lsg7 - Physik

Übungen zu Physik für Bauingenieure WS 01/02
Prof. P. Böni
Lösungen zu Blatt 7
Florian Grünauer, Institut E21
Besprechung am 11.12. (N0825 14:30 Uhr)
http://www.ph.tum.de/antares/uebungen/uebungen.html
1. Aufgabe:
v    r mit  
2
T
Mond:
T  27,3d  27,3  24  3600s  2,359 106 s
r  3,85 108 m
2
v
 3,85 108 m  1,026km / s
6
2,359 10 s
Erde:
T  1a  365,25d  365,25  24  3600s  3,157 s
2
v
1,5 108 km  29,92km / s
3,15 10 7 s
Äquator:
2
v
 6370km  0,46km / s
24  3600 s
2
mv 2 10kg  0,46km / s 
kg  km
Fz  m 2 r 

 3,32 10 4
 0,332 N
r
6370km
s2
Vergleich mit Gewichtskraft:
F
N
0,332
FG  mg  10kg  9,81  98,1N  z 
 0,34%
kg
FG
98,1
2. Aufgabe
a)
Drehmoment:
  
M rF
 
hier gilt: r F
und somit:

 
M rF
M  0,12m  20 N  2,4 Nm
b)
Trägheitsmoment: Die kinetische Energie einer punktförmigen Masse m, die sich im Abstand
r um eine feste Achse A mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit dreht, ist
m
m
1
1
E kin  v 2  r 2 2  mr 2  2  J 2
2
2
2
2
J heißt das Trägheitsmoment von m in Bezug auf A.
Trägheitsmoment eines starren Körpers:
J   mi r 2   r 2 dm (I)


Bei einer homogenen Masseverteilung innerhalb der Scheibe gilt:
dm 
m ges
2rdr 
m ges
2rdr  2
m ges
rdr (II)
Ages
R
R2
(Hierbei wurde jedes Massenelement einem Flächenelement und nicht einem
Volumenelement zugeordnet, da die Ausdehnung der Scheibe parallel zur Drehachse nicht
von Interesse ist).
(II) in (I):
mges 3
mges  1 4  R
mges R 4
J  2 2  r dr  2 2  r   2 2
 0,5mges R 2
R
R 4 0
R 4
hier:
J  0,5  5kg  0,12 2 m 2  0,036kg  m 2
2
Winkelbeschleunigung:

M
2,4 Nm
1
 

 66,7 2  const
2
J
0,036kg  m
s
c)
nach 3 Sekunden:
Winkelgeschwindigkeit:
Wegen konstanter Winkelbeschleunigung gilt:
1
1
    t  66,7 2  3s  200
s
s
Rotationsenergie:
J 2 0,036
kg  m 2
Erot 

200 2
 720 J
2
2
s2
Drehimpuls:
L  J  0,036  200  7,2 J / s
Winkel:
t
t
 2 66,7 s 2

  dt  tdt  t 
 9 2  300,15rad
2
2
s
0
0
Anzahl der Umdrehungen:
300,15
N
 47,8
2
d)
inelastischer Drehstoß:
Drehimpulserhaltung:
L1  L2  Lges
mit L1,L2: Drehimpulse der Scheiben vor dem Verbinden
L2  0
J1 v  ( J1  J 2 ) n
mit  v = Winkelgeschwindigkeit vor dem Stoß und
mit  n = Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoß und
J 1 v
  n (I)
( J1  J 2 )
Trägheitsmoment der zweiten Scheibe
m
3kg
J2  2 R2 
 0,12 m 2  0,015kg  m 2
2
2
n 
0,036
1
1
 200  141,2
0,036  0,015
s
s
2
1

E rot  0,5  J  0,50,036  0,015kg  m  141,2   657 J
2

3. Aufgabe:
mm
FGravitation  f 1 2 2 mit f:Gravitationskonstante
r
Fluchtgeschwindigkeit:
(Annahme: die gesamte kinetische Energie wird zum Zeitpunkt des Starts aufgebaut)


m
m
1
2
mRaketev Flucht   FG dr   Rakete2 Mond dr
2
r
rMond
rMond
2
2

m
m
m
1
 m

2
mRaketev Flucht  f  Rakete Mond 
 f Rakete Mond
2
r
rMond

 rMond
v Flucht 
f
2mRaketemMond

rMond mRakete
f
2mMond
rMond
(I)
Gravitationskraft auf die Rakete auf der Erdoberfläche:
m
m
FG , Erde  mRakete g Erde  f Rakete 2 Erde
rErde
Gravitationskraft auf die Rakete auf der Mondoberfläche:
m
m
FG ,Mond  mRakete g Mond  f Rakete 2Mond
rMond
Gravitationsbeschleunigung auf der Mondoberfläche:
mMond
1
g Mond  g Erde  f
6
0,273  rErde 2
1
2
g Erde 0,273  rErde   mMond
6f
v Flucht 
f
2mMond

rMond
2
f
1
2
g Erde 0,273  rErde 
1
6f

g Erde 0,273  rErde 
0,273rErde
3
1
m
9,81 2 0,273  6370km  2,384km / s
3
s
zum Vergleich: Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche:
v Flucht  11,2km / s
b)
Neuer Abstand des Startorts in (I) von 3a:
1
2
1
2
g Erde 0,273  rErde 
g Erde 0,273  rErde 
2m Mond
3f
v Flucht  f
 f
 3
rMond  1000km
0,273  rErde  1000km
0,273  rErde  1000km
v Flucht 
1
km
2
2
0,00981 2 0,273  6370km
9889  km 
s
v Flucht  3


  1,9km / s
0,273  6370km  1000km
2739  s 
Energieersparnis:
1
1
2
2
E  m Raketev Flucht, Mondoberfläche  m Raketev Flucht, Mondoberfläche1000km
2
2
1
2
E  10000kg2,384 2  1,9 2 km / s 
2
E  10,367GJ
4. Aufgabe:
Trägheitsmoment des Stabs:
l
l
l
mges
2
2 dm
J   r dm   r
dr   r 2
dr
dr
l
0
0
0
m ges 1 3 m ges 2
J
l 
l
l 3
3
Gewinn an potentieller Energie:
l
E pot  m ges  g 
2
entsprechende Rotationsenergie:
1
E rot  J 2
2
Energieerhaltung:
E pot  E rot
l 1
 J 2
2 2
Winkelgeschwindigkeit:
m ges g  l
m ges g  l
g


 3
2
J
l
m ges l
m ges  g 
3
Geschwindigkeit des Stabendes:
g
v    l  l 3  3gl
l
(bei momogener Masseverteilung)