Partneraufgabe - mister mueller

Partneraufgaben
Name:
_
Partner:
________
1. Arbeiten Sie zuerst allein!
2. Erklären Sie einem Partner Ihrer Wahl Ihre Lösungen. Hören Sie gewissenhaft zu, wenn er Ihne seine Lösungen erklärt.
Wenn Sie bei sich Fehler entdecken, berichtigen Sie sie, aber benutzen Sie einen Stift in einer anderen Farbe, damit ich erkennen kann, wer Hilfe braucht!
Kreuzen Sie bei jeder Behauptung an, ob Sie sie für richtig oder falsch halten. Begründen Sie!
1
2
Behauptung
Für alle a, b , a  0 liegen die Funktionen
1
f ( x)  e axb und g ( x)  axb achsensymmtrisch
e
zueinander. Die Symmetrieachse ist die y-Achse.
richtig
falsch Begründung (benutze gegebenenfalls auch die Rückseite)

e
5 x
dx  30
1
3
lim
x 0

1 ex
sin( x)
lim
x 0
1 ex 


 sin( x) 



l' Hospital
 e x sin( x)  1  e x cos( x)
Quotienten regel
(sin( x)) 2
x 0
0 11  2


 
Grenzwerte
0
0
x 0
Die Wendepunkte der Funktionenschar

lim
lim
4
x
 
k
f k ( x)  ( x  k )  e liegen alle auf einer
Ursprungsgeraden, deren Steigung kleiner als 1 ist.
5
4
 sin( x
3
)dx  0
4
PA – e-Funktion und Integralerechnung II – A. Müller – Elisabethenschule – Frankfurt am Main - 2011
6
7
x2  k
haben an der
x 1
Stelle x=1 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Die Summe drei aufeinanderfolgender natürlicher
Zahlen ist durch 3 teilbar.
Alle Kurven der Schar f k ( x) 
Induktionsbeweis:
I.Annahme:
n  (n  1)  (n  2) ist durch 3 teilbar
I. Schluß:
(n  1)  (n  2)  (n  3)  n  n  n  1  2  3
 n  (n  1)  (n  2)  3
Die ersten drei Summanden sind laut I.Annahme
durch 3 teilbar. Der letzte Summand ist 3, also
auch durch 3 teilbar. qed.
8
Die Summe vier aufeinanderfolgender natürlicher
Zahlen ist durch 4 teilbar.
Induktionsbeweis:
I.Annahme:
n  (n  1)  (n  2)  (n  3) ist durch 4 teilbar
I. Schluß:
(n  1)  (n  2)  (n  3)  (n  4)
 n  n  n  n 1 2  3  4
 n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  4
Die ersten vier Summanden sind laut I.Annahme
durch 4 teilbar. Der letzte Summand ist 4, also
auch durch 4 teilbar. qed.
9
x2  3
an der
x 1
Stelle x=2 schneidet die x-Achse an der Stelle 3.
Die Normale der Funktion f ( x) 
PA – e-Funktion und Integralerechnung II – A. Müller – Elisabethenschule – Frankfurt am Main - 2011
Partneraufgaben
MUSTERLÖSUNG
Dies sind meine Lösungen der Partneraufgaben, aber ihr wisst, auch ich mache Fehler! Also bitte aufmerksam sein!
Kreuze bei jeder Behauptung an, ob du sie für richtig oder falsch hältst. Begründe!
1
2
Behauptung
Für alle a, b , a  0 liegen die Funktionen
1
f ( x)  e axb und g ( x)  axb achsensymmtrisch
e
zueinander. Die Symmetrieachse ist die y-Achse.


lim
x 0

x

lim
x 0


l' Hospital
x
 e x sin( x)  1  e x cos( x)

Quotienten regel
(sin( x)) 2
x 0
0 11  2


 
Grenzwerte
0
0
x 0
Die Wendepunkte der Funktionenschar

k
k
1
1
1
 1

e 5 x dx  lim e 5 x dx  lim  e 5 x   lim  e 5k  e 5  e 5  29,7
k 
k   5
5
5
 1 k  5
1
1
1 ex
sin( x)
1 ex 


 sin( x) 


Begründung (benutze gegebenenfalls auch die Rückseite)
1
1
g ( x)  axb  e axb  e axb  f ( x)
e

x
e 5 x dx  30
1
3
richtig falsch

Zwei Fehler!
1. Der Satz von l`Hospital sagt, dass Zähler und Nenner getrennt
abgeleitet werden sollen, also nicht mit der Quotientenregel.
2. Bei Anwendung der Quotientenregel wurd ein Vorzeichenfehler
gemacht.
lim
lim
4
x
 
k
f k ( x)  ( x  k )  e liegen alle auf einer
Ursprungsgeraden, deren Steigung kleiner als 1
ist.
5
x
4

sin( x 3 )dx  0
x
4
6
Die Ortskurve der Wendepunkte hat die Gleichung y 
x2  k
haben an der
x 1
Stelle x=1 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Alle Kurven der Schar f k ( x) 
x
2
x.
e
sin((  x) 3 )  sin(  x 3 )   sin( x 3 ) , also ist die Funktion punktsymmetrisch
zum Koordinatenursprung. Links des Ursprungs liegt immer gleich viel
Fläche wie rechts, allerdings haben die Flächen unterschiedliche
Vorzeichen.
Alle bis auf eine (!). Für k=1 gibt es dort eine hebbare Lücke, da sich der
Nenner wegkürzt (dritte binomische Formel).
PA – e-Funktion und Integralerechnung II – A. Müller – Elisabethenschule – Frankfurt am Main - 2011
7
Die Summe drei aufeinanderfolgender natürlicher
Zahlen ist durch 3 teilbar.
Die Induktionsverankerung kann ergänzt werden:
1+2+3=6. Diese Summe ist offensichtlich durch 3 teilbar.
Induktionsbeweis:
I.Annahme:
n  (n  1)  (n  2) ist durch 3 teilbar
I. Schluß:
(n  1)  (n  2)  (n  3)  n  n  n  1  2  3
x
 n  (n  1)  (n  2)  3
Die ersten drei Summanden sind laut I.Annahme
durch 3 teilbar. Der letzte Summand ist 3, also
auch durch 3 teilbar. qed.
8
Die Summe vier aufeinanderfolgender natürlicher
Zahlen ist durch 4 teilbar.
Die Induktionsverankerung geht schief.
1+2+3+4=10, ist nicht durch 4 teilbar. Es lässt sich auch keine andere
Verankerung finden.
Induktionsbeweis:
I.Annahme:
n  (n  1)  (n  2)  (n  3) ist durch 4 teilbar
I. Schluß:
(n  1)  (n  2)  (n  3)  (n  4)
 n  n  n  n 1 2  3  4
x
 n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  4
Die ersten vier Summanden sind laut I.Annahme
durch 4 teilbar. Der letzte Summand ist 4, also
auch durch 4 teilbar. qed.
9
x2  3
an der
x 1
Stelle x=2 schneidet die x-Achse an der Stelle 3.
Die Normale der Funktion f ( x) 
x
Einfache Rechnungen zeigen f (2)  1 und f (2)  3 . Also hat die Normale
1
die Steigung  und verläuft durch den Punkt P(2/1). Ihre Gleichung ist
3
1
5
n( x)   x  . Diese Gleichung schneidet die x-Achse bei x=5.
3
3
PA – e-Funktion und Integralerechnung II – A. Müller – Elisabethenschule – Frankfurt am Main - 2011