Neues Skript

Teil III: Schließende Statistik
Prof. Dr. Barbara Grabowski
Hochschule für Technik und Wirtschaft
des Saarlandes
(C) 2014
Einleitung
-1-
Einleitung
Diese Kurseinheit dient der Vermittlung von Grundkenntnissen auf dem
Gebiet der sogenannten Schließenden Mathematischen Statistik.
Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung sind zwei
unterschiedliche Teildisziplinen der Mathematik, die ohne einander nicht
denkbar sind und unter dem Sammelbegriff „Stochastik“ zusammengefasst
werden. Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es, Gesetzmäßigkeiten
des Zufalls zu untersuchen, bzw. mathematische Modelle dafür zu liefern.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist zugleich das theoretische Fundament
der mathematischen Statistik. Diese wird in der Regel in die Teildisziplinen
„Beschreibende Statistik“ und „Schließende Statistik“ unterteilt. Während es in
der Beschreibenden Statistik um Methoden der Aufbereitung und Darstellung
von Datenmaterial geht, stehen im Mittelpunkt der Schließenden Statistik
Verfahren, mit deren Hilfe von Beobachtungsdaten eines Merkmals an n
Objekten einer Grundgesamtheit, d.h. von der sogenannten Stichprobe, auf
die Verteilung der Merkmalswerte in der gesamten Grundgesamtheit
geschlossen wird. Dieser Schluss wird mit Hilfe von Methoden der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
durch
Irrtumsbzw.
Sicherheitswahrscheinlichkeiten bewertet.
Die Stochastik hat längst in viele moderne wissenschaftliche Teildisziplinen
Einzug gehalten, auch die Ingenieurwissenschaften sind ohne stochastische
Methoden nicht mehr denkbar. Stochastische Methoden finden hier zum
Beispiel Anwendung
- bei der Planung von Versuchen
- bei der Analyse von Zusammenhängen zwischen 2 und mehr
Einflussgrößen und Zielgrößen
- bei der Wahl wesentlicher Einflussgrößen
- bei der Modellierung von Zusammenhängen
- bei der Untersuchung von Lebensdauern und Zuverlässigkeiten von
technischen Systemen
- bei der statistischen Prozesskontrolle
Wir geben in dieser Kurseinheit zunächst eine Einführung in die Methoden
der Schließenden Statistik. Für weitere Methoden der Stochastik, u.a. auch
der Beschreibenden Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
verweisen wir auf die Skripte I. und II. und die im Literaturverzeichnis des
Anhangs angegebene weiterführende Literatur.
-2–
III. Schließende Statistik
Im Kapitel 1 starten wir mit Grundgesetzen zur Verteilung von Summen
stochastisch unabhängiger Zufallsgrößen. Diese bilden die Grundlage für die
weiteren
Kapitel.
Sie
werden
dabei
die
grundlegende
Bedeutung der Normalverteilung in der Statistik kennen lernen.
Kapitel 2 erläutert die Begriffe Stichprobe, Schätzfunktion und
Toleranzschätzung, sowie die Eigenschaften von Schätzfunktionen und
Toleranzschätzungen.
Danach werden Sie im Kapitel 3 mit Punktschätzungen, Toleranz- und
Prüfbereichen für den unbekannten Erwartungswert einer Zufallsgröße unter
der Annahme, dass ihre Varianz bekannt ist, vertraut gemacht und es werden
konkrete Beispiel durchgerechnet. Ein wesentlicher Bestandteil dieses
Kapitels sind Überlegungen zur Wahl des Stichprobenumfanges, um gute
Schätzungen für den Erwartungswert zu erhalten.
Um Schätzungen für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz zu
erhalten, benötigt man die Kenntnis weiterer Verteilungen, die
Normalverteilung reicht nicht mehr aus. Im Kapitel 4 werden Sie mit der
t- Verteilung von Student, der 2-verteilung und der F-Verteilung von Fisher
vertraut gemacht.
Auf dieser Basis werden dann in Kapitel 5 Punktschätzungen und
Toleranzbereiche
bzw.
Bereichsschätzungen
für
unbekannte
Wahrscheinlichkeiten, unbekannte Erwartungswerte und Varianzen
hergeleitet, sowie Untersuchungen zum notwendigen Stichprobenumfang
durchgeführt.
Kapitel 6 behandelt die Methoden der Statistischen Prozesskontrolle (SPC),
bei
denen
sogenannte
Kontrollregelkarten,
die wiederum auf
Toleranzbereichen beruhen, verwendet werden.
Kapitel 7 widmet sich dem Hypothesenprüfen. Das Grundprinzip statistischer
Hypothesentests wird erläutert; es werden Hypothesen über unbekannte
Wahrscheinlichkeiten, unbekannte Erwartungswerte und Varianzen sowie
über Verteilungen einer Zufallsgröße anhand von Beobachtungen dieser
Zufallsgröße geprüft. Dabei werden wieder Untersuchungen zum
notwendigen Stichprobenumfang durchgeführt.
Die anschließenden Kapitel beschäftigen sich mit Methoden der statistischen
Analyse von Zusammenhängen zwischen mehreren Einflussgrößen X1,…,Xk
und einer Zielgröße Y. Dazu gehören die statistische Versuchsplanung
Einleitung
(DOE), die Varianzanalyse (ANOVA und MANOVA) und die multiple
Regressions- und Korrelationsanalyse.
In jedem Kapitel werden eine Reihe von Übungsaufgaben gestellt. Am Ende
dieses Skriptes finden Sie die Lösungen zu einigen Übungsaufgaben.
-3-
-4–
III. Schließende Statistik
Inhaltsverzeichnis
1 Verteilungen von Summen von Zufallsgrößen
6
1.1 Erwartungswert und Varianz von Summen und linearen Transformationen
von Zufallsgrößen ...................................................................................................... 6
1.2 Verteilungen von Summen von Zufallsgrößen ...................................................... 8
1.5.1 Der Reproduktionssatz für Normalverteilungen........................................ 9
1.5.2 Der zentrale Grenzwertsatz ......................................................................... 12
2 Stichproben und Schätzfunktionen
17
2.1 Stichproben- und Stichprobenfunktionen.............................................................. 17
2.2 Schätzfunktionen ........................................................................................................ 18
2.2.1 Punktschätzfunktionen ................................................................................... 18
2.2.2 Konsistenz und Erwartungstreue von Punktschätzfunktionen ................ 19
2.3 Bereichsschätzungen und Prüfintervalle............................................................... 20
3 Toleranz- und Prüfintervalle für den unbekannten
Erwartungswert =EX einer Zufallsgröße X bei bekannter Varianz
Var(X)=2
23
3.1 Fall: X ist normalverteilt, X~N(, 2), 2 bekannt .................................................. 23
3.1.1 Bereichsschätzung für EX bei bekannter Varianz 2.................................. 23
3.1.2 Bereichsschätzungen für EX mit vorgegebener GenauigkeitStichprobenumfangsbestimmung ............................................................... 27
3.1.3 Prüfintervalle für EX=................................................................................... 29
3.2 Fall: X ist nicht normalverteilt, EX = , Var(X)=2, 2 bekannt ........................... 30
4 Die Verteilung von Stichprobenfunktionen
31
4.1 Die 2- Verteilung ...................................................................................................... 31
4.2 Die t-Verteilung ........................................................................................................ 33
4.3 Die F-Verteilung ......................................................................................................... 36
5 Toleranz- und Prüfintervalle für Erwartungswerte und Varianzen38
5.1 Toleranz- und Prüfintervalle für die Varianz Var(X)=2 einer N(, 2) –
verteilten Zufallsgröße X......................................................................................... 38
Inhaltsverzeichnis
-5-
5.2 Toleranz- und Prüfintervall für EX= bei unbekannter Varianz Var(X)=...... 42
5.2.1 Toleranz- und Prüfintervall für EX= bei unbekannter Varianz, X~N(,
2)..................................................................................................................... 42
5.2.2 Stichprobenumfangsbestimmung ............................................................... 46
5.3 Toleranz- und Prüfintervalle für =EX bei unbekannter Varianz 2 und für 2
= Var(X) für nicht normalverteilte Zufallsgrößen................................................ 49
6 Kontrollregelkarten
51
6.1 Hypthesen und Prüfintervalle zur Überwachung der laufenden Produktion. 51
6.2 SPC-Regelkarten und Prüfentscheidungen........................................................... 52
6.2.1 Was sind Kontrollregelkarten ...................................................................... 52
6.2.2 Auswertung von Kontrollregelkarten ........................................................ 54
6.2.3 Erstellung der Kontrollregelkarten bei unbekanntem Erwartungswert
und unbekannter Varianz ............................................................................ 57
7 Literaturverzeichnis
59
8 Tabellen und Diagramme
61
A1. Tabelle der Standardnormalverteilung .................................................................. 61
A2. Zufallszahlen zur Gleichverteilung......................................................................... 63
A3. Quantile m2() der 2-Verteilung mit m Freiheitsgraden P(X < m2()) = ..... 64
A4. 1- - Quantile der t-Verteilung mit v Freiheitsgraden.......................................... 65
A5. Quantile der F-Verteilung für =0,01 und =0.05 ................................................ 66
Stichwortverzeichnis ........................................................................................................ 67
-6–
III. Schließende Statistik
1
Verteilungen von Summen von Zufallsgrößen
Häufig benötigt man bei der Modellierung des Zufalls die Verteilung von
Summen oder anderen Funktionen von stochastisch unabhängigen
Zufallsgrößen.
Angenommen, es ist bekannt, dass das zufällige Gewicht X von Papiertüten
einer bestimmten Schwankung unterliegt, genauso wie auch der in die
Papiertüte eingefüllte Inhalt Y. Möchte man jetzt die Verteilung des
Gesamtgewichtes analysieren, so besteht die mathematische Aufgabe darin,
die Verteilungsfunktion von Z = X + Y, d.h. der Summe zweier stochastisch
unabhängiger Zufallsgrößen zu ermitteln.
Nach Durcharbeiten dieses Kapitels können Sie



1.1
Erwartungswert und Varianz von Summen stochastisch unabhängiger
Zufallsgrößen berechnen,
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
von
Summen
stochastisch
unabhängiger normalverteilter Zufallsgrößen bestimmen und dazu
praktische Aufgaben lösen,
den Zentralen Grenzwertsatz zur Lösung praktischer Aufgaben
anwenden.
Erwartungswert und Varianz von Summen und linearen
Transformationen von Zufallsgrößen
Wir führen zunächst den Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von
Zufallsgrößen ein. Wir erinnern uns daran, dass 2 Ereignisse A und B
stochastisch
unabhängig
sind,
genau
dann,
wenn
gilt:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) .
In Analogie zur Unabhängigkeit von Ereignissen A und B definieren wir:
Stochastische
Unabhängigkeit
von Zufallsgrößen
Definition 1.1: Zwei Zufallsgrößen X und Y heißen stochastisch unabhängig,
falls für alle a,b  R gilt:
P (( X  a )  (Y  b))  P ( X  a )  P (Y  b)
Diese Produktformel gilt entsprechend auch für n Zufallsgrößen:
n Zufallsgrößen X1,…,Xn heißen stochastisch unabhängig voneinander , falls
Verteilung von Summen von Zufallsgrößen
-7-
für jede Auswahl {Xi1,….,Xik } {X1,…,Xn } von k Zufallsgrößen aus diesen n
gilt: P (( X i1  a1 )  ...  ( X ik  a k )) 
k

P( X ij  a j )
j 1
Wir interessieren uns nun für die Eigenschaften von Erwartungswert und
Varianz von Summen und linearen Transformationen von Zufallsgrößen.
Wir erinnern daran, dass Erwartungswert EX und Varianz Var(X) einer
stetigen Zufallsgröße X mit Verteilungsdichte f(x) wie folgt definiert waren:

(1.1)
EX 
 xf ( x)dx und Var ( X ) 


