betrachte z. B. i=0 ai mit a0 = 0, an = n für n > 0, d.h., i=1 √i . Dann gilt
an → 0, aber auch
√
1
1
1
1
sn = √ + √ + · · · + √ > n · √ = n → ∞ .
n
n
1
2
Satz 7.35. Eine Reihe mit nichtnegativen Summanden konvergiert genau dann, wenn die
Folge der Partialsummen beschränkt ist.
P
P∞
Satz 7.36. Seien ∞
i=0 ai und
i=0 bi konvergente Reihen. Dann gelten:
P∞
P∞
P∞
1.
i=0 (ai + bi ) =
i=0 ai +
i=0 bi .
P∞
P∞
2.
i=0 (cai ) = c
i=0 (ai ) für c ∈ R.
Satz 7.37. Wenn man in einer Reihe eine beliebige endliche Anzahl von Gliedern weglässt,
ersetzt oder beifügt, dann bleibt ihre Konvergenz (oder Divergenz) erhalten.
7.2.3 Spezielle Reihen
Die folgenden Reihen treten häuﬁg auf und sind von spezieller Bedeutung für Vergleichskriterien.
Definition 7.38. Sei q ∈ R. Dann heißt
P∞
n=0 q
n
geometrische Reihe.
P
n
Lemma 7.39. Die geometrische Reihe ∞
n=0 q konvergiert genau dann, wenn |q| < 1 gilt.
Für |q| < 1 gilt
∞
X
1
qn =
.
1−q
n=0
Beweis. a) Sei |q| < 1. Dann gilt für sn =
Pn
i=0 q
i
(1 − q)sn = (1 − q)(1 + q + q 2 + · · · + q n )
d. h.,
= 1 + q + q 2 + · · · + q n − q − q 2 − · · · − q n+1 = 1 − q n+1 ,
sn =
1
q n+1
1
1 − q n+1
=
−
→
für n → ∞ .
1−q
1−q 1−q
1−q
b) Sei |q| ≥ 1. Dann gilt |q i | = |q|i ≥ 1, d. h., (q i )∞
i=1 ist keine Nullfolge. Nach Folgerung 7.33
kann die Reihe also nicht konvergieren.
137
21.04.2010
7 Grenzwerte und Stetigkeit
Definition 7.40. Sei α > 0. Dann heißt
P∞
1
n=1 nα
Oﬀenbar ist die notwendige Bedingung wegen
Lemma 7.41. Die harmonische Reihe
1
nα
P∞
1
n=1 nα
harmonische Reihe.
→ 0 stets erfüllt.
konvergiert genau dann, wenn α > 1 gilt.
Anstelle eines vollständigen Beweises betrachten wir nur die folgenden Beispiele:
Beispiel 7.42. 1. Wir betrachten den Spezialfall α = 1, d. h.,
∞
X
1
.
n
n=1
Dann gilt
s2m = 1 +
1
2
1
4
1
3
+
+
| {z } |
+
>2· 14 = 21
1
5
> 12 m → ∞ für m → ∞ .
+
1
6
+
{z
1
7
>4· 18 = 21
+
1
8
1
+··· +
+ ··· + m
2m−1 + 1
2
}
{z
}
|
1
>2m−1 21m = 12
Damit ist die Folge der Partialsummen (bestimmt) divergent.
2. Es gilt
N
∞
X
X
1
π2
1
=
lim
=
.
n2 N →∞
n2
6
n=1
n=1
Definition 7.43. Sei a : N → R≥0 eine Folge in R≥0 . Dann heißen
∞
X
(−1)n an
n=0
und
∞
X
(−1)n+1 an
n=0
alternierende Reihen.
Satz 7.44 (Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen). Wenn a : N → R≥0 eine monoton
fallende Nullfolge
in R≥0 ist, dann P
P∞
n+1 a
• konvergieren n=0 (−1)n an und ∞
n
n=0 (−1)
• und für ihre Summe s gilt
2n+1
X
i=0
(−1)i ai = s2n+1 − a2n+1 ≤ s ≤ s2n =
2n
X
(−1)i ai
i=0
beziehungsweise
2n
X
i=0
138
i+1
(−1)
ai = s2n ≤ s ≤ s2n+1 =
2n+1
X
i=0
(−1)i+1 ai .
7.2 Zahlenreihen
Damit ist die Summe einer alternierenden Reihe durch die n-te Partialsumme bis auf einen
Fehler von höchstens |an | bestimmt.
Beispiel 7.45. Wir betrachten a0 = 0 und an =
∞
X
(−1)n+1
n=1
1
n
für n ∈ N>0 und damit die Reihe
1
.
n
Da an → 0, konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium. Weiter haben wir die Abschätzungen
7 ≤
1 − 21 = 12 ≤ 1 − 21 + 31 − 41 = 12
Man kann zeigen:
∞
X
∞
X
n=1
(−1)n+1 n1 ≤ 1 − 21 + 31 = 65 ≤ 1 .
(−1)n+1 n1 = ln 2 .
n=1
Bemerkung 7.46. Wichtig für die Konvergenz einer alternierenden Reihe ist, dass die Summanden eine monotone Nullfolge bilden!
7.2.4 Quotienten- und Wurzelkriterium
Auf den Vergleich mit der geometrischen Reihe basieren die beiden folgenden Kriterien. Als
Spezialfall enthalten sie Konvergenzaussagen für positive Reihen.
Satz 7.47 (Cauchysches Wurzelkriterium). Sei a : N → R eine reelle Folge.
1. Wenn ein q < 1 und ein N ∈ N existieren mit
p
n
|an | ≤ q
für alle n ≥ N ,
P
P∞
dann konvergieren die Reihen ∞
n=1 an und
n=1 |an |.
2. Existiert ein N ∈ N mit
p
n
|an | ≥ 1
für alle n ≥ N ,
P
P∞
dann divergieren die Reihen ∞
n=1 an und
n=1 |an | .
2
P
1 (n )
. Dann gilt
Beispiel 7.48. Betrachte ∞
n=1 1 − n
r
(n2 ) n
1
1
n
n → < 1 .
1 − n1
= 1 − n1
=
1
e
1 + n−1
Damit konvergiert die Reihe.
139
7 Grenzwerte und Stetigkeit
Satz 7.49 (D’Alambertsches Quotientenkriterium). Sei a : N → R eine reelle Folge mit
an 6= 0 für n ∈ N. Dann gilt:
1. Wenn ein q < 1 und ein N ∈ N existieren mit
an+1
|≤q
für alle n ≥ N ,
an
P
P∞
dann konvergieren die Reihen ∞
n=1 an und
n=1 |an |.
|
2. Existiert ein N ∈ N mit
an+1
|≥1
für alle n ≥ N ,
an
P
P∞
dann divergieren die Reihen ∞
n=1 an und
n=1 |an | .
|
Beispiel 7.50. Betrachte die Reihe
P∞
xn
n=0 n!
für ﬁxiertes x ∈ R. Mit an =
xn
n!
und
|x|n+1
|x|
an+1
(n + 1)!
=
|=
→0<1
|
n
|x|
an
n+1
n!
folgt die Konvergenz.
Bemerkung 7.51. 1. Man kann zeigen: Wenn eine Reihe nach dem Quotientenkriterium
konvergiert, so konvergiert sie auch nach dem Wurzelkriterium. Umgekehrt gibt es Reihen,
die nach dem Wurzelkriterium konvergieren, deren Konvergenz mit dem Quotientenkriterium aber nicht gezeigt werden kann. Man könnte daher meinen, dass das Wurzelkriterium
ausreichend ist.
2. In der praktischen Rechnung erweist sich das Quotientenkriterium z. B. als günstig, wenn
die Summanden Vielfache von Fakultäten des Indizes sind. Das Wurzelkriterium ist meist
günstig, wenn die Summanden Potenzen bezüglich des Indizes enthalten.
7.3 Stetigkeit von Funktionen in einem Punkt
7.3.1 Definition und Grundeigenschaften
Beispiel 7.52. Wir betrachten eine mechanische Uhr. Ziel ist eine möglichst hohe Ganggenauigkeit. An einem Rädchen kann die Schwingungsfrequenz variiert werden. Der Einstellwinkel des Rädchens ist die Eingangsgrößen, die Abweichung von 24 h nach 24 h ist
die Ausgangsgröße. Diese Abweichung soll möglichst klein werden. Die Frage ist, ob die
eingebaute Mechanik dies auch zulässt.
140
7.3 Stetigkeit von Funktionen in einem Punkt
Wir haben hier eine Menge von Eingangsgrößen (Winkel) X ⊆ R, eine Menge von Ausgangsgrößen Y ⊆ R (Abweichung von Sollzeit) und eine Abbildung f : D(f ) ⊆ X → Y , welche
Eingangsgrößen die entsprechende Ausgangsgröße zuordnet. Ziel ist die Ausgangsgröße y0
(hier mit y0 = 0), welche zur Eingangsgröße x0 gehört, y0 = f (x0 ). Leider lässt die Mechanik mit Stellrädern nicht zu, dass wir sicher den Solleingang x0 treﬀen. Wir können nur
versuchen, den Eingang x möglichst nahe an x0 zu bringen, und hoﬀen, dass der Ausgang
f (x) auch nahe am Soll f (x0 ) = y0 liegt.
Wir können uns nun die Frage stellen, ob es zu einer vorgegebenen Genauigkeit ε im Ausgang
eine Genauigkeit δ im Eingang gibt, mit der Eigenschaft, wenn der Eingang nicht mehr als
δ vom Solleingang abweicht, dann weicht der Ausgang nicht mehr als um ε vom Sollausgang
ab.
Wir können uns dann fragen, ob dies mit verschieden großen Genauigkeiten für den Ausgang
geht. Schließlich können wir uns fragen, ob dies mit jeder Genauigkeit für den Ausgang geht.
Da uns dieser Begriﬀ wichtig erscheint, geben wir ihm einen Namen.
Definition 7.53. Sei f : D(f ) ⊆ R → R und sei x0 ∈ D(f ). Wir nennen f stetig in x0 ,
wenn
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D(f ) : |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.
Andernfalls nennen wir f unstetig in x0 .
y
y
f
a
x0
f
b
Funktion, die in x0 stetig ist
x
a
x0
b
x
Funktion, die in x0 unstetig ist
Die Stetigkeit oder Unstetigkeit wird also nur in Punkten des Deﬁnitionsbereiches betrachtet.
Definition 7.54. Sei f : D(f ) ⊆ R → R und sei x0 ∈ D(f ). Wir nennen f linksseitig
von f auf D(f )≤x0 = D(f ) ∩ ] − ∞, x0 ]
stetig in x0 , wenn die Einschränkung f D(f )
≤x0
stetig ist, nennen wir f rechtsseitig stetig in x0 .
stetig ist. Wenn f
D(f )≥x0
Satz 7.55. Eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R ist genau dann stetig in x0 ∈ D(f ), wenn f
links- und rechtsseitig stetig in x0 ist.
141
7 Grenzwerte und Stetigkeit
Beispiel 7.56. 1. Die Funktion f : R → R mit f (x) = x, ist in jedem Punkt x0 ∈ R stetig:
Sei x0 ∈ R. Dann gilt
|f (x) − f (x0 )| = |x − x0 | .
Zu ε > 0 können wir also zum Beispiel δ = ε wählen.
Beachte: Hier kann δ unabhängig von x0 gewählt werden.
2. Die Funktion f : R → R mit f (x) = x2 ist in jedem Punkt x0 ∈ R stetig: Sei x0 ∈ R.
Dann gilt
|f (x) − f (x0 )| = |x2 − x20 | = |x + x0 | · |x − x0 | = |x − x0 + 2x0 | · |x − x0 | < (2|x0 | + δ)δ ,
wenn |x − x0 | < δ. Wir können |f (x) − f (x0 )| kleiner als ε machen, indem wir δ mit (2|x0 | +
δ)δ < ε wählen, z. B., δ < 1 mit δ < 2|x0ε|+1 .
Beachte: Hier kann δ nicht unabhängig von x0 gewählt werden.
3. Die Vorzeichen-Funktion sgn : R → R mit sgn x = −1 für x < 0, sgn 0 = 0, sgn x = 1 für
x > 0 ist stetig in jedem Punkt x0 6= 0. Sie ist in 0 weder links- noch rechtsseitig stetig und
damit in 0 unstetig.
4. Die Heaviside-Funktion h : R → R mit h(x) = 0 für x ≤ 0 und h(x) = 1 für x > 0 ist
stetig in jedem Punkt x0 6= 0. Sie ist in 0 links- aber nicht rechtsseitig stetig und damit in
0 unstetig.
1
1
b
b
-1
-1
Satz 7.57. Sei f : D(f ) ⊆ R → R und sei x0 ∈ D(f ). Dann ist f in x0 genau dann stetig,
wenn für jede Folge (ξi )i∈N aus D(f ) mit x0 = limi→∞ ξi auch die Folge (f (ξi ))i∈N gegen
f (x0 ) konvergiert:
∀ Folge ξ : N → D(f ) :
lim ξi = x0 =⇒ lim f (ξi ) = f (x0 ).
i→∞
i→∞
Bemerkung 7.58. Satz 7.57 stellt nur dann eine Forderung, wenn x0 Häufungspunkt von
D(f ) ist. Dabei ist x0 ein Häufungspunkt von D(f ), wenn für jedes ε > 0 ein x ∈ (D(f ) ∩
]x0 − ε, x0 + ε[) \ {x0 } existiert. Ein x0 ∈ D(f ), welches kein Häufungspunkt von D(f ) ist,
heißt isolierter Punkt von D(f ) Ein isolierter Punkt ist dadurch charakterisiert, dass es
ein ε > 0 gibt mit D(f ) ∩ ]x0 − ε, x0 + ε[ = ∅. In isolierten Punkten ist eine Funktion stets
stetig.
142
7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften
Der folgende Satz vereinfacht die Untersuchung der Stetigkeit bei zusammengesetzten Funktionen.
Satz 7.59.
(i) Sind f : D(f ) ⊆ R → R und g : D(g) ⊆ R → R in einem Punkt x0 ∈ D(f ) ∩ D(g) stetig,
so gilt dies auch für f + g, α · f (α ∈ R) und f · g. Ist g(x0 ) 6= 0, so ist auch fg stetig in x0 .
(ii) Sei f : D(f ) ⊆ R → R stetig in x0 ∈ D(f ) und sei g : D(g) ⊆ R → R stetig in f (x0 ) ∈
D(g). Dann ist auch g ◦ f stetig in x0 .
Bemerkung 7.60. Der Nachweis der Stetigkeit einer Funktion wird häuﬁg so geführt, indem
die Stetigkeit direkt anhand der Deﬁnition gezeigt wird, siehe Beispiel 7.56, oder mit Hilfe
von Satz 7.59 von einfacheren Funktionen auf komplizierte „vererbt“ wird. Um die Unstetigkeit einer Funktion an einer Stelle zu zeigen, ist die Deﬁnition oder Satz 7.57 hilfreich.
Bei Satz 7.57 genügt es nämlich beim Unstetigkeitsnachweis eine geeignete Folge zu ﬁnden.
Beispiel 7.61. Wir betrachten die Funktion f : R → R mit f (0) = 0 und f (x) = sin x1 für
x 6= 0. Dann ist (ξk )k∈N mit ξk = ( π2 + 2kπ)−1 für k ∈ N eine gegen 0 konvergente Folge. Es
gilt f (ξk ) = sin( π2 + 2kπ) = 1, weswegen f (ξk ) 6→ f (0) für k → ∞ gilt. Die Funktion f ist
also unstetig in 0.
7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften
7.4.1 Stetige Funktionen
Viele der bisher betrachteten Funktionen sind in jedem Punkt des Deﬁnitionsbereiches stetig.
Da diese Klasse von Funktionen von besonderem Interesse ist, deﬁnieren wir:
Definition 7.62. Sei f : D(f ) ⊆ R → R. Wir nennen f stetig oder stetige Funktion,
wenn f in allen x0 ∈ D(f ) stetig ist.
Für die Zusammensetzung stetiger Funktionen können wir als Folgerung aus Satz 7.59 den
folgenden Satz formulieren:
Satz 7.63.
(i) Sind f : D(f ) ⊆ R → R und g : D(g) ⊆ R → R stetig, so gilt dies auch für f + g, α · f
(α ∈ R) und f · g. Gilt zusätzlich g(x) 6= 0 für alle x ∈ D(f ) ∩ D(g) so ist auch fg stetig.
(ii) Seien f : D(f ) ⊆ R → R und g : D(g) ⊆ R → R stetig. Dann ist auch g ◦ f stetig.
143
7 Grenzwerte und Stetigkeit
7.4.2 Natürliche Potenzfunktionen
Definition 7.64. Die Potenzfunktion potn zum Exponenten n ∈ N ist deﬁniert durch
potn : D(potn ) = R → R ,
x 7→ xn .
Oﬀenbar ist die konstante Funktion pot0 stetig auf ganz R. Die Identität pot1 ist nach
Beispiel 7.56 ebenfalls stetig auf ganz R. Somit sind pot0 und pot1 stetige Funktionen.
Mit Satz 7.63 folgt:
Satz 7.65. Die natürlichen Potenzfunktionen potn : R → R, potn x = xn , mit n ∈ N sind
stetige Funktionen.
7.4.3 Polynome
7.4.3.1 Definition und Stetigkeit
Definition 7.66. Seien n ∈ N, a0 , . . . , an ∈ R. Dann heißt p : R → R mit
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
ein Polynom. Gilt an 6= 0 oder n = 0, so heißt n der Grad des Polynoms. Gilt p(x0 ) = 0,
so heißt x0 eine Nullstelle von p.
Beispiel 7.67. f : R → R mit f (x) = 2 ist ein Polynom nullten Grades, g : R → R mit
g(x) = 3x2 + 5 ist ein Polynom zweiten Grades.
Mit den Sätzen 7.65 und 7.63 folgt:
Satz 7.68. Polynome sind stetige Funktionen.
7.4.3.2 Spezielle Eigenschaften von Polynomen
Polynome sind in ihrer Darstellung eindeutig:
144
7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften
Satz 7.69 (Eindeutigkeit der Darstellung). Seien f, g : R → R Polynome mit
f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ,
g(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xn .
Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
• Beide Polynome sind gleich, f = g.
• Beide Polynome stimmen in n + 1 paarweise verschiedenen Stellen überein.
• Die entsprechenden Koeﬃzienten von f und g stimmen überein, d. h., es gilt ai = bi für
alle i = 0, . . . , n.
Die im Satz beschriebene Feststellung der Gleichheit der Koeﬃzienten beider Polynome
nennt man Koeﬃzientenvergleich.
Satz 7.70 (Faktorisierungssatz). Jedes Polynom n-ten Grades, n ≥ 1, besitzt eine Darstellung
f (x) = (x − x1 )ℓ1 · (x − x2 )ℓ2 · · · · · (x − xs )ℓs · g(x) ,
wobei x1 , . . . , xs genau die Nullstellen von f sind, ℓ1 + · · · + ℓs ≤ n gilt und g ein nullstellenfreies Polynom vom Grad n − (ℓ1 + ℓ2 + · · · + ℓs ) ist. Diese Darstellung ist bis auf
Vertauschung der Faktoren eindeutig.
Bezeichnung: Wir nennen die Faktoren (x − xi ), i = 1, . . . , s, die Linearfaktoren des
Polynoms. Ferner nennen wir ℓj die Vielfachheit der Nullstelle xj von f .
Folgerung 7.71. Jedes Polynom n-ten Grades, n ≥ 1, hat höchstens n Nullstellen.
Folgerung 7.72. Jedes Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle.
Lassen wir auch komplexe Nullstellen zu, so gilt jedoch:
Satz 7.73 (Fundamentalsatz der Algebra). Jedes Polynom n-ten Grades mit n ∈ N>0 hat
genau n komplexe Nullstellen, wenn diese entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden.
Satz 7.74 (Faktorisierungssatz). Jedes Polynom n-ten Grades, n ≥ 1, besitzt eine Darstellung
r
k
r
k
Y
Y
X
X
f (x) = a · (x − xi )ri · (x2 + bi x + ci )ki ,
ri + 2
ki = n ,
i=1
i=1
i=1
i=1
wobei x1 , . . . , xs die reellen Nullstellen von f mit den Vielfachheiten ri sind, und die k
quadratischen Polynome zu nichtreellen, konjugiert komplexen Paaren komplexer Nullstellen
der Vielfachheiten ki gehören.
145
28.04.10
7 Grenzwerte und Stetigkeit
7.4.4 Rationale Funktionen
Addiert, subtrahiert oder multipliziert man Polynome, so entstehen wieder Polynome. Anders ist dies bei der Division.
Definition 7.75. Eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R heißt gebrochen-rationale Funktion,
wenn Polynome p und q existieren, so dass
f (x) =
p(x)
q(x)
für x ∈ D(f ) = R \ {x : q(x) = 0} .
f heißt echt-gebrochen, wenn der Grad von p kleiner als der Grad von q ist.
