kap08_4 - Informatik

Schranken und Extrema
8
Schranken und Extrema
Schranken und Extrema
In diesem Kapitel beshaftigen wir uns mit den \Randern" in
geordneten Strukturen.
8.1
• Aus den zahlartigen Strukturen sind Intervalle bekannt, die durh
Gegeben sei eine Praordnung ≤ auf einer Menge M.
Zu Elementen x, y ∈ M denieren wir das Intervall [x, y] durh
ihre linken und rehten Grenzen bestimmt sind.
• Das geht deshalb so gut, weil die zugehorigen Ordnungen linear
sind.
• In allgemeinen (Pra-)Ordnungen kann es dagegen mehrere parallel nebeneinander liegende Intervalle geben;
• deshalb muss man hier zusatzlihe, feinere Untersheidungen und
Begrie einfuhren.
{1{
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
Definition 8.1.1
[x, y] =df {z ∈ M : x ≤ z ∧ z ≤ y}
Das ist die naheliegende und auh sinnvolle Erweiterung des
gewohnlihen Intervallbegris auf Zahlen.
c B. Möller
{2{
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
Beispiel 8.1.2 Wir betrahten die Teilbarkeitsordnung auf der
Menge M = {1, . . . , 12}:
8
12
4
6
10
9
2
3
5
7
11
{3{
Wir haben z.B.
{ [2, 8] = {2, 4, 8}
{ [3, 9] = {3, 9}
{ [1, 12] = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
{ [5, 8] = ∅
{ [5, 5] = {5}
Es gibt also, anders als bei der gewohnlihen ≤-Ordnung,
{ auh \ausgebauhte" Intervalle wie [1, 12]
{ und nebeneinander liegende, wie [2, 8] und [3, 9].
Ebenso gibt es Elemente wie 5 und 7, die weder \vor" noh
\hinter" noh in anderen Intervallen liegen;
bei linearen Ordnungen ware das jeweils eindeutig klar.
1
c B. Möller
Intervalle
Diskrete Strukt. WS 10/11
c B. Möller
{4{
⊓
⊔
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
8.2
Schranken und Extrema
Schranken
Definition 8.2.1 Es sei ≤ Pra-Ordnung auf M und N ⊆ M. Wir
denieren die Mengen us N der unteren Shranken und os N der
oberen Shranken von N durh
x ∈ us N
y ∈ os N
def
⇔
def
⇔
LiteraturQQ
nnn
Krimi PP
P
∀y∈N:x≤y
Humor
mmm
• Dann ist Comi eine untere und Literatur eine obere Shranke
fur die Menge {Krimi, Humor};
• beide liegen niht in dieser Menge selbst.
• In der urspr
unglihen Genremenge hatte sie keine
untere Shranke.
Man beahte, dass eine untere Shranke einer Teilmenge niht in
der Teilmenge selbst liegen muss!
{5{
Q
Comi
∀x∈N:x≤y
Naturlih sind untere Shranken bezuglih ≤ obere Shranken
bezuglih ≤ und umgekehrt. Analoges gilt fur die noh folgenden
Begrie in diesem Kapitel.
c B. Möller
Beispiel 8.2.2 Wir erweitern die Menge der Genres aus Beispiel
7.2 um ein neues Element \Comi":
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
c B. Möller
⊓
⊔
{6{
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
Beispiel 8.2.3
1. Betrahte M = IR unter der gewohnlihen ≤-Ordnung.
Die Denition der Shranken bringt mit sih, dass jedes Element
der jeweils betrahteten Grundmenge M obere und untere
Shranke der leeren Teilmenge ∅ ist.
us ]0, 1[ = ] − ∞, 0]
os ]0, 1[ = [1, ∞[
• Der Hintergrund ist, dass die Formel ∀ y ∈ N : x ≤ y in Deni-
2. Sei nun M = IN unter der Teilbarkeitsordnung |
und N eine Teilmenge N ⊆ M.
tion 8.2.1 ausfuhrlih lauten musste
• Dann ist n ∈ IN untere Shranke von N genau dann, wenn n
gemeinsamer Teiler aller Zahlen in N ist.
• Damit hat jede Teilmenge 1 als untere Shranke bez
uglih | .
• Weiter ist n obere Shranke von N, wenn n ein gemeinsames
Vielfahes aller Zahlen in N ist.
• Damit kann eine unendlihe Teilmenge keine obere Shranke
bezuglih | haben.
c B. Möller
∀y:y∈N ⇒ x≤y
• F
ur N = ∅ ist dann die Voraussetzung y ∈ N stets falsh, also
nah Denition die Folgerung stets wahr, und damit auh die
gesamte Allaussage.
• Das mag zwar paradox wirken, hat aber seinen Sinn, wie wir noh
sehen werden.
