Konzepte der Robotersteuerung

Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Inhalt
Konzepte der Robotersteuerung
Christoph Wopperer
07. Juli 2005
Seminar Optimale Steuerungen
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Inhalt
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Inhalt
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Inhalt
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Inhalt
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Salopp: wie kommt ein sich bewegendes Objekt (der
Roboter) von einer vorgegebenen Startposition zu einer
vorgegebenen Zielposition ohne dabei an vorgegebene
Hindernisse anzustoßen.
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Salopp: wie kommt ein sich bewegendes Objekt (der
Roboter) von einer vorgegebenen Startposition zu einer
vorgegebenen Zielposition ohne dabei an vorgegebene
Hindernisse anzustoßen.
Konfigurationsraum
B2
B3
?
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Potentialfelder
Umformulierung P
Zellenzerlegungen
Hindernisse in C
Voronoi-Diagramm
Pfade in C
Spezialfälle
Ziel
Definition
Start
A
Literatur
B1
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Für die genauere Formulierung folgende Annahmen:
Roboter ist das einzige sich bewegende Objekt in der
sog. Arbeitsumgebung
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Dynamische Aspekte werden nicht berücksichtigt, also
zeitunabhängiges Modell
Die Bewegungen des Roboters nur durch die
Hindernisse eingeschränkt
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Damit erhält man ein reines Pfadplanungsproblem.
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Für die genauere Formulierung folgende Annahmen:
Roboter ist das einzige sich bewegende Objekt in der
sog. Arbeitsumgebung
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Dynamische Aspekte werden nicht berücksichtigt, also
zeitunabhängiges Modell
Die Bewegungen des Roboters nur durch die
Hindernisse eingeschränkt
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Damit erhält man ein reines Pfadplanungsproblem.
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Für die genauere Formulierung folgende Annahmen:
Roboter ist das einzige sich bewegende Objekt in der
sog. Arbeitsumgebung
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Dynamische Aspekte werden nicht berücksichtigt, also
zeitunabhängiges Modell
Die Bewegungen des Roboters nur durch die
Hindernisse eingeschränkt
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Damit erhält man ein reines Pfadplanungsproblem.
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Für die genauere Formulierung folgende Annahmen:
Roboter ist das einzige sich bewegende Objekt in der
sog. Arbeitsumgebung
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Dynamische Aspekte werden nicht berücksichtigt, also
zeitunabhängiges Modell
Die Bewegungen des Roboters nur durch die
Hindernisse eingeschränkt
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Damit erhält man ein reines Pfadplanungsproblem.
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
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Grundproblem
Konfigurationsraum
Für die genauere Formulierung folgende Annahmen:
Roboter ist das einzige sich bewegende Objekt in der
sog. Arbeitsumgebung
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Dynamische Aspekte werden nicht berücksichtigt, also
zeitunabhängiges Modell
Die Bewegungen des Roboters nur durch die
Hindernisse eingeschränkt
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Damit erhält man ein reines Pfadplanungsproblem.
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Definition (Grundproblem P)
Sei A eine kompakte Teilmenge von W = IRN für N = 2
oder N = 3 (W heißt Arbeitsumgebung). Seien B1 , . . . , Bq
fixierte abgeschlossene Teilmengen von W.
Finde zu gegebener Startposition und Startorientierung von
A in W sowie einer Zielposition und Zielorientierung einen
stetigen Weg τ von Positionen und Orientierungen, der
Start und Ende verbindet.
Zu keiner Zeit darf hierbei ein Hindernis berührt werden.
Falls kein solcher Weg existiert, gib FEHLER zurück.
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Definition (Grundproblem P)
Sei A eine kompakte Teilmenge von W = IRN für N = 2
oder N = 3 (W heißt Arbeitsumgebung). Seien B1 , . . . , Bq
fixierte abgeschlossene Teilmengen von W.
Finde zu gegebener Startposition und Startorientierung von
A in W sowie einer Zielposition und Zielorientierung einen
stetigen Weg τ von Positionen und Orientierungen, der
Start und Ende verbindet.
Zu keiner Zeit darf hierbei ein Hindernis berührt werden.
Falls kein solcher Weg existiert, gib FEHLER zurück.
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
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Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Definition (Grundproblem P)
Sei A eine kompakte Teilmenge von W = IRN für N = 2
oder N = 3 (W heißt Arbeitsumgebung). Seien B1 , . . . , Bq
fixierte abgeschlossene Teilmengen von W.
Finde zu gegebener Startposition und Startorientierung von
A in W sowie einer Zielposition und Zielorientierung einen
stetigen Weg τ von Positionen und Orientierungen, der
Start und Ende verbindet.
Zu keiner Zeit darf hierbei ein Hindernis berührt werden.
Falls kein solcher Weg existiert, gib FEHLER zurück.
Das Grundproblem P
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
B2
B3
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
B1
Potentialfelder
Literatur
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Ziel: Umformulierung des Grundproblems.
Bislang: Pfadplanungsproblem eines dimensionierten
Objekts.
Jetzt: Umformulierung in ein ein Pfadplanungsproblem
eines Punktes.
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Ziel: Umformulierung des Grundproblems.