 ( x  EX )
2
f ( x)dx

Für
eine
diskrete
Zufallsgröße
X
{a1,…,ak}
Wahrscheinlichkeitsverteilung pi=P(X=ai) ist entsprechend:
(1.2)
k
k
i 1
i 1
und
EX   ai pi und Var ( X )   (ai  EX ) 2 pi
Wir bemerken, dass wir in jedem Fall für die Varianz auch schreiben können:
(1.3)
Var(X) = E(X-EX)2
Darüber hinaus ist auch noch die sogenannte Covarianz zwischen 2
Zufallsgrößen von Interesse, die wie folgt definiert ist
(1.4)
Cov(X,Y) := E(X-EX)(Y-EY)
und den Zusammenhang zwischen 2 Zufallsgrößen X und Y beschreibt.
(Offensichtlich ist Cov(X,X)=Var(X))
Satz 1.1: (Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz)
Seien a,b R. Dann gilt:
1. E(b) = b und Var(b) = 0
2. E(aX) = aEX und Var (aX )  a 2Var ( X )
3. E(X1 + X2 + ... + Xn) = EX1 + EX2 + ...+ EXn
4. E(aX+b) = aEX + b
5. Var ( X  Y )  =Var(X)+Var(Y)+2Cov(X ,Y)
6. Var (aX  b)  a 2Var ( X )
Eigenschaften von
Erwartungswert und
Varianz
-8–
III. Schließende Statistik
Für stochastisch unabhängige Zufallsgrößen gilt darüber hinaus:
7. E(XY) = EXEY
8. Cov(X,Y) = 0
9. Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y)
10. Var ( X 1  X 2  ...  X n )  Var ( X 1 )  Var ( X 2 )  ...  Var ( X n )

1.1
Seien X1 und X2 zwei stochastisch unabhängige Zufallsgrößen
mit E(X1)=5, Var(X1)=1 und E(X2) = 10, Var(X2)=4.
a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von
Y=2X1+3X2.
b) Sei X ~N(80, 52) die Verteilung des Gewichtes von
Personen zwischen 20 und 60 Jahren in der BRD.
Angenommen wir greifen jetzt 8 Personen zufällig aus
dieser Grundgesamtheit heraus.
Berechnen Sie das erwartete Gesamtgewicht der 8 Personen!
Wie groß ist die Varianz des Gesamtgewichtes der 8
Personen ?
c) Weisen Sie unter Verwendung der Eigenschaften 1.- 4. des
Erwartungswertes und von Formel (1.3) nach, dass gilt :
Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) !

1.2
1.2
Für 2 stochastisch unabhängige Zufallsgrößen X und Y gilt: EXY = EXEY.
Weisen Sie nach, dass daraus und aus den im o.g. Satz genannten
Eigenschaften 1.-4. des Erwartungswertes folgt:
a) Cov(X+Y) = 0
und b) Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y)
Verteilungen von Summen von Zufallsgrößen
In diesem Abschnitt geht es um die Bestimmung der Verteilung von linearen
Transformationen und von Summen von stochastisch unabhängigen
Zufallsgrößen. Manche Verteilungen, wie z.B. die Poisson- und die
Normalverteilung, besitzen die sogenannte Reproduktionseigenschaft. D.h., der
Verteilungstyp von Summen derart verteilter unabhängiger Zufallsgrößen
bleibt erhalten, die Parameter der Summen berechnen sich gemäß den
Verteilung von Summen von Zufallsgrößen
-9-
Eigenschaften der Erwartungswerte von Summen von Zufallsgrößen, wie sie
in Abschnitt 1.1 dargestellt wurden.
1.5.1 Der Reproduktionssatz für Normalverteilungen
Satz 1.2: (Reproduktionssatz für Normalverteilungen)
a) Ist X normalverteilt mit den Parametern EX= und Var(X)=2, so ist auch
jede lineare Transformation Y= aX + b von X normalverteilt mit den
Parametern EY = a+b und Var(Y)= (a )2.
b) Sind X1,...,Xn stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen mit
den Parametern EX i   i , Var ( X i )   i2 , i=1,...,n, dann ist ihre Summe
n
n
X   X i ebenfalls normalverteilt mit den Parametern EX    i und
i 1
i 1
n
Var ( X )    i2 .
i 1
Bemerkung: Diese Reproduktionseigenschaft gilt nicht generell für alle
Verteilungen.
Zum Beispiel ist die Summe von n unabhängigen
exponentialverteilten Zufallsgrößen nicht mehr exponentialverteilt ist. Hier
erhält man eine neue theoretische Verteilung, die sogenannte ErlangVerteilung, auf die wir hier aber nicht weiter eingehen wollen, wir verweisen
auf die weiterführende Statistik-Literatur [Wa], [Lex].
Beispiel:
Sei X das zufällige Gewicht einer erwachsenen Person in der BRD und sei
X~N(80kg, (5kg)2). (D.h., ca 68 % aller erwachsenen Personen haben ein
Gewicht zwischen 75 kg und 85 kg, fast alle zwischen 65kg und 95 kg.
In einem Fahrstuhl steht die Aufschrift: Maximale Traglast: 5 Personen oder
410 kg.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 5 zufällig
eintreffende erwachsene Personen das Gesamtgewicht G von 410 kg
überschreiten?
Lösung:
Offensichtlich ist das Gesamtgewicht G 
5
X
i 1
i
, wobei Xi~N(80kg, (5kg)2)
Reproduktionssatz
für Normalverteilungen
- 10 –
III. Schließende Statistik
das zufällige Gewicht der i.ten Person ist. Nach Reproduktionssatz, Teil b),
ist G normalverteilt, es gilt: G 
5
X
i 1
i
~ N (400kg ,125(kg 2 )) .
Daraus ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
P(G  410)  1  P(G  410)  1  F (410)
 410  400 
 1  
  1   0,89 
125 

 1  0,8133  0,1867
(Die
Normalverteilungsverteilungsfunktion
wird
in
die
Standardnormalverteilungsfunktion  (x) transformiert und deren Werte aus
der Tabelle (Vgl. Abschnitt Tabellen und Diagramme) abgelesen, siehe auch
Skript II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. )

1.3
Sei das zufällige Gewicht von Papiertüten X ~ N (50 g , (1g ) 2 )
und des zufällige Gewicht der durch eine Maschine in die
Papiertüte gefüllte Inhalt eines Pulvers Y ~ N (500 g , (5 g ) 2 ) .
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gewicht
der gefüllten Tüte im Toleranz-Bereich 550g  6g liegt?
b) Geben Sie den Bereich an, indem das Gewicht fast aller
(99,98%) gefüllten Papertüten liegt!
Bemerkung:
Aus Teil a) des Reproduktionssatzes folgt folgende wichtige TransformationsRegel:
Satz 1.3: Es gilt:
X~N(,2)

X  EX
Var ( X )
Diese Regel wird als Standardisierung und
Zufallsgröße bezeichnet.

X 
~ N (0,1) .

X  EX
Var ( X )
(1.5)
als standardisierte
Verteilung von Summen von Zufallsgrößen
- 11 -
Bemerkung:
Ein wichtiger Spezialfall ist die Summe X =
n
X
i 1
i
stochastisch unabhängiger
X1,...,Xn mit X i ~ N (  , 2 ) für
identisch normalverteilter Zufallsgrößen
i=1,...,n.

1.4
Seien X i ~ N (  , 2 ) i=1,…,n n stochastisch unabhängige und
identisch normalverteilte Zufallsgrößen.
a) Welche Verteilung besitzt dann die Summe
n
X
i 1
i
?
b) Welche Verteilung besitzt das arithmetische Mittel
X 
1 n
 X i dieser Zufallsgrößen?
n i 1
c) Welche Verteilung besitzt die Zufallsgröße Y =
n
(X  ) ?

Lösung zu 1.4.:
Nach Reproduktionssatz ist die Summe der Xi wieder normalverteilt. Für
Erwartungswert und Varianz der Summe erhalten wir
n
n
E X i  
i 1
Folglich ist
i 1
n
X
i 1
i
EX i  n und Var (
n
X
i 1
n
i
)   Var ( X i )  n 2
i 1
~ N (n , n 2 ) und daraus folgt wiederum nach Teil a) des
Reproduktionssatzes:
(1.6)
X
1 n
2
X
~
N
(

,
)
 i
n i 1
n
D.h., das arithmetische Mittel einer Stichprobe von n stochastisch
unabhängigen identisch N (  ,  2 ) verteilten Zufallsgrößen ist wieder
normalverteilt. Je größer n, desto „genauer“ trifft X .
- 12 –
III. Schließende Statistik
Abbildung 1.1. Dichtefunktionen der Normalverteilung
X ~ N ( ,
2
) für
n
verschiedene n

1.5
1.5.2
Sei das zufällige Gewicht X von Personen wie folgt verteilt:
X~N(80 kg, (5 kg)2).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das
Durchschnittsgewicht von 8 zufällig ausgewählten Personen
der Grundgesamtheit 80 kg überschreitet?
Der zentrale Grenzwertsatz
Oft kennt man die Verteilung der Summanden Xi einer Summe von
stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen nicht und dann gelingt es auch
nicht, die Verteilung dieser Summe exakt auszurechnen. Aber es lässt sich
zeigen, dass man sie immer, wenn n „hinreichend“ groß ist durch eine
Normalverteilung gut annähern kann. Es gilt der Zentrale Grenzwertsatz:
Verteilung von Summen von Zufallsgrößen
- 13 -
Satz 1.4: (Zentraler Grenzwertsatz)
Seien
X1,...,Xn
n stochastisch unabhängige beliebig verteilte
Zufallsgrößen mit den Parametern EX i   i und Var ( X i )   i2 , i=1,...,n.
Sei X 
n
X
i 1
i
.
Dann konvergiert die Verteilung der standardisierten
n
Summe Y=
Zentraler
Grenzwertsatz
X  EX
Var ( X )

(X
i 1
i
 i )
für n gegen  gegen eine
n

i 1
2
i
Standardnormalverteilung N(0,1).
n
Wir können also für „große n“ die Zufallsgröße Y=
(X
i 1
i
 i )
als
n

i 1
2
i
standardnormalverteilt betrachten:
n
Y
 (X
i 1
i
 i )
n

i 1
 N (0,1)
n groß
2
i
Aus dem Zentralen Grenzwertsatz folgt folgende wichtige Regel:
Seien X1,...,Xn n stochastisch unabhängige beliebig verteilte Zufallsgrößen
mit den Parametern EX i   i und Var ( X i )   i2 , i=1,...,n. Dann ist für
„große n“
die Summe
n
X   X i näherungsweise
normalverteilt mit
i 1
n
n
i 1
i 1
n
EX    i und Var ( X )    i2 :
X
i 1
i
n
n
i 1
i 1
 N (  i ,   i2 )
n groß
(1.7)
Eine Faustregel besagt, dass n  120 groß genug ist.
Die „Näherung“ heisst, dass für n gegen unendlich, die Verteilung der
Summe gegen die Normalverteilung strebt.
Normalverteilungsregel
- 14 –
III. Schließende Statistik
Diese Regel liefert die Begründung dafür, dass so viele Phänomene
(Körpergewicht, Intelligenzquotient, Messfehler usw.) in der Praxis
normalverteilt erscheinen. Sie entstehen als Überlagerung sehr vieler
unabhängig voneinander wirkender stochastischer Einflüsse.
Ein wichtiger Spezialfall der Normalverteilungsregel ist wieder der Fall, dass
alle Summanden
X i identisch verteilt sind, also den gleichen
Erwartungswert EX i   und die gleiche Varianz Var ( X i )   2 ,
besitzen.
In
diesem
Fall
ist
für
n
X   X i der
i 1
n
n
Erwartungswert
EX     n und die Varianz Var ( X )    2  n 2
i 1
n
X
i 1
und es gilt:
i 1
i
 N ( n , n 2 )
(1.8)
1 n
2
und X   X i  N (  ,
)
n i 1
n
und
i=1,...,n
(1.9)
n
( X   )  N (0,1)