Polynome sind spezielle rationale Funktionen, die mit q(x) = 1 entstehen.
Beispiel 7.76. Die Produktionskosten für die Herstellung von x Einheiten eines Gutes seien
gegeben durch die Kostenfunktion K : ]0, ∞[ → R mit
K(x) = ax2 + bx + c
mit a < 0 < b, c ∈ R. Dann sind die Stückkosten durch die rationale Funktion k : ]0, ∞[ → R
mit
ax2 + bx + c
k(x) =
x
gegeben.
Fragen, die wir hier nicht beantworten:
• Vereinfachung des Bruches (Zerlegung in ganzen Anteil und echt gebrochenen Anteil,
Kürzen)
• Nullstellen, Polstellen
• Zerlegung in Elementarbrüche (Partialbruchzerlegung)
Mit den Sätzen 7.68 und 7.63 folgt:
Satz 7.77. Rationale Funktionen sind stetige Funktionen.
Beachte: In den Nullstellen des Nennerpolynoms q ist die rationale Funktion nicht deﬁniert
und somit dort weder stetig noch unstetig.
146
7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften
7.4.5 Potenzreihen
Definition 7.78. Seien an ∈ R, n ∈ N und x0 ∈ R. Dann heißt die Folge (pn )n∈N der
Polynome pn : R → R mit
n
X
pn (x) =
ak (x − x0 )k
k=0
eine Potenzreihe um x0 mit den Koeﬃzienten an (Beachte hier wieder 1 = 00 ). Die
Grenzfunktion P : D(P ) ⊆ R → R mit
P (x) =
∞
X
n=0
n
an (x − x0 )
für x ∈ D(P ) := {y ∈ R :
∞
X
n=0
an (y − x0 )n konvergiert}
heißt ebenfalls Potenzreihe oder auch Summe der Potenzreihe.
Beispiel 7.79. Eine wichtige Potenzreihe ist z. B.
∞
X
1 n
x .
n!
n=0
P
n
Satz 7.80. Für jede Potenzreihe ∞
n=0 an (x − x0 ) existiert genau ein ρ ∈ R≥0 ∪ {∞} mit
den folgenden Eigenschaften:
1. Die Potenzreihe konvergiert für alle x ∈ R mit |x − x0 | < ρ.
2. Sie divergiert für alle x ∈ R mit |x| > ρ.
Diese Zahl ρ heißt Konvergenzradius dieser Reihe. Er kann mit Hilfe des Quotientenbzw. Wurzelkriteriums berechnet werden.
Definition 7.81. Eine Funktion
R heißt in eine Potenzreihe entwickelP f : D(f ) ⊆ R →
n mir Konvergenzradius ρ > 0 gibt mit
bar , wenn es eine Potenzreihe ∞
a
(x
−
x
)
0
n=0 n
D(f ) ⊆ {x ∈ R : |x − x0 | < ρ} ,
f (x) =
∞
X
n=0
an (x − x0 )n
für x ∈ D(f ) .
Satz 7.82. Jede in eine Potenzreihe entwickelbare Funktion ist stetig.
7.4.6 Exponentialfunktion
7.4.6.1 Definition und elementare Eigenschaften
P
1 k
Die Potenzreihe ∞
k=0 k! x konvergiert dem Quotientenkriterium für alle x ∈ R, hat also
den Konvergenzradius ρ = ∞.
147
7 Grenzwerte und Stetigkeit
Definition 7.83. Die durch
exp x :=
∞
X
1 k
x
k!
für x ∈ R
k=0
deﬁnierte Funktion exp : R → R heißt (natürliche) Exponentialfunktion.
Nach Satz 7.82 gilt:
Satz 7.84. Die Exponentialfunktion exp ist stetig.
Man kann zeigen:
Satz 7.85. 1. Für alle x, y ∈ R gilt
exp(x + y) = exp x · exp y .
2. Für alle x ∈ R gilt
exp x = lim
n→∞
Insbesondere gilt also
1+
exp n = en
x n
>0.
n
für n ∈ N .
3. Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend mit
lim exp x = 0 ,
x→−∞
lim exp x = ∞ .
x→∞
Auf Grundlage von Satz 7.85 deﬁnieren wir
ex := exp x für x ∈ R .
Bemerkung 7.86. Mit dem später deﬁnierten natürlichen Logarithmus ln kann man auch
reelle Potenzen positiver Basen und damit Exponenentialfunktionen mit positiven Basen
deﬁnieren:
expb x = bx := exp(x ln b) = ex ln b für x ∈ R, b > 0 .
7.4.6.2 Wachstumsprozesse
Heuristik: Zahlreiche Wachstums- oder Abnahmeprozesse für eine zeitabhängige Größe
u(t) können innerhalb einer kurzen Zeitspanne ∆t näherungsweise nach dem Gesetz
u(t + ∆t) − u(t) ≈ α · u(t) · ∆t ,
148
u(t + ∆t) ≈ (1 + α∆t) · u(t)
7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften
(„Die Änderung ist in etwa proportional zur Größe und zur Zeitdauer“) beschrieben werden.
Der Änderungsprozess ist dabei um so genauer, je kleiner ∆t ist.
Wir nehmen nun an, der Prozess u beginnt zum Zeitpunkt 0 mit dem Wert u0 . Gesucht ist
der Wert zum Zeitpunkt T > 0. Um zu kurzen Zeitintervallen zu kommen, teilen wir das
Intervall [0, T ] in n gleich lange Intervalle [ti−1 , ti ] der Länge Tn mit
ti = ni T .
Wir erhalten dann näherungsweise
u(t1 ) ≈
αT
1+
n
u0 ,
u(tk ) ≈
und damit
u(T ) ≈
αT
1+
n
αT
1+
n
n
u(tk−1 ) =
αT
1+
n
k
u0
u0 .
Die rechte Seite sollte nun den Wert u(T ) um so besser beschreiben, je kleiner die Zeitschritte
T
n sind, das heißt je größer n ist. Man kann nun vermuten, dass
u(T ) = u0 lim
n→∞
αT
1+
n
n
gilt, falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.
Analysis: Nach Satz Beispiel 7.85 gilt
lim
n→∞
αT
1+
n
n
= eαT .
Damit erhalten wir
u(T ) = u0 eαT
für unseren Wachstumsprozess, wobei sich die so genannte natürliche Basis e in „natürlicher“
Weise ergeben hat.
Anwendung: Wachstums- und Abnahmeprozesse kommen in vielfältiger Art vor. Einige
einfache Prozesse können in obiger Weise beschrieben werden:
• Alterungs- und Zerfallprozesse (z. B. Alterung von Farben, radioaktiver Zerfall)
• Wachstum von Populationen ohne Ressourcenmangel (z. B. Wachstum von Pilzen)
• Kapitalverzinsung nicht nur nach vollen Jahren: Ist p der Jahreszinssatz, so wähle α mit
eα − 1 = p, d. h., α = ln(1 + p). Dann könnte das Kapital entsprechend k(t) = eαt k(0)
kontinuierlich verzinst werden.
149
7 Grenzwerte und Stetigkeit
7.4.7 Trigonometrische Funktionen
Die Potenzreihen
∞
X
(−1)k x2k+1
k=0
(2k + 1)!
,
∞
X
(−1)k x2k
k=0
(2k)!
haben nach dem Quotientenkriterium den Konvergenzradius ρ = ∞ und deﬁnieren daher
auf R deﬁnierte stetige Funktionen
sin : R → R ,
sin x =
∞
X
(−1)k x2k+1
k=0
(2k + 1)!
,
cos : R → R ,
cos x =
∞
X
(−1)k x2k
k=0
(2k)!
,
Bemerkung 7.87. Man kann zeigen, dass sin und cos 2π-periodisch sind, die bekannten Additionstheoreme erfüllen und auch die anderen aus der Geometrie bekannten Eigenschaften
des Sinus und Cosinus haben.
Mit den Satz7.63 folgt:
Satz 7.88. Die Sinus-Funktion sin, die Cosinus-Funktion cos sowie die Tangens-Funktion
sin
und Cotangens-Funktion ctn = cos
tan = cos
sin sind stetige Funktionen.
7.4.8 Weitere stetige Funktionen
Die Zusammensetzung (Verkettung) der elementaren Funktionen (Potenzfunktionen, rationale Funktionen, Exponentialfunktion, trigonometrische und hyperbolische Funktionen)
durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Komposition führt wieder zu
stetigen Funktionen (mit dem sich natürlich ergebenden Deﬁnitionsbereich).
2
Beispiel 7.89. Die Funktion h : R → R mit h(x) = ex ist als Komposition stetiger Funktionen stetig, da h = g ◦ f mit g = exp und f = pot2 .
Unstetige Funktionen erhalten wir also nur, wenn wir die Klasse der allein durch Kombination von elementaren Funktionen beschreibbaren Funktionen verlassen, in dem wir sie
zum Beispiel, wie bei der Vorzeichenfunktion getan, nur stückweise (d. h., jeweils auf endlich
vielen Teilintervallen des Deﬁnitionsbereiches) durch Kombination elementarer Funktionen
beschreiben.
Bemerkung 7.90. Es gibt viel mehr unstetige Funktionen als stetige Funktionen.
Oﬀen ist nun noch die Frage, ob es zu den obigen Funktion oder zumindest für geeignete
Einschränkungen auch Umkehrfunktionen gibt und ob diese auch stetig sind.
150
7.4 Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften
7.4.9 Wichtigste Eigenschaften stetiger Funktionen
Satz 7.91. Sei f : D(f ) ⊆ R → R stetig und sei [a, b] ⊆ D(f ) ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall. Dann gilt:
(i) f ist auf [a, b] beschränkt, d. h. es gibt ein K ∈ R mit |f (x)| ≤ K für alle x ∈ [a, b].
(ii) (Existenz von Maximum und Minimum) Es gibt x1 , x2 ∈ [a, b] so, dass
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 )
für alle x ∈ [a, b] ,
d. h., f nimmt auf [a, b] im Minimierer x1 ein Minimum, im Maximierer x2 ein Maximum an.
Satz 7.92 (Zwischenwertsatz). Sei f : D(f ) ⊆ R → R stetig und [x1 , x2 ] ⊆ D(f ) mit
x1 ≤ x2 . Dann gilt: Zu jedem Wert y zwischen f (x1 ) und f (x2 ) gibt es ein x ∈ [x1 , x2 ] mit
f (x) = y.
y
x1
x
x2
Folgerung 7.93 (Nullstellensatz). Sei f : [a, b] → R stetig und x1 , x2 ∈ [a, b] mit f (x1 ) <
0 < f (x2 ). Dann gibt es ein x zwischen x1 und x2 mit f (x) = 0.
Bemerkung 7.94. Diese Folgerung ist u. a. Grundlage für das Intervallhalbierungsverfahren
zur Nullstellenbestimmung.
In Verallgemeinerung von Satz 7.92 gilt:
Satz 7.95. Sei f : D(f ) ⊆ R → R stetig und sei M ⊆ D(f ).
1. Wenn M ein Intervall ist, dann ist das Bild f [M ] von M unter f wieder ein Intervall.
2. Wenn M ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist, dann ist das Bild f [M ] von M
unter f wieder ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall.
151
7 Grenzwerte und Stetigkeit
Satz 7.96 (Stetigkeit der inversen Funktion). Seien I, J ⊆ R Intervalle und sei f : I → J
streng monoton mit f [I] = J. Dann existiert die inverse Funktion f −1 : J → I und
1. f −1 ist streng monoton (im gleichen Sinne wie f );
2. f −1 ist stetig.
Folgerung 7.97. Die natürliche Exponentialfunktion exp : R → R>0 ist invertierbar. Ihre
Umkehrfunktion ln : R>0 → R (natürlicher Logarithmus genannt) ist stetig, streng monoton
wachsend mit
lim ln x = −∞ ,
x→0
lim ln x = ∞ ,
ln(x · y) = ln x + ln y
x→∞
für x, y > 0 .
Folgerung 7.98. Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen sind auf
Monotonie-Intervallen stetig invertierbar, d. h., die Arcus-Funktionen sind stetig.
7.5 Grenzwerte von Funktionen
Wir betrachten nun einen Begriﬀ, der dem Begriﬀ der Stetigkeit ähnlich ist.
7.5.1 Der Begriff des Grenzwertes
Definition 7.99. Eine Zahl c ∈ R heißt Grenzwert der Funktion f in x0 ∈ R, wenn
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D(f ) :
|x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − c| < ε.
Bemerkung 7.100. 1. Der Grenzwert ist (wenn er existiert) eindeutig.
2. Wenn f in x0 deﬁniert ist, müssen f (x0 ) und limx0 f übereinstimmen.
3. Die Stelle x0 muss nicht zum Deﬁnitionsbereich von f gehören.
4. Obige Deﬁnition entspricht der modernen Deﬁnition eines Grenzwertes. In älterer Literatur ﬁndet man noch die Deﬁnition des Grenzwertes, bei der Grenzwerte nur in Häufungspunkten x0 des Deﬁnitionsbereiches betrachtet werden, der Funktionswert f (x0 ), falls er
existiert, bei der Grenzwertbildung jedoch nicht betrachtet wird.
Bezeichnung:
lim f
x0
oder
gesprochen: Grenzwert von f an der Stelle x0 .
152
lim f (x) ,
x→x0
7.5 Grenzwerte von Funktionen
Satz 7.101 (Charakterisierung des Grenzwertes durch Folgen).
Eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R besitzt in x0 ∈ R den Grenzwert c genau dann, wenn für
jede beliebige Folge (ξn )n∈N in D(f ) mit ξn → x0 die Folge (f (ξn ))n∈N gegen c konvergiert,
∀ Folge ξ : N → D(f ) :
lim ξi = x0 =⇒ lim f (ξi ) = c.
i→∞
i→∞
Folgerung 7.102. Wenn f : D(f ) ⊆ R → R in x0 ∈ R einen Grenzwert besitzt, dann gehört
x0 zu D(f ) oder x0 ist ein Häufungspunkt von D(f ).
Durch Vergleich der Deﬁnitionen 7.53 und 7.99 ergibt sich:
Satz 7.103. Die Funktion f : D(f ) ⊆ R → R ist stetig in x0 ∈ D(f ) genau dann, wenn der
Grenzwert lim f von f in x0 existiert.
x0
Insbesondere stimmen dann Funktionswert und Grenzwert in x0 überein, f (x0 ) = limf .
x0
Grenzwerte an Stetigkeitsstellen zu bestimmen ist somit trivial, da es einfach die Funktionswerte sind. Ebenso trivial ist die Bestimmung an Unstetigkeitsstellen: Der Grenzwert
existiert nicht.
Nichttrivial ist hingegen die Bestimmung von Grenzwerten an Stellen, die nicht zum Deﬁnitionsbereich gehören.
Definition 7.104. Wenn der Grenzwert der Einschränkung f D(f )∩[x0 ,∞[ von f auf
D(f )>x0 := D(f ) ∩ [x0 , ∞[ existiert, so heißt dieser rechtsseitiger Grenzwert von f in x0
und wird mit lim f (x) oder lim f (x) bezeichnet,
x→x0 +0
xցx0
lim f (x) = lim f (x) := lim f D(f )>x (x) .
x→x0 +0
xցx0
x→x0
0
Entsprechend ist der linksseitige Grenzwert lim f (x) oder lim f (x) deﬁniert als
x→x0 −0
xրx0
lim f (x) = lim f (x) := lim f D(f )<x (x) .
x→x0 −0
xրx0
x→x0
0
Satz 7.105. Sei f : D(f ) ⊆ R → R und sei x0 Häufungspunkt von D(f )<x0 und D(f )>x0 .
Dann existiert der Grenzwert von f in x0 genau dann, wenn
• linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert existieren und gleich sind
• und mit dem Funktionswert von f (x0 ) übereinstimmen, falls f in x0 deﬁniert ist.
Wenn der Grenzwert existiert, dann gilt
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) .
x→x0
xրx0
xցx0
153
7 Grenzwerte und Stetigkeit
7.5.2 Rechnen mit Grenzwerten
Zur bequemen Berechnung von Grenzwerten notieren wir wieder einige Rechenregeln, die
aus der Deﬁnition und den entsprechenden Regeln für Folgen hergeleitet werden.
Satz 7.106 (Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen). Seien f : D(f ) ⊆ R → R,
g : D(g) ⊆ R → R und sei x0 ein Häufungspunkt von D(f ) ∩ D(g). Weiter nehmen wir an,
dass lim f (x) und lim g(x) (als endliche Grenzwerte) existieren.
x→x0
Dann gelten:
x→x0
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) ,
x→x0
x→x0
x→x0
lim (α · f (x)) = α · lim f (x)
für alle α ∈ R ,
x→x0
lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x) ,
x→x0
x→x0
x→x0
lim
x→x0
f (x)
g(x)
x→x0
lim f (x)
=
x→x0
lim g(x)
x→x0
,
falls lim g(x) 6= 0 .
x→x0
Satz 7.107 (Satz von den zwei Milizionären). Seien f : D(f ) ⊆ R → R, g : D(g) ⊆ R → R,
h : D(h) ⊆ R → R mit D(h) ⊆ D(f ) ∩ D(g). Existiert ein ε > 0 mit
12.05.10
f (x) ≤ h(x) ≤ g(x)
für alle x ∈ D(h) mit |x−x0 | < ε, und gilt lim f (x) = lim g(x) = c, so gilt auch lim h(x) =
x→x0
x→x0
x→x0
c.
7.5.3 Beispiele
Folgerung 7.108. Für jedes Polynom p und jede Stelle x0 ∈ R gilt:
lim p(x) = p(x0 ) .
x→x0
Beweis. Regeln (i)–(iii) von Satz 7.106.
Beispiel 7.109. Es gilt
lim
x→2
x3 + 3x + 5
x2 − 2x + 1
limx→2 x3 + 3x + 5
19
=
=
.
2
limx→2 (x − 2x + 1)
1
Dies folgt Folgerung 7.108 und Regel (iv).
154
7.5 Grenzwerte von Funktionen
Beispiel 7.110. Sei f : D(f ) ⊂ R → R mit D(f ) = R \ {2} und
f (x) =
x2 + x − 6
.
x−2
Dann gilt wegen der Stetigkeit von Zähler und Nenner in x0 = 4
x2 + x − 6
limx→4 (x2 + x − 6)
14
=
=
=7.
x→4
x−2
limx→4 (x − 2)
2
lim f (x) = lim
x→4
Dagegen kann der Grenzwert limx→2 f (x) nicht in ähnlicher Weise berechnet werden, da
limx→2 (x − 2) = 0. Sei dazu nun (ξn )n∈N eine beliebige Folge in R \ {2} mit limn→∞ ξn = 2.
Wegen x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) gilt dann
(ξn − 2)(ξn + 3)
= lim (ξn + 3) = 5
n→∞
ξn − 2
lim f (ξn ) = lim
n→∞
n→∞
und daher
lim f (x) = 5 .
x→2
Beispiel 7.111. Die Funktion f : D(f ) ⊂ R → R mit D(f ) = R \ {0} und f (x) = sin x1
ist stetig. Der Grenzwert in 0 existiert aber nicht: Seien z. B. (ξn )n∈N und (ηn )n∈N mit
ξn = (2n+1 1 )π und ηn = (2n−1 1 )π . Dann gilt f (ξn ) = 1 und f (ηn ) = −1 für n ∈ N und daher
2
2
1 = lim f (ξn ) 6= lim f (ηn ) = −1 .
n→∞
Beispiel 7.112. Wir zeigen
lim
x→0
Es gilt nämlich
√
Aus
n→∞
√
1
x+1−1
= .
x
2
2
√
x + 1 − 12
1
x+1−1
=√
√
=
.
x
x x+1+1
x+1+1
lim = √
x→0
1
1
=
2
x+1+1
folgt damit die Behauptung.
Lemma 7.113. Es gilt
lim
x→0
sin x
x
= 1 = lim
.
x→0
x
sin x
Beweis. Gemäß der Skizze
155
sin x
tan x
7 Grenzwerte und Stetigkeit
x
cos x
1
gilt bei Betrachtung der Flächeninhalte folgender Zusammenhang:
x
1
1
sin x cos x ≤
π ≤ tan x
2
2π
2
⇐⇒
cos x ≤
x
1
≤
.
sin x
cos x
Mit Satz 7.107 schließen wir aus
lim cos x = 1 und
x→0
auf
lim
x→0
Lemma 7.114. Es gilt
1
=1
x→0 cos x
lim
x
sin x
= 1 = lim
.
x→0 x
sin x
cos x − 1
=0.
x→0
x
lim
Beweis. Es gilt
cos2 x − 1
cos x − 1
(cos x − 1) (cos x + 1)
=
=
x
x (cos x + 1)
x (cos x + 1)
2
sin x
sin x
1
=−
=−
·
· sin x .
x (cos x + 1)
x
cos x + 1
cos x − 1
= 0.
x→0
x
Mit Lemma 7.113 und den Rechenregeln folgt lim
7.5.4 Stetige Fortsetzung
Eine wichtige Anwendung von Grenzwerten ist die stetige Fortsetzung stetiger Funktionen
auf Häufungspunkte des Deﬁnitionsbereiches:
Satz 7.115 (Stetige Fortsetzung). Sei f : D(f ) ⊆ R → R und sei x0 6∈ D(f ) ein Häufungspunkt von D(f ). Existiert der (endliche) Grenzwert limx→x0 f (x), dann ist die Funktion
g : D(g) → R mit D(g) = D(f ) ∪ {x0 } und g(x) = f (x) für x ∈ D(f ), g(x0 ) = limx→x0 f (x)
stetig.
