Formelsammlung

Beschreibende Statistik
Schließende Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Modell



Schätzung
mit Risikoberechnung
Stichprobe
Relative Häufigkeit
Durchschnitt

Grundgesamtheit
Wahrscheinlichkeit
Erwartungswert
Literatur
Beichelt, F.
Stochastik für Ingenieure, Teubner (2002)
Beucher, O
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik mit MATLAB, Springer (2007)
Kühlmeyer, M
Statistische Auswertungsmethoden für Ingenieure, Springer (2001)
Sachs, L. u.a.
Angewandte Statistik, 14. Auflage, Springer (2011)
Ross, S.M.;
Statistik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Spektrum Akad. Verlag (2006)
Storm, R.
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Statistische Qualitätskontrolle
Fachbuchverlag Leipzig – Köln (1995)
Fahrmeir, L. u.a.
Statistik, 4. Auflage, Springer (2003)
Timischl, W.
Biostatistik, 2. Auflage, Springer (2000)
Das Material darf nur zu Lehrzwecken an der EAH Jena verwendet werden.
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Version Oktober 2014
Prof. J. Schütze, FH Jena
Inhalt
A Beschreibende Statistik ............................................................................................................................................................. 3
1. Grundbegriffe ........................................................................................................................................................................ 3
2. Eindimensionale Merkmale .................................................................................................................................................. 3
Häufigkeitsverteilungen ........................................................................................................................................................ 3
Statistische Maßzahlen.......................................................................................................................................................... 4
3. Mehrdimensionale Merkmale .............................................................................................................................................. 5
Diskrete Merkmale: Kontingenztabelle............................................................................................................................... 5
Zusammenhangsmaße für nominale Merkmale ................................................................................................................. 5
Zusammenhangsmaß für metrische Merkmale .................................................................................................................. 6
Lineare Regression ................................................................................................................................................................ 6
Parameterschätzung bei einigen nichtlinearen Regressionsfunktionen ........................................................................... 7
B Wahrscheinlichkeitsrechnung ................................................................................................................................................. 8
4. Grundbegriffe ........................................................................................................................................................................ 8
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ..................................................................................................................................... 8
Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ................................................................................................................... 9
5. Zufallsgrößen und ihre Verteilung ...................................................................................................................................... 9
Rechengesetze für Erwartungswert und Varianz ............................................................................................................... 9
Einige spezielle diskrete Verteilungen ............................................................................................................................... 10
Stetige Zufallsgrößen .......................................................................................................................................................... 10
Auswahl stetiger Verteilungen ........................................................................................................................................... 11
Spezielle Eigenschaften der Normalverteilung N( , 2) .................................................................................................. 11
Wichtige Verteilungen der schließenden Statistik ............................................................................................................ 12
6. Grenzwertsätze .................................................................................................................................................................... 12
C Schließende Statistik .............................................................................................................................................................. 13
7. Parameterschätzungen und Konfidenzintervalle ............................................................................................................. 13
Methoden zur Parameterschätzung ................................................................................................................................... 13
Konfidenzintervalle für die Parameter der Normalverteilung ........................................................................................ 13
Konfidenzintervalle für Parameter p der Binomialverteilung ........................................................................................ 14
8. Statistische Tests für unbekannte Parameter ................................................................................................................... 15
Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen .................................................................................................. 16
Tests über Varianz normalverteilter Zufallsgrößen ........................................................................................................ 17
Tests für Parameter p der Binomialverteilung (unbekannte Wahrscheinlichkeit) ....................................................... 18
9. Parameterfreie Tests ........................................................................................................................................................... 19
 ²-Unabhängigkeitstest ..................................................................................................................................................... 19
 ²-Anpassungstest ............................................................................................................................................................. 20
Anhang ......................................................................................................................................................................................... 21
Tabelle 1: Quantile
tm ,q der t-Verteilung .............................................................................................................................. 21
Tabelle 2: Quantile der
 2 - Verteilung ................................................................................................................................... 22
Tabelle 3a: 0.95 - Quantile der F-Verteilung ........................................................................................................................... 23
Tabelle 3b: 0.975 - Quantile der F-Verteilung .......................................................................................................................... 25
Tabelle 4: Gamma-Funktion ...................................................................................................................................................... 27
Tabelle 5: Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung
2
( x)  P( X  x) ................................................... 28
Prof. J. Schütze, FH Jena
A Beschreibende Statistik
1. Grundbegriffe
Grundgesamtheit
Stichprobe
Erhebungseinheit/
Merkmalsträger
Merkmal/
statistische Variable
mögliche Ausprägungen
Merkmalswert
Skalenniveaus
Nominalskala
Ordinalskala
Metrische Skala
alle Elemente, die prinzipiell gemessen bzw. beobachtet werden könnten
alle Elemente, die zufällig zur Messung/Beobachtung ausgewählt wurden
jedes in die Stichprobe gelangte Element
Ziel der Untersuchung/Beobachtung
Wertebereich
tatsächlich beobachteter Wert an einem konkreten Element
qualitativ, keine Ordnung
Rangfolge zwischen Ausprägungen, aber keine sinnvollen Abstände
quantitativ, durch Auszählen (diskret) oder Messen (i.a. stetig)
2. Eindimensionale Merkmale
Häufigkeitsverteilungen
Stichprobe ( x1 , x2 ,..., xn ) mit n Beobachtungen des Merkmals X, n heißt Stichprobenumfang
Diskretes Merkmal X (nominal oder ordinal mit endlich vielen Ausprägungen)
k verschiedene mögliche Ausprägungen x1 ,...xk , k  n
absolute Häufigkeit von xi
hi  h( xi )
relative Häufigkeit von xi
f i  f ( xi ) 
Anzahl des Auftretens von xi in ( x1 , x2 ,..., xn )
h( xi )
, 1 i  k
n
Stetiges Merkmal X (mögliche Ausprägungen sind alle reellen Werte eines Intervalls)
Einteilung des Wertebereichs in k Klassen K i gleicher Breite, 1  i  k , k  n (Faustregel)
absolute Klassenhäufigkeit von K i
relative Klassenhäufigkeit von K i
hi  h( K i )
Anzahl der ( x1 , x2 ,..., xn ) in K i
h( K i )
f i  f ( Ki ) 
, 1 i  k
n
k
Eigenschaften
k
 hi  n
 fi  1
i 1
i 1
Bei ordinalen und metrischen Merkmalen kann eine Summenhäufigkeitsfunktion berechnet werden.
H ( x )   h( K j ) ,
absolute Summenhäufigkeit
j i: xKi
relative Summenhäufigkeit
F ( x) 

j i: xKi
f (K j )
Histogramm: Diagramm mit Klassenhäufigkeiten in y-Richtung über den Klassen in x-Richtung
Empirische Verteilungsfunktion (für stetige Merkmale)
Anzahl der Stichprobenwerte  x
F ( x) 
n
3
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Statistische Maßzahlen
x(1) ,..., xn  geordnete Stichprobe vom Umfang n, d.h. xmin  x(1)  ...  x( n )  xmax
empirisches  -Quantil, 0    1
( x k   x k 1 ) / 2
~
x  
 x k 
k  n   ganz
k 1 n  k
Ein Quantil teilt den Bereich zwischen kleinstem und größtem Stichprobenwert so, dass links davon etwa
·100%, rechts davon etwa (1-)·100% der Werte liegen.
Quartile: unteres Quartil bei  = 0.25, Median bei  = 0.5, oberes Quartil bei  = 0.75
Quartilsabstand: Abstand zwischen oberem und unterem Quartil
Boxplot
Grafische Darstellung der Verteilung einer Stichprobe durch die Stichprobenkennwerte:
Quartile, min und max der Werte im Normalbereich sowie eventuell vorhandene Extremwerte
Normalbereich: unteres Quartil – 1.5*Quartilsabstand bis oberes Quartil + 1.5*Quartilsabstand
Achtung: Normalbereich ist im Boxplot nicht eingezeichnet! Werte außerhalb des Normalbereichs werden
im Boxplot separat dargestellt (ausreißerverdächtige Extremwerte).
Boxplot bei Stichprobe mit extremen Werten
x0.25
x0.75
x0.5
*
extreme
Werte
min
x0.25
x0.5
x0.75
max
*
min, max im Normalbereich
extreme
Werte
extreme
Werte
Lagemaße
extreme
Werte
25%
50%
25% der Werte
Alle Werte liegen im Normalbereich.
Streuungsmaße
Arithmetisches
Mittel
x
1 n
 xi
n i 1
mit absoluten.
Häufigkeiten
x
1 k *
 xi hi ( xi* )
n i 1
Median
Boxplot bei Stichprobe ohne extreme Werte
~
x~
x 0, 5
Empirische Varianz
1 n
 ( xi  x ) 2
n  1 i 1
1 n 2
2