(1.10)
Eine Anwendung dieses Spezialfalls besteht in der Approximation der
Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Wie wir wissen, ist die zufällige
Anzahl X von Erfolgen bei n facher Wiederholung eines zweipunktverteilten
Versuchs mit Erfolgswahrscheinlichkeit p binomialverteilt mit den
Parametern n und p. Wir können die i.te Versuchswiederholung durch die
zweipunktverteilte Zufallsgröße charakterisieren
0 falls Misserfo lg
Xi  
Erfo lg
1 falls
Dann ist X 
n
X
i 1
i
1 p
p
mit EX i  p und Var ( X i )  p (1  p ) und wir erhalten
als Spezialfall der Normalverteilungsregel den folgenden
Grenzwertsatz von Moivre und Laplace bezeichneten Satz:
Approximation der
Binomialverteilung
durch die
Normalverteilung
auch
als
Satz 1.5: (von Moivre und Laplace):
Eine mit den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsgröße X ist für
große n näherungsweise normalverteilt mit EX = np und Var(X) = np(1-p),
d.h.
B(n,p)  N(np, np(1-p)
(Empfehlung: n  120 )
Verteilung von Summen von Zufallsgrößen
Beispiel: Eine Krankheit A tritt mit der Wahrscheinlichkeit von 1% in der
Bevölkerung auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 1000
Personen mehr als 15 erkranken?
Lösung: Die zufällige Anzahl der erkrankten Personen unter 1000 ist
binomialverteilt mit den Parametern n=1000 und p=0,01 (der
zweipunktverteilte Versuch ist: i ist Xi =“Status der Person i“ mit Xi =
0(gesund), Xi =1(krank) mit Wahrscheinlichkeit p=0,01).
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
ergibt sich gemäß den
Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung:
1000 
(0,01) i (0,99)1000i
P( X  15)  1  P( X  15)  1   
i 
i 0 
15
Die Berechnung dieser Summe ist mit einigen numerischen Schwierigkeiten
verbunden. Aber glücklicherweise können wir aufgrund des Satzes von
Moivre und Laplace die gesuchte Wahrscheinlichkeit gut genug durch eine
Normalverteilung mit den Parametern =EX = np = 10000,01=10 und
2=Var(X)=np(1-p)=10000,010,99=9,9 approximieren . Es gilt näherungsweise:
 15  10 
  1   (1,59)
P ( X  15)  1  P ( X  15)  1  F (15)  1  

9
,
9


=1-0,9441=0,0559.

Übungsaufgaben
1.6
Das Gewicht X von Papiertüten schwanke zufällig normalverteilt
mit EX = 100mg, Var(X)= (10 mg)2. In diese Papiertüten wird 100
Schrauben
mit
einem
normalverteilten
Einzelgewicht
2
Y~N(3mg,(0,5mg) ) gefüllt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass das Gesamtgewicht (Tüte + 100 Schrauben) der
gefüllten Tüte innerhalb des Intervalls [300mg, 500mg] liegt?
1.7
Ein regelmäßiger Würfel wird n=600 mal geworfen. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der gewürfelten
Sechsen zwischen 90 und 110 liegt?
1.8
Die Ausfallwahrscheinlichkeit von Geräten, bei denen eine
bestimmte Leuchtdiode nicht mehr funktioniert beträgt 0,8. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 240 solchen
Geräten mit defekter Leuchtdiode mehr als 180 ausfallen?
- 15 -
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
2
- 17 -
Stichproben und Schätzfunktionen
In der schließenden Statistik geht es u.a. darum, von Beobachtungen einer
Zufallsgröße auf deren Verteilung zu schließen oder wenigstens einige ihrer
Parameter gut genug zu bestimmen. Dafür benötigt man sogenannte
Stichprobenfunktionen S( X 1 ,, X n ), die so heißen, weil sie Funktionen einer
mathematischen Stichprobe X 1 ,, X n sind. Diese Stichprobenfunktionen
müssen für die Hochrechnung auf die Grundgesamtheit geeignet sein, d.h.
bestimmte Güteeigenschaften besitzen.
Für die Untersuchung der Güteeigenschaften von Stichprobenfunktionen
benötigt man wiederum ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
In diesem Abschnitt werden wir die Stichprobe, Stichprobenfunktion, die
Güteeigenschaften
und
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
von
Stichprobenfunktionen definieren.
2.1 Stichproben- und Stichprobenfunktionen
Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F. Wir schreiben X ~ F .
(Gilt diese Aussage nur näherungsweise, so schreiben wir X  F ). Das Ziel
besteht darin, F oder einen unbekannten Parameter  der Verteilung, wie
zum Beispiel den Erwartungswert   EX oder die Varianz   Var ( X ) , zu
bestimmen. Das geschieht immer auf der Basis von Beobachtungen von X .
Seien x1 , , xn n Beobachtungen von X . Jede Beobachtung xi können wir als
Realisierung einer neuen Zufallsgröße X i auffassen, die dieselbe Verteilung
besitzt wie X . Wir sprechen auch von identisch verteilten zufälligen
Beobachtungen. Jede hier vorgestellte statistische Schlussweise beruht auf der
Voraussetzung, dass die Beobachtungen unabhängig voneinander erhoben
werden; das heißt, dass alle X i untereinander stochastisch unabhängig sind.
Definition: Seien X 1 , , X n Zufallsgrößen, die unabhängig voneinander
und identisch wie X verteilt sind und sei für jedes i  1, , n xi eine Realisierung von X i . Dann heißt ( x1 , , xn ) konkrete und ( X 1 , , X n ) zufällige
Stichprobe von X . n heißt Stichprobenumfang.
Jede Funktion S ( X 1 ,  , X n ) einer mathematischen Stichprobe nennen wir
Stichprobenfunktion.
Stichprobe und
Stichprobenfunktion
- 18 –
III. Schließende Statistik
2.2 Schätzfunktionen
2.2.1 Punktschätzfunktionen
Punktschätzung
Definition:
Eine Funktion S, die jeder Stichprobe vom festen Umfang n einen Schätzwert
 für einen Parameter  zuordnet, heißt Schätzfunktion; der Wert  dieser
Funktion heißt Punktschätzung für  .
Wir schreiben für die Schätzfunktion: S( X 1 ,  , X n )  
und für den
Schätzwert, d.h. den Wert dieser Funktion bei einer konkreten Belegung
( x , , x ) der zufälligen Stichprobe: S( x ,  , x )   .
1
1
n
n
Bemerkung:
Die Schätzfunktion  ist als Funktion von zufälligen Größen X i ebenfalls
eine Zufallsgröße. Da der Schätzwert  von den konkreten Beobachtungen
x1 , , xn abhängt, können wir ihn als eine Realisierung der Zufallsgröße 
auffassen. Beobachten wir X erneut n mal, d.h. haben wir eine andere konkrete Stichprobe, auf die wir S anwenden, so erhalten wir in der Regel einen
anderen Schätzwert  .
Beispiel: Das arithmetische Mittel S ( X 1 ,..., X n )  X 
1 n
X i =  einer

n i 1
zufälligen Stichprobe von X ist eine Schätzfunktion für den unbekannten
Erwartungswert EX=  von X. Für n=5 und konkrete Beobachtungen
x1  3, x2  5, x3  1, x4  3, x5  2 von X 1 ,..., X 5 erhalten wir den konkreten
1 5
14
xi  =2,8 für EX.

5 i 1
5
Für neue 5 konkrete Beobachtungen x1  1, x2  4, x3  1, x4  2, x5  2 von
Schätzwert S ( x1 ,..., x5 )  x 
X 1 ,..., X 5
erhalten
S ( x1 ,..., x5 )  x 
wir
den
konkreten
Schätzwert
1 5
10
xi   2 .

5 i 1
5
Für jedes 5-Tupel von konkreten Beobachtungen x1 , x2 , x3 , x4 , x5 erhalten wir
einen anderen Schätzwert x für EX gemäß unserer Schätzfunktion.
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 19 -
2.2.2 Konsistenz und Erwartungstreue von Punktschätzfunktionen
Die Güte einer Schätzfunktion  zur Schätzung von  wird in der mathematischen Statistik durch verschiedene Kriterien definiert, die diese Zufälligkeit berücksichtigen.
Im allgemeinen werden zwei Eigenschaften gefordert :
a) die Schätzfunktion  soll  im Mittel „treffen“, d.h. es soll gelten:
E( )   .
Diese Eigenschaft wird als Erwartungstreue von  bezeichnet.
Erwartungstreue
und Konsistenz
b) Die mittlere quadratische Abweichung der Schätzfunktion  von  ,
d.h. die Varianz Var( ) , soll möglichst klein sein und mit
wachsendem Beobachtungsumfang n gegen 0 konvergieren, d.h. es
soll gelten:
Var ( )  E(   ) 2 
0 .
n
Diese Eigenschaft bedeutet, dass die Schätzung mit wachsendem Beobachtungsumfang immer genauer wird. Diese Eigenschaft wird als Konsistenz
bezeichnet.
Beispiel:
Seien X 1 ,, X n
n zufällige Beobachtungen von X, die unabhängig
voneinander erhoben wurden; d.h. sei
X 1 ,, X n eine mathematische
Stichprobe von X.
Als Schätzfunktion für den unbekannten Erwartungswert =EX (d.h., =)
verwendet man in der mathematischen Statistik das arithmetisches Mittel X
der Beobachtungen:
n
X 
X
i 1
i
n
(2.1)
Da alle Xi i=1,…,n unabhängig voneinander sind, folgt aus den Eigenschaften
für den Erwartungswert und die Varianz von Summen unabhängiger
Zufallsgrößen (siehe Abschnitt 1.1):
EX  E (
1 n
1 n
1 n
)
=
X
)
=
X
E
(
 i n
 E ( X) = 
i
n i 1
n i 1
i 1
arithmetisches
Mittel
- 20 –
III. Schließende Statistik
Var ( X )  Var (
1 n
1
Xi)  2

n i 1
n
n
Var ( X i ) 
i 1
1
n2
n

Var ( X ) 
i 1
2
n
 0

n
Damit ist X eine konsistente Schätzfunktion für  = EX.
2.3
Bereichsschätzungen und Prüfintervalle
Offensichtlich sind Punktschätzungen, die entweder nicht erwartungstreu
oder nicht konsistent sind, sinnlos. Aber auch eine Punktschätzung, die die
beiden Güteeigenschaften erfüllt, ist erst für n  genau. Wie genau ist sie
für endliches, festes n ?
ˆ  ˆn ist für jedes feste n eine Zufallsgröße; ihre Verteilung wird durch eine
Dichtefunktion beschrieben:
Abbildung 2.1
Wir sehen, dass für die Punktschätzung bei einem festgelegten Stichprobenumfang n gilt:
P(ˆn   )  0 (Fläche unter der Dichte an dieser Stelle ist = 0).
D.h. den unbekannten zu schätzenden Parameter genau zu treffen ist
unwahrscheinlich, wir treffen ihn mit einer Stichprobe nie genau, wir
schätzen daneben.
Aber die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir mit ˆn in der Nähe von 
liegen, ist nicht gleich 0, es ist:
P(| ˆn   |  )  0
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 21 -
In diesem Zusammenhang gibt es den Begriff der sogenannten
Bereichsschätzfunktion - auch als Toleranzbereiches oder Toleranzschätzung
bezeichnet - für einen unbekannten Parameter  .
Definition:
Ein Intervall I  [ˆn   , ˆn   ] mit der Eigenschaft
P(  [ˆn   , ˆn   ])  1  
heißt Toleranzschätzung bzw. Toleranzintervall (oder Bereichsschätzung oder
Konfidenzintervall) für  zur Überdeckungs- bzw. Sicherheitswahrscheinlichkeit
1  .
 heißt Irrtumswahrscheinlichkeit.
 heißt Genauigkeit der Schätzung  .


