SEMINARARBEIT

SEMINARARBEIT
Modeling Volatility
Verfasser: HAJI-HASHEMI Sasan
Betreuer: Prof. GERHOLD Stefan
Wien, am 28. Februar 2014
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Motivation zur Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Implizierte Volatilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2 Lokale Volatilität
2.1 Motivation und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dupires Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Lokale Volatilität als overall-average . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
7
3 Stochastische Volatilität
3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Volatilitätsrisiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Wirschaftliche Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
12
4 Das
4.1
4.2
4.3
4.4
14
14
14
17
18
Heston-Modell
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geschlossene Formel für Europäische Optionen
Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Heston Modell im Vergleich . . . . . . . . . .
.
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.
5 Fazit
19
6 Quellenverzeichnis
20
2
1
1.1
Einleitung
Motivation zur Modellierung
Die Finanzwelt hat sich im späten 19. Jahundert stark weiterentwickelt. Der Wendepunkt war wohl 1970 als die Black-Scholes Formel veröffentlich wurde. Dies gilt als ein
Meilenstein der Finanzwirtschaft. Nun rückten Derivate in den Vordergrund, durch das
Black-Scholes Modell war es möglich Preise von europäischen Option auf eine relevant
einfachen Art und Weise zu berechnen. Der Preis ist bei dem Modell abhängig von Laufzeit T , Strike K der Option und von der Volatilität σ des Assets welches als konstant
angenommen wurde. Die einzige Unbekannte in dieser Formel ist die Volatilität. Dieser
Fakt motivierte seit daher zur Modellierung der Volatilität als Prozess. Jedoch werden
wir sehen dass die Annahme σ sei Konstant stark mangelhaft ist.
Ein anderer Grund für die Modellierung der Volatilität sind Bewertung von exotischen
Option. Diese sind Pfadabhängig und sind somit nicht vereinbare mit der Annahme dass
ein Asset über längere Zeit konstant Volatilität besitzt. In der Tat hat die Praxis gezeigt
dass das Black-Scholes Modell zur Bewertung von exotischen Optionen ungeeignet ist.
1.2
Implizierte Volatilität
Nun aber ein anderer Ansatz. Man nähme die aktuellen Preise der europäischen Optionen
mit den dazugehörigen Strikes bzw. Laufzeiten und versuche numerisch das σ zu berechnen. Dieser Ansatz führt uns zum Konzept der implizierten Volatilität. Dieser besteht
aus den implizierten Erwartung der Trader an die Volatilität in dem sie Optionspreise
festlegen. Dieses Konzept wäre auch Tadellos wenn bei verschieden Strikes und Laufzeiten nicht verschiedene implizierten Volatilität angenommen werden würden. Das ist ein
Widerspruch zur annahme dass σ konstant ist. Dieses Phänomen wird auch als ”volatility
smile”bezeichnet.
Die lächelnde Volatilität
In Abbildung(1) sehen wir den volatility smile für eine Call-Option. Sie hat für jede
Option eine andere Form. Aus Erfahrung besteht eine negative Korrelation zwischen
Aktienpreis und Volatilität der Aktie. Auf dem ersten Blick ist das ein Widerspruch zum
”volatility smile”da eine hohe implizierte Volatilität für way in-the-money Call-Option
angenommen wird. Dieser Effekt wurde zum ersten mal nachdem Crash von Oktober
1987 beobachtet. Die Erklärung dafür ist die Put-Call Parity. Die implizierte Volatilität
aus dem Black-Scholes Modell σBS von einem way in-the-money Call-Option stimmt
3
Abbildung 1: the volatility smile
mit der aus einer way out-of-the-money Put-Option überein. Diese wurden nach 1987
oft eingesetzt als Absicherung gegen Finanzcrashs. Wenn viele way out-of-the-money
Put-Option eingegangen werden impliziert dass Sorgen über einen Crash also fallende
Aktienkurse daraus folgt hohe Volatilität.