  ( xi  nx 
n  1  i 1

k
1 
* 2
*
2
s2 
  ( xi ) hi ( xi )  nx 
n  1  i 1

Standardabweichung
Variationskoeffizient
(bei positiven Werten)
Standardfehler
s   s2
s
v
x
s
sx 
n
Quartilsabstand
~
d0.5  ~
x0.75  ~
x0.25
s2 
Die aus den Stichprobenwerten berechneten Kenngrößen nennt man auch empirische Kenngrößen, um
sie von den entsprechenden Lage- und Streuungsmaßen der Grundgesamtheit zu unterscheiden..
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Prof. J. Schütze, FH Jena
3. Mehrdimensionale Merkmale
Diskrete Merkmale: Kontingenztabelle
Zwei nominale oder ordinale Merkmale X und Y werden am gleichen Objekt gemessen,
X mit p Ausprägungen x1,...,xp; Y mit q Ausprägungen y1,...,yq
Dimension der Kontingenztabelle: p Zeilen, q Spalten
Zelleninhalt nik in der i-ten Zeile und k-ten Spalte: Anzahl der Kombinationen (xi, yk )
Stichprobenumfang n ist gleich der Anzahl der Messwertpaare
Y1
y2
X
x1
Y
n11
x2
n21
...
yq
Randverteilung von X
(Zeilensummen)
n12
n1q
n1.   n1k
n22
n2q
q
k 1
q
n2.   n2 k
k 1

xp
Randverteilung von Y
(Spaltensummen)
np1
np2
p
n.1   ni1
i 1
empirische Randverteilungen
von X (Zeilensummen):
von Y (Spaltensummen):
npq
q
n p.   n pk
p
p
n. q   niq
n.2   ni 2
i 1
i 1
n    nik
absolute Häufigkeiten
ni. = h(xi)
n.k = h(yk)
Bedingte Häufigkeiten
von X unter der Bedingung Y= yk
h(yk)
von Y unter der Bedingung X= xi
k 1
p q
i 1 k 1
relative Häufigkeiten
f(xi)= h(xi)/n
f(yk)= h(yk)/n
f(X = xi /Y = yk) = nik / n.k , i=1,...,p
Spalte von Y= yk , normiert mit Spaltensumme
entspricht Einschränkung auf Y = yk
f(Y = yk /X = xi) = nik / ni. , k=1,...,q
Zeile von X = xi , normiert mit Zeilensumme h(xi)
entspricht Einschränkung auf X = xi
Empirische Unabhängigkeit der Merkmale X,Y liegt vor, falls
nik = ( ni. n.k )/n für alle i, k
Zusammenhangsmaße für nominale Merkmale
beobachtete Zellhäufigkeiten: nik
bei Unabhängigkeit erwartete Zellhäufigkeiten nˆ ik 
ni . n.k
n
(nik  nˆ ik ) 2
nˆ ik
i 1 k 1
p
q
Chi-Quadrat-Maß
2  
Kontingenzkoeffizient
C
Korrigierter Kontingenzkoeffizient
C korr  C
2
2 n
d
, wobei d  min( p, q) gilt
d 1
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Prof. J. Schütze, FH Jena
Zusammenhangsmaß für metrische Merkmale
Pearsonscher Korrelationskoeffizient (empirischer)
r
 ( X  X )(Y  Y )
 ( X  X )  (Y  Y )
i
i
2
i
2

 n X
i
n ( X iYi )   X i  Yi
  Xi 
2
i
2
  n Y
i
2
   Yi 
2
 X Y  nXY
  X  nX   Y


i i
2
2
i
2
i
 nY 2 
Für r  1 besteht ein perfekter linearer Zusammenhang zwischen X und Y.
Zusammenhangsmaß für ordinale Merkmale oder metrische mit Ausreißern
R( xi ) : Platznummer von xi bei aufsteigend geordneten Werten von X
R( yi ) : Platznummer von y i bei aufsteigend geordneten Werten von Y
treten dabei Werte mehrfach auf, erhalten sie alle den gleichen mittleren Rang (Rangbindungen)
Rangkorrelationskoeffizient von Spearman
 ( R( x )  R )(R( y )  R )
 ( R( x )  R )  ( R( y )  R )
 ( R( x ) R( y )  nR
 R( x )  nR  R( y )
6 d
Falls keine Rangbindungen vorliegen, gilt r  1   ,
rs 
i
2

i
2
i
2
i
2
i
i
2
i
i
2
i
n(n2  1)
s
2
 nR 2

mit R 
n 1
2
di  R( xi )  R( yi )
Für rs  1 besteht ein monotoner Zusammenhang zwischen X und Y.
Lineare Regression
für Beschreibung des linearen Zusammenhangs kardinaler Merkmale X, Y mit hoher Korrelation
y  a0  a1 x
Ansatz:
Optimalitätskriterium ist die Methode der kleinsten Quadrate (MKQ)
  y  a
n
i
i 1
0

 a1 xi   min,
2
Residuen
yi  a0  a1 xi  sind die vertikalen Abstände der Messpunkte von der Geraden
Normalengleichungen zur Bestimmung der Parameter a 0 , a1 (summiert wird stets von i = 1 bis n )
x y  a x a x
 y  a n  a x
i
i
0
i
0
i
1
1
i
2
i
Parameterschätzung
n x i y i   x i  y i
a1 
n x i 
2
 x 
i
i
1
i
i
2
2
 a0 ))   (a1 X i  a0  Y )
2
2
i
i
i
i
‚Varianz‘zerlegung  (Y  Y )   (Y  (a X
i
x  y x x y
n x    x 
2
a0 
2
i

1
n
 y  a  x   y  a x
i
1
i
1
i
2
Bestimmtheitsmaß der linearen Regression
R
2
 (a X  a  Y )

 (Y  Y )
1
i
2
0
2
i
Das Bestimmtheitsmaß ist der Anteil an Varianz der y-Werte, der durch die Regression erklärt wird.
Bei perfekter Anpassung ist das Bestimmtheitsmaß gleich 1.
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Zusammenhang zum Pearsonschen Korrelationskoeffizienten r
Es gilt r 2  R 2
Schätzgröße für Streuung der Residuen (root mean square error)
RMSE 
(y
i
 (a0  a1 xi )) 2
n p
, p ist die Anzahl der geschätzten Regressionskoeffizienten
Parameterschätzung bei einigen nichtlinearen Regressionsfunktionen
Quadratische Regression Y  a0  a1 X  a2 X 2
a0  n  a1   X  a2   X 2
Y 
 XY  a0  X  a1  X 2  a2  X 3
 X 2Y  a0  X 2  a1  X 3  a2  X 4
Die Parameter erhält man als Lösung dieses Normalengleichungssystems.
Potenzansatz Y  a  X b
 (log X )2  log Y   log X   log X  log Y
n (log X ) 2  (  log X ) 2
n log X  log Y   log X   log Y
b
n (log X ) 2  ( log X ) 2
log a 
Exponentenansatz Y  a  b X (analog für y  aecx mit b  ec )
 X 2  log Y   X   X  log Y
n X 2  ( X ) 2
n X  log Y   X   log Y
log b 
n X 2  ( X ) 2
log a 
27
k
, k muss bekannt sein (Sättigungsgrenze)
1  e a bX
k

k

 X 2  ln   1   X   X  ln   1
Y

Y

a
2
2
n X  ( X )
Logistischer Ansatz Y 
k

k

n  X  ln   1   X   ln   1
Y
Y




b
2
2
n X  ( X )
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B Wahrscheinlichkeitsrechnung
4. Grundbegriffe
Zufallsexperiment
unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbares Experiment mit
ungewissem Ausgang,
wobei die Menge der möglichen Versuchsausgänge bekannt ist
Elementarereignis
elementarer Versuchsausgang: ,
Elementarereignisse schließen sich gegenseitig aus
Ergebnismenge
Menge aller Elementarereignisse: 
Zufälliges Ereignis
Teilmenge der Ergebnismenge
Das Ereignis  ist das sichere Ereignis, das stets eintritt.
Ereignis A tritt ein, wenn der beobachtete Versuchsausgang  ein Element von A ist.
Die leere Menge  beschreibt das unmögliche Ereignis, das nie eintritt.
Komplementärereignis A   \ A tritt genau dann ein,
wenn A nicht eintritt.
Zwei Ereignisse A, B heißen unvereinbar oder disjunkt,
wenn sie keine gemeinsamen Elementarereignisse besitzen,
AB=
Ereignis A zieht Ereignis B nach sich, wenn A  B gilt.
Ereignis A  B (Vereinigung) tritt ein, wenn mindestens eins
der Ereignisse A, B eintritt (A  B).
Ereignis A  B (Durchschnitt) tritt ein, wenn beide
Ereignisse A, B eintreten (A  B).
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Additionssatz allgemein
Spezialfall: disjunkte Ereignisse
P()  1
P()  0
A  B  P( A)  P( B)
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
P( A  B)  P( A)  P( B), falls A  B  
Spezialfall:  diskret
P( A) 
Komplementäres Ereignis
P( A )  1  P( A)
P( A \ B)  P( A)  P( A  B)
Anzahl der Elementarereignisse von A
P( A) 
Anzahl der Elementarereignisse von 
Sicheres Ereignis 
Unmögliches Ereignis Ø
Monotonie
Differenz
Laplacesche Wahrscheinlichkeit:  endlich,
Elementarereignisse gleichwahrscheinlich.
8
 P( )
A
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Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, P(B) > 0
P( A  B)
falls P(B)>0
P( A / B) 
P( B)
Stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse A, B
P( A / B)  P( A) bzw. P( B / A)  P( B) bzw. P( A  B)  P( A)  P( B)
Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
P( A  B)  P( A / B )  P ( B )
P( A  B)  P( A)  P( B), falls A, B unabhängig
Multiplikationssatz
Spezialfall: unabhängige Ereignisse
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
  B1  B2  ...  Bn , Bk paarweise disjunkt
n
P( A)   P( A / Bk )  P( Bk )
k 1
P( Bi / A) 
Bayessche Formel
  B1  B2  ...  Bn ,Bk paarweise disjunkt
P( A / Bi )  P( Bi )
n
 P( A / B )  P ( B )
k 1
k