Bislang: Pfadplanungsproblem eines dimensionierten
Objekts.
Jetzt: Umformulierung in ein ein Pfadplanungsproblem
eines Punktes.
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
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Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Ziel: Umformulierung des Grundproblems.
Bislang: Pfadplanungsproblem eines dimensionierten
Objekts.
Jetzt: Umformulierung in ein ein Pfadplanungsproblem
eines Punktes.
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
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Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Hierzu seien FA und FW kartesische Koordinatensysteme
für A bzw. W.
FA ist ein sich mit A bewegendes Koordinatensystem.
Jeder Punkt a ∈ A hat eine feste Position bezüglich FA .
FW ist fixiert. Die Position von a ∈ A in FW hängt von
der Position und Orientierung von FA bezüglich FW ab.
Jeder Punkt aus Bi hat dagegen eine feste Position
bezüglich FW .
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Hierzu seien FA und FW kartesische Koordinatensysteme
für A bzw. W.
FA ist ein sich mit A bewegendes Koordinatensystem.
Jeder Punkt a ∈ A hat eine feste Position bezüglich FA .
FW ist fixiert. Die Position von a ∈ A in FW hängt von
der Position und Orientierung von FA bezüglich FW ab.
Jeder Punkt aus Bi hat dagegen eine feste Position
bezüglich FW .
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Hierzu seien FA und FW kartesische Koordinatensysteme
für A bzw. W.
FA ist ein sich mit A bewegendes Koordinatensystem.
Jeder Punkt a ∈ A hat eine feste Position bezüglich FA .
FW ist fixiert. Die Position von a ∈ A in FW hängt von
der Position und Orientierung von FA bezüglich FW ab.
Jeder Punkt aus Bi hat dagegen eine feste Position
bezüglich FW .
Beispiel
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(θ, τ )
Beispiel
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(θ, τ )
FA
Beispiel
Robotersteuerung
Christoph
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Grundproblem
Konfigurationsraum
A(θ, τ )
FA
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
FW
Beispiel
Robotersteuerung
Christoph
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Grundproblem
A(θ, τ )
Konfigurationsraum
FA
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
τ
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
FW
Beispiel
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
A(θ, τ )
Konfigurationsraum
FA
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
τ
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
θ
FW
Definition Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Definition (Konfigurationsraum)
Eine Konfiguration q von A ist eine Spezifizierung der
Position T und der Orientierung Θ von FA bezüglich FW .
Die Menge aller Konfigurationen q von A heißt der
Konfigurationsraum C.
Die Teilmenge von W, die durch A bei der Konfiguration q
eingenommen wird sei mit A(q) bezeichnet. In gleicher
Weise sei die Position des Punktes a aus A in der
Arbeitsumgebung W zur Konfiguration q mit a(q)
bezeichnet.
Definition Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Definition (Konfigurationsraum)
Eine Konfiguration q von A ist eine Spezifizierung der
Position T und der Orientierung Θ von FA bezüglich FW .
Die Menge aller Konfigurationen q von A heißt der
Konfigurationsraum C.
Die Teilmenge von W, die durch A bei der Konfiguration q
eingenommen wird sei mit A(q) bezeichnet. In gleicher
Weise sei die Position des Punktes a aus A in der
Arbeitsumgebung W zur Konfiguration q mit a(q)
bezeichnet.
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Definition stetiger Wege
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Jetzt: Definition einer Topologie in C, die es erlaubt, stetige
Wege zu definieren.
Beispielsweise kann man hierzu folgende Metrik
verwenden:
w
w
d(q, q0 ) = max wa(q) − a(q0 )w ,
a∈A
wobei kx − x 0 k den euklidischen Abstand für zwei Punkte x
und x 0 in IRN angibt.
Definition stetiger Wege
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Jetzt: Definition einer Topologie in C, die es erlaubt, stetige
Wege zu definieren.
Beispielsweise kann man hierzu folgende Metrik
verwenden:
w
w
d(q, q0 ) = max wa(q) − a(q0 )w ,
a∈A
wobei kx − x 0 k den euklidischen Abstand für zwei Punkte x
und x 0 in IRN angibt.
Definition stetiger Wege
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition (Stetige Wege in C)
Ein Weg für A von der Konfiguration qinit zur Konfiguration
qgoal ist eine (im Sinne obiger Topologie) stetige Abbildung
Definition
Pfade in C
τ : [0, 1] → C,
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
die
τ (0) = qinit und τ (1) = qgoal
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
erfüllt.
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Hindernisse in C
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Ziel: Abbilden der Hindernisse Bi , i = 1, . . . , q von der
Arbeitsumgebung W in den Konfigurationsraum C.
Hindernisse in C
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Jedes Hindernis Bi in W wird nach C abgebildet durch
CBi := {q ∈ C mit A(q) ∩ Bi 6= ∅};
CBi heißt auch C-Hindernis.
Die Vereinigung aller C-Hindernisse
q
[
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
CBi
i=1
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
heißt C-Hindernis-Region. Die Menge
(
q
[
Cfree := C\
CBi = q ∈ C mit A(q) ∩
i=1
q
[
!
