Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I

C. Fabricius
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I
Welche Anforderungen stecken in den Übungsaufgaben?
Die aufgeführten Begriffe werden nur bei der Serie erwähnt, wo sie zuerst benötigt werden. Kein Anspruch auf Vollständigkeit
und Richtigkeit, wer Fehler findet, kann gerne Bescheid sagen, dann lade ich eine geänderte Version hoch.
1.
• Komposition - Funktionen ineinandereinsetzen: g ◦ f = g(f (x)), für das x in g(x) wird jeweils f (x) eingesetzt
Pn
• Polynom - an xn + ... + a1 x + a0 = k=0 ak xk , z.B. x3 + 4x2 + 5
• Quotient von Polynomen - ein Bruch bei dem Zähler und Nenner Polynome sind
• Folgen - zur Anschaulichkeit am besten erste Folgenglieder ausrechnen
– rekursiv(=induktiv): an+1 = f (an )
Jedes Folgenglied ist mittels Funktion f über die vorherigen definiert. Es kann einen Startwert a1 geben.
z.B. an+1 = an + 1 mit a1 = 3, dann ist (an )n∈N = (3; 4; 5; ...)
– explizit: an = g(n)
Jedes Folgenglied lässt sich mit der Funktion g explizit über n ausrechnen.
z.B. an = 2n , dann ist (an )n∈N = (2; 4; 8; 16; ...)
• R - die reellen Zahlen
2.
• Funktionenskizze - schnelle Hilfsmittel: (nicht immer ist es zeitlich sinnvoll NS und Extrema auszurechnen)
– Wertetabelle: sinnvolle Werte einsetzen, z.B. −3, −2, −1, −0.5, 0, 0.5, 1, 2, 3
– Aussehen bestimmter Funktionen, da sollte man folgende wissen: x, x2 , x3 , x4 , sin(x), cos(x), ex , log(x),
√
x
• Intervall - ein Abschnitt auf einem Zahlenstrahl
– abgeschlossen [a, b] sind alle x ∈ R so dass a ≤ x ≤ b
– offen (a, b) sind alle x ∈ R so dass a < x < b
• Urbildbestimmung: Urbild = f −1 ([a, b]) , z.B. f −1 ([0, 2]) sind alle x-Werte, so dass 0 ≤ f (x) ≤ 2
– graphisch: alle x-Werte auf der x-Achse markieren, bei denen der y-Wert zwischen a und b liegt, als
Intervalle aufschreiben
– Komposition: bei zusammengesetzter Funktion nacheinander von äußerer Funktion Urbild bestimmen
z.B. f (x) = x2 + 1 und f −1 ([0, 3]) ist für u = x2 also f (u) = u + 1: f −1 gleich [−1, 2] und dann ist nur
noch x2 zu betrachten, wann das zwischen -1 und 2 liegt.
Pn
• Summe k=0 an = a0 + a1 + ... + an
P3
z.B. k=0 5n2 = 5 · 02 + 5 · 12 + 5 · 22 + 5 · 32 = 0 + 5 + 20 + 45 = 70
3.
• Folgengrenzwert - ein Wert dem sich an immer weiter annähert, oder sogar ab einem festen n annimmt
– Konvergenz: die Folge hat genau einen Grenzwert g , lim an = g, für rekursive Folgen: lim an = lim an+1
– Divergenz: die Folge hat mehrere “Grenzwerte” oder lim an = ±∞
p
• pq-Formel für x2 + px + q: x1,2 = −p/2 ± p2 /4 − q
n!
• Binomialkoeffizient nk = k!(n−k)!
• Brüche - Grundfertigkeiten:
– addieren - Hauptnenner bilden und zusammenziehen, z.B. 1/3 + 2/5 = (5 + 6)/15
– auseinanderziehen - z.B. (3 + x2 )/x = 3/x + x2 /x
– erweitern - z.B. (1 + x)/(x − 2) = (1 + x)(x + 2)/(x − 2)(x + 2)
• Binomische Formeln
– 1.Binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
– 2.Binomische Formel: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
– 3.Binomische Formel: (a + b)(a − b) = a2 − b2
Pn
– allgemeine Binomische Formel: (a + b)n = k=0
n
k
ak bn−k
• Nullfolgen - (an )n∈N mit lim an = 0, z.B. an = 1/n
1
• Grenzwert rationaler Funktionen = limx→∞ f (x)/g(x)
Man teilt durch die höchste Potenz, in der x vorkommt und erhält dadurch Nullfolgen
3
2x3 /x3 −x/x3
2−1/x2
2−0
−x
z.B. limx→∞ 5x2x
3 +x2 +4 = limx→∞ 5x3 /x3 +x2 /x3 +4/x3 = limx→∞ 5+1/x+4/x3 = 5+0+0 = 2/5
(
(
f1 (x) für x ≤ a
1
für x ≤ −1
,
z.B. f (x) =
• Stückweise Funktion f (x) =
f2 (x) für x > a
x2 für x > −1
• Monotonie - fallend für 1. Ableitung f 0 (x) ≤ 0, steigend für 1. Ableitung f 0 (x) ≥ 0
• Krümmung - konvex für 2. Ableitung f 00 (x) ≥ 0, konkav für 2. Ableitung f 00 (x) ≤ 0,
• Anstieg - Wert der ersten Ableitung oder bei Gerade durch zwei Punkte (x1 , y1 ), (x2 , y2 ): m =
4.
5.
y2 −y1
x2 −x1
• Gaußklammer = bxc = Abrundungsfunktion, z.B. b0.8c = 0, b−3.2c = −4
Qn
Q4
• Produktzeichen - k=1 ak = a1 · a2 · . . . · an , z.B. k=1 k = 1 · 2 · 3 · 4 = 4! = 24
√
√
• Koeffizientenvergleich - z.B. bei (ax2 + bx + c) = (3x2 + 1 − 5) erhält man a = 3, b = 0, c = 1 − 5
Qn
• Linearfaktoren - Jedes Polynom n-ten Grades lässt sich als Produkt i=1 (x − xi ) schreiben wobei xi die
Nullstellen des Polynoms sind (nur für reelle NS), z.B. x2 − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3)
√
• Komplexe Zahlen z = a + bi wobei a, b ∈ R und i = −1, d. h. i2 = −1.
√
• Wurzel aus komplexer Zahl a + bi Ansatz: (c + di)2 = a + bi führt auf GLS a = c2 − d2 , b = 2cd
• Exponentialfunktion: exp(x) = ex
• Eulersche Darstellung eiϕ = cos(ϕ) + isin(ϕ)
• Konjugation: zu z = a + bi ist z = a − bi
6.
• Betrag = |z| = zz = (a + bi)(a − bi)
Pn+1
Pn
• oberstes Summenglied rausziehen: k=1 f (k) = k=1 f (k) + f (n + 1)
Pn+1 2
Pn
z.B. k=1 (k + 3k) = k=1 (k 2 + 3k) + ((n + 1)2 + 3(n + 1))
Pn
• Vollständige Induktion z.z: k=1 f (k) = g(n)
P1
IA: n = 1 :P k=1 f (k) = g(1)
n
IV: Wenn k=1 f (k) = g(n) für ein n ∈ N gilt,
Pn+1
IB: dann gilt k=1 f (k) = g(n + 1)
Pn+1
(n+1)rausziehen Pn
IV
!
IS: k=1 f (k)
=
k=1 f (k) + f (n + 1) = g(n) + f (n + 1) = g(n + 1)
schauen
wir uns das an einem leichten Beispiel an:
Pn
2
k=1 2k + 1 = n + 2n
P1
!
IA: n = 1 :P k=1 2k + 1 = 2 · 1 + 1 = 3 = 12 + 2 · 1 = 3w.A.
n
2
IV: Wenn k=1 2k + 1 = n + 2n für ein n ∈ N gilt, (gezeigt für n=1),
Pn+1
IB: dann gilt k=1 2k + 1 = (n + 1)2 + 2(n + 1) = n2 + 2n + 1 + 2n + 2 = n2 + 4n + 3
Pn+1
(n+1)rausziehen Pn
IS: k=1 2k + 1
=
k=1 2k + 1 + 2(n + 1) + 1
IV
= n2 + 2n + 2(n + 1) + 1 = n2 + 4n + 3 = n2 + 2n + 1 + 2n + 2 = (n + 1)2 + 2(n + 1) q.e.d.
• Bild einer Funktion - zu Intervall I = [a, b] ist das f (I) = {f (x)|x ∈ I} sozusagen der Wertebereich
• Bilder von Kompositionen: bei zusammengesetzte Funktionen von innen nach außen das Bild bestimmen
• Ableitungen - Schulwissen(Konstanten-, Summen-, Faktor-, Potenz-, Produkt-, Qoutienten-, Kettenregel)
• l’Hospital: limx→x0
f (x)
g(x)
= limx→x0
f 0 (x)
g 0 (x)
wenn f (x0 ) = g(x0 ) = 0 oder ∞
• linksseitiger Grenzwert: limx→x− f (x) Annäherung an x0 von links, rechtsseitiger GW limx→x+ f (x)von rechts
0
0
• stetig - in x0 , wenn LGW=f (x0 )= RGW
• Unstetigkeit:
Sprung LGW 6= RGW ,
Definitionslücke LGW = RGW, f (x0 ) n.d. (wenn Zähler und Nenner gleichzeitig NS haben),
Polstelle LGW = ±∞ und/oder RGW= ±∞, f (x0 ) n.d. (Nenner hat NS)
7.
• Definitionsbereich: Schulwissen, f −1 (R)
(x)
• Verhalten im Unendlichen: limx→∞ fg(x)
an höchster Potenz ablesbar (Hochzahl hinterm x ;) ) z.B:
x+1
limx→∞ x2 −3x = 0 Nullfolge da Nenner schneller wächst als Zähler
4x2 +2
5x2 +3x
x3
limx→∞ x−1
=
limx→∞
2
= 4/5 Bruch mit x2 kürzen erzeugt Nullfolgen
∞ Zähler wächst schneller als Nenner
• Integration - Schulwissen (partielle Integration, Substitution, Faktor-, Summen-, Potenzregel)
• differenzierbar an x0 , wenn für die Ableitung gilt: LGW = f 0 (x0 ) = RGW
• Lagrange-Polynom
8.
• Reihen - unendliche Summe über eine Folge
• Wichtige Reihen:
P∞ 1
1
n=1 nα (α
n=1 n = ∞,
P∞ n
1
geometrische n=0 q = 1−q für |q| < 1
P∞ 1
exponential n=0 n!
=e
– harmonische
–
–
P∞
> 1) konvergiert
• Konvergenzkriterien
P∞
Pn
an konvergiert absolut, wenn |an | < bn und k=1 bn konvergiert
P∞
– Quotientenkrit. n=1 an konvergiert absolut, wenn lim supn→∞ aan+1
<1
n
p
P∞
– Wurzelkrit. n=1 an konvergiert absolut, wenn lim supn→∞ n |an | < 1
P∞
– Leibniz-Krit. n=1 an konvergiert, wenn an alterniert, |an | eine monoton fallende Nullfolge ist.
– Majorantenkrit.
n=1
• Maximum - Auf Extrema überprüfen, wenn Maximum außerhalb des Intervalls, dann auf Monotonie überprüfen,
dann ist Maximum am Intervallrand
3