P( A / Bi )  P( Bi )
P( A)
k
5. Zufallsgrößen und ihre Verteilung
Zufallsgröße: Als Ergebnis eines Zufallsexperiments  wird eine (reelle) Größe X () betrachtet.
Diskrete Zufallsgrößen:
Wertebereich x1 ,...,xn ,... , endlich oder abzählbar unendlich
Verteilung
p k  P( X  x k ) ,
p
k
 1 (Wahrscheinlichkeitsfunktion)
k
Wahrscheinlichkeiten
P( X  A) 
 P( X  x )
xk A
Erwartungswert
k
EX   xk  P( X  xk )
k
Varianz
VarX   ( xk  EX )2  P( X  xk )  EX 2  ( EX )2
k
Standardabweichung
s   VarX (Streuung)
Unabhängigkeit: Zwei diskrete Zufallsgrößen X und Y mit Werten x1 , x2 ,... bzw. y1 , y2 ,...
sind unabhängig, falls P( X  x j , Y  yk )  P( X  x j )  P(Y  yk ) für beliebige j und k gilt.
Rechengesetze für Erwartungswert und Varianz
a , b konstant
X Zufallsgröße
X, Y Zufallsgrößen
X , Y unabhängig
Erwartungswert
Ea  a
E  aX   a E X
E  aX  b  a E X  b
E  X  Y  E X  E Y
E  X  Y  E X E Y
Varianz
Var a  0
Var  aX   a 2 Var X
Var  aX  b  a 2 Var X
Var  X  Y   Var X  Var Y + 2Cov(X,Y)
Var  X  Y   Var X  Var Y
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Einige spezielle diskrete Verteilungen
Verteilung
Parameter
Gleichverteilung
Binomialverteilung
Hypergeometr.
Verteilung
Poissonverteilung
Geometrische
Verteilung
n
Einzelwahrscheinlichkeiten Erwartungswert
P( X  k )
n 1
1/ n , k = 1,…,n
N, M , n
N  M, n  N
n k
nk
  p (1  p) , k  1,..., n
k
 
 M  N  M   N 
 
 /   , k  1,..., n
 k  n  k   n 

k
n, p
k!
p
e  , k  0,1,...
2
np
Varianz
1 2 1
n 
12
12
np(1  p)
M
N
Mn
N
n


1
p
1 p
p2
(1  p)k 1 p, k  1, 2,...
 M
 1 
N

Näherungsformeln
Näherung der hypergeometrischen durch die Binomialverteilung
Faustregel: n ≤ 0.05∙N
oder (nach Sachs): n < 0.1 N, M < 0.1 N, N > 60
 M  N  M 
 

M
 k  n  k    n  p k 1  p n k mit p 
lim


N
N
N 
k 
 
n
Näherung der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung
Faustregel: n > 10, p < 0.05
n
k
lim   p k (1  p ) n k  e  mit   np
n  k
k!
  n p  
Stetige Zufallsgrößen
Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn sie alle reellen Werte eines Intervalls annehmen kann.
Verteilungsfunktion
Intervallwahrscheinlichkeit
F ( x)  P( X  x)
P(a  X  b)  P(a  X  b)  F (b)  F (a)
P(  X  b)  F (b)
P(a  X  )  1  F (a)

Dichte
f ( x)  0 ,
 f ( x)dx  1

Erwartungswert
EX   x  f ( x )dx
Varianz
VarX   ( x  EX )2  f ( x)dx   x 2  f ( x)dx  ( EX )2
 EX 2  ( EX )2
Standardabweichung (Streuung)
s   VarX
Quantil der Ordnung , 0 < < 1
u mit P( X  ua )  
10
 N n

 N 1
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Zusammenhang von Dichte und Verteilungsfunktion
x
F ( x) 

f (t )dt  P( X  x)

f ( x)  F '( x)
Unabhängigkeit stetiger Zufallsgrößen
X, Y sind unabhängig, falls für alle reellen Zahlen x, y gilt
P( X  x, Y  y)  P( X  x)  P(Y  y)
Auswahl stetiger Verteilungen
Verteilung
Gleichverteilung
Parameter
a, b
Exponentialverteilung
Normal
Verteilung

Weibullverteilung
T, b
Dichte f(x)
VerteilungsFunktion F(x)
Erwartungs- Varianz
wert
 1

b  a

0
xa
0
xa

a xb

b  a
xb
1
ab
2
b  a 
x0
0

 x
x0
1  e
1

1
2
2
1 
T    1
b 
2 
T 2    1 
b 
n

  1 
T     1 
  b 
n
2
a xb
sonst
x0
0
  x
 e
, 
 x   2

1
2
x0
2
e
bx
 
T T 
x

( x) 
2 2
f (t )dt

2
12

b
b
b 1
e
x
 
T 
, x0
1 e
x
 
T 
, x0
2
2
Erlangverteilung
, n

(x)n 1 x
e
(n  1)!
(x ) k
k!
k 0
n 1
e 
Γ(x): Gamma-Funktion (Tabelle s. Anhang), speziell ist
(n)  (n  1)! für n  , somit (1)  1, (2)  1, (3)  2, …
1
1  3  5  ...  (2n  1)

(1/ 2)   ,   3 / 2    / 2, (5 / 2)  3  / 4 ,   n    
2
2n

()  (  1)(  1)
Spezielle Eigenschaften der Normalverteilung N(, 2)
Eine Zufallsgröße X  N   ,  2  heißt standardnormalverteilt, wenn   0,  2  1 gilt.
X 
Für X  N   ,  2  ist Z 
 N 0,1 standardnormalverteilt, Z ~ N  0,1 (Tab. der VF  Anhang)

Intervallwahrscheinlichkeiten
 b  
 a  
P ( a  X  b)   
  

  
  
a 
P ( a  X )  1  

  
b
P ( X  b)  

  
11
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k--Regel für normalverteilte Zufallsgrößen X  N   ,  2  : P( X    k)  2(k )  1 ,
P(     X     )  0.6826
für k = 1, 2, 3
P(   2  X    2 )  0.9544
P(   3  X    3 )  0.9973
Additionssatz für unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen X i ~ N (i ,  i2 ), 1  i  n
n
 n
2
X
~
N

,

i
  i  i 
i 1
i 1
 i 1

n


Seien X 1 ,... X n unabhängig, identisch verteilt nach N ,  2 , dann gilt für den Mittelwert
X 
 2 
1
X
 i  N  , 
n
 n 
Wichtige Verteilungen der schließenden Statistik
χ²-Verteilung (n FG)
2n  Z12  ...  Z n2
mit Z i ~ N(0, 1), unabhängig
T-Verteilung (n FG)
Tn  Z / 2n / n
mit Z ~N(0, 1),  2n ~ χ², unabhängig von Z
F-Verteilung (n, m FG)
Fn,m  (2n / n) /(2m / m)
mit 2n , 2m ~ χ², unabhängig
Die Quantile dieser Verteilungen liegen in Tabellen vor, s. Anhang..
6. Grenzwertsätze
Zentraler Grenzwertsatz
Sei X1 , X 2 ,... eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen, EX i   , VarX i   2
n
X i  n
X  
i 1

Dann ist Z n 
für n   standardnormalverteilt (Faustregel: n > 30).
/ n
 n
Grenzwertsatz von Moivre-Laplace
X  np
für n  
np(1  p)
der Standardnormalverteilung. Es gilt (mit Stetigkeitskorrektur)
 x  np  0.5 
 x  np  0.5 
P( x1  X  x2 )    2
 1

 ,



npq
npq




9
(Faustregel: n 
, bei p  0.5 auch n  p  5 )
p(1  p)
Sei X~Bin(n,p), dann nähert sich die Verteilung von Z n 
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Sei  X n n1,2,... eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen mit EX n  , VarX n  2 ,
dann gilt für alle  > 0
 1 N

lim N  P   X n       0
 N n 1

12
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C Schließende Statistik
7. Parameterschätzungen und Konfidenzintervalle
Methoden zur Parameterschätzung
Stichprobenfunktion
Parameter der Grundgesamtheit
Relative Häufigkeit
f n ( xk )
Wahrscheinlichkeit
P( X  xk )
Mittelwert
x   xk f n ( xk )
Erwartungswert
EX   xk P( X  xk )
k
k
n
s2 
 ( xk  x ) 2 f n ( xk ) Varianz
n 1 k
empirische Varianz
VarX   ( xk  EX ) 2 P( X  xk )
k
empir. Standardabw. s   s
Standardabweichung    VarX
Die Kennzahlen der Stichprobe verwendet man für eine Schätzung der entsprechenden Parameter der
Verteilung in der Grundgesamtheit.
2
Momentenmethode
k-tes Moment einer Zufallsgröße X: M k  EX k
1
n
k-tes empirisches Moment (aus Stichprobe): mk  ( x1k  ...  xnk )
Schätzungen für die i Parameter einer Verteilung nach der Momentenmethode gewinnt man durch
Gleichsetzen von M k  mk für 1  k  i .
Maximum-Likelihood-Methode
Man maximiert die gemeinsame Dichte f ( x1 ,...xn , ) , wobei  für den Vektor der Verteilungsparameter
steht, indem man die partiellen Ableitungen nach den Parametern gleich Null setzt.
Berechnung der Verteilung von Schätzfunktionen
Konkrete Stichprobe
x1, . . . , xn (Messreihe)
Mathematische Stichprobe X1, . . . , Xn (unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen, Modell)
Die konkrete Stichprobe entsteht durch Beobachtung der mathematischen Stichprobe bzw. als n
unabhängige Realisierungen der Zufallsgröße X.
Damit kann man aus der Verteilung von X oft die Verteilung geeigneter Schätzfunktionen ableiten, z.B.
gilt bei NV
1 n
 2 
X   X i ~ N  , 
n i 1
 n 
Daraus kann man einen Bereich konstruieren, der den unbekannten Parameter mit vorgegebener Sicherheit
 überdeckt, den man Konfidenzintervall zur Sicherheit 1 -  nennt.
Konfidenzintervalle für die Parameter der Normalverteilung
Bezeichnungen
n
Stichprobenumfang
Irrtumswahrscheinlichkeit, Risiko

