6 - hm-mathe

12BW1/4
Maximilian-Kolbe-Schule Neumarkt/OPf.
2.Schulaufgabe aus der Mathematik
2007-02-28
smn222ml.doc
1.0
Name : ______________________________________ Klasse ______________
BE
Gegeben ist die Funktion f p mit
x
für x  1

 1
2
f p ( x)   2 ( x  1)  3
für  1  x  2
2

px  8 x  16 für x  2

1.1
1.2
Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Funktion an der Nahtstelle x1  1 stetig ist.
1.3
Ermitteln Sie den Parameter p so, dass die Funktion an der Nahtstelle x2  2 stetig
wird.
Zeichnen Sie den Graphen von f p für p  1 im Intervall  3;5 .
2.
Zum Warmwerden in der Differenzialrechnung bearbeiten Sie bitte die Rückseite!
3.
Gegeben ist nun die Funktion f mit D ( f ) 
f :x
3.1
3.2
3.3
4.0
4.1
4.2
5.0
5.1
5.2
5.3.
5.4
/6
/6
/6
/4
und
1
(3x 4  8 x 3  16)
12
Ermitteln Sie die Monotoniebereiche der Funktion und geben Sie daraus die Hoch- und
Tiefpunkte des Graphen von f an (keine weitere Berechnung!).
Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f.
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall [-1 ; 3].
Behauptung: „Menschen mit der Blutgruppe A bekommen seltener eine Grippe wie
Menschen mit anderen Blutgruppen.“
Zur Überprüfung dieser Aussage wird eine Studie an 1000 Probanten durchgeführt.
Davon haben 42% die Blutgruppe A (A). Während der Beobachtungsdauer von einem
Jahr bekommen 90 Personen eine Grippe (G), 38 davon sind Personen mit der
Blutgruppe A.
Erstellen Sie für die Untersuchung eine Vierfeldertafel und entnehmen Sie daraus, wie
viele Personen weder die Blutgruppe A noch eine Grippe hatten.
Begründen Sie rechnerisch, ob die beiden Merkmale A und G voneinander unabhängig
sind? Was bedeutet ihr Ergebnis für die eingangs angegebene Behauptung?
Für ein Spiel wird ein Stapel aus 4 roten (r) und 6 schwarzen (s) Karten gut gemischt.
Ein Spiel besteht aus dem nacheinander Ziehen von 3 Karten, ohne die gezogene Karte
in den Stapel zurück zu mischen. Folgende Ereignisse werden definiert:
A: Es werden genau 2 schwarze Karten gezogen.
B: Die erste und die dritte Karte haben die gleiche Farbe.
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm zu diesem Spiel und berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeiten aller auftretenden Wege durch das Diagramm.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A, B, A  B , A  B
Ein Spiel gilt als gewonnen, wenn mindestens 2 Karten rot sind.
Zeigen Sie: Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt P(Gewinn)  13 .
Es werden nun 20 solcher Spiele durchgeführt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit,
mehr als 4 aber höchstens 9 Spiele zu gewinnen.
Die angegebenen BE gelten unter dem Vorbehalt kleiner Änderungen!
Viel Erfolg!
/8
/5
/5
/5
/5
/6
/6
/2
/3
12BW1/4
Maximilian-Kolbe-Schule Neumarkt/OPf.
1.Schulaufgabe aus der Mathematik
2007-02-28
smn222ml.doc
Name : ______________________________________ Klasse ______________
2. Skizzieren Sie zum angegebenen Funktionsgraph den Graphen der ersten
Ableitungsfunktion farbig (nicht rot!) in das Bild ein.
Lösungsvorschlag:
1.0 Gegeben ist die Funktion f p mit
BE
x
für x  1

 1
2
f p ( x)   2 ( x  1)  3
für  1  x  2
2

px  8 x  16 für x  2

1.1
Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Funktion an der Nahtstelle x1  1 stetig ist.
/6
f (1)   12 (1  1) 2  3  1
lim( x)  1
x 1
x 1
lim( 12 ( x  1) 2  3)  1  lim f ( x)  1
x 1
x 1
x 1
f (1)  1  lim f ( x)  1  f stetig an x  1
x 1
1.2
Ermitteln Sie den Parameter p so, dass die Funktion an der Nahtstelle x2  2 stetig
wird.
/6
x
für x  1

