Slides aus Vorlesung 05

Lineare Algebra IIa
- 05.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Sven Balnojan
9.4
Normale Endomorphismen
9.3. Normale Endomorphismen
Zuletzt werden wir ein einfaches Kriterium für die Diagonalisierbarkeit von Endomorphismen
unit
ärerunitärer
VektorrVektorraum
äume diskutieren. In diesem Kapitel bezeichnet (V, ⌘) stets einen unitären
(V, ⌘)
Vektorraum.
Definition 9.15. Ein Endomorphismus f 2 Hom(V, V ) eines unitären Vektorraums heißt
normal, falls er mit seinem adjungierten vertauscht, d.h.
f
f ad = f ad f .
Entsprechend heißt eine komplexe Matrix F 2 Mat(n, n; C) normal, falls sie mit ihrem
hermitesch transponierten vertauscht:
F · F⇤ = F⇤ · F .
9.3. Unitäre Vektorräume
=
⌘(v, fEndomorphismen
f (v)) =Y
⌘(f (v),
(v))
⌘(f f (v),
, normal.
(1) Selbstadjungierte
f 2f Hom(V,
V=) (d.h.
=ff )(v))
sind
gilt
aber
=
(tmani )einen
, adi Endomorphismus
2 C.
f (t) nennt
(2)
Analog
zu
Definition
9.14
f 2 Hom(V, V ) unitär,
und daher ist v 2 ad
ker(f ) genau
dann
wenn
v
2
ker(f
).
i=1
falls gilt f = f 1 . Unitäre Endomorphismen
sind
normal.
f normal
ad
ad
0
=
⌘(f
(v),
f
(v))
=
⌘(f
f
(v),
v)
=
⌘(f
f
(v), v)
Sei v1 ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 . Ist n = 1, so ist die Behauptung gezeigt.
Dies ist
Proposition
9.18.
SeiHom(V,
fNehme
2 Hom(V,
V>
) und
normal.
Dann
gilt
⌘ hermitesch
Korollar
9.19.
Sei f 2
V )ad
normal
2 C.
Dann
gilt⌘ hermitesch
ad
ad
die
Induktionsverankerung.
nun
n
1
an
und
definiere
=
⌘(v, f f (v)) = ⌘(f (v), f (v))
=
⌘(f ad (v), f ad (v)) ,
ad
ad
?
)
ker(f
) .ad
VW(fker(f
)
=
V
(f
)
.
¯=
:=
(C
v
)
.
1
und daher ist v 2 ker(f ) genau dann wenn v 2 ker(f ).
Beweis.
Da
f ⌘normal
ist,gilt
giltVdies
auch
Endomorphismus
g und
:= ff⌘(f
idV f, (v))
wobei
Beweis.
Da
nicht ist,
ausgeartet
ist,
ist für
vW2.den
ker(f
) genau
dann
wenn
(v),
Da
⌘
nicht
ausgeartet
=
C
v
Falls
nun,
f
(W
)
✓
W
|
normal
ist,= 0. Nun
1
W
ad
ad
¯
ggilt=es
f nach der
idV Induktionsannahme
ist. Nach Proposition
9.18
folgtvon
sofort
aber
gibt
eine
Basis
W aus Eigenvektoren von f , die dann
Korollar 9.19. Sei f 2 Hom(V, V ) normal ad
und 2 C. Dann
gilt
ad
durch Ergänzung des
zuV einer
Basis von¯ id
V Vfkomplettiert
Dann ist also
V Eigenvektors
(f ) = ker(f v1 id
) = ker(f
)normal
= V ¯ (f ) . wird.
ad
ad
0
= Es verbleibt
⌘(f (v), daher
f (v)) zu
= zeigen
⌘(f
f (v), v)ad = ⌘(f f (v), v)
f diagonalisierbar.
V (f ) = V ¯ (f ) .
ad
ad
ad (v), f ad (v)) ⌘ hermitesch
=
⌘(v, ff (Wf ad
(v))
=
⌘(f
=
⌘(f
(v),
f
(v)) ,
) ✓ W und f |W ist normal .
Beweis. Da f normal ist, gilt dies auch für den Endomorphismus g := f
idV , wobei
ad
¯fid
und
ist
v. Dann
2
) genau
dann
wenn
v2
ker(fsofort
). (V, ⌘). Dann sind die folgeng addazu
=daher
f ad
ist.gilt
Nach
Proposition
9.18
folgt
Satz
9.20.
Endomorphismus
eines unit
ären
Vektorraums
Sei
w 2Sei
W
V ker(f
⌘ hermitesch
den Aussagen äquivalent:
ad
ad
¯ id
⌘(v
,
f
(w))
=
⌘(f
(v1 ), w)id
=V⌘(
=V
0 .¯ (f ad ) .
V
(f
)
=
ker(f
) ¯=1 vker(f
)=
1
1 , w) = 1 ⌘(v
1 ,Vw)
(1) f ist normal.
Korollar
9.19. Sei f 2 Hom(V, V ) normal und 2 C. Dann gilt
(2) f ist diagonalisierbar.
Daher ist f (w) ? v1 und damit f (w) 2 W . Analog zeigt man f ad (W ) ✓ W . Aus der Normalit
ät von
f folgt dann
sofort die Normalit
ät)von
Beweis.
“(2))(1)”
ist o↵ensichtlich,
denn
sei
{v
. , .vadn)} .eine Basis von V bestehend aus
V (f
=1 ,Vf.¯.|(f
W
Eigenvektoren vi von f mit f (vi ) = i vi . Dann gilt wegen Korrolar 9.19 f ad (vi ) = ¯i vi . Also
Beweis.
f normal
gilt dies auch für den Endomorphismus g := f
idV ,die
wobei
gilt
für9.20.
alleDa
Basisvektoren
vist,
i , 1  i  n eines unitären Vektorraums (V, ⌘). Dann sind
Satz
Sei
f
Endomorphismus
folgenKorollar
(Matrix-Version)
Eine
Matrix
A
2
Mat(n,
n;
C)
ist
diagonalisierbar
genau
ad
ad9.21.
¯ idV ist. Nach Proposition 9.18 folgt sofort
gden=Aussagen
f
⇤
dann wenn A · Aäquivalent:
f= A
f ad· A
(v⇤i .) = f ( ¯i vi ) = i ¯i vi = f ad ( i vi ) = f ad f (vi ) .
(1) f ist normal.V (f ) = ker(f
(2) f ist diagonalisierbar.
10
idV ) = ker(f ad
Jordansche Normalform
¯ idV ) = V ¯ (f ad ) .
Beweis. “(2))(1)” ist o↵ensichtlich, denn sei {v1 , . . . , vn } eine Basis von V bestehend aus
ad
Ziel
dieses Kapitels
ist es,
Endomorphismen
f : V ! V9.19
vonf endlichEigenvektoren
vi von
f eine
mit fNormalform
(vi ) = i vfiür
. Dann
gilt wegen Korrolar
(vi ) = ¯i vi . Also
dimensionalen
Vektorr
äumen zu
In
7.4 hatten
wir diskutiert,
Satz
9.20.
f Endomorphismus
Vektorraums
(V, ⌘). unter
Dannwelchen
sind die folgengilt für
alle Sei
Basisvektoren
vi ,finden.
1  ieines
 Kapitel
n unitären
Umst
änden ein äquivalent:
solcher Endomorphismus diagonalisierbar (siehe Definition 7.21) ist, d.h.
den Aussagen
ad
ad
wann es eine Basis BfvonfVad (v
gibt,
so fdass
die
entsprechende
Matrixdarstellung
¯
¯
9.3.Mat
Vektorräume
)
=
(
v
)
=
v
=
f
(
v
)
=
f
fUnitäre
(vBi )B (f
. ) von
i
i
i
i
i
i
i
i
(1) f ist normal.
= l v⌘(v,
fEndomorphismen
=
(v))
⌘(f f (v),
, normal.
(1) Selbstadjungierte
f 2f Hom(V,
V=) (d.h.
=ff )(v))
sind
)
l1 f 1 v(v))
. . .⌘(flk (v),
k k k =
1
1 k 1 vk 1
gilt
aber
(2)
Analog zu ker(f
Definition
9.14
nennt
man
einen
ad Endomorphismus f 2 Hom(V, V ) unitär,
und daher ist v 2 ad
) genau
dann
wenn
v
2
ker(f
).