1   Sicherheit
Quantil der Standardnormalverteilung der Ordnung 1   , ( 1   /2)
z1 , ( z1 / 2 )
tn ,1 , ( tn,1 / 2 )
Quantil der t-Verteilung mit n Freiheitsgraden der Ordnung 1   , ( 1   /2)
 n2,1 , (  2n,1 / 2 )
Quantil der  2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden der Ordnung 1   , ( 1   /2)
13
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KI für Erwartungswert  bei bekannter Standardabweichung  zur Sicherheit 1  
Zweiseitiges KI

 

, x  z1 / 2
 x  z1 / 2

n
n

Einseitiges oben offenes KI



, 
 x  z1
n


Einseitiges unten offenes KI
 

  , x  z1

n

KI für Erwartungswert  bei unbekannter Standardabweichung  zur Sicherheit 1  
Zweiseitiges KI
s
s 

, x  tn1,1 / 2
 x  tn1,1 / 2

n
n

Einseitiges oben offenes KI
s


, 
 x  tn1,1
n


Einseitiges unten offenes KI
s 

  , x  tn1,1

n

Notwendiger Stichprobenumfang für maximale Länge L des Intervalls für  ( bekannt)
2
 2 z1 / 2   
n

L


KI für Varianz ² , Sicherheit 1  
 n 1 2 n 1 2 
 2
s , 2
s 



n

1
,
1


/
2
n

1
,

/
2


KI für Standardabweichung , Sicherheit 1  

n 1
n  1 

s
,
s
  n21,1 / 2
 n21, / 2 

Die gleichen Vorschriften führen zu asymptotischen Konfidenzintervallen, wenn keine Normalverteilung
vorliegt, aber der Stichprobenumfang größer als 30 ist.
Konfidenzintervalle für Parameter p der Binomialverteilung
Bezeichnungen
n
Stichprobenumfang,
Sicherheit
1
Quantil der Standardnormalverteilung der Ordnung 1   / 2
c  z1 / 2
k
Anzahl des Auftretens des Ereignisses in der Stichprobe (absolute Erfolgshäufigkeit)
k
pˆ 
relative Erfolgshäufigkeit, Schätzung für p
n
Asymptotische Konfidenzintervalle für p
k  50, n  k  50
c

 pˆ 
n

c
pˆ (1  pˆ ) , pˆ 
n
np(1  p)  9

c2
k 2 c2
c2
k 2 c2 
k  c k   
 k  c k  
2
n 4 ,
2
n 4 


n  c2
n  c2



pˆ (1  pˆ ) 

Exaktes Konfidenzintervall für p

(k  1) Fg1 , g2 ,1 / 2
k
,

 k  (n  k  1) Ff , f ,1 / 2 n  k  (k  1) Fg , g ,1 / 2
1 2
1 2





F: Quantil der F-Verteilung der Ordnung 1   / 2
mit entsprechenden Freiheitsgraden:
f1  2(n  k  1), f 2  2k , g1  2(k  1), g2  2(n  k )
Notwendiger Stichprobenumfang für max. Länge 2 des asymptotischen Konfidenzintervalls
2
1c
ohne Information über Größenordnung von p
n  
4  
2
wenn Größenordnung p̂ bekannt
14
c
n    pˆ (1  pˆ )
 
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Asymptotisches Konfidenzintervall für Parameter λ der Poissonverteilung

1 2
1
1 2
1 2
1
1 2
z1 / 2 
z1 / 2 X 
z1 / 2 , X 
z1 / 2 
z1 / 2 X 
z1 / 2
 X 
2n
4n
2n
4n
n
n




Asymptotisches Konfidenzintervall für Parameter λ der Exponentialverteilung
  22 n , / 2 22 n ,1 / 2 
,
 n

n
2 X

  i 2 X i 
i

1
i

1


8. Statistische Tests für unbekannte Parameter
Test-Schema
am Beispiel des Mittelwertvergleichs    0 bei Normalverteilung mit bekanntem ,  0 Referenzwert
Nullhypothese
H 0 :   0
Alternativhypothese (zweiseitig)
H1 :    0
Irrtumswahrscheinlichkeit

X  0
Testgröße, unter Gültigkeit von H 0 ist T standardnormalverteilt
T
/ n
T  z1 / 2
Fehler 1. Art
Fehler 2. Art
Ablehnbereich von H 0 , z1 / 2 (1   / 2 )-Quantil der Standardnormalverteilung
d.h. wenn der aus der Stichprobe berechnete Wert t der Testgröße diese Bedingung
erfüllt, wird die Nullhypothese abgelehnt.
Wahrscheinlichkeit, dass eine Ablehnung von H 0 erfolgt; obwohl H 0 richtig ist,
(nicht vorhandener Unterschied gefunden) ist bei diesem Verfahren maximal
Wahrscheinlichkeit, dass keine Ablehnung von H 0 erfolgt; obwohl H 0 falsch ist,
(vorhandener Unterschied wird übersehen)
äquivalente Testentscheidung anhand von p-Werten (Variante bei Rechnung mit Computer)
t
aus Stichprobe berechneter Wert der Testgröße T
p-Wert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Testgröße T unter H 0 einen extremeren
p  P( T  t )
Wert als das aus den Stichprobenwerten berechnete t annimmt
Ablehnung von H 0 , wenn p   gilt
Wenn die Nullhypothese wahr ist, liegt der aus der Stichprobe berechnete Wert t der Testgröße T mit
Wahrscheinlichkeit  im Ablehnbereich T  z1 / 2 = (,  z1 / 2 )  ( z1 / 2 , ) . Eine ungerechtfertigte
Ablehnung von H 0 erfolgt somit maximal mit Irrtumswahrscheinlichkeit  .
Fehlermöglichkeiten bei der Testentscheidung
H0 richtig
H0 falsch
H0 abgelehnt
Fehler 1. Art: 
richtige Entscheidung
H0 nicht abgelehnt
richtige Entscheidung
Fehler 2. Art: 
Interpretation
 Von beiden Wahrscheinlichkeiten bei Fehlentscheidung kann nur  vorgegeben werden, d.h. die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine richtige Nullhypothese abgelehnt wird.
 Eine Irrtumswahrscheinlichkeit  besagt, dass man bei 100 Tests mit der Ablehnung der Nullhypothese nach diesem Verfahren in etwa 100 Fällen einen Fehler macht.
 Je kleiner  gewählt wird, desto größer ist der mögliche Fehler , der bei Nichtablehnung der
Nullhypothese entsteht.
15
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 Die Wahrscheinlichkeit  für die Beibehaltung der falschen Nullhypothese (vorhandener Unterschied
wird übersehen) kann für jeden alternativen Referenzwert 1 der Alternativhypothese und dem
Stichprobenumfang n berechnet werden. Durch Umstellen dieser Formel erhält man einen Mindeststichprobenumfang n, der die Einhaltung vorgegebener Werte für  und  sichert (Fallzahlplanung).
Tests über Mittelwerte normalverteilter Zufallsgrößen
Bezeichnungen
Stichprobenumfänge: n, nx , ny
Mittelwertschätzungen: X  1
nx
Varianzschätzungen: sx2  1
nx
X
i 1
i
Y 
1
ny
ny
Y
i
i 1
nx
 ( X i  X )2 , sy2 
nx  1 i 1
gepoolte Varianz s g2 
Risiko: 
Quantile:
zq
n
y
1
(Yi  Y )2

ny  1 i 1
(nx  1) s x2  (n y  1) s 2y
nx  n y  2
Quantil der Ordnung q der Standardnormalverteilung
t m, q Quantil der Ordnung q der t-Verteilung mit m Freiheitsgraden (m ganzzahlig)
t f ,q Quantil der Ordnung q der t-Verteilung mit f Freiheitsgraden, wobei
f 
( s x2 / n x  s y2 / n y ) 2
( s x2 / n x ) 2 /( n x  1)  ( s y2 / n y ) 2 /( n y  1)
(abrunden!) FG für Welch-Test
Einstichprobentests
Vergleich  mit Referenzwert  0 ; 2 bekannt (Gauß-Test)
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße
Ablehnkriterium
T  z1 / 2
H 0 :   0
H1 :   0
X  0
T

T   z1
H1 :    0
H 0 :   0
/ n
~ N(0, 1)
H1 :    0
T  z1
H 0 :   0
Vergleich  mit Referenzwert  0 , 2 unbekannt (T-Test)
Nullhypothese Alternativhypothese Testgröße
Ablehnkriterium
H1 :    0
H 0 :   0
X  0
T  t n 1,1 / 2
H 0 :   0
H 0 :   0
H1 :    0
H1 :    0
T
s/ n
H0
~ tn 1
T  t n 1,1
T  t n 1,1
Zweistichprobentests
Vergleich  D   x   y mit 0;  2D unbekannt; X, Y verbunden, D = X – Y
Nullhypothese
H0 : D  0
Alternativhypothese
H1 :  D  0
H0 : D  0
H1 :  D  0
H0 : D  0
H1 :  D  0
Testgröße
T
d
n
sD
H0
~ tn 1
Ablehnkriterium
T  t n1,1 / 2
T  t n1,1
T  t n1,1
mit di  xi  yi , d arithmetisches Mittel, , sD empirische Standardabweichung der Werte der d i .
16
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Vergleich  x mit  y ;  ,  unbekannt, aber gleich; X, Y nicht verbunden (doppelter T-Test)
2
x
Nullhypothese
2
y
H0 :  x   y
Alternativhypothese
H1 :  x   y
H0 :  x   y
H1 :  x   y
H0 :  x   y
H1 :  x   y
Testgröße
T
X Y
sg
Ablehnkriterium
T  t n n 2,1 / 2
nx n y
x
nx  n y
y
T  t n x  n y  2,1
T  t n x  n y  2,1
H0
~ ~ t nx  n y  2
Vergleich  x mit  y ; 2x , 2y unbekannt, verschieden; X, Y nicht verbunden (Welch-Test)
Nullhypothese
H0 :  x   y
Alternativhypothese
H1 :  x   y
H0 :  x   y
H0 :  x   y
Testgröße
Ablehnkriterium
T  t f ,1 / 2
H1 :  x   y
2
sx2 s y
T  (X Y ) /

nx n y
T  t f ,1
H1 :  x   y
~ t f (asymptotisch)
T  t f ,1
Planung des Stichprobenumfangs