156
7.5 Grenzwerte von Funktionen
Beispiel 7.116. In Beispiel 7.110 hatten wir f : D(f ) ⊂ R → R mit D(f ) = R \ {2} und
f (x) =
betrachtet und
x2 + x − 6
x−2
lim f (x) = 5
x→2
gezeigt. Nach Satz 7.115 ist die Funktion g : R → R mit g(x) = f (x) für x 6= 2 und g(x) = 5
für x = 2 die stetige Fortsetzung von f auf R. Beachte, dass g(x) = x + 3 für x ∈ R.
Beispiel 7.117. Wir betrachten f : R \ {0} → R mit f (x) =
7.113 gezeigt, gilt
sin x
lim
=1.
x→0 x
Damit ist g : R → R mit g(x) =
Fortsetzung von f auf R.
sin x
x
sin x
x
für x 6= 0. Wie in Lemma
für x 6= 0 und g(0) = 1 nach Satz 7.115 die stetige
Beispiel 7.118. Wie in Beispiel 7.111 gezeigt, ist die Funktion f : D(f ) ⊂ R → R mit
D(f ) = R \ {0} und f (x) = sin x1 zwar stetig, besitzt aber keinen Grenzwert in 0. Sie kann
folglich nicht stetig in 0 fortgesetzt werden.
157
7 Grenzwerte und Stetigkeit
158
8 Eindimensionale Differentialrechnung
8.1 Differenzierbarkeit und lineare Approximation
8.1.1 Einführendes Beispiel
Vorgegeben sei eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R. Gesucht ist eine Nullstelle von f .
Eine Idee zur Bestimmung von Nullstellen besteht nun darin: Ausgehend von einer Näherung
x0 ∈ D(f ) für eine Nullstelle von f bestimme man ein Polynom p möglichst niedrigen Grades,
welches f nahe x0 in einem geeigneten Sinne gut beschreibt, und bestimme dann Nullstellen
von p.
Zu diesem „gut beschreiben“ gehört zumindest, dass f und p in x0 übereinstimmen,
(8.1)
p(x0 ) = f (x0 ) .
Damit ist ein Polynom p nullten Grades denkbar ungeeignet: Wenn f (x0 ) 6= 0, dann hat p
wegen (8.1) keine Nullstelle.
Probieren wir ein Polynom p ersten Grades. Wegen (8.1) müsste es von der Form
p(x) = f (x0 ) + a · (x − x0 )
sein. Wenn a 6= 0 gilt, dann ist
x1 = x0 −
f (x0 )
a
die Nullstelle von p. Oﬀenbar erhalten wir für verschiedene a i. A. auch verschiedene Nullstellen – bis auf x0 sind bei f (x0 ) 6= 0 alle anderen reellen Zahlen erzielbar.
f (x0 )
f (x1 )
x1
x0
f
p
159
8 Eindimensionale Differentialrechnung
Polynome höheren Grades würden uns auch nicht weiterhelfen, da sie noch mehr Freiheitsgrade enthalten. Wir sollten also weiter nach einem Polynom ersten Grades suchen, benötigen aber eine sinnvolle Zusatzbedingung, welche uns möglichst das bestmögliche a liefern
sollte.
Eine Idee dazu wäre, neben (8.1) zu fordern, dass die Diﬀerenz f (x) − p(x) für x nahe x0
klein ist.
Definition 8.1. Sei k ∈ N. Ein Polynom p mit
lim
x→x0
f (x) − p(x)
=0
|x − x0 |k
(8.2)
heißt Approximation k-ten Grades von f in x0 .
Satz 8.2. Eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R ist genau dann stetig in x0 ∈ D(f ), wenn
p(x) = f (x0 ) eine Approximation nullten Grades an f in x0 ist.
Für unseren Zweck reicht Approximation 0-ten Grades und daher Stetigkeit nicht aus.
8.1.2 Lineare Approximation
Wir betrachten eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R. Sei x0 ∈ D(f ). Wir suchen nun ein
Polynom p höchsten ersten Grades, was f in x0 ersten Grades approximiert. Ein solches
Polynom heißt dann eine lineare Approximation an f in x0 .
Als Polynom höchstens ersten Grades wäre p von der Form
p(x) = b + a · (x − x0 )
mit zu bestimmenden a, b ∈ R. Die Bedingung
lim
x→x0
f (x) − b − a · (x − x0 )
f (x) − p(x)
= lim
=0,
x→x0
x − x0
x − x0
(8.3)
ist äquivalent mit
a = lim
x→x0
f (x) − b
.
x − x0
(8.4)
Für die Existenz des Grenzwertes ist notwendig, dass
lim f (x) = b
x→x0
gilt, wegen x0 ∈ D(f ) muss also b = f (x0 ) gelten. Folglich muss f in x0 stetig sein.
Da die Existenz des Grenzwertes (8.4) für die lineare Approximation von Bedeutung ist,
geben wir dieser Eigenschaft von f eine Bezeichnung.
160
8.1 Differenzierbarkeit und lineare Approximation
Definition 8.3. Sei f : D(f ) ⊆ R → R. Wenn x0 ∈ D(f ) ein Häufungspunkt von D(f ) ist
und wenn der Grenzwert
f ′ (x0 ) := lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
h→0
x − x0
h
existiert, so heißt f diﬀerenzierbar in x0 und wir nennen f ′ (x0 ) die Ableitung von f
an der Stelle x0 .
Bezeichnungen:
f ′ (x0 ) = Df (x0 ) =
df (x) df
df (x0 )
=
(x0 ) =
.
x=x
0
dx
dx
dx
Bemerkung 8.4. 1. Die drei letzten Bezeichnungen sind missverständlich und sollten daher weitgehend vermieden werden: Wie das Argument der Funktion bezeichnet wird, ist
unerheblich:
df (x) df (y) =
= f ′ (x0 ) .
x=x
0
dx
dy y=x0
2. Die Ableitung f ′ (x0 ) von f in x0 ist, falls sie existiert, eindeutig.
3. Es gibt höchstens eine lineare Approximation von f in x0 .
4. Die Ableitung f ′ (x0 ) beschreibt die Linearisierung von f in x0 .
Wie zuvor bei den Grenzwerten kann man auch links- und rechtsseitige Ableitungen D−
und D+ bilden. Die Existenz von links- und rechtsseitiger Ableitung und ihre Gleichheit
sind äquivalent zur Existenz der Ableitung.
Beispiel 8.5. Wir untersuchen f (x) = |x| an der Stelle x0 = 0:
h
|0 + h| − |0|
= lim = 1 ,
hց0 h
hց0
h
−h
|0 + h| − |0|
= lim
= −1 .
D− f (x0 ) = lim
hր0 h
hր0
h
D+ f (x0 ) = lim
f hat im Punkte x0 linksseitig und rechtsseitig verschiedene „Ableitungen“ (Steigungen):
y
f (x) = |x|
x
Diese Funktion ist also in 0 stetig aber nicht diﬀerenzierbar.
161
8 Eindimensionale Differentialrechnung
Zusammenfassend erhalten wir:
Satz 8.6. Sei x0 ∈ D(f ) ein Häufungspunkt von D(f ). Dann gelten:
1. Die Stetigkeit von f in x0 ist notwendig aber nicht hinreichend für die Diﬀerenzierbarkeit
von f in x0 .
2. f ist in x0 genau dann linear approximierbar, wenn f in x0 diﬀerenzierbar ist.
3. Wenn f in x0 diﬀerenzierbar ist mit der Ableitung f ′ (x0 ), dann ist das Polynom p höchstens ersten Grades mit p(x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) für x ∈ R die lineare Approximation
von f in x0 , d. h. es gilt die Weierstraßsche Zerlegungsformel
r(x)
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + r(x) mit lim
=0.
(8.5)
x→x0 x − x0
Definition 8.7. Sei f im Häufungspunkt x0 ∈ D(f ) von D(f ) diﬀerenzierbar. Dann heißt
die Gerade
tfx0 = {f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 ) : x ∈ R}
die Tangente an den Graphen von f im Punkt (x0 , f (x0 )).
(x0 )
(x0 )
= ∞ oder limh→0 f (x0 +h)−f
= −∞, dann ist
Bemerkung 8.8. Falls limh→0 f (x+h)−f
h
h
f zwar in x0 nicht diﬀerenzierbar, wir haben aber in diesem Fall eine vertikale Tangente an
den Graphen von f in x0 .
8.1.3 Das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung
Gegeben sei ein Funktion f : I → R, welche auf einem Intervall I ⊆ R deﬁniert ist. Gesucht
ist eine Nullstelle von f , also ein x∗ ∈ I mit f (x∗ ) = 0.
Es sei x0 ein gegebener Startwert als Näherung für die gesuchte Stelle. Dieser könnte z. B.
mit dem Bisektionsverfahren gefunden worden sein.
Unter der Voraussetzung, dass f in x0 diﬀerenzierbar sind, bestimmen wir die lineare Approximation an f in x0 , also das Polynom p mit
p(x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) für x ∈ R .
Wenn f ′ (x0 ) 6= 0 gilt, dann hat p eine eindeutig bestimmte Nullstelle x1 ,
x1 = x0 −
f (x0 )
.
f ′ (x0 )
Dieses Verfahren führe man nun weiter fort:
Newton-Verfahren: Unter der Voraussetzung, dass xk ∈ I, f in xk diﬀerenzierbar ist und
f ′ (xk ) 6= 0 gilt, bestimme man xk+1 als Nullstelle der linearen Approximation an f in xk ,
also
f (xk )
xk+1 := xk − ′
k = 0, 1, 2, 3 . . . .
f (xk )
162
8.1 Differenzierbarkeit und lineare Approximation
Zu klären wäre, ob die Iteriertenfolge (xk )k∈N tatsächlich gegen eine Nullstelle von f konvergiert.
Beispiel 8.9. Wir betrachten das Polynom
f (x) = x3 + x2 + 2x + 1 .
Dieses hat eine Nullstelle in [a, b] = [−1, 0], da f (−1) = −1 und f (0) = 1 gilt. Ein erster
Schritt der Bisektion liefert x0 = −0.5 mit f (x0 ) = 0.125 > 0. Zu erwarten ist also eine
Nullstelle im Intervall [−1, −0.5].
Mit den Schulkenntnissen zur Bestimmung von Ableitungen führen wir einen Schritt des
Newton-Verfahrens durch. Es gilt
x1 = x0 −
f (x0 )
x30 + x20 + 2x0 + 1
=
x
−
0
f ′ (x0 )
3x20 + 2x0 + 2
und mit x0 = −0.5 erhalten wir
x1 = −0.5714 mit
f (x1 ) = −0.0029 < 0 und |f (x1 )| < 0.9 |f (x0 )| ,
wodurch x1 als bessere Näherung (und x∗ ∈ [x1 , x0 ]) erkannt wird. Weitere Schritte über
xk+1 = xk −
x3k + x2k + 2xk + 1
f (xk )
=
x
−
k
f ′ (xk )
3x2k + 2xk + 2
(k = 0, 1, 2, . . .)
liefern x2 = −0.5698412, x3 = x4 = −0.569840291 auf vier Dezimalen und
f (x3 ) = 3.5711 · 10−12 .
Das Newton-Verfahren liefert hier also bereits nach drei Schritten eine sehr gute Näherung
der Nullstelle x∗ .
8.1.4 Differenzierbarkeit und Wachstum
Wir fragen uns hier, ob wir aus der Diﬀerenzierbarkeit einer Funktion f : D(f ) ⊆ R → R an
einer Stelle x0 ∈ D(f ) und konkret aus der Ableitung f ′ (x0 ) schon etwas über das Verhalten
von f in der Nähe von x0 ermitteln können.
Sei f ′ (x0 ) 6= 0. Nach Satz 8.6 gilt
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + r(x) ,
lim
x→x0
r(x)
=0.
x − x0
Zu ε = 21 |f ′ (x0 )| gibt es ein δ > 0 mit |r(x)| ≤ ε · |x − x0 | für x ∈ D(f ) mit |x − x0 | < δ. Für
f ′ (x0 ) und x ∈ D(f ) mit |x − x0 | < δ gilt folglich
1
f (x) ≥ f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) − f ′ (x0 ) · (x − x0 ) > f (x0 ) für x > x0 .
2
163
8 Eindimensionale Differentialrechnung
Mit den entsprechenden weiteren Beziehungen folgt:
Satz 8.10. Sei f : D(f ) ⊆ R → R im inneren Punkt x0 von D(f ) diﬀerenzierbar. Dann
existiert ein δ > 0 mit:
a) Wenn f ′ (x0 ) > 0, dann gilt
f (x1 ) < f (x0 ) < f (x2 )
für x1 , x2 ∈ D(f ) mit x0 − δ < x1 < x0 < x2 < x0 + δ .
b) Wenn f ′ (x0 ) < 0, dann gilt
f (x1 ) > f (x0 ) > f (x2 )
für x1 , x2 ∈ D(f ) mit x0 − δ < x1 < x0 < x2 < x0 + δ .
8.1.5 Notwendige Bedingung für Extrema
Wir wissen bereits, dass stetige Funktionen auf abgeschlossenen, beschränkten Intervallen
einen maximalen und einen minimalen Wert annehmen, d.h., dass sie ein globales Maximum
oder Minimum besitzen.
Definition 8.11. Die Funktion f : D(f ) ⊆ R → R hat in x0 ∈ D(f ) ein lokales Minimum
(Maximum), wenn ein ε > 0 existiert mit f (x) ≥ f (x0 ) (f (x) ≤ f (x0 )) für alle x ∈ D(f )
mit |x − x0 | < ε. Ein lokales Extremum ist ein lokales Minimum oder Maximum.
Beispiel 8.12. In der Skizze ist eine Funktion f : [a, b] → R dargestellt.
x1 ist eine globale Minimalstelle.
b ist eine globale Maximalstelle.
a, x1 , x3 sind lokale Minimalstellen.
x2 , b sind lokale Maximalstellen.
a
x1
x2
x3
b
Der folgende Satz ist eine unmittelbare Folgerung aus Satz 8.10. Er liefert eine notwendige
Bedingung für die Existenz von Extrema. Darüberhinaus ist er eine wesentliche Grundlage
für viele weitere wichtige Aussagen.
Satz 8.13 (Satz von Fermat, Notwendige Bedingung für Extrema). Sei f : D(f ) ⊆ R → R
im inneren Punkt x0 von D(f ) diﬀerenzierbar. Dann gilt:
f hat in x0 lokales Extremum ⇒ f ′ (x0 ) = 0 .
Bemerkung 8.14. Wenn x0 nicht im Inneren von D(f ) liegt, muss die Behauptung nicht
gelten!
164
8.2 Berechnung von Ableitungen
Beispiel 8.15. Betrachte z. B. x 7→ x2 auf [−1, 1]. Es liegen lokale Maxima in −1 und 1
vor, aber die Ableitung verschwindet dort nicht. Siehe auch a, x1 und b in obigem Beispiel.
Wir schließen daraus: Bei einer beliebigen Funktion f : D(f ) → R sind folgende Punkte
Kandidaten für lokale Extremalstellen:
• Punkte x0 ∈ D(f ) in oﬀenen Teilintervallen von D(f ), in denen f diﬀerenzierbar ist und
für die f ′ (x0 ) = 0 gilt,
• Punkte x0 ∈ D(f ), welche nicht in oﬀenen Teilintervallen von D(f ) liegen (insbesondere
also die Randpunkte von D(f ),
• Punkte x0 ∈ D(f ), in denen f nicht diﬀerenzierbar ist.
8.2 Berechnung von Ableitungen
8.2.1 Ableitungen spezieller Potenzfunktionen
Durch vollständige Induktion in Verbindung mit dem direkten Berechnen des Diﬀerentialquotienten unter Verwendung des binomischen Satzes folgt
d n
x = nxn−1
dx
(n ≥ 0, x ∈ R) .
√
Wir betrachten f : R≥0 → R mit f (x) = x und x0 > 0. Es gilt
√
√
x0 + ∆x − x0
1
1
′
= lim √
f (x0 ) = lim
√ = √
∆x→0
∆x→0
x0 + ∆x − x0
2 x0
x0 + ∆x + x0
und daher
1
d√
x= √
dx
2 x
(x > 0) .
Mit der gerade gewonnenen Ableitung für die Wurzelfunktion, zeigen wir nun an einem
Beispiel, wie gut die Tangente (d. h. die lineare Approximation) die Funktion f in der Nähe
der Stelle x0 annähert.
√
Beispiel 8.16. Wir betrachten f (x) = x an der Stelle x0 = 1.96. Es gilt f ′ (x0 ) = 2√1x0 =
1
2·1.4
=
1
2.8
und daher
f
T1.96,1
(x) = 1.4 +
1
(x − 1.96) .
2.8
f
Wir vergleichen für x = 2 die Werte von f (2) und T1.96,1
(2):
√
f (2) = 2 = 1.41421356 . . . ,
1
f
(2 − 1.96) = 1.414286 . . . .
T1.96,1
(2) = 1.4 +
2.8
165
19.05.10
8 Eindimensionale Differentialrechnung
8.2.2 Linearität, Produkt-, Quotienten und Kettenregel
Versuchen wir jetzt, uns mit allgemeingültigen Rechenregeln die Berechnung von Ableitungen zu erleichtern. Die folgenden Aussagen folgen leicht aus der Weierstraß-Zerlegungsformel
(8.5)
Satz 8.17. Es seien f : D(f ) ⊆ R → R, g : D(g) ⊆ R → R und x ∈ D(f ) ∩ D(g) Häufungspunkt von D(f ) ∩ D(g). Wenn f und g in x diﬀerenzierbar sind, dann gelten:
(αf + βg)′ (x) = αf ′ (x) + βg ′ (x) für alle α, β ∈ R,
(Linearität)
(f · g)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x) ,
′
f
f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)
,
(x) =
g
g(x)2
(Produktregel)
falls g(x) 6= 0 .
(Quotientenregel )
Beispiel 8.18. Für f (x) = 3x3 − 4x2 + 2x − 1 und x ∈ R gilt
f ′ (x) = 3 · 3x2 − 4 · 2x + 2 · 1 = 9x2 − 8x + 2 .
x3 − x
und x ∈ R gilt
1 + x2
3x2 − 1 1 + x2 − x3 − x (0 + 2x)
3x2 + 3x4 − 1 − x2 − 2x4 + 2x2
′
f (x) =
=
(1 + x2 )2
(1 + x2 )2
x4 + 4x2 − 1
=
.
(1 + x2 )2
Für f (x) =
Satz 8.19. Es seien f : D(f ) ⊆ R → R, g : D(g) ⊆ R → R und x ∈ D(g ◦ f ) = f −1 (D(g))
Häufungspunkt von D(g ◦ f ). Wenn f in x und g in f (x) diﬀerenzierbar sind, dann gilt:
(g ◦ f )′ (x) = g ′ (f (x))f ′ (x) .
(Kettenregel)
Die Ableitung einer verketteten Funktion ist also „äußere Ableitung am Wert der inneren
Funktion mal innere Ableitung“.
2
Beispiel 8.20. Wir können f (x) = 3x2 − 4 auf drei verschiedene Arten ableiten.
2
1. Ausmultiplizieren: f (x) = 3x2 − 4 = 9x4 − 24x2 + 16 und damit f ′ (x) = 36x3 − 48x.
2. Produktregel: f (x) = 3x2 − 4 3x2 − 4 und damit
f ′ (x) = 6x 3x2 − 4 + 3x2 − 4 6x
= 12x 3x2 − 4 = 36x3 − 48x .
3. Kettenregel:
f ′ (x) = 2 3x2 − 4 · (6x) = 12x 3x2 − 4 = 36x3 − 48x .
166
8.2 Berechnung von Ableitungen
Die Kettenregel kann auch bei mehrfacher Schachtelung angewendet werden:
q
(x2 − 2x)3 für x > 2 gegeben. f ist
Beispiel 8.21. Sei f : [2, ∞[ → R mit f (x) =
Verkettung dreier Funktionen:
f = f3 ◦ f2 ◦ f1
mit f1 , f2 : R → R, f3 : R≥0 → R und
f1 (x) = x2 − 2x ,
f2 (x) = x3 ,
f3 (x) =
√
x.
Entsprechend gilt für die Ableitung
2
1
f ′ (x) = f3′ (f2 (f1 (x))) · f2′ (f1 (x)) · f1′ (x) = q
· 3 x2 − 2x · (2x − 2)
2 (x2 − 2x)3
p
x2 − 2x
= 3 (x − 1) x2 − 2x .