Bi
)
=∅
i=1
heißt der freie Konfigurationsraum. Eine Konfiguration aus
Cfree heißt freie Konfiguration.
Hindernisse in C
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Jedes Hindernis Bi in W wird nach C abgebildet durch
CBi := {q ∈ C mit A(q) ∩ Bi 6= ∅};
CBi heißt auch C-Hindernis.
Die Vereinigung aller C-Hindernisse
q
[
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
CBi
i=1
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
heißt C-Hindernis-Region. Die Menge
(
q
[
Cfree := C\
CBi = q ∈ C mit A(q) ∩
i=1
q
[
!
Bi
)
=∅
i=1
heißt der freie Konfigurationsraum. Eine Konfiguration aus
Cfree heißt freie Konfiguration.
Hindernisse in C
Robotersteuerung
Christoph
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Grundproblem
Konfigurationsraum
Jedes Hindernis Bi in W wird nach C abgebildet durch
CBi := {q ∈ C mit A(q) ∩ Bi 6= ∅};
CBi heißt auch C-Hindernis.
Die Vereinigung aller C-Hindernisse
q
[
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
CBi
i=1
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
heißt C-Hindernis-Region. Die Menge
(
q
[
Cfree := C\
CBi = q ∈ C mit A(q) ∩
i=1
q
[
!
Bi
)
=∅
i=1
heißt der freie Konfigurationsraum. Eine Konfiguration aus
Cfree heißt freie Konfiguration.
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Umformulierung des Grundproblems
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Definition (Freier Weg)
Ein freier Weg zwischen zwei freien Konfigurationen qinit
und qgoal ist eine stetige Abbildung τ : [0, 1] → Cfree mit
τ (0) = qinit und τ (1) = qgoal . Man sagt zwei Konfigurationen
gehören zu der selben Zusammenhangskomponente von
Cfree , wenn sie durch einen freien Weg verbindbar sind.
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Definition (Umformulierung des Grundproblems)
Zu gegebener Start- und Endkonfiguration finde einen
freien Weg zwischen diesen beiden Konfigurationen, falls
sie zur selben Zusammenhangskomponente von Cfree
gehören bzw. sonst gib FEHLER zurück.
Umformulierung des Grundproblems
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Definition (Freier Weg)
Ein freier Weg zwischen zwei freien Konfigurationen qinit
und qgoal ist eine stetige Abbildung τ : [0, 1] → Cfree mit
τ (0) = qinit und τ (1) = qgoal . Man sagt zwei Konfigurationen
gehören zu der selben Zusammenhangskomponente von
Cfree , wenn sie durch einen freien Weg verbindbar sind.
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Definition (Umformulierung des Grundproblems)
Zu gegebener Start- und Endkonfiguration finde einen
freien Weg zwischen diesen beiden Konfigurationen, falls
sie zur selben Zusammenhangskomponente von Cfree
gehören bzw. sonst gib FEHLER zurück.
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Spezialfälle:
Falls der Roboter nur ein Punkt ist (Punkt-Roboter), so
ist C = IRN = W. Die C-Hindernisse fallen hier mit den
Hindernissen aus W zusammen.
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Falls A eine N-Kugel ist oder nur translatorische
Bewegungen ausführen darf, so gilt ebenfalls
C = IRN = W. Für die C-Hindernisse dagegen folgende
Proposition:
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Spezialfälle:
Falls der Roboter nur ein Punkt ist (Punkt-Roboter), so
ist C = IRN = W. Die C-Hindernisse fallen hier mit den
Hindernissen aus W zusammen.
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Falls A eine N-Kugel ist oder nur translatorische
Bewegungen ausführen darf, so gilt ebenfalls
C = IRN = W. Für die C-Hindernisse dagegen folgende
Proposition:
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Spezialfälle:
Falls der Roboter nur ein Punkt ist (Punkt-Roboter), so
ist C = IRN = W. Die C-Hindernisse fallen hier mit den
Hindernissen aus W zusammen.
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Falls A eine N-Kugel ist oder nur translatorische
Bewegungen ausführen darf, so gilt ebenfalls
C = IRN = W. Für die C-Hindernisse dagegen folgende
Proposition:
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Proposition
In der eben beschriebenen Situation gilt für jedes
C-Hindernis CB = {q ∈ C mit A(q) ∩ B =
6 ∅}, dass
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
CB = B A(0) = {x ∈ W mit ∃b ∈ B, ∃a0 ∈ A(0)
so dass x = b − a0 }
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Hierbei bezeichnet den Operator der Minkowski-Differenz.
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Beweis.
Wir zeigen zunächst die Inklusion CB ⊂ B A(0). Sei
hierzu q = T ∈ CB, d. h. es ist A(T ) ∩ B =
6 ∅. Also gibt es
ein b ∈ B und ein a ∈ A(T ) mit b = a. Nun gilt aber für
a0 := a − T offensichtlich a0 ∈ A(0) und zudem
T = b − a0 ∈ B A(0).
Umgekehrt sei q = T ∈ B A(0), d. h. es gibt ein b ∈ B
und ein a0 ∈ A(0), so dass T = b − a0 . Dann ist aber
offensichtlich a := a0 + T ∈ A(T ) und da b = a0 + T = a
gilt also a = b ∈ A(T ) ∩ B, d. h. also T ∈ CB.
