Vorkurs / Mathematik finale Version

Vorkurs / Mathematik
finale Version
Eine Wiederholung des mathematischen Schulstoffs
Christian Becker, Martin Finke
2. Oktober 2010
Fachschaft 07
1
1
Wenn nicht anderweitig gekennzeichnet, bezieht sich das Skript auf das Buch:
Horst Lautenschlager, Analysis, 2008, Stark Verlagsgesellschaft mbH & Co.Kg
Vorkurs (Mathematik)
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Schreibweisen
1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Axiom . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . .
1.2 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Abgeschlossene Intervalle . . . .
1.2.2 Offene Intervalle . . . . . . . .
1.2.3 Halboffene Intervalle . . . . . .
1.2.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . .
1.3 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Zuweisung . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Symbole . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Bedingungen und Eigenschaften
1.3.4 Zusammenfassung . . . . . . . .
1.3.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . .
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2 Zahlenmengen
2.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . .
2.4 Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . .
2.5 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . .
2.7 Ordnung / Vergleich der Zahlenmengen .
2.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Rechnen auf Mengen . . . . . . . . . . .
2.9.1 Intervalle . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Andere Notation . . . . . . . . .
2.9.3 Konstruktion von Zahlenmengen
2.9.4 Definitionsmenge . . . . . . . . .
2.9.5 Werte- oder Bildmenge . . . . . .
2.9.6 Abschnittsweise definiert . . . . .
2.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Ausblick: komplexe Zahlen . . . . . . . .
2.11.1 Ursprung . . . . . . . . . . . . .
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by Christian Becker, Martin Finke
Vorkurs (Mathematik)
2.11.2
2.11.3
2.11.4
2.11.5
2.11.6
2.11.7
Schreibweise: . . . . .
Komponenten: . . . . .
Vektoren: . . . . . . .
Polarform: . . . . . . .
Eulersche Darstellung:
Zusammenhang: . . . .
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3 Funktionen
3.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . .
3.3 Funktionen höherer Ordnung . . . . . . . . . .
3.4 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . .
3.4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Periodizität . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Polstellen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 Schnittpunkte mit anderen Funktionen
3.5 Verhalten an Grenzwerten - Der Limes . . . .
3.5.1 Limes an Polstellen . . . . . . . . . . .
3.5.2 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Asymptotisches Verhalten . . . . . . .
3.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . .
3.11 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . .
3.11.1 Der Einheitskreis . . . . . . . . . . . .
3.11.2 Die Kreiszahl π (‘Pi‘) . . . . . . . . . .
3.11.3 Sinus und Consinus . . . . . . . . . . .
3.11.4 Der Tangens . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.1 Herleitung durch die h-Methode . . . .
3.12.2 Allgemeine Ableitungsregel . . . . . . .
3.12.3 Produktregel . . . . . . . . . . . . . .
3.12.4 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . .
3.12.5 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.6 Ableitungstabelle . . . . . . . . . . . .
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Vorkurs (Mathematik)
3.13 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Kurvendiskussionen
4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Einfaches Beispiel . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Gegeben . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Definitionsbereich . . . . . . . . .
4.3.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
4.3.5 Nullstellen . . . . . . . . . . . . .
4.3.6 Ableitungen . . . . . . . . . . . .
4.3.7 Extremwerte . . . . . . . . . . . .
4.3.8 Monotoniebereiche . . . . . . . .
4.3.9 Wendepunkte . . . . . . . . . . .
4.3.10 Konvexitätsbereiche . . . . . . .
4.3.11 Asymptoten . . . . . . . . . . . .
4.3.12 Divergenzen? . . . . . . . . . . .
4.3.13 Wertebereich . . . . . . . . . . .
4.3.14 Skizze . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Beispiel: gebrochene Funktion . . . . . .
4.4.1 Gegeben . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Definitionsbereich . . . . . . . . .
4.4.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
4.4.5 Nullstellen . . . . . . . . . . . . .
4.4.6 Ableitungen . . . . . . . . . . . .
4.4.7 Extremwerte . . . . . . . . . . . .
4.4.8 Monotoniebereiche . . . . . . . .
4.4.9 Wendepunkte . . . . . . . . . . .
4.4.10 Konvexitätsbereiche . . . . . . .
4.4.11 Asymptoten . . . . . . . . . . . .
4.4.12 Konvergenzen und Divergenzen .
4.4.13 Wertebereich . . . . . . . . . . .
4.4.14 Skizze . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Beispiel: periodische Funktion . . . . . .
4.5.1 Gegeben . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Definitionsbereich . . . . . . . . .
4.5.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
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by Christian Becker, Martin Finke
4.5.5
4.5.6
4.5.7
4.5.8
4.5.9
4.5.10
4.5.11
4.5.12
4.5.13
4.5.14
Nullstellen . . . . . .
Ableitungen . . . . .
Extremwerte . . . . .
Monotoniebereiche .
Wendepunkte . . . .
Konvexitätsbereiche
Asymptoten . . . . .
Divergenzen? . . . .
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Skizze . . . . . . . .
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Vorkurs (Mathematik)
1 Mathematische Schreibweisen
1.1 Begriffe
1.1.1 Axiom
Ain Axiom ist ein zu Grunde gelegter, nicht abgeleiteter Ausgangssatz, sprich
eine aufgestellte Grundregel welche nicht auf Beweisen aufgebaut ist, sondern
meist intuitiv aufgestellt wird.
Beispiel: Wenn es eine 0 und eine 1 gibt, dann gibt es auch eine 2.
1.1.2 Lemma
Ein Lemma ist ein Hilfssatz, welcher eine schwache Aussage hat und nur zum
Beweis eines oder mehrerer Sätze dient.
Beispiel: Quadrate gerader und ungerader ganzer Zahlen sind stets gerade
bzw. ungerade.
1.1.3 Satz
Ein Satz ist eine widerspruchsfreie logische Aussage, die mittels eines Beweises
als wahr erkannt werden kann. Er wird aus Axiomen und/oder bereits bekannten Sätzen hergeleitet.
Beispiel: Zu jeder reellen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl (archimedische Ordnung, Analysis)
1.1.4 Aufgaben
Definieren Sie je mind. ein Axiom, Lemma und Satz, um eine Sachverhalt
auszudrücken.
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1
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1.2 Intervalle
1.2.1 Abgeschlossene Intervalle
Um auszudrücken, dass die Variable x einen Wert in einem gewissen Intervall
A mit der linken Grenze a und der rechten Grenze b hat, schreibt man es als
abgeschlossenes Intervall; es schließt die beiden Werte a und b mit ein.
x ∈ [a; b]
Oft werden a und b auch durch ein Komma (x ∈ [a, b]) getrennt, was sich aber
bei Zahlen in deutscher Notation als ungeschickt herausstellen kann.
1.2.2 Offene Intervalle
Um beide Werte auszuschließen schreibt man ein offenes Intervall
x ∈ (a; b) bzw. x ∈ ]a; b[
Beachte: Es gibt meherere Notationen, Werte eines Intervalls auszugrenzen.
Die am meisten gebrauchte Schreibweise ist die Notation mit runden
Klammern.
1.2.3 Halboffene Intervalle
Zudem gibt es noch halboffene Intervalle, wie das rechtsoffene Intervall
x ∈ [a; b) bzw. x ∈ [a; b[
und das linksoffene Intervall
x ∈ (a; b] bzw. x ∈ ]a; b]
1.2.4 Aufgaben
Definieren Sie je zwei Intervalle, welche:
1. sich überschneiden
2. sich in einem Punkt überlagern
3. sich in einem Punkt zu einem zusammenhängenden Intervall ergänzen
ohe sich zu überlagern
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2
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1.3 Definitionen
Um Eigenschaften von Funktionen oder Variablen korrekt darzustellen, werden
sie definiert.
1.3.1 Zuweisung
Zuweisung: Oft wird für eine Zuweisung das Symbol := benutzt. Um der
Variable x also den Wert drei zuzuweisen, wird of statt x = 3 auch x := 3
geschrieben.
Sei A ein Intervall von a bis b:
A := [a; b]
1.3.2 Symbole
Element: Das Symbol ∈ wird benutzt um zu zeigen, dass ein Wert in einem
gewissen Intervall ist. Sei x ein Wert in einem Intervall:
x ∈ A bzw. x ∈ [a; b]
Nicht Element: Das Symbol ∈
/ wird benutzt um zu zeigen, dass ein Wert
nicht in einem gewissen Intervall liegt. Sei x nicht in einem Intervall:
x∈
/ A bzw. x ∈
/ [a; b]
So ist z.B. a ∈
/ (a; b], b ∈ (a; b]
Umgekehrt is a ∈ [a; b), b ∈
/ [a; b)
Es existert ein: Um auszudrücken, dass eine Variable oder Funktion
existiert, wird oft das Zeichen ∃ benutzt.
Es existiert ein x ∈ A welches größer ist als a:
∃x ∈ A welches größer ist als a
Es existert ein: Um auszudrücken, dass eine Variable oder Funktion nicht
existiert, schreibt man das Symbol @.
Es existiert kein x ∈ A welches kleiner ist als a:
@x ∈ A welches kleiner ist als a
Für alle: Um auszudrücken, dass eine Bedinung für alle Variablen bzw
Werte gilt, benutzt man das Symbol ∀
A := [a; b]. Für alle x ∈ A gilt, dass sie größergleich a und kleinergleich b sind
∀x ∈ A gilt, dass sie größergleich a und kleinergleich b sind
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3
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1.3.3 Bedingungen und Eigenschaften
Um Bedingungen oder Eigenschaften mathematisch auszudrücken, werden die
Symbole | oder : benutzt, welche beide das Selbe ausdrücken.
Es existiert ein x in A, welches größer ist als a und kleiner b:
∃x ∈ A : x > a ∧ x < b
1.3.4 Zusammenfassung
Die oben beschriebenen Mengen nun mathematisch genau auf einer Obermenge
U : A ⊂ U definieren schreibt man:
A = [a; b] = {x ∈ U | x ≥ a ∧ x ≤ b}
A = (a; b) =]a; b[= {x ∈ U | x > a ∧ x < b}
A = [a; b) = [a; b[= {x ∈ U | x ≥ a ∧ x < b}
A = (a; b] =]a; b] = {x ∈ U | x > a ∧ x ≤ b}
Für {x ∈ U | x ≥ a ∧ x ≤ b} spricht man: ‘X element U mit der Eigenschaft x
größergleich a und x kleinergleich b‘.
1.3.5 Aufgaben
Definieren Sie je eine Menge, welche:
1. die ganzen Zahlen ein bis sieben ohne die fünf beinhaltet
2. die mögliche Anzahl von Studenten in einem Raum wiederspiegelt
3. alle reellen Zahlen ausser den ganzen Zahlen beinhaltet
4. wie (2) ist, aber anders geschrieben wird
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2 Zahlenmengen
Dieses Kapitel gibt einen kurzen Überblick über in der Mathematik üblichen
Zahlenmengen. Die hier gezeigten Definitionen sind von Wikipedia
übernommen. 2
2.1 Natürliche Zahlen
Symbol: N
Natürliche Zahlen werden sowohl verwendet, um die Anzahl von Dingen zu
beschreiben, als auch, um Dinge zu ordnen. Die Menge umfasst die Zahlen 1,
2, 3, 4, 5, 6 usw. Zuweilen wird ihnen auch noch die Zahl 0 zugerechnet,
manche Lehrbücher notieren diesen Zahlbereich dann als N0 .