4
2
2.1
Lokale Volatilität
Motivation und Definition
Angesichts der komplexen implementierung eines stochstischen Modells hinsichtlich der
numerischen Berechnung bzw. der Kalibrierung der Parameter um das Modell den aktuellen Preisen von vanilla Optionen anzupassen, hat man nach einem einfacheren Weg gesucht exotische Optionen zu bewerten. Somit wurde nach einer unkomplizierteren Lösung
gesucht welches trotzdem den ”volatility smileı̈n Kauf nimmt. Breedon-Litzenberger haben gezeigt dass ein eindeutiger Dichteprozess existiert welches die Verteilung der Assets
erklärt. Der Durchbruch kam mit Dupire (1994) und Derman und Kani (1994). Sie haben
gezeigt dass unter risikoneutralität es ein eindeutiger Diffusionsprozess σL (S, t) existiert
welches konsistent mit der Verteilung hergeleitet von Breedon-Litzenberger ist. Die Funktion σL (S, t) hängt nur vom momentanen Assetpreis und der Zeit ab deswegen auch ”local
volatility function”.
Die lokale Volatilität an sich ist weniger ein Modell sondern viel mehr ist es anzusehen als
ein generelle Erwartung der Varianz in einem stochastischen Modell. In der Tat werden
wir später zeigen dass die lokale Volatilität als bedingte Erwartung (Bedingung: ST = K)
der stochastischen Volatilität dargestellt werden kann.
2.2
Dupires Gleichung
Gegeben sei die Preisentwicklung eines Assets als stochastisches Modell.
dSt = µ(t)St dt + σ̃(t, St )St dWt
Wobei wir µ(t) = r(t) − q(t) annehmen. r(t) stellt die risikolose Zinsrate dar und q(t) die
Ausschüttung der Dividende der Aktie. Beide Prozesse können von der Zeit abhängen
sind jedoch in unserem Fall deterministisch. Aus der Gleichung für unser Asset können
wir den Forward-Preis ausdrücken
Z
Ft = F (t, T ) = St exp(
T
µ(s)ds)
t
Man kann zeigen dass Ft ein Martingal ist und folgende Differentialgleichung erfüllt.
dFt = σ(t, Ft )Ft dW
5
wobei das σ dargestellt werden kann als:
σ = σ̃(t, xe−
RT
t
µ(s)ds
)
Trivialerweise gilt FT = ST . Der Forward-Preis einer Call-Option mit Strike K und
Laufzeit T kann in unserem Modell ausgedrückt werden durch:
Z
∞
(x − K)φ(T, x)dx
C(T, K) =
K
Wobei φ(T, ·) die Dichtefunktion der ZV ST ist. Wir differenzieren zweimal nach K.
Z ∞
∂C
=−
φ(x)dx = Φ(T, K) − 1
∂K
K
∂ 2C
= φ(T, x)
∂K 2
Die Verteilungsfunktion von ST wird mit Φ(T, ·) dargestellt. Die obigen Gleichung werden auch als die Breedon-Litzenberger Formel bezeichnet. Sei nun t < T und h eine
beschränkte und messbare funktion. Wir definieren v(t, x) = E[h(Ft )|Ft = x]. Aus der
Turmeigenschaft folgt:
E[h(FT )] = E[E[h(FT )|Fs ]]
Z ∞
=
v(t, x)φ(t, x)dx
0
Wir differenzieren die Gleichung nach t und wenden die Kettenregel an. Die Linke seite
ist unabhängig zu t:
Z
∞
0=
0
∂v
φdx +
∂t
Z
∞
v
0
∂φ
dx
∂t
Wir wissen dass v die Kolmogoroff-Rückwärtsgleichung erfüllt.
∂v 1 2
∂ 2v
+ σ (t, x)x2 2 = 0, v(T, x) = h(x)
∂t 2
∂x
Mit der Notation v 0 =
∂v
∂x
etc. setzen wir ein.
Z
0=−
0
∞
1 2 2 00
σ x v φdx +
2
6
Z
∞
v
0
∂φ
dx
∂t
Zweifaches partielles integrieren bringt uns auf:
Z
∞
0=
0
∂φ
1
)vdx.