L
Fehler 1. Art, d.h. Wahrscheinlichkeit für Ablehnung von H 0 , obwohl H 0 richtig ist
Fehler 2. Art, d.h. Wahrscheinlichkeit für Beibehaltung von H 0 , obwohl H 0 falsch ist
statistisch relevanter Unterschied zwischen den Parametern  und  0 bzw.  x und  y
d.h. Mittelwertdifferenzen kleiner als L sind praktisch vernachlässigbare Unterschiede
Mindeststichprobenumfang zur Einhaltung von  ,  bei gegebenem L und bekanntem  2
Vergleich  mit  0
(Einstichprobentest)
Zweiseitiger Test
Einseitiger Test
n  n0 
n  n0 
( z1 / 2  z1 ) 2
2
L
( z1  z1 ) 2
2
L
Vergleich  X mit  Y
(Zweistichprobentest)*

n  n0  2
2
( z1 / 2  z1 )2
n  n0  2
2
L2
( z1  z1 ) 2
2
L
2
2
* n  n1  n2  20
Tests über Varianz normalverteilter Zufallsgrößen
Einstichprobentest
Vergleich  2 mit 02 (Referenzwert)
Nullhypothese
Alternativhypothese
H0 :   
H1 :   
2
2
0
2
2
0
H 0 :  2  02
H1 :  2  02
H 0 :  2  02
H1 :  2  02
Testgröße
Ablehnbereich
2
2
T  (n  1)s 2 / 02 T   n1,1 / 2 oder T   n1, / 2
H0
T   2n1,
2
~  n 1
asy
T   2n1,1
Zweistichprobentest
Vergleich 12 mit  22
Nullhypothese
Alternativhypothese
H0 :   
H1 :   
2
1
2
2
H 0 : 12   22
H 0 : 12   22
2
1
2
2
H1 : 12   22
H1 : 12   22
Testgröße
T  s x2 / s y2
H0
~ Fnx 1,ny 1
Ablehnbereich
T  Fnx 1,n y 1,1 / 2 oder T  Fnx 1,n y 1, / 2
T  Fnx 1,n y 1,
T  Fnx 1,n y 1,1
17
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Schreibt man in der Testgröße den größeren der Werte in den Zähler bei entsprechender Anpassung von
nx , ny , vereinfacht sich der Ablehnbereich des zweiseitigen Tests zu T  Fn 1,n 1,1 / 2 .
x
y
Tests für Parameter p der Binomialverteilung (unbekannte Wahrscheinlichkeit)
Bezeichnungen
1 falls A eingetreten
Stichprobe X 1 ,..., X n mit X i  
sonst
0
P( X = 1) = P(A) = p, unbekannte Wahrscheinlichkeit
k:
pˆ 
Anzahl der Einsen in der Stichprobe (absolute Häufigkeit des Eintretens von A bei n Versuchen
k
relative Häufigkeit von A (Schätzung für p)
n
Einstichprobentests
Vergleich p mit p0 (Referenzwert), asymptotischer Binomialtest, (Faustregel: np(1  p)  9 )
Nullhypothese
Alternativhypothese
Testgröße
Ablehnbereich
H 0 : p  p0
H1 : p  p0
T  z1 / 2
T  (k  np0 ) / np0 (1  p0 )
T   z1
H 0 : p  p0
H1 : p  p0
H 0 : p  p0
H1 : p  p0
~ N(0, 1) (asymptotisch)
T  z1
Exakter Binomialtest (wenn Faustregel: np(1  p)  9 nicht erfüllt)
Nullhypothese
H 0 : p  p0
Alternativhypothese
H1 : p  p0
H 0 : p  p0
H1 : p  p0
H 0 : p  p0
H1 : p  p0
Testgröße
H0
k ~ Bin(n, p0)
Ablehnbereich
k  ku oder k  ko
k  ku '
k  ko '
Die Schranken k , ko , ku des Ablehnbereichs werden mit p0 aus den Wahrscheinlichkeiten. der
Binomialverteilung so berechnet, dass seine Wahrscheinlichkeit bei Gültigkeit der Nullhypothese kleiner
als  ist:
Ablehnbereich bei zweiseitigem Test
ku : P 0,..., ku    / 2 und P 0,..., ku  1   / 2 sowie ko : P ko ,..., n   / 2 und P ko  1,..., n   / 2
Ablehnbereich bei einseitigem Test H 0 : p  p0
ku ' : P 0,..., ku '   und P 0,..., ku ' 1  
Ablehnbereich bei einseitigem Test H 0 : p  p0
ko ' : P ko ',..., n   und P ko ' 1,..., n  
Zweistichprobentests
Nicht verbundene Stichproben (asymptotischer Test)
Bezeichnungen
A wird beobachtet in zwei unabhängigen Grundgesamtheiten G1 und G2
G1: Stichprobenumfang n1, k1: Anzahl der Einsen, pˆ 1  k1 / n1 Schätzung für P(A) = p1 in G1
G2: Stichprobenumfang n2, k2: Anzahl der Einsen, pˆ 2  k2 / n2 Schätzung für P(A) = p2 in G2
18
Prof. J. Schütze, FH Jena
k  k2
Schätzung für P(A) bei Gleichheit der Anteile
pˆ  1
n1  n2
Nullhypothese
H 0 : p1  p2
Alternativhypothese
H1 : p1  p2
Testgröße
H 0 : p1  p2
H1 : p1  p2
H1 : p1  p2
(1 / n1  1 / n2 ) pˆ (1  pˆ )
~ N(0, 1) asymptotisch
H 0 : p1  p2
pˆ 1  pˆ 2
T
Ablehnbereich
T  z1 / 2
T   z1
T  z1
Verbundene Stichproben (McNemar-Test)
Bezeichnungen: a, b, c, d sind absolute Häufigkeiten
Untersuchung 1
A eingetreten
A nicht eingetreten
Nullhypothese:
gleich
A eingetreten
A
C
Untersuchung 2
A nicht eingetreten
b
d
Wahrscheinlichkeit des Wechsels des Eintretens von A ist in beide Richtungen
(b  c)2
bc
T  12,1 / 2
T
Testgröße:
Ablehnbereich :
Der Test ist asymptotisch, als Faustregel für gute Näherung gilt b  c  30 .
( b  c  1) 2
Ist 30> b  c  20 , rechnet man mit der modifizierten Testgröße T 
.
bc
Bei b + c < 20 oder erwarteten Zellhäufigkeiten für die Zellen b, c kleiner als 5 rechnet man einen
Binomialtest mit N = b + c, k = b, p0 = ½.
Einseitige Tests rechnet man mit der Testgröße T  (b  c) / b  c , die unter H0 asymptotisch N(0,1) ist.
9. Parameterfreie Tests
 ²-Unabhängigkeitstest
Bezeichnungen
X, Y Zufallsgrößen mit diskreten Wertebereichen x1 ,..., x p bzw. y1 ,..., y q
Stichprobe mit n Messwertpaaren ( xi , y j )
nij : Anzahl des Auftretens der Kombination ( xi , y j ) in der Stichprobe
q
p
j 1
i 1
q
p
ni.   nij , n. j   nij , n  n..   nij , nˆ ij 
Nullhypothese:
Testgröße
Risiko
Ablehnbereich
j 1 i 1
ni.  n. j
n
X, Y unabhängig
p q (n  n
ˆ ij ) 2
ij
T  
nˆ ij
i 1 j 1

T   (2p 1)( q 1),1
Der  ²-Test kann auch für stetige Zufallsgrößen durchgeführt werden, wenn vorher eine
Klasseneinteilung erfolgte. Die Werte nij sind dann die Klassenhäufigkeiten.
19
Prof. J. Schütze, FH Jena
Achtung
Da die Testgröße nur näherungsweise  ²-verteilt ist, sollte keine der erwarteten Häufigkeiten n̂ij gleich
Null und maximal 25% kleiner als 5 sein (sonst benachbarte Klassen zusammenlegen).
 ²-Anpassungstest
Getestet wird, ob eine vorliegende Stichprobe einer Grundgesamtheit mit bestimmter Verteilung (z.B.
NV) entstammt.
Testidee: Vergleich der absoluten Häufigkeiten Oi geeigneter Ereignisse mit den unter der Testverteilung
erwarteten Häufigkeiten Ei dieser Ereignisse
Bei diskreter Testverteilung entsprechen diese Ereignisse den Realisierungen der Zufallsgröße, eventuell
werden dabei benachbarte Realisierungen zu einem Ereignis zusammengefasst.
Bei stetiger Testverteilung erfolgt Klasseneinteilung (analog Histogramm, aber mit offenen Randklassen).
Die Ereignisse entsprechen diesen Klassen, wobei eventuell benachbarte Klassen zusammengefasst
werden.
n: Stichprobenumfang,
k: Anzahl der Realisierungen (diskret) bzw. Anzahl der Klassen (stetig)
Oi : absolute Häufigkeit der i-ten Realisierung bzw. der i-ten Klasse
Ei : entsprechend der Testverteilung zu erwartende Häufigkeit, Ei  pi  n
dabei werden gegebenenfalls die p unbekannten Parameter der Verteilung aus der Stichprobe geschätzt
(z.B. bei NV mit Schätzung von Erwartungswert und Varianz: p = 2)
Nullhypothese:
Testgröße:
Risiko
Ablehnbereich
Testverteilung liegt vor
k
(Oi  Ei )2
T 
, unter H 0 : T ~ 2k 1 p
Ei
i 1