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Beweis.
Wir zeigen zunächst die Inklusion CB ⊂ B A(0). Sei
hierzu q = T ∈ CB, d. h. es ist A(T ) ∩ B =
6 ∅. Also gibt es
ein b ∈ B und ein a ∈ A(T ) mit b = a. Nun gilt aber für
a0 := a − T offensichtlich a0 ∈ A(0) und zudem
T = b − a0 ∈ B A(0).
Umgekehrt sei q = T ∈ B A(0), d. h. es gibt ein b ∈ B
und ein a0 ∈ A(0), so dass T = b − a0 . Dann ist aber
offensichtlich a := a0 + T ∈ A(T ) und da b = a0 + T = a
gilt also a = b ∈ A(T ) ∩ B, d. h. also T ∈ CB.
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Beweis.
Wir zeigen zunächst die Inklusion CB ⊂ B A(0). Sei
hierzu q = T ∈ CB, d. h. es ist A(T ) ∩ B =
6 ∅. Also gibt es
ein b ∈ B und ein a ∈ A(T ) mit b = a. Nun gilt aber für
a0 := a − T offensichtlich a0 ∈ A(0) und zudem
T = b − a0 ∈ B A(0).
Umgekehrt sei q = T ∈ B A(0), d. h. es gibt ein b ∈ B
und ein a0 ∈ A(0), so dass T = b − a0 . Dann ist aber
offensichtlich a := a0 + T ∈ A(T ) und da b = a0 + T = a
gilt also a = b ∈ A(T ) ∩ B, d. h. also T ∈ CB.
Veranschaulichung obiger Proposition
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
FA = FW
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(0)
B
Veranschaulichung obiger Proposition
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
FA = FW
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(0)
B
Veranschaulichung obiger Proposition
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
FA = FW
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(0)
B
Veranschaulichung obiger Proposition
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
FA = FW
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(0)
B
Veranschaulichung obiger Proposition
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
FA = FW
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(0)
B
Veranschaulichung obiger Proposition
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
FA = FW
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(0)
B
Veranschaulichung obiger Proposition
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
FA = FW
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(0)
B
Veranschaulichung obiger Proposition
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
FA = FW
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(0)
B
Veranschaulichung obiger Proposition
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
FA = FW
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(0)
B
Veranschaulichung obiger Proposition
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
FA = FW
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
A(0)
B
CB
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Definition
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
(i) Ein konvexes polygonales Gebiet des IR2 ist der
Durchschnitt von endlich vielen abgeschlossenen
Halbräumen.
(ii) Ein polygonales Gebiet ist jede Teilmenge des IR2 , die
sich als Vereinigung von endlich vielen konvexen
polygonalen Gebieten schreiben lässt.
(iii) Ein Polygon ist jedes polygonales Gebiet, das
homöomorph zur abgeschlossenen Einheitsscheibe ist.
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Definition
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
(i) Ein konvexes polygonales Gebiet des IR2 ist der
Durchschnitt von endlich vielen abgeschlossenen
Halbräumen.
(ii) Ein polygonales Gebiet ist jede Teilmenge des IR2 , die
sich als Vereinigung von endlich vielen konvexen
polygonalen Gebieten schreiben lässt.
(iii) Ein Polygon ist jedes polygonales Gebiet, das
homöomorph zur abgeschlossenen Einheitsscheibe ist.
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Definition
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
(i) Ein konvexes polygonales Gebiet des IR2 ist der
Durchschnitt von endlich vielen abgeschlossenen
Halbräumen.
(ii) Ein polygonales Gebiet ist jede Teilmenge des IR2 , die
sich als Vereinigung von endlich vielen konvexen
polygonalen Gebieten schreiben lässt.
(iii) Ein Polygon ist jedes polygonales Gebiet, das
homöomorph zur abgeschlossenen Einheitsscheibe ist.
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Bemerkung
Konfigurationsraum
Wenn A und B konvexe Polygone sind und A nur
translatorische Bewegungen ausführen kann, so lässt sich
das C-Hindernis CB = B − A(0) in O(nA + nB ) berechnen,
wenn nA die Anzahl der Ecken von A und nB die Anzahl der
Ecken von B bezeichnet.
→ vgl. Algorithmus von Lozano-Pérez im Handout
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Idee: Konstruiere einen semi-freien Weg zwischen qinit und
qgoal in Form einer polygonalen Gerade. Hintergrund ist
folgende Proposition:
Proposition
Es sei die C-Hindernis Region CB ein polygonales Gebiet
von C = IR2 . Dann gibt es einen semi-freien Weg zwischen
zwei beliebigen Konfigurationen qinit und qgoal genau dann,
wenn es eine polygonale Gerade τ in cl(Cfree ) gibt, deren
Endpunkte gerade qinit und qgoal sind und deren Ecken
auch Ecken von CB sind.
