A6.5.3

A6.5.1 Gegeben sei eine rationale Funktion rR(x). Finde eine
Stammfunktion.
//S1.9.1’’’(1104)Divisionssatz//
//Vor: Polynome S(z)  0 ,P(z) beliebig.//
//Beh:  eindeutig bestimmte Polynome Q(z) und R(z):P=Q*S+R, (R)<(S).//
S 1
.9.1' ' '
Lös:Sei R=P/Q 
  Polynome P1,P2R[x]: R=P/Q=P1+P2/Q und (P2)<(Q).
 ( P )  (Q )
Da man zu P1 sofort eine Stammfunktion angeben kann, soll im Weiteren
angenommen werden, dass (P)<(Q) ist. Dann kann man nach dem Satz
über die Partialbruchzerlegung im Reellen die Funktion R in eine
Summe von einfachen Termen zerlegen. Es bleibt also zu zeigen, dass
man zu jedem einzelnen Term eine Stammfunktion angeben kann. Dies
wollen wir jetzt tun, wobei in jedem Fall durch Differenzieren
nachgeprüft werden kann, dass die angegebene Funktion F tatsächlich
die Stammfunktion zu f ist:
1.)f(x)=(x-x0)-1 hat die Stammfunktion F(x)=log|x-x0|
2.)f(x)=(x-x0)-j hat die Stammfunktion F(x)=(1-j)-1(x-x0)1-j  jN:j  2.
3.)f(x)=(x+)/(x2-ax+b), a2<4b damit der Nenner keine reelle
Nullstelle mehr hat.
1
//S5.5.2(3004)Es gilt c)arctan x)’=
 x R.//
1  x2
//S5.1.6(2750)Differentiationsregeln//
//2.)Kettenregel//
//
//
//
//
//


Vor:Sei f:AB differenzierbar in z0 A ,f(z0) B , und sei g:BC //
differenzierbar in f(z0).//
Beh:g  f:A C ist differenzierbar in z0 und //
(g  f)’(z0)=g’(f(z0)).f’(z0) //
(Kettenregel) (g  f)’=(g’  f)f’.//
Wir zerlegen f=g+h
 2x  a
  a / 2
f(x)=
+ 2
.
2
2
x

ax

b
x

ax

b




g ( x)
S5.1.6:
h( x)
G(x)=(/2)log|x2-ax+b| ist Stammfunktion zu g
2  a
2x  a
S5.5.2 c),S5.1.6: H(x)=
arctan
ist Stammfunktion zu h.
2
4b  a
4b  a2
2  a
2x
a
1
#
H’(x)=
(
)’=
2
4b  a2
4b  a 2
4b  a 2
 2x  a 