( (σ 2 x2 φ)00 −
2
∂t
Da h und damit insbesondere v beliebig wählbar ist, schließen wir daraus:
∂φ
1 ∂ 2 σ 2 (t, x)x2 φ
=
∂t
2
∂x2
Nun haben wir alle Werkzeuge um Dupires Gleichung herzuleiten.
∂C
(T, K) =
∂T
Z
∞
(x − K)
K
1
=
2
Z
∂φ
(T, x)dx
∂T
∞
(σ 2 (t, x)x2 φ)00 (x − K)dx
K
Z
1 ∞ 2 2 0
=−
(σ x φ) 1dx
2 K
1
= σ 2 (T, K)K 2 φ(T, K)
2
1
∂ 2C
= σ 2 (T, K)K 2 2 (T, K)
2
∂x
Das liefert uns Dupires Formel für die lokale Volatilität:
σ 2 (T, K) =
2
K2
∂C
(T, K)
∂T
∂2C
(T, K)
∂x2
(1)
Konstruktion des lokalen Volatilität Modells
1. Sammeln der Daten in Form einer Matrix (C(Ti , Kj )) und beziehung der aktuellen
Zinskurve zur Berechnung des Drift.
2. Interpolation bzw. Extrapolation zwischen Zeitpunkten Ti und Strikes Kj um eine
glatte zweidimensionale Funktion zu bekommen.
3. Berechne die lokale Volatilität σL (T, K) wobei wir K = F (T ) setzen.
4. Wir kennen nun unseren Prozess St und können Preise von anderen Optionen ausrechnen die Pfadabhängig sind.
2.3
Lokale Volatilität als overall-average
Dieser Fakt wurde von Dupire (1996) und Derman und Kani (1998) gezeigt. Wir folgen
der Herleitung von Derman und Kani. Sei der Forwardpreis einer Aktie definiert wie im
7
vorigen Kapitel, also:
RT
F (t, T ) = St e t µ(s)ds
√
dF (t, T ) = vt F (t, T )dZ
Der Wert einer Europäischen Call-Option mit Strike K und Laufzeit T ist gegeben durch:
C(S0 , K, T ) = E[(ST − K)+ ]
Differenzieren nach K liefert uns:
∂C
= −E[θ(ST − K)]
∂K
Wobei θ(·) die Heaviside-Funktion ist. Wir differenzieren ein weiteres mal nach K.
∂ 2C
= E[δ/ST − K)]
∂K 2
δ(·) steht für die Dirac-Funktion. Wir wenden nun die Ito-Formel auf die Payoff-Funktion
der Option an und benutzen (dF (T, T ) = dS(T )).
1
d(ST − K)+ = θ(ST − K)dST + vT ST2 δ(ST − K)dT
2
Wir nehmen den bedingten Erwartungswert auf beiden Seiten und nutzen die Martingaleigenschaft von F(t,T) aus.
1
dC = dE[(ST − k)+ ] = E[vT ST2 δ(ST − K)]dT
2
∂C
1
= E[vT ST2 δ(ST − K)]
∂T
2
Anderseits gilt:
E[vT ST2 δ(ST − K)] = E[vT |ST = K]K 2 E[δ(ST − K)]
= E[vT |ST = K]K 2
∂ 2C
∂K 2
Vergleichen wir das nun mit Dupires Gleichung. Direkte Folgerung:
σL2 (K, T, S0 ) = E[vT |ST = K]
8
Die lokale Varianz ist der bedingte Erwartungswert unter dem riskoneutralem Maß mit
der bedingung dass das Asset zum Zeitpunkt T gleich dem Strike ist.
9
3
3.1
Stochastische Volatilität
Definition
Unser Ansatz ist es die Volatilität als stochastischen Prozess zu modellieren. Wir unterstellen daher dem Asset folgende allgemeinen Differentialgleichung.
dSt = µt St dt +
√
vt St dZ1
√
dvt = α(St , vt , t)dt + ηβ(St , vt , t) vt dZ2
hdZ1 , dZ2 i = ρdt
Wobei µt ist der deterministische drift des Assets darstellt, η beschreibt die Volatilität der
Volatilität und ρ die Korrelation zwischen dem Asset und seiner Volatilität. Z1 und Z2
sind Wiener Prozesse. Im Gegensatz zum Black-Scholes Modell bei welchem die Varianz
als konstant angenommen wird, halten wir unser Modell sehr Allgemein. Wir unterstellen den Funktionen α und β nichts. Jedoch können wir einsehen dass unser Modell für
lim η → 0 gegen das erweitere Black-Scholes Modell konvertiert (σ 2 ist nicht konstant
jedoch deterministisch). Das ist sehr eine wichtige Eigenschaft in der Praxis da Preise
von Optionen über die Black-Scholes Formel berechnet werden.