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Beweisidee
Die Richtung, dass aus der Existenz von τ , die Existenz
eines semi-freien Weges folgt ist trivial. Für die Umkehrung
gebe es also einen semi-freien Weg zwischen qinit und
qgoal . Zeige:
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
(1.) Jeder stetige Weg (endlicher Länge) von qinit nach qgoal
lässt sich durch eine polygonale Gerade ersetzen, die
höchstens genauso lang ist.
(2.) Jede polygonale Gerade mit Ecken, die nicht Knoten
des Sichtbarkeitsgraphen sind, kann durch eine
polygonale Gerade ersetzt werden deren Ecken Knoten
des Sichtbarkeitsgraphen sind, die kürzere Länge hat.
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Beweisidee
Die Richtung, dass aus der Existenz von τ , die Existenz
eines semi-freien Weges folgt ist trivial. Für die Umkehrung
gebe es also einen semi-freien Weg zwischen qinit und
qgoal . Zeige:
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
(1.) Jeder stetige Weg (endlicher Länge) von qinit nach qgoal
lässt sich durch eine polygonale Gerade ersetzen, die
höchstens genauso lang ist.
(2.) Jede polygonale Gerade mit Ecken, die nicht Knoten
des Sichtbarkeitsgraphen sind, kann durch eine
polygonale Gerade ersetzt werden deren Ecken Knoten
des Sichtbarkeitsgraphen sind, die kürzere Länge hat.
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Beweisidee
Die Richtung, dass aus der Existenz von τ , die Existenz
eines semi-freien Weges folgt ist trivial. Für die Umkehrung
gebe es also einen semi-freien Weg zwischen qinit und
qgoal . Zeige:
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
(1.) Jeder stetige Weg (endlicher Länge) von qinit nach qgoal
lässt sich durch eine polygonale Gerade ersetzen, die
höchstens genauso lang ist.
(2.) Jede polygonale Gerade mit Ecken, die nicht Knoten
des Sichtbarkeitsgraphen sind, kann durch eine
polygonale Gerade ersetzt werden deren Ecken Knoten
des Sichtbarkeitsgraphen sind, die kürzere Länge hat.
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Beweisidee
(3.) Es gibt offensichtlich nur endlich viele polygonale
Geraden, deren Ecken auch Knoten des
Sichtbarkeitsgraphen sind und die keine Zyklen
besitzen.
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
(4.) Nach (3.) kann man deshalb einen Weg minimaler
Länge unter diesen polygonalen Geraden finden, der
nach (1.) und (2.) dann auch ein insgesamt kürzester
Weg ist.
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Beweisidee
(3.) Es gibt offensichtlich nur endlich viele polygonale
Geraden, deren Ecken auch Knoten des
Sichtbarkeitsgraphen sind und die keine Zyklen
besitzen.
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
(4.) Nach (3.) kann man deshalb einen Weg minimaler
Länge unter diesen polygonalen Geraden finden, der
nach (1.) und (2.) dann auch ein insgesamt kürzester
Weg ist.
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Folgerung
Konfigurationsraum
Um also einen (kürzesten) semi-freien Weg zwischen zwei
beliebigen Konfigurationen qinit und qgoal zu finden, reicht
es also aus, polygonale Geraden in cl(Cfree ) mit Eckpunkten,
die auch Ecken von CB sind, zu betrachten. Die Menge
dieser polygonalen Geraden heißt Sichtbarkeitsgraph,
genauer folgende Definition:
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Definition
Der Sichtbarkeitsgraph von ist der ungerichtete Graph G,
mit
Die Knoten von G sind qinit und qgoal sowie die
Eckpunkte von CB
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Zwei Knoten von G sind durch einen Bogen verbunden,
falls entweder die Gerade, die die beiden Punkte
verbindet eine Kante von CB ist, oder falls die Gerade
ganz in Cfree liegt (bis auf möglicherweise ihre beiden
Endpunkte).
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Definition
Der Sichtbarkeitsgraph von ist der ungerichtete Graph G,
mit
Die Knoten von G sind qinit und qgoal sowie die
Eckpunkte von CB
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Zwei Knoten von G sind durch einen Bogen verbunden,
falls entweder die Gerade, die die beiden Punkte
verbindet eine Kante von CB ist, oder falls die Gerade
ganz in Cfree liegt (bis auf möglicherweise ihre beiden
Endpunkte).
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Definition
Der Sichtbarkeitsgraph von ist der ungerichtete Graph G,
mit
Die Knoten von G sind qinit und qgoal sowie die
Eckpunkte von CB
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Zwei Knoten von G sind durch einen Bogen verbunden,
falls entweder die Gerade, die die beiden Punkte
verbindet eine Kante von CB ist, oder falls die Gerade
ganz in Cfree liegt (bis auf möglicherweise ihre beiden
Endpunkte).
Beispiel Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
qgoal
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
qinit
Beispiel Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
qgoal
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
qinit
Beispiel Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
qgoal
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
qinit
Beispiel Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
qgoal
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
qinit
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Wir können damit folgenden Algorithmus festhalten:
Konfigurationsraum
Algorithmus (Sichtbarkeitsgraph)
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
(1.) Berechne den Sichtbarkeitsgraphen G.
(2.) Durchsuche G nach einem Pfad von qinit nach qgoal
Wenn die Suche erfolgreich war, so gebe den Pfad zurück,
ansonsten gebe FEHLER zurück.