Offenbar ist P (  ˆn   , ˆn   )  P ( ˆn     ) , d.h. wenn wir ein solches
Toleranzintervall konstruieren, wissen wir, dass ˆn von  mit der Wahrscheinlichkeit 1  um höchsten  abweicht.
Die Güte eines Toleranzintervalls wird durch seine Breite (Genauigkeit  )
und seine Überdeckungswahrscheinlichkeit (1-) charakterisiert. Das Ziel
statistischer Untersuchungen ist es, bei festem Stichprobenumfang n
möglichst kleine Intervalle (hohe Genauigkeit) mit einer großen
Überdeckungswahrscheinlichkeit zu konstruieren.
Dabei geht man in der Regel wie folgt vor: man gibt sich einen möglichst
kleinen Wert  vor, z. B.   0,01 oder   0,05 . Anschließend wird das
kleinste  berechnet, für welches die Überdeckungswahrscheinlichkeit 1 
erreicht wird.
Wählen wir   0,05 und berechnen das zugehörige  , so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der wahre Parameter  im Intervall [ˆn   , ˆn   ]
liegt, gleich 1 0,05  0,95 . Diese Aussage bedeutet folgendes: wenn wir
dieses Intervall 100 mal auf der Basis von 100 Stichproben vom Umfang n
berechnen , enthalten 95 dieser Intervalle den wahren Parameter - nur fünf
enthalten ihn nicht.
Bemerkungen :
Mit der Frage der Konstruktion einer guten Bereichsschätzung für  sind 2
weitere Fragen eng verknüpft.
Toleranzintervall
(Toleranzschätzung,
Bereichsschätzung)
- 22 –
III. Schließende Statistik
1. Wahl eines geeigneten Stichprobenumfanges n
Die Güte eines Toleranzintervalls wird durch seine Breite  und die
Sicherheit 1-  bestimmt. Diese hängt aber auch vom Stichprobenumfang n
ab. Eine Verbesserung der Güte der Toleranzschätzung, d.h. eine Verkleinerung von  oder eine Erhöhung der Sicherheit 1-  kann man erreichen,
indem man n erhöht .
Diesen Zusammenhang zwischen n ,  und 1-  werden wir in den
folgenden Kapiteln verdeutlichen und untersuchen, wie groß der
Stichprobenumfang mindestens sein muss, um ein Toleranzbereich für  mit
vorgegebener Genauigkeit  und vorgegebener Sicherheit 1-  zu erhalten.
2. Prüfen, ob für den unbekannten Parameter  gilt:  = o, wobei o
eine vorgegebener Wert ist
Ist die Aussage  = o wahr, so müsste die Schätzung ˆn für  mit großer
Wahrscheinlichkeit in der Nähe, d.h.in einer kleinen Umgebung, von o
liegen. Das können wir mit den sogenannten Prüfintervallen untersuchen.
Prüfintervall
Definition:
Ein Intervall I  [ 0   ,  0   ] mit der Eigenschaft
P(ˆn  [ 0   ,  0   ])  1  
heißt Prüfintervall für  zum Prüfen der Hypothese H:  = o mit der
Überdeckungswahrscheinlichkeit 1  (bzw. Irrtumswahrscheinlichkeit ) und der
Genauigkeit  .
Falls der berechnete Schätzwert ˆn im Intervall I  [ 0   ,  0   ] liegt, so
entscheiden wir uns dafür, dass die Aussage  = o wahr ist, andernfalls
entscheiden wir uns dagegen. Bei dieser Entscheidungsregel irren wir uns
mit der Wahrscheinlichkeit , dh. wir entscheiden uns mit der
Wahrscheinlichkeit  fälschlicherweise gegen die Aussage  = o, obwohl sie
stimmt.
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
3
- 23 -
Toleranz- und Prüfintervalle für den unbekannten
Erwartungswert =EX einer Zufallsgröße X bei
bekannter Varianz Var(X)=2
3.1 Fall: X ist normalverteilt, X~N(, 2), 2 bekannt
3.1.1 Bereichsschätzung für EX bei bekannter Varianz 2
Sei eine X ~ N(, 2) verteilte Zufallsgröße mit EX= und Var(X)=2 .
Sei
2
bekannt.

sei
unbekannt
und
zu
schätzen.
Dazu machen wir eine Stichprobe X1,…,Xn von n unabhängige zufälligen
Beobachtungen von X.
Wir schätzen  durch die erwartungstreue Schätzfunktion
X 
1 n
 Xi .
n i 1
Sind die Beobachtungen unabhängig voneinander, so wissen wir aus Kapitel 1.1:
EX   und Var ( X ) 
2
.
n
D.h., wir treffen im Mittel den gesuchten Wert  (die Schätzfunktion ̂  X
ist erwartungstreu) und die Schätzung wird mit wachsendem n immer
genauer (die mittlere quadratische Abweichung E ( X   ) 2  Var ( X )
konvergiert mit n monoton fallend gegen 0).
Unter Verwendung des Reproduktionssatzes erhalten wir die Verteilung der
Schätzfunktion X :
X
1 n
2
X
~
N
(

,
)
 i
n i 1
n
(3.1)
- 24 –
III. Schließende Statistik
D.h., das arithmetische Mittel einer Stichprobe von n stochastisch
unabhängigen identisch N (  ,  2 ) verteilten Zufallsgrößen ist wieder
normalverteilt (siehe auch Abschnitt 1.2)
Abbildung 3.1.
Dichtefunktionen der
Normalverteilung von
X ~ N ( ,
2
)
n
Offensichtlich gilt für die normalverteilte Zufallsgröße X
P( X   )  0
D.h. die Chance mit der Schätzung X  genau zu treffen ist gleich Null.
Aber die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir mit X in einem „kleinen“
Bereich    um , d.h. in der Nähe von  liegen, ist nicht gleich 0, es ist:
P(     X     )  0 für jedes >0
Wir können jetzt für ein vorgegebenes   = () so bestimmen, dass gilt:
P(     X     )  1  
Wegen der Äquivalenz:
   X     X     X 
erhalten wir für dieses    ( ) einen Toleranzbereich X   ( ) für  zur
Irrtumswahrscheinlichkeit , es gilt:
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 25 -
P( X   ( )    X   ( ))  P(    ( )  X     ( ))  1   .
Im folgenden Satz wird bewiesen, dass gerade gilt:
 ( ) 

 
u 1  
2
n 
(3.2)
wobei u  p  das p-Quantil der Standardnormalverteilung ist.
Satz 3.1:
Sei X~N(,2) und X1,…,Xn eine mathematische Stichprobe von X. Dann ist das
Intervall

  
   
I  X 
u 1  , X 
u 1   
n  2
n  2 

(3.3)
eine Bereichsschätzung für =EX mit der Irrtumswahrscheinlichkeit .
Hierbei
ist
das
p-Quantil
der
Standardnormalverteilung.
u p 
Beweis:
Aus der Normalverteilung X ~ N (  ,
P(   I )  P(
2
) des arithmetischen Mittels folgt:
n




u (1  )  X   
u (1  ))
2
2
n
n


n( X  )
 
 P  u (1  ) 
 u (1  ) 
2

2 

 


  u (1  )    (u (1  ))
2 
2

 

 2 u (1  )   1
2 


 2(1  )  1
2
 
q.e.d
Beispiel:
In einer Autowaschanlage soll untersucht werden, wie groß die
Bearbeitungszeit beim Waschen eines Autos im Durchschnitt durch den
- 26 –
III. Schließende Statistik
Beschäftigten ANTON ist. Sei X die zufällige Bearbeitungszeit von
ANTON bei einem Auto. Gesucht ist dann EX = . Es sei angenommen,
dass die Bearbeitungszeit X normalverteilt um  mit der Varianz
Var(X)=2 = 1 (Min2) ist.
a) Geben Sie einen Schätzwert und ein Toleranzbereich für die erwartete
Bearbeitungszeit  zur Sicherheit 1- = 0,95 an!
b) Wie ändern sich die Intervallgrenzen des Toleranzbereiches, wenn
man die Sicherheit auf 0,99 erhöht?
Lösung: Zu a)
4 Beobachtungen der Autowaschanlage ergaben für die
Bearbeitungszeit durch den Beschäftigten ANTON folgende Werte:
Lauf i
ANTONs Zeit xi (Min.)
1
2
3
4
8,08
8,75
7,08
8,42
Tabelle 3.1 Beobachtungen von Bedienzeiten und Systemverweilzeiten
Aus den in der Tabelle gegebenen Beobachtungen erhalten wir als Schätzwert
für die mittlere Bearbeitungszeit durch ANTON und die erwartete mittlere
Kundenverweilzeit im System:
x =8,08.
Wir wollen ein Intervall für die erwartete Bearbeitungszeit EX konstruieren,
in welchem sie mit 95% Sicherheit liegt. Es ist also =0,05 vorgegeben.
Gemäß (3.2) ist dieses Intervall gegeben durch
I x

1
 
u 1   = 8,08  u 0,975
2
2
n 
Für u(0,975) lesen wir aus der Tabelle der Standardnormalverteilung ab:
u(0,975)=1,96
Daraus
ergibt
sich
das
gesuchte
Toleranzintervall
zur
Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05.
Die erwartete Bearbeitungszeit von ANTON für das Waschen eines Autios
liegt mit 95%iger Sicherheit im Intervall :
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 27 -
 I  8,08  0,98  [7,1 ; 9,06]
Zu b)
Für  =0,01 (99% ige Sicherheit) erhalten wir mit u n 1 (1 

) =u(0,995)=2,576
2
das Toleranzintervall :
 I  8,08  1,288  [6,792 ; 9,368]
in welchem  jetzt mit 99 %iger Sicherheit liegt.
Für festes n gilt: Je größer man die Sicherheitswahrscheinlichkeit 1   wählt,
desto größer wird das Quantil u (1 

) und desto breiter wird folglich das
2
Intervall.
Das Ziel besteht darin, möglichst kleine Intervalle mit möglichst hoher
Überdeckungswahrscheinlichkeit zu konstruieren. Bei festem n kann man
schmalere Intervalle nur auf Kosten der Sicherheit erhalten. Bei vorgegebener
Sicherheit kann die Intervallbreite nur durch eine Erhöhung des Stichprobenumfangs n verringert werden.
3.1.2 Bereichsschätzungen für EX mit vorgegebener GenauigkeitStichprobenumfangsbestimmung
Wir wissen, dass gilt:
P(   [ X   , X   ])  1   mit  

 
u 1  
2
n 
(3.4)
Angenommen, wir geben uns eine Genauigkeit o vor, die mit dieser
Sicherheitswahrscheinlichkeit 1- mindestens eingehalten werden soll. Um
zu erreichen, dass (3.4) für =0 gilt, müssen wir den Stichprobenumfang n so
wählen, dass dieser die Bedingung

n
u (1 

)  0
2
erfüllt.
Aus (3.5) folgt damit für die Stichprobenumfangsformel:
(3.5)
- 28 –
III. Schließende Statistik

 
n   u (1  ) 
2 
0
Bestimmung des
notwendigen
Stichprobenumfanges
2
(3.6)
Wählen wir n gemäß (3.6), so erhalten wir
P (   [ X   0 , X   0 ])  1  
Beispiel.
Angenommen, wir wollen die Bedienzeit von ANTON in der
Autowaschanlage mit einer Genauigkeit von  = 0,5 (=  0) und mit einer
Sicherheit 1   =0,95 schätzen. Die vier Beobachtungen der Tabelle 3.1
reichen dazu nicht aus;
hier haben wir nur eine Genauigkeit von
 =

  1
u 1     1,96  0,98
2 2
n 
erhalten.
Wie
viele
zusätzliche
Beobachtungen muss man machen, um die geforderte Genauigkeit 0,5 zu
erreichen?
Lösung:
Gemäß (3.6)
ergibt


 u (1  )
2
n
0



sich
für
den
notwendigen
Stichprobenumfang:
2


2
 = (1,96  1) = 15,37
0,5 2



Wir müssen insgesamt n = 16 Beobachtungen machen, um die geforderten
Bedingungen an Genauigkeit und Sicherheit zu erreichen. D.h., es sind n-n0=
12 zusätzliche Beobachtungen der Bedienzeit durchzuführen.

