U.88 Für positive Zahlen x, y, z, die die Gleichung x + y + z = 1

U.88 Für positive Zahlen x, y, z, die die Gleichung x + y + z = 1 erfüllen, zeige man
a)
µ
1
+1
x
b)
µ
¶µ
¶µ
¶
1
1
1
−1
−1
− 1 ≥ 8.
x
y
z
¶µ
1
+1
y
¶µ
1
+1
z
¶
≥ 64,
U.88 Beweis: a) Expandieren des Produkts führt auf
P =1+
µ
1 1 1
+ +
x y z
¶
+
µ
1
1
1
+
+
yz zx xy
¶
+
1
.
xyz
Nach AM-GM gilt
√
3 3 xyz ≤ x + y + z = 1
und weiter
µ
¶
1 1 1
3
≥
+ +
1 ,
x y z
(xyz) 3
1
≥ 3,
√
3 xyz
=⇒
µ
¶
≥
(xyz) 3
1
1+ √
3 xyz
¶3
≥ (1 + 3)3 = 64. ¤
1
1
1
+
+
yz zx xy
3
2
,
so daß
3
3
1
P ≥1+
=
1 +
2 +
xyz
(xyz) 3
(xyz) 3
µ
b) Ein Expandieren liefert hier
(1 − x)(1 − y)(1 − z)
1 − (x + y + z) + (yz + zx + xy) − xyz
=
xyz
xyz
1 1 1
= + + − 1,
x y z
P=
wobei jetzt AM-HM weiterhilft:
P +1=
1 1 1
9
+ + ≥
= 9,
x y z
x+y+z
also
P ≥ 8. ¤