= 3 (x − 1) √
x2 − 2x
8.2.3 Ableitungen weiterer Funktionen
Es gilt
sin(x + h) − sin x
sin x cos h + cos x sin h − sin x
= lim
h→0
h→0
h
h
cos h − 1
sin h
= sin x lim
+ cos x lim
= 0 · sin x + 1 · cos x .
h→0
h→0 h
h
= cos x .
sin′ x = lim
Durch Anwendung von cos x = sin(x + π2 ), Ketten- und Quotientenregel folgen:
sin′ x = cos x ,
(x ∈ R)
′
cos x = − sin x ,
1
,
tan′ x =
cos2 x
1
cot′ x = −
,
sin2 x
(x ∈ R)
(x 6= kπ +
π
, k ∈ Z) ,
2
(x 6= kπ, k ∈ Z) .
Wegen
∞
∞
∞
∞
X
exp h − 1
1 X 1 k
1 X 1 k X 1 k−1
1
= (
h − 1) =
h =
h
=1+h·
hk
h
h
k!
h
k!
k!
(k + 2)!
k=0
k=1
und
|
∞
X
k=0
k=1
k=0
∞
X
1
1
hk | <
(k + 2)!
(k + 2)!
k=0
167
8 Eindimensionale Differentialrechnung
für |h| < 1 folgt
exp h − 1
=1
h→0
h
lim
und somit
exp(x + h) − exp x
exp x · exp h − exp x
exp h − 1
= lim
= exp x · lim
,
h→∞
h→∞
h→∞
h
h
h
exp′ x = lim
also
exp′ x = exp x ,
(x ∈ R) .
8.3 Differenzierbare Funktionen
8.3.1 Differenzierbarkeit auf Mengen
Definition 8.22. Wir nennen eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R diﬀerenzierbar auf
der Menge M ⊆ D(f ), wenn f in allen Punkten x0 ∈ M diﬀerenzierbar ist. f heißt
diﬀerenzierbar , wenn f auf D(f ) diﬀerenzierbar ist.
Bemerkung 8.23. 1. Eine in einem Häufungspunkt x0 von D(f ) stetige Funktion muss dort
nicht diﬀerenzierbar sein. (Betrachte zum Beispiel die Betragsfunktion in 0).
2. Es gibt stetige, auf einem Intervall deﬁnierte Funktionen, die nirgends diﬀerenzierbar sind.
Sei f : D(f ) ⊆ R → R und sei
D(f ′ ) := {x0 ∈ D(f ) : f ist diﬀerenzierbar in x0 } .
Dann ist eine neue Funktion g : D(f ′ ) ⊆ R → R, die Ableitung(sfunktion) von f durch
g(x) = f ′ (x) für x ∈ D(f ′ )
gegeben. Diese Funktion wird auch wieder durch f ′ bezeichnet.
Im allgemeinen hat man nur D(f ′ ) ⊆ D(f ). In vielen Fällen ist man daran interessiert, dass
D(f ′ ) = D(f ) gilt, also f diﬀerenzierbar ist.
8.3.2 Mittelwertsätze
Die folgenden Sätze sind von grundlegender Bedeutung für die Untersuchung diﬀerenzierbarer Funktionen auf Intervallen.
Satz 8.24 (Satz von Rolle). Sei f : [a, b] → R stetig und sei f ]a,b[ diﬀerenzierbar. Dann gilt
f (a) = f (b)
168
⇒
∃ξ ∈ ]a, b[ : f ′ (ξ) = 0 .
8.3 Differenzierbare Funktionen
Beweis. Da f stetig ist, existieren globales Minimum und Maximum von f auf [a, b]. Liegen
beide in den Randpunkten vor, so ist f konstant auf [a, b] und damit f ′ (x) = 0 für alle
x ∈ ]a, b[. Liegt wenigstens eines der beiden globalen Extrema in Innern von [a, b] vor, dann
verschwindet nach Satz 8.13 dort die Ableitung.
Satz 8.25 (Satz von Lagrange, Mittelwertsatz). Sei f : [a, b] → R stetig und auf ]a, b[
diﬀerenzierbar. Dann existiert ein ξ ∈ ]a, b[ mit
f ′ (ξ) =
d. h. der Anstieg
f (b)−f (a)
b−a
f (b) − f (a)
,
b−a
wird auch in einer Stelle ξ ∈ ]a, b[ als Ableitung angenommen.
8.3.3 Monotonie
Definition 8.26. Eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R heißt
a) ( streng ) monoton wachsend , wenn f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) < f (x2 )) für alle x1 , x2 ∈
D(f ), x1 < x2 , gilt.
b) ( streng ) monoton fallend , wenn f (x1 ) ≥ f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )) für alle x1 , x2 ∈ D(f ),
x1 < x2 , gilt.
Für diﬀerenzierbare Funktionen f : ]a, b[ → R kann die Monotonie mit Hilfe der Ableitung
charakterisiert werden:
Satz 8.27. Sei f : D(f ) ⊆ R → R auf I ⊆ D(f ) mit I = [a, b] oder I = ]a, b[ stetig und auf
]a, b[ diﬀerenzierbar. Dann gilt:
a) Wenn f ′ (x) > 0 für alle x ∈ ]a, b[ gilt, dann ist f streng monoton wachsend auf I,
b) Wenn f ′ (x) < 0 für alle x ∈ ]a, b[ gilt, dann ist f streng monoton fallend auf I,
c) Wenn f ′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ ]a, b[ gilt, dann ist f monoton wachsend auf I,
d) Wenn f ′ (x) ≤ 0 für alle x ∈ ]a, b[ gilt, dann ist f monoton fallend auf I,
e) Wenn f ′ (x) = 0 für alle x ∈ ]a, b[ gilt, dann ist f konstant auf auf I ]a, b[.
Beweis. Seien x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2 . Nach dem Mittelwertsatz 8.25 gibt es ein ξ ∈ ]x1 , x2 [
mit
f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (ξ)(x2 − x1 ) .
Ist nun zum Beispiel f ′ (x) > 0 für alle x ∈ ]a, b[, dann ist die rechte Seite und damit auch
die linke Seite positiv.
169
8 Eindimensionale Differentialrechnung
Bemerkung 8.28. 1. Die Diﬀerenzierbarkeit ist wie auch die Stetigkeit nicht notwendig für
die Monotonie.
2. Im allgemeinen zerlegt man den Deﬁnitionsbereich D(f ) einer Funktion in MonotonieIntervalle.
8.3.4 Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion
Es sei f : D(f ) ⊆ R → R streng monoton mit D(f ) = [a, b] und W(f ) = f ([a, b]). Dann
existiert die Umkehrfunktion f −1 : W(f ) → D(f ) zu f mit f −1 (f (x)) = x für x ∈ D(f ) und
f (f −1 (x)) = x für x ∈ W(f ). Ist f streng monoton und stetig, so ist f −1 auch stetig, siehe
Satz 7.96.
Unter Verwendung der Ableitung erhält man folgende Aussage:
Satz 8.29. Sei f : D(f ) ⊆ R → R, D(f ) = ]a, b[ diﬀerenzierbar und sei entweder f ′ (x) > 0
für alle x ∈ ]a, b[ oder f ′ (x) < 0 für alle x ∈ ]a, b[. Dann existiert die Umkehrfunktion
f −1 : f (]a, b[) → ]a, b[ zu f , sie ist diﬀerenzierbar, und es gilt
′
1
für x ∈ f (]a, b[) .
f −1 (x) = ′ −1
f (f (x))
Beispiel 8.30. Sei f : ] − π2 , π2 [ → R mit f (x) = sin x. Es gilt f ′ (x) = cos x > 0 für
x ∈ ] − π2 , π2 [. Weiter haben wir f (] − π2 , π2 [) = ] − 1, 1[. Nach Satz 8.29 ist f somit invertierbar
(wir wissen schon f −1 (x) = arcsin x für x ∈ ] − 1, 1[) und es gilt
′
f −1 (x) =
1
1
1
=√
=q
cos(arcsin x)
1 − x2
1 − (sin(arcsin x))2
für x ∈ ] − 1, 1[ .
Mit den entsprechenden Untersuchungen folgen:
1
,
1 − x2
1
arctan′ x =
,
1 + x2
1
ln′ x =
x
1
,
log′a x =
x ln a
arcsin′ x = √
1
1 − x2
1
arccot′ x = −
1 + x2
arccos′ x = − √
für x ∈ R ,
für x > 0 ,
exp′a x = expa x · ln a
8.3.5 Interpretationen der Ableitung
Sei f : ]0, ∞[ → R diﬀerenzierbar in x ∈ ]0, ∞[.
170
für x ∈ ] − 1, 1[ ,
für x > 0, a > 1 ,
8.3 Differenzierbare Funktionen
• Ist y = f (x) der Konsum in Abhängigkeit vom Einkommen x, so bezeichnet man f ′ (x)
als marginale Konsumrate beim Einkommen x.
• Ist y = f (x) die Produktion in Abhängigkeit von einem Produktionsfaktor x, so bezeichnet man f ′ (x) als Grenzproduktivität des Produktionsfaktors beim Faktoreinsatz x.
• Ist y = f (x) eine Kostenfunktion in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x, so
bezeichnet man f ′ (x) als Grenzkosten bei der Produktionsmenge x.
Interpretationen, z. B. falls f monoton wachsend ist: Erhöht sich x auf x + 1, so ist f ′ (x)
eine Näherung für
• die Menge, die zusätzlich konsumiert wird,
• die Menge, die zusätzlich produziert wird,
• die Kosten, die zusätzlich entstehen.
8.3.6 Änderungsrate und Elastizität
Sei f : ]0, ∞[ → R diﬀerenzierbar in x ∈ ]0, ∞[. Dann gilt nach der Kettenregel
(ln ◦f )′ (x) = ln′ (f (x)) · f ′ (x) =
1
f ′ (x)
· f ′ (x) =
.
f (x)
f (x)
Definition 8.31. Unter obigen Voraussetzungen heißt (ln ◦f )′ (x) =
f ′ (x)
f (x)
logarithmische
Ableitung oder Änderungsrate von f an der Stelle x. Die Zahl
εf (x) :=
f ′ (x)
f (x)
x
=
x · f ′ (x)
f (x)
heißt Elastizität von f an der Stelle x. Die Funktion f heißt elastisch, proportionalelastisch bzw. unelastisch, wenn εf (x) > 1, εf (x) = 1 bzw. εf (x) < 1 gilt.
Beispiel 8.32. Sei f eine Produktionsfunktion. Dann bedeutet Elastizität bzw. Unelastizität bei x, dass die Grenzproduktivität f ′ (x) größer bzw. kleiner als die Durchschnittsproduktivität f (x)
x ist.
171
8 Eindimensionale Differentialrechnung
Rechenregeln für die Elastizität ergeben sich aus denen der Ableitung:
εαf +βg (x) =
(αf + βg)′ (x)
(αf +βg)(x)
x
=
g(x)
α f (x)
αf ′ (x) + βg ′ (x)
x εf (x) + β x εg (x)
=
1
1
x (αf (x) + βg(x))
x (αf (x) + βg(x))
αf (x)εf (x) + βg(x)εg (x)
, wenn αf (x) + βg(x) 6= 0 ,
αf (x) + βg(x)
f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
f ′ (x)
g ′ (x)
(f · g)′ (x)
=
=
+
= εf (x) + εg (x) ,
εf ·g (x) = 1
1
1
1
x (f · g)(x)
x f (x) · g(x)
x f (x)
x g(x)
=
f ′ (x)g(x)−f (x)g ′ (x)
(f : g)′ (x)
f ′ (x)
g ′ (x)
g(x)2
εf :g (x) = 1
=
= 1
− 1
= εf (x) − εg (x) ,
1
x (f : g)(x)
x f (x) · g(x)
x f (x)
x g(x)
f ′ (g(x)) · g ′ (x)
f ′ (g(x))
g ′ (x)
(f ◦ g)′ (x)
=
= 1
= εf (g(x)) · εg (x) .
· 1
εf ◦g (x) = 1
1
x f ◦ g)(x)
x f (g(x))
g(x) f (g(x)) x g(x)
Beispiel 8.33. Maximierer der Durchschnittsproduktivität g : ]0, ∞[ → ]0, ∞[, g(x) =
f (x)/x. Dann gilt
f ′ (x0 )x0 − f (x0 )
,
0 = g ′ (x0 ) =
x20
woraus f ′ (x0 )x0 − f (x0 ) = 0 und somit
εf (x0 ) =
x0 f ′ (x0 )
=1
1
x0 f (x0 )
folgt. Für einen lokalen Maximierer x0 stimmen also Durchschnittsproduktivität und Grenzproduktivität überein und die Produktivität ist proportional-elastisch im Maximierer x0 .
02.06.10
Analoges gilt für lokale Minimierer.
Beispiel 8.34. Sei f : ]0, ∞[ → ]0, ∞[ eine diﬀerenzierbare Preis-Absatz-Funktion. Dann
ist die preisabhängige Umsatzfunktion u : ]0, ∞[ → ]0, ∞[ mit u(p) = p · f (p) diﬀerenzierbar
und für den Grenzumsatz u′ (p) gilt
!
′ (p)
f
= f (p) · (1 + εf (p)) .
u′ (p) = f (p) + p · f ′ (p) = f (p) · 1 + 1
p f (p)
Für die Preiselastizität εu (p) des Umsatzes ergibt sich
εu (p) =
f (p) · (1 + εf (p))
u′ (p)
=
= 1 + εf (p) ,
1
1
p u(p)
p · p · f (p)
was wir auch durch obige Rechenregeln erhalten hätten.
Wir nehmen nun an, dass f eine Umkehrfunktion f −1 ]0, ∞[ → ]0, ∞[ existiert. Dann ist die
mengenabhängige Umsatzfunktion v : ]0, ∞[ → ]0, ∞[ mit v(x) = x · f −1 (x) diﬀerenzierbar
172
8.4 Mehrfach differenzierbare Abbildungen
und für den Grenzumsatz v ′ (x) gilt
1
· f (f −1 (x)) + f −1 (x)
v ′ (x) = (f −1 )′ (x) · x + f −1 (x) = ′ −1
f (f (x))
f (f −1 (x))
1
−1
−1
= f (x) · 1 + −1
= f (x) · 1 +
.
f (x) · f ′ (f −1 (x))
εf (f −1 (x))
Für die Mengenelastizität εv (x) ergibt sich
εv (x) =
v ′ (x)
x·
v(x)
Die Gleichung
=
x · f −1 (x) · 1 +
x·
1
εf
−1
f (x)
v ′ (x) = f −1 (x) · 1 +
(f −1 (x))
=1+
1
εf (f −1 (x))
1
εf
(f −1 (x))
.
heißt Amorso-Robinson-Gleichung . Bemerkenswert ist, dass nur die Elastizität von f
und nicht die von f −1 benötigt wird.
8.4 Mehrfach differenzierbare Abbildungen
8.4.1 Höhere Ableitungen
Wenn eine Funktion f diﬀerenzierbar ist, kann man wieder nach der Diﬀerenzierbarkeit von
f ′ fragen, was zur rekursiven Deﬁnition von Ableitungen höherer Ordnung führt:
Definition 8.35. Sei f : D(f ) ⊆ R → R. Wir setzen f (0) := f , f (1) := f ′ mit D(f (0) ) :=
D(f ) und D(f (1) ) = D(f ′ ). Sei nun f (k−1) : D(f (k−1) ) ⊆ R → R deﬁniert mit k ≥ 2. Dann
heiße f k-mal diﬀerenzierbar in x0 , wenn f (k−1) in x0 diﬀerenzierbar ist. Die Funktion
f (k) : D(f (k) ) ⊆ R → R mit
f
und
(k)
(x) := f
(k−1)
′
(x) für x ∈ D(f (k) )
D(f (k) ) := {x0 ∈ D(f (k−1) : f (k−1) ist in x0 diﬀerenzierbar}
heißt k-te Ableitungsfunktion von f .
f heißt k-mal (stetig) diﬀerenzierbar , wenn f k-mal diﬀerenzierbar ist mit D(f (k) ) =
D(f ) (und f (k) stetig ist).
Bemerkung 8.36. Anstelle f (2) , f (3) wird auch f ′′ , f ′′′ verwendet.
173
8 Eindimensionale Differentialrechnung
Definition 8.37. Die Menge der stetigen Funktionen f : D ⊆ R → R wird mit C 0 (D)
bezeichnet. Die Menge der k-mal stetig diﬀerenzierbaren Funktionen f : D ⊆ R → R wird
mit C k (D) bezeichnet. Die Menge der beliebig oft stetig diﬀerenzierbaren Funktionen f : D ⊆
R → R wird mit C ∞ (D) bezeichnet.
Beispiel 8.38. Polynome sind auf ganz R beliebig oft (stetig) diﬀerenzierbar. Zum Beispiel
gilt für f (x) = 3x4 − 2x + 1:
f ′ (x) = 12x3 − 2 ,
f ′′ (x) = 36x2 ,
f ′′′ (x) = 72x ,
f (4) (x) = 72
und f (k) (x) = 0 für k ≥ 5.
Beispiel 8.39. Potenzreihen sind in ihrem Konvergenzbereich beliebig oft diﬀerenzierbar,
∞
∞
∞
n=0
n=0
n=1
X
X d
d X
an xn =
an xn =
nan xn−1 .
dx
dx
8.4.2 Krümmungsverhalten und hinreichende Bedingung für Extrema
Definition 8.40. Wir nennen f : ]a, b[ → R
• linksgekrümmt oder konvex , wenn f ′′ (x) > 0 gilt auf ]a, b[,
• rechtsgekrümmt oder konkav , wenn f ′′ (x) < 0 gilt auf ]a, b[.
Ein Punkt x0 ∈ [a, b], in dem f das Krümmungsverhalten wechselt, heißt Wendepunkt von
f.
Kandidaten für Wendepunkte sind also Punkte aus [a, b],
• an denen f ′′ (x) = 0 gilt, oder
• an denen f ′ nicht diﬀerenzierbar ist.
Satz 8.41. Sei f : ]a, b[ → R zweimal diﬀerenzierbar, x0 ∈ ]a, b[ und sei Txf0 ,1 : R → R mit
Txf0 ,1 (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) die lineare Approximation von f an der Stelle x0 .
a) ist f auf ]a, b[ linksgekrümmt, so gilt f (x) ≥ f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) für alle x ∈ ]a, b[.
b) ist f auf ]a, b[ rechtsgekrümmt, so gilt f (x) ≤ f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) für alle x ∈ ]a, b[.
Beweis. Untersuche die Hilfsfunktion h(x) = f (x) − f (x0 ) − f ′ (x0 ) · (x − x0 ), für die h(x0 ) =
h′ (x0 ) = 0 gilt.
Satz 8.42 (Hinreichende Bedingung für Extrema). Sei f : ]a, b[ → R zweimal diﬀerenzierbar
in x0 ∈ ]a, b[ mit f ′ (x0 ) = 0. Wenn f ′′ (x0 ) > 0, so ist x0 lokale Minimalstelle von f , wenn
f ′′ (x0 ) < 0, so ist x0 lokale Maximalstelle von f .
174
8.4 Mehrfach differenzierbare Abbildungen
Beweis. Sei f ′′ (x0 ) > 0. Dann gilt f ′ (x) < 0 bzw. f ′ (x) > 0 für x nahe x0 mit x < x0 bzw.
x > x0 . Dies heißt nun wieder, dass f in der Nähe von x0 links von x0 streng monoton
fallend und rechts von x0 streng monoton wachsend ist.
Ist f ′′ (x0 ) = 0, so kann man eventuell eine Entscheidung durch die Untersuchung höherer
Ableitungen treﬀen.
8.4.3 Konvergenz des Newton-Verfahrens
Das Newton-Verfahren, siehe Abschnitt 8.1.3, ist ein so genanntes lokal konvergentes Verfahren. Konvergenz der in der Newton-Iteration erzeugten Folge zu einer Nullstelle ist also
i. A. nur garantiert, wenn der Startwert schon „ausreichend nahe“ an der Nullstelle liegt. Ist
der Startwert zu weit weg, kann alles passieren:
• Die Folge divergiert, der Abstand zur Nullstelle wächst über alle Grenzen.
• Die Folge divergiert, bleibt aber beschränkt. Sie kann z. B. periodisch werden, d. h.
endlich viele Punkte wechseln sich in immer derselben Reihenfolge ab. Man sagt auch,
dass die Folge oszilliert.
• Die Folge konvergiert, aber nicht gegen die gewünschte sondern eine andere Nullstelle.
Satz 8.43. Sei f auf einem oﬀenem Intervall I um die Nullstelle x∗ zweimal stetig diﬀerenzierbar. Wenn
|f ′′ (x)f (x)| < |f ′ (x)|2
(8.6)
für x ∈ I gilt und wenn der Startwert x0 in I liegt, so konvergiert die Newton-Iteration
gegen x∗ .