T  2k 1 p ,1
Achtung
Im Unterschied zu anderen Tests ist man hier i.a. nicht an einer Ablehnung der Nullhypothese interessiert!
Da man den dafür zuständigen  -Fehler nicht kennt, hat man das Vorliegen der Testverteilung nicht mit
statistischer Sicherheit nachgewiesen.
Man geht bei Nichtablehnung der Nullhypothese davon aus, dass die Stichprobenwerte nicht gegen das
Vorliegen der Testverteilung sprechen.
Um den  -Fehler klein zu halten, wählt man aus diesem Grund den  -Fehler oft größer als 0.05.
20
Prof. J. Schütze, FH Jena
Anhang
Tabelle 1: Quantile
tm ,q der t-Verteilung
m: Anzahl Freiheitsgrade, q: Quantilordnung,
tm , q
f
t ,m
( x)dx  q

q
m
1
2
3
4
5
,90
,95
,975
,99
,995
,999
0,9995
3,08
1,89
1,64
1,53
1,48
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
31,82
6,96
4,54
3,75
3,36
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
318,31
22,33
10,21
7,17
5,89
636,62
31,60
12,92
8,61
6,87
6
7
8
9
10
1,44
1,41
1,40
1,38
1,37
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
5,21
4,79
4,50
4,30
4,14
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
11
12
13
14
15
1,36
1,36
1,35
1,35
1,34
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
4,02
3,93
3,85
3,79
3,73
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
16
17
18
19
20
1,34
1,33
1,33
1,33
1,33
1,75
1,74
1,73
1,73
1,72
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,92
2,90
2,88
2,86
2,85
3,69
3,65
3,61
3,58
3,55
4,01
3,97
3,92
3,88
3,85
21
22
23
24
25
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,72
1,72
1,71
1,71
1,71
2,08
2,07
2,07
2,06
2,06
2,52
2,51
2,50
2,49
2,49
2,83
2,82
2,81
2,80
2,79
3,53
3,50
3,48
3,47
3,45
3,82
3,79
3,77
3,75
3,73
26
27
28
29
30
1,31
1,31
1,31
1,31
1,31
1,71
1,70
1,70
1,70
1,70
2,06
2,05
2,05
2,05
2,04
2,48
2,47
2,47
2,46
2,46
2,78
2,77
2,76
2,76
2,75
3,43
3,42
3,41
3,40
3,39
3,71
3,69
3,67
3,66
3,65
40
60
120
1,30
1,30
1,29
1,68
1,67
1,66
2,02
2,00
1,98
2,42
2,39
2,36
2,70
2,66
2,62
3,31
3,23
3,16
3,55
3,46
3,37
Näherung für große m:
tm,q  zq (Quantil der Normalverteilung N(0,1))
21
Prof. J. Schütze, FH Jena
Tabelle 2: Quantile der  - Verteilung
2
Für große Werte von m gilt:
 2m;q