⊓
⊔
{7{
Diskrete Strukt. WS 10/11
c B. Möller
{8{
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
8.3
Schranken und Extrema
Beispiel 7.2 (Fortsetzung) In der urspr
unglihen Ordnung
Extrema
Ein kleinstes/grotes Element einer Teilmenge ist eine
untere/obere Shranke, die in der Teilmenge selbst liegt.
Definition 8.3.1 Die Mengen kl N der kleinsten und gr N der
Krimi
LiteraturQQ
nnn
Q
Humor
hat die gesamte Menge {Krimi, Humor, Literatur} das grote
Element Literatur , aber kein kleinstes Element.
⊓
⊔
groten Elemente von N sind gegeben durh
kl N
=df
N ∩ us N
gr N
=df
N ∩ os N
Beispiel 8.3.2 Betrahte wieder M = IR unter der gewohnlihen
Ordnung.
1. Die Teilmenge ]0, 1[ hat zwar untere und obere Shranken in
IR, aber selbst weder kleinstes noh grotes Element.
Es gilt also
x ∈ kl N
⇔
x∈N ∧ ∀y∈N:x≤y
y ∈ gr N
⇔
y∈N ∧ ∀x∈N:x≤y
{9{
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
2. Die Teilmenge [0, 1[ hat die selben unteren und oberen
Shranken wie ]0, 1[, aber zusatzlih das kleinste Element 0.
⊓
⊔
Ein grotes Element besitzt auh sie niht.
{ 10 {
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
Beispiel 8.3.3 Die Damen Amanda, Elsa, Eulalia und Luisa
haben jeweils die Shuhgroen 40, 36, 39 und 36.
Wir betrahten wieder die Praordnung ≤s aus Beispiel 6.1.
Korollar 8.3.4 Sei ≤ eine Praordnung und ∼ die in Lemma 6.7
 quivalenzrelation ∼ = ≤ ∩ ≤ . Dann gilt
denierte A
∀ x, y ∈ kl N : x ∼ y
Amanda
∀ x, y ∈ gr N : x ∼ y
Eulalia
Elsa
Ist ≤ Ordnung, so hat daher jede Teilmenge hohstens ein kleinstes
und grotes Element.
Luisa
Dann sind Elsa und Luisa beide kleinste Elemente der Menge
{Amanda, Elsa, Eulalia, Luisa} und Amanda ist ihr einziges grotes
Element.
⊓
⊔
c B. Möller
{ 11 {
Diskrete Strukt. WS 10/11
Beispiel 8.3.3 (Fortsetzung) In der Praordnung ≤s betrit das
die Damen Elsa und Luisa.
c B. Möller
⊓
⊔
{ 12 {
Diskrete Strukt. WS 10/11
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8.4
Schranken und Extrema
Minimale und maximale Elemente
Ein minimales/maximales Element einer Teilmenge ist ein Element,
das in der Teilmenge niht eht unter-/uberboten werden kann.
Beispiel 7.2 (Fortsetzung) In der Ordnung
Definition 8.4.1 Die Mengen min N der minimalen und max N
der maximalen Elemente von N sind gegeben durh
x ∈ min N
x ∈ max N
def
⇔
def
⇔
Krimi
x∈N ∧ ∀y∈N:y≤x ⇒ x≤y
LiteraturQQ
nnn
Q
Humor
hat die gesamte Menge {Krimi, Humor, Literatur} zwar kein
kleinstes Element, aber dafur die beiden minimalen Elemente
Krimi und Humor .
x∈N ∧ ∀y∈N:x≤y ⇒ y≤x
⊓
⊔
Korollar 8.4.2 Kleinste/grote Elemente sind minimal/maximal:
kl N ⊆ min N
gr N ⊆ max N
{ 13 {
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
8.5
min N = kl N
Infima und Suprema
Definition 8.5.1 Die Mengen inf N der Inma oder
groten unteren Shranken und sup N der Suprema oder
kleinsten oberen Shranken von N sind
Lemma 8.4.3 Sei ≤ lineare Praordnung auf M und N ⊆ M.
max N = gr N
Beweis:
inf N
=df
gr (us N)
sup N
=df
kl (os N)
Es gilt also fur alle x ∈ M
(⊇) ist jeweils bereits bekannt (Kor. 8.4.2).
x ∈ inf N
(⊆) Sei x ∈ min N und y ∈ N.
⇔
∀y∈N:x≤y ∧
(∀ z ∈ M : (∀ y ∈ N : z ≤ y) ⇒ z ≤ x)
• Annahme: ¬ x ≤ y.
x ∈ sup N
• Da ≤ linear ist, muss dann y ≤ x sein.
• Wegen x ∈ min N folgt daraus x ≤ y. Widerspruh!