In der Black-Scholes Gleichung haben wir nur eine zufällige Quelle (das Asset selbst). Nun
kommt eine weitere Risikoquelle hinzu. In der Praxis muss man sich auch gegen Schwankungen bei der Volatilität absichern. Dies führt uns zum Begriff ”Volatilitätsrisiko”.
3.2
Volatilitätsrisiko
Wie bereits erwähnt wollen wir uns gegen Schwankungen in der Volatilität schützen,
deswegen betrachten wir zunächst ein Portfolio Λ bestehend aus einer Option welches
wir bewerten wollen V , eine Anzahl an Assets ∆ und eine weiter Anzahl ∆1 von einem
Asset V1 welche von der Volatilität abhängt.
Λ = V − ∆S − ∆1 V1
10
Wir stellen die Differentialgleichung für die Veränderung des Portfolios auf. Dazu verwenden wir die Ito-Formel.
∂ 2V
∂ 2V
1
1
∂V
∂ 2V
+ vS 2 2 + ρηvβS
+ η 2 vβ 2 2 )dt
∂t
2
∂S
∂v∂S 2
∂v
2
2
1 2 2 ∂ 2 V1
∂ V1
∂V1 1 2 ∂ V1
+ vS
+ η vβ
+ ρηvβS
)dt
−∆1 (
∂t
2
∂S 2
∂v∂S 2
∂v 2
∂V1
∂
∂V1
∂V
− ∆1
− ∆)dS + (
− ∆1
)dv
+(
∂S
∂S
∂v
∂v
dΛ = (
Nun Versuchen wir das Risiko bezüglich v bzw. S zu Eliminieren. Dafür setzen wir dv
bzw. dS gleich 0.
∂V
∂V1
− ∆1
−∆=0
∂S
∂S
∂
∂V1
− ∆1
=0
∂v
∂v
Daraus Folgt:
∂V
1
∂ 2V
1
∂ 2V
∂ 2V
+ vS 2 2 + ρηvβS
+ η 2 vβ 2 2 )dt
∂t
2
∂S
∂v∂S 2
∂v
∂V1 1 2 ∂ 2 V1
∂ 2 V1
1 2 2 ∂ 2 V1
−∆1 (
+ vS
+ ρηvβS
+ η vβ
)dt
∂t
2
∂S 2
∂v∂S 2
∂v 2
dΛ = (
Da der Return eines Risikolosen Portfolios dem Zuwachs des Kapitels durch einen risikolosen Zinssatzes (in unserem Fall Deterministisch) entspricht bekommen wir:
dΛ = rΛdt
= r(V − ∆S − ∆1 V1 )dt
Wir bringen alle V -Terme auf die Linke bzw. alle V1 -Terme auf die Rechte Seite.
∂V
∂t
2
2
2
∂ V
+ 12 vS 2 ∂∂SV2 + ρηvβS ∂v∂S
+ 21 η 2 vβ 2 ∂∂vV2 + rS ∂V
− rV
∂S
∂V
∂v
=
∂V1
∂t
2
2
2
∂ V1
1
+ 12 vS 2 ∂∂SV21 + ρηvβS ∂v∂S
+ 12 η 2 vβ 2 ∂∂vV21 + rS ∂V
− rV1
∂S
∂V1
∂v
11
Die Gleichung zeigt uns dass die dass beide Seiten gleich einer Funktion f sind welche in
abhängigkeit der Variablen S, v und t ist.