1
Auf derfalls
anderen
(7.2)
gilt fSeite
= folgt
f . aus
Unit
äre Endomorphismen
sind
normal.
f normal
ad
0
=
⌘(f (v), f (v)) = ⌘(f
f (v), v) = ⌘(f f ad (v), v)
Proposition
9.18.
SeiHom(V,
f k2lk Hom(V,
V ) und
normal.
Dann
⌘ hermitesch
Korollar
9.19.
Sei f 2
)adnormal
vkV =
.2
. +C.
lk Dann
vkgilt
) , ⌘ hermitesch
k (l1 v
1 + . ad
1ad
1gilt
=
⌘(v, f f (v)) = ⌘(f (v), f (v))
=
⌘(f ad (v), f ad (v)) ,
ad
ad
ker(f
)
ker(f
) .ad
V
(f
)
=
V
(f
)
.
¯=
und
daher
und daher ist v 2 ker(f ) genau dann wenn v 2 ker(f ).
+auch
. .ist
. +für
lk 1 vk dann
1
k ) ldies
1 v1 ist,
1 Endomorphismus
k)) genau
1 = 0 .wenn
Beweis.
ist,
gilt
g := f⌘(f (v),
idV f, (v))
wobei= 0. Nun
Beweis. Da
Daf ⌘normal
nicht( ausgeartet
v( 2kden
ker(f
ad
ad
¯ idV ist. Nach Proposition 9.18 folgt sofort
gNach
=
f
gilt aber
Annahme ist {v1 , . . . , vk 1 } linear unabhängig, und daher ( i
k ) li = 0 für alle
Korollar 9.19. Seipaarweise
f 2 Hom(V,
V ) normal ad
undl =20,C.
Dann gilt
1  i < k. Da die
verschieden sind folgt
für allead1  i < k, und damit
¯i idVf )normal
Vi (f ) = ker(f
idV ) = ker(f
= V ¯ (f ) . ad
ad
0 auch=lk = 0.⌘(f
(v),
(v)) =
(v), v)unabh
⌘(f f (v), v)
wegen (7.2)
Also
istfauch
{v1⌘(f
, . . . , vk }f linear
ad = ängig.
V (f ) = V ¯ (f ) .
⌘ hermitesch
=
⌘(v, f f ad (v)) = ⌘(f ad (v), f ad (v))
=
⌘(f ad (v), f ad (v)) ,
Beweis. Da f normal ist, gilt dies auch für den Endomorphismus g := f
idV , wobei
Korollar
Hat ein Endomorphismus f : V ! V eines
ad n-dimensionalen Vektorraums
ad daher
ad7.24.
und
ist¯fid
v Endomorphismus
2
ker(f
)
genau
dann
wenn
v
2
ker(f
). (V, ⌘). Dann sind die folgeng
=
f
ist.
Nach
Proposition
9.18
folgt
sofort
Satz
9.20.
Sei
eines
unit
ären
Vektorraums
V n verschiedene VEigenwerte, so ist f diagonalisierbar.
⌘ hermitesch
den Aussagen äquivalent:
ad
¯ idV ) = V ¯ (f ad ) .
V
(f
)
=
ker(f
id
)
=
ker(f
(1)
f
ist
normal.
V
Beweis. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und f 2 Hom(V, V ) ein EndomorphisKorollar
9.19. Sei f 2 Hom(V, V ) normal und 2 C. Dann gilt
(2)
f
ist
diagonalisierbar.
mus mit n verschiedenen Eigenwerten. Seien v1 , . . . , vn 2 V jeweils Eigenvektoren zu diesen
Eigenwerten.
Nach Proposition
7.23 istdenn
{vV1 , .(f
. .), {v
v=n1},V.linear
und Vdamit
eine Basis
Beweis. “(2))(1)”
ist o↵ensichtlich,
sei
. , vadn)unabh
} .eine ängig,
Basis von
bestehend
aus
¯.(f
von
V.
