W_5_Komplexe Zahlen, Kugel

Vorbereitung BAC
Komplexe Zahlen; Zahlenfolgen; Kugeln
Spätester ABGABETERMIN:
S7 ma5 de
06.03.2017
Wiederholung ( 5 )
Ohne CAS:
1. Löse die Gleichung
a) 𝑧 2 = −9
b) 𝑧 2 = −10𝑖
c) 𝑧 2 = 20 + 2𝑖
d) Forme in die Form a + bi um:
1−i
i−2
2. Bestimme a ( a ∈ ℝ) so, dass das Produkt
Wie heißt das Produkt dann?
( a + i ) ∙( 3 – 2i) rein imaginär ist.
3. Bestimme k so, dass das Produkt
Gib das Produkt an.
(2 - i ) ∙( -4 + ki) reell wird.
𝟏
4. Die Zahlenfolge (an) = { 𝟐+(𝒂𝒏−𝟏 )²
𝒏=𝟏
ist gegeben. Ferner ist bekannt, dass die Folge
𝒏>1
𝟒
streng monoton ist.
a) Berechne die ersten 3 Folgenglieder exakt und schlussfolgere auf das
Monotonieverhalten der Zahlenfolge.
b) Begründe, dass die Folge beschränkt ist.
c) Begründe, dass die Folge konvergent ist und berechne ausführlich per Hand exakt
deren Grenzwert.
5. Untersuche das Monotonieverhalten der Zahlenfolge (bn) =
𝟑−𝟐𝒏²
𝒏+𝟏
(𝑛 ≥ 1).
6. Gegeben sind die Punkte A(1|1|0) und B(3|-1|-2) und die Gerade g
mit x = -2t-1; y = 5t+1; z = -t+1 mit t reell.
a) Stelle eine Gleichung der Kugel auf, die den Durchmesser AB hat.
b) Stelle eine Gleichung derjenigen Kugel auf, die die Punkte A und B enthält und deren
Mittelpunkt sich auf g befindet.
Mit CAS:
8𝑛2 + 𝑛
1. Gegeben ist eine Zahlenfolge (𝑎𝑛 ) mit 𝑎𝑛 = 𝑛
(n ≥ 1).
a) Berechne die ersten vier Glieder dieser Folge.
b) Untersuche, ob (𝑎𝑛 ) geometrisch ist.
c) Untersuche, ob (𝑎𝑛 ) arithmetisch ist.
d) Berechne 𝑠10 .
e) Die wievielte Partialsumme ist 1241?
2. Gegeben sind a1 = 5 und an+1 = 3an .
Berechne das 10. Folgenglied.
3. Gegeben sind die Zahlenfolgen (en ) und (fn ) mit
e1 = 5
1
en+1 = en ∙ 3
𝑓𝑛 = 2 + 𝑒𝑛
a) Bilde jeweils die ersten vier Folgenglieder.
b) Gib für jede Folge ein Bildungsgesetz an.
c) Bilde für jede Folge den Grenzwert im Unendlichen.
4. Gegeben ist z = 2 + 3i.
5
Bestimme den reellen Teil und den imaginären Teil von z + .
𝑧
5. Gegeben sind die Ebenen E: x - 2y - 2z = 0 und F: x - 2y - 2z = -6.
a. Zeige, dass die Kugel mit der Gleichung x² + y² + z² +6x + 8 = 0 beide Ebenen E
und F berührt.
b. Bestimme die Gleichung einer Kugel, die E im Punkt O(0|0|0) berührt und
zusätzlich noch F berührt.
6. Gegeben sind die Gerade g, die durch die Punkte A ( - 3| - 3| 6 ) und B ( 9 | 3 | - 6 )
1
2
verläuft, die Gerade h mit h: 𝑥⃗ = (2) + 𝑡 (−2) 𝑚𝑖𝑡 𝑡 𝜖ℝ,
8
1
die Ebene E: 2x + y + 2z + 6 = 0 sowie die Kugel K mit dem Radius 3 LE und dem
Mittelpunkt M ( - 2 | 1 | - 1 ).
a) i. Zeige, dass die Geraden g und h sowohl orthogonal als auch windschief sind.
ii. Sei s die den Geraden g und h gemeinsame senkrechte Verbindungsgerade.
Zeige, dass die Punkte P ( - 1 | - 2 | 4 ) und Q ( 1 | 2 | 8 ) die Schnittpunkte von
s mit g und von s mit h sind.
iii. Bestimme den Radius und die Koordinaten des Mittelpunkts derjenigen Kugel, die
g und h in deren Schnittpunkten mit der senkrechten Verbindungsgerade s
berührt.
b) i.
Beim Schnitt der Ebene E mit der Kugel K entsteht ein Kreis k.
Bestimme die Koordinaten des Mittelpunktes 𝑀𝑘 des Kreises k sowie seinen
Radius.
ii. Sei R der Punkt mit den Koordinaten ( 0 | 0 | - 3 ). Zeige, dass die Kugel K durch R
verläuft und stelle eine Gleichung der Tangentialebene an K in R auf.
iii. Alle Tangentialebenen an die Kugel K, deren Berührpunkte sich auf dem Kreis k
befinden, schneiden sich in einem Punkt T. Bestimme die Koordinaten von T.
7. Die Strecke AB mit A(1|2|2) und B(3|2|-1) ist der Durchmesser einer Kugel K.
a.
b.
c.
d.
Ermittle den Mittelpunkt und den Radius von K!
Gib die Gleichung von K an!
Ermittle die Gleichung der Tangentialebene an die Kugel im Punkt A!
Zeige, dass der Punkt C(2|3|2) auf der Kugel liegt und berechne den
Flächeninhalt des Dreiecks ABC!
e. Die Ebene E: x + y = 2 schneidet die Kugel in einem Kreis. Berechne Radius und
Mittelpunkt dieses Kreises!
f. Eine zur Ebene E parallele Ebene F schneidet die Kugel K in einem gleich
großen Kreis wie E. Ermittle die Gleichung von F!