Ist f auf einem oﬀenem Intervall J um x∗ zweimal stetig diﬀerenzierbar und gilt f ′ (x∗ ) 6= 0,
so gilt (8.6) zumindest auf kleinen Intervallen I um x∗ .
Bemerkung 8.44. Unter den Voraussetzungen des vorherigen Satzes konvergiert das NewtonVerfahren quadratisch, d.h., mit einer Konstanten M gilt
|xk+1 − x∗ | ≤ M |xk − x∗ |2
für k ∈ N .
Anschaulich bedeutet dies, dass sich die Anzahl der bereits richtig berechneten Dezimalstellen bei jeder Iteration ungefähr verdoppelt, wenn sich die Iterierten der Nullstelle x∗
genügend angenähert haben.
8.4.4 Kurvendiskussion
Eine Kurvendiskussion einer Funktion f ist die Bestimmung aller Nullstellen, Polstellen,
lokalen und globalen Extrema, damit der Monotonie-Intervalle, der Wendepunkte und der
konkaven und konvexen Verhaltens sowie die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens.
175
8 Eindimensionale Differentialrechnung
Beispiel 8.45. Wir betrachten f : R \ {−1} → R mit
f (x) =
x−2
.
(x + 1)2
Nullstellen: x0 = 2 ist die einzige Nullstelle von f , da x0 = 2 die einzige Nullstelle des
Zählers ist und x0 ∈ D(f ) gilt.
Polestellen: xp = −1 ist einziger Pol und von 2. Ordnung, da xp die einzige Nullstelle des
Nenners ist, zweifache Nullstelle des Nenners aber keine Nullstelle des Zählers ist.
Ableitungen: Es gelten
5−x
(x + 1)2 − (x − 2) · 2 · (x + 1)
=
,
(x + 1)4
(x + 1)3
−(x + 1)3 − (5 − x) · 3 · (x + 1)2
2x − 16
f ′′ (x) =
=
,
6
(x + 1)
(x + 1)4
−6x + 66
f ′′′ (x) =
.
(x + 1)5
f ′ (x) =
Extremalstellen: xE = 5 ist (die einzige) lokale Maximalstelle mit f (xE ) =
und f ′′ (xE ) < 0 gilt. Eine lokale Minimalstelle existiert nicht.
1
12 ,
da f ′ (xE ) = 0
Monotoniebereiche: f ist monoton fallend auf ] − ∞, −1[ ∪ [5, ∞[ und monoton wachsend auf
] − 1, 5].
Wendepunkte: xW = 8 ist (der einzige) Wendepunkt, da f ′′ (xW ) = 0 und f ′′′ (xW ) 6= 0).
Konvexitäts- und Konkavitätsbereiche: f ist konvex über [8, ∞[ und konkav über ] − ∞, 1[
und ]1, 8].
Asymptotisches Verhalten: Es gelten
lim f (x) = 0 und
x→∞
lim f (x) = 0 .
x→−∞
Beispiel 8.46. Ein Unternehmen produziere ein Erzeugnis entsprechend der Produktionsfunktion f : [0, 36] → R mit
f (x) = −0.2x3 + 12x2 + 24.6x ,
d. h. es werden y = f (x) Stück produziert in Abhängigkeit von Produktionsfaktor x. Es stehen pro Produktionsperiode maximal 36 Einheiten des Produktionsfaktors x zur Verfügung,
woraus sich der Deﬁnitionsbereich ergibt.
Nullstellen: Wegen f (x) = −0.2x(x2 − 60x − 123) = 0.2x(x − 61.98)(x + 1.98) ist x0 = 0 die
einzige Nullstelle von f .
Extrema und Monotoniebereiche: Es gilt f ′ (x) = −0.6x2 + 24x + 24.6. Da das quadratische
Polynom p(x) = −0.6x2 + 24x + 24.6 nur die Nullstellen x1 = −1 und x2 = 41 hat, welche
nicht in D(f ) = D(f ′ ) liegen, besitzt f keine kritischen Punkte. Wegen f ′ (x) > 0 für
x ∈ [0, 36] ist f streng monoton wachsend. Daher ist x = 0 wegen f (0) = 0 eine Minimalstelle
176
8.4 Mehrfach differenzierbare Abbildungen
mit globalen Minimalwert 0 und wegen f (36) = 7106.4 ist x = 36 eine Maximalstelle mit
globalen Maximalwert 7106.4.
Wendepunkte, Konvexität, Konkavität: Wegen f ′′ (x) = −1.2x + 24 und f ′′′ (x) = −1.2 ist
xW = 20 ein Wendepunkt von f , d. h. die Grenzproduktivität f ′ ist für x = 20 maximal. Für
kleinere Werte des Produktionsfaktors x (d. h. x < 20) ist die Produktion y = f (x) progressiv
wachsend (d. h. f ′′ (x) > 0), für größere Werte von x (d. h. x > 20) ist die Produktion
y = f (x) degressiv wachsend (d. h. f ′′ (x) < 0).
Beispiel 8.47. Wir betrachten die logistische Funktion f : [0, ∞[ → R mit
f (x) =
a
1 + be−cx
und a, b, c > 0.
Nullstellen: Wegen f (x) > 0 für x ≥ 0 besitzt f keine Nullstelle.
Polstellen: Wegen 1 + be−cx > 0 besitzt f keinen Pol. Es gelten
f ′ (x) =
abce−cx
,
(1 + be−cx )2
f ′′ (x) = abc2 e−cx
be−cx − 1
.
(1 + be−cx )3
Extrema: Wegen f ′ (x) > 0 für x ≥ 0 ist f streng monoton wachsend und besitzt keine
a
.
Maximalstelle und nur eine Minimalstelle x = 0 mit Minimalwert f (0) = 1+b
Wendepunkte: Für b > 1 ist xW = 1c ln b der (einzige) Wendepunkt von f . Für x < xW ist
f (x) progressiv wachsend und für x > xW ist f (x) degressiv wachsend. Im Fall 0 < b ≤ 1
existiert kein Wendepunkt.
Asymptotisches Verhalten: Es gilt
lim f (x) = lim
x→∞
x→−∞
a
a
=
=a.
1 + be−cx
1 + b · lim e−cx
x→∞
177
8 Eindimensionale Differentialrechnung
178
9 Eindimensionale Integralrechnung
9.1 Flächeninhalt und Stammfunktionen
9.1.1 Flächeninhalt
Beispiel 9.1. Wir betrachten eine Menge
G(f, a, b) im R2 , die nach unten durch die
Abszisse, nach oben durch den Graphen einer nichtnegativen, beschränkten Funktion
f : [a, b] → R und nach links bzw. rechts durch
die zur Ordinate parallelen Geraden durch (a, 0)
bzw. (b, 0) begrenzt ist, also die Fläche unter dem
Graphen einer Funktion f : [a, b] → R,
G(f, a, b) := {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)}.
y
f
G(f, a, b)
a
b
x
Wir wollen z.B. dieser Menge G(f, a, b) einen Flächeninhalt zuordnen.
Was wir kennen.
• Der Flächeninhalt von Rechtecken mit den Seitenlängen a und b ist das Produkt a · b
der Seitenlängen.
Was wir wollen.
1. Der Flächeninhalt einer Menge sollte verschiebungsinvariant sein: Wird die Menge
verschoben, sollte sich den Flächeninhalt nicht ändern.
2. Der Flächeninhalt einer Menge sollte, wenn er existiert, eine nichtnegative Zahl sein,
d. h., „Flächeninhalt von“ sollte eine Abbildung sein, welche Teilmengen von R2 nichtnegative, reelle Zahlen zuordnet.
3. Wird die Menge M geeignet in Teilmengen Mi zerlegt, so sollte sich der Flächeninhalt
von M als Summe der Flächeninhalte der Mi ergeben. Der Flächeninhalt sollte also
in geeignetem Sinne additiv sein.
4. Der Flächeninhaltsbegriﬀ sollte bei Rechtecken und allgemein bei Polygonen das ergeben, was wir schon kennen.
179
9 Eindimensionale Integralrechnung
9.1.2 Das Riemann-Integral
Die Grundidee bei der Verallgemeinerung des Flächeninhaltsbegriﬀes wird nun sein, f durch
Treppenfunktionen, d. h. stückweise konstanten Funktionen, anzunähern.
Definition 9.2. Seien xi , i = 0, . . . , N , mit a = x0 < x1 < · · · < xN = b. Dann heißt
Z = {x0 , x1 , . . . , xN } eine Zerlegung von [a, b]. Die Menge aller Zerlegungen von [a, b]
bezeichnen wir mit Z(a, b).
Definition 9.3. Sei M eine Menge. Eine Zahl s mit s ≤ m für alle m ∈ M heißt untere
Schranke von M . Die größte untere Schranke von M heißt Inﬁmum von M und wird mit
inf M bezeichnet. Analog werden obere Schranken und das Supremum sup M von M
deﬁniert.Ist g eine Funktion auf M , so setzen wir
inf g(x) := inf{g(x) : x ∈ M } ,
x∈M
sup g(x) := sup{g(x) : x ∈ M }
x∈M
Sei f : D(f ) ⊆ R → R, [a, b] ⊆ D(f ) auf [a, b] beschränkt und sei Z = {x0 , x1 , . . . , xN } ∈
Z(a, b). Wir betrachten
y
y
f
f
x
x
xi−1 xi
a = x0
s(f, Z) :=
N
P
inf
i=1 x∈[xi−1 ,xi ]
b = xN
{f (x) · (xi − xi−1 )
xi−1 xi
a = x0
bzw.
S(f, Z) :=
N
P
sup
i=1 x∈[xi−1 ,xi ]
b = xN
f (x) · (xi − xi−1 )
Definition 9.4. Die Zahlen s(f, Z) und S(f, Z) heißen die zur Zerlegung Z gehörende
Riemannsche Unter- bzw. Obersumme von f .
Oﬀenbar gilt s(f, Z) ≤ S(f, Z).
Die Idee ist nun, durch Verfeinerung der Zerlegung, den „Inhalt“ der Flächen immer besser
zu beschreiben.
180
9.1 Flächeninhalt und Stammfunktionen
Lemma 9.5. Sei einen a, b ∈ R mit a < b. Für jede auf [a, b] beschränkte Funktion
f : D(f ) ⊆ R → R, [a, b] ⊆ D(f ) existieren das Supremum bzw. das Inﬁmum
s(f, a, b) :=
sup s(f, Z) ,
S(f, a, b) :=
Z∈Z(a,b)
inf
Z∈Z(a,b)
S(f, Z)
der Riemannschen Unter- bzw. Obersummen von f auf [a, b].
Leider gilt nur
s(f + g, a, b) ≥ s(f, a, b) + s(g, a, b) ,
S(f + g, a, b) ≤ S(f, a, b) + S(g, a, b) ,
während die eine Größe nur sub-additiv ist, ist die andere nur super-additiv. Weder s(f ) noch
S(f ) sind daher als Flächeninhalt für allgemeine, beschränkte, nichtnegative f tatsächlich
brauchbar.
Eine Kombination von beiden ist aber geeignet:
Definition 9.6. Sei f : D(f ) ⊆ R → R. Wir nennen f (Riemann-) integrierbar auf
[a, b], wenn [a, b] ⊆ D(f ), f auf [a, b] beschränkt ist und wenn s(f, a, b) = S(f, a, b) gilt.
Ist f auf [a, b] Riemann-integrierbar, so heißt
Z
b
f := s(f, a, b) = S(f, a, b)
a
(Riemann-) Integral oder bestimmtes Integral von f über [a, b].
Rb
Bemerkung 9.7. a f wird gelesen als „Integral von f von a bis b“.
Rb
2. Anstelle von a f schreibt man auch
Z b
f (x) dx ,
a
gelesen als „Integral von f (x) dx von a bis b“. Es gilt aber
Z b
Z b
f (x) dx =
f (y) dy .
a
a
Die Bezeichnung
R der Integrationsvariablen ist also irrelevant.
3. Das Symbol ist einerseits ein stilisiertes S (von Summe kommend) und andererseits ein
stilisiertes I (von Integral kommend).
Definition 9.8. Die Menge aller Riemann-integrierbaren Funktion f : [a, b] → R wird mit
R(a, b) bezeichnet.
181
9 Eindimensionale Integralrechnung
Satz 9.9. 1. Jede Treppenfunktion auf [a, b] ist Riemann-integrierbar auf [a, b].
2. Jede auf [a, b] stetige Funktion ist Riemann-integrierbar auf [a, b].
3. Jede auf [a, b] monotone Funktion ist Riemann-integrierbar auf [a, b].
Satz 9.10. Sei f ∈ R(a, b) und sei f˜: [a, b] → R mit f˜(x) = f (x) für alle x ∈ [a, b] mit
Ausnahme von endlich vielen Punkten. Dann gilt auch f˜ ∈ R(a, b) und
Z b
Z b
f=
f˜ .
a
a
Damit hängen Integrierbarkeit und auch der Wert des Integrals nicht davon ab, welche Werte
die Funktion auf endlich vielen Punkten annimmt.
Definition 9.11. Sei f : D(f ) ⊆ R → R und a ≤ b. Wenn a ∈ D(f ), dann setzen wir
Za
f := 0 ,
a
Za
f := −
b
Zb
f.
a
Damit ist das Integral für beliebige Grenzen a, b mit [a, b] ⊆ D(f ) oder [b, a] ⊆ D(f )
festgelegt.
Satz 9.12. Es gelten:
1. f ∈ R(a, b) ∧ [c, d] ⊆ [a, b] =⇒ f [c,d] ∈ R(c, d).
2. Sei c ∈ [a, b]. Dann f ∈ R(a, b) ⇐⇒ f [a,c] ∈ R(a, c) ∧ f [c,b] ∈ R(c, b).
Rb
Rc
Rb
3. f ∈ R(a, b) ∧ c ∈ [a, b] =⇒ a f = a f + c f (Additivität bezüglich Integrationsbereiches).
Definition 9.13. Für nichtnegatives, auf [a, b] Riemann-integrierbares f : D(f ) ⊆ R → R
setzen wir den Flächeninhalt von G(f, a, b) als
Z b
|G(f, a, b)| :=
f.
a
9.1.3 Anwendungen
9.1.3.1 Flächeninhalt allgemeiner Flächen
Der Flächeninhaltsbegriﬀ kann auf allgemeinere Flächen verallgemeinert werden.
182
9.1 Flächeninhalt und Stammfunktionen
Definition 9.14. Sei f ∈ R(a, b). Der Flächeninhalt
der durch den Graphen von f , der Abszissen und den
zur Ordinate parallelen Geraden durch (a, 0) und (b, 0)
begrenzten Menge G wird deﬁniert als
Z b
|G| :=
|f | .
f
a
b
a
Man erhält ihn durch Hochklappen der unterhalb der Abszisse liegenden Teile der Fläche,
d.h., durch Betrachtung von |f | anstelle von f .
Wir betrachten nun Mengen G(f, g, a, b), die nach unten und oben durch die Graphen von
auf [a, b] Riemann-integrierbaren Funktionen f , g mit g(x) ≥ f (x) für x ∈ [a, b] und nach
links bzw. rechts durch die zur Ordinate parallelen Geraden durch (a, 0) bzw. (b, 0) begrenzt
sind,
also die Fläche
G(f, g, a, b) := {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b],
g
f (x) ≤ y ≤ g(x)} ,
siehe Bild. Man erhält
|G(f, g, a, b)| =
Z
a
b
(g − f ) .
a
f
b
Oftmals kann eine gegebene Menge G durch
achsenparallele Schnitte in mehrere Teilmengen zerlegt werden, deren Inhalt einzeln nach
dieser Formel berechnet werden kann.
Beachte, dass die berandeten Kurven Graphen von Funktionen sein müssen (keine Doppeldeutigkeit!).
9.1.3.2 Geometrischer Schwerpunkt
Als eine Anwendung des Integrals kann der geometrische Schwerpunkt S = (x, y) einer
Fläche G(f, g, a, b) mit f, g ∈ R(a, b) und g(x) ≥ f (x) für x ∈ [a, b] berechnet werden. Für
diesen gelten die Formeln
1
x=
|G(f, g, a, b)|
Zb
a
x (g(x) − f (x)) dx ,
1
y=
|G(f, g, a, b)|
Zb
a
1
2
g(x)2 − f (x)2 dx .
183
9 Eindimensionale Integralrechnung
Setzt sich die betrachtete Fläche G aus N solchen Teilbereichen Gi zusammen und berechnet
man die Schwerpunkte (x̄i , ȳi ), i = 1, . . . , N , der Teilﬂächen, so gelten für den Gesamtschwerpunkt (x̄, ȳ) die Formeln
x̄ =
09.06.10
1
(|G1 |x̄1 + |G2 |x̄2 + · · · + |GN |x̄N ) ,
|G|
ȳ =
1
(|G1 |ȳ1 + |G2 |ȳ2 + · · · + |GN |ȳN ) .
|G|
Für weitere Formeln siehe Lehrbücher und Formelsammlungen.
9.1.4 Stammfunktionen und unbestimmtes Integral
Häuﬁg ist eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R gegeben und eine Funktion F : D(f ) ⊆ R → R
ist gesucht, welche der Gleichung
F ′ (x) = f (x) für x ∈ D(f )
genügt. Diese Gleichung ist eine sehr einfache Form einer Diﬀerentialgleichung, siehe später.
Beispiel 9.15. Es seien I(t) die Netto-Investitionsgeschwindigkeit (Stromfunktion) einer
Volkswirtschaft und K(t) der Kapitalstock der Volkswirtschaft zum Zeitpunkt t. Dann ist die
zeitliche Änderung K ′ (t) des Kapitalstocks gleich der Netto-Investition I(t) zum Zeitpunkt
t, d. h. es gilt
K ′ (t) = I(t) .
Definition 9.16. Sei I ein Intervall. Eine Funktion F : I → R heißt Stammfunktion von
f : I → R, wenn F diﬀerenzierbar auf I ist und F ′ (x) = f (x) für alle x ∈ I gilt.
Beispiel 9.17. 1. Wir betrachten f = sin mit I = R. Die Funktion F1 : R → R mit F1 (x) =
− cos x ist eine Stammfunktion von sin. Die Funktion F2 : R → R mit F2 (x) = 2.3 − cos x
ist auch eine Stammfunktion von sin.
2. Wir betrachten f : I → R mit f (x) = x1 für x ∈ I = ]0, ∞[. Eine Stammfunktion von
f ist F1 : I → R mit F1 (x) = ln x. Eine weitere Stammfunktion von f ist F2 : I → R mit
F2 (x) = ln x + 2.
3. Wir betrachten f : I → R mit f (x) =
f ist F : I → R mit F (x) = ln |x|.
1
x
für x ∈ I = ] − ∞, 0[. Eine Stammfunktion von
Lemma 9.18. Sei I ein Intervall und sei f : I → R.
1. Wenn F1 , F2 : I → R Stammfunktionen von f sind dann ist F1 − F2 eine Konstante.
2. Wenn F eine Stammfunktion von f ist , dann ist F + C für jedes C ∈ R eine Stammfunktion von f .
184
9.1 Flächeninhalt und Stammfunktionen
Beweis. 1. Es gilt (F1 − F2 )′ (x) = F1′ (x) − F2′ (x) = f (x) − f (x) = 0 für alle x ∈ I. Nach
dem Mittelwertsatz (Satz 8.25) ist F1 − F2 konstant auf I.
2. Sei x0 ∈ I beliebig. Aus F ′ = f und C ∈ R folgt (F + C)′ (x0 ) = F ′ (x0 ) + C ′ = F ′ (x0 ) =
f (x0 ).
Definition 9.19. Sei I ein Intervall. Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion
f : I → R heißt unbestimmtes Integral von f und wird bezeichnet mit
Z
Z
f
oder
f (x) dx (auf I).
Bei der zweiten Bezeichnung muss das Intervall I mindestens im Kontext angegeben werden.
Beispiel 9.20. Es seien I = ]0, ∞[, f, F : I → R mit f (x) = x1 , F (x) = ln x für x ∈ I
und J = ] − ∞, 0[ g, G : J → R mit g(x) = x1 , G(x) = ln |x| für x ∈ J. Dann sind f und g
verschiedene Funktionen und es gelten
Z
Z
Z
Z
F ∈ f, G∈ g
bzw. F ∈ f (x)dx auf I , G ∈ g(x)dx auf J .
Satz 9.21. Sei I ein Intervall und sei F eine Stammfunktion von f : I → R. Dann gilt
Z
f = {F + C : C ∈ R} .