2.2 Ganze Zahlen
Symbol: Z
Diese Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um negative ganze Zahlen. Mit
ihnen ist es möglich, uneingeschränkt zu subtrahieren. Genau wie bei den
natürlichen Zahlen ist bei ihnen auch Addition und Multiplikation
uneingeschränkt durchführbar.
Die Menge umfasst die Zahlen ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...
Beispiele:
3 − 4 = −1
2.3 Rationale Zahlen
Symbol: Q
Die rationalen Zahlen umfassen die Menge aller Bruchzahlen - sie sind
abzählbar. Eine Bruchzahl ist der Quotient zweier ganzer Zahlen, wobei die
Einschränkung gilt, dass der Divisor (=Nenner) nicht 0 sein darf. Mit der
Erweiterung auf die rationalen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten
inklusive der Division ausführbar.
Beispiele:
2
7
1
,− 13
,
3
1 = 11 , −8 =
−8
1
http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenmenge, Stand 26.09.2010
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2.4 Irrationale Zahlen
Symbol: I
Menge: R \ Q
Die irrationalen Zahlen bilden unendliche, nicht periodische und demzufolge
nicht als Bruch darstellbare Zahlen - sie sind überabzählbar. Das Ziehen
der Wurzel bei positivem Radikand kann nun eindeutig durchgeführt werden.
Beispiele:
√
2,
√
3
17, π, e
2.5 Reelle Zahlen
Symbol: R
Menge: Q ∪ I
Die reellen Zahlen bilden eine Synthese aus den rationalen Zahlen und den
irrationalen Zahlen.
2.6 Komplexe Zahlen
Symbol: C
Die komplexen Zahlen sind der algebraische Abschluss der reellen Zahlen.
Dies bedeutet, dass jedes Polynom eine Nullstelle hat. Es gibt folglich eine
(nicht-reelle) Zahl i ∈ C mit i2 + 1 = 0 bzw. i2 = −1, die imaginäre Einheit.
Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginären Teil. Um
komplexe Zahlen zu multiplizieren benutzt man oft die Gaußsche
Zahlenebene und die Polarform.
Beispiele: 5 + 3i ≈ 5.83 ∗ ei∗30.96 , 4 − 5i, i2 = −1
Anmerkung: Da die komoplexen Zahlen in vielerlei Hinsicht verwendet werden können, werden diese hier nicht genauer formuliert. Auf spezielle Eigenschaften wird in den einzelnen Vorlesungen genauer eingegangen.
2.7 Ordnung / Vergleich der Zahlenmengen
Mit Ausnahme der irrationalen Zahlen können die Zahlenmengen als Erweiterungen der jeweils vorhergehneden Zahlenmenge verstanden werden. N bildet
dabei die Basis.
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
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2.8 Aufgaben
1. Addieren Sie eine Zahl aus N und eine aus R \ N. In welcher Menge liegt
die neue Zahl? (ohne Rundung!)
2. Formulieren Sie eine Funktion (Wurzel), für deren Lösung sie i bräuchten.
3. Zählen Sie die fünf größten Elemente von Z \ N0 auf!
4. Definieren Sie mit Hilfe der natürlichen Zahlen die Menge Z2 der ganzen
Zahlen! Sie dürfen dabei das Symbol N verwenden, nicht aber Z!
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2.9 Rechnen auf Mengen
Die uns nun bekannten Mengen sind die Grundlage für analytisches Rechnen.
Oft aber gibt es Problemstellungen, welche nur bestimmte Abschnitte von
Mengen oder Mengen mit Lücken benötigen.
Wir erklären kurz, wie solche Mengen konstruiert werden.
2.9.1 Intervalle
Im Kapitel Mathematische Schreibweisen haben wir uns mit Zahlenintervallen
befasst. Diese liegen meist auf einer der o.g. Zahlenmengen.
Beispiel: Byte Definiert Werteraum B mit Werten von null bis zweihunderfünfundfünfzig, so schreibt man
B ⊂ N | ∀b ∈ B : b ∈ [0, 255]
bzw. B ⊂ N | ∀b ∈ B : b ≥ 0 ∧ b ≤ 255
2.9.2 Andere Notation
Will man spezielle oder begrenzte Mengen beschreiben, nutzt man oft eine
weitere Notation:
D := {2, 3, 5, 7}
ist die Menge der Primzahlen kleiner als 10. Dies kann man natürlich auch
komplizierter formulieren:
D := {x ∈ N \ 0 | ∀x : x < 10 ∧ @z = ggT (x, y) | z ∈ N \ [1; z], y ∈ N}
2.9.3 Konstruktion von Zahlenmengen
Wie im obigen Beispiel zu sehen ist, kann man sich auch andere Zahlenmengen
konstruieren. Meist sind die konstruktionen einfach:
D := {x | x = 2 ∗ n, n ∈ Z}
beschreibt alle geraden ganze Zahlen.
D := {x | x = 2 ∗ n + 1, n ∈ N0 }
beschreibt alle ungeraden positiven Zahlen, ist also gleich
D := {1, 2, 3, 4, . . . , ∞}
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2.9.4 Definitionsmenge
Wie oben beschrieben arbeitet man oft auf speziellen Intervallen, welche entweder begranzt sind oder einzelne Wert oder ganze Intervalle ausschließen.
In Bezug auf die Anforderungen einer Problemstellung - in Form einer Funktion - spricht man hier von der Definitionsmenge D von f mit:
f (x) : x ∈ D
2.9.5 Werte- oder Bildmenge
Im allgemeinen bildet eine Funktion Werte aus der Definitionsmenge auf Werte
in der Wertemenge W ab. Diese wird auch oft Bildmenge genannt. Mathematisch formuliert:
y = f (x) | x ∈ D ∧ y ∈ W
f : x 7→ y
f :D→W
Einfaches Beispiel: Sei
D := [1; 3] = {1, 2, 3}, f (x) = x2
dann ist
W = {1, 4, 9}
weil aus den Punkten der Definitionsmenge nur die drei Punkte der Wertemenge berechnet werden können
Beispiel: Parabel Sei
D := R, f (x) := x2 + 1
Dabei liegt der Scheitel - als niedrigster Punkt der Funktion - im Punkt (0;1).
Also ist die Wertemenge begrentz auf reelle Zahlen größergleich eins:
W = [1, ∞)
Hinweis: Weil −∞ und +∞ keine diskreten Zahlen darstellen, werden sie
aus Zahlenmengen ausgeschlossen, man schreibt z.B.
R ≡ (−∞; ∞) ≡ ] − ∞; ∞[
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2.9.6 Abschnittsweise definiert
Oftmals ist es nötig, Intervalle abschnittsweise zu definieren. Meistens ist eine
mögliche Division durch null der Grund. Daher nimmt man einzelne Punkte
oder Intervalle aus einer Menge heraus.
Beispiel:
D := R \ 0 bzw. oft geschrieben als D := R \ {0}
Schließt die 0 aus der Definitionsmenge einer Funktion aus.
2.10 Aufgaben
1. Definieren Sie einen Werteraum, der die möglichen Augenwerte sechsseitigen eines Würfels wiedergibt!
2. Definieren Sie eine Menge mit den Quadraten der Augenzahlen aus (1)!
3. Schreiben Sie zwei Definitionen für einen Werteraum, der die möglichen
Augenwerte eines 20-seitigen Würfels wiedergibt!
a) Definieren Sie einen Definitionsbereich mit fünf Teilerfremden Werten (z.B. Primzahlen).
b) Erstellen Sie eine Funktion f(x). Was ist der Wertebereich?
c) Neu gegeben ist jetzt f (x) = −x2 − 3. Was ist jetzt der Wertebereich?
2.11 Ausblick: komplexe Zahlen
Wir geben im Folgenden einen kleinen Ausblick für Interessierte, was man
mit den komplexen Zahlen machen kann. Der folgende Teil (bis inklusive der
Eulerschen Darstellung) muss jetzt noch nicht verstanden werden!
2.11.1 Ursprung
Den komplexen Zahlen liegt folgendes Problem zu Grunde: Wie ist es möglich,
die Nullstellen der Funktion
f (x) = x2 + 1 zu finden? Letzten endes scheitert
√
man nämlich an x = −1. Natürlich ist der globale Zusammenhang komplexer als diese Fragestellung, das ganze Problem und Lösungen für weit mehr
als mathematische Probleme basieren aber auf dieser√einfachen Gleichung.
Deswegen wird in eine neue Dimension gedacht, i = −1 ist eine Zweidimensionale Zahl. Mit ihr lassen sich nun viele Probleme lösen.
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2.11.2 Schreibweise:
s ∈ C; s := a + bj; a, b ∈ R
Die komplexe Variable s ist zusammengesetzt aus r und a*b.
2.11.3 Komponenten:
Aufgrund der Zusammensetzung habe komplexe Zahlen die Eigenschaften eines
zweidimensionalen Vektors.
Man kann sie in Real- und Imaginärteil aufspalten, in a und b.
Dabei schreibt man re(s) = a und im(s) = b.
2.11.4 Vektoren:
Komplexe Variablen lassen sich nicht nur als Vektoren schreiben:
a
re(s)
~s =
=
b
im(s)
sondern man kann auch mit ihnen rechnen wie Vektoren. So ist auch
0
i=
1
Benutzt man die Multiplikationsregel für Verktoren
(a, b) ∗ (c, d) = (a ∗ c − b ∗ d, a ∗ d + b ∗ c)
so erhält man:
i∗i=
0
1
0
−1
∗
=
1
0
2.11.5 Polarform:
√
s = r∗eiφ mit r = a2 + b2 = radius und φ = Auslenkung von s aus der x-Achse
In der Gerometrie ist die Multiplikation zweier Vektoren eine Art Produkt der
Längen und eine Weiterdrehung des einen Winkels um den anderen (dieses
Verhältnis ist komplizierter). Da i im geometrischen den Punk (0;1) darstellt,
also ein Vektor mit der Länge 1 und der auslengung 90◦ , so ergibt eine Multiplikation von i mit i wieder einen Vektor mit einer Länge von 1 und eines
Auslenkung von 180◦ , was dem Punkt (-1;0) entspricht.
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2.11.6 Eulersche Darstellung:
s = r ∗ (cos φ + i ∗ sin φ)
Diese beruht auf den Rechenregeln für Exponentialfunktionen:
ea+b = ea ∗ eb
und den geometrischen Eigenschaften von i:
s ∈ C : re(s) = cos(x) ∧ img(s) = sin(x)
2.11.7 Zusammenhang:
Eine kleine Rechnung:
s1 ∗ s2 = r1 ∗ ei1 φ ∗ r2 ∗ ei2 φ
π
Setzt man nun für s1 und s2 jeweils i = 1 ∗ ei 2 ein, erhält man:
π
π
12 ∗ ei 2 +i 2 = eiπ
Hier sieht man bereits, dass der Radius weiterhin 1 bleibt, der Winkel sich verdoppelt hat. Berechnet man nun die Werte mittels der Eulerschen Darstellung,
erhält man:
eiπ = cos π + i sin π = −1 + 0 ∗ i = −1
Somit ist gezeigt, dass man mit den komplexen Zahlen
√ auf mehr als nur eine
Art und Weise rechnen kann, und die Grundregel i = −1 überall gilt.
