n - Universität Magdeburg

Kapitel 4.
Reihen in normierten Räumen
Definition 1. Sei (E, || · ||) ein normierter Raum und (an)n∈N eine Folge
von Elementen aus E. Dann heißen
sn = a0 + a1 + a2 + · · · + an =
n
X
ai
i=1
P∞
Partialsumme, (sn)n≥0 die Folge der Partialsummen oder Reihe
n=0
und an n-tes Glied der Reihe. Konvergiert die Folge der Partialsummen
(sn) gegen s, so heißt die Reihe konvergent und s Summe der Reihe,
divergiert die Folge der Partialsummen, so heißt die Reihe divergent.
Übung Analysis 1 – Universität Magdeburg
1
Beispiel 1 ((endliche) geometrische Reihe). Für die endliche geometrische Reihe gilt
2
3
n
1 + q + q + q + ··· + q =
n
X
k=0
Die geometrische Reihe
ist.
P∞
2
k=0 q
3
k
konvergiert genau dann, wenn |q| < 1
1 + q + q + q + ··· =
Für q ≥ 1 ist
P∞
k=0 q
∞
X
k=0
k
1 − q n+1
q =
für q 6= 1.
1−q
k
1
für |q| < 1.
q =
1−q
k
= ∞.
Übung Analysis 1 – Universität Magdeburg
2
4.1 Konvergenzkriterien
Satz 1 (Cauchykriterium). Folgende zwei Aussagen sind äquivalent:
1.
P∞
i=0 ai
ist konvergent.
2. Zu jedem ε > 0 gibt es ein N ∈ N mit
¯¯ m
¯¯
¯¯ X ¯¯
¯¯
¯¯
ai¯¯ < ε.
¯¯
¯¯
¯¯
i=n+1
Satz 2. Konvergiert die Reihe
P∞
i=0 ai ,
so ist (an)n∈N eine Nullfolge.
Die Umkehrung von Satz 2 ist falsch, wie die harmonische Reihe
∞
X
1
lehrt.
n
n=0
Übung Analysis 1 – Universität Magdeburg
3
P∞
Definition 2. Ist die Zahlenreihe
n=0 ||an ||
P∞(mit positiven Gliedern)
konvergent, so heißt die Reihe n=0 an absolut konvergent.
Satz 3. In einem Banachraum E ist jede absolut konvergente Reihe konvergent.
4.2 Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
P∞
Im Folgenden betrachten wir n=0 an mit an ∈ R+. Dann ist die Partialsummenfolge strikt wachsend, denn
sn+1 − sn =
n+1
X
i=0
ai −
n
X
ai = an+1 > 0.
i=0
Satz 4. Für Reihen mit positiven Gliedern gilt folgende Äquivalenz
à n !
∞
X
X
ai konvergent ⇐⇒
ai
beschränkt.
i=0
Übung Analysis 1 – Universität Magdeburg
i=0
n≥0
4
P∞
P∞
Definition 3. Für die Glieder der Reihen i=0 ai und i=0 bi gelte ab
einem bestimmten
Index i0, 0 < ai ≤ bP
heißt
i für alle i > i0 . Dann
P∞
P
∞
∞
die Reihe i=0 ai Minorante
zur
Reihe
b
und
die
Reihe
i
i=0
i=0 bi
P∞
Majorante zur Reihe i=0 ai.
Satz 5 (Majorantenkriterium). Besitzt eine Reihe in einem Banachraum
eine konvergente Majorante, so konvergiert sie absolut.
Aus dem Majorantenkriterium ergeben sich weitere wichtige Hilfsmittel zur
Konvergenzuntersuchung von Reihen.
Übung Analysis 1 – Universität Magdeburg
5
Satz 6 (Quotientenkriterium). Für die Glieder einer Reihe mit positiven
Gliedern gelte ab einem bestimmten Index n0:
an+1
≤ q < 1 für alle n ≥ n0.
an
Dann ist die Reihe
P∞
n=0 an
konvergent. Gilt
an+1
≥ 1 für alle n ≥ n0,
an
so ist die Reihe divergent.
Übung Analysis 1 – Universität Magdeburg
6
Satz 7 (Wurzelkriterium). Es seien
P∞
n=0 an
eine Reihe in E und
p
α := lim n |xn|.
Dann gelten folgende Aussagen:
•
•
P∞
n=0 an
P∞
n=0 an
konvergiert absolut, falls α < 1.
divergiert, falls α > 1.
• Für α = 1 kann
P∞
n=0
Übung Analysis 1 – Universität Magdeburg
konvergieren oder divergieren.
7
4.3
Konvergenzkriterien für alternierende Reihen
P∞
Eine Reihe n=0 an heißt alternierend, falls an und an+1 entgegengesetzte P
Vorzeichen haben. Eine alternierende Reihe kann immer in der Form
∞
± n=0(−1)nan mit an ≥ 0 geschrieben werden.
Satz 8 (Leibnizsches-Kriterium). Es sei (an)n∈N eine fallende Nullfolge
mit
Gliedern. Dann konvergiert die alternierende Reihe
P∞ nichtnegativen
n
(−1)
an in R.
n=0
4.4 Weitere Konvergenzkriterien
Satz 9 (Cauchys Verdichtungskriterium). Ist (an)n∈N eine monoton
P∞
fallende Folge nichtnegativer Zahlen, so konvergiert die Reihe n=0 an
genau dann, wenn die kondensierte Reihe“
”
∞
X
2na2n = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · · konvergiert.
n=0
Übung Analysis 1 – Universität Magdeburg
8
Satz 10 (Abel-Dirichlet-Kriterium). Sei x1, x2, . . . eine Folge im Banachraum E, deren Partialsummenfolge (sn = x1 + x2 + · · · + xn)∞
n=1
beschränkt ist. Sei weiterhin a1, a2, . . . eine monoton fallende Nullfolge
positiver reeller Zahlen
a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · ≥ 0 und lim an = 0.
n→∞
Dann konvergiert die Reihe
∞
X
ak · xk .
k=1
Übung Analysis 1 – Universität Magdeburg
9