(9.1)
Bemerkung 9.22. Anstelle (9.1) wird auch, verkürzt,
Z
f (x) dx = F (x) + C
geschrieben. Dies ist aber nicht korrekt:
Links steht eine Menge von Funktionen (wobei die Bezeichnung der Integrationsvariablen
irrelevant ist, da sie gebunden ist),
Z
Z
Z
f (x) dx = f (y) dy = f ,
rechts steht aber der Wert einer Funktion an einer nicht genauer speziﬁzierten Stelle x:
{F + C : C ∈ R} =
6 F (x) + C .
Eine Tabelle von Stammfunktionen zu ausgewählten Funktionen erhält man, indem man
eine Liste von diﬀerenzierbaren Funktionen erstellt und neben einer solchen Funktion die
185
9 Eindimensionale Integralrechnung
Ableitung schreibt. Kehrt man eine solche Tabelle um, erhält man eine Zuordnung von
Funktionen und Stammfunktionen:
Ableitung auf I
Funktion auf I
x 7→ xα
Funktion auf I
Stammfunktion auf I
x 7→
1
α+1
α+1 x
Intervall I
I = R>0 für α ∈ R \ Z
I = R \ {0} für α ∈ Z<−1
I = R für α ∈ N
I = ] − ∞, 0[ oder I = ]0, ∞[
x 7→ x−1
x 7→ ln |x|
exp
exp
I=R
sin
− cos
I=R
cos
sin
I=R
x 7→
x 7→
√ 1
1−x2
arcsin
I = ] − 1, 1[
1
1+x2
arctan
I=R
9.1.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Satz 9.23. Sei f ∈ C(a, b) und Φ : [a, b] → R mit
Z x
Φ(x) =
f für x ∈ [a, b] .
(9.2)
a
Dann ist Φ diﬀerenzierbar und es gilt Φ′ (x) = f (x) für x ∈ [a, b], d. h., Φ ist eine Stammfunktion zu f .
Beweis. Da f stetig ist, ist f für jedes x ∈ [a, b] auf [a, x] integrierbar, womit Φ korrekt
deﬁniert ist. Für x ∈ [a, b] und h 6= 0 mit x + h ∈ [a, b] gilt
Z
Z
1
1 x+h
1 x+h
(Φ(x + h) − Φ(x)) =
f=
(f (x) + f − f (x))
h
h x
h x
Z
Z
1 x+h
1 x+h
f (x) +
(f − f (x))
=
h x
h x
und daher
Φ(x + h) − Φ(x)
1
= lim
h→0
h→0 h
h
lim
d. h. Φ′ (x) = f (x).
186
Z
x
x+h
1
h→0 h
f (x) + lim
Z
x
x+h
(f − f (x)) = f (x) + 0 ,
9.1 Flächeninhalt und Stammfunktionen
Satz 9.24 (Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung). Ist f eine stetige Funktion
auf einem Intervall [a, b] und F eine beliebige Stammfunktion von f auf [a, b], dann gilt die
Newton-Leibniz-Formel
Z b
b
x=b
f = F (b) − F (a) =: F a = F (x)x=a .
(9.3)
a
Beweis. Sei F : [a, b] → R eine beliebige Stammfunktion einer Funktion f ∈ C([a, b]) und
sei Φ : [a, b] → R deﬁniert durch (9.2). Nach Lemma 9.18 existiert eine Konstante C mit
F =Φ+C .
Wegen F (a) = Φ(a) + C und Φ(a) = 0, folgt F (a) = C. Damit gilt
Mit Φ(x) =
Rx
a
Φ(x) = F (x) − C = F (x) − F (a) .
f und x = b folgt (9.3).
Bemerkung 9.25. Die Newton-Leibniz-Formel (9.3) stellt eine „Äquivalenz“ der Berechnung
des bestimmten Integral und der Stammfunktionen für die Klasse der stetigen Funktionen
auf einem Intervall [a, b], b > a, her:
f ∈ C([a, b])
=⇒
f ∈ R(a, b)
↓
↓
Rb
f hat Stammfunktion F →
a f = F (b) − F (a) .
Eine Verallgemeinerung von Satz 9.24 ist der folgende Satz:
Satz 9.26. Sei f ∈ R(a, b) und es existiere eine Stammfunktion F von f auf [a, b]. Dann
gilt (9.3).
Bemerkung 9.27. 1. Eine Funktion kann eine Stammfunktion haben, obwohl sie nicht
Riemann-integrierbar ist.
2. Eine Riemann-integrierbare Funktion braucht keine Stammfunktion zu haben.
Beispiel 9.28. a) Für n ∈ N gilt
Z b
1 · xn+1 x=b = 1 · bn+1 − an+1 ,
xn dx = n +
x=a
1
n+1
a
da x 7→
1
n+1 ,
n+1 x
′
x ∈ R, eine Stammfunktion zur stetigen Funktion x 7→ xn , x ∈ R, ist.
b) Wegen sin = cos, cos′ = − sin, gilt (− cos −2 sin)′ = sin −2 cos und daher
Z π
(sin x − 2 cos x) dx = − cos π − 2 sin π − (− cos 0 − 2 sin 0) = 2 .
0
187
9 Eindimensionale Integralrechnung
9.2 Integrationsmethoden
Im Allgemeinen treten schon in einfachen Fällen Schwierigkeiten bei der Bestimmung des
unbestimmten Integrals auf: Die Integration ist schwieriger als die Diﬀerentiation.
Kompliziertere Integrale versucht man, durch Umformung auf Grundintegrale zurückzuführen. Dazu werden die schon bekannten Diﬀerentiationsregel verwendet.
Der Einfachheithalber werden wir im Folgenden von den Integranden immer Stetigkeit voraussetzen. Wenn der Integrand aus aus mehreren Funktionen zusammengesetzt ist, werden
wir fordern, dass diese so glatt sind, dass der Integrand zumindest stetig wird. Weiter betrachten wir als Integrationsgebiete nur Intervalle positiver Länge. Damit sind stets die
Existenz von Stammfunktionen und die Riemann-Integrierbarkeit gesichert.
Gegebenenfalls sind also genauere Untersuchungen nötig, ob und wie die folgenden Aussagen
unter schwächeren Voraussetzungen anwendbar sind.
9.2.1 Linearität
Satz 9.29 (Linearkombination von Funktionen). Sei I ein Intervall positiver Länge. Seien
f, g : I → R stetig und λ, µ ∈ R.
1. Es gilt
Z
Z
Z
(λf + µg) = λ f + µ g ,
d. h., sind F und G Stammfunktionen zu f bzw. g, so ist λF + µG eine Stammfunktion zu
λf + µg, und umgekehrt.
2. Für a, b ∈ I gilt
Z b
Z b
Z b
(λf + µg) = λ
f +µ
g.
a
Beweis. 1. „⊇“: Seien F ∈
der Diﬀerentiation gilt
R
f und G ∈
a
R
a
g und sei H = λF + µG. Wegen der Linearität
H ′ = λF ′ + µG′ = λf + µg
R
Rb
Rb
Rb
und somit H ∈ (λf + µg), also λ a f + µ a g ⊆ a (λf + µg).
„⊆“: Die RAussage ist trivial, wenn λ = µ = 0. O. B. d. A. sei µ 6= 0.Seien H ∈
und F ∈ f beliebig. Wir setzen G = µ1 (H − λF ). Dann gilt
R
(λf + µg)
G′ = ( µ1 (H − λF ))′ = µ1 (λf + µg − λf ) = g .
R
R
R
R
Daraus
folgen
G
∈
g
und
H
=
λF
+
µG,
also
H
∈
λ
f
+
µ
g,
d.
h.
(λf + µg) ⊆
R
R
λ f + µ g.
188
9.2 Integrationsmethoden
2. Nach 1. und Hauptsatz 9.24 gilt
Z
b
a
(λf + µg) = λF (b) + µG(b) − λF (a) − µG(a)
= λF (b) − λF (a) + µG(b) − µG(a) = λ
Z
b
f +µ
a
Z
b
g.
a
Beispiel 9.30. Mit
Z
b
xn dx =
a
1
bn+1 − an+1
n+1
für n ∈ N erhalten wir die Integrale von Polynomen. Speziell gilt
Z1
0
3x − 2x + 5 d x = 3
2
Z1
0
2
x dx − 2
Z1
1
x dx + 5
0
Z1
x0 dx
0
1
1
1
= 3 13 − 03 − 2 12 − 02 + 5 (1 − 0) = 1 − 1 + 5 = 5 .
3
2
1
9.2.2 Partielle Integration
Als Folgerung aus der Produktregel der Diﬀerentialrechnung ergibt sich:
Satz 9.31. Sei I ein Intervall positiver Länge. Seien u, v : I → R stetig diﬀerenzierbar.
1. Ist F : D → R eine Stammfunktion von u′ v, so ist uv − F eine Stammfunktion von uv ′ ;
ist G : D → R eine Stammfunktion Zvon uv ′ , so istZuv − G eine Stammfunktion von u′ v, d. h.
uv ′ = uv −
2. Für a, b ∈ I gilt
Z
a
Beweis. 1. Sei F ∈
R
b
b
uv = (uv)a −
′
u′ v .
Z
b
u′ v .
(9.4)
a
u′ v. Dann ist uv − F ist diﬀerenzierbar mit
(uv − F )′ = (uv)′ − F ′ = u′ v + uv ′ − u′ v = uv ′ .
R
R
R
R
Somit gilt uv − u′ v ⊆ uv ′ , also uv ′ ⊇ uv − u′ v.
R
Sei G ∈ uv ′ . Dann ist −uv + G ist diﬀerenzierbar mit
(−uv + G)′ = −(uv)′ + G′ = −u′ v − uv ′ + uv ′ = −u′ v .
Somit gilt
R
R
R
R
uv ′ − uv ⊆ − u′ v, also uv ′ ⊆ uv − u′ v und damit die erste Behauptung.
2. Die zweite Behauptung folgt mit 1. und dem Hauptsatz 9.24.
189
9 Eindimensionale Integralrechnung
Bemerkung 9.32. Stammfunktionen bzw. Integrale können durch partielle Integration bestimmt werden für:
x 7→ xn ex ,
x 7→ xα ln x ,
x 7→ xn sin x ,
x 7→ xn cos x ,
x 7→ xn arctan x ,
x 7→ xn arcsin x .
Für die ersten drei Funktionen wird u(x) = xn verwendet. Nach n-maliger partieller Integration entsteht die Aufgabe der Bestimmung von Stammfunktion bzw. Integral von exp,
sin bzw. cos. Für die letzten drei Typen verwendet man v ′ (x) = xα bzw. v ′ (x) = xn . Vereinfachung entsteht hier durch Diﬀerentiation der transzendenten Ausdrücke.
Beispiel 9.33. Mit u(x) = x, v ′ (x) = cos x und damit u′ (x) = 1, v(x) = sin x gilt
Z
Z
dx
=
(x
→
7
x
sin
x
)
−
1 · sin
x dx .
x
·
cos
x
| {z }
|{z}
|{z}
|{z} | {z }
u(x)
v ′ (x)
u(x)v(x)
u′ (x)
v(x)
Mit u(x) = x, v ′ (x) = sin x und damit u′ (x) = 1, v(x) = − cos x gilt
Z
Z
dx
=
(x
→
7
−x
cos
x
)
−
1 · (− cos x) dx .
x
·
sin
x
|{z}
|{z} |{z}
| {z }
| {z }
u(x)
v ′ (x)
u(x)v(x)
u′ (x)
v(x)
und daher:
Funktion auf I
Stammfunktion auf I
x 7→ x · cos x
x 7→ x sin x + cos x
I=R
x 7→ x · sin x
x 7→ −x cos x + sin x
I=R
Beispiel 9.34. Mit u(x) = x2 und v ′ (x) = cos x und damit u′ (x) = 2x, v(x) = sin x gilt
Z
Z
2
2
sin x}) − |{z}
2x sin
x dx .
x cos
|{z}
|{z}
| {zx} dx = (x 7→ |x {z
u(x) v ′ (x)
u(x)v(x)
u′ (x) v(x)
Mit u(x) = 2x und v ′ (x) = sin x und damit u′ (x) = 2, v(x) = − cos x gilt
Z
Z
2x sin
x dx = (x 7→ |−2x{zcos x}) − |{z}
2 (− cos x) dx .
|{z}
|{z}
| {z }
u(x) v ′ (x)
u(x)v(x)
u′ (x)
v(x)
Damit folgt:
Funktion auf I
Stammfunktion auf I
x 7→ x2 · cos x
x 7→ x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x
x 7→
190
x2
· sin x
x 7→
−x2 cos x
+ 2x sin x + 2 cos x
I=R
I=R
9.2 Integrationsmethoden
Speziell haben wir
Z
0
π
x=π
x2 sin x dx = −x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x x=0 = π2 + 0 − 2 − 0 − 0 − 2 = π2 − 4 .
Beispiel 9.35. Mit u(x) = sin x, v ′ (x) = ex und damit u′ (x) = cos x, v(x) = ex gilt
Z
x
x
sin
x |{z}
e dx = (x 7→ sin
e )−
x |{z}
|{z}
|{z}
u(x) v ′ (x)
u(x) v(x)
Z
ex dx .
cos
| {zx} |{z}
u′ (x) v(x)
Wir wenden erneut partielle Integration an mit u(x) = cos x, v ′ (x) = ex und damit u′ (x) =
− sin x, v(x) = ex und erhalten
Z
x
x
x
e )+
sin x e dx = (x 7→ e sin x) − (x 7→ cos
| {zx} |{z}
u(x) v(x)
Damit gilt
x 7→
1 ex (sin x − cos x)
2
Mit den entsprechenden Untersuchungen für
R
∈
Z
Z
(− sin x) ex dx .
| {z } |{z}
u′ (x)
ex sin x dx .
ex cos x dx erhalten wir:
Funktion auf I
Stammfunktion auf I
x 7→ ex · sin x
x 7→ 21 ex (sin x − cos x)
I=R
x 7→ 21 ex (sin x + cos x)
x 7→ ex · cos x
v(x)
I=R
Speziell haben wir
Z
x=π
ex sin x dx = 12 ex (sin x − cos x) x=−π = 21 eπ − e−π = sinh π .
−π
π
Beispiel 9.36. Auf R>0 gilt
Z
ln x dx =
Z
ln x · |{z}
1 dx = (x 7→ |{z}
ln x · |{z}
x )−
|{z}
u(x)
v ′ (x)
u(x)
v(x)
Z
und daher:
Funktion auf I
Stammfunktion auf I
x 7→ ln x
x 7→ x ln x − x
1
x dx
|{z}
x
|{z} v(x)
u′ (x)
I = R>0
191
9 Eindimensionale Integralrechnung
Beispiel 9.37. Mit u(x) = cos x und v ′ (x) = cos x und damit u′ (x) = − sin x, v(x) = sin x
gilt
Z
Z
Z
2
cos x dx = cos
x dx
x) − (− sin x) sin
| {zx} cos
| {zx} dx = (x 7→ cos
| {zx} sin
|{z}
| {z } |{z}
u(x) v ′ (x)
u(x) v(x)
= (x 7→ sin x cos x) +
Z
u′ (x)
2
v(x)
(1 − cos x) dx = (x 7→ x + sin x cos x) −
und damit
(x 7→ 12 (x + sin x cos x)) ∈
Mit sin2 + cos2 = 1 folgt:
Z
Z
cos2 x dx
cos2 x dx .
Funktion auf I
Stammfunktion auf I
x 7→ cos2 x
x 7→ 21 (x + sin x cos x)
I=R
x 7→ sin2 x
x 7→ 21 (x − sin x cos x)
I=R
9.2.3 Die direkte Substitutionsmethode
Die Kettenregel für die Diﬀerentiation von zusammengesetzten Funktionen führt zu einer
Methode der Transformation bestimmter Integrale, der Substitutionsmethode.
Satz 9.38 (Direkte Substitution). Seien I und J Intervalle positiver Länge. Sei ϕ : I → R
stetig diﬀerenzierbar mit W(ϕ) ⊆ J und sei f : J → R stetig. Dann gilt
Z Z
′
(f ◦ ϕ) · ϕ =
f ◦ϕ,
(9.5)
d. h.,wenn F : J → R eine Stammfunktion zu f ist, so ist F ◦ ϕ : I → R eine Stammfunktion
zu (f ◦ ϕ) · ϕ′ .
2. Wenn ϕ : [a, b] → R stetig diﬀerenzierbar mit ϕ([a, b]) ⊆ [c, d] ist und f : [c, d] → R stetig
ist, dann gilt
Z ϕ(b)
Z b
′
f.
(9.6)
(f ◦ ϕ) · ϕ =
a
ϕ(a)
R
Sei F ∈ f . Nach der Kettenregel gilt (F ◦ ϕ)′ = (f ◦ ϕ) · ϕ′ und daher
R
RBeweis. 1. „⊇“:
f ◦ ϕ.
(f ◦ ϕ) · ϕ′ ⊇
R
„⊆“: Sei F ∈ f . Dann ist F ◦ ϕ eine Stammfunktion zu (f ◦ ϕ) · ϕ′ . Sei G eine beliebige
Stammfunktion zu (f ◦ ϕ) · ϕ′ . Nach Lemma 9.18 existiert ein C ∈ R mit
G = F ◦ ϕ + C = (F + C) ◦ ϕ .
192
9.2 Integrationsmethoden
R
Wieder
nach
Lemma
9.18
ist
auch
F
+C
eine
Stammfunktion
zu
f
.
Damit
folgt
G
∈
(
f )◦ϕ,
R R
f ◦ ϕ.
also (f ◦ ϕ) · ϕ′ ⊆
2. Sei F eine Stammfunktion zu f . Mit 1. und dem Hauptsatz 9.24 folgt
Z ϕ(b)
Z b
b
f = F (ϕ(b)) − F (ϕ(a)) = F ◦ ϕa =
(f ◦ ϕ) · ϕ′ .
ϕ(a)
a
Bemerkung 9.39. Beim unbestimmten Integral ist darauf zu achten, dass die Stammfunktion
F von f noch mit der Substitution ϕ zu verknüpfen ist. Man beachte dies bei der Anwendung
von Nachschlagewerken, bei denen dies meist nicht richtig vermerkt ist.
Bemerkung 9.40. Formal kann man sich die direkte Substitution in folgender Weise merken:
In
Z b
Z b
′
(f ◦ ϕ) · ϕ =
f (ϕ(x)) · ϕ′ (x) dx
a
a
führen wir die Substitution z = ϕ(x) durch, und dazu ersetzen wir
ϕ(x)
ϕ′ (x) dx
a
b
und erhalten
Z
durch
durch
durch
durch
b
a
z,
dz , (formal, da ϕ′ (x) =
ϕ(a) ,
ϕ(b)
′
(f ◦ ϕ) · ϕ =
Z
ϕ(b)
f (z) dz =
ϕ(a)
Z
dz
dx )
ϕ(b)
f.
ϕ(a)
Folgerung 9.41 (Lineare Substitution). Seien c, d ∈ R mit c 6= 0 und sei f : D(f ) ⊆ R → R
stetig.Sei I ein Intervall positiver Länge, ϕ : I → R mit ϕ(x) = cx + d ∈ D(f ) für x ∈ I.
Dann gilt
Z
Z
Z
′
1
1
f (cx + d) dx = c f (ϕ(x))ϕ (x) dx = c f ◦ ϕ auf I.
Wenn zusätzlich [a, b] ⊆ I gilt, so gilt
Z
b
f (cx + d) dx =
a
1
c
Z
ϕ(b)
f=
ϕ(a)
1
c
Z
cb+d
f.
ca+d
Speziell gilt:
Funktion auf I
x 7→ cos(kx + ω)
x 7→ sin(kx + ω)
Stammfunktion auf I
x 7→
1
k
sin(kx + ω)
x 7→ − k1 cos(kx + ω)
I = R, k 6= 0
16.06.10
I = R, k 6= 0
193
9 Eindimensionale Integralrechnung
Weiter erhalten wir:
Funktion auf I
1
x−a
x 7→
x 7→
Stammfunktion auf I
x 7→ ln |x − a|
1
(x−a)k
x 7→
1
1−k
a 6∈ I
(x − a)1−k
a 6∈ I, k ∈ N>1
Wir erhalten:
Für a 6∈ [A, B] gelten
Z
B
x=B
dx
= ln |x − a|x=A = ln |B − a| − ln |A − a| ,
A x−a
Z B
1
1
dx
1
1−k x=B
(x
−
a)
(B − a)1−k −
(A − a)1−k
=
=
x=A
k
1
−
k
1
−
k
1
−
k
(x
−
a)
A
für k > 1 .
Sei ϕ ∈ C 1 (I) mit 0 6∈ W(ϕ). Mit f : J → R mit f (x) = x1 für x ∈ J und J = ] − ∞, 0[ oder
J = ]0, ∞[ gilt
Z Z ′
Z
ϕ (x)
′
f ◦ ϕ auf I
dx = f (ϕ(x))ϕ (x) dx =
ϕ(x)
und daher
Z
Wir erhalten:
Funktion auf I
x 7→
Wegen tan x =
ϕ′ (x)
ϕ(x)
sin x
cos x
ϕ′ (x)
dx =
ϕ(x)
Z
dx
x
◦ϕ,
auf I .