√ ∂V
∂V
1
∂ 2V
1
∂ 2V
∂ 2V
∂V
+ vS 2 2 + ρηvβS
+ η 2 vβ 2 2 + rS
− rV = −(α − φβ v)
(2)
∂t
2
∂S
∂v∂S 2
∂v
∂S
∂v
√
Wobei gilt f = α − φβ v. α stellt die Driftvariable und β die Volatilitätsvariable der
Gleichung (1). Wir wollen nun zeigen dass φ den Preis des Risikos der Volatilität darstellt
um das einzusehen starten wir mit einem Portfolio Λ1 welches bereits bezüglich dem Risiko
des Assets abgesichert wurde (delta-Hedge).
Λ1 = V −
∂V
S
∂S
Wir wenden die Ito-Formel an daraus folgt:
dΛ1 = (
∂ 2V
∂ 2V
1
∂ 2V
1
∂V
+ vS 2 2 + ρηvβS
+ η 2 vβ 2 2 )dt
∂t
2
∂S
∂v∂S 2
∂v
∂V
∂V
+(
− ∆)dS + (
)dv
∂S
∂v
Da die Option bezüglich des Assets S bereits gehedged ist, ist der dS Term gleich 0.
Daraus folgt:
dΛ1 − rΛ1 dt
=(
∂V
∂t
2
2
2
∂ V
+ 12 vS 2 ∂∂SV2 + ρηvβS ∂v∂S
+ 12 η 2 vβ 2 ∂∂vV2 + rS ∂V
− rV
∂S
∂V
∂v
)+
∂V
dv
∂v
√ ∂V
(φ(S, v, t)dt + dZ2 )
=β v
∂v
Wir sehen dass das Risiko der Volatilität dZ2 durch φ(S, v, t) ausgedrückt wird. Dieser
wird ”market price of volatility risk”genannt.
3.3
Wirschaftliche Interpretation
Aus wirtschaftlicher Sicht ist das Interesse groß die Volatilität als stochastischen Prozess
zu modellieren. Da in der Vergangenheit phänomene aufgetreten sind die durch eine konstante bzw. deterministische Volatilität nicht zu erklären. Einer dieser ist natürlich der
”volatility smile”welches in Kapitel 1 diskutiert wurde.
Zeitreihen aus der Vergangenheit von Assets weisen hohe zentrale Spitzen und fat tails
auf welche Indikatoren für eine Verteilung mit einer stochastischen Varianz sind.
Wir haben die Möglichkeit in unserem stochastischen Modell eine ”mean reversion”für
12
unsere Volatilität einzubauen. Die ”mean reversion”verändert den Drift der Zufallsvariable abhängig von momentanen Wert. Dieser Effekt ist wirtschaftlich gesehen natürlich da
wir uns erwarten dass die Volatilität sich in einem gewissen Rahmen bewegt.
Außerdem können wir nun den zusammenhang zwischen Aktienpreis und dessen Volatilität mathematisch erfassen. Nun kann das Phänomen dass bei fallenden Preisen die
Volatilität ansteigt durch die Variable ρ modelliert werden. Meist wird ρ gleich −0.9
angenommen.
13
4
4.1
Das Heston-Modell
Definition
Im Heston Modell wir die Varianz als stochastischer Prozess definiert. Heston setzt
α(S, vt , t) = −λ(vt − v̄) und β ≡ 1. Daraus folgt für unser stochastischer Prozess:
√
vt St dZ1
√
dvt = −λ(vt − v̄)dt + η vt dZ2
dSt = µt St dt +
ρdt = hdZ1 , dZ2 i
Wobei λ die Geschwindigkeit ist mit dem der Prozess zum Langzeitmittelwert v̄ zurückkehrt.