1  
2 
4
b

a


2  a
(2  a )
2
1
#
= 2
=h(x)
2
2
2
4b  a2 4b  a  4 x  4ax  a
4b  a 2 4 x  4ax  4b
4b  a 2
1
4.) f(x)= 2
( x  ax  b) n
1
2x  a
dx
F(x)=
( 2
+2(2n-3) 
)
2
n 1
2
(n  1)( 4b  a ) ( x  ax  b)
( x  ax  b) n 1
#
Weiter rekursiv bis 3.) angewendet werden kann
1
2( x 2  ax  b) n1  (2 x  a)( n  1)( x 2  ax  b) n 2 (2 x  a)
#
F’(x)=
(
+
(n  1)( 4b  a 2 )
( x 2  ax  b) 2 n 2
3100
#
2(2n-3)
1
( x 2  ax  b) n 2 (2( x 2  ax  b)  (2 x  a) 2 (n  1))
(
+
(n  1)( 4b  a 2 )
( x 2  ax  b) 2 n2
1
2(2n-3)
)=
2
( x  ax  b) n 1
#
#
1
(2 x 2  2ax  2b  (4 x 2  4ax  a 2 )( n  1))
(
+
(n  1)( 4b  a 2 )
( x 2  ax  b) n
1
2(2n-3)
)=
2
( x  ax  b) n 1
#
#
1
(2 x 2  2ax  2b  4nx 2  4anx  na 2  4 x 2  4ax  a 2 )
(
+
(n  1)( 4b  a 2 )
( x 2  ax  b) n
1
2(2n-3)
)=
2
( x  ax  b) n 1
#
#
1
(6 x 2  4nx 2  6ax  4anx  2b  na 2  a 2 )
(
+
(n  1)( 4b  a 2 )
( x 2  ax  b) n
1
2(2n-3)
)=
2
( x  ax  b) n 1
#
#
1
(6 x 2  4nx 2  6ax  4anx  2b  na 2  a 2 )
(
+
(n  1)( 4b  a 2 )
( x 2  ax  b) n
#
#
#
#
#
1
)=
( x  ax  b) n 1
2
(4n-6)
x 2  ax  b
)=
( x 2  ax  b) n
1
6 x 2  4nx 2  6ax  4anx  2b  na 2  a 2  4nx 2  4anx  4nb  6 x 2  6ax  6b
(
)=
(n  1)( 4b  a 2 )
( x 2  ax  b) n
1
1
 4b  na 2  a 2  4nb
n(4b  a 2 )  (4b  a 2 )
(
)=
(
)=
(n  1)( 4b  a 2 )
(n  1)( 4b  a 2 )
( x 2  ax  b) n
( x 2  ax  b) n
1
(n  1)( 4b  a 2 )
=f(x)
(n  1)( 4b  a 2 ) ( x 2  ax  b) n
5.) f(x)=
  x
( x  ax  b) n
2
, a2<4b, nN, n  2.
//S5.1.6(2750)Differentiationsregeln//

//1.)Vor:Seien f,g: MC differenzierbar
in x0 M .//
//Beh: d)Ist g(z0)0 (und damit 0 in U(z0)M...  //
//
 g(z)0 auf U(z0)I), g differenzierbar, d.h. stetig, so ist f/g
//
differenzierbar in z0 und //
f'(z0)g(z0)  f(z0)g'(z0)
//
(f/g)’(z0)=
(Quotientenregel)//
(g(z0))2

2x  a
  a / 2
Lös: f(x)=
+ 2
2
n
2 ( x  ax  b)
( x  ax  b) n
 

f1 ( x )
f 2 ( x)
3101

1
ist Stammfunktion zu f1:
2
2(n  1) ( x  ax  b) n 1


F1’(x)=
((x2+ax+b)-n+1)’=
(-n+1)(x2+ax+b)-n)(2x+a)=f1(x)
2(n  1)
2(n  1)
a
1
F2(x)=()
dx ist Stammfunktion zu f2.
2
2
( x  ax  b) n
Weiter rekursiv nach 4.) bis 3.) angewendet werden kann
Es reicht daher aus, eine Stammfunktion gn(x)=(x2-ax+b)–n zu finden?
2(2n  3)
d
2x  a
Es gilt:: (4b-a2)(n-1)gn(x)= 2
+
?????.
n 1
2
dx ( x  ax  b) n 1
( x  ax  b)
(Aus Vorlesung, verstehe ich leider nicht, hat jemand Hilfe
für mich?)
Der 2. Term hat natürlich eine Stammfunktion, während der 1. Term,
bis auf eine Konstante, gleich gn-1 ist. Daher kann man aus dieser
Formel rekursiv eine Stammfunktion zu gn berechnen
F1(x)=
#
#
#
Es sei noch erwähnt, dass man die oben angegebenen Stammfunktionen
sowie viele weitere in zahlreichen Formelsammlungen nachschlagen kann.
A6.5.2 Führe eine Partialbruchzerlegung im Reellen für folgende
rationale Funktionen durch und finde die Stammfunktionen:
x2
x2
1
,
,
2
2
x  1) (x  1)(
x2  1)
x(x  1)(x  1) (x  1)(
A6.5.3
a)
x4  2x³
r(x)=
(x  2)³(3x  1)² (
x
²