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3 Funktionen
Definitionsmenge Wertemenge (Bildbereich)
3.1 Lineare Funktionen
Unter einer linearen Funktion mit Steigung m und Achsenabschnitt t versteht
man eine Funktion der Form:
f : x 7→ mx + t
5
Q(XQ |YQ )
4
s
∆y
3
∆x
α
s
2
P (XP |YP )
1
α
-6
-5
-4
-3
-2
q
-1
1
2
3
4
5
6
-1
Geradensteigung
für die Steigung m einer linearen Funktion gilt
• m = tanα
• m=
∆y
∆x
• m=
YQ −YP
XQ −XP
Achsenabschnitt t
t beschreibt die Verschiebung der Geraden entlang der Y-Achse in Bezug auf
den Ursprung (0/0)
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Aufgaben
1. Gegeben sind die Punkte P (XP /YP ) und Q(XQ /YQ ). Ermitteln Sie die
Geradengleichung und Zeichnen Sie diese in ein Koordinatensystem.
a) P (−2, −3), Q(4, 5)
b) P (2, 1), Q(4, 0)
c) P (0, 0), Q(1, 3)
2. Ermitteln Sie aus der Skizze die Geradengleichungen für:
a) f (x)
b) g(x)
c) h(x)
4
3
f (x)
2
g(x)
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
h(x)
-3
-4
3. Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Geraden:
a) S1 = f (x) ∩ g(x)
b) S2 = f (x) ∩ h(x)
c) S3 = g(x) ∩ h(x)
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3.2 Quadratische Funktionen
Unter einer quadratischen Funktion mit reellen Koeffizienten a 6= 0, b, c versteht man eine Funktion der Form
f : x 7→ ax2 + bx + c
Der zur Funktion f (x) = x2 gehörende Graph heißt Normalparabel.
Allgemein ist der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel, die
• nach oben (unten) offen ist, wenn a > 0 (a < 0)
• schmäler (breiter) als die Normalparabel ist, wenn |a| > 1 (|a| < 1)
2
2
a=1
1
-2
-1
a = −1
1
a=2
a=1
1
2
-2
-1
-1
1
2
-1
a = −0.25
-2
-2
Scheitelform
Besitzt eine quadratische Funktion den Scheitel S(XS |YS ), so lässt sich der
Funktionsterm in der Form
f (x) = a(x − xS )2 + yS
schreiben.
Jeder quadratische Term der Form ax2 + bx + c kann durch quadratische
Ergänzung in die Scheitelform umgewandelt und daran die Scheitelform
abgelesen werden. Hierzu ist ein Grundwissen über die Binomischen
Formeln erforderlich.
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• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
• (a + b)(a − b) = a2 − b2
Bsp:
f (x) = 2x2 − 12x + 16
2x2 − 12x + 16
=
=
=
=
=
=
2(x2 − 6x + 8)
2(x2 − 6x + 32 − 32 + 8)
2(x2 − 6x + 32 − 32 + 8)
2((x − 3)2 − 32 + 8)
2((x − 3)2 − 1)
2(x − 3)2 − 2
Die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten S(3| − 2).
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
Bei der Lösung quadratischer Gleichungen der Form ax2 + bx + c = 0 mit
Hilfe der Mitternachtsformel
√
−b ± b2 − 4ac
x1/2 =
2a
sind 3 Fälle zu unterscheiden. Hierzu wird der Term D := b2 − 4ac, die
Diskriminante, betrachtet.
• 1. Fall: D > 0
es gibt genau zwei Lösungen x1 =
• 2. Fall D = 0
es gibt genau eine Lösung x1 =
√
−b+ b2 −4ac
,
2a
x2 =
√
−b− b2 −4ac
2a
−b
2a
• 3. Fall D < 0
es gibt keine Lösung in R
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Satz von Vieta
Einen einfacheren Zusammenhang zwischen den Koeffizenten einer
quadratischen Gleichung und ihren Lösungen kann mit Hilfe des Satzes von
Vieta aufgestellt werden. Dies ist nur möglich wenn die allgemeine Form
ax2 + bx + c = 0 normiert wird.
c
b
ax2 + bx + c = 0 ⇔ x2 + x + = 0
a
a
x2 + px + q = 0
Sind x1 und x2 die beiden Lösungen der normierten quadratischen Gleichung
x2 + px + q = 0, so gilt:
x1 + x2 = −p
x1 · x2 = q
Aufgaben
1. Lösen Sie folgenden quadratischen Gleichungen.
a) 2x2 − 16x + 14
b) (x + 2)2 = 16
c) −x2 + x = − 12
d) − 34 + 3x + 9 = 0
2. Berechnen Sie für die Funktionen f (x), g(x), h(x) den Scheitelpunkt und
zeichnen Sie eine Skizze.
a) f (x) = x2 + 2x − 1
b) g(x) = x2 − 2x − 5
c) h(x) = x2 − 3x − 1
3. Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Funktionen f (x), g(x), h(x).
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3.3 Funktionen höherer Ordnung
Lineare und quadratische Funktionen sind Spezialfälle eines allgemeinen Funktionstyps, der ganzrationalen Funktionen.
Unter einer ganzrationalen Funktion oder einer Polynomfunktion vom
Grad n versteht man eine reelle Funktion der Form:
f : x 7→ an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
mit an , an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R und an 6= 0
Lösungen einer algebraischen Gleichung
Für die Lösung der Gleichung an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 gilt:
1. Die Gleichung besitzt höchstens n verschiedene Lösungen.
2. Wenn x0 eine ganzzahlige Lösung ist und die Koeffizienten
an , an−1 , . . . , a1 , a0 ganze, teilerfremde Zahlen sind, dann teilt x0 das
konstante Glied a0 .
3. x0 ist genau dann eine Lösung, wenn an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
durch (x − x0 ) teilbar ist.
Um alle Lösungen finden zu können, muss zuerst eine ganzzahlige Lösung der
Gleichung ermittelt werden um anschließend mit Hilfe der Polynomdivision
eine einfachere Gleichung zu erhalten. Die ganzzahlige Lösung muss wegen
N r.2 ein Teiler von a0 sein. Dies schränkt den Lösungsraum auf wenige
Möglichkeiten ein. Durch äusprobierenẅird nun die ganzzahlige Lösung
gefunden.
Bsp:
Durchführung der Polynomdivision bei der Gleichung x3 − 5x2 − 7x + 6 = 0.
Nach N r.2 kommt nur ±1, ±2, ±3, ±6 als ganzzahlige Lösung in Frage.
-6
-3 -2 -1 1
2
3 6
x
f(x) -348 -45 -8 7 -5 -20 -33 0
Aus der Tabelle kann als einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung x0 = 6
ermittelt werden. Nach N r.3 wird nun die Polynomdivision durchgeführt:
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x3 − 5x2 − 7x + 6 ÷ x − 6 = x2 + x − 1
− x3 + 6x2
x2 − 7x
− x2 + 6x
−x+6
x−6
0
f (x) = x3 − 5x2 − 7x + 6 = (x − 6)(x2 + x − 1)
Anschließend kann die Lösung für x2 + x − 1 = 0 auf bekannte Weise
berechnet werden.
x2 + x − 1
x1/2
x1
x2
=
0
√
−1± 12 −4·1·(−1)
=
2√
= − 12 + 12 √5
= − 12 − 12 5
Aufgaben
1. Lösen Sie folgenden Gleichungen höherer Ordnung.
a) x3 + 2x2 − 5x − 6 = 0
b)
1 3
x
2
3
− 32 x2 − 2x + 6
c) x − 47 x +
3
4
2. Führen Sie die Polynomdivision durch
a) (15a9 − 8a6 b + 8b3 ) : (3a3 + 2b)
b) (a3 − 2a2 b + 2ab2 + b3 ) : (a − b)
c)
48an+x +56ax bx −72an bc −84bx+c
12an +12bx
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3.4 Eigenschaften von Funktionen
Im Folgenden werden die am häufigst gebrauchten Eigenschaften von Funktionen dargestellt.
3.4.1 Monotonie
Monotonie bedeutet, dass die Steigung einer Funktion immer dasselbe Vorzeichen behält, also immer entweder steigt oder immer nur fällt. Mathematisch
formuliert:
f (x) : monoton ↔ (∀x0 , . . . , xn ∈ D : xi ≤ xi+1 )∨(∀x0 , . . . , xn ∈ D : xi ≥ xi+1 )
Strenge Monotonie bedeutet zusätzlich, dass die Steigung niemals null sein
darf, sprich
f (x) : monoton ↔ (∀x0 , . . . , xn ∈ D : xi < xi+1 )∨(∀x0 , . . . , xn ∈ D : xi > xi+1 )
definiert strenge Montonie.
3.4.2 Symmetrie
Für die Berechnung vieler Funktionen ist es vorteilhaft zu wissen, ob und wann
eine Funktion Symmetrieeigenschaften besitzt, besonders bei Integralen
Achsensymmetrie zur y-Achse Erfüllt eine Funktion die Bedingung
∀x ∈ R : f (x) = f (−x)
so spricht man von einer achsensymmetrischen oder auch geraden Funktion.
Berechnet man z.B. ein Integral einer geraden Funktion über [−a; a], so hat
das Integral den gleichen Wert wie ein zweimal das Integral über [0; a].
Beispiele hierfür sind konstante Funktionen, Cosinus, oder Funktionen mit
geraden Exponenten ohne Verschiebung auf der x-Achse (z.B. x2 oder x6 −
x4 + x2 + x0 )
Punksymmetrie zum Ursrung Erfüllt eine Funktion die Bedingung
∀x ∈ R : f (−x) = −f (x)
so spricht man von einer punktsymmetrischen oder auch ungeraden Funktion.
Berechnet man z.B. ein Integral einer ungeraden Funktion von [−a; a], heben
sich der Teil über [−a; 0] und der Teil über [0; a] auf, das Integral hat den
Wert 0. Beispiele hierfür sind lineare Funktionen, Sinus, oder Funktionen mit
ungeraden Exponenten ohne Verschiebung auf der x-Achse (z.B. x1 , x3 oder
x7 − x 3 + x1 )
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20
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Vorkurs (Mathematik)
Weitere Symmetrien Natürlich gibt es auch noch unzählge andere Symmetrien, z.B. in einem gewissen Punkt. Diese sind aber spezieller und spielen ein
untergeordnete Rolle, werden also hier im Vorkurs nicht weiter besprochen.
3.4.3 Periodizität
Erfüllt eine Funktion die Bedingung
∀x ∈ R : f (x) = f (x + n ∗ p) mit p = Periodenlänge und n ∈ Z
so spricht man von einer p-periodischen Funktion.
Will man z.B. eine Periodische Funktion berechnen, so genügt es, sie im Bereich [0; p] zu berechen.
Beispiele hierfür sind konstante Funktionen, Sinus, Cosinus oder Sägezahnfunktionen.
Sinus und Cosinus sind von [0; 2π] definiert, sie haben die Periodenlänge 2π.
Also ist sin(x) = sin(x+n∗p) mit n ∈ Z und cos(x) = cos(x+n∗p) mit n ∈ Z.