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Wir können damit folgenden Algorithmus festhalten:
Konfigurationsraum
Algorithmus (Sichtbarkeitsgraph)
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
(1.) Berechne den Sichtbarkeitsgraphen G.
(2.) Durchsuche G nach einem Pfad von qinit nach qgoal
Wenn die Suche erfolgreich war, so gebe den Pfad zurück,
ansonsten gebe FEHLER zurück.
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Um G zu berechnen, kann man wie folgt verfahren:
0
Betrachte
alle Paare
von Punkten (X , X ), wobei X und
0
X aus qinit , qgoal ∪ {Ecken von CB} sowie X 6= X 0 .
Falls X und X 0 Endpunkte der selben Kante von CB
sind, so sind die entsprechenden Knoten in G durch
einen Bogen verbunden.
Anderenfalls berechne die Schnittpunkte der Gerade
durch X und X 0 mit CB. Die Knoten X und X 0 in G
werden genau dann durch einen Bogen verbunden,
falls keiner der Schnittpunkt auf dem offenen
Geradensegment zwischen X und X 0 liegt.
→ Komplexität O(n3 ).
Nachfolgender Algorithmus hat noch bessere Komplexität:
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Um G zu berechnen, kann man wie folgt verfahren:
0
Betrachte
alle Paare
von Punkten (X , X ), wobei X und
0
X aus qinit , qgoal ∪ {Ecken von CB} sowie X 6= X 0 .
Falls X und X 0 Endpunkte der selben Kante von CB
sind, so sind die entsprechenden Knoten in G durch
einen Bogen verbunden.
Anderenfalls berechne die Schnittpunkte der Gerade
durch X und X 0 mit CB. Die Knoten X und X 0 in G
werden genau dann durch einen Bogen verbunden,
falls keiner der Schnittpunkt auf dem offenen
Geradensegment zwischen X und X 0 liegt.
→ Komplexität O(n3 ).
Nachfolgender Algorithmus hat noch bessere Komplexität:
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Um G zu berechnen, kann man wie folgt verfahren:
0
Betrachte
alle Paare
von Punkten (X , X ), wobei X und
0
X aus qinit , qgoal ∪ {Ecken von CB} sowie X 6= X 0 .
Falls X und X 0 Endpunkte der selben Kante von CB
sind, so sind die entsprechenden Knoten in G durch
einen Bogen verbunden.
Anderenfalls berechne die Schnittpunkte der Gerade
durch X und X 0 mit CB. Die Knoten X und X 0 in G
werden genau dann durch einen Bogen verbunden,
falls keiner der Schnittpunkt auf dem offenen
Geradensegment zwischen X und X 0 liegt.
→ Komplexität O(n3 ).
Nachfolgender Algorithmus hat noch bessere Komplexität:
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Um G zu berechnen, kann man wie folgt verfahren:
0
Betrachte
alle Paare
von Punkten (X , X ), wobei X und
0
X aus qinit , qgoal ∪ {Ecken von CB} sowie X 6= X 0 .
Falls X und X 0 Endpunkte der selben Kante von CB
sind, so sind die entsprechenden Knoten in G durch
einen Bogen verbunden.
Anderenfalls berechne die Schnittpunkte der Gerade
durch X und X 0 mit CB. Die Knoten X und X 0 in G
werden genau dann durch einen Bogen verbunden,
falls keiner der Schnittpunkt auf dem offenen
Geradensegment zwischen X und X 0 liegt.
→ Komplexität O(n3 ).
Nachfolgender Algorithmus hat noch bessere Komplexität:
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Um G zu berechnen, kann man wie folgt verfahren:
0
Betrachte
alle Paare
von Punkten (X , X ), wobei X und
0
X aus qinit , qgoal ∪ {Ecken von CB} sowie X 6= X 0 .
Falls X und X 0 Endpunkte der selben Kante von CB
sind, so sind die entsprechenden Knoten in G durch
einen Bogen verbunden.
Anderenfalls berechne die Schnittpunkte der Gerade
durch X und X 0 mit CB. Die Knoten X und X 0 in G
werden genau dann durch einen Bogen verbunden,
falls keiner der Schnittpunkt auf dem offenen
Geradensegment zwischen X und X 0 liegt.
→ Komplexität O(n3 ).
Nachfolgender Algorithmus hat noch bessere Komplexität:
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Um G zu berechnen, kann man wie folgt verfahren:
0
Betrachte
alle Paare
von Punkten (X , X ), wobei X und
0
X aus qinit , qgoal ∪ {Ecken von CB} sowie X 6= X 0 .
Falls X und X 0 Endpunkte der selben Kante von CB
sind, so sind die entsprechenden Knoten in G durch
einen Bogen verbunden.
Anderenfalls berechne die Schnittpunkte der Gerade
durch X und X 0 mit CB. Die Knoten X und X 0 in G
werden genau dann durch einen Bogen verbunden,
falls keiner der Schnittpunkt auf dem offenen
Geradensegment zwischen X und X 0 liegt.
→ Komplexität O(n3 ).