Stammfunktion auf I
x 7→ ln |ϕ(x)|
I ⊆ R, ϕ ∈ C 1 (I), 0 6∈ W(ϕ)
und cos′ = − sin, erhalten wir:
Funktion auf I
Stammfunktion auf I
x 7→ tan x
x 7→ − ln | cos(x)|
(2k + 1)π
2
6∈ I, k ∈ Z
Weiter haben wir mit ϕ(x) = x2 + 2ax + b:
Funktion auf I
x 7→
194
2x+2a
x2 +2ax+b
Stammfunktion auf I
x 7→ ln |x2 + 2ax + b|
x2 + 2ax + b 6= 0 für x ∈ I
9.2 Integrationsmethoden
Wir erhalten:
Z
B
A
wenn
x2
2x + 2a
dx = ln |B 2 + 2aB + b| − ln |A2 + 2aA + b| ,
x2 + 2ax + b
+ 2ax + b auf [A, B] keine Nullstelle hat.
Sei α ∈ R \ {−1}, ϕ ∈ C 1 (D), W(ϕ) ⊆ R>0 . Mit f : R>0 → R mit f (x) = xα für x > 0 gilt
Z Z
Z
α ′
′
f ◦ϕ
ϕ(x) ϕ (x) dx = f (ϕ(x))ϕ (x) dx =
und daher:
Funktion auf I
Stammfunktion auf I
x 7→ ϕα (x)ϕ′ (x)
x 7→
1
α+1
α+1 ϕ(x)
I ⊆ R, ϕ ∈ C 1 (I),
W(ϕ) ⊆ R>0 für α ∈ R \ Z,
W(ϕ) ⊆ R \ {0} für α ∈ Z<−1
W(ϕ) ⊆ R für α ∈ N
Speziell gilt:
Funktion auf I
x 7→
(ln x)α
x
Stammfunktion auf I
x 7→
1
α+1
α+1 (ln x)
x 7→ (sinh x)α · cosh x
x 7→
1
α+1
α+1 (sinh x)
x 7→ (cosh x)α · sinh x
x 7→
1
α+1
α+1 (cosh x)
x 7→
2x+2a
(x2 +2ax+b)k
x 7→
1
2
1−k
1−k (x + 2ax + b)
I = R>0 für α ∈ R \ Z,
I = R>0 oder I = R<0 für
α ∈ Z<−1
I = R für α ∈ N
I = R>0 für α ∈ R \ Z,
I = R>0 oder I = R<0 für
α ∈ Z<−1
I = R für α ∈ N
I = R für α ∈ R \ {−1}
x2 + 2ax + b 6= 0 für x ∈ I,
k ∈ N>1
Wir erhalten:
Z
B
A
(x2
1
2x + 2a
1
dx =
(B 2 + 2aB + b)1−k −
(A2 + 2aA + b)1−k
k
1−k
1−k
+ 2ax + b)
für k ∈ N>1 ,
wenn x2 + 2ax + b auf [A, B] keine Nullstelle hat.
195
9 Eindimensionale Integralrechnung
9.3 Integration rationaler Funktionen
9.3.1 Rationale Funktionen
Vorgegeben sei eine gebrochen rationale Funktion
f=
p
.
q
Als erstes können wir mit dem Hilfsmittel der Polynomdivision dafür sorgen, dass wir uns
nur um den Fall der rationalen Funktionen kümmern müssen, bei dem
Grad von p kleiner als Grad von q
gilt. Ist nämlich der Grad von p nicht kleiner als der von q, so kann f in die Form f = h + qr
gebracht werden kann, wobei h, r Polynome sind bei denen h kleineren Grad als p und r
kleineren Grad als q hat.
Folgerung 9.42. Soll die Funktion f integriert werden, so kann stattdessen h + qr integriert werden, wobei eine Stammfunktion von h leicht angegeben und eine solche von qr (auf
geeigneten Intervallen) gegebenenfalls mit anderen Mitteln berechnet werden kann.
Beispiel 9.43. Wir betrachten
und daher
Z
x2
dx =
x−1
Z
R
x2
x−1
dx auf I mit 1 6∈ I. Polynomdivision ergibt
x2
1
=x+1+
x−1
x−1
(x + 1) dx +
Z
1
dx ∋
x−1
1 2
x 7→ x + x + ln |x − 1| auf I.
2
Es habe nun p kleineren Grad als q.
R
Beispiel 9.44. Berechnet werden soll x21−1 dx auf I mit −1, 1 6∈ I. Wir wollen f (x) =
umformen, um es leichter integrieren zu können. Es gilt
1
=
2
x −1
1
2
1
x2 −1
(x + 1) − 21 (x − 1)
1 1
1 1
=
−
.
(x + 1) (x − 1)
2x−1 2x+1
In dieser Form ist eine Stammfunktion für f leicht ermittelt:
Z
Z
Z
1
1
1
1
1
1 ln |x − 1| − 1 ln |x + 1|
dx
=
dx
−
dx
∋
x
→
7
2
2
2
2
x2 − 1
x−1
x+1
auf I .
Im Beispiel konnte das Integral deswegen berechnet werden, weil es uns gelungen war, die
zu integrierende rationale Funktion als Linearkombination einfacherer rationaler Bausteinfunktionen umzuschreiben.
196
9.3 Integration rationaler Funktionen
9.3.2 Partialbruchzerlegung
Satz 9.45 (Reelle Partialbruchzerlegung). Es sei f : D(f ) ⊂ R → R eine rationale Funktion
mit f = pq mit Polynomen p, q mit reellen Koeﬃzienten und Grad von p kleiner Grad von
q. Sei weiter q in folgender Weise faktorisiert:
q(x) =
r
c
Y
Y
(x − xi )λi · (x2 + ai x + bi )µi
i=1
i=1
mit
r
X
i=1
λi + 2
c
X
µi = Grad von q
i=1
und a2i < 4bi für i = 1, . . . , c, d.h., xi sei λi -fache reelle Nullstelle von q, und x2 + ai x + bi
habe keine reelle Nullstelle. Dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen Ai,k ∈ R für k =
1, . . . , λi , i = 1, . . . , r und eindeutig bestimmte Zahlen Bi,k , Ci,k ∈ R für k = 1, . . . , µi ,
i = 1, . . . , c mit
µi
λi
r X
c X
X
X
Ai,k
Bi,k x + Ci,k
+
für x ∈ D(f ) .
(9.7)
f (x) =
k
(x − xi )
(x2 + ai x + bi )k
i=1 k=1
i=1 k=1
Beispiel 9.46. 1. Für q(x) = (x−1)3 (x−2) und Grad von p kleiner 4 ist 1 dreifache Nullstelle
und 2 einfache Nullstelle. Wir haben daher A1,1 , A1,2 , A1,3 und A2,1 zu bestimmen mit
A1,1
A1,2
A1,3
A2,1
p(x)
=
+
+
+
.
(x − 1)3 (x − 2)
x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3 x − 2
2. Für q(x) = (x − 1)2 (x2 + 1)2 und Grad von p kleiner 6 ist 1 zweifache Nullstelle und
x2 + 1 ist (im Reellen) nullstellenfrei. Wir haben daher A1,1 , A1,2 , B1,1 , C1,1 , B1,2 und C1,2
zu bestimmen mit
A1,1
A1,2
B1,1 x + C1,1 B1,2 x + C1,2
p(x)
=
+
+
+
.
2
2
2
2
(x − 1) (x + 1)
x − 1 (x − 1)
x2 + 1
(x2 + 1)2
Berechnung der Koeffizienten: Nach entsprechendem Ansatz multipliziert man die Ansatzgleichungen mit dem Hauptnenner q und erhält eine Polynomgleichung. Anschließend
können lineare Gleichungen zur Berechnung der Parameter durch Koeﬃzientenvergleich in
der Polynomgleichung ermittelt werden. Das entstehende Gleichungssystem ist nach Satz
9.45 eindeutig lösbar.
Wesentlich eﬀektiver als der reine Koeﬃzientenvergleich zur Berechnung der Parameter ist,
geeignete Zahlenwerte, insbesondere die reellen Nullstellen von q, einzusetzen. Dadurch gelingt es, durch Einsetzen der Nullstelle xi den Parameter Ai,λi direkt zu bestimmen.
Beispiel 9.47. Für
A1,1
A1,2
A1,3
A2,1
x+1
=
+
+
+
(x − 1)3 (x − 2)
x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3 x − 2
ﬁnden wir durch Multiplikation mit dem Nenner (x − 1)3 (x − 2)
x + 1 = A1,1 · (x − 1)2 (x − 2) + A1,2 · (x − 1)(x − 2) + A1,3 · (x − 2) + A2,1 · (x − 1)3 .
197
9 Eindimensionale Integralrechnung
Einsetzen von x = 1 liefert
Einsetzen von x = 2 liefert
2 = A1,3 · (−1) ,
also A1,3 = −2 .
A2,1 = 3 .
Verbleiben noch A1,1 und A1,2 . Einsetzen von x = 0 liefert
1 = A1,1 · (−2) + A1,2 · (−1)(−2) + (−2)(−2) + 3(−1)3 ,
also
A1,1 − A1,2 = 0 .
Einsetzen von x = 3 liefert
(9.8)
4 = A1,1 · 22 + A1,2 · 2 + (−2) + 3 · 23 ,
also
−2A1,1 − A1,2 = 9 .
(9.9)
Die Gleichungen (9.8) und (9.9) ergeben
A1,1 = A1,2 = −3 .
Damit haben wir
x+1
3
3
2
3
=−
−
−
+
.
(x − 1)3 (x − 2)
x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3 x − 2
Man kann auch „Koeﬃzientenvergleich“ und „Einsetzen von Zahlenwerten“ mischen, wie
das folgende Beispiel zeigt:
Beispiel 9.48. Wir betrachten
A1,1
B1,1 x + C1,1
x−1
=
+
.
(x + 1)(x2 + 1)
x+1
x2 + 1
Ausmultiplizieren mit dem Nenner liefert
x − 1 = A1,1 (x2 + 1) + (B1,1 x + C1,1 )(x + 1) .
Einsetzen von x = −1 liefert −2 = 2A1,1 und damit A1,1 = −1. Somit haben wir
x − 1 = −x2 − 1 + B1,1 x2 + B1,1 x + C1,1 x + C1,1 .
Durch Koeﬃzientenvergleich ﬁnden wir
x0 :
x1 :
2
x :
− 1 = −1 + C1,1 ,
1 = B1,1 + C1,1 ,
0 = −1 + B1,1 .
Die erste Gleichung liefert C1,1 = 0, die zweite B1,1 = 1 und die dritte (erneut) B1,1 = 1.
Damit haben wir
x−1
1
x
=−
+
.
(x + 1)(x2 + 1)
x + 1 x2 + 1
198
9.3 Integration rationaler Funktionen
Bemerkung 9.49. Das beim Koeﬃzientenvergleich entstehende Gleichungssystem ist im allgemeinen überbestimmt, muss aber eindeutig lösbar sein. Man sollte immer alle entstehenden
Gleichungen betrachten (und nicht wie es hier möglich wäre nur die ersten beiden). Sollte
das Gleichungssystem dann nämlich nicht eindeutig lösbar sein, dann muss irgendwo ein
Fehler gemacht worden sein!
Weitere Varianten zur Berechnung der Koeﬃzienten nutzen die Diﬀerentiation beider Seiten
der Polynomgleichung. Hiermit können Koeﬃzienten zur Nullstellen höherer Ordnung ebenfalls durch Einsetzen der Nullstelle bestimmt werden. Man kann auch komplexe Nullstellen
von q einsetzen. Wie oben erhält man dann je zwei Parameter durch Vergleich der Realund Imaginärteile.
9.3.3 Integration der Partialbrüche
Für alle in einer Partialbruchzerlegung auftretenden Partialbrüche sollen nun Stammfunktionen angegeben werden. Die Formeln können (mehr oder weniger aufwendig) mit Hilfe von
partieller Integration und Substitution nachgerechnet werden:
Funktion auf I
x 7→
x 7→
x 7→
x 7→
1
x−a
x 7→ ln |x − a|
1
(x−a)k
x 7→
2x+2a
x2 +2ax+b
a 6∈ I
1
1
1−k (x−a)k−1
a 6∈ I, k ∈ N>1
x 7→ ln |x2 + 2ax + b|
2x+2a
(x2 +2ax+b)k
x 7→
x 7→
Stammfunktion auf I
x 7→
1
x2 +2ax+b
1
2
1−k (x
x 7→
x 7→
1
(x2 +2ax+b)k
√ 1
b−a2
I = R, a2 < b
+ 2ax + b)1−k
I = R, a2 < b, k ∈ N>1
arctan √x+a
b−a2
I = R, a2 < b
x+a
2(k−1)(b−a2 )(x2 +2ax+b)k−1
R
(2k−3)
dx
+ 2(k−1)(b−a
2)
(x2 +2ax+b)k−1
I = R, a2 < b, k ∈ N>1
Beispiel 9.50. Sei I ein Intervall positiver Länge, welches 1 nicht enthält. Auf I gilt dann
Z
Z
Z
Z
4x3 + 4x2 − 7x + 5
7 1
3
1 x + 11
dx =
dx +
dx +
dx
2
2
2
(x − 1) (x + 1)
2x−1
(x − 1)
2 x2 + 1
Z
Z
Z
Z
11
1
1
2x
1
1
7
dx +3
dx
dx
dx .
+
+
=
2
2
2
2
x−1
(x − 1)
4
x +1
2
x +1
|
|
|
{z
}
{z
}
{z
}
|
{z
}
i1
i2
i3
i4
i1 hat die in der Tabelle in der ersten Zeile angegebene Form mit a = 1. Daher gilt
(x 7→ ln |x − 1|) ∈ i1 .
199
9 Eindimensionale Integralrechnung
i2 hat die in der Tabelle in der zweiten Zeile angegebene Form mit a = 1 und k = 2. Daher
gilt
1
(x 7→ −
) ∈ i2 .
x−1
i3 hat die in der Tabelle in der dritten Zeile angegebene Form mit a = 0 und b = 1. Damit
erhalten wir
(x 7→ ln |x2 + 1|) ∈ i3 .
i4 hat die in der Tabelle in der fünften Zeile angegebene Form mit a = 0 und b = 1. Daher
gilt
(x 7→ arctan x) ∈ i4 .
Zusammengefasst haben wir
7
3
1
11
(x 7→ ln |x − 1| −
+ ln |x2 + 1| +
arctan x) ∈
2
x−1 4
2
Z
4x3 + 4x2 − 7x + 5
dx auf I .
(x − 1)2 (x2 + 1)
9.4 Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften
9.4.1 Gesamtgewinn
Die Grenzkosten k(x) und der Grenzerlös e(x) für x Einheiten eines Produktes sind die
ersten Ableitungen der Kostenfunktion K bzw. der Erlösfunktion E an der Stelle x, d. h. es
gilt
K ′ (x) = k(x) und E ′ (x) = e(x) .
Der Gesamtgewinn G(x) ergibt sich als Integrals über die Diﬀerenz von e und k,
Z x
G(x) =
(e(t) − k(t)) dt .
0
Wegen
d
G (x) =
dx
′
Z
0
x
(e(t) − k(t)) dt = e(x) − k(x)
ist die Bedingung e(x) = k(x) (d. h. Grenzkosten und Grenzerlös sind gleich) eine notwendige
Bedingung für ein Minimum der Gewinnfunktion.
9.4.2 Konsumentenrente
Es sei p eine monoton fallende Nachfragefunktion, d.h. p(x) sei die Nachfrage nach der
Stückmenge x.
Stellt sich durch Marktmechanismen ein Gleichgewichtspunkt (x0 , p0 ) mit p0 = p(x0 ) ein,
so ergibt sich:
200
9.4 Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften
• Der tatsächliche Gesamterlös ist in diesem Fall
E0 = x0 · p0 .
• Diejenigen Nachfrager, die auch einen höheren Preis p > p0 für das Erzeugnis bezahlt
hätten, sparen pro Einheit von x die Diﬀerenz p − p0 .
• Der theoretisch mögliche Gesamterlös ist
Z x0
∗
E =
p(x) dx .
0
E ∗ ergibt sich, wenn man annimmt, dass jeder Nachfrager den Preis zahlt, den er als
den für sich höchstmöglichen Preis ansieht, bevor er also auf den Kauf des Erzeugnisses
verzichtet.
Die Zahl
∗
KR (x0 ) = E − E0 =
Z
0
x0
p(x) dx − x0 · p0
heißt Konsumentenrente für den Gleichgewichtspunkt (x0 , p0 ).
Die Konsumentenrente ist also die Diﬀerenz zwischen dem theoretisch möglichen und dem
tatsächlichen Gesamterlös, d. h. – aus Sicht des Verbrauchers – die (eingesparte) Diﬀerenz
zwischen theoretisch möglichen und tatsächlichen Gesamtausgaben. Die Konsumentenrente
erweist sich als ein Maß für die „Vorteilhaftigkeit“ eines Kaufs im Gleichgewichtspunkt.
9.4.3 Produzentenrente
Es seien PA eine monoton wachsenden Angebotsfunktion und PN eine monoton fallende
Nachfragefunktion, d. h. PA (x) und PN (x) sind Angebot bzw. Nachfrage nach der Stückmenge x.
Der Marktgleichgewichtspunkt (x0 , p0 ) ergibt sich dann durch die Bedingung
PA (x0 ) = PN (x0 ) =: p0 .
Daraus folgt:
• Der tatsächlich erzielte Umsatz ist in diesem Fall
E0 = x0 · p0 ,
da alle Anbieter mit Preis p0 auf dem Markt auftreten.
• Diejenigen Anbieter, die das Erzeugnis auch für einen niedrigeren Preis p < p0 angeboten hätten, erzielen pro verkaufter Einheit von x die Diﬀerenz p0 − p als Zusatzgewinn.
201
9 Eindimensionale Integralrechnung
• Der theoretisch mögliche Gesamterlös ist
Z x0
∗
E =
PA (x) dx .
0
E ∗ ergibt sich, wenn man annimmt, dass jeder Anbieter zu dem Preis verkauft, den er
als den für sich niedrigstmöglichen Preis ansieht, bevor er also (bei fallendem Preis)
aus dem Markt austritt.
Die Zahl
∗
PR (x0 ) = E0 − E = x0 · p0 −
Z
x0
PA (x) dx
0
heißt die Produzentenrente für den Gleichgewichtspunkt (x0 , p0 ).
Die Produzentenrente ist also die Diﬀerenz zwischen dem tatsächlichen und de theoretischen
Gesamterlös, d. h. – aus Sicht der Produzenten – ein Zusatzgewinn. Sie erweist sich als ein
Maß für die „Vorteilhaftigkeit“ eines Verkaufs (erst) im Gleichgewichtspunkt.
9.5 Uneigentliche Integrale
Definition 9.51. Es sei f : R → R eine stetige Funktion. Dann heißt der Grenzwert
Z b
Z b
Z ∞
Z b
f (x) dx ,
f (x) dx =:
f (x) dx bzw.
lim
f (x) dx =:
lim
b→∞ a
a→−∞ a
a
−∞
falls er existiert, das uneigentliche Integral von f über [a, ∞[ bzw. ] − ∞, b].
Existieren für ein a ∈ R die beiden uneigentlichen Integrale
Z ∞
Z a
f (x) dx
f (x) dx und
a
−∞
so deﬁniert man
Z
∞
f (x) dx :=
Z
a
f (x) dx +
−∞
−∞
Z
∞
f (x) dx .
a
Beispiel 9.52. Es gelten:
Z ∞
Z b
1
dx
1
dx = lim
= lim − + 1 = 1 ,
b→∞ 1 x2
b→∞
x2
b
1
Z 0
Z 0
2a
e2x dx = lim 2e2x |x=0
4e2x dx = lim 4
x=a = lim (2 − 2e ) = 2 ,
Z
−∞
∞
−∞
202
a→−∞
e
−|x|
dx = lim
=
Z
a
0
e
a→−∞
−|x|
a→−∞ a
lim ex |x=0
x=a
a→−∞
+
dx + lim
Z
a→−∞
b
b→∞ 0
lim ex |x=0
x=b
b→−∞
e
−|x|
=
dx = lim
Z
a
x
e dx + lim
Z
b
a→−∞ 0
b→∞ 0
a
−b
lim (1 − e ) + lim (−e + 1) =
a→−∞
b→∞
e−x dx
2.
10 Mehrdimensionale Differentialrechnung
10.1 Grundlagen
10.1.1 Skalar- und Vektorfunktionen
Eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R ordnet jeder reellen Zahl x ∈ D(f ) eine reelle Zahl f (x)
zu. Nun betrachten wir Funktionen, bei denen die unabhängige Variable und eventuell auch
die abhängige Variable n-Tupel sind.
Definition 10.1. Seien n ∈ N>0 und m ∈ N>1 . Man nennt
f : D(f ) ⊆ Rn → R
f : D(f ) ⊆ Rn → Rm
Skalarfunktion,
Vektorfunktion.