3.4.4 Nullstellen
Die Menge M der Nullstellen einer Funktion f sind definiert als
M = {n ∈ D | f (n) = 0}
also wenn f(x) = 0 ist.
Beispiel 1: Eine Nullstelle
f (x) = 3x + 5
Setze f(x) = 0:
0 = 3x + 5
Löse nach x auf:
−5 = 3x
5
− =x
3
5
x=−
3
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Vorkurs (Mathematik)
Beispiel 2: Zwei Nullstellen
f (x) = x2 − 4
Setze f(x) = 0:
0 = x2 − 4
Löse nach x auf:
4 = x2
Nach x umstellen:
√
x2 = 4
√
x2 = 4
x = ±2
Also haben wir die Nullstellen -2 und +2.
3.4.5 Polstellen
Besitzt eine Funktion f(x) eine Nullstelle im Nenner, so heisst diese Stelle Polstelle. Die Menge P der Polstellen einer Funktion sind mathematisch definiert
als
z
P = {p = ∈ D | n = 0}
n
Der Exponent des Nenners einer Polstelle legt den Grad fest. Unterschieden
wird dabei haupsächlich, ob der Grad gerade oder ungerade ist.
Funktionen mit Polstellen von ungeradem Grad wechseln das Vorzeichen an
der Polstelle, Polstellen mit geradem Grad ändern das Vorzeichen der
Funktion nicht.
Die Funktionswerte sind an den Polstellen nicht definiert, die links- und
rechtsseitigen Grenzwerte gehen aber ins positive bzw. negative Unendliche.
Die x-Werte der Polstellen werden daher üblicherweise aus der
Definitionsmenge D einer Funktion herausgenommen.
Beispiel 1: Polstelle ungerader Ordnung
f (x) =
2
+1
x+3
Zuerst müssen wir alles auf einen Nenner bringen:
f (x) =
2. Oktober 2010
2 + (x + 3)
x+3
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Vorkurs (Mathematik)
Wir setzen nur den Nenner gleich 0:
x+3=0
x + 3 = −3
Also haben wir eine Polstelle erster Ordnung bei -3; das Vorzeichen ändert sich
hier.
Beispiel 2: Polstelle gerader Ordnung
f (x) =
1
x2
Wir setzen nur den Nenner 0:
0 = x2
√
x2 = 0
√
x2 = 0
x = ±0
Wie man hier leicht erkennt, hat der Nenner eine Doppelte Nullstelle, die
Funktion also eine Polstelle zweiter Odrnung; hier ändert die Funktion ihr
Vorzeichen nicht.
Beispiel 3: Vorsicht!
f (x) =
1
x2 − 4
Nenner = 0:
0 = x2 − 4
4 = x2
x2 = 4
√
√
x2 = 4
x = ±2
Hier muss man beachten, dass +2 6= −2, es sind zwei verschiedene Nullstellen. Also besitzt f(x) auch zwei verschiedene Polstellen.
3.4.6 Schnittpunkte mit anderen Funktionen
Die Menge S aller Schnittpunkte s von zwei Funktionen f(x) und g(x) sind
definiert als
S = {s ∈ (D; W) | f (x) = g(x) ∨ x ∈ D}
2. Oktober 2010
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Vorkurs (Mathematik)
Beispiel
f (x) = x2 und g(x) = x + 2
Funktionen Gleichsetzen:
f (x) = g(x) : x2 = x + 2
Nun lösen wir nach x auf:
x2 = x + 2
x2 − x − 2 = 0
Hier brauchen wir die Mitternachtsformel:
√
−b ± b2 − 4ac
n=
2a
Wir setzen ein:
1 ∗ x2 + (−1) ∗ x + (−2) ∗ 1 = 0
p
−(−1) ± (−1)2 − 4 ∗ 1 ∗ (−2)
n=
2∗1
√
1± 1+8
n=
2
1±3
n=
2
n1 = 2; n2 = −1
Jetzt setzen wir diese beiden x-Werte in eine Gleichung ein:
f (2) = 22 = 4 → s1 = (2, 4)
f (−1) = 2( − 1) = 1 → s1 = (−1, 1)
Zum Test ejtzt in die andere Gleichung einsetzen:
g(2) = 2 + 2 = 4 → s1 = (2, 4) OK
g(−1) = −1 + 2 = 1 → s1 = (−1, 1) OK
Der Test geht auf, wir haben die beiden Schnittpunkte gefunden!
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Vorkurs (Mathematik)
3.5 Verhalten an Grenzwerten - Der Limes
Definitionslücken/Polstellen, Unendlichkeit und Punkte von besonderem Interesse - z.B. Extrema oder Nullstellen - heissen Grenzwerte. In ihrer Umgebung
ist es interessant bzw. nötig, das Verhalten der zu analysierenden Funktion
genauer zu kennen.
Dies wird meist mit der Limes-Funktion limx→s f (x) mit s = Grenzwert
bewerkstelligt.
Die Notation ist ähnlich der h-Methode:
lim f (s + h)
h→±0
lim f (x)
x→+s
drückt eine Annäherung von rechts aus, während
lim f (x)
x→−s
die linksseitige Annäherung von an s ausdrückt.
3.5.1 Limes an Polstellen
Die Limites von f an Polstellen gehen ins Unendliche.
Bei Polstellen gerader Ordnung behalten sie das Vorzeichen:
lim f (x) = lim f (x)
x→+s
x→−s
während bei ungerader Ordnung das Vorzeichen kippt
lim f (x) = − lim f (x)
x→+s
x→−s
3.5.2 Divergenz
Entfernt sich eine Funktion immer mehr von einem gewissen Wert, so spricht
man von Divergenz. Ein Beispiel hierfür ist:
f (x) = x
Mit zunehmendem x wächst auch der Abstand zu 0 bzw der x-Achse, f(x) ist
divergent (zu 0).
lim f (x) → ±∞
x→±∞
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Vorkurs (Mathematik)
3.5.3 Konvergenz
Nähert sich eine Funktion immer mehr einem gewissen Wert an, so spricht
man von Konvergenz. Hierbei geht der Grenzwert gegen null.
f (x) = x2 : lim f (x) = 0
x→±0
3.5.4 Asymptotisches Verhalten
Eine spezielle Art von Konvergenz ist das asymptotische Verhalten.
An manchen Stellen kommt die Funktion f einem gewissen Wert sehr nahe,
ohne ihn jedoch zu berühren. Ein Beispiel hierfür ist
f (x) =
1
x
Egal wie groß man sein x wählt, das Ergebnis geht sehr nahe an 0, erreicht
diesen Wert aber nie.
f (x) = x2 : lim f (x) → 0
x→±∞
Achtung beim Rechnen mit Computern: Da ein Computer reelle Zahlen
nicht wirklich speichern oder darstellen, sondern nur annähern kann, treten
schon bald Rechenfehler auf.
So ist es tatsächlich möglich, seinem PC eine 0 als Lösung des obigen Problems
zu entlocken.
Rechnet man nur mit Ganzzahlen (Integer, Single, Byte, Long) etc so
bekommt man schon bei x¿2 den Wert 0, weil:
y = f (x) = f (2, 1) =
1
= 0, 4762 . . . < 0, 5
2.1
und wird somit einfach auf 0 abgerundet.
Das Ergebnis ist - im analytischen Sinn - falsch.
3.6 Aufgaben
1. Existieren folgende Funktionen, und wenn ja, nennen Sie ein Beispiel:
a) monotone, gerade Funktionen
b) streng monotone, gerade Funktionen
c) monotone, ungerade Funktionen
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Vorkurs (Mathematik)
d) nicht-monotone, gerade Funktionen
2. Nennen Sie drei Periodische Funktionen!
3. Stellen Sie eine nicht-lineare Funktion auf, die genau eine Nullstelle hat!
4. Stellen Sie eine quadratische Funktion auf, die genau eine Nullstelle hat!
Fertigen Sie eine Skizze an!
5. Stellen Sie eine quadratische Funktion auf, die genau zwei Nullstellen
und ihren Scheitel in (2,2) hat! Fertigen Sie eine Skizze an!
6. Hat die Funktion f (x) =
x3 −7x2 +1x
x2 +1
eine Nullstelle? Wenn ja, welche?
7. Hat die Funktion f (x) =
x3 −7x2 +1x
x2 +1
eine Polstelle? Wenn ja, welche?
8. Berechnen Sie die Schnittpunte von f (x) = x und g(x) = x1 . Fertigen Sie
eine Skizze an!
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3.7 Umkehrfunktionen
3
Eine Funktion f mit Definitionsbereich D und Wertebereich W = f (D)
heißt umkehrbar, wenn zu jedem Funktionswert y ∈ W genau ein Argument
in x ∈ D existiert (, d.h. die Gleichung y = f (x) hat genau eine Lösung x).
Die Funktion f −1 , die den Elementen von W eindeutig die Elemente von D
zuordnet, heißt Umkehrfunktion von f .
1
Vorsicht! Verwechslungsgefahr: f −1 6= f (x)
x = f −1 (y) ⇔ y = f (x)
Eine Funktion ist nur umkehrbar, wenn der Graph von f mit jeder
horizontalen Linie höchstens einen Schnittpunkt hat. Die Umkehrfunktion
wird bestimmt, indem die Gleichung y = f(x) nach x aufgelöst wird. Zum
Zeichnen müssen dann noch die Variablen x und y vertauscht werden.
Bsp:
Bildung der Umkehrfunktion von f (x) = 2x − 1
f (x) = 2x − 1
1
1
y = 2x − 1 ⇔ 2x = y + 1 ⇔ x = y +
2
2
1
1
f −1 (x) = x +
2
2
3
Prof. Dr. Edda Eich-Soellner, Analysis Skript, WS2009/2010
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Vorkurs (Mathematik)
6
5
f (x)
4
3
2
f −1 (x)
1
1
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2
3
29
4
5
6
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Vorkurs (Mathematik)
3.8 Potenzfunktionen
Unter einer Potenzfunktion mit ganzzahligen Exponenten versteht
man eine Funktion der Form
f : x 7→ xn
mit veränderlicher Basis x und festem Exponenten n ∈ Z.
Ihr Graph heißt
• Parabel der Ordnung n, wenn n ∈ N
• Hyperbel der Ordnung |n|, wenn n ∈ Z/N.