Nachfolgender Algorithmus hat noch bessere Komplexität:
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Algorithmus (Berechnung Sichtbarkeitsgraph nach Lee)
(1.) Für jeden Punkt X aus G, berechne die Orientierung
αi ∈ [0, 2π) jeder Halbgeraden, die von X ausgeht und
durch irgendeinen anderen Punkt Xi von G geht.
(2.) Sortiere diese Orientierungen αi .
(3.) Rotiere eine Halbgerade ausgehend von X von der
Orientierung 0 bis zur Orientierung 2π. Halte während
der Rotation nur an jeder Orientierung αi . Bei jedem
Halt, update die Schnittkante (dies ist die erste Kante
von CB, die die Halbgerade von X nach Xi trifft).
Berechne ferner den Punkt der Schnittkante, der am
nähesten bei X liegt und teste, ob das Segment, das X
und Xi verbindet CB schneidet.
→ Komplexität O(n2 log n).
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Algorithmus (Berechnung Sichtbarkeitsgraph nach Lee)
(1.) Für jeden Punkt X aus G, berechne die Orientierung
αi ∈ [0, 2π) jeder Halbgeraden, die von X ausgeht und
durch irgendeinen anderen Punkt Xi von G geht.
(2.) Sortiere diese Orientierungen αi .
(3.) Rotiere eine Halbgerade ausgehend von X von der
Orientierung 0 bis zur Orientierung 2π. Halte während
der Rotation nur an jeder Orientierung αi . Bei jedem
Halt, update die Schnittkante (dies ist die erste Kante
von CB, die die Halbgerade von X nach Xi trifft).
Berechne ferner den Punkt der Schnittkante, der am
nähesten bei X liegt und teste, ob das Segment, das X
und Xi verbindet CB schneidet.
→ Komplexität O(n2 log n).
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Algorithmus (Berechnung Sichtbarkeitsgraph nach Lee)
(1.) Für jeden Punkt X aus G, berechne die Orientierung
αi ∈ [0, 2π) jeder Halbgeraden, die von X ausgeht und
durch irgendeinen anderen Punkt Xi von G geht.
(2.) Sortiere diese Orientierungen αi .
(3.) Rotiere eine Halbgerade ausgehend von X von der
Orientierung 0 bis zur Orientierung 2π. Halte während
der Rotation nur an jeder Orientierung αi . Bei jedem
Halt, update die Schnittkante (dies ist die erste Kante
von CB, die die Halbgerade von X nach Xi trifft).
Berechne ferner den Punkt der Schnittkante, der am
nähesten bei X liegt und teste, ob das Segment, das X
und Xi verbindet CB schneidet.
→ Komplexität O(n2 log n).
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Algorithmus (Berechnung Sichtbarkeitsgraph nach Lee)
(1.) Für jeden Punkt X aus G, berechne die Orientierung
αi ∈ [0, 2π) jeder Halbgeraden, die von X ausgeht und
durch irgendeinen anderen Punkt Xi von G geht.
(2.) Sortiere diese Orientierungen αi .
(3.) Rotiere eine Halbgerade ausgehend von X von der
Orientierung 0 bis zur Orientierung 2π. Halte während
der Rotation nur an jeder Orientierung αi . Bei jedem
Halt, update die Schnittkante (dies ist die erste Kante
von CB, die die Halbgerade von X nach Xi trifft).
Berechne ferner den Punkt der Schnittkante, der am
nähesten bei X liegt und teste, ob das Segment, das X
und Xi verbindet CB schneidet.
→ Komplexität O(n2 log n).
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Algorithmus (Berechnung Sichtbarkeitsgraph nach Lee)
(1.) Für jeden Punkt X aus G, berechne die Orientierung
αi ∈ [0, 2π) jeder Halbgeraden, die von X ausgeht und
durch irgendeinen anderen Punkt Xi von G geht.
(2.) Sortiere diese Orientierungen αi .
(3.) Rotiere eine Halbgerade ausgehend von X von der
Orientierung 0 bis zur Orientierung 2π. Halte während
der Rotation nur an jeder Orientierung αi . Bei jedem
Halt, update die Schnittkante (dies ist die erste Kante
von CB, die die Halbgerade von X nach Xi trifft).
Berechne ferner den Punkt der Schnittkante, der am
nähesten bei X liegt und teste, ob das Segment, das X
und Xi verbindet CB schneidet.
→ Komplexität O(n2 log n).
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Um G nach einem kürzesten Weg von qinit nach qgoal zu
durchsuchen, kann man elementare
Graphensuchalgorithmen verwenden (vgl. Ergänzungen im
Handout). Diese finden einen kürzesten Weg (falls existent)
in O(n2 ).
Insgesamt kann man also bei gegebener C-Hindernis
Menge CB mit dem Sichtbarkeitsgraphen einen semi-freien
Weg in O(n2 log n) berechnen.
Der Sichtbarkeitsgraph
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Um G nach einem kürzesten Weg von qinit nach qgoal zu
durchsuchen, kann man elementare
Graphensuchalgorithmen verwenden (vgl. Ergänzungen im
Handout). Diese finden einen kürzesten Weg (falls existent)
in O(n2 ).