Eigenvektoren
vi von f mit f (vi ) = i vi . Dann gilt wegen Korrolar 9.19 f ad (vi ) = ¯i vi . Also
Beweis.
f für
normal
gilt
dies
auch
für den
f sind
idV ,die
wobei
Zum
allgemeine
Körper
gilt unit
gilt
fVergleich:
ür9.20.
alleDa
Basisvektoren
vist,
i
n Keines
i, 1 
Satz
Sei
f Endomorphismus
ärenEndomorphismus
Vektorraums (V, g⌘).:=Dann
folgenad
ad
¯ idV ist. Nach Proposition 9.18 folgt sofort
gden=Aussagen
f
äquivalent:
ad
ad
ad
¯
Satz 7.25. Sei Vf endlich-dimensionaler
f f2 Hom(V,
f (vi ) = f ( ¯i vi ) = K-Vektorraum
vi ) =
f (vi ) V. ). Dann sind die
i i vi = f ( iund
(1) f ist
normal.äquivalent:
folgenden
Aussagen
V (f ) = ker(f
idV ) = ker(f ad ¯ idV ) = V ¯ (f ad ) .
(2) ffististdiagonalisierbar.
diagonalisierbar.
(1)
(2) Das charakteristische Polynom f (t) zerfällt in Linearfaktoren und für die MultipliBeweis.
“(2))(1)”
istseiner
o↵ensichtlich,
, vn } xeine
Basis von V bestehend aus
zitäten
µxi ( f ) aller
Nullstellen denn
xi giltsei
µxi {v
( f1), .=. .dim(V
(f
)).
i
Eigenvektoren vi von f mit f (vi ) = i vi . Dann gilt wegen Korrolar 9.19 f ad (vi ) = ¯i vi . Also
Satz
9.20.
Sei
f Endomorphismus
ärenesVektorraums
die folgenBeweis.
“(1))(2)”:
Ist f diagonalisierbar,
so gibt
eine Basis {v(V,
. , vnDann
} vonsind
V aus
gilt für
alle
Basisvektoren
vi , 1  ieines
 n unit
1 , . .⌘).
Eigenvektoren.
xi die verschiedenen Eigenwerte von f . Dann gilt nach Beispiel 7.20(1)
den Aussagen Seien
äquivalent:
ad
ad
ad
¯
¯
9.3.fUnitäre
f
f
(v
)
=
f
(
v
)
=
v
=
f
(
v
)
=
f
(vi ) . Vektorräume
i
i
i
i
i
i
i
i
(1) f ist normal.
wegen (7.2) auch lk = 0. Also ist auch {v1 , . . . , vk } linear unabhängig.
10. Jordansche
Korollar 7.24. Hat ein Endomorphismus
f : V Normalform
! V eines n-dimensionalen Vektorraums
V n verschiedene Eigenwerte, so ist f diagonalisierbar.
V: endlich-dim.Vektorraum
Ziel:
Normalform
von
Endomorphismen
über
allgemeinen
Körpern!
Beweis. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und f 2 Hom(V, V ) über
ein Endomorphisbeliebigem Körper K
mus mit n verschiedenen Eigenwerten. Seien v1 , . . . , vn 2 V jeweils Eigenvektoren zu diesen
Eigenwerten. Nach Proposition 7.23 ist {v1 , . . . , vn } linear unabhängig, und damit eine Basis
von V .
Wir hatten gesehen:
Satz 7.25. Sei V endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f 2 Hom(V, V ). Dann sind die
folgenden Aussagen äquivalent:
(1) f ist diagonalisierbar.
(2) Das charakteristische Polynom f (t) zerfällt in Linearfaktoren und für die Multiplizitäten µxi ( f ) aller seiner Nullstellen xi gilt µxi ( f ) = dim(Vxi (f )).
Beweis. “(1))(2)”: Ist f diagonalisierbar, so gibt es eine Basis {v1 , . . . , vn } von V aus
Eigenvektoren. Seien xi die verschiedenen Eigenwerte von f . Dann gilt nach Beispiel 7.20(1)
Was passiert, wenn
f (t)
Y
nicht gilt?
dim(Vxi (f ))
=Wir (t
xi )dabei
.
setzen
weiterhin
vorraus, dass das
i
charakteristische
Polynom in Linearfaktoren
zerfällt!
Daraus folgt (2).