Parabeln gerader Ordnung:
Parabeln ungerader Ordnung:
2
2
n=6
n=4
n=2
1
-2
-1
1
-2
2
-1
1
-1
-1
-2
-2
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n=5
n=3
n=1
1
30
2
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Vorkurs (Mathematik)
Hyperbeln gerader Ordnung:
n = −6
n = −4
n = −2
2
1
-2
Hyperbeln ungerader Ordnung:
-1
1
n = −5
n = −3
n = −1
2
1
2
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
2
Potenzgesetze
an = a · a · a · . . . · a
(n Faktoren, n ∈ N)
a1 = a
a0 = 1
(a 6= 0)
a−n =
√
1
an = n a
√
m
a n = n am
1
an
m
a− n =
1
√
n m
a
x+z
(n ∈ N, a 6= 0)
(n ∈ N, a ∈ R+
0)
(m, n ∈ N, a ∈ R+
0)
(m, n ∈ N, a ∈ R+ )
ax · az = a
(a, b ∈ R+ , x, z ∈ R)
ax · bx = (a · b)x
(a, b ∈ R+ , x, z ∈ R)
ax
az
ax
bx
= ax−z
(a, b ∈ R+ , x, z ∈ R)
= ( ab )x
(a, b ∈ R+ , x, z ∈ R)
(ax )z = ax·z
(a, b ∈ R+ , x, z ∈ R)
Aufgaben
1. Gib als eine Potenz an und vereinfache:
a) wn · wn+1
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Vorkurs (Mathematik)
b)
an
an+1
c)
(a+b)7 ·y 2 ·q k
yq·(a2 +2ab+b2 )
d) 3 · x4 · y 4 · z 4
u 2k
)2k · ( v−u
)
e) ( u−v
v
f)
(4ab)3
(6a2 )3
·
5
b3
g) (xy)2
h) (4s · (a + b)2 )3
2. Fasse zusammen:
a) p4m q 2m
b) (x − y 2 )2 · (x − y 2 )2k
c)
3an b
b2
·
2a3 b4 4(ab2 )n
· a−2 bn
ab
2 3
2
d) 8pq · (p q) + 3p q · q 2 p − 2p3 q 2 · p4 q 2 + 3pq · 2(pq)2
e) x6 y 2 + 2x4 y 3 + x2 y 4
f)
a3 b−ab4
a3 b2 −a2 b4
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Vorkurs (Mathematik)
3.9 Wurzelfunktionen
Durch Umkehrung einer aufR+
0 eingeschränkten Potenzfunktion mit
natürlichen Exponenten n erhält man eine Wurzelfunktion.
Unter der n-ten Wurzelfunktion (n ∈ N) versteht man die reelle Funktion
1
f : x 7→ x n .
√
Man schreibt hierfür auch f : x 7→ n x.
f(x) = x hoch (1/n) = n-te Wurzel aus x
Wurzelgesetze
√
( n a)n = a
√
( a)2 = a
√
n
a2 = |a|
√
√
√
n
a · n b = n ab
√
p
na
n a
√
=
n
b
b
√
√
m
n
( a) = n am
p
p√
√
√
m n
a = n m a = nm a
2. Oktober 2010
33
(n ∈ N, a ∈ R+
0)
(a ∈ R+
0)
(a ∈ R)
(a, b ≥ 0)
(a ≥ 0, b > 0)
(a ≥ 0)
(a ≥ 0)
by Christian Becker, Martin Finke
Vorkurs (Mathematik)
3.10 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Unter einer Exponentialfunktion mit der Basis a ∈ R+ \ 1 versteht man
eine reelle Funktion der Form
f : x 7→ ax .
Unter einer Logarithmusfunktion zur Basis a ∈ R+ \ 1 versteht man eine
reelle Funktion der Form
f : x 7→ loga x.
Dabei ist für loga x diejenige reelle Zahl z, für die az = x gilt.
Es gibt zwei spezielle Formen, zum einen die Exponentialfunktion zur Basis e
(Euler’sche Zahl, entspricht dem Grenzwert e = lim (1 + n1 )n ) und dessen
n→∞
Umkehrfunktion, der Logarithmus zur Basis e (natürlicher Logarithmus,
loge x = ln x).
5
4
3
ex
2
ln x
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
Logarithmengesetze
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Vorkurs (Mathematik)
logb a = x ⇐⇒ bx = a
(a ∈ R+ , a ∈ R+ \ 1)
logb (uv) = logb u + logb v
(u, v > 0)
logb
u
v
= logb u − logb v
(u, v > 0)
logb (uz ) = z · logb u
√
logb n u = n1 · logb u
logc a =
(u > 0)
(u, v > 0)
logb a
logb c
(a ∈ R+ , b, c ∈ R+ \ 1)
Aufgaben
1. Schreibe als Summe oder Produkt mit einfachen“ Logarithmen
”
a) lg(4x)
b) loga (avc)
c) lg(u3 )
d) loga (y 2 )
e) loga (2ab2 )
√
f) log( x)
√
3
q
g) loga ( p2
4
h) loga ( ux4 vb33 )
i) loga ( a3 b16 c9 )
q
2
j) loga ( xz2y )
2. Schreibe als einen Logarithmus:
a) lg(x) + lg(3z)
b) loga (y 2 ) − loga (y)
c) lg(ab) − lg(a2 b)
d) loga (a) − loga (a2 )
e)
3
4
loga (y)
f) log( x2 ) − loga ( x1 )
g) 3 lg( 1b ) + lg(b2 )
h) loga (x) − loga (x)
2. Oktober 2010
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3.11 Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen dienen zur Berechnung von Winkeln und Seitenverhältnissen. Ihr Ursprüng geht auf Berechnungen im Dreieck zurück.
Der wohl älteste bekannsteste Satz ist der Satz von Pythagoras, welcher
aber schon weituas früher in Babylonien bekannt war. Dieser besagt, dass
a2 + b 2 = c 2
wobei a und b die beiden Seiten am rechten Winkel eiens Dreiecks sind.
3.11.1 Der Einheitskreis
Heutzutage benutzt man zur Darstellung meist den Einheitskreis , weil sich
anhand diesem noch mehr Winkelfunktionen darstellen lassen und er zudem
die Periodizität vieler Funktionen anschaulich darstellt.
Der Einheitskreis hat seinen Namen daher, weil er Grundlage für viele
Normen ist und auf ihm viele Winkel und Funktionen einheitlich dargestellt
werden können.
Dies liegt daran, dass er den Radius=1 und Mittepunkt im Ursprung (0;0)
hat.
Weitere Eigenschaften folgen in den nächsten Unterpunkten.
1
sin φ
-1
tan φ
φ
cos φ
1
-1
2. Oktober 2010
36
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Vorkurs (Mathematik)
3.11.2 Die Kreiszahl π (‘Pi‘)
π ist bekannt als die Kreiszahl bzw. das Bogenmaß, das die Länge des zurückgelegten
Weges auf dem Kreisrand darstellt. Wird oft als ‘rad‘ (im Gegensatz zum Winkel mit Grad
◦
)typisiert.
u
d
mit u=Umfang eines Kreises und d=seinem Durchmesser.
π=
B eschreibt man im mathematischen einen Kreis oder einen Winkel, so startet
dieser Winkel immer in Richtung der x-Achse, welche dem Winkel 0 entspricht.
Ein größer werdender Winkel läuft dann von (1;0) - den Anfang - gegen den
Uhrzeigersinn nach (0;1), weiter über (-1;0) nach (0;-1) und kommt schließlich
wieder bei (1;0) an.
D abei hat man in den Punkten folgende Strecke auf dem Einheitskreis
zurückgelegt:
Punkt
Winkel Zurückgelegte Strecke
(1;0)
0◦
0
1
π
(0;1)
90◦
2
◦
(-1;0)
180
π
3
◦
π
(0;-1)
270
2
(1;0)
360◦ =0◦
2π
5
(0;1)
450◦ =90◦
π
2
Vergrößert man den Winkel nun weiter, beschreitet man die selbe Strecke, die
man bereits einmal zurückgelegt hat. Die Ergebnisse wiederholen sich also alle
2π, man nennt diese Eigenschaften 2π-periodisch.
Umrechnung von rad in Grad Da sowohl 2π als auch 360◦ eine vollständige
Umrundung des Kreises darstellen, entsprechen beide einander;
◦
2π =360
b
So ist die Umrechnung eines Winkels im Bogenmaß β in einen Winkel im
Gradmaß γ wie folgt definiert:
γ[◦ ] = β[rad]
2. Oktober 2010
360[◦ ]
180
;γ = β
2π[rad]
π
37
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Vorkurs (Mathematik)
Durch ‘Kürzen der Einheiten‘ kann man sich bei der Umrechnung der Richtigkeit vergewissern.
Umrechnung in Grad Umgekehrt erfolgt die Umrechnung analog:
β[rad] = γ[◦ ]
π
2π[rad]
;β = γ
◦
360[ ]
180
3.11.3 Sinus und Consinus
Das wohl bekannteste Beispiel einer trigonometrischen Funktion sind Sinus
(von lat. Bucht oder Busen, aufgrund seiner geschwungenen Form) und Cosinus
(=der ‘neben‘-Sinus).
Herleitung: Diese beiden Funktionen stehen im rechten Winkel zueinander,
und bauen auf dem Satz von Pythagoras auf. Folglich ist eine Grundeigenschaft:
cos(φ)2 + sin(φ)2 = 1;
was, wie im Bild oben zu sehen ist, der Aussage a2 + b2 = c2 entspricht.
Definitionsbereiche: Eigentlich haben Sinus und Cosinus den Definitionsbereich R, weil sie aber 2π-periodisch sind, wird ihnen oft nur der Definitionsbereich [0; 2π] zugesprochen, ähnlich eines Restklassenringes (← keine Voraussetzung für Vorlesungen).
Wertemenge: Die Wertemenge von Sinus und Cosinus ist W = [−1; 1], weil
Sinus und Cosinus den Einheitskreis beschreiben, welcher den Radius 1 hat,
siehe oben.
Geometrische Bedeutung: Beide Funktionen sind 2π-periodisch.
Hat man einen Vektor mit Winkel φ und Länge 1, so entspricht der Sinus von
φ der Länge des Vektors in y-Richtung. Der Cosinus entspricht der Länge in
x-Richtung, ähnlich eines rechtwinkligen Kräfteparallelogramms in der klassischen Mechanik.
3.11.4 Der Tangens
Der Tangens ist definiert als
tan(φ) =
2. Oktober 2010
38
sin φ
cos φ
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Vorkurs (Mathematik)
und kommt vom Lateinischen tangere=‘berühren‘, weil dieser den Einheitskreis
bei (1;0) berührt.
Definitionsbereiche: Nachdem der Cosinus im Nenner des Tangens vorkommt
und der Cosinus Nullstellen bei s ∈ R : s = (n + 21 )π, n ∈ N0 hat, ist er an diesen Stellen nicht definiert; Die Definitionsmenge ist
1
R \ {s ∈ R : s = (n + )π, n ∈ N0 }
2
Anwendung: Der Tangens eines Winkels entspricht der Steigung eines Vektors oder einer Funktion in einem Punkt. Wie im Kapitel ‘Lineare Funktionen‘
definiert wird, isr die Geradensteigung
m=
δy
sin φ
=
δx
cos φ
Anders herum kann man über den arcustangens (oder arctan, atan) aus einer
Steigung m den Steigungswinkel φ berechnen:
φ = arctan m
2. Oktober 2010
39
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Vorkurs (Mathematik)
3.12 Ableitungen
3.12.1 Herleitung durch die h-Methode
6
f (x0 + h)
s
5
4
f (x0 + h) − f (x0 )
3
2
f (x0 )
h
s
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
Bei Funktionen ist die Steigung eine wichtige Eigenschaft. Bei Linearen
Funktionen war diese noch recht einfach zu ermittlen. Bei Funktionen
höheren Grades (n ≥ 2) ist das nicht mehr so leicht möglich, da sie sich je
nach Lage verändert. Um die Steigung im Punkt x0 zu ermitteln, wird diese
zunächst durch ein Steigungsdreieck angenähert. Es ergibt sich daraus also
der folgende Differenzenquotient:
f (x0 + h) − f (x0 )
h
Es ist schnell ersichtlich, dass für kleinere h der Fehler der dabei gemacht
wird auch kleiner wird und für ein h gegen 0 dem tatsächlichen Wert
enspricht. Es wird folglich eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt.
m :=
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
Eine Funktion f : x → f (x) heißt differenzierbar an der Stelle x0 aus
(x0 )
existiert.
ihrer Definitionsmenge, wenn der Grenzwert lim f (x0 +h)−f
h
mt := lim
h→0
Dieser Grenzwert heißt Differenzialquotient oder 1. Ableitung der
df
Funktion f an der Stelle x0 und wird abgekürzt mit f 0 (x0 ) oder dx
(x0 )
bezeichnet.