2)

=
keine reellen Nst
A
D
ax  b
B
C
E
+
+
+
+
+
x  2 (x  2)² (x  2)³ 3x  1 (3x  2)² x²  2
x4+2x³=A(x-2)²(3x+1)²(x²+2)+B(x-2)(3x+1)²(x²+2)+
C(3x+1)²(x²+2)+D(x-2)³(3x+1)(x²+2)+E(x-2)³(x²+2)+
(ax+b)(x-2)³(3x+1)²
b)r(x)=
x 6  4 x³
=
( x 2  1) ² ( x²  6 x  10)
 


[( x 1)( x 1)]² ( x 3)² 1 keine reellen Nst
A
C
ax  b
B
D
cx  d
ax  b
+
+
+
+
+
+
x  1 (x  1)² x  1 (x  1)² x²  6x  10 (x²  6x  10)² (x²  6x  10)³
4
A6.5.4

2
3x²  x  1
dx
x³  1
Lös: x³-1=(x-1)(x²+x+1) 
(x³-1):(x-1)=x²+x+1 hat keine reellen Nullstellen 
3x²  x  1
A
ax  b
=
+

x³  1
x  1 x²  x  1
3x²+x-1=Ax²+Ax+A+ax²+bx-ax-b 
3102
3  A  a 

1  A  b  a  A=1, a=2, b=2 
 1  A  b 
4

2
4
4
1
2x  2
1
2x  1
1
(
+
)dx=  (
+
)dx+ 
dx=
x  1 x²  x  1
x  1 x²  x  1
x²  x  1
2
2
1
4
1
1
1
(
=
=
=
,
2
x²  x  1 (x  1 / 2)²  1 (x  1 / 2)²  3 / 4 3 ( (x  1 / 2))²  1
3
2
2
5
9
3
u=
dx, dx=
du, x=2  u=
, x=4  u=
,
(x  1 / 2), du=
2
3
3
3
3
4
3
9/ 3

5/ 3
1
3
du )
u 1 2
2
4
2
log(x-1) +log(x²+x+1)
4
2
log 3-log 1+log 21-log7+
5

b)
4
4 3
+
arctan u
32
9
3
5
=
3
2
5
2
9
arctan
arctan
3
3
3
3
2x³  4x²  18x  54
dx
x4  81
keine reellenNullst



Lös:x4-81= ( x ²  9 * ( x 2  9)

( x 3)( x 3)
5
A
B
ax  b
+
+
)dx=
x  3 x  3 x²  9
4
(2x³-4x²-18x-54=
Ax³+3Ax²+9Ax+27A+Bx³+3Bx²+9Bx-27B+ax³+9ax+bx²-9b,
A=-1, B=+1, a=2, b=0)
5
 1
1
2x
5
5
4 ( x  3 + x  3 + x²  9 )dx=-log(x-3) 4 +log(x+3) 4 +log(x²+9)
8  34
log 2+log 1+log 8-log 7+log 34-log 25=log(
)=
2  7  25
log 136/175

1
(
5
4
=
1
1
x5  x  1
dx-  (x+ 4
)dx
4
x

1
x  1
0
c) 
0
Lös:
x 4

1
=(x²+ax+b)(x²+cx+d)=x4+cx3+dx2+ax3+acx2+adx+bx2+bcx+bd
keien reellen Nullst
x4+ax3+cx3+acx2+bx2+dx2+adx+bcx+bd
1
1
1
#a+c=0, ac+b+d=0, ad+bc=0, bd=1  c=-a, d= , -a2+b+ =0, a -ab=0 
b
b
b
1
#a( -b)=0  b=1 oder a=0 
b
#b=1: d=1, ac+2=0,ac=-2, -a2=-2, a= 2 , c=- 2
#a=0: c=0, b+d=0, b=-d, bd=-b2=-d2=1  b=i, d=i, bd=-1 Widerspruch
3103
a+c=0, c=-a, b+1/b-a²=0, b+d+ac=0, a
ad+bc=0, bd=1  b²+1=0  b=
1
1
-ba=0  a=a+( -b)=0,
b
b
1
, b²=1, b=1, a2=2, a= 2 ,
b
1
ax  b
cx  d
=
+
,
x  1 x²  2x  1 x²  2x  1
4
b+d=1  b=1/2=d, (ax+bx)=0  a= 2 /4, c=- 2 /4 (
1