Abkürzend sagt man in beiden Fällen auch wieder Funktion. Die Funktion f : D(f ) ⊆ Rn →
R ordnet also jedem n-dimensionalen Spaltenvektor oder n-Tupel x ∈ D(f ) die reelle Zahl
f (x) = f ((x1 , . . . , xn )) =: f (x1 , . . . , xn )
zu. Man sagt daher auch, dass
f : D(f ) ⊆ Rn → R ,
(x1 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , . . . , xn )
eine Funktion der n unabhängigen Variablen x1 , . . . , xn ist.
Eine Vektorfunktion f : D(f ) ⊆ Rn → Rm ist somit darstellbar als

f1 (x1 , . . . , xn )


..
f (x) = 
,
.
fm (x1 , . . . , xn )

wobei fi : D(f ) ⊆ Rn → R die Koordinatenfunktionen von f sind.
Bemerkung 10.2. Wir verzichten auf eine besondere Kennzeichnung von mehrdimensionalen
Vektoren. Ob eine Funktion Vektorfunktion oder eine Funktion mehrerer Variabler ist, sieht
man an der Deﬁnition der Funktion.
203
10 Mehrdimensionale Differentialrechnung
Der Graph einer Skalarfunktion f : D(f ) ⊆ R2 → R,
z
graph(f )
graph(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D(f ), z = f (x, y)},
kann häuﬁg als Fläche F im x, y, z-Raum interpretiert
werden.
Die Mengen
Na = {(x, y) ∈ D(f ) : f (x, y) = a}
stellen im regulären Fall Niveaulinien oder Höhenlinien zum Niveau a dar.
y
D(f )
x
Beispiel 10.3. Für die Funktion f : D(f ) = R2 → R mit f (x, y) = x2 + 4y 2 gilt W(f ) =
[0, +∞[. Die Niveaulinie zum Niveau a ist die Menge
Na = {(x, y) ∈ R2 : x2 + 4y 2 = a} .
23.06.10
Wir haben N0 = {(0, 0)}, Na = ∅ für a < 0. Für a > 0 ist Na eine Ellipse mit den Halbachsen
√
√
a und a/2. Ferner sind die Schnitte von graph(f ) mit (zur x, z-Ebene parallelen) Ebenen
y = c die Parabeln z = x2 + 4c2 . Man nennt graph(f ) daher elliptisches Paraboloid.
10.1.2 Stetigkeit
(m)
(m)
Definition 10.4. Eine Folge (xm )m∈N mit xm = x1 , . . . , xn
∈ Rn heißt konvergent
(0)
(0)
mit dem Grenzwert x0 = x1 , ..., xn ∈ Rn falls
lim kxm − x0 k = 0 .
m→∞
Schreibweise:
lim xm = x0 .
m→∞
Definition 10.5. Eine Funktion f : D(f ) ⊆ R → R heißt stetig in einem Punkt x0 =
(0)
(0)
(x1 , . . . , xn ) ∈ D(f ), falls limm→∞ f (xm ) = f (x0 ) für jede Folge von Punkten (xm )m∈N ⊂
D(f ) mit lim xm = x0 gilt. Die Funktionf heißt stetig, falls f in allen Punkten x ∈ D(f )
m→∞
stetig ist.
204
10.2 Differenzierbarkeit
Beispiel 10.6. Wir untersuchen die Stetigkeit von
f : R2 → R ,
f (x1 , x2 ) = x21 + x22
(m)
(m)
in x0 = (1, 2) stetig. Es sei (xm )m∈N mit xm = (x1 , x2 ) eine beliebige konvergente Folge
mit lim xm = x0 . Wegen
m→∞
(m)
(m)
lim ||xm − x0 || = 0 ⇐⇒ lim x1
m→∞
= 1 ∧ lim x2
m→∞
m→∞
=2
gilt dann
(m)
(m)
lim f (x1 , x2 ) = lim
m→∞
m→∞
(m) 2
x1
+ lim
m→∞
(m) 2
x2
= 1 + 4 = 5 = f (1, 2) ,
d. h. f ist im Punkt x0 = (1, 2) stetig. Man kann zeigen, dass f für alle x ∈ R2 stetig ist.
Beispiel 10.7. Sei f : R2 → R mit f (x, y) =
Wegen
xy
x2 +y 2
für (x, y) 6= (0, 0), und f (0, 0) = 0.
lim f (ξ, ξ) = 12 6= lim f (ξ, −ξ) = − 21
ξ→0
ξ→0
ist f in (0, 0) nicht stetig.
10.2 Differenzierbarkeit
10.2.1 Ableitungsbegriff
Wir wollen den Ableitungsbegriﬀ auf Abbildungen f : D(f ) ⊆ Rn → Rm mit n ≥ 1 oder
m ≥ 1 verallgemeinern, so dass möglichst viele der Eigenschaften der skalaren Ableitung
dabei erhalten bleiben.
Definition 10.8. Der Punkt x0 ∈ D ⊆ Rn heißt innerer Punkt von D, wenn es ein ε > 0
derart gibt, dass x ∈ D für alle x ∈ Rn mit kx − x0 k < ε gilt. Die Menge D ⊆ Rn heißt
oﬀen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.
Definition 10.9. Eine Abbildung L : Rn → Rm heißt linear , wenn L(αx+βy) = αLx+βLy
für alle x, y ∈ Rn , α, β ∈ R gilt.
Satz 10.10. Eine Abbildung L : Rn → Rm ist genau dann linear, wenn eine Matrix A ∈
Rm×n existiert mit Lx = A · x für alle x ∈ Rn .
205
10 Mehrdimensionale Differentialrechnung
Definition 10.11. Die Abbildung f : D(f ) ⊆ Rn → Rm heißt diﬀerenzierbar in x0 ∈
D(f ), wenn x0 innerer Punkt von D(f ) ist und wenn eine lineare Abbildung L : Rn → Rm
und eine Abbildung R : Rn → Rm existieren mit
kR(h)k
f (x0 + h) = f (x0 ) + L(h) + R(h) für x0 + h ∈ D(f ) , lim
=0.
h→0 khk
Die von x0 abhängige lineare Abbildung L heißt (Fréchet-)Ableitung oder totale Ableitung von f in x0 und wird mit f ′ (x0 ) bezeichnet, d. h. f ′ (x0 ) = L.
Definition 10.12. Die nach Satz 10.10 zu f ′ (x0 ) gehörende Matrix Jf (x0 ) heißt JacobiMatrix zu f an der Stelle x0 .
Anstelle von f ′ (x0 ) können wir also auch Jf (x0 ) bestimmen.
Definition 10.13. Die Abbildung f : D(f ) ⊆ Rn → Rm heißt diﬀerenzierbar auf M ⊆
D(f ), wenn f in jedem Punkt x0 ∈ M diﬀerenzierbar ist. f heißt diﬀerenzierbar , wenn f
auf D(f ) diﬀerenzierbar ist.
Satz 10.14. Sei f : D(f ) ⊆ Rn → Rm diﬀerenzierbar in x0 ∈ D(f ). Dann ist f in x0 stetig.
10.2.2 Partielle Ableitungen von Skalarfunktionen
Sei f : D(f ) ⊆ Rn → R. In vielen Fällen interessiert uns nicht die volle lineare Approximierbarkeit von f bei einer Stelle x0 ∈ D(f ) sondern nur bei x0 in vorgegebenen Richtungen
r ∈ Rn , krk = 1. Spezielle Richtungsableitungen sind die partiellen Ableitungen als Richtungsableitungen in Koordinatenrichtung:
Definition 10.15. Existiert der Grenzwert
∂i f (x0 ) =
1
d
i+1
n f (x10 , . . . , xi−1
[f (x0 + τ ei ) − f (x0 )] ,
0 , τ, x0 , . . . , x0 ) τ =xi0 = τlim
→0
dτ
τ
so heißt er partielle Ableitung von f in x0 nach der i-ten Variablen.
Bemerkung 10.16. Sei f : D(f ) ⊆ Rn → R. Die partielle Ableitung ∂i f (x0 ) erhält man also
dadurch, dass man die Koordinaten xk mit k 6= i ﬁxiert, xk = xk0 , und nur xi variiert.Sie
werden also unter Festhalten der anderen Koordinaten wie die skalare Ableitung berechnet.
206
10.2 Differenzierbarkeit
Bemerkung 10.17. Für n = 2 schreibt man z. B. auch
∂1 f (x, y) =
Analog wird in R3 verfahren.
∂
d
f (x, y) = fx (x, y) =
f (τ, y)τ =x ,
∂x
dτ
Beispiel 10.18. Für f : R2 → R mit f (x, y) = x3 cos y gilt
∂1 f (x, y) =
∂
f (x, y) = 3x2 cos y ,
∂x
∂2 f (x, y) =
∂
f (x, y) = −x3 sin y .
∂y
Definition 10.19. Sei f : D(f ) ⊆ Rn → R in x0 ∈ D(f ) partiell nach allen Variablen
diﬀerenzierbar. Dann heißt der aus den partiellen Ableitungen gebildete Vektor
grad f (x0 ) := ∇f (x0 ) := (∂1 f (x0 ), . . . , ∂n f (x0 ))
Gradient von f in x0 .
Beispiel 10.20. Für f : R2 → R mit f (x, y) = sin x+cos y gilt grad f (x, y) = (cos x, − sin y).
Satz 10.21. Sei die Vektorfunktion f : D(f ) ⊆ Rn → Rm in x0 ∈ D(f ) diﬀerenzierbar.
Dann existieren die partiellen Ableitungen ∂i fk (x0 ) der Koordinatenfunktionen fk von f in
x0 und für die Jacobi-Matrix gilt


 
∂1 f1 (x0 ) · · · ∂n f1 (x0 )
grad f1 (x0 )⊤


 
..
..
..
Jf (x0 ) := 
.
=
.
.
.
∂1 fm (x0 ) · · · ∂n fm (x0 )
grad fm (x0 )⊤
Beispiel 10.22. Sei f : R2 → R3 mit f (x, y) = (sin(xy), 2x2 + y, xy 2 ). Dann gilt


y cos(xy) x cos(xy)
.
4x
1
Jf (x, y) = 
2
y
2xy
Beispiel 10.23. Sei f : D(f ) ⊆ R2 → R2 mit D(f ) = ]0, ∞[ × ]0, 2π[ und f (r, ϕ) =
(r cos ϕ, r sin ϕ). Dann gilt
cos ϕ −r sin ϕ
.
Jf (r, ϕ) =
sin ϕ r cos ϕ
10.2.3 Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen
Beispiel 10.24. Wir betrachten erneut f : R2 → R mit f (x, y) = x2xy
für (x, y) 6= (0, 0),
+y 2
und f (0, 0) = 0. Wie in Beispiel 10.7 bemerkt, ist f nicht stetig in (0, 0). Es gelten jedoch
f (ξ, 0) = f (0, ξ) = f (0, 0) = 0 und daher existieren die partiellen Ableitungen
∂1 f (0, 0) = ∂2 f (0, 0) = 0 .
207
10 Mehrdimensionale Differentialrechnung
Die Existenz aller partieller Ableitungen ∂i f (x0 ), i = 1, . . . , n, in einem Punkt x0 enthält
nur geringe Information über das Verhalten von f in der Umgebung von x0 :
Bemerkung 10.25. Aus der Existenz aller partieller Ableitungen (im Unterschied zur Diﬀerenzierbarkeit) folgt nicht die Stetigkeit in x0 und somit erst recht nicht die Diﬀerenzierbarkeit.
Wir brauchen also mehr als nur partielle Diﬀerenzierbarkeit.
Definition 10.26. Wir nennen f stetig partiell diﬀerenzierbar , wenn alle partiellen
Ableitungen ∂1 f k (x), . . . , ∂n f k (x) der Koordinatenfunktionen für alle x ∈ D(f ) existieren
und stetig von x abhängen. Wir nennen f stetig diﬀerenzierbar , wenn f diﬀerenzierbar
ist und wenn die Ableitungsfunktion x 7→ f ′ (x) in folgendem Sinne stetig ist: Für jedes
x ∈ D(f ) und jedes ε > 0 existiert ein δ > 0 mit kf ′ (x)(h) − f ′ (y)(h)k < ε für alle y ∈ D(f )
mit kx − yk < δ und alle h ∈ Rn mit khk ≤ 1.
Satz 10.27. Sei f : D(f ) ⊆ Rn → Rm mit oﬀenem D(f ). Ist f in x0 stetig partiell diﬀerenzierbar, so ist f in x0 diﬀerenzierbar. f ist stetig partiell diﬀerenzierbar genau dann, wenn
f stetig diﬀerenzierbar ist.
Bemerkung 10.28. Die äquivalenten Begriﬀe „stetig partiell diﬀerenzierbar“ oder „stetig
diﬀerenzierbar“ sind also die für die mehrdimensionale Diﬀerentialrechnung angepassten
Begriﬀe.
Bezeichnung: Sei D ⊆ Rn oﬀen. Die Menge aller stetig (partiell) diﬀerenzierbaren Funktionen f : D ⊆ Rn → Rm wird mit C 1 (D, Rm ) bezeichnet.
10.2.4 Algebraische Eigenschaften der Ableitung
Ähnlich zum skalaren Fall gilt:
Satz 10.29 (Rechenregeln). Seien f, g : D ⊆ Rn → Rm in x0 ∈ D diﬀerenzierbar. Dann
gelten:
1. (αf + βg)′ (x0 ) = αf ′ (x0 ) + βg ′ (x0 ) für α, β ∈ R (Linearität);
′
′
′
2. (f
0 ) = g(x0 )f (x0 ) + f (x0 )g (x0 ), wenn m = 1 (Produktregel);
g)(x
′
′
g(x0 )f (x0 ) − f (x0 )g ′ (x0 )
f
, wenn m = 1 und g(x) 6= 0 in einer Umgebung
(x0 ) =
3.
g
g(x0 )2
von x0 (Quotientenregel).
208
10.3 Geometrische Interpretationen
Satz 10.30 (Kettenregel). Sei f : D ⊆ Rn → Rm diﬀerenzierbar im inneren Punkt x0 von
D. Sei weiter g : E ⊆ Rm → Rk diﬀerenzierbar im inneren Punkt f (x0 ) von E. Dann ist
g ◦ f in x0 diﬀerenzierbar und es gelten
(g ◦ f )′ (x0 ) = g ′ (f (x0 )) ◦ f ′ (x0 ) ,
Jg◦f (x0 ) = Jg (f (x0 )) · Jf (x0 ).
Beispiel 10.31. Seien f : R2 → R und g : D(g) ⊆ R2 → R2 mit D(g) = ]0, ∞[ × ]0, 2π[ und
f (x, y) = exy ,
g(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) .
Gesucht ist die Jacobi-Matrix zu f ◦ g an einer Stelle (r, ϕ). Es gilt (siehe Beispiel 10.23)
cos ϕ −r sin ϕ
.
Jf (x, y) = (yexy xexy ) und Jg (r, ϕ) =
sin ϕ
r cos ϕ
Da f und g stetig diﬀerenzierbar sind, folgt damit
Jf ◦g (r, ϕ) = Jf (g(r, ϕ)) · Jg (r, ϕ)
= (r sin ϕe
= r 2 er
2
r2 sin ϕ cos ϕ
sin ϕ cos ϕ
r cos ϕe
(2 sin ϕ cos ϕ
r2 sin ϕ cos ϕ
)
cos ϕ −r sin ϕ
sin ϕ
r cos ϕ
1 2
cos2 ϕ − sin2 ϕ) = r2 e 2 r
sin 2ϕ
(sin 2ϕ
Man kann hier das Ergebnis natürlich auch direkt durch (f ◦ g)(r, ϕ) = er
2
cos 2ϕ) .
sin ϕ cos ϕ
erhalten.
Satz 10.32. Eine Funktion, die aus diﬀerenzierbaren Funktionen nur durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Verkettung entsteht, ist in allen inneren Punkten ihres
Deﬁnitionsbereich diﬀerenzierbar.
10.3 Geometrische Interpretationen
10.3.1 Tangentialhyperebene und Normalenvektor
Sei f : D(f ) ⊆ Rn → R. Weiter sei f diﬀerenzierbar im inneren Punkt x0 von D(f ). Wir
betrachten die Mengen
n
o
Tf (x0 ) :=
x0 + h, f (x0 ) + grad f (x0 )⊤ h : h ∈ Rn
und
graph f = {(x, f (x)) : x ∈ D(f )} .
Für n = 1 stellt Tf (x0 ) eine Gerade und graph f eine Kurve im R2 dar. Für n = 2 ist Tf (x0 )
eine Ebene und graph f eine Fläche im R3 .
209
10 Mehrdimensionale Differentialrechnung
Satz 10.33. Die Mengen Tf (x0 ) und graph f berühren sich in (x0 , f (x0 )) mit der Ordnung
1, d. h.
f (x0 + h) − f (x0 ) + grad f (x0 )⊤ h = R(h)
für x ∈ D mit
Für jedes h ∈
R(h)
khk →
Rn liegt
0 für h → 0.
damit der Vektor h, grad f (x0 )⊤ h parallel zu Tf (x0 ).
Beweis. Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Deﬁnition der Ableitung als lineare
Approximation. Die zweite Aussage ist oﬀensichtlich.
Definition 10.34. Die Menge Tf (x0 ) heißt Tangentialhyperebene
an die Hyperﬂäche
⊤
graph f im Punkt (x0 , f (x0 )). Jeder Vektor h, grad f (x0 ) h mit h ∈ Rn heißt Tangentialvektor an graph f im Punkt (x0 , f (x0 )).
Bemerkung 10.35. Für n = 1 bzw. n = 2 heißt die Tangentialhyperﬂäche Tf (x0 ) auch
Tangente bzw. Tangentialebene.
Oﬀensichtlich steht der Vektor
n = (− grad f (x0 ), 1)
senkrecht auf allen Tangentialvek
toren h, grad f (x0 )⊤ h und damit
auf der Tangentialebene und heißt
Normalenvektor .
Tf (x0 )
⊤
f (x0 ) + grad f (x0 ) h
graph f
f (x0 )
(− grad f (x0 ), 1)
1
grad f (x0 )
x0
x0 + h
Lemma 10.36. Der Vektor n = (− grad f (x0 ), 1) ist Normalenvektor an die Tangentialhyperebene in (x0 , f (x0 )).
Beispiel 10.37. Wir betrachten f (x, y) = 4x2 − 3y 2 + 5 auf D = R2 in (−1, 3). Es gilt
∂1 f (−1, 3) = −8 ,
∂2 f (−1, 3) = −18 ,
so dass n = (8, 18, 1) Normalenvektor an die Tangentialhyperebene in (−1, 3, f (−1, 3)) ist.
Wegen
√
√
knk = 64 + 324 + 1 = 389 ,
ist n0 =
210
√ 1 (8, 18, 1)
389
Normaleneinheitsvektor .
10.3 Geometrische Interpretationen
10.3.2 Richtung des steilsten Anstieges
Satz 10.38. Sei f : D(f ) ⊆ Rn → R in x0 ∈ D(f ) diﬀerenzierbar. Der Gradient von f in
x0 zeigt in Richtung des stärksten Anstieges von f in x0 .
Beispiel 10.39. Man ﬁnde die Richtung, in der f (x, y) = 4x2 − 3y 2 + 5 am stärksten im
Punkt (1, 1) wächst.
Es gilt ∂1 f (1, 1) = 8, ∂2 f (1, 1) = −6 und daher grad f (1, 1) = (8, −6).
In Richtung
√ 1
(8, −6)
64+36
6
8
, − 10
) tritt also der stärkste Anstieg von f in (1, 1) auf.
= ( 10
10.3.3 Notwendige Bedingungen für lokale Extrema
Definition 10.40. Die Abbildung f : D(f ) ⊆ Rn → R hat bei x0 ∈ D(f ) ein lokales
Minimum ( Maximum), wenn eine Umgebung U von x0 existiert mit f (x) ≥ f (x0 )
(f (x) ≤ f (x0 )) für alle x ∈ U ∩ D(f ).
Ein lokales Extremum ist ein lokales Minimum oder Maximum. f hat bei x0 ein strenges
Minimum (Maximum), wenn f (x) > f (x0 ) (f (x) < f (x0 )) in einer Umgebung von x0
gilt.
Satz 10.41 (Satz von Fermat). Sei f : D(f ) ⊆ Rn → R, x0 ∈ D(f ) innerer Punkt von D(f ),
und sei f in x0 partiell diﬀerenzierbar. Dann gilt:
f hat in x0 lokales Extremum ⇒ grad f (x0 ) = 0 .
Bemerkung 10.42. Wenn x0 kein innerer Punkt ist, muss die Behauptung nicht gelten!
Betrachte z. B. x 7→ x2 auf [−1, 1]. Es liegen lokale Maxima in −1 und 1 vor, aber die
Ableitung verschwindet dort nicht.
211
30.06.10

Stand 29.01.10

Dieses Dokument Sammlung (en)

Dieses Dokument gespeichert

Schlagen Sie uns vor, wie wir StudyLib verbessern können