2. Oktober 2010
40
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Vorkurs (Mathematik)
Bsp:
Bildung der 1. Ableitung der Funktion f (x) = x2 − 4x + 2 mit Hilfe der
h-Mehtode.
f (x + h) − f (x)
h→0
h
2
((x + h) − 4(x + h) + 2) − (x2 − 4x + 2))
f 0 (x) = lim
h→0
h
2
2
x + 2hx + h − 4x − 4h + 2 − x2 + 4x − 2
f 0 (x) = lim
h→0
h
2hx + h2 − 4h
f 0 (x) = lim
h→0
h
0
f (x) = lim (2x − 4 + h) = 2x − 4
f 0 (x) = lim
h→0
Aufgaben
1. Bilden Sie die 1.te Ableitung mit Hilfe der h-Methode.
a) f (x) = x2 − 8x + 7
b) f (x) = −x2 + 8x − 8
c) f (x) = 12 x3 − 23 x2 − 2x + 6
3.12.2 Allgemeine Ableitungsregel
Da die Grenzwertbetrachtung mit der h-Methode sehr aufwändig ist, wurden
einfachere Ableitungsregeln entwickelt.
• f (x) = C ⇒ f 0 (x) = 0
• f (x) = u(x) + C ⇒ f 0 (x) = u0 (x)
• f (x) = u(x) + v(x) ⇒ f 0 (x) = u0 (x) + v 0 (x)
• f (x) = C · u(x) ⇒ f 0 (x) = C · u0 (x)
3.12.3 Produktregel
Sind u und v in einem gemeinsamen Bereich D0 differenzierbar, so ist auch
f = uv dort differenzierbar und es gilt:
f (x) = u(x) · v(x) ⇒ f 0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x)
2. Oktober 2010
41
by Christian Becker, Martin Finke
Vorkurs (Mathematik)
3.12.4 Quotientenregel
Sind u und v in einem gemeinsamen Bereich D0 differenzierbar und ist f =
in D definiert, so ist f in D ∩ D0 differenzierbar und es gilt:
f (x) =
u
v
u(x)
u0 (x) · v(x) − u(x) · v 0 (x)
⇒ f 0 (x) =
v(x)
[v(x)]2
3.12.5 Kettenregel
Ist f : x → f (x); x ∈ Df an der Stelle x0 ∈ Df differenzierbar und
g : u →; u ∈ Dg an der Stelle x0 ∈ Dg differenzierbar,
so ist auch dieVerkettung g ◦ f an der Stelle x0 differenzierbar und es gilt:
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 )
3.12.6 Ableitungstabelle
f (x)
Df (x)
Wf
f 0 (x)
xn , (n ∈ R)
abhängig von n
abhängig von n
nxn−1
sin x
R
[−1; 1]
cos x
cos x
R
[−1; 1]
−sin x
tan x
x|x 6= (2k + 1) π2
R
cot x
x|x 6= kπ
R
arcsin x
[−1; 1]
[− π2 ; π2 ]
arccos x
[−1; 1]
[0; π]
arctan x
R
] − π2 ; π2 [
arccot x
R
]0; π[
ax , (a > 0)
R
]0; ∞[
ex
n
b>0
logb x, b 6= 1
R
]0; ∞[
]0; ∞[
R
]0; ∞[
R
ln x
2. Oktober 2010
42
1
cos2 x
− sin12 x
1
− √1−x
2
1
√
1−x2
1
1+x2
1
− 1+x
2
x
a ln a
ex
1
x ln b
1
x
by Christian Becker, Martin Finke
Vorkurs (Mathematik)
Aufgaben
1. Bilden Sie die 1.te Ableitung folgen Funktionen.
a) f (x) = x2 + 3
b) f (x) =
2
x
c) f (x) =
1
x+1
d) f (x) =
√
x
e) f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
f) f (x) = x(x2 − 23 x − 4)
g) f (x) =
h) f (x) =
i) f (x) =
2
+
3x
√1
x
√
2
x3
j) f (x) = x · ex
k) f (x) = x2 · ln x
l) f (x) = x3 · (x2 − 1)
m) f (x) = eax
n) f (x) = e−(x−2)
o) f (x) =
p) f (x) =
2x−1
x+2
√ √
x2 · x· x3
x3
2
q) f (x) = ln(x − 1)
2. Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab.
a) f (x) = 5x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 6
b) f (x) = (a2 + x2 )(a2 − x2 )
c) f (x) =
4x2 +12x+9
2x+3
d) f (x) =
(x2 +4x+4)2
x+2
3.13 Integration
Das Hauptanliegen der Integralrechnung war ursprünglich die Berechnung der
Inhalte von Flächen, die von krummen Linien“ begrenzt werden. Die bei der
”
Lösung dieses Problems entstandene Theorie stellt neben der Differenzialrechnung das zweite Fundament der Analysis dar. Diese wird aber im Rahmen
dieses Vorbereitungskurses nicht weiter behandelt.
2. Oktober 2010
43
by Christian Becker, Martin Finke
Vorkurs (Mathematik)
4 Kurvendiskussionen
Eine Kurvendiskussion soll das Verhalten und Aussehen einer Kurve näher
bestimmen, ohne jeden einzelnen Wert der Definitionsmenge mit der gegebenen Funktion zu berechnen. Vielmehr hat sie den Sinn, besondere Punkte wie
Definitionslücken, Nullstelle, Polstellen und Extrema zu berechnen und ihr
Verhalten im Unendlichen zu bestimmen.
4.1 Grundlagen
Fast alle Grundlagen für eine Kurvendiskussion wurden bereits in den vorherigen Kapiteln abgehandelt. Da man bereits sicher sein sollte im Umgang mit
den bisher gelernten Regeln, wird hier nur noch an speziellen Stellen auf ein
Kapitel oder eine Regel verwiesen.
4.2 Beispiele
Das gegeben Beispiel scheint auf den ersten Blick recht einfach, deutet aber
gezielt auf mögliche Problemstellungen hin.
2. Oktober 2010
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by Christian Becker, Martin Finke
Vorkurs (Mathematik)
4.3 Einfaches Beispiel
Das folgende Beispiel ist einfachster Natur, um noch einmal die Grundzüge
der Kurvendiskussion zu zeigen.
4.3.1 Gegeben
Gegeben ist die Funktion
f (x) = 2x2 − 3x + 1; x ∈ R
4.3.2 Definitionsbereich
Weil keine Polstellen oder Einschränkungen durch Unterfunktionen vorliegen,
bleibt
D=R
Polstellen: Es exitstieren keine Polstellen.
Nicht-definierte Funktionen: Es exitstieren keine nicht-definierten Funktionen.
4.3.3 Symmetrie
Nun überprüfen wir die Symmetrie bezüglich des Ursprungs (ungerade) und
der y-Achse (gerade). Dabei kann man Nenner und Zähler getrennt voneinander betrachten. Sind beide - Nenner und Zähler - gerade oder ungerade, so
ist die Funktion gerade. Ist genau einer der beiden ungerade, so ist die gesamte Funktion ungerade. Ist eine von beiden nicht symmetrisch, so ist auch
die Funktion nicht Symmetrisch. Sind beide asymmetrisch, so kann es aber auch wenn sehr unwahrscheinlich - sein dass sie gegenseitig ihre Antisymmetrie
korrigieren.
Betrachten wir nun unsere Funktion:
f (x) = 2x2 − 3x + 1
Auf den ersten Blick sieht man bereits, dass f (c) eine gerade (x2 ), eine
ungerade (−3x) und eine Verschiebung beinhaltet. Wir tippen daher auf
asymmetrisch.
2. Oktober 2010
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Vorkurs (Mathematik)
Test an den Stellen +1 und -1: Der Test an den Stellen +1 und -1 stellt
die einfachste Möglichkeit dar, auf Symmetrie zu testen.
f (1) = 2 ∗ 12 − 3 ∗ 1 + 1 = 0
f (−1) = 2(−1)2 − 3(−1) + 1 = 6
Nachdem weder f (x) = f (−x) noch f (x) = −f (−x) gilt, ist die Funktion
asymmetrisch.
4.3.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Nachdem keine Polstellen, abschnittsweise Definierte Funktionen oder Definitionslücken vorhanden sind, ist die Funktion stetig und beliebig oder differenzierbar.
4.3.5 Nullstellen
Wir setzen f (x) = 0:
0 = 2x2 − 3x + 1
Hierfür benötigen wir die Mitternachtsformel:
√
−b ± b2 − 4ac
2a
√
3± 9−4∗2∗1
2∗1
√
3± 1
2
3±1
⇒ N1 = (2, 0); N2 = (1, 0)
2
4.3.6 Ableitungen
Nun können wir die Ableitungen berechnen. Dabei müssen wir auf alle wichtigen Regeln achten. Unser Beispiel ist einfach, wir haben keine Funktionen,
welche andere Funktionen einschließen, deswegen fallen Kettenregel, Quotientenregel, Produktregel etc weg.
Erste Ableitung:
f (x) = 2x2 − 3x + 1
f 0 (x) = 4x − 3
2. Oktober 2010
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Zweite Ableitung:
f 0 (x) = 4x − 3
f 00 (x) = 4
4.3.7 Extremwerte
Extremwerte sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Also setzt man:
f 0 (x) = 0
0 = 4x − 3
3 = 4x
3
3
=x→x=
4
4
In f(x) eingesetzt bekommen wir:
3 1
E1 ( , − )
4 8
Verhalten: um das Verhalten des Extremum zu berechnen, setzen wir den
x-Wert in die zweite Ableitung ein.
3
f 00 ( ) = 4 > 0 ⇒ M inimum
4
4.3.8 Monotoniebereiche
Monotoniebereiche sind die Intervalle auf der x-Achse, auf denen die Funktion
streng monoton ist.
Wir haben von oben das eine Maximum
3 1
M in1 ( , − )
4 8
und somit zwei Intervalle, auf denen die Funktion streng monoton ist:
3 3
(−∞; ); ( ; ∞)
4 4
4.3.9 Wendepunkte
Wendepunkte sind die Extrema der ersten Ableitung. An diesen Punkten
ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Dafür muss folglich gelten:
f 00 (x) = 0
Dies allerdings wird bei uns nie der fall sein, da wir bereits f 00 (x) = 4 berechnet
haben. Das heisst dass in dieser Funktion kein Wendepunkt existiert.
2. Oktober 2010
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Vorkurs (Mathematik)
4.3.10 Konvexitätsbereiche
Konvexitätsbereiche bezeichnen die Intervalle, auf denen der Graph entweder konvex=‘konvex von unten‘=linksgekrümmt (wie f (x) = x2 ) oder koncav=‘konvex von oben‘=rechtsgekrümmt (wie f (x) = −x2 ).