 1
2
f p ( x)   2 ( x  1)  3
für  1  x  2
2

px  8 x  16 für x  2

f (2)   12 (2  1) 2  3  2,5
lim( 12 ( x  1) 2  3)  2,5
x 2
x2
 4 p  2,5  p 
lim( px 2  8 x  16)  4 p
x 2
x2
5
8
5
gilt: f (2)  2,5  lim f ( x)  stetig an x  2
x 2
8
Zeichnen Sie den Graphen von f p für p  1 im Intervall  3;5 .
Für p 
1.3
/6
)
(
2.
Zum Warmwerden in der Differenzialrechnung bearbeiten Sie bitte die Rückseite!
(siehe unten)
/4
3.
Gegeben ist nun die Funktion f mit D ( f ) 
f :x
3.1
und
1
(3x 4  8 x 3  16)
12
Ermitteln Sie die Monotoniebereiche der Funktion und geben Sie daraus die Hoch- und
Tiefpunkte des Graphen von f an (keine weitere Berechnung!).
/8
1
(3 x 4  8 x 3  16)
12
1
f '( x)  (12 x 3  24 x 2 )  x 3  2 x 2  x 2 ( x  2)
12
f :x
x2
( x  2)
f '(x)
+
+
+
-
-
+
-
0
-
2
+
Graph
]  ;2] ist Gf fallend. [2; ] ist Gf steigend.
=> Hochpunkt: keine Tiefpunkt T (2 | 0)
3.2
Berechnen Sie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f.
f ''( x)  3x  4 x
2
/5
f '''( x)  6 x  4
f ''( x)  x(3x  4)  0  x1  0 x2 
4
3
4
f '(0)  0  f ''(0)  0  f ''(0)  4  0  TerP(0 | )
3
4
4
4
f ''( )  0  f '''( )  4  0  W ( | 0,543)
3
3
3
3.3
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall [-1 ; 3].
/5
4.0
4.1
Behauptung: „Menschen mit der Blutgruppe A bekommen seltener eine Grippe wie
Menschen mit anderen Blutgruppen.“
Zur Überprüfung dieser Aussage wird eine Studie an 1000 Probanten durchgeführt.
Davon haben 42% die Blutgruppe A (A). Während der Beobachtungsdauer von einem
Jahr bekommen 90 Personen eine Grippe (G), 38 davon sind Personen mit der
Blutgruppe A.
Erstellen Sie für die Untersuchung eine Vierfeldertafel und entnehmen Sie daraus, wie
viele Personen weder die Blutgruppe A noch eine Grippe hatten.
G
NG
4.2
A
38
382
420
NA
52
528
580
90
910
1000
A
0,04
0,38
0,42
G
NG
NA
0,05
0,53
0,58
/5
0,09
0,91
1
Antwort: 528 Personen hatten weder die Blutgruppe A noch eine Grippe.
Begründen Sie rechnerisch, ob die beiden Merkmale A und G voneinander unabhängig
sind? Was bedeutet ihr Ergebnis für die eingangs angegebene Behauptung?
P( A)  P(G )  0, 42  0, 09  0, 0378  0, 04  P( A  G )
Die beiden Merkmale sind unabhängig voneinander. Die Behauptung kann nicht
aufrecht erhalten werden.
oder:
/5
P( A)  P(G )  0, 42  0, 09  0, 0378  0, 04  P( A  G )
5.0
5.1
Die beiden Merkmale sind nicht unabhängig voneinander. Grippe tritt bei Blutgruppe A
sogar etwas häufiger auf als statistisch zu erwarten wäre.
Für ein Spiel wird ein Stapel aus 4 roten (r) und 6 schwarzen (s) Karten gut gemischt.
Ein Spiel besteht aus dem nacheinander Ziehen von 3 Karten, ohne die gezogene Karte
in den Stapel zurück zu mischen. Folgende Ereignisse werden definiert:
A: Es werden genau 2 schwarze Karten gezogen.
B: Die erste und die dritte Karte haben die gleiche Farbe.
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm zu diesem Spiel und berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeiten aller auftretenden Wege durch das Diagramm.
A
r
1/3
r
1/4
P( r r r ) =
1/30 0,0333
0
s
3/4
P( r r s ) =
1/10 0,1000
0
r
3/8
P( r s r ) =
1/10 0,1000
0
0,1667 x
B
x
1/30
0
x
r
2/5
s
2/3
s
5/8
P( r s s ) =
1/6
1/6
s
3/5
r
4/9
r
3/8
P( s r r ) =
1/10 0,1000
s
5/8
P( s r s ) =
1/6
0,1667 x
1/6
s
5/9
r
1/2
P( s s r ) =
1/6
0,1667 x
1/6
s
1/2
P( s s s ) =
1/6
0,1667
0
0
0
1/6
0
x
1/6
7/15
5.4
1/30
1/10
x
1/10
x
1/10
1/10
x
1/10
x
1/6
x
1/6
x
1/10
0
G
x
x
x
0
x
nAonB
x
1/30
0
0
x
1/10
x
1/6
x
1/6
x
1/6
0
0
x
1/6
4/5
x
1/6
5/6
0
1/3
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A, B, A  B , A  B
P( A) 
5.3.
0
1/10
1/2
5.2
AoB
x
1/30
1
2
P( B) 
7
15
P( A  B) 
4
5
P( A  B) 
/6
/6
5
6
Ein Spiel gilt als gewonnen, wenn mindestens 2 Karten rot sind.
Zeigen Sie: Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt P(Gewinn)  13 .
siehe 5.1
Es werden nun 20 solcher Spiele durchgeführt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit,
mehr als 4 aber höchstens 9 Spiele zu gewinnen.
9
1
P( E )   B(20 | | k )
3
i 5
9
4
1
1
  B(20 | | k )   B(20 | | k )  0,90810  0,15151  0, 75659
3
3
i 0
i 0
/2
/3
Aufgabe 2: