Die Grenzen von AL und die Grenzen der aristotelischen Syllogistik

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Die Grenzen von AL und die Grenzen der aristotelischen Syllogistik
2. Die Grenzen der aristotelischen Syllogistik:
1. Grenzen von AL
Alle Bären sind pelzig
Ned ist ein Bär
Also ist Ned pelzig.
Abkürzungsverzeichnis:
Alle Bären sind pelzig = p
Ned ist ein Bär = q
Ned ist pelzig = r
AL-Struktur: p ∧ q → r
NWS: Es gibt nichts, dem genau dasselbe (inkl. Hinsicht!) sowohl
zukommt als auch nicht zukommt.
~ (p ∧ ~ p)
Die Aussagenlogik allein kennt keine Möglichkeit zur Darstellung der
Begriffe „alle“ und „einige“ und zur Darstellung des Gedankens, dass
ein Prädikat einem Gegenstand zukommt.
1. Die aristotelische Syllogistik allein kennt keine Möglichkeit zur
Darstellung von Schlüssen aufgrund von aussagenlogischen
Junktoren.
2. Die aristotelische
Syllogistik beruht
auf
der
nicht
unproblematischen Annahme, jeder Satz bestehe aus einem
logischen Subjekt und einem logischen Prädikat.
Ein interessantes Projekt
Die Konstruktion einer Logik, die
1.die überaus praktische Ausdruckskraft der stoischen Aussagenlogik
besitzt
2. außerdem die differenzierte Ausdruckskraft der aristotelischen
Syllogistik besitzt.
Ein wirklich faszinierendes Projekt
Die Konstruktion einer Logik, die
1.die Ausdruckskraft der stoischen Aussagenlogik besitzt
2. außerdem die differenzierte Ausdruckskraft der aristotelischen
Syllogistik besitzt.
3.aber auch die Beschränkung der aristotelischen Syllogistik auf
einfache Subjekt-Prädikat-Sätze überwindet.
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Gottlob Frege (1848 Wismar – 1925 Bad Kleinen)
1879: „Begriffsschrift“
(enthält die Grundgedanken von AL und PL)
Freges Anti-Erfolgsrezept:
(1) interdisziplinär
(2) klar und unprätentiös, aber inhaltsreich
(3) radikal neue Thesen
(4) revolutionäre zweidimensionale Notation.
Lit.:
Anthony Kenny, Frege, London (Penguin) 1995.
Simon Singh, Fermats letzter Satz, München (dtv) 2000 [London 1997]
Giuseppe Peano (um 1900)
Augustus De Morgan (1806 – 1871)
George Boole (1815 – 1864)
Kurzinfo
Freges „Begriffschrift“ (Halle, 1879) enthält den Kern einer
Prädikatenlogik (auch: Quantorenlogik) erster Stufe. Das Spiel PL ist
eine Prädikatenlogik erster Stufe mit Identitätszeichen. PL geht also
historisch gesehen direkt auf den Ansatz Freges zurück, den dieser in
den 1890er Jahren weiter ausgebaut hat (vgl. z.B. die bahnbrechenden
Aufsätze „Über Sinn und Bedeutung“, „Funktion und Begriff“ und das
wichtige Büchlein „Die Grundlagen der Arithmetik“).
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Subjekt
(1) London
(2) Berlin
(3) Moskau
Prädikat
ist-eine-große-Stadt
ist-eine-große-Stadt
ist-eine-große-Stadt
(Verschiedene) Beschreibungen
London, Berlin und Moskau fallen unter den Begriff „große Stadt“
London, Berlin und Moskau fallen unter den Begriff der großen Stadt
London, Berlin und Moskau sind Elemente der Extension des Begriffs
„große Stadt“
London, Berlin oder Moskau hat jeweils die Eigenschaft, eine große
Stadt zu sein
Es kommt London, Berlin oder Moskau jeweils zu, eine große Stadt zu
sein.
London, Berlin und Moskau erfüllen das Prädikat „... ist eine große
Stadt“.
(4) London liegt westlich von Berlin
(5) Berlin liegt westlich von Moskau
(6) Berlin liegt in West-Ost-Richtung zwischen London und Moskau
1. Analyse:
Subjekt
London
Berlin
Berlin
Prädikat
liegt-westlich-von-Berlin
liegt-westlich-von-Moskau
liegt in West-Ost-Richtung zwischen London und
Moskau
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2. Analyse
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Prädikate:
Leerstelle 1
Beziehung
London
liegt-westlich-von
Berlin
liegt-westlich-von
Leerstelle 2
Berlin
Moskau
Ist-eine-große-Stadt‘ ...
Liegt-westlich-von“ ..., ...
Liegt in West-Ost-Richtung zwischen“‘ ..., ..., ...
London steht in der Beziehung „... liegt westlich von ...“ zu Berlin.
Sätze:
1. Analyse
Ist-eine-große-Stadt‘ Berlin
Liegt-westlich-von“ London, Berlin
Liegt in West-Ost-Richtung zwischen“‘ Moskau, Berlin, Ulan Bator
Subjekt
Berlin
Prädikat
liegt-in-West-Ost-Richtung-zwischen-London-undMoskau
Kein Satz:
2. Analyse
Liegt-westlich-von“ London, ...
Leerstelle 1
Leerstelle 2
Leerstelle 3
Berlin
liegt-in-West-Ost-Richtung-zwischen London und Moskau
Moskau liegt-in-West-Ost-Richtung-zwischen Berlin
und Ulan Bator
Moskau liegt-in-West-Ost-Richtung-zwischen Ulan B. und Tokio
Funktionen und Prädikate:
... ist-eine-große-Stadt
einstelliges Prädikat
... liegt westlich von ...
zweistelliges Prädikat
... liegt in West-Ost-Richtung zwischen ... und ...
dreistelliges P.
usw.
F
(2)
= 4
Ist-eine-große-Stadt‘ Berlin = wahr
Ist-eine-große-Stadt‘ Benzin = falsch
mit F(x) = x2
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Arten von (zweistelligen) Relationen
Die Standard-Semantik von PL
nicht-symmetrische Relation
Liebt“ Uwe, Petra
Liebt“ Petra, Uwe
Symmetrische Relation
Wenn Ist-verheiratet-mit“ Petra, Jens
dann Ist-verheiratet-mit“ Jens, Petra.
Asymmetrische Relation
Wenn Liegt-westlich-von“ London, Berlin,
dann nicht Liegt-westlich-von“ Berlin, London
Reflexive Relation
Ist-genauso-groß-wie“ Jens, Jens
Reflexiver Fall bei einer Relation
Bemitleidet“ Uwe, Uwe
[= Uwe bemitleidet sich selbst]
Irreflexive Relation
Ist-größer-als“ Petra, Petra
[= Petra ist größer als sie selbst]
Transitive Relation
Wenn Parkt-hinter“ Petra, Kai und Parkt-hinter“ Kai, Uwe
dann Parkt-hinter“ Petra, Uwe.
Grundidee:
Die Standard-Semantik von PL interpretiert die Prädikatsymbole von
PL mit Extensionen von Prädikaten.
Die Extension eines Prädikates Φ (vgl. 12.6.!) ist die Menge der
Gegenstände, die Φ erfüllen.
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Spielanleitung für PL, Semantik Teil I
Geordnete Paare und Tupel
Definition PL-7: PL-Modell
Ein PL-Modell ist ein geordnetes Paar M = ⟨U,I⟩; dabei ist
(1) U eine nichtleere Menge, genannt „Redebereich“ oder „universe of discourse“
(2) I eine (Interpretations-)funktion, die jedem n-stelligen Prädikatsymbol von PL
ein n-Tupel über U zuordnet.
Dabei gilt: I ordnet dem Symbol =“ immer die Menge aller geordneten Paare über
U zu, deren erste Komponente mit der zweiten Komponente identisch ist,
also { ⟨a,a⟩, ⟨b,b⟩ , ⟨c,c⟩...}.
⟨a,b⟩ ≠ ⟨b,a⟩, wenn a ≠ b
Definition PL-8.1: PL-Belegung
Eine PL-Belegung ist eine Funktion, die jeder Variablen von PL ein Element von
U zuordnet.
Definition PL-9.1: Wahrheit für quantorenfreie Formeln
Jeder wff α von PL ist bezüglich eines PL-Modells M und einer PL-Belegung µ
entweder der Wert 1 (= „wahr“) oder 0 (= „falsch“) zugeordnet
- kurz VM,µ(α) = 1 bzw. VM,µ(α) = 0 -, wobei gilt:
(1) VM,µ(α) = 1, wenn α die Gestalt Φ χ1 ... χn hat,
wobei Φ ein n-stelliges Prädikatsymbol von PL ist und ξ1 bis ξn Variablen sind
(also α eine atomare Formel von PL ist), und es gilt:
⟨ µ( χ 1), ... µ( χn) ⟩ ∈ IM ( Φ );
(2) VM,µ(α) = 1, wenn α die Gestalt ~ β hat, und es gilt: V M,µ(α) = 0;
(3) VM,µ(α) = 0, wenn α die Gestalt (β → γ) hat, und es gilt: VM,µ(β) = 1 und
VM,µ(γ) = 0;
...
Tupel
a
⟨a,b⟩
⟨a,b,c⟩
⟨a,b,c,d⟩
⟨a,b,c,d,e⟩
Einer-Tupel bzw. Gegenstand
Zweier-Tupel (geordnetes Paar)
Dreier-Tupel (Tripel)
Vierer-Tupel (Quadrupel)
Fünfer-Tupel (Quintupel)
etc.
auch: ⟨a,a⟩ als geordnetes Par möglich !
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Redebereich
Interpretationsfunktion
Die Interpretationsfunktion
Modell M = ⟨ U, I ⟩
U={
I = { ⟨F‘,
⟨G‘,
⟨R“,
⟨=“,
,
,
{
,
{ } ⟩,
{⟨
,
{⟨
,
Belegung µ = { ⟨x,
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1. Die in der einem Prädikatsymbol zugeordneten Menge enthaltenen Gegenstände
müssen in U enthalten sein, also aus dem Redebereich stammen.
}
} ⟩,
⟩, ⟨
⟩, ⟨
⟩, ⟨y,
,
,
⟩} ⟩,
⟩, ⟨
⟩, ⟨z,
Abkürzungsverzeichnis
F’x
= x hält einen Becher in der Hand
G’x
= x ist 2,70m groß
R“xy = x sitzt westlich von y
x=“y
= x ist identisch mit y (wie immer)
,
⟩, ⟨x‘,
⟩} ⟩, ... }
⟩ ... }
2. Einem n-stelligen Prädikatsymbol können nur n-Tupel zugeordnet sein. Enthält
die Menge, die einem einstelligen Prädikatsymbol zugeordnet ist, überhaupt
Elemente, so müssen dies einzelne Gegenstände aus U sein; Enthält die Menge, die
einem zweistelligen Prädikatsymbol zugeordnet ist, überhaupt Elemente, so
müssen dies geordnete Paare von Gegenständen aus U sein; Enthält die Menge,
die einem dreistelligen Prädikatsymbol zugeordnet ist, überhaupt Elemente, so
müssen dies Tripel von Gegenständen aus U sein usw. (wir können die Menge aber
auch ganz leer lassen).
3. Das Gleichheitszeichen bekommt immer die Menge aller geordneten Paare über
U zu, deren erste Komponente mit der zweiten Komponente identisch ist. Das stellt
sicher, dass es sich genau so verhält, wie wir das vom Gleichheitszeichen erwarten
würden.
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Die Belegung:
Wahrheit in PL
Prinzip:
Variablen sind Namensschilder für Gegenstände aus dem Redebereich.
Prinzip
Eine wff von PL ist wahr bzw. mit Bezug auf
1. ein Modell, durch das klar ist, welche Dinge welche Eigenschaften
haben
2. eine Belegung, durch die klar ist, wie die Dinge heißen.
(1) PL hat durch die Methode des Anhängens von Häkchen unendlich
viele Variablen. Wie die Variablen belegt sind, die wir gerade nicht
konkret gebrauchen, ist wurscht.
(2) Eine PL-Belegung ist eine Funktion. Das heißt: Es kann nicht
vorkommen, dass ein Namensschild unverteilt und damit ein Name leer
bleibt.
(3) Eine PL-Belegung ist eine Funktion. Das heißt: Es kann nicht
vorkommen, dass dasselbe Namensschild zur Benennung verschiedener
Dinge verwendet wird (anders als in der natürlichen Sprache sind PLNamen eindeutig).
(4) Eine PL-Belegung ist eine Funktion. Das heißt: Es kann vorkommen,
dass ein Objekt aus dem Redebereich mehrere Namensschilder
abbekommt.
(5) Es kann vorkommen, dass einige Gegenstände unbenannt bleiben.
Die Klauseln 2 und 3 integrieren die aussagenlogischen Junktoren und
sind unproblematisch.
Klausel 1 besagt, dass eine atomare Formel der Gestalt Φ χ1 ... χn von
PL gerade dann in Bezug auf ein Modell M und eine Belegung µ wahr
wird, wenn gilt:
⟨ µ( χ1), ... µ( χn) ⟩ ∈ IM ( Φ )
wobei Φ ein n-stelliges Prädikatsymbol von PL ist und ξ1 bis ξn
Variablen sind
Was bedeutet ein Ausdruck wie „µ( χ1)“ und „IM ( Φ )“ ?
Diese Ausdrücke nehmen auf einen Gegenstand in seiner Rolle als
Funktionswert bezug:
„µ( χ1)“ heißt „derjenige Gegenstand, dem die Belegung µ das
Namensschild χ1 zuweist“
„IM( Φ )“ heißt „diejenige Tupelmenge, die die Interpretationsfunktion
von Modell M dem Prädikatsymbol Φ zuweist (die Extension von Φ)“.
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µ(x)=
µ(y)=
µ(z)=
µ ( x‘ ) =
IM ( F‘ ) =
IM ( G‘ ) =
IM ( R“ ) =
IM ( =“ ) =
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Ist die Formel „ F’x “ bezüglich M und µ wahr?
{
{ }
{⟨
{⟨
,
}⟩
,
⟩, ⟨
⟩, ⟨
,
Prinzip:
Φ χ1 ... χn ist gerade dann wahr, wenn ⟨ µ( χ1), ... µ( χn) ⟩ ∈ IM ( Φ )

,
,
⟩}
⟩, ⟨
,
⟩}
relevanter Spezialfall:
„ F‘ x “
ist gerade dann wahr, wenn µ ( x )
∈ IM ( F‘ )
Es fragt sich somit: Ist es der Fall, dass µ ( x ) ∈ IM ( F‘ ) ?
Fragen:
Es ist: µ ( x ) =
1. Ist die Formel „ F’x “ bezüglich M und µ wahr?
2. Ist die Formel „ F’z “ bezüglich M und µ wahr?
3. Ist die Formel „ ~ F’z “ bezüglich M und µ wahr?
4. Ist die Formel „ R“ xy “ bezüglich M und µ wahr?
5. Ist die Formel „ z =“ x‘ “ bezüglich M und µ wahr?
6. Ist die Formel „ x =“ y “ bezüglich M und µ wahr?
7. Ist die Formel „ y =“ y “ bezüglich M und µ wahr?
8. Ist die Formel „ F’x ∧ G‘ x “ bezüglich M und µ wahr?
∈{
,
,
IM ( F‘ ) = {
,
}, also µ ( x ) ∈ IM ( F‘ )
Also ist „ F’x “ bezüglich M und µ wahr.
}⟩
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Intuitive Deutung der Antworten
Antworten formal
F’x : x hält einen Becher in der Hand
(x ist Element der Extension von ... hält-einen-Becher-in-der-Hand)
... entsprechend
2. µ ( z ) =
∉{
F’z : z hält einen Becher in der Hand
(z ist Element der Extension von ... hält-einen-Becher-in-der-Hand)
} ⟩,
IM ( F‘ ) = {
,
,
}, also: falsch
~ F’z : Es ist nicht der Fall, dass z einen Becher in der Hand hält
(z ist nicht Element der Extension von
... hält-einen-Becher-in-der-Hand)
3. „ F‘ z “ ist falsch, also „ ~ F‘ z “ wahr
4. µ ( x ) =
,µ(y)=
,
IM ( R“ ) = { ⟨
,
⟩, ⟨
,
⟨
,
⟩ ∈ {⟨
,
⟩, ⟨
,
5. – 7. µ ( x ) =
,µ(y)=
,µ(z)=
µ ( x‘ ) =
,
IM ( =“ ) = {⟨
,
⟩, ⟨
,
⟨
,
⟩ ∈ IM ( =“ ), also 5. wahr
⟨
,
⟩ ∉ IM ( =“ ), also 6. falsch
⟨
,
⟩ ∈ IM ( =“ ), also 7. wahr
8.
R“xy : x sitzt westlich von y
( das geordnete Paar aus x und y ist Element der Extension von
... sitzt-westlich-von ...)
⟩}
⟩}, also wahr
,
⟩, ⟨
,
⟩ };
µ(x)=
, IM ( G‘ ) = { },
∉ { }, also „ G‘ x “ falsch, also auch „ F’x ∧ G‘ x “ falsch.
z =“ x‘ : z ist identisch mit x‘
( das geordnete Paar aus z und x‘ ist Element der Extension von
... ist-identisch-mit ... )
x =“ y : x ist identisch mit y
( das geordnete Paar aus x und y ist Element der Extension von
... ist-identisch-mit ... )
y =“ y : y ist identisch mit y
( das geordnete Paar aus y und y ist Element der Extension von
... ist-identisch-mit ... )
F’x ∧ G‘ x : x hält einen Becher in der Hand und ist über 2,70 groß.
( x ist nicht sowohl Element der Extension von ... hält-einen-Becher-in-der-Hand
als auch Element der Extension von ... ist über 2,70 groß)