3.1
Berechnen Sie die notwendige Anzahl zusätzlicher
Beobachtungen, um mit 95%iger Sicherheit eine
Bereichsschätzung für die erwartete Bedienzeit EX mit der
Genauigkeit von  =0,1 Minuten zu erhalten!
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 29 -
3.1.3 Prüfintervalle für EX=
Wir wollen prüfen, ob gilt  = EX = o für ein vorgegebenes o . Wenn =o
wäre, würde nach (3.4) gelten:

 
u 1  
2
n 
P (  o  [ X   , X   ])  1   mit  
Wegen P (  o  [ X   , X   ])  P ( X   0   ,  0    müsste also im Falle,
dass =o ist, die Schätzfunktion X mit hoher Wahrscheinlichkeit ((1-)) im
Prüfintervall  0   ,  0    liegen.
Unser Prüfintervall ist also:
Prüfkriterium für
=0
 0   ,  0    mit  

 
u 1  
2
n 
(3.7)
Und unser Entscheidungskriterium lautet:
X   0   ,  0     Der Aussage    o kann nicht widersprochen
werden.
(3.8)
X   0   ,  0     Die Aussage    o ist falsch!
Die Wahrscheinlichkeit, die Aussage für falsch zu erklären, obwohl sie
korrekt ist, beträgt dann .
Beispiel.
ANTON behauptet, dass er im Schnitt nur 7 Minuten für das Waschen eines
Autos benötigt.
Wir prüfen das auf der Basis der 4 in Tabelle 3.1 gegebenen n=4
Beobachtungen von ANTONs Bedienzeit mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit
von =0,05.
Wenn die Aussage von ANTON stimmt, müsste X
im Prüfintervall:
X   0   ,  0    für 0 = 7 und
 
mit 95%iger Sicherheit

 
u 1   = 0,98 liegen.
2
n 
Also ist zu prüfen, ob für unseren Schätzwert x gilt:
x  6,02 ; 7,98 .
- 30 –
III. Schließende Statistik
Wir erhalten für unsere 4 Beobachtungen den Wert x  8,08  6,02 ; 7,98
und lehnen damit die Aussage von ANTON als falsch ab!
(Allerdings mit der Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,05. D.h., dass dieses
Verfahren sich bei 100 Anwendungen 5 im Schnitt mal irrt).
3.2 Fall: X ist nicht normalverteilt, EX = , Var(X)=2, 2 bekannt
Der Toleranzbereich für  wird auf der Basis der Kenntnis der
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X berechnet. Ist X normalverteilt, so galt
die Beziehung X ~ N (  ,
2
).
n
Sind X und damit die X 1 ,, X n von X nicht normalverteilt, so gilt folgt aus
dem Zentralen Grenzwertsatz (siehe Kapitel 1), dass X für n-> gegen eine
Normalverteilung konvergiert, d.h. dass näherungsweise für große n gilt:
(3.9)
X  N ( ,
2
) für n ≥120
n
Damit erhalten wir mit (3.3) ebenfalls ein Toleranzintervall für , welches
näherungsweise für n ≥120 die Überdeckungswahrscheinlichkeit 1- besitzt.
(3.7) und (3.8) sind als Prüfintervall bzw. Prüfkriterium verwendbar, die für
n ≥ 120 die Irrtumswahrscheinlichkeit  näherungsweise einhalten.
Die Formel (3.6) für den notwendigen Stichprobenumfang zum Einhalten
einer vorgegeben Genauigkeit und Sicherheit bleibt ebenfalls erhalten, wobei
zu beachten ist, dass unabhängig davon, welches n berechnet wurde,
falls die Normalverteilung nicht vorliegt, der Stichprobenumfang n ≥ 120 sein
muss!!!

Übungsaufgaben
Fallstudie 1
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
4
- 31 -
Die Verteilung von Stichprobenfunktionen
4.1 Die 2- Verteilung
Satz4.1: Seien X 1 ,, X n n stochastisch unabhängige standardnormalverteilte
Zufallsgrößen. Dann besitzt die Quadratsumme
n
(X
i 1
i
)2
eine 2-Verteilung mit n Freiheitsgraden. Wir schreiben:
n
(X
i 1
i
) 2 ~  n2
Abbildung 4.1 gibt eine Vorstellung über die Gestalt der Dichtefunktion der
2-Verteilung in Abhängigkeit der Freiheitsgrade. Die 2-Verteilung hängt
von einem Parameter, dem sogenannten Freiheitsgrad (FG), ab und wird mit
2
abgekürzt bezeichnet. Der FG ist eine natürliche Zahl und bestimmt die
 FG
Form der Dichtefunktion. Die Dichtefunktion ist nicht symmetrisch.
2
Ist X   FG
, so gilt EX = FG und Var (X) = 2 FG.
Abbildung 4.1 Dichtefunktion der 2 - Verteilung mit 2,4 und 8 FG
Wir benötigen im Weiteren lediglich die Quantile x der 2-Verteilung.
2-Verteilung
- 32 –
Quantile
III. Schließende Statistik
Definition: Sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Dichte f(x) und der
Verteilungsfunktion F . Die Zahl x  heißt (unteres)  -Quantil der Verteilung
F , falls gilt:
x
P( X  x  )  F( x  ) 

f ( x )dx   .

Ist die Verteilung von X symmetrisch (wie bei Normalverteilung), so gilt
offensichtlich - x  = x1  .
f(x)
f(x)


x
x

x
0
x 1    x 
x
F( x )
1

x
x
Abbildung 4.2: Quantile
Die Quantile der 2-Verteilung sind in der Tabelle A3 im Anhang A
zusammengestellt. Die Einträge in dieser Tabelle sind die Werte x und  , so
dass gilt:
P( X  x )   bzw. P( X  x )  1   .
Beispiel:
Ist X 2-verteilt mit 3 Freiheitsgraden, so können wir aus der Tabelle A3
ablesen: Der Wert x, für den gilt : P(X  x ) = 0,9, ist x = 6,25. Für x = 7,81
erhalten wir P( X > x) = 0,05 .
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen

4.1
- 33 -
Sei X   FG . Vervollständigen Sie folgende Tabelle an den
durch – gekennzeichneten Stellen!
FG

x
3
0,025
7
14,07
35
0,9
-
Für die Streuung einer Stichprobe gilt folgender wichtiger Satz:
Satz 4.2:
Seien X 1 ,, X n eine Stichprobe einer N(,2)-verteilten Zufallsgröße X, d.h.
X i ~ N (  ,  2 ) , i=1,...,n seinen stochastisch unabhängig und wie X normalverteilt.
Sei X 
S2 =
1 n
 X i das arithmetische Mittel und
n i 1
1 n
( X i  X ) 2 die Streuung der Stichprobe X 1 ,, X n .

n  1 i 1
Dann gilt
(n  1)
(4.1)
S2
~  n21
2
Daraus kann man Toleranzbereiche für 2 zur Sicherheitswahrscheinlichkeit
1- berechnen.

4.2
4.2
a) Wie groß sind ES2 und Var(S2)?
b) Warum ist S2 eine konsistente Schätzfunktion für 2?
c) Wie groß ist P(S2=2) ?
Die t-Verteilung
Die t-Verteilung ist eine Verteilung, die von einem Parameter, dem
Freiheitsgrad (FG) abhängt; wir schreiben t FG. Die Dichte der t-Verteilung ist
symmetrisch um x = 0 . Es gilt für X  t FG : EX = 0 und Var(X) =FG / (FG-2).
t-Verteilung
- 34 –
III. Schließende Statistik
Für
konvergiert
die
t-Verteilung
gegen
eine
FG 
Standardnormalverteilung; die Approximation X  N(0,1) wird üblicherweise
bereits ab FG  30 verwendet.
Abbildung 4.3: Dichtefunktion der t-Verteilung für 1,5 und 100 FG
Die t-Verteilung entsteht als Verteilung des Quotienten einer
Standardnormalverteilten und der Wurzel aus einer  2 -verteilten
Zufallsgröße.
Satz
4.3:
Sei
Z~N(0,1)
Z
Y
n
verteilt
Y~  n2
und
verteilt.
Dann
gilt
~ tn
Eine Anwendung der t-Verteilung ist die folgende:
Aus
Abschnitt
1
wissen
wir,
dass
das
arithmetische
Mittel
1 n
X   X i einer Stichprobe von X~ N(,) als Schätzfunktion für den
n i 1
unbekannten
Erwartungswert
Normalverteilung
X ~ N ( ,
EX=

)
n
2
der
besitzt,
Zufallsgröße
woraus
folgt,
X
eine
dass
die
standardisierte Größe
Z=
verteilt ist.
n( X  )
~ N (0,1)

(4.2)
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
Aus (4.1) wissen wir, dass Y= (n  1)
- 35 -
S2
~  n21 verteilt ist.
2
Ersetzen wir in (4.2)  2 durch S2 so ergibt sich die Größe
n( X  )
Z

~ t n 1
S
Y /(n  1)
(4.3)
die gemäß Satz 4.3 t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden ist.
Daraus erhalten wir einen Toleranzbereich für den Erwartungswert EX= bei
unbekannter Varianz Var(X)=2 von X.


4.3
Sei X  t FG . Vervollständigen Sie folgende Tabelle :
FG
3
7
32


0,025
0,9
x
1,895
4.4 Seien X1,...,Xn eine Stichprobe einer normalverteilten Zufallsgröße X ~ N(  , 2 ) und X 
1 n
 X i die Schätzfunktion für
n i 1
den unbekannten Erwartungswert EX= der Zufallsgröße X.
Zeigen Sie, dass dann

I = X 

S
 
  
t n 1 1  , X 
t n 1 1  
2
2 
n
n


S
(4.4)
eine Bereichsschätzung für  zur Irrtumswahrscheinlichkeit 
ist, d.h. zeigen Sie, dass gilt:
P(I) = 1-
Hierbei ist tn-1(p) das p-Quantil der t-Verteilung mit n-1
Freiheitsgraden.
- 36 –
III. Schließende Statistik
4.3
Die F-Verteilung
Die F-Verteilung ist definiert als Quotient zweier 2-verteilter Zufallsgrößen.
Definition:
Seien X~n1 und Y~n2 zwei -verteilte Zufallsgrößen. Dann ist der Bruch
Z=X/Y
F-verteilt mit den beiden Freiheitsgraden n1 und n2:
Z=
X / n1
~ Fn1,n 2
Y / n2
(4.5)
Die F-Verteilung hängt von zwei Parametern FG1, FG2 ab, die ebenfalls als
Freiheitsgrade der Verteilung bezeichnet werden. Die F-Verteilung wird mit
FFG1,FG2 bezeichnet. FGi sind natürliche Zahlen und bestimmen die Form der
Dichtefunktion. Die Reihenfolge der FG-Parameter ist für die Gestalt der
Dichtefunktion signifikant, d.h., es ist: FFG1,FG2FFG2,FG1 für FG1FG2.
Abbildung 4.4:
Dichtefunktion der F 10,12 - Verteilung
Eine Anwendung der F-Verteilung ist die folgende:
Aus (4.1) wissen wir, dass für die Stichprobenstreuung S2 =
1 n
 (X i  X )2
n  1 i 1
einer N(,2) verteilten Stichprobe X 1 ,, X n gilt
(n  1)
S2
~  n21
2

Seien nun S12 die Stichprobenstreuung einer N(1, 12 )-verteilten Stichprobe
und S 22 die Stichprobenstreuung einer N(2, 22 )-verteilten Stichprobe.
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 37 -
Dann ist der Bruch:
S12 /  12
~ Fn1 1;n2 1
S 22 /  22
(4.6)
offensichtlich F-verteilt mit n1-1 und n2-1 Freiheitsgraden.
Daraus kann man z.B. einen Hypothesentest zum Prüfen der Gleichheit der
Varianzen 12 und 22 herleiten.

4.5
Weisen Sie die Formel (4.6) nach!
Wir benötigen im Weiteren wieder lediglich nur die Quantile der FVerteilung. Diese sind tabelliert. Die Einträge in diesen Tabellen sind die
Werte x und  , so dass gilt:
P( X  x  )   bzw . P( X  x  )  1  .
In den Tabellen A5 des Anhangs sind die  -Quantile F - Verteilung
zusammengestellt, die wir im Weiteren benötigen werden.
Für die Quantile x = Fm1,m2() der F-Verteilung kann man zeigen, dass gilt:
Fm1,m2() = 1/ Fm2,m1 (1-)
(4.7)
Aus Tabelle A5 erhalten wir beispielsweise so für das untere 2,5%-Quantil
der F-Verteilung mit 3 und 7 Freiheitsgraden den Wert
F3, 7(0,025) = 1/ F7, 3(0,975) = 1/ 14,62.

4.6
Sei X die zufällige Bedienzeit in unserer Auto-Waschanlage.
Berechnen Sie die Bedienzeit x, die nur in 2,5 % aller Fälle
unterschritten wird, falls gilt
a) X ~ F7,3
b) X ~F 3,7
c) X~F5,12
- 38 –
III. Schließende Statistik
5
Toleranz- und Prüfintervalle für Erwartungswerte und
Varianzen
5.1
Toleranz- und Prüfintervalle für die Varianz Var(X)=2 einer
N(, 2) – verteilten Zufallsgröße X
Sei eine X ~ N(, 2) verteilte Zufallsgröße mit EX= und Var(X)=2 .
2 sei unbekannt und zu schätzen.
Dazu machen wir eine Stichprobe X1,…,Xn von n unabhängigen zufälligen
Beobachtungen von X.
Wir schätzen 2 durch die erwartungstreue Schätzfunktion
S2 
1 n
1 n
2
mit
(
X

X
)
X

 i
 Xi
n  1 i 1
n i 1
Aus Kapitel 4.1 Formel (4.1) wissen wir, dass die mit dem Faktor
n 1
2
multiplizierte Zufallsgröße S2 eine 2- Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden
besitzt:
(5.1)
(n  1) 2
 S ~  n21
2
Daraus
ergibt
sich
folgender
Zusammenhang
zwischen
der
2
Verteilungsfunktion FS 2 ( x) von S
und der Verteilungsfunktion
F 2 ( x) einer 2- Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden:
n 1
(5.2)
 (n  1) 2 (n  1) 
 (n  1) 
FS 2 ( x)  P ( S 2  x)  P
S 
 x   F 2 
 x
2
2
2
n 1

 

 

Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 39 -
Satz 5.1
Sei eine X ~ N(, 2) und X1,…,Xn eine Stichprobe von n unabhängigen zufälligen
Beobachtungen von X.
Sei
S2 
1 n
1 n
( X i  X ) 2 mit X   X i

n  1 i 1
n i 1
Dann gilt:
1) Das Intervall:
  n21 ( / 2)   2  n21 (1   / 2)   2 
IP  
;

n 1
n 1


(5.3)
ist ein Prüfintervall für  2 zur Sicherheit 1-; d.h. es gilt mit Wahrscheinlichkeit
1-:
 n21 ( / 2)   2
 2 (1   / 2)   2
 S 2  n 1
n 1
n 1
(5.4)
2) Das Intervall
 (n  1)  S 2 (n  1)  S 2 
IT   2
; 2

  n 1 (1   / 2)  n 1 ( / 2) 
(5.5)
ist ein Toleranzintervall für  2 zur Sicherheit 1-; d.h. es gilt mit
Wahrscheinlichkeit 1-:
(n  1)  S 2
(n  1)  S 2
2
  2
 n21 (1   / 2)
 n 1 ( / 2)
(5.6)
Bemerkung:
1) (5.5) bedeutet: Ist die Hypothese H: Var(X)=0 wahr, so muss die
Schätzung S2 mit der Wahrscheinlichkeit 1- im Prüfintervall
  n21 ( / 2)   0 2  n21 (1   / 2)   0 2 
IP  
;
 liegen.
n 1
n 1


- 40 –
III. Schließende Statistik
Wir wählen in der Regel 1- sehr hoch (z.B.= 0,95 oder 0,99). Ist die
Hypothese wahr, so würden nur in 100% ( 5% oder 1%) aller Fälle S2
außerhalb des Prüfintervalls liegen.
Liegt jetzt eine konkret ermittelte Schätzung s2 im Prüfintervall, so
entscheiden wir uns für die Gültigkeit der Hypothese, liegt s2 außerhalb, so
entscheiden wir uns gegen die Hypothese. Der Fehler sich gegen die
Hypothese zu entscheiden, obwohl sie wahr ist gerade nur  (5 oder 1 von
100 Fällen irren wir uns).
2) (5.6) bedeutet: Ein unbekanntes  liegt mit der Wahrscheinlichkeit 1-
Im Toleranzbereich IT. Wir versuchen, den wahren unbekannten Wert für 
durch einen solchen Bereich zu ermitteln, der möglichst klein ist und eine
hohe Sicherheit 1- besitzt.
Bemerkung:
Wegen
(n  1)  S 2
2
2
 n 1 (1   / 2)
2
S 
  n21 (1   / 2)
n 1

2
und
2 
(n  1)  S 2
 n21 ( / 2)

2
  n21 ( / 2)  S 2
n 1
gilt folgende Äquivalenz zwischen Toleranzintervall (5.6) und Prüfintervall
(5.5):
(n  1)  S 2
(n  1)  S 2
2



 n21 (1   / 2)
 n21 ( / 2)
(5.7)
bzw.
(5.8)

2
2
  n21 ( / 2)  S 2 
  n21 (1   / 2)
n 1
n 1
 2  IT
 S 2  IP
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 41 -
Beweis zum Satz 5.1:
Zu 1)
Unter Verwendung der Transformationsformel (5.2) erhalten wir:
  2 ( / 2)   2
 2 (1   / 2)   2 

P n 1
 S 2  n 1

n 1
n 1


2
2
  n 1 (1   / 2) n  1 
  n21 ( / 2) 2 n  1 
 F 2 
 2   F 2 
 2 
n 1
n 1
n 1
n 1
 
 



 
 F  n21 (1   / 2)  F  n21 ( / 2)

 1 / 2  / 2
 1
Zu 2) Aus der Äquivalenz (5.7) zwischen Toleranz – und Prüfintervall folgt
dann sofort
 (n  1)  S 2
(n  1)  S 2 

P 2
2  2
 n 1 ( / 2) 
  n 1 (1   / 2)
 2

2
2
2

  n 1 ( / 2)  S 
  n21 (1   / 2)  =1-.
= P
n 1
 n 1

q.e.d

5.1 Leiten Sie aus dem Prüfintervall (5.3) bzw. (5.4) für die Varianz
Var(X)=2 ein Prüfintervall für die Standardabweichung DX(X)= her!

Übungsaufgaben
Fallstudie 2
- 42 –
III. Schließende Statistik
5.2
Toleranz- und Prüfintervall für EX= bei unbekannter Varianz
Var(X)=
5.2.1 Toleranz- und Prüfintervall für EX= bei unbekannter Varianz,
X~N(, 2)
Ist X~N(, 2) so gilt für das arithmetische Mittel einer Stichprobe von X:
X ~ N ( ,
2
) . Daraus folgt nach Reproduktionssatz für die standardisierte
n
Zufallsgröße:
n
( X   ) ~ N (0,1)

(5.9)
Ist  2 unbekannt, so ersetzen wir in der Formel (5.9)  2 durch die
erwartungstreue Schätzung
S2 
1 n
 ( X i  X ) 2 bzw.  durch S.
n  1 i 1
und betrachten anstelle von (5.9) die Größe
(5.10)
T=
n
(X  )
S
Diese ist zwar nicht mehr Standardnormalverteilt, aber wie folgender Satz
besagt, t-verteilt:
Satz 5.2:
Seien X 1 ,, X n stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen mit EX i=
und Var(Xi)=  2 , i  1,, n . Seien X und S2 das arithmetische Mittel und die
Stichprobenvarianz der Beobachtungen. Dann gilt:
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 43 -
Die Größe
T=
n
( X   ) ~ t n 1
S
(5.11)
besitzt eine t - Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden: T ~ tn-1
Als Folgerung aus diesem Satz erhält man sofort :
Satz 5.3:
Unter den Voraussetzungen des Satzes 5.2 gilt:
Bereichsschätzung
für einen
unbekannten
Systemparameter
1) Das Intervall

S
S
 
  
IT   X 
t n 1 1  , X 
t n 1 1  
2
2 
n
n



ist ein Toleranzintervall
Irrtumswahrscheinlichkeit .
(=Bereichsschätzung)
für
=EX
(5.12)
mit
der
2) Das Intervall

S
S
 
  
I P   
t n 1 1  ,  
t n 1 1  
2
2 
n
n



(5.13)
ist ein Prüfintervall zum Prüfen, ob EX= ist mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 
Hierbei ist
t k  p  das p-Quantil der t-Verteilung mit k Freiheitsgraden.
Bemerkung:
Es gilt wieder die Äquivalenz zwischen Prüf-und Toleranzintervall:
(5.14)
  IT

X  IP
- 44 –
III. Schließende Statistik
Beweis: Es ist
P( X  I P )  P(   I T )  P(
S
n
t n 1 (1 

S

) X  
t n 1 (1  ))
2
2
n


n( X  )
 
 P  t n 1 (1  ) 
 t n 1 (1  ) 
2
S
2 

 


 F  t n 1 (1  )   F (t n 1 (1  ))
2 
2

 

 2 F  t n 1 (1  )   1
2 


 2(1  )  1
2
 
qed.
Bemerkung:
Wir benötigen zur Berechnung der Prüf- und Toleranzintervalle die Quantile
t n1 (1 

) . Diese sind in Tabelle A4 des Anhangs tabelliert.
2
Beispiel:
Wir betrachten wieder unser Beispiel der Waschanlage aus Kapitel 3.
4 Beobachtungen der Autowaschanlage ergaben für die
Bearbeitungszeit durch den Beschäftigten ANTON folgende Werte:
Lauf i
ANTONs Zeit xi (Min.)
1
2
3
4
8,08
8,75
7,08
8,42
Tabelle 5.1 Beobachtungen von Bedienzeiten
Aus den in der Tabelle gegebenen Beobachtungen erhalten wir als Schätzwert
für die mittlere Bearbeitungszeit durch ANTON und die Streuung der Daten
x =8,08 und s2= 0.7221438 = (0.5214917)2
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 45 -
Wir wollen ein Intervall für die erwartete Bearbeitungszeit EX von ANTON
konstruieren, in welchem sie mit 95% Sicherheit liegt. Es ist also =0,05
vorgegeben. Für die n=4 Simulationsläufe lesen wir aus Tabelle A4 das
Quantil der t-Verteilung mit 3 FG ab:
t n1 (1 

) = t3(0,975) = 3,182
2
Daraus folgt für die Genauigkeit  des Toleranzintervalls für EX:
 = t n1 (1 

)
2
s
= 3,182(0.5214917) / 2 = 1.148931  1.15
n
Die erwartete Bearbeitungszeit
Sicherheit im Intervall :
EX von ANTON liegt also mit 95%iger
8.08  1.15 = [6.93 ; 9. 23 ] Minuten
Für  =0,01 (99% ige Sicherheit) erhalten wir mit t n1 (1 

) =t3(0,995)=5,841
2
die Toleranzschätzung :
8,08  2.11 = [ 5.97 ; 10.99 ]
Die Sicherheit mit der EX in diesem Intervall liegt ist zwar höher, aber dafür
ist das Intervall breiter, d.h. die Angabe über EX ungenauer.
Um die Intervallbreite
zu verringern, müssen wir wieder den
Stichprobenumfang erhöhen.
Zusammenfassung:
Berechnung des Toleranzintervalls IT zur Sicherheit 1   für =EX:
1. Sei x1 ,, xn eine Stichprobe vom Umfang n.
Berechnung der Schätzungen
x=
1 n
1 n
2
und
x
s

 i
 ( xi  x ) 2
n i 1
n  1 i 1
im Falle IT und nur von s2 im Falle IP.
2. Ablesen des Quantils t n1 (1 