“(2))(1)”: Gelte nun (2). Seien x1 , . . . , xk die verschiedenen Nullstellen von f , bzw. die
verschiedenen Eigenwerte von f .Bemerkung:
Seien di := dim(V
(f ))eine
dieVerallgemeinerung,
Multiplizitäten der die
Eigenr
äume.
xgibt
i
Es
das
nicht verlangt!
(i)
(i)
Wähle nun Basen Bi := {v1 , . . . , vdi } der Eigenr
äume
Vxi (f
), fallerdings
ür alle 1 
i  diskutiert.)
k. Behaup(Diese
wird
hier
nicht
tung:
(i)
B = B1 [ · · · [ Bk = {vj |1  i  k, 1  j  di }
10. Jordansche Normalform
charakteristische
Polynom in Linearfaktoren
zerfällt.
Das ist insbesondere
immer 7.11)
dann ist,
der
Fall, wenn der zugrundeliegende
Körper algebraisch
abgeschlossen
(siehe Definition
Fall,
wenn
derFalle
zugrundeliegende
Körper algebraisch abgeschlossen (siehe Definition 7.11) ist,
10.1
Nilpotente
Endomorphismen
also z.B.
im
K = C.
also z.B. im Falle K = C.
Definition 10.1. Ein Endomorphismus
f eines
Vektorraums V heißt nilpotent, falls es
10.1. Nilpotente
Endomorphismen
ein
k 2 NNilpotente
gibt mit f k = Endomorphismen
0. Analog nennt man eine quadratische Matrix A 2 Mat(n, n; K)
10.1
10.1
nilpotent,Nilpotente
falls es ein k 2 Endomorphismen
N gibt, sodass Ak = 0 gilt.
Definition 10.1. Ein Endomorphismus f eines Vektorraums V heißt nilpotent, falls es
Definition
10.1.
Endomorphismus
eines
V Matrix
heißt nilpotent,
es
Bemerkung
10.2.
Nilpotente
Endomorphimsen
f Vektorraums
haben
keine Eigenwerte
ungleich
0. falls
ein k 2 N gibt
mitEin
fkk =
0. Analog
nenntfman
eine
quadratische
A 2 Mat(n,
n; K)
ein
k 2 N falls
gibt es
mitein
f k=2 0.
nennt
nilpotent,
N Analog
gibt, sodass
Akkman
= 0 eine
gilt. quadratische Matrix A 2 Mat(n, n; K)
Beweis. Denn
hätte
einen
Eigenwert
gäbe es einen zugehörigen Eigenvektor
nilpotent,
falls es
ein fk 2
N gibt,
sodass A6= =0,0sogilt.
n
n
0Bemerkung
6= v 2 V mit10.2.
f (v) =
v,
und
daher
f
(v)
=
0 für keine
alle n Eigenwerte
2 N. Also kann
f nicht
Nilpotente Endomorphimsenvf6=haben
ungleich
0.
Bemerkung
Nilpotente Endomorphimsen f haben keine Eigenwerte ungleich 0.
nilpotent sein, 10.2.
.
Beweis. Denn hätte f einen Eigenwert 6= 0, so gäbe es einen zugehörigen Eigenvektor
Beweis.
Eigenwert
n gäbe es einen zugehörigen Eigenvektor
0 6= v 2 VDenn
mit hfätte
(v) =f einen
v, und
daher f nn (v)6==0, so
v 6= 0 für alle n 2 N. Also kann f nicht
n
0Beispiel
6= v 2 V mit Eine
f (v) quadratische
= v, und daher
=
v n;
6=K)
0 fnennt
ür alleman
n 2eine
N. Also
kann
f nicht
Matrixf A(v)
2 Mat(n,
strikte
obere
nilpotent 10.3.
sein, .
nilpotent
sein, . falls nur Matrixeinträge oberhalb der Diagonalen ungleich null sind, also
Dreiecksmatrix,
aij = 0 für alle i j. Solche Matrizen haben die Gestalt
Beispiel 10.3. Eine quadratische Matrix
A 2 Mat(n,1n; K) nennt man eine strikte obere
0
Beispiel 10.3. Eine quadratische Matrix
A
2 ·Mat(n,
n; K) nennt man eine strikte obere
0
⇤
·
·
⇤
Dreiecksmatrix, falls nur Matrixeinträge oberhalb der Diagonalen ungleich null sind, also
Dreiecksmatrix, falls nur Matrixeintr
. . . .. der
B ..äge. .oberhalb
C Diagonalen ungleich null sind, also
.
a = 0 für alle i j. Solche Matrizen
die Gestalt
.