Dazu gibt es zwei Bedinungen:
f 00 (x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt
f 00 (x) > 0 bedeutet linksgekrümmt
Bei unserem Graphen gilt f 00 (x) = 4, also ist er immer linksgekrümmt.
4.3.11 Asymptoten
Einfache Asymptoten (gegen Achsen, Konstanten oder Lineare Funktionen)
exitiseren nicht.
4.3.12 Divergenzen?
Der Graph ist auf (−∞; 0.75) konvergent und auf (0.75; ∞) divergent.
4.3.13 Wertebereich
Der Scheitelpunkt M in1 ( 34 , − 81 ) grenz den Wertebereich nach unten ab, es gilt:
1
W = R \ (−∞; − )
8
oder auch einfacher:
2. Oktober 2010
1
W = [− ; ∞)
8
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4.3.14 Skizze
4
3
2
2
2x − 3x + 1
1
-4
2. Oktober 2010
-3
-2
-1
1
49
2
3
4
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4.4 Beispiel: gebrochene Funktion
Das gegeben Beispiel scheint auf den ersten Blick recht einfach, deutet aber
gezielt auf mögliche Problemstellungen hin. So kommen Quotientenregel und
Polstellen vor. Zudem ist die dritte Ableitung der Funktion mit zu viel Aufwand
verbunden, so dass wir auf andere Möglichkeiten auseweichen.
Hinweis: dies ist nur ein Beispiel für eine Vorgehensweise und noch kein
Pflichtwissen, da der Schwierigkeitsgrad schon etwas angehoben ist und man
diesen nicht von Anfang an braucht, er wird in den ersten beiden Semestern
erlernt.
4.4.1 Gegeben
Gegeben ist die Funktion
f (x) =
2x2
+ 1; x ∈ R
x+3
Besteht eine Funktion aus mehreren Brüchen, so sollte sie meist zu einem
Bruch zusammengeführt werden.
f (x) =
f (x) =
2x2
−1
x+3
2x2 − x − 3
x+3
4.4.2 Definitionsbereich
Um den Definitionsbereich festzulegen übernimmt man den in der Aufgabenstellung gegebenen Bereich für x, hier R. Dann sieht man sich an, welche Stellen zu Definitionslücken führen könnten. Besonders oft passiert dies, wenn der
Nenner 0 wird (=Polstelle=)
oder eine Teilfunktion in einem Bereich nicht de√
finiert ist (z.B. k oder log k mit k < 0). Diese Punkte müssen ausgeschlossen
werden.
Polstellen: In unserem Beispiel ist es möglich, dass der Nenner 0 wird, deswegen untersuchen wir ihn; setzen ihn auf 0:
0=x+3
−3 = x
2. Oktober 2010
50
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Vorkurs (Mathematik)
x = −3 ⇒ P1 (−3; ?)
Diese ‘Nullstelle des Nenners‘, also Polstelle, entnehmen wir also der Definitionsmenge:
D = R \ {−3}
Nicht-definierte Funktionen: In unserem Beispiel kommt eine solche Funktion nicht vor, es gibt aber Funktionen wie die Wurzel-Funktion, die im reellen
Zahlenbereich nicht definiert ist für Zahlen kleiner 0. Stünde eine Wurzel oder
ein Logarithmus in Abhängigkeit von x da, so müsste der gesamte Bereich aus
D genommen werden, in dem die Wurzel nicht definiert ist.
Man schränkt also seinen Definitionsbereich immer weiter ein, in Abhänigkeit
der Definitionsbereiche von Unterfunktionen.
4.4.3 Symmetrie
Nun überprüfen wir die Symmetrie bezüglich des Ursprungs (ungerade) und
der y-Achse (gerade). Dabei kann man Nenner und Zähler getrennt voneinander betrachten. Sind beide - Nenner und Zähler - gerade oder ungerade, so
ist die Funktion gerade. Ist genau einer der beiden ungerade, so ist die gesamte Funktion ungerade. Ist eine von beiden nicht symmetrisch, so ist auch
die Funktion nicht Symmetrisch. Sind beide asymmetrisch, so kann es aber auch wenn sehr unwahrscheinlich - sein dass sie gegenseitig ihre Antisymmetrie
korrigieren.
Betrachten wir nun unsere Funktion:
f (x) =
2x2 − x − 3
x+3
Der Nenner ist asymmetrisch, was die gesamte Funktion bereits
asymmetrisch macht.
Test an den Stellen +1 und -1:
f (1) =
2−1−3
−2
1
=
=−
1+3
4
2
4−1−3
0
= =0
1+3
4
Nachdem weder f (x) = f (−x) noch f (x) = −f (−x) gilt, ist die Funktion
asymmetrisch.
f (−1) =
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4.4.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Da eine Polstelle eine Unstetigkeitsstelle zweiter Ordnung ist, ist die Stetigkeit nicht mehr gegeben, wir müssen Abschnittsweise über die Intervalle
(−∞; −3); (−3; ∞) differenzieren.
4.4.5 Nullstellen
Um die Nullstellen zu finden, betrachten wir nun nur den Nenner und setzen
diesen auf 0:
0 = 2x2 − x − 3
Hierfür benötigen wir die Mitternachtsformel:
√
−b ± b2 − 4ac
2a
p
1 − 4 ∗ 2 ∗ (−3)
2∗2
√
1 ± 25
4
1±5
4
1±5
3
⇒ N1 = ( , 0); N2 = (−1, 0)
4
2
1±
4.4.6 Ableitungen
Nun können wir die Ableitungen berechnen. Dabei müssen wir auf alle wichtigen Regeln achten. Unser Beispiel ist einfach, wir haben keine Funktionen,
welche andere Funktionen einschließen, deswegen fallen Kettenregel, Quotientenregel, Produktregel etc weg.
Erste Ableitung:
2x2 − x − 3
x+3
2
(x + 3)(2x − x − 3)0 − (2x2 − x − 3)(x + 3)0
f 0 (x) =
(x + 3)2
f (x) =
f 0 (x) =
2. Oktober 2010
(x + 3)(4x − 1) − (2x2 − x − 3)(1)
x2 + 6x + 9
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(4x2 − x + 12x − 3) − (2x2 − x − 3)
x2 + 6x + 9
4x2 − x + 12x − 3 − 2x2 + x + 3
f 0 (x) =
x2 + 6x + 9
2x2 + 12x
f 0 (x) = 2
x + 2x + 9
f 0 (x) =
Zweite Ableitung: Die Berechnung der zweiten Ableitung ist nicht unbedingt
nötig, man kann Eigenschaften der Funktion auch anders herausfinden.
2x2 + 12x
f (x) = 2
x + 2x + 9
0
f 00 (x) =
f 00 (x) =
(x2 + 2x + 9)(4x + 12) − (2x2 + 12x)(2x + 2)
(x2 + 2x + 9)2
4x3 + 12x2 + 8x2 + 24x + 36x + 108 − (4x3 + 4x2 + 24x2 + 24x)
x4 + 2x3 + 9x + 2x3 + 4x2 + 18x + 9x2 + 18x + 81
f 00 (x) =
−8x2 + 36x + 108
x4 + 4x3 + 13x2 + 35x + 81
4.4.7 Extremwerte
Extremwerte sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Also setzt man:
f 0 (x) = 0
2x2 + 12x
x2 + 2x + 9
Dabei kümmern wir uns wieder nur um den Zähler:
0=
0 = 2x2 + 12x
Diesmal faktorisieren wir:
0 = (2x + 12)x ⇒ x = 0
0 = 2x + 12
−12 = 2x
−6 = x → x = −6
In f(x) eingesetzt bekommen wir:
E1 (0, −1); E2 (−6, −25)
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Verhalten: um das Verhalten der beiden Extrema zu berechnen, setzen wir
die x-Werte in die zweite Ableitung ein.
108
⇒ M inimum
81
−396
f 00 (−6) =
⇒ M aximum
771
f 00 (0) =
4.4.8 Monotoniebereiche
Monotoniebereiche sind die Intervalle auf der x-Achse, auf denen die Funktion
streng monoton ist.
Wir haben von oben die beiden einfachen Extrema
E1 (0, −1) und E2 (−6, −25)
und somit drei Intervalle, auf denen die Funktion streng monoton ist:
(−∞; −6]; [−6; 0]; [0; ∞)
Wir könnten eine Tabelle zur Hand nehmen, dies hier aber ist ein recht einfacher Fall, deswegen berechnen wir nur einen Wert des inneren Intervalls:
f 0 (−1 ∈ [−6; 0]) =
2 − 12
−10
5
2(−1)2 + 12(−1)
=
=
=
−
(−1)2 + 2(−1) + 9
1−2+9
8
4
Dies ist eine negative Steigung, die Funktion fällt in diesem Gebiet. Nachdem
die angrenzenden Extrema einfache Extrema sind, ergibt sich:
(−∞; −6]:streng monoton steigend
[−6; 0]: streng monoton fallend
[0; ∞):streng monoton steigend
4.4.9 Wendepunkte
Wendepunkte sind die Extrema der ersten Ableitung. An diesen Punkten
ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Dafür muss folglich gelten:
f 00 (x) = 0
Dies allerdings genügt noch nicht, sondern es muss auch gelten dass f” sein
Vorzeichen an der Stelle ändert, also nur wenn f 00 (x) = 0 eine ‘Nullstelle‘
2. Oktober 2010
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Vorkurs (Mathematik)
ungerader Ordnung ist. Analog also zu einer Funktion g(x) = 0, welche an einer
(echten) Nullstelle ihr Vorzeichen wechselt, wenn es eine Nullstelle ungerader
Ordnung ist.
Also ist die zweite Bedingung
f 000 (x) 6= 0
Ist f 000 (x) > 0, so geht der Graph in eine Linkskrümmung über, ist f 000 (x) < 0,
so wendet der Graph zur Rechtskrümmung.
Mögliche Kandidaten Berechnen wir nun mögliche Kandidaten:
f 00 (x) = 0
−8x2 + 36x + 108
x4 + 4x3 + 13x2 + 35x + 81
Und betrachten wieder einmal nur den Zähler:
0=
0 = −8x2 + 36x + 108
Jetzt Mitternachtsformel:
−b ±
−36 ±
√
b2 − 4ac
2a
p
1296 − 4 ∗ (−8) ∗ 108
2(−8)
−36 ± 68.9
−16
−36 ± 68.9
⇒ x ≈ −2x ≈ 6.5
−16
In f(x) eingesetzt:
K1 (−2; −7); K2 (6, 5; 7, 9)
Bemerke: da noch die zweite Bedingung
f 000 (x) 6= 0
gegeben sein muss, sind diese Punkte vorerst nur Kandidaten, keine echten
Wendepunkte!
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Vorkurs (Mathematik)
Aushilfe Nachdem die Berechnung von f”’ viel zu kompliziert wird, behelfen
wir uns anders und betrachten den Graphen bzw die Punkte, die wir bereits
kennen. Alternativ kann man sich auch eine Skizze erstellen, an welcher das
Folgende noch besser ersichtlich ist.
x
Eigenschaft
(−∞; −6]
streng monoton steigend
E2 (−6; −25) Maximum
[−6; 0]
streng monoton fallend
P1 (−3; ?)
