Woche 14

Woche 13
16.3
Molekularfeldnäherung
(Die englische Bezeichnung Mean field approximation, MFA, ist treffender!)
Hilfsaufgabe: Freie Spins im Magnetfeld
• J =0
Die Energie (”Hamilton-Funktion”) lautet
H = −h
X
σi
i
Die Zustandssumme ist:
h X
exp
...
Z =
σi
kT i
σN =±1
σ1 =±1
=
Daher gilt:
X
X
eh/kT´+ e−h/kT
N
!
= [2 cosh(h/kT )]N .
F = −kT ln Z = −N kT ln [2 cosh(h/kT )]
und
∂F
m=−
∂h
!
T,N
h
= N tanh
kT
!
.
• Für tiefe Temperaturen / hohe Felder m/N → 1 (Saturation).
N
h, d.h. die Suszeptibilität verhält sich
• Für hohe Temperaturen m ≃
kT
wie
!
∂m
const
χ=
=
∂h T,N
T
(Curie-Gesetz für paramagnetisches Verhalten, kein Phaseübergang).
1
Die Molekularfeldnäherung (am Beispiel des Ising-Modells).
Die Energie (”Hamilton-Funktion”) lautet
H = −h
X
i
σi − J
X
σi σj
nn
Idee: Wenigstens bei einer großen Zahl von Nachbarn kann man annehmen,
dass
X
σi σj ≈ Cσi hσj i
nn
mit C – Koordinationszahl (Anzahl der Nachbarn). Aus der Annahme der
Selbstkonsistenz hσj i = hσi i = hσi (hσi ist der Mittelwert des Spins im
ganzen System). Dadurch bekommt man als effektive Hamilton-Funktion
HM F = −h − JC hσi
X
i
σi = −hef f
X
σi
i
mit
hef f = h + JC hσi
(1)
dem Molekularfeld (mean field). Die Zustandssumme in solcher Näherung
ist:
!
hef f
,
ZM F = 2 cosh
kT
und
hσi =
P
i,σi =±1
σi ehef f σi /kT
hef f
= tanh
Z
kT
!
,
wie in dem Fall der nichtwechselwirkender Spins. Aus der Gl.(1) folgt dann
die Selbstkonsistenzbedingung
!
h + JC hσi
hσi = tanh
.
kT
• Verhalten für h = 0. Einführen x = JC hσi /kT . Die Selbstkonsistenzgl.
liest sich:
kT
x = tanh x.
JC
Bei hohen Temperaturen existiert nur eine Lösung, x = 0, d.h. hσi = 0.
Für niedrige Temperaturen: 3 Lösungen, x = 0 und x = ±x0 , d.h. hσi =
kT
± JC
x0 : Es entsteht eine spontane Magnetisierung in Abwesenheit des Feldes, ein Zeichen des ferromagnetischen Verhaltens. Der Übergang zwischen 2
2
Regimen findet bei kritischer Temperatur Tc statt, wenn die Gerade y =
tangential zu tanh x ist. ⇒ kTc /JC = 1
Tc =
so dass
x=
kT
x
JC
JC
.
k
JC
Tc
hσi ≡
hσi .
kT
T
Verhalten in ferromagnetischen Bereich T ≤ Tc , h = 0. Wir betrachten jetzt einige Spezialfälle.
• T → 0. In diesem Fall hσi → ±1. Daher ist tanh x ≃ 1 − 2 exp(−2x)
und hσi ≃ 1 − 2e−2Tc /T .
kT
x ≡ TTc x ≈ 1 − 2e−2x . Für T → 0 sieht man, dass x → ∞, so
Erklärung: JC
dass TTc x → 1 und deswegen x → Tc /T . Diesen Wert kann jetzt in der rechte
seite der Gl. eingestellt werden (iteratives Lösen): xT /Tc ≃ 1 − 2e−2Tc /T und
somit hσi = xT /Tc ≃ 1 − 2e−2Tc /T .
• T → Tc− . In diesem Fall hσi → 0 und somit x → 0. Es gilt tanh x ≃
x − x3 /3 so dass hσi = (Tc /T ) hσi + 31 (Tc /T )3 hσi3 . Die nichttriviale Lösung
3
der Gleichung ist:
1/2 ← krit. Exponent
 T 


hσi = 3 1 −


T 
|
{z c }

τ
mit τ - reduzierte Temperatur. Experimentell ist das Verhalten der Magnetisierung M ∝ hσi gut bestätigt (Fe, Ni, Co), mit der Ausnahme der unmittelbaren Umgebung des kritischen Punktes.
Innere Energie des Systems in MFA (h = 0).
*
E(T ) = hHi = −J
X
nn
σi σj
+
≈ −J
X
nn
hσi i hσj i = −
N JC
hσi2 .
2
Spezifische Wärme (eigentlich, Spinanteil an der gesamten spezifischen
Wärme):
!
∂ hσi
∂E
Ch=0 =
= −N JC hσi
.
(2)
∂T h=0
∂T
Damit ist
• Für T > Tc : E(T ) = 0 und Ch=0= 0. T
3 N JC
3
3N JC
1−
und Ch=0 =
= Nk
• Für T → Tc− : E(T ) = −
2
Tc
2 Tc
2
Die spezifische Wärme erfährt einen endlichen Sprung bei Tc
2
Tc 2
N kTc Tc
Tc
• Für T → 0: E(T ) = −
e−2 T .
1 − 2e−2 T und Ch=0 = 4N k
2
T
Die Entropie des Systems oberhalb Tc bleibt konstant, da Ch = 0. Die
Entropie bei Tc ist:
S(Tc ) =
Z
0
Tc
Z 0
Ch (T )dT
hσi d hσi
= −N JC
T
T
1
JC
hσi = x. Anhand der MFA-Gleichung gilt:
kT
hσi = tanh x so dass x = atanh hσi:
(laut Gl. 2). Variablenwechsel
S(Tc ) = N k
Z
0
1
atanhxdx =
Nk Z 1 1 + x
dx = N k ln 2.
ln
2 0
1−x
Das Resultat kann kombinatorisch leicht verstanden werden: für T ≥ Tc
alle 2N Realisierungen der Spinrichtungen sind gleichwahrscheinlich; S =
k ln(2N ) = N k ln 2.
4
Suszeptibilität für T > Tc . Betrachten wir die Situation beim Anlegen
eines Felds h 6= 0. Selbstkonsistenzbedingung:
hef f
hσi = tanh
kT
!
≃
hef f
h + JC hσi
=
.
kT
kT
Auflösen nach hσi ergibt
hσi ≃
h
h
=
.
kT − JC
k(T − Tc )
Daraus folgt für die Suszeptibilität (mit m = gµB hσi /2)
χ=
const
T − Tc
(das Curie-Weiß-Gesetz). Dieses Verhalten ist i.d.R. experimentell gut bestätigt, allerdings liegt die so bestimmte Tc etwas oberhalb der tatsächlicher
Übergangstemperatur, z.B. für Ni ist Tc = 631K, aus dem Curie-Weiß-Gesetz
bekommt man Tc,CW = 650K.
16.3.1
Höhere Mean-Field-Näherungen
Idee: Die mean-field-artige Näherungen können beliebig verfeinert werden,
in dem man nicht ein Spin in einem effektiven Feld, sondern eine Gruppe
(Cluster) der Spins betrachtet. Die einfachste Näherung solcher Art ist die
Bethe-Näherung.
Man betrachte eine Gruppe von Spins. Den zentralen Spin betrachtet man
exakt, die Wechselwirkungen seiner Nachbarn mit der Umgebung werden
durch das effektiven Feld h′ef f beschrieben:
HB = −hσ0 − J
C
X
j=1
σ0 σj − (h +
h′ef f )
C
X
σj .
j=1
Das effektive Feld h′ef f wird selbstkonsistent aus hσ0 i = hσj i bestimmt. Die
Zustandssumme in der Bethe-Näherung lautet:
Z=
X
X
σ0 =±1 σj =±1

exp ασ0 + (α + α′ )
5
C
X
j=1
σj + γ
C
X
j=1

σ0 σj 
mit α = h/kT , α′ = h′ef f /kT und γ = J/kT . Die Summation über σ0 = ±1
ergibt Z = Z+ + Z− mit
Z± =
X
σj =±1

exp ±α + (α + α′ ± γ)
C
X
j=1
Der Mittelwert des Spins ist
hσ0 i =

C
σj  = e±α [2 cosh(α + α′ ± γ)] .
Z+ − Z−
.
Z
Gleichzeitig gilt:
1
hσj i =
C
*
C
X
j=1
σj
+
1
=
C
!
1 ∂Z
,
Z ∂α′
d.h.
1
[Z+ tanh(α + α′ + γ) + Z− tanh(α + α′ − γ)] .
Z
Die Selbstkonsistenzbedingung hσ0 i = hσj i ergibt (unter einsetzen von Z± )
hσj i =
2α′
e
"
cosh(α + α′ + γ)
=
cosh(α + α′ − γ)
#C−1
.
(3)
Spontane Magnetisierung (h = 0). In diesem Fall ist α = 0. Das Logarithmieren der beiden Seiten der Gl.(3) ergibt:
"
#
cosh(α′ + γ)
C −1
ln
.
α =
2
cosh(α′ − γ)
′
α′ = 0 ist immer eine Lösung. Nahe am Übergang sind α′ klein. Taylorentwicklung:
"
#
α′3
2
′
′
α = (C − 1) tanh γ α −
sech γ + ... .
3
Die nichttrivialen
Lösungen
gibt
es für (C − 1) tanh γ > 1, d.h. für γ > γc =
1
1
C
≡ ln
. Auf die Temperatur bezogen bedeutet das
atanh
C −1
2
C −2
Tc =
2J
.
k ln[C/(C − 2)]
6
Diskussion.
• Die Bethe-Näherung reproduziert die exakte Aussage über die Abwesenheit des Phasenübergangs in einem eindimensionalen Ising-Modell (für
C = 2 hat man Tc = 0). 2
2
C
• Für große C ist ln
= ln 1 −
≈ : Im Falle grosser AnC −2
C
C
zahlen von Nachbarn stimmen die einfache Molekularfeldnäherung und die
Bethe-Näherung überein. Die MF-Näherungen sind gut für höhere Dimensionen.
16.4
Das Ising-Modell in einer Dimension
In 1D gibt es eine einfache, exakte Lösung, die durch die TransfermatrizenMethode geliefert wird (Krames und Wannier, 1941). Die Methode ist
universal anwendbar für 1D Systeme; wir erläutern diese am Beispiel des
Ising-Modells.
Wir berechnen die Zustandssumme eines Ising-Systems auf einem Ring
(N Gitterplatze), d.h. für periodische Randbedingungen. In thermodynamischen Limes N → ∞ sollen sie keine Rolle spielen.
Z=
X
X
...
σ1 =±1 σ2 =±1
X
exp
σN =±1
J
(σ1 σ2 + σ2 σ3 + ... + σN σ1 )
kT
#
h
+ (σ1 + σ2 + ... + σN )
kT
=
X
X
X
...
σ1 =±1 σ2 =±1
mit
Vσi σi+1
Vσ1 σ2 Vσ2 σ3 ...VσN σ1
σN =±1
#
"
h
J
σi σi+1 +
(σi + σi+1 ) .
= exp
kT
2kT
Die Vσi σi+1 können als Elemente einer Matrix
V=
e(J+h)/kT
e−J/kT
e−J/kT e(−J+h)/kT
!
angesehen werden. Das Gesamtzustandssumme bekommt dann die folgende
Darstellung:
Z = Sp VN .
7
V ist symmetrisch
und kann diagonalisiert werden. In der DiagonaldarstelN
N
lung ist Sp V
= λN
+ + λ− , wobei λ+ und λ− die Eigenwerte von V sind.
Für |λ+ | > |λ− | hat man im Grenzfall N → ∞ Z = λN
+ . Die Eigenwerte des
Matrix V sind:
h
λ± = eJ/kT cosh(h/kT ) ± e2J/kT sinh2 (h/kT ) + e−2J/kT
Daher, im thermodynamischen Grenzfall N ≫ 1
i1/2
.
h
i1/2
F
kT
f=
.
=−
ln Z = −kT ln eJ/kT cosh(h/kT ) ± e2J/kT sinh2 (h/kT ) + e−2J/kT
N
N
λ+ und somit F hat keine Pole, Nullstellen od. andere Singularitäten für
h, T > 0 ⇒ es gibt keinen Phasenübergang bei T > 0. In Abwesenheit eines
Feldes ist
J
F (N, T, h = 0) = −kT N ln 2 cosh
kT
und
"
#
F
J
∂
2
.
= −N J tanh
E(N, T, h = 0) = −T
∂T T N,h
kT
und
Ch=0 =
∂E
∂T
!
h=0
NJ2
J
=
sech2
2
kT
kT
(Ch=0 verschwindet für T = 0, wächst monoton an bei kleinem T , hat ein
Maximum Ch=0 = N k/2 bei kT /J = 1, und fällt dann monoton ab). Die
Magnetisierung ist
∂F
m=−
∂h
!
=
T
sinh(h/kT )
+ sinh2 (h/kT )]1/2
[e−4J/kT
• Bei höheren Feldern h ≫ kT saturiert die Magnetisierung.
• Bei niedrigen Feldern: Lineare Näherung m ≃ (h/kT )e2J/kT . Die Suszeptibilität χ ∝ T −1 e2J/kT . Für T → 0 divergiert die Suszeptibilität: Es gibt einen
”Phasenübergang” bei T = 0.
Die Korrelationslänge Berechnen wir für h = 0 die Wahrscheinlichkeit
p, dass Spins l und l′ gleichgerichtet sind (l < l′ ). Diese Wahrscheinlichkeit ist
8
mit der Korrelationsfunktion hσl σl′ i verbunden: hσl σl′ i = p−(1−p) = 2p−1.
Berechnung von hσl σl′ i:
Z −1
hσl σl′ i =
X
...
h
X
Vσ1 σ2 ...Vσl−1 σl σl Vσl σl+1 ...Vσl′ −1 σl′ σl′ Vσl′ σl′ +1 ...VσN σ1
′
′
i
Z −1 Sp Vl SVl −l SVN −l ,
=
mit
1 0
0 −1
S=
!
.
Für h = 0 hat die! Matrix V!die Eigenwerte λ± = eJ/kT ± e−J/kT und die
1
1
Eigenvektoren
und
. In der Diagonaldarstellung von V ist S =
1
−1
!
0 1
. Damit ist
1 0
hσl σl′ i = Z
−1
Da
Sp
"
0 1
1 0
λl+ 0
0 λl−
!
!
′
0 1
1 0
l −l
λ+
0
l′ −l
0
λ−
!
!
′
l −l
λ+
0
l′ −l
0
λ−
0 1
1 0
!
!
0 1
1 0
′
l −l
λ−
0
l′ −l
0
λ+
=
!
N −l
λ+
0
′
0
N −l
λ−
!
bekommt man
hσl σl′ i =
N −(l′ −l) l′ −l
λ−
λN
+
λ+
N −(l′ −l) l′ −l
λ+
+ λ−
+ λN
−
→
λ−
λ+
!l′ −l
J
= tanh
kT
l′ −l
.
Für T > 0 nimmt hσl σl′ i exponentiell mit dem Abstand |l′ − l| ab:
|l′ − l|
hσl σl′ i ∝ exp −
ξ(T )
!
Die Korrelationslänge ξ(T ) = ln[tanh(J/kT )] (Reichweite der Ordnung) divergiert für T → 0.
16.5
Resultate für das Ising-Modell in zwei Dimensionen
Hier geben wir nur eine Übersicht der Resultate. Die exakte Lösung für
die Zustandssumme ohne Feld: Onsager, 1944. Vereinfachungen: Newell
9
′
!#
.
and Montroll (1953), Domb (1960), Huan (1963), Schultz, Mattis
und Lieb (1964), und viele andere. Die wesentliche Vereinfachung: Vdovichenko (1964). Der Zugang basiert auf der Methode die unserer vorherigen
Ausführung recht ähnlich ist (Siehe Nolting, 4.4).
Ergebnis:
1
ln Z(h = 0, T, N ) =
N
ln 2 cosh
2J
kT