) aus Tabelle A4
2
3. Berechnung des Intervalls

 s 
 s 
I T   x  t n 1 (1  )
, x  t n 1 (1  )
oder
2 n
2 n 

- 46 –
III. Schließende Statistik

S
S
 
  
I P   
t n 1 1  ,  
t n 1 1  
2
2 
n
n




5.1
Sei X die zufällige Bedienzeit in unserer Auto-Waschanlage.
4 Beobachtungen der Autowaschanlage ergaben für die
Systemverweilzeit Y eines Autos in der Anlage folgende Werte:
Lauf i
ANTONs Zeit xi (Min.)
1
2
3
4
8,08
8,75
7,08
8,42
Systemverweilzeit yi in
Minuten
13,74
14,53
13,84
13,98
Tabelle 5.2 Beobachtungen von Bedienzeiten und Systemverweilzeiten
Berechnen Sie eine Schätzung und einen Toleranzbereich zur Sicherheit 1- =
0,95 für die erwartete Systemverweilzeit EY!
5.2.2 Stichprobenumfangsbestimmung
Die
halbe
Breite

(5.15)
Und
des
wird
als
Prüf-bzw.
Toleranzintervalls
ist
 
t n 1 1  
2
n

S
Genauigkeit
der
Intervalle
bezeichnet.
Für festes n gilt: Je größer man die Sicherheitswahrscheinlichkeit 1   wählt,
um so größer wird das Quantil t n1 (1 

) und um so breiter wird das Inter2
vall. Das Ziel besteht darin, möglichst schmale (genaue) Intervalle mit
möglichst hoher Überdeckungswahrscheinlichkeit zu konstruieren.
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 47 -
Bei festem n kann man schmalere Intervalle nur auf Kosten der Sicherheit
erhalten. Bei vorgegebener Sicherheit kann die Intervallbreite nur durch eine
Erhöhung des Stichprobenumfangs verringert werden.
Dazu geben wir uns eine Genauigkeit 0 vor und berechnen n so dass gilt:
t n1 (1 

)
2
s
 0
n
(5.16)
Nun hängen sowohl s als auch das Quantil t n1 (1 

) von n ab, so dass sich
2
diese Ungleichung nicht einfach nach n umstellen lässt. In der Praxis ist
folgendes 2-stufige Verfahren üblich.
1. Wir berechnen zunächst für eine sogenannte Pilotstichprobe vom Umfang
n0 (in der Praxis liegt n0 zwischen 2 und 5) eine „Anfangsschätzung“ s02
für die Varianz  2 .
2. Anschließend wird der Stichprobenumfang n so berechnet, dass (5.16) gilt.
Dabei wird in (5.16) s durch s0 und (wegen der näherungsweisen
Übereinstimmung der t-Verteilung mit der Standardnormalverteilung) für
n ≥ 30 das Quantil t n1 (1 
unabhängige Quantil u(1-

) durch das vom Stichprobenumfang n
2

) der Standardnormalverteilung ersetzt. Der
2
benötigte Stichprobenumfang n ist dann die kleinste natürliche Zahl, die
die folgende Bedingung erfüllt:


 u (1  )s 0
2
n
0









2
(5.17)
Da die Näherung der t-Verteilung durch die Normalverteilung nur für
n ≥ 30 gut genug ist, müssen wir für den Stichprobenumfang n von
vornherein, d.h. unabhängig von der Lösung, die sich aus (5.17) ergibt
fordern:
Bedingung: n ≥ 30
(5.18)
- 48 –
III. Schließende Statistik
3. Man schätzt  und  2 erneut mit der Gesamtstichprobe von n
Beobachtungen und berechnet das Konfidenzintervall für  gemäß der
Formel (5.6).
4. Die Breite dieses Intervalls sollte ungefähr  betragen; ist es noch zu groß,
so wiederholt man die Schritte 2 und 3 mit n0:=n und s0:=s.
Beispiel: Angenommen, wir wollen die Systemverweildauer in der
Autowaschanlage mit einer Genauigkeit von  =0,1 und mit einer Sicherheit
1   =0,95 schätzen. Die vier Beobachtungen der Tabelle 14 reichen dazu
nicht aus; hier haben wir nur eine Genauigkeit von  =0,561 erhalten. Wie
viele zusätzliche Beobachtungen muss man machen, um die geforderte
Genauigkeit 0,1 zu erreichen?
1. Mit den
s0=0,3524
n0=4
Beobachtungen
aus
der
Tabelle 5.1
2. Wir lesen aus der Tabelle A2 das Quantil u(1-
erhalten
wir

) der Standardnormal2
verteilung für =0,05 ab. Wir erhalten
u(1-0,025) = u(0,975) = 1,96.
Für den benötigten Stichprobenumfang n ergibt sich damit :
 

 u (1  )s 
2
2  = (1,96  0,3524) = 47,707
n

0,12






2
3. Wir müssen insgesamt n = 48 Beobachtungen machen, um die geforderten
Bedingungen an Genauigkeit und Sicherheit zu erreichen. D.h., es sind
n-n0= 45 zusätzliche Beobachtungen der Systemverweilzeit durchzuführen.

5.2 Sei X die zufällige Bearbeitungszeit von ANTON in unserer
Auto-Waschanlage in Tabelle 5.1. Berechnen Sie den Stichprobenumfang
der nötig ist, um die erwartete Bedienzeit EX von ANTON mit einer
Genauigkeit von =0,1 und einer Sicherheit von 1-=0,95 zu schätzen.
Wie viele Beobachtungen von ANTON’s Zeiten sind zusätzlich zu den 4
bereits vorhandenen notwendig?
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
5.3
- 49 -
Toleranz- und Prüfintervalle für =EX bei unbekannter Varianz
2 und für 2 = Var(X) für nicht normalverteilte Zufallsgrößen
Die Grundlage der Toleranz- und Prüfintervalle für EX und Var(X) bilden die
t-Verteilung des arithmetischen Mittels und die 2- Verteilung der Streuung.
Diese Verteilungen beruhen wiederum auf der Tatsache, dass die Summen
normalverteilter Zufallsgrößen wieder normalverteilt sind.
Auch wenn X bzw. die Stichprobe X 1 ,, X n nicht normalverteilt ist, folgt
aus dem Zentralen Grenzwertsatz (siehe Kapitel 1), dass für n ≥ 120 die
Summen näherungsweise normalverteilt sind.
Wir erhalten folgende Aussagen:
1) Die Verteilung von
Verteilung an
2) Die Verteilung von
(n  1) 2
 S nähert sich für n   einer  n21 2

n
 ( X   ) nähert sich für n   einer tn-1S
Verteilung an.
In der Praxis wir für
Bedingung: n ≥ 120
(5.19)
die Approximation
(n  1) 2
 S   n21 und
2

verwendet.
n
 ( X   )  t n 1
S
- 50 –
III. Schließende Statistik
Damit bleiben unter der Bedingung (5.19) alle in den vorigen Abschnitten
berechneten Toleranz- und Prüfintervalle für EX =  und Var(X)=2 und die
Formel (5.17) für die Stichprobenumfangsbestimmung gültig.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit  unserer Intervalle wird näherungsweise
eingehalten.
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
6
6.1
Kontrollregelkarten
Hypthesen und Prüfintervalle zur Überwachung der laufenden
Produktion
Häufig muss in der laufenden Produktion überwacht bzw. überprüft werden,
ob vorgegebene Normwerte und Abweichungen von der Norm, z.B.
Erwartungswert und Varianz eines zufälligen Objektmerkmals, bestimmte
Vorgaben erfüllen oder davon abweichen und einen Produktionseingriff
erforderlich machen.
D. h. in der laufenden Produktion wird in regelmäßigen Zeitabständen
überprüft, ob die Annahmen (Hypothesen)
H: EX = 0
oder
2
H: Var(X) =  0 oder
H: EX = 0 und Var(X) =  02
wahr sind.
Z.B. wird ist bei der Herstellung von Drehteilen zu prüfen, ob der erwartete
Norm-Durchmesser EX = 100 mm =o und die erlaubte Standardabweichung
SD(X) = 0 = 0,1 mm eingehalten wird oder ob es eine systematische
Abweichung davon in der Produktion gibt, die ein Eingreifen erfordert!
Wenn die o.g. Hypothesen stimmen würden, so müssten die Schätzungen X
und S2 mit Wahrscheinlichkeit 1- in den zugehörigen Prüfintervallen liegen:

u (1   / 2) 2
X  0 
 0  I P , o
n
(bei bekanntem

(n  1)
 02
2
  n 1 (1   / 2)
und S 2  
;
(n  1)
2

  I P , 0
0
 n21 ( / 2) 
- 51 -
- 52 –
III. Schließende Statistik
6.2
SPC-Regelkarten und Prüfentscheidungen
6.2.1 Was sind Kontrollregelkarten
Das Ermitteln von Schätzungen x und s2 und das regelmäßige Prüfen über
einen längeren Zeitraum, ob diese Schätzungen in den zugehörigen
Prüfbereichen liegen, geschieht durch die sogenannten Kontroll-bz.
Prozessregelkarten in der sogenannten SPC (Statistische Prozesskontrolle).
Kontrollregelkarten enthalten:
Kartenkopf: (allgemeinen Daten zum Prozess ,was, wie , womit, wer)
- Art der Stichprobenentnahme: (Zeit-Intervall und Umfang der
Stichprobenentnahme usw.),
- Kontrollverantwortliche usw.
- Tabelle der Stichprobenergebnisse: Einzelwerte jeder Stichprobe,
Daten zu Lage und Streuung der Stichprobe für jedes Zeitintervall
Lagespur:
Zeitabhängige Darstellung der berechneten Daten zur Lage der
Stichprobe (Mittelwert, Median usw.)
Streuungsspur:
Zeitabhängige Darstellung der ausgewerteten Daten zur Streuung der
Stichprobe (Streuung, Standardabweichung, Spannweite, usw.)
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
Im Laufe der Kontrolle werden dies Karten mit den Messdaten gefüllt.
Beispiel:
x / s- Kontrollregelkarte:
Art: x - Kontrollregelkarte
Abschnitt: Wickeln von Federn
Ziel: Überwachung der Ausgangsfestigkeit der Drähte,
Verantwortung: Heiner Mustermann, Abteilung ERB/3
Messung: xi= Werte für Zereißlasten in daN, pro Tag, n=5
- 53 -
- 54 –
III. Schließende Statistik

6.1 Tragen Sie die Daten in der in der Vorlesung ausgeteilten
Kontrollregelkarte für 0 = 132 und 0 = 2 ab!
6.2.2 Auswertung von Kontrollregelkarten
Für das Prüfen mittels Prüfintervallen müssen die Grenzen der Intervalle, die
man auch als Eingriffsgrenzen bezeichnet, festgelegt werden.
Ein Prozess wird als beherrscht bezeichnet, wenn

die Eingriffsgrenzen nicht über- bzw. unterschritten werden und

keine auffälligen Muster auftreten.
Um Muster besser erkennen zu können, bzw. schon frühzeitiger erkennen zu
können, ob der Prozess „aus dem Ruder läuft“, werden innerhalb der
Eingriffsgrenzen weitere Grenzen, sogenannte Warngrenzen definiert.
Für das Festlegen der Grenzen gibt es zwei grundsätzliche Vorgehensweisen.
1) Wir legen die Irrtumswahrscheinlichkeit  (bzw.
Sicherheitswahrscheinlichkeit 1- fest.
Wir bezeichnen dabei i.A. die Grenzen dieser Intervalle für 1-= 0,9 und 0,95
als Warngrenzen und für 1-=0,99 als Eingriffsgrenzen.
Wenn die Schätzung außerhalb der Eingriffsgrenzen liegt (obwohl sie mit
99%iger Wahrscheinlichkeit darin liegen müsste), so heißt das, dass die
Produktion aus dem Ruder gelaufen ist, die Hypothese muss abgelehnt
werden; die Produktion muss gestoppt und nachjustiert werden.
Liegt die Schätzung innerhalb der Warngrenzen, so ist alles OK. Liegt sie
zwischen Warn- und Eingriffsgrenze, so beginnt die Produktion aus dem
Ruder zu laufen und muss möglichst im laufenden Betrieb nachjustiert
werden.
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
2) Wir legen die Grenzen der Intervalle fest
Bei x - Kontrollregelkarten bilden die Grenzen 30 des Prüfintervalls
 0  3 0  I P , o die Eingriffsgrenzen. Das entspricht einer Irrtumswahrscheinlichkeit =0,002 bzw. einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von
1- = 0,998.
D.h., wenn x außerhalb dieser Grenzen liegt, wird ist die geforderte
Bedingung EX=0 als verletzt angesehen.
Wir irren uns nur in 2 von 1000 Fällen, d.h. nur in 2 von 1000 Fällen liegt x
außerhalb dieser Grenzen obwohl EX=0 ist.
Ebenfalls werden Warngrenzen festgelegt, im Allgemeinen bilden die ein-und
zweifachen Standardabweichungen (1 0, 2 0) die Warngrenzen.
Ein Prozess wird als beherrscht angesehen, wenn die Schätzungen innerhalb
der Warngrenzen liegen.
Ein Prozess wird als nicht beherrscht angesehen und muss gestoppt und
Nachjustiert werden, wenn die Schätzungen außerhalb der Eingriffsgrenzen
liegen.
Für die Interpretation der Verläufe der Lage- und Streuungsspuren auf den
Kontrollregelkarten zwischen Warn- und Eingriffsgrenzen gibt es
verschiedene Heuristiken.
Einige davon sind die Folgenden:
1) Liegt der Schätzwert zwischen Warn-und Eingriffsgrenze, so führe
zunächst e i n e Widerholung der Stichprobenerfassung und Ermitttlung der
Schätzungen
durch.
2)Entscheide dich für einen Prozessstop (nichtbeherrschter Prozess) in
folgenden Fällen:

8er-Run:
Mindestens acht aufeinander folgende Punkte liegen auf der gleichen
Seite der Mittellinie.
- 55 -
- 56 –
III. Schließende Statistik

4er-Run:
Mindestens vier von fünf aufeinander folgenden Punkten liegen auf einer
Seite der Mittellinie und einer davon zwischen Warn- und Eingriffsgrenze,
oder: mindestens 4 von 5 aufeinanderfolgenden Punkten liegen auf einer
Seite der Mittellinie außerhalb des 1 - 0-Bereiches, aber im 2- und 3- 0Bereich .

2er-Run im Außenbereich:
Mindestens zwei von drei aufeinander folgenden Punkten liegen zwischen
äußerer Warn- und Eingriffsgrenze (bzw. zwischen 2- und 3-0- Bereich)
auf der selben Seite.

Trend:
Sechs aufeinander folgende Punkte fallen bzw. steigen.
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 57 -
Darüber hinaus lassen folgende Muster auf systematische Störeinflüsse im
Produktionsprozess schließen:

Innenbereich:
15 Punkte in Folge oder mindestens 68 % aller Punkte liegen im 1-0Bereich. Tritt dieses Muster auf, sollten die Eingriffsgrenzen neu
berechnet werden.

Alternation:
Zwischen 14 aufeinander folgenden Punkten findet jeweils zwischen 2
Punkten abwechselnd Steigen und Fallen statt.

Zyklen:
Die Aufzeichnung zeigt ein wiederkehrendes Muster.
6.2.3 Erstellung
der
Kontrollregelkarten
bei
Erwartungswert und unbekannter Varianz
unbekanntem
Sind 0 und/oder 0 nicht bekannt, so werden sie zunächst in einem PilotProzessvorlauf aus einer relativ großen Stichprobe geschätzt.
Dabei ist die Vorgehensweise die folgende:
Zu m Zeitpunkten werden je n Beobachtungen von X durchgeführt und xi und
2
si , i=1,…,m ermittelt.
Dabei sollte die Bedingung:
m  n ≥ 200
(6.1)
- 58 –
III. Schließende Statistik
eingehalten werden.
Beispiel: n=5  m ≥ 40 und n=12  m ≥ 18
Für 0 und 02 ergeben sich dann erwartungstreue Schätzungen durch:
̂ 0  x 
1 m
 xi
m i 1
und ˆ 0  s 2 
2
die in den Kontrollregelkarten verwendet werden.

Übungsaufgaben
Fallstudie 3
1 m 2
 si
m i 1
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
7
Literaturverzeichnis
Standard-Literatur
Diese Literatur ist für einen breiten Leserkreis gedacht, der eine mathematische Grundausbildung (als Nichtmathematiker) besitzt.
[Grei] M.Greiner und G.Tinhofer: Stochastik für Studienanfänger der
Informatik, Carl-Hanser-Verlag München, 1996.
[Krey] D.Kreyszig: Statistische Methodenlehre. Teubner, Stuttgart, 1995.
[Preu] W.Preuß und G. Wenisch: Lineare Algebra und Stochastik,
Fachbuchverlag Leipzig , 2001.
[Stin] Peter Stingl: Mathematik für Fachhochschulen – Technik und
Informatik, Carl Hanser Verlag München Wien, 1996.
Weiterführende Literatur
Diese Literatur ist für einen Leserkreis gedacht, der auf der Basis dieser
Kurseinheit sein Grundwissen zur Stochastik ergänzen möchte.
[Gr] B.Grabowski: Mathematische Methoden in der Simulation dynamischer
Systeme (SIM3), Hrg. ZFH Koblenz, Fernstudium Allg. Informatik, 1997.
[Lex] G.Walz (Hrg.), B.Grabowski: Lexikon der Statistik, Elsevier–Spektrum
Akademischer Verlag, 2004.
[Wa] E.Wahrmuth: Mathematische Modelle diskreter stochastischer Systeme
(SIM2), Hrg. ZFH Koblenz, Fernstudium Allgemeine Informatik, 1997.
Wissenschaftliche Literatur
Diese Literatur ist nicht für einen breiten Leserkreis gedacht, sonder eher für
Fachleute, die auf dem Gebiet der Anwendung stochastischer Verfahren
angewandte Forschung und Entwicklung betreiben.
[Fish] G. S. Fishman: Monte Carlo, Concepts, Algorithms, and Applications,
Springer Verlag New York, 1996.
- 59 -
- 60 –
III. Schließende Statistik
[Math] R. Mathar; D. Pfeifer: Stochastik für Informatiker. Teubner, Stuttgart,
1990.
[Rip] B. D. Ripley: Stochastic Simulation. John Wiley & Sons, Inc., 1987.
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
8
Tabellen und Diagramme
A1. Tabelle der Standardnormalverteilung
A1. Tabelle der Verteilungsfunktion (u) der Standardnormalverteilung für
u=0,00 (0,01)3,09
Es gilt: (-u) = 1-(u) und (u)1 für u  3,1
- 61 -
- 62 –
III. Schließende Statistik
Die Funktion (u) ist für u=0,00 bis u=3,09 mit der Schrittweite 0,01 tabelliert.
Dabei setzt sich u aus den Zahlen der linken Spalte und der Kopfzeile
zusammen. Die Zahlen in der Kopfzeile stellen die zweite Nachkommastelle
von u dar.
Ablesebeispiele:
(1,27)=0,898, (-2,1) = 1- (2,1) = 1–0,9821=0,0179, (-3,12)=1-(3,12)=0.
Die Quantile der Standardnormalverteilung erhält man aus Tabelle A1 durch
lineare Interpolation.
Quantile:  (u )  0,5  u  0 ,  (u )  0,9  u  1,282

0,900
0,950
0,975
0,990
0,995
0,999
u()
1,282
1,645
1,960
2,326
2,576
3,090

0,100
0,050
0,025
0,010
0,005
0,001
u()
-1,282
-1,645
-1,960
-2,326
-2,576
-3,090
A2. Tabelle der Quantile der Standardnormalverteilung
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
A2. Zufallszahlen zur Gleichverteilung
Die einzelnen Ziffern bilden eine Zufallszahlenfolge zur Gleichverteilung auf
der Menge der Ziffern 0 bis 9. Die Fünfergruppen, als Dezimalzahl gelesen
und durch 100000=105 geteilt, sind eine Zufallszahlenfolge zur
Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1].
- 63 -
- 64 –
III. Schließende Statistik
A3. Quantile m2() der 2-Verteilung mit m Freiheitsgraden
P(X < m2()) = 
m\ 0,005
0,01
0,025
0,05
0,1
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
1 0,000 0,000 0,000
2 0,010 0,020 0,051
3 0,072 0,115 0,216
0,004 0,016 2,706 3,841 5,023 6,635 7,879
4 0,207 0,297 0,484
5 0,412 0,554 0,831
0,711 1,064 7,779 9,422 11,14 13,28 14,86
6 0,676 0,872 1,237
7 0,989 1,239 1,690
8 1,344 1,647 2,180
1,635 2,204 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55
9 1,735 2,088 2,700
10 2,156 2,558 3,247
3,325 4,168 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59
11 2,603 3,053 3,816
12 3,074 3,571 4,404
13 3,565 4,107 5,009
4,575 5,578 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76
14 4,075 4,660 5,629
15 4,601 5,229 6,262
6,571 7,790 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32
16 5,142 5,812 6,908
17 5,697 6,408 7,564
18 6,265 7,015 8,321
7,962 9,312 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27
19 6,844 7,633 8,907
20 7,434 8,260 9,491
10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58
25 10,52 11,52 13,12
30 13,79 14,95 16,79
35 17,19 18,51 20,57
14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93
40 20,71 22,16 24,43
45 24,31 25,90 28,37
26,51 29,05 51,81 55,34 59,34 63,69 66,77
50 27,99 29,71 32,36
60 35,53 37,48 40,48
70 43,28 45,44 58,76
34,76 37,69 63,17 67,42 71,42 76,15 79,49
80 51,17 53,54 67,15
90 59,20 61,75 65,65
100 67,33 70,07 74,22
60,39 64,28 96,58 101,9 106,6 112,3 116,3
0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10,60
0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,34 12,94
1,145 1,610 9,236 11,07 12,83 15,09 16,75
2,167 2,833 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28
2,733 3,490 13,36 15,51 17,53 20,09 21,96
3,940 4,865 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19
5,226 6,304 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30
5,892 7,042 19,81 22,36 24,74 27,69 29,32
7,261 8,547 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80
8,672 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72
9,390 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16
10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00
18,49 20,60 40,26 43,98 46,98 50,89 53,67
22,46 24,80 46,06 49,20 53,20 57,34 60,27
30,61 33,35 57,51 61,41 65,41 69,96 73,17
43,19 46,46 74,40 79,30 83,30 88,38 91,95
51,74 55,33 85,53 90,02 95,02 100,4 104,2
69,13 73,29 107,6 113,1 118,1 124,1 128,3
77,93 82,36 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
A4.
1-
-
Quantile
der
t-Verteilung
- 65 -
mit v
Freiheitsgraden
- 66 –
III. Schließende Statistik
A5. Quantile der F-Verteilung für =0,01 und =0.05
Verteilung von Funktionen von Zufallsgrößen
- 67 -
Stichwortverzeichnis
A
S
arithmetisches Mittel 19
Satz
Reproduktionssatz 9
E
über die Eigenschaften von
Erwartungstreue 19
Erwartungswert und Varianz 7
Erwartungswert 19
von Moivre und Laplace 14
Eigenschaften 7
Zentraler Grenzwertsatz 13
Schätzfunktion 18
F
F - Verteilung 36
Stichprobe 17, 18
Stichprobenumfang 27, 47
G
Stichprobenvarianz 42
Grenzwertsatz von Moivre und
T
Laplace 14
I
t-Verteilung 33
U
Irrtumswahrscheinlichkeit 21, 22
Überdeckungswahrscheinlichkeit 21,
M
22
Mittel
arithmetisches 19
P
Unabhängigkeit von Zufallsgrößen 6
V
Varianz 19
Eigenschaften 7
Punktschätzung 18
Q
Quantil 32
R
Reproduktionssatz für Verteilungen 9
Z
Zentraler Grenzwertsatz für
Verteilungen 13
- 68 –
III. Schließende Statistik