Polstelle
K1 (−2; −7) möglicher Wendepunkt
N2 (−1; 0)
Nullstelle erster Art
E1 (0; −1)
Minimum
[0; ∞)
streng monoton steigend
Nullstelle erster Art
N1 ( 23 , 0)
K2 (6, 5; 7, 9) möglicher Wendepunkt
Das Extremum E2 liegt im negativen bereich, bevor der Graph auf die Polstelle stößt. Von dort aus fällt der Graph asymptotisch gegen −∞ entlang der
Polstelle.
Dadurch, dass es eine einfache Polstelle ist, kippt das Vorzeichen, rechts von
(−6; ?) fällt der Graph aus dem positiv unendlichen. Bei (−2; −7) ändert er
dann seine Krümmung von rechts- auf linksgekrümmt, bei (−1; 0) quert er
dann die x-Achse, fällt bis zum Minimum (0; −1) wo er dann wieder anfängt
zu steigen bis zur Nullstelle ( 32 , 0)
4.4.10 Konvexitätsbereiche
Konvexitätsbereiche bezeichnen die Intervalle, auf denen der Graph entweder konvex=‘konvex von unten‘=linksgekrümmt (wie f (x) = x2 ) oder koncav=‘konvex von oben‘=rechtsgekrümmt (wie f (x) = −x2 ).
Dazu gibt es zwei Bedinungen:
f 00 (x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt
f 00 (x) > 0 bedeutet linksgekrümmt
4.4.11 Asymptoten
Asymptoten liegen direkt an der Polstelle,sie nähern sich sozusagen x = −3
an. Eine Analyse mittels Granzwertrechnung im Unendlichen zeigt, dass der
Graph nach rechts ins Unendliche steigen wird, weil der Grad des Zählers
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Vorkurs (Mathematik)
größer ist als der des Nenners. Nach links fällt er ins Unendliche. Allerdings
kann man in der Darstellungsform
18
f (x) = 2x − 7 +
x+3
und der daraus resultierenden Grenzwertanalyse
18
= lim 2x − 7 = +∞
lim f (x) = lim 2x − 7 +
x→∞
x→∞
x + 3 x→∞
erkennen, dass der Graph eine schiefe“ Asymptote g(x) = 2x − 7 hat.
”
4.4.12 Konvergenzen und Divergenzen
Der Graph ist in Bezug auf das Koordinatensystem gegen ±∞ divergent,
allerdings ist er wegen der schiefen“ Asymptote konvergent zur Geraden
”
g(x) = 2x − 7.
4.4.13 Wertebereich
Der Wertebereich besteht aus zwei Teilen: der linke Teil hat das Maximum
E2 (−6; −25), der rechte das Minimum E1 (0; −1). Der Wertebereich zwischen
(−25; −1) wird nicht erreicht, es gilt:
W = R \ (−25; −1)
4.4.14 Skizze
2x2 −x−3
x+3
2x − 7
−3
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Vorkurs (Mathematik)
4.5 Beispiel: periodische Funktion
Das folgende Beispiel baut auf einer periodischen Funktion auf, die Analyse
der Punkte kann man also auf eine Periodenlänge beschränken oder definiert
mittels einer Schar. Wir brauchen eine Hilfsvariable s für Erörterungen, um
Verwechslungen mit der Funktion f (x) auszuschließen.
Hinweis: dies ist nur ein Beispiel für eine Vorgehensweise und kein Pflichtwissen! Der Schwierigkeitsgrad dieser Diskussion ist ungefähr Stoff des sechsten
Semesters - nicht dass so etwas auch wirklich vorkommt.
4.5.1 Gegeben
Gegeben ist die Funktion
f (x) = sin(2x); x ∈ R
4.5.2 Definitionsbereich
Die Periodenlänge von sin(s) ist 2π. Durch die Stauchung sin(2s) ist die Periodenlänge unserer Funktion folglich P = π, wir könnten unseren Definitionsbereich einfachränken:
D := [0; π]
Um auch die andere Möglichkeit darzustellen, diskutieren wir aber im Folgenden den gesamten Bereich R und stellen beide Arten dar.
Polstellen: Es exitstieren keine Polstellen.
Nicht-definierte Funktionen: Es exitstieren keine nicht-definierten Funktionen.
4.5.3 Symmetrie
Nun überprüfen wir die Symmetrie bezüglich des Ursprungs (ungerade) und
der y-Achse (gerade). Dabei kann man Nenner und Zähler getrennt voneinander betrachten. Sind beide - Nenner und Zähler - gerade oder ungerade, so
ist die Funktion gerade. Ist genau einer der beiden ungerade, so ist die gesamte Funktion ungerade. Ist eine von beiden nicht symmetrisch, so ist auch
die Funktion nicht Symmetrisch. Sind beide asymmetrisch, so kann es aber auch wenn sehr unwahrscheinlich - sein dass sie gegenseitig ihre Antisymmetrie
korrigieren.
2. Oktober 2010
58
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Vorkurs (Mathematik)
Betrachten wir nun unsere Funktion:
f (x) = sin(2x)
Wenn man bereits mit den Trigonometrischen Funktionen vertraut ist, weiss
man dass der Sinus eine ungerade Funktion ist. Das werden wir im Folgenden
zeigen.
Test: Der Test an den Stellen +1 und -1 stellt die einfachste Möglichkeit dar,
auf Symmetrie zu testen. Nachdem die Werte vom Sinus aber auf π schöner
definiert sind, nehmen wir uns die vier Stellen ± π4 und ± π2 vor:
π
π
f ( ) = sin( ) = 1;
4
2
π
π
f (− ) = sin(− ) = −1;
4
2
Schon sehen wir, dass f (x) = f (−x) für gerade Funktionen nicht mehr gilt.
f (x) = −f (−x) aber gilt, f (x) ist ungerade.
4.5.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Nachdem keine Polstellen vorhanden sind und die Funktion auch nicht abschnittsweise definiert ist, ist sie stetig und beliebig differenzierbar.
4.5.5 Nullstellen
Wir setzen f (x) = 0:
0 = sin(2x)
Dafür müssen wir einen Graphen oder den Einheitskreis betrachten:
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Vorkurs (Mathematik)
1
sin φ
-1
tan φ
φ
cos φ
1
-1
Hier sehen wir, dass sin(s) = 0 gilt, wenn s = 0 oder s = π. Betrachtet man
nur den Bereich D = [0; π], so sind die Nullstellen:
π
N1 (0, 0); N2 ( )
2
Weil der Sinus aber periodisch ist, kann man auch formulieren:
Ni = {x = z ∗
π
| z ∈ Z}
2
4.5.6 Ableitungen
Da eine echte Ableitung vom Sinus sehr schwer ist, benutzen wir eine Formelsammlung und müssen die Kettenregel beachten:
δ
sin(s) = cos(s)
δs
und
δ
cos(s) = −sin(s)
δs
Erste Ableitung:
f (x) = sin(2x)
f 0 (x) = cos(2x) ∗ 2
f 0 (x) = 2cos(2x)
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Vorkurs (Mathematik)
Zweite Ableitung:
f 0 (x) = 2cos(2x)
f 00 (x) = 2 ∗ −sin(2x) ∗ 2
f 00 (x) = −4sin(2x)
4.5.7 Extremwerte
Extremwerte sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Also setzt man:
f 0 (x) = 0
0 = 2cos(2x) ⇔ 0 = cos(2x) ⇔ 2x =
π
3π
π
3π
∨ 2x =
⇔x= ∨x=
2
2
4
4
2
1
Ei = {x = ( + z ∗ ) ∗ π | z ∈ Z}
4
4
Maxima:
Die Punkte bei
π
4
sind Maxima, bzw:
4
1
M axi = {x = ( + z ∗ ) ∗ π | z ∈ Z}
4
4
Test: z = 0 : x = 14 π; sin(2 ∗ 41 π) = sin( π2 ) = 1
)=1
Test 2: z = 1 : x = 54 π; sin(2 ∗ 45 π) = sin( 5π
2
Minima:
Die Punkte bei
3π
4
sind Minima, bzw:
3
4
M ini = {x = ( + z ∗ ) ∗ π | z ∈ Z}
4
4
) = −1
Test: z = 0 : x = 34 π; sin(2 ∗ 43 π) = sin( 3π
2
7
7
7π
Test 2: z = 1 : x = 4 π; sin(2 ∗ 4 π) = sin( 2 ) = −1
4.5.8 Monotoniebereiche
Monotoniebereiche sind die Intervalle auf der x-Achse, auf denen die Funktion
streng monoton ist, hier also zwischen zwei Extrema.
1
2
{[t; t + 1] | t = ( + z ∗ ) ∗ π ∧ z ∈ Z}
4
4
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4.5.9 Wendepunkte
Wendepunkte sind die Extrema der ersten Ableitung. An diesen Punkten
ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Dafür muss folglich gelten:
f 00 (x) = 0
Wegen f (x) = f 00 (x) gilt es auch bei f (x) = (−)0, also bei den Nullstellen der
Funktion:
π
Ni = {x = z ∗ | z ∈ Z} =: Wi
2
4.5.10 Konvexitätsbereiche
Konvexitätsbereiche bezeichnen die Intervalle, auf denen der Graph entweder konvex=‘konvex von unten‘=linksgekrümmt (wie f (x) = x2 ) oder koncav=‘konvex von oben‘=rechtsgekrümmt (wie f (x) = −x2 ).
Dazu gibt es zwei Bedinungen:
f 00 (x) < 0 bedeutet rechtsgekrümmt
f 00 (x) > 0 bedeutet linksgekrümmt
Bei unserer Funktion liegen die Bereiche ebenfalls zwischen den Nullstellen:
{[t; t + 1] | t = z ∗
π
∧ z ∈ Z}
2
4.5.11 Asymptoten
Einfache Asymptoten (gegen Achsen, Konstanten oder Lineare Funktionen)
exitiseren nicht; Betrachtet man aber die Bereiche ins Unendliche kann man
sagen, dass ∆x
→ 0.
∆y
4.5.12 Divergenzen?
Der Graph ist zwischen Extrema und Nullstellen konvergent, zwischen Nullstellen und Extrema ist er divergent.
4.5.13 Wertebereich
Weil keine Polstellen oder Einschränkungen durch Unterfunktionen vorliegen,
bleibt der Wertebereich vom Sinus:
D = [−1; +1]
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4.5.14 Skizze
1
sin 2x
- 2π
-π
π
2π
-1
5 Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie
Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie sind Vorlesungen des Grundstudiums bzw Hauptstudiums und bauen das Verständnis von Grund auf neu
auf. Deswegen wird nicht mehr auf die Eigenheiten dieser beiden Gebiete eingegangen.
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Vorkurs (Mathematik)
Literatur
[Lautenschlager.2008] Lautenschlager, Horst: Analysis - Leistungskurs, Stark
Verlagsgesellschaft mbH & Co.Kg, 2008
[Barth.2004] Barth, Friedrich; Mühlbauer, Paul; Nikol, Friedrich;
Wörle, Karl: Mathematische Formeln und Definitionen, Bonn, Bayerischer Schulbuch-Verlag, 2004
[Eich-Söllner.2009] Eich-Söllner, Edda: Analysis Skript, WS2009/2010
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