Was ist das Propädeutikum? - Institut für Mathematik

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan
Sommersemester 2012
17.04.2012
1 . Übung zum Propädeutikum Mathematik
Spielen Sie Korrektor: Korrigieren Sie die folgenden Lösungsversuche. Versuchen Sie
dabei zu unterscheiden:
• Welche der Argumentationsschritte sind falsch? Lokalisieren Sie den Fehler möglichst
genau (Schreiben Sie F an die entsprechende Stelle).
• An welchen Stellen können Sie der Argumentation gar nicht folgen (Schreiben Sie ?
an die entsprechende Stelle).
• An welchen Stellen ist die Argumentation vage und ungenau (Schreiben Sie U an
die entsprechende Stelle).
• Was ist überflüssig und trägt nicht zur Lösung bei? Unterringeln Sie die entsprechenden Stellen.
• Welche Stellen wären mit mehr Text +T oder weniger Text -T verständlicher?
• Bewerten Sie die Lösungen. Sind sie im wesentlichen richtig; Enthalten sie zwar Fehler und Ungenauigkeiten, aber lassen sich korregieren; Sind Sie völlig unbrauchbar
und tragen nichts zur Lösung bei.
Aufgabe 1: Zeigen Sie: Ist 2n − 1 eine Primzahl, so ist auch n eine Primzahl.
Lösung 1: Ist n eine Primzahl, dann ist 2n − 1 durch keine natürliche Zahl außer 1 und
2n − 1 teilbar. Also ist 2n − 1 eine Primzahl.
Lösung 2: Ist 2n − 1 keine Primzahl, dann ist 2n − 1 = ab mit 1 ≤ a und 1 ≤ b. Also ist
ab ungerade, also ab = 2k − 1 mit k ∈ N. Es folgt 2n = 2k. Also ist n = αβ mit k = 2αβ−1 .
Folglich ist auch n keine Primzahl.
Lösung 3: Ist n = ab mit a ∈ N und b ∈ N. Wir nehmen an, dass a kleiner als n ist und
1 kleiner als a ist. Analog nehmen wir an, dass 1 < b < n. Für den Fall: a = b = 2 kann
man 2ab − 1 zerlegen in
22·2 − 1 = (22 − 1)(1 + 22 ).
Man sieht also, dass 2ab −1 = (2a −1)(1+2a +22a +· · ·+2(b−1)a ). Also ist 2n −1 das Produkt
zweier natürlicher Zahlen, nämlich der Zahl 2a − 1 und der Zahl 1 + 2a + 22a + · · · + 2(b−1)a .
Beide Zahlen sind größer als die Zahl 1. Wäre nun 2n − 1 eine Primzahl, dann wäre
mindestens eine der Zahlen 2a − 1 und 1 + 2a + 22a + · · · + 2(b−1)a gleich 1. Das ist aber
nicht der Fall. Also ist 2n − 1 keine Primzahl.
Lösung 4:
xy = n ⇔ 2xy − 1 = (2x − 1) R(x, y) ⇔ 2xy − 1 durch R(x, y) teilbar
| {z }
∈N
Lösung 5: Wir beginnen mit einer Nebenrechnung: 2a (1 + 2a + 22a + · · · + 2(b−1)a ) =
2a + 22a + · · · + 2(b−1)a + 2ba . Es folgt: 2ab − 1 = 2a (1 + 2a + 22a + · · · + 2(b−1)a ) − (1 + 2a +
22a + · · · + 2(b−1)a ) = (2a − 1)(1 + 2a + 22a + · · · + 2(b−1)a ).
Nun kommen wir zum Beweis: Wir nehmen nun an 2n − 1 wäre eine Primzahl. Dann ist
also 2n − 1 = αβ nur dann erfüllt, wenn α = 1 und β = 2n − 1 gilt. Wir nehmen nun an,
ob wohl 2n − 1 wie gesagt eine Primzahl ist, wäre n keine Primzahl. Genauer gesagt, n
ist das Produkt zweier natürlicher Zahlen. Also n = ab mit a 6= 1 und b 6= 1. Es gilt also
2n − 1 = 2ab − 1, da ja n = ab gilt. Wir zeigen jetzt, dass dann auch 2n − 1 keine Primzahl
ist. Dies folgt sofort aus der Nebenrechnung.