2
2 
 m1 
 uq

9
m
9
m


3
Näherungsformel von Wilson und Hilferty
m = Anzahl der Freiheitsgrade, q = Ordnung des Quantils
q
m 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
22
0,005
0,01
0,025
0,05
0,10
0,90
0,95
0,975
,99
0,995
,00
,01
,07
,21
,41
,68
,99
1,34
1,73
2,16
2,60
3,07
3,57
4,07
4,60
5,14
5,70
6,26
6,84
7,43
8,03
8,64
9,26
9,89
10,52
11,16
11,81
12,46
13,12
13,79
20,71
27,99
35,53
43,28
51,17
59,20
67,33
,00
,02
,11
,30
,55
,87
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,20
10,86
11,52
12,20
12,88
13,56
14,26
14,95
22,16
29,71
37,48
45,44
53,54
61,75
70,06
,00
,05
,22
,48
,83
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,28
10,98
11,69
12,40
13,12
13,84
14,57
15,31
16,05
16,79
24,43
32,36
40,48
48,76
57,15
65,65
74,22
,00
,10
,35
,71
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,12
10,85
11,59
12,34
13,09
13,85
14,61
15,38
16,15
16,93
17,71
18,49
26,51
34,76
43,19
51,74
60,39
69,13
77,93
,02
,21
,58
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,17
4,87
5,58
6,30
7,04
7,79
8,55
9,31
10,09
10,86
11,65
12,44
13,24
14,04
14,85
15,66
16,47
17,29
18,11
18,94
19,77
20,60
29,05
37,69
46,46
55,33
64,28
73,29
82,36
2,71
4,61
6,25
7,78
9,24
10,64
12,02
13,36
14,68
15,99
17,28
18,55
19,81
21,06
22,31
23,54
24,77
25,99
27,20
28,41
29,62
30,81
32,01
33,20
34,38
35,56
36,74
37,92
39,09
40,26
51,81
63,17
74,40
85,53
96,58
107,57
118,50
3,84
5,99
7,81
9,49
11,07
12,59
14,07
15,51
16,92
18,31
19,68
21,03
22,36
23,68
25,00
26,30
27,59
28,87
30,14
31,41
32,67
33,92
35,17
36,42
37,65
38,89
40,11
41,34
42,56
43,77
55,76
67,50
79,08
90,53
101,88
113,15
124,34
5,02
7,38
9,35
11,14
12,83
14,45
16,01
17,53
19,02
20,48
21,92
23,34
24,74
26,12
27,49
28,85
30,19
31,53
32,85
34,17
35,48
36,78
38,08
39,36
40,65
41,92
43,19
44,46
45,72
46,98
59,34
71,42
83,30
95,02
106,63
118,14
129,56
6,63
9,21
11,34
13,28
15,09
16,81
18,48
20,09
21,67
23,21
24,72
26,22
27,69
29,14
30,58
32,00
33,41
34,81
36,19
37,57
38,93
40,29
41,64
42,98
44,31
45,64
46,96
48,28
49,59
50,89
63,69
76,15
88,38
100,43
112,33
124,12
135,81
7,88
10,60
12,84
14,86
16,75
18,55
20,28
21,95
23,59
25,19
26,76
28,30
29,82
31,32
32,80
34,27
35,72
37,16
38,58
40,00
41,40
42,80
44,18
45,56
46,93
48,29
49,64
50,99
52,34
53,67
66,77
79,49
91,95
104,21
116,32
128,30
140,17
Prof. J. Schütze, FH Jena
Tabelle 3a: 0.95 - Quantile der F-Verteilung
P( F  Fm1 ,m2 ,0.95)  0.95
m1 
m2 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
161,45
199,50
215,71
224,58
230,16
233,99
236,77
238,88
240,54
241,88
242,98
2
18,51
19,00
19,16
19,25
19,30
19,33
19,35
19,37
19,38
19,40
19,40
3
10,13
9,55
9,28
9,12
9,01
8,94
8,89
8,85 85 8,81
8,79
8,76
4
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
6,09
6,04
6,00
5,96
5,94
5
6,61
5,79
5,41
5,19
5,05
4,95
4,88
4,82
4,77
4,74
4,70
6
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,21
4,15
4,10
4,06
4,03
7
5,59
4,74
4,35
4,12
3,97
3,87
3,79
3,73
3,68
3,64
3,60
8
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,50
3,44
3,39
3,35
3,31
9
5,12
4,26
3,86
3,63
3,48
3,37
3,29
3,23
3,18
3,14
3,10
10
4,96
4,10
3,71
3,48
3,33
3,22
3,14
3,07
3,02
2,98
2,94
11
4,84
3,98
3,59
3,36
3,20
3,09
3,01
2,95
2,90
2,85
2,82
12
4,75
3,89
3,49
3,26
3,11
3,00
2,91
2,85
2,80
2,75
2,72
13
4,67
3,81
3,41
3,18
3,03
2,92
2,83
2,77
2,71
2,67
2,63
14
4,60
3,74
3,34
3,11
2,96
2,85
2,76
2,70
2,65
2,60
2,57
15
4,54
3,68
3,29
3,06
2,90
2,79
2,71
2,64
2,59
2,54
2,51
16
4,49
3,63
3,24
3,01
2,85
2,74
2,66
2,59
2,54
2,49
2,46
17
4,45
3,59
3,20
2,96
2,81
2,70
2,61
2,55
2,49
2,45
2,41
18
4,41
3,55
3,16
2,93
2,77
2,66
2,58
2,51
2,46
2,41
2,37
19
4,38
3,52
3,13
2,90
2,74
2,63
2,54
2,48
2,42
2,38
2,34
20
4,35
3,49
3,10
2,87
2,71
2,60
2,51
2,45
2,39
2,35
2,31
21
4,32
3,47
3,07
2,84
2,68
2,57
2,49
2,42
2,37
2,32
2,28
22
4,30
3,44
3,05
2,82
2,66
2,55
2,46
2,40
2,34
2,30
2,26
23
4,28
3,42
3,03
2,80
2,64
2,53
2,44
2,37
2,32
2,27
2,24
24
4,26
3,40
3,01
2,78
2,62
2,51
2,42
2,36
2,30
2,25
2,22
25
4,24
3,39
2,99
2,76
2,60
2,49
2,40
2,34
2,28
2,24
2,20
26
4,23
3,37
2,98
2,74
2,59
2,47
2,39
2,32
2,27
2,22
2,18
27
4,21
3,35
2,96
2,73
2,57
2,46
2,37
2,31
2,25
2,20
2,17
28
4,20
3,34
2,95
2,71
2,56
2,45
2,36
2,29
2,24
2,19
2,15
29
4,18
3,33
2,93
2,70
2,55
2,43
2,35
2,28
2,22
2,18
2,14
30
4,17
3,32
2,92
2,69
2,53
2,42
2,33
2,27
2,21
2,16
2,13
40
4,08
3,23
2,84
2,61
2,45
2,34
2,25
2,18
2,12
2,08
2,04
50
4,03
3,18
2,79
2,56
2,40
2,29
2,20
2,13
2,07
2,03
1,99
75
3,97
3,12
2,73
2,49
2,34
2,22
2,13
2,06
2,01
1,96
1,92
100
3,94
3,09
2,70
2,46
2,31
2,19
2,10
2,03
1,97
1,93
1,89
200
3,89
3,04
2,65
2,42
2,26
2,14
2,06
1,98
1,93
1,88
1,84
300
3,87
3,03
2,63
2,40
2,24
2,13
2,04
1,97
1,91
1,86
1,82
400
3,86
3,02
2,63
2,39
2,24
2,12
2,03
1,96
1,90
1,85
1,81
500
3,86
3,01
2,62
2,39
2,23
2,12
2,03
1,96
1,90
1,85
1,81
1000
3,85
3,00
2,61
2,38
2,22
2,11
2,02
1,95
1,89
1,84
1,80
23
Prof. J. Schütze, FH Jena
Fm1 ; m2 ; 
24
1
Fm2 ; m1; 1
m1 
m2 
12
14
16
20
30
50
75
100
500
1000
243,91
245,36
246,46
248,01
250,10
251,77
252,62
253,04
254,06
254,19
1
19,41
19,42
19,43
19,45
19,46
19,48
19,48
19,49
19,49
19,49
2
8,74
8,71
8,69
8,66
8,62
8,58
8,56
8,55
8,53
8,53
3
5,91
5,87
5,84
5,80
5,75
5,70
5,68
5,66
5,64
5,63
4
4,68
4,64
4,60
4,56
4,50
4,44
4,42
4,41
4,37
4,37
4,00
3,96
3,92
3,87
3,81
3,75
3,73
3,71
3,68
3,67
6
3,57
3,53
3,49
3,44
3,38
3,32
3,29
3,27
3,24
3,23
7
3,28
3,24
3,20
3,15
3,08
3,02
2,99
2,97
2,94
2,93
8
3,07
3,03
2,99
2,94
2,86
2,80
2,77
2,76
2,72
2,71
9
2,91
2,86
2,83
2,77
2,70
2,64
2,60
2,59
2,55
2,54
10
2,79
2,74
2,70
2,65
2,57
2,51
2,47
2,46
2,42
2,41
11
2,69
2,64
2,60
2,54
2,47
2,40
2,37
2,35
2,31
2,30
12
2,60
2,55
2,51
2,46
2,38
2,31
2,28
2,26
2,22
2,21
13
2,53
2,48
2,44
2,39
2,31
2,24
2,21
2,19
2,14
2,14
14
2,48
2,42
2,38
2,33
2,25
2,18
2,14
2,12
2,08
2,07
15
2,42
2,37
2,33
2,28
2,19
2,12
2,09
2,07
2,02
2,02
16
2,38
2,33
2,29
2,23
2,15
2,08
2,04
2,02
1,97
1,97
17
2,34
2,29
2,25
2,19
2,11
2,04
2,00
1,98
1,93
1,92
18
2,31
2,26
2,21
2,16
2,07
2,00
1,96
1,94
1,89
1,88
19
2,28
2,22
2,18
2,12
2,04
1,97
1,93
1,91
1,86
1,85
20
2,25
2,20
2,16
2,10
2,01
1,94
1,90
1,88
1,83
1,82
21
2,23
2,17
2,13
2,07
1,98
1,91
1,87
1,85
1,80
1,79
22
2,20
2,15
2,11
2,05
1,96
1,88
1,84
1,82
1,77
1,76
23
2,18
2,13
2,09
2,03
1,94
1,86
1,82
1,80
1,75
1,74
24
2,16
2,11
2,07
2,01
1,92
1,84
1,80
1,78
1,73
1,72
25
2,15
2,09
2,05
1,99
1,90
1,82
1,78
1,76
1,71
1,70
26
2,13
2,08
2,04
1,97
1,88
1,81
1,76
1,74
1,69
1,68
27
2,12
2,06
2,02
1,96
1,87
1,79
1,75
1,73
1,67
1,66
28
2,10
2,05
2,01
1,94
1,85
1,77
1,73
1,71
1,65
1,65
29
2,09
2,04
1,99
1,93
1,84
1,76
1,72
1,70
1,64
1,63
30
2,00
1,95
1,90
1,84
1,74
1,66
1,61
1,59
1,53
1,52
40
1,95
1,89
1,85
1,78
1,69
1,60
1,55
1,52
1,46
1,45
50
1,88
1,83
1,78
1,71
1,61
1,52
1,47
1,44
1,36
1,35
75
1,85
1,79
1,75
1,68
1,57
1,48
1,42
1,39
1,31
1,30
100
1,80
1,74
1,69
1,62
1,52
1,41
1,35
1,32
1,22
1,21
200
1,78
1,72
1,68
1,61
1,50
1,39
1,33
1,30
1,19
1,17
300
1,78
1,72
1,67
1,60
1,49
1,38
1,32
1,28
1,17
1,15
400
1,77
1,71
1,66
1,59
1,48
1,38
1,31
1,28
1,16
1,14
500
1,76
1,70
1,65
1,58
1,47
1,36
1,30
1,26
1,13
1,11
1000
Prof. J. Schütze, FH Jena
Tabelle 3b: 0.975 - Quantile der F-Verteilung
P( F  Fm1 ,m2 ,0.975 )  0.975
m1 
m2 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1 647,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,28 968,63 973,03
2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41
3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,37
4 12,22 10,65
9,98
9,60
9,36
9,20
9,07
8,98
8,90
8,84
8,79
5 10,01
8,43
7,76
7,39
7,15
6,98
6,85
6,76
6,68
6,62
6,57
6
8,81
7,26
6,60
6,23
5,99
5,82
5,70
5,60
5,52
5,46
5,41
7
8,07
6,54
5,89
5,52
5,29
5,12
4,99
4,90
4,82
4,76
4,71
8
7,57
6,06
5,42
5,05
4,82
4,65
4,53
4,43
4,36
4,30
4,24
9
7,21
5,71
5,08
4,72
4,48
4,32
4,20
4,10
4,03
3,96
3,91
10
6,94
5,46
4,83
4,47
4,24
4,07
3,95
3,85
3,78
3,72
3,66
11
6,72
5,26
4,63
4,28
4,04
3,88
3,76
3,66
3,59
3,53
3,47
12
6,55
5,10
4,47
4,12
3,89
3,73
3,61
3,51
3,44
3,37
3,32
13
6,41
4,97
4,35
4,00
3,77
3,60
3,48
3,39
3,31
3,25
3,20
14
6,30
4,86
4,24
3,89
3,66
3,50
3,38
3,29
3,21
3,15
3,09
15
6,20
4,77
4,15
3,80
3,58
3,41
3,29
3,20
3,12
3,06
3,01
16
6,12
4,69
4,08
3,73
3,50
3,34
3,22
3,12
3,05
2,99
2,93
17
6,04
4,62
4,01
3,66
3,44
3,28
3,16
3,06
2,98
2,92
2,87
18
5,98
4,56
3,95
3,61
3,38
3,22
3,10
3,01
2,93
2,87
2,81
19
5,92
4,51
3,90
3,56
3,33
3,17
3,05
2,96
2,88
2,82
2,76
20
5,87
4,46
3,86
3,51
3,29
3,13
3,01
2,91
2,84
2,77
2,72
21
5,83
4,42
3,82
3,48
3,25
3,09
2,97
2,87
2,80
2,73
2,68
22
5,79
4,38
3,78
3,44
3,22
3,05
2,93
2,84
2,76
2,70
2,65
23
5,75
4,35
3,75
3,41
3,18
3,02
2,90
2,81
2,73
2,67
2,62
24
5,72
4,32
3,72
3,38
3,15
2,99
2,87
2,78
2,70
2,64
2,59
25
5,69
4,29
3,69
3,35
3,13
2,97
2,85
2,75
2,68
2,61
2,56
26
5,66
4,27
3,67
3,33
3,10
2,94
2,82
2,73
2,65
2,59
2,54
27
5,63
4,24
3,65
3,31
3,08
2,92
2,80
2,71
2,63
2,57
2,51
28
5,61
4,22
3,63
3,29
3,06
2,90
2,78
2,69
2,61
2,55
2,49
29
5,59
4,20
3,61
3,27
3,04
2,88
2,76
2,67
2,59
2,53
2,48
30
5,57
4,18
3,59
3,25
3,03
2,87
2,75
2,65
2,57
2,51
2,46
40
5,42
4,05
3,46
3,13
2,90
2,74
2,62
2,53
2,45
2,39
2,33
50
5,34
3,97
3,39
3,05
2,83
2,67
2,55
2,46
2,38
2,32
2,26
75
5,23
3,88
3,30
2,96
2,74
2,58
2,46
2,37
2,29
2,22
2,17
100
5,18
3,83
3,25
2,92
2,70
2,54
2,42
2,32
2,24
2,18
2,12
200
5,10
3,76
3,18
2,85
2,63
2,47
2,35
2,26
2,18
2,11
2,06
300
5,07
3,73
3,16
2,83
2,61
2,45
2,33
2,23
2,16
2,09
2,04
400
5,06
3,72
3,15
2,82
2,60
2,44
2,32
2,22
2,15
2,08
2,03
500
5,05
3,72
3,14
2,81
2,59
2,43
2,31
2,22
2,14
2,07
2,02
1000
5,04
3,70
3,13
2,80
2,58
2,42
2,30
2,20
2,13
2,06
2,01
25
Prof. J. Schütze, FH Jena
Fm1 ; m2 ; 
26
1
Fm2 ; m1; 1
20
30
50
75
100
500
1000
m1 
m2 
12
14
16
976,71
982,53
986,92
39,41
39,43
39,44
39,45
39,46
39,48
39,48
39,49
39,50
39,50
2
14,34
14,28
14,23
14,17
14,08
14,01
13,97
13,96
13,91
13,91
3
8,75
8,68
8,63
8,56
8,46
8,38
8,34
8,32
8,27
8,26
4
6,52
6,46
6,40
6,33
6,23
6,14
6,10
6,08
6,03
6,02
5,37
5,30
5,24
5,17
5,07
4,98
4,94
4,92
4,86
4,86
6
4,67
4,60
4,54
4,47
4,36
4,28
4,23
4,21
4,16
4,15
7
4,20
4,13
4,08
4,00
3,89
3,81
3,76
3,74
3,68
3,68
8
3,87
3,80
3,74
3,67
3,56
3,47
3,43
3,40
3,35
3,34
9
993,10 1001,41 1008,12 1011,49 1013,18 1017,24 1017,75
1
3,62
3,55
3,50
3,42
3,31
3,22
3,18
3,15
3,09
3,09
10
3,43
3,36
3,30
3,23
3,12
3,03
2,98
2,96
2,90
2,89
11
3,28
3,21
3,15
3,07
2,96
2,87
2,82
2,80
2,74
2,73
12
3,15
3,08
3,03
2,95
2,84
2,74
2,70
2,67
2,61
2,60
13
3,05
2,98
2,92
2,84
2,73
2,64
2,59
2,56
2,50
2,50
14
2,96
2,89
2,84
2,76
2,64
2,55
2,50
2,47
2,41
2,40
15
2,89
2,82
2,76
2,68
2,57
2,47
2,42
2,40
2,33
2,32
16
2,82
2,75
2,70
2,62
2,50
2,41
2,35
2,33
2,26
2,26
17
2,77
2,70
2,64
2,56
2,44
2,35
2,30
2,27
2,20
2,20
18
2,72
2,65
2,59
2,51
2,39
2,30
2,24
2,22
2,15
2,14
19
2,68
2,60
2,55
2,46
2,35
2,25
2,20
2,17
2,10
2,09
20
2,64
2,56
2,51
2,42
2,31
2,21
2,16
2,13
2,06
2,05
21
2,60
2,53
2,47
2,39
2,27
2,17
2,12
2,09
2,02
2,01
22
2,57
2,50
2,44
2,36
2,24
2,14
2,08
2,06
1,99
1,98
23
2,54
2,47
2,41
2,33
2,21
2,11
2,05
2,02
1,95
1,94
24
2,51
2,44
2,38
2,30
2,18
2,08
2,02
2,00
1,92
1,91
25
2,49
2,42
2,36
2,28
2,16
2,05
2,00
1,97
1,90
1,89
26
2,47
2,39
2,34
2,25
2,13
2,03
1,97
1,94
1,87
1,86
27
2,45
2,37
2,32
2,23
2,11
2,01
1,95
1,92
1,85
1,84
28
2,43
2,36
2,30
2,21
2,09
1,99
1,93
1,90
1,83
1,82
29
2,41
2,34
2,28
2,20
2,07
1,97
1,91
1,88
1,81
1,80
30
2,29
2,21
2,15
2,07
1,94
1,83
1,77
1,74
1,66
1,65
40
2,22
2,14
2,08
1,99
1,87
1,75
1,69
1,66
1,57
1,56
50
2,12
2,05
1,99
1,90
1,76
1,65
1,58
1,54
1,44
1,43
75
2,08
2,00
1,94
1,85
1,71
1,59
1,52
1,48
1,38
1,36
100
2,01
1,93
1,87
1,78
1,64
1,51
1,44
1,39
1,27
1,25
200
1,99
1,91
1,85
1,75
1,62
1,48
1,41
1,36
1,23
1,21
300
1,98
1,90
1,84
1,74
1,60
1,47
1,39
1,35
1,21
1,18
400
1,97
1,89
1,83
1,74
1,60
1,46
1,38
1,34
1,19
1,17
500
1,96
1,88
1,82
1,72
1,58
1,45
1,36
1,32
1,16
1,13
1000
Prof. J. Schütze, FH Jena
Tabelle 4: Gamma-Funktion
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,01
1,000
0,951
0,918
0,898
0,887
0,886
0,894
0,909
0,931
0,962
0,02
0,994
0,947
0,916
0,896
0,887
0,887
0,895
0,911
0,934
0,965
Erweiterung für x  1 :
0  x 1
0,03
0,989
0,944
0,913
0,895
0,886
0,887
0,896
0,913
0,937
0,969
0,04
0,984
0,940
0,911
0,893
0,886
0,888
0,897
0,915
0,940
0,972
0,05
0,978
0,936
0,909
0,892
0,886
0,888
0,899
0,917
0,943
0,976
0,06
0,974
0,933
0,906
0,891
0,886
0,889
0,900
0,919
0,946
0,980
0,07
0,969
0,930
0,904
0,890
0,886
0,890
0,902
0,921
0,949
0,984
0,07
0,964
0,927
0,903
0,889
0,886
0,891
0,903
0,924
0,952
0,988
0,08
0,960
0,924
0,901
0,889
0,886
0,891
0,905
0,926
0,955
0,992
0,09
0,956
0,921
0,899
0,888
0,886
0,892
0,907
0,929
0,958
0,996
( x)  ( x  1)( x  1)