. C
B haben
A = B haben
aijij = 0 für alle i j. Solche Matrizen
die
Gestalt
C,
.
.
. . ⇤ A1
@0..
0 0 ⇤ ··· ⇤ 1
0 ··· ··· 0
B 0... .⇤. . . ·. .· ⇤.. C
B . . . . . . . .. C
. C,
A = B ..
wobei die Einträge ‘⇤’ beliebig sein
.
A k=önnen.
B
C,
.
@ ..
A
.
.
⇤
@ ..
Strikte obere Dreiecksmatrizen sind nilpotent:
An =. .0, denn
⇤ A es gilt o↵enbar
0 ··· ··· 0
0 ··· ··· 0
A · ei 2 L({e1 , . . . , ei 1 }) ,
wobei die Einträge ‘⇤’ beliebig sein können.
wobei die Einträge ‘⇤’ beliebig sein können.
n
i
Strikte obereAe
Dreiecksmatrizen
sind
idempotent:
A
= 0, des
denn
es gilt1;o↵enbar
n
insbesondere
=
0.
(Die
e
bezeichnen
die
Standard-Basis
Mat(n,
K).)
Also
A
ei = 0
1
i
Strikte obere Dreiecksmatrizen sind
nilpotent:
A
=
0,
denn
es
gilt
o↵enbar
für alle 1  i  n und daher also An ei = 0 für alle 1  i  n. Es folgt An = 0.
A · ei 2 L({e1 , . . . , ei 110.1.
}) , Nilpotenten Endomorphismen
insbesondere Ae1 = 0. (Die ei bezeichnen die Standard-Basis des Mat(n, 1; K).) Also Ai ei = 0
für alle 1  i  n und daher also An ei = 0 für alle 1  i  n. Es folgt An = 0.
Definition 10.4. Definiere für k 2 N die Jordanmatrizen
0
1
0 1
0
... ..
B
C
.
B
C
Jk := B
C 2 Mat(k, k; K) .
...
@
1 A
0
0
Beachte, dass J1 = (0) 2 Mat(1, 1; K).
Jede nilpotente Matrix kann in Blockdiagonalform gebracht
werden, mit Jordanmatrizen auf der Diagonalen …
10.1. Nilpotenten Endomorphismen
für jeden nilpotenten Endomorphismus f : V ! V eines endlich-dimensionalen Vektorraums
eine Basis von V , sodass die Matrixdarstellung von f in Jordan-Matrizen zerfällt ...
Satz 10.6. Sei f : V ! V nilpotenter Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums V , und d := min{k 2 N | f k = 0}, dann gibt es eindeutige k1 , . . . , kd 2 N0 mit
k1 + 2 k2 + 3 k3 + . . . + d kd = dim(V ) ,
und eine Basis B von V , sodass
0
Jd
B
..
B
.
B
B
Jd
B
B
Jd
B
B
B
MatB B (f ) = B
B
B
B
B
B
0
B
B
@
1
0
1
...
Jd
1
Dies ist insbesondere eine obere Dreiecksmatrix.
..
.
J1
...
J1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
9
=
;
9
=
;
..
.
9
=
;
kd -mal
kd 1 -mal
(10.1)
k1 -mal
Beweis. Spalte sukzessive die zu Jk -Blöcken gehörende Unterräume von V ab. Sei n :=
dim(V ). Da d = min{k 2 N | f k = 0} gilt f d 1 6= 0. Also gibt es ein vd 2 V mit f d 1 (vd ) 6= 0.
Definiere vd 1 := f (vd ), vd 2 := f 2 (vd ),P
. . . , v1 := f d 1 (vd ). Zeige zunächst, dass {v1 , . . . , vd }
linear unabhängig sind: sei dazu v = di=1 i vi , wobei i 2 K nicht alle 0 sind. Sei k die
Pd
k 1
Endomorphismen
größte Zahl mit k 6= 0. Dann gilt f (v) = i=1 i 10.1.
f k 1 (vNilpotenten
i ) = k v1 6= 0, und daher auch