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
Wir betrahten noh den Spezialfall linearer Praordnungen:
Dann gilt
{ 14 {
c B. Möller
{ 15 {
∀y∈N:y≤x ∧
(∀ z ∈ M : (∀ y ∈ N : y ≤ z) ⇒ x ≤ z)
⊓
⊔
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⇔
Ahtung: Inma/Suprema von N mussen niht in N selbst liegen!
c B. Möller
{ 16 {
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
Schranken und Extrema
Beispiel 8.5.2
• Betrahte wieder (IR, ≤) und N =df ]0, 1[.
Beispiel 8.2.2 (Fortsetzung)
LiteraturQQ
nnn
Krimi PP
P
us N = ] − ∞, 0]
Q
Comi
Humor
m
os N = [1, ∞[
mm
inf N = gr us N = us N ∩ os us N = {0}
sup N = kl os N = os N ∩ us os N = {1}
• Hier ist Comi die einzige und somit auh grote untere Shran-
ke der Menge {Krimi, Humor};
• analog ist Literatur ihre einzige und somit auh kleinste obere
Shranke.
⊓
⊔
• Dagegen gilt kl N = ∅ = gr N.
• Auerdem gilt f
ur alle x ∈ N, dass os {x} ∩ N = ]x, 1[ 6= {x}, so
dass max N = ∅.
• Analog folgt min N = ∅.
c B. Möller
{ 17 {
Diskrete Strukt. WS 10/11
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c B. Möller
⊓
⊔
{ 18 {
Diskrete Strukt. WS 10/11
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Lemma 8.5.3 Man hat kl N ⊆ inf N und gr N ⊆ sup N.
Beweis:
Zusammenfassend gilt:
• Kleinste, minimale, grote, maximale Elemente einer Menge
mussen in dieser liegen,
• wahrend Inma und Suprema auerhalb liegen d
urfen.
• Sei x ∈ kl N. Dann gilt ∀ y ∈ N : x ≤ y.
• Also ist x ∈ us N.
• Sei nun z ∈ us N.
• Dann muss insbesondere z ≤ x gelten.
• Da z beliebig war, folgt ∀ z ∈ us N : z ≤ x, d.h. x ∈ gr (us N). ⊓
⊔
c B. Möller
{ 19 {
Diskrete Strukt. WS 10/11
c B. Möller
{ 20 {
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
Schranken und Extrema
8.6
Grenzelemente in der Produktpräordnung
Beispiel 7.2 (Fortsetzung) Wir betrahten folgende Teilmenge
von Paaren aus unserer Datenbank (H = Humor, K = Krimi, L =
Literatur) unter der Produktordnung:
Shlielih sei noh der Spezialfall einelementiger Mengen
angegeben:
(L, 10)
(H, 11)
(L, 8)
JJ
ss
tt
(K, 7)
(H, 5)
Lemma 8.5.4 Es sei ≤ eine Ordnung auf M. Dann gilt f
ur x ∈ M
kl {x} = gr {x} = min {x} = max {x} = inf {x} = sup {x} = {x}
(H, 3)
• Die Vorzugsb
uher unseres Benutzer sind gerade die minima-
len Elemente, denn sie entsprehen den billigsten Buhern seiner
Lieblingsgenres.
c B. Möller
{ 21 {
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
{ 22 {
c B. Möller
Diskrete Strukt. WS 10/11
Schranken und Extrema
Inmum und Supremum verhalten sih hier freundliher:
Korollar 8.6.1 Seien ≤1 , ≤2 Praordnungen auf M1 , M2 und
• Leider lassen sie im Allgemeinen sih niht komponentenweise
aus den entsprehenden Elementen ihrer beiden Projektionen berehnen.
• Das minimale Element (K, 7) besteht niht rein aus minimalen
Elementen:
• Zwar ist K minimal in der Menge der auftretenden Genres,
• aber 7 niht minimal in der Menge der auftretenden Preise.
≤ =df ≤1 × ≤2 ihre Produktpraordnung. F
ur N ⊆ M1 × M2 seien
N1
=df
{x ∈ M1 : ∃ y ∈ M2 : (x, y) ∈ N}
N2
=df
{y ∈ M2 : ∃ x ∈ M1 : (x, y) ∈ N}
die sogenannten Projektionen auf M1 bzw. M2 . Dann gilt
inf ≤ N = inf ≤1 N1 × inf ≤2 N2
⊓
⊔
sup ≤ N = sup ≤1 N1 × sup ≤2 N2
Eine analoge Untersuhung fur die lexikographishe Ordnung bleibt

den Ubungen
vorbehalten.
c B. Möller
{ 23 {
Diskrete Strukt. WS 10/11
c B. Möller
{ 24 {
Diskrete Strukt. WS 10/11