0
1

0
xdx+
1
4 2
1
2x  2 2
1
dxx²  2x  1
4 2

0
2 2
x ² 
 2
x
1

dx, (denn
1

0
2x
x 2
=
4 2
=
2 2 2
2x  2 2
dx=
x²  2x  1
2
1
1
1
(( 2 (x+
))2+1)= (2(x2+ 2 x+ )+1)=
2
2
2
2
1
(( 2 ( x  2 / 2 ))² 1)
2
1

0
1
(2x2+2 2 x+1+1)=x2+ 2 x+1)
2
Substitution u= 2 (x+ 2 /2), du= 2 dx,
x=0  u=1, x=1  u=1+ 2
2
1
1
1
2 2
dx, (denn
(( 2 (x))2+1)= (2(x2- 2 x+ )+1)=
2
2
2
2
x ² 
 2
x
1

1
(( 2 ( x  2 / 2 ))² 1)
2
1
(2x2-2 2 x+1+1)=x2- 2 x+1)
2
Substitution u= 2 (x- 2 /2), du= 2 dx,
x=0  u=-1, x=1  u= 2 -1
1

0
1 2
2 2
x²  2 x  1
2arctan u
dx= 2
1 2
1

1
-
1
4 2
1

0
1
du
u²  1
2x  2
1
dx+
x²  2x  1
4 2
1

0
2
dx=
2x  1
x² 
1
1
x² 10 +
(log(x²+ 2 +1) 10 )-log(x²- 2 x+1)
2
4 2
1
(2arctan u) 11  2 +2arctan u 11 2
4 2
1
0
)+
A6.5.5..............
x
x
 tan
x x
2
2 =
Lös:tan /2=t  tan x=sin x/cos x=tan( + )=
x
x
2 2
1  tan tan
2
2
2t
, auf (0,/2), sin x  0, cos x  0
1  t²
2t
sin x
sin x= 1  cos²x , cos x= 1 - sin²x ,
=
,
1  sin ²x 1  t²
3104
tan
x 2
)
4
sin ²x
4t²
=
, sin²x(1-2x²+t²)=4t²-sin²x(4+t),
1  sin ²x 1  2t²  t²
4t²
2t
sin²x+1+2t²+t4=4t², sin²x=
,0  sin x=
,
4
1  2t²  t
1  t²
4t²
1  2t²  t4  4t² 1  t²
=
=
1  t²
(1  t²)²
1  t²
x
x
t
t=tan

=arctan t, x=2arctan t, dx=2
dt, x=0  t=0,
2
2
1  t²
x=/2  t=1…..
1
/2
2t 1  t²
1
r(sin
xcos
x)dx=
0 r 1  t² 1  t² 2 1  t² dt
0
cos x= 1 - sin²x = 1 -
A6.5.6 ????
Lös:f(x)=arccos x, f’(x)=


-
1 / 2
n
(-x²)n, 
1 / 2
n
 1
=-1(1-x²) 1 / 2


1  x²
Bin Re ihe
(-x²)n
integrierbar.
n 0
x
 
1 / 2
n
(-t²)n dt= 
1 / 2
n
(-t)n
0

=- 
n 0

1 / 2
n
(-1)n 2n 1 1 x2n+1
x
1
x2n+1, arccos x=  f(x)dx+ 1

2n  1
ârc cos 0
0
 |x|<1
3105