(1  x) 
( x)  sin x
(n)  (n 1)!, n  1, 2,3,...
1
( )  
2
22 x 1
1
(2 x) 
( x)( x  ), x  0
2

3 x  0.5
3
1
2
(3x) 
( x)( x  )( x  ), x  0
2
3
3
Gaußsche Multiplikationsformel
1
n 1
(nx)  (2)(1n ) / 2 nnx 1/ 2 ( x)( x  )  ...  ( x 
), x  0, n  1, 2,3,...
n
n
Spezielle Funktionswerte
27
Prof. J. Schütze, FH Jena
Tabelle 5: Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung
( x)  P( X  x)
Hinweise
Für x  0 ist ( x)  1  ( x) zu verwenden
Für x  3,9 ist bei der vorgegebenen Genauigkeit ( x)  1 zu setzen
28
0,00
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,00
,5000
,5040
,5080
,5120
,5160
,5199
,5239
,5279
,5319
,5359
0,10
,5398
,5438
,5478
,5517
,5557
,5596
,5636
,5675
,5714
,5753
0,20
,5793
,5832
,5871
,5910
,5948
,5987
,6026
,6064
,6103
,6141
0,30
,6179
,6217
,6255
,6293
,6331
,6368
,6406
,6443
,6480
,6517
0,40
,6554
,6591
,6628
,6664
,6700
,6736
,6772
,6808
,6844
,6879
0,50
,6915
,6950
,6985
,7019
,7054
,7088
,7123
,7157
,7190
,7224
0,60
,7257
,7291
,7324
,7357
,7389
,7422
,7454
,7486
,7517
,7549
0,70
,7580
,7611
,7642
,7673
,7704
,7734
,7764
,7794
,7823
,7852
0,80
,7881
,7910
,7939
,7967
,7995
,8023
,8051
,8078
,8106
,8133
0,90
,8159
,8186
,8212
,8238
,8264
,8289
,8315
,8340
,8365
,8389
1,00
,8413
,8438
,8461
,8485
,8508
,8531
,8554
,8577
,8599
,8621
1,10
,8643
,8665
,8686
,8708
,8729
,8749
,8770
,8790
,8810
,8830
1,20
,8849
,8869
,8888
,8907
,8925
,8944
,8962
,8980
,8997
,9015
1,30
,9032
,9049
,9066
,9082
,9099
,9115
,9131
,9147
,9162
,9177
1,40
,9192
,9207
,9222
,9236
,9251
,9265
,9279
,9292
,9306
,9319
1,50
,9332
,9345
,9357
,9370
,9382
,9394
,9406
,9418
,9429
,9441
1,60
,9452
,9463
,9474
,9484
,9495
,9505
,9515
,9525
,9535
,9545
1,70
,9554
,9564
,9573
,9582
,9591
,9599
,9608
,9616
,9625
,9633
1,80
,9641
,9649
,9656
,9664
,9671
,9678
,9686
,9693
,9699
,9706
1,90
,9713
,9719
,9726
,9732
,9738
,9744
,9750
,9756
,9761
,9767
2,00
,9772
,9778
,9783
,9788
,9793
,9798
,9803
,9808
,9812
,9817
2,10
,9821
,9826
,9830
,9834
,9838
,9842
,9846
,9850
,9854
,9857
2,20
,9861
,9864
,9868
,9871
,9875
,9878
,9881
,9884
,9887
,9890
2,30
,9893
,9896
,9898
,9901
,9904
,9906
,9909
,9911
,9913
,9916
2,40
,9918
,9920
,9922
,9925
,9927
,9929
,9931
,9932
,9934
,9936
2,50
,9938
,9940
,9941
,9943
,9945
,9946
,9948
,9949
,9951
,9952
2,60
,9953
,9955
,9956
,9957
,9959
,9960
,9961
,9962
,9963
,9964
2,70
,9965
,9966
,9967
,9968
,9969
,9970
,9971
,9972
,9973
,9974
2,80
,9974
,9975
,9976
,9977
,9977
,9978
,9979
,9979
,9980
,9981
2,90
,9981
,9982
,9982
,9983
,9984
,9984
,9985
,9985
,9986
,9986
3,00
,9987
,9987
,9987
,9988
,9988
,9989
,9989
,9989
,9990
,9990
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
,9987
,9990
,9993
,9995
,9997
,9998
,9998
,9999
,9999
,9999