Um Risikoneutralität zu gewährleisten (siehe Kapitel 3.2 (2)) muss unser Modell folgende
Gleichung erfüllen:
1
∂ 2V
1
∂V
∂ 2V
∂ 2V
∂V
+ vS 2 2 + ρηvβS
+ η 2 vβ 2 2 + rS
− rV
∂t
2
∂S
∂v∂S 2
∂v
∂S
∂V
= λ(v − v̄)
∂v
4.2
Geschlossene Formel für Europäische Optionen
Bevor wir die obige Gleichung lösen führen wir eine vereinfachende Notation ein. sei
log(F
x = log( K t,T ) und wir bezeichnen den Wert der Option zum Zeitpunkt t mit der
Lauftzeit τ = T − t mit C. Die obige Gleichung vereinfacht sich zu:
∂C 1
1
1
+ vC11 − vC1 + η 2 vC22 + ρηvC12 − λ(v − v̄)C2 = 0
∂τ
2
2
2
mit C1 = ∂C
bzw. C2 = ∂C
etc.
∂x
∂v
Duffie, Pan und Singleton (2000) haben gezeigt dass die Lösung von obiger Gleichung
dargestellt wird durch
C(x, v, τ ) = K(ex P1 (x, v, τ ) − P0 (x, v, τ ))
P1 stellt die Wahrscheinlichkeit dass die Option zum Zeitpunkt T in-the-money ist. P0
ist die Wahrscheinlichkeit der frühzeitigen ausführungen der Option.
14
Wir setzen für C ein:
−
∂Pj 1 ∂ 2 Pj
∂Pj 1 2 ∂ 2 Pj
1
∂ 2 Pj
+ v 2 − ( − j)v
+ η v 2 + ρηv
∂τ
2 ∂x
2
∂x
2
∂v
∂x∂v
∂Pj
=0
+(a − bj v)
∂v
für j = 0, 1 und
a = λv̄, bj = λ − jρη
mit der technischen Kondition dass
θ(x) = lim Pj (x, v, τ ) = 1 ∀x > 0
τ →0
θ(x) = lim Pj (x, v, τ ) = 0 ∀x ≤ 0
τ →0
Wir lösen nun die resultierende Differentialgleichung mit Hilfe einer Fouriertransformation. Die Fouriertransformierte von P ist gegeben durch:
Z
∞
e−iux P (x, v, τ )dx
P̃ (u, v, τ ) =
−∞
für τ = 0 ergibt sich
Z
∞
e−iux θ(x)dx =
P̃ (u, v, 0) =
−∞
1
iu
Die inverse Transformation ist geben durch
1
P (u, v, τ ) =
2π
Z
∞
eiux P̃ (x, v, τ )dx
−∞
Wir setzen für Pj in unsere Gleichung ein.
−
∂ P̃j
1
1
1
∂ 2 P̃j
− u2 v P̃j − ( − j)iuv P̃j + η 2 v 2
∂τ
2
2
2
∂v
∂ P̃j
∂ P̃j
+ρηiuv
+ (a − bj v)
=0
∂v
∂v
15
Defieniere nun:
u2 iu
−
+ iju
2
2
β = λ − ρηj − ρηiu
α=−
η2
γ=
2
Daraus folgt:
v(αP̃j − β
∂ P̃j
∂ 2 P̃j
∂ P̃j
∂ P̃j
+γ 2 )+a
−
=0
∂v
∂v
∂v
∂τ
Wir substituiren nun P̃j mit
P̃j (u, v, t) = exp(C(u, τ )v̄ + D(u, τ )v)P̃j (u, v, 0)
1
= exp(C(u, τ )v̄ + D(u, τ )v)
iu
Für die partiellen Ableitungen von P̃j gelten
∂C
∂D
∂ P̃j
= (v̄
+v
)P̃j
∂τ
∂τ
∂τ
∂ P̃j
= DP̃j
∂v
∂ 2 P̃j
= D2 P̃j
∂v 2
Einsetzen in unsere Gleichung liefert:
∂C
= λD
∂τ
∂D
= α − βD + γD2
∂τ
= γ(D − r+ )(D − r− )
Wobei wir r± definieren als
r± =
β±
p
β 2 − 4αγ
β±d
=
2γ
η2
16
Integration von ∂C
bzw
∂τ
die Darstellung:
∂D
∂τ
mit den Anfangswerten C(u, 0) = und D(u, 0) = 0 gibt uns
1 − e−dτ
1 − ge−dτ
2
1 − ge−dτ
C(u, τ ) = λ(r− τ − 2 log(
))
η
1−g
D(u, τ ) = r−
wobei g ist definiert als
g=
r−
r+
Nun nehmen wir die inverse Transformation und verwenden Komplexewertige Integration
um die geschlossene Form für Pj zu erlangen.