+
v

u
1 Zπ
1 1u
2 sinh(2J/kT ) 2 

+ t1 −
dφ ln
sin φ .
2π 0
2 2
cosh2 (2J/kT )
Folgerungen:
√ 1 J
= ln 1 + 2 ≈ 0.4407.
kTc
2
(Vgl: MFA kTJ c = 1/4 = 0.25, Bethe kTJ c = ln 2/2 = 0.347...). Die exakte Übergangstemperatur ist kleiner als die durch Näherungen gegebene. Die
innere Energie und die spezifische Wärme lassen sich analytisch durch elliptische Integrale ausdrücken. In der Nähe von Tc ist
8N k
Ch=0 (T ) =
π
so dass
J
kTc
2 "
T − ln 1 − + ln
Tc
2kTc
J
!
#
π
−1−
,
4
Ch=0
T
≃ −0.4945 ln 1 − + const,
Nk
Tc
d.h. die spezifische Wärme divergiert logarithmisch am Tc (vgl. mit einem
endlichen Sprung bei der MF oder Bethe Näherungen).
Spontane Magnetisierung. Hier ist die Lösung für h 6= 0 benötigt. (Die
Lösung wurde von Onsager 1949 angekündigt, ist aber nie publiziert worden.)
Die erste publizierte Lösung stammt von Yang (1952). Im Grenzfall h → 0
hat man
 n
o

−4 1/8
1
−
[sinh(2J/kT
)]
T < Tc .
m≃
0
T > Tc
Spezialfälle:
T →0
m ≃ 1 − 2e−8J/kT
T → Tc− m ≃ 1.2224 1 −
10
T
Tc
1/8
Der entsprechende kritische Exponent β = 1/8 ist kleiner als in der MF. Das
Phasenübergang wirkt sich im Ordnungsparameter sehr ausgeprg̈t aus, die
Näherungen weichen diesen Effekt auf.
11