1 1
Pj (x, v, τ ) = +
2 π
Z
∞
Re(
0
exp(Cj (u, τ )v̄ + Dj (u, τ )v + iux
)du
iu
Die Integration kann mit üblichen numerischen Methoden durchgeführt werden. Mit dieser Methode ist die Berechnung von delta bzw. vega vom Portfolio stark vereinfacht da
C(u, τ ) bzw D(u, τ ) unabhängig von x und v sind.
4.3
Simulation
Nun schauen wir uns einer der Standardverfahren an wie man stochastische Prozesse in
der Praxis simuliert. Das wohl bekannteste Verfahren ist die Euler-Methode. Zur Erinnerung unsere Varianz hatte die Form:
√
dvt = −λ(vt − v̄)dt + η vt dZ1
Wir diskretisieren mit Hilfe der Euler-Methode und bekommen:
√ √
vi+1 = vi − −λ(vt − v̄)∆t + η vi ∆tZ
Z ∼ N (0, 1)
Nun hat die Sache einen kleinen Schönheitsfehler da die Varianz durch das Z negativ
werden kann. Es gibt zwei Wege dieses Problem zu umgehen:
i) wenn v < 0 dann v = 0
ii) wenn v < 0 dann v = −v
17
4.4
Heston Modell im Vergleich
Nun eine kurze Aufzählung der Vorteile bzw. Nachteile des Heston Modells.
Vorteile des Heston Modells
• Wie wir gesehen haben besitzt das Heston Modell eine halbgeschlossene Formel
für die Bewertung von Europäischen Optionen. Dies verkürzt die Kalibrierungszeit
welches nötig ist um das Modell an die aktuellen Optionspreise anzupassen.
• Die Volatilität besitzt ein Mittelwertrückkehr-Effekt (mean reversion) welches ein
großer Vorteil in der Praxis ist wie bereits erklärt.
• Das Modell ist konsistent mit der implizierten Volatilität (volatility smile).
• Im Gegensatz zum Black-Scholes Modell ist das Heston Modell nicht notwendig
log-Normal verteilt. Das heißt wir können mit der ”fat tail”Problematik besser
umgehen.
• Durch die negative Korrelation zwischen Asset und Volatilität wird das Phänomen
erklärt dass bei fallendem Aktienpreis die Volatilität steigt.
Nachteile des Heston Modells
• Volatilität ist kein Gut mit welchen man Handeln kann, die einzige Information
die zur Verfügung steht sind die implizierten Volatilität welches die Kalibrierung
erschwert.
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Fazit
Die Volatilität als finanzmathematische Größe hat eine große Bedeutung für unser Verständnis
über den Finanzmarkt. Wir haben angefangen mit der implizierten Volatilität welches aus
den aktuellen Marktpreisen von vanilla Optionen hergeleitet wird. Die Annahme dass die
Volatilität konstant sei führte zu Widersprüchen wie dem volatility smile. Die lokale
Volatilität ist eine effektive Theorie die den volatility smile in Kauf nimmt und durch
Dupires Formel eine schnelle Implementierungsmöglichkeit bietet. Jedoch kann sie einige
wirschaftliche Phänomene wie zb mean reversion nicht erklären. Diese Problemstellung
motivierte uns die Volatilität als stochastischen Prozess zu modellieren. Das Heston Modell bietet starke Eigenschaften wie mean reversion und Korrelation zwischen Volatilität
und Asset. Außerdem bietet es eine halb-geschlossene Formel für die Bewertung von europäischen Optionen. Die Euler-Methode gab uns Einblick wie ein stochastischer Prozess
in der Praxis simuliert werden kann. Jedoch ist die Kalibrierung bzw. Implementierung
der Volatilität als stochastischen Prozess aufwendig.
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Quellenverzeichnis
1 J.Gatheral, The Volatility Surface
2 H.Kuo, Introduction to Stochastic Integration
3 Wikipedia, www.wikipedia.com
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