Insgesamt kann man also bei gegebener C-Hindernis
Menge CB mit dem Sichtbarkeitsgraphen einen semi-freien
Weg in O(n2 log n) berechnen.
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Definition Retraktion
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Aus der Topologie:
Definition
Sei X ein topologischer Raum und Y eine Teilmenge von X .
Eine Retraktion ist eine stetige surjektive Abbildung
ρ : X → Y mit ρ|Y = Id.
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Hier speziell:
Definition
Sei ρ eine Retraktion von X auf Y. Man sagt ρ erhält den
Zusammenhang von X , falls für alle x ∈ X gilt: x und ρ(x)
gehören zur selben Wegzusammenhangskomponente von
X.
Definition Retraktion
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Aus der Topologie:
Definition
Sei X ein topologischer Raum und Y eine Teilmenge von X .
Eine Retraktion ist eine stetige surjektive Abbildung
ρ : X → Y mit ρ|Y = Id.
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Hier speziell:
Definition
Sei ρ eine Retraktion von X auf Y. Man sagt ρ erhält den
Zusammenhang von X , falls für alle x ∈ X gilt: x und ρ(x)
gehören zur selben Wegzusammenhangskomponente von
X.
Definition Retraktion
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Aus der Topologie:
Definition
Sei X ein topologischer Raum und Y eine Teilmenge von X .
Eine Retraktion ist eine stetige surjektive Abbildung
ρ : X → Y mit ρ|Y = Id.
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Hier speziell:
Definition
Sei ρ eine Retraktion von X auf Y. Man sagt ρ erhält den
Zusammenhang von X , falls für alle x ∈ X gilt: x und ρ(x)
gehören zur selben Wegzusammenhangskomponente von
X.
Definition Retraktion
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Aus der Topologie:
Definition
Sei X ein topologischer Raum und Y eine Teilmenge von X .
Eine Retraktion ist eine stetige surjektive Abbildung
ρ : X → Y mit ρ|Y = Id.
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Hier speziell:
Definition
Sei ρ eine Retraktion von X auf Y. Man sagt ρ erhält den
Zusammenhang von X , falls für alle x ∈ X gilt: x und ρ(x)
gehören zur selben Wegzusammenhangskomponente von
X.
Anwendung auf das Pfadplanungsproblem
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Proposition
Sei ρ : Cfree → R, mit R ⊂ Cfree einer eindimensionalen
Teilmenge von Cfree , eine zusammenhangserhaltende
Retraktion. Dann gibt es einen freien Weg zwischen zwei
Konfigurationen qinit und qgoal genau dann, wenn es einen
Weg in R zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) gibt.
Anwendung auf das Pfadplanungsproblem
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Beweis.
Sei τ : [0, 1] → Cfree ein freier Weg zwischen qinit und qgoal .
Verknüpfung von ρ mit τ gibt aufgrund der Stetigkeit von ρ
einen Weg ρ ◦ τ : [0, 1] → R zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ).
Es gebe umgekehrt einen Weg s : [0, 1] → R zwischen
ρ(qinit ) und ρ(qgoal ). Dann gibt es einen freien Weg
zwischen qinit und qgoal , der sich aus folgenden Teilwegen
zusammensetzt:
einem Weg zwischen qinit und ρ(qinit )
dem Weg s zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) sowie
einem Weg zwischen ρ(qgoal ) und qgoal .
Literatur
Anwendung auf das Pfadplanungsproblem
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Beweis.
Sei τ : [0, 1] → Cfree ein freier Weg zwischen qinit und qgoal .
Verknüpfung von ρ mit τ gibt aufgrund der Stetigkeit von ρ
einen Weg ρ ◦ τ : [0, 1] → R zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ).
Es gebe umgekehrt einen Weg s : [0, 1] → R zwischen
ρ(qinit ) und ρ(qgoal ). Dann gibt es einen freien Weg
zwischen qinit und qgoal , der sich aus folgenden Teilwegen
zusammensetzt:
einem Weg zwischen qinit und ρ(qinit )
dem Weg s zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) sowie
einem Weg zwischen ρ(qgoal ) und qgoal .
Literatur
Anwendung auf das Pfadplanungsproblem
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Beweis.
Sei τ : [0, 1] → Cfree ein freier Weg zwischen qinit und qgoal .
Verknüpfung von ρ mit τ gibt aufgrund der Stetigkeit von ρ
einen Weg ρ ◦ τ : [0, 1] → R zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ).
Es gebe umgekehrt einen Weg s : [0, 1] → R zwischen
ρ(qinit ) und ρ(qgoal ). Dann gibt es einen freien Weg
zwischen qinit und qgoal , der sich aus folgenden Teilwegen
zusammensetzt:
einem Weg zwischen qinit und ρ(qinit )
dem Weg s zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) sowie
einem Weg zwischen ρ(qgoal ) und qgoal .
Literatur
Anwendung auf das Pfadplanungsproblem
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Beweis.
Sei τ : [0, 1] → Cfree ein freier Weg zwischen qinit und qgoal .
Verknüpfung von ρ mit τ gibt aufgrund der Stetigkeit von ρ
einen Weg ρ ◦ τ : [0, 1] → R zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ).
Es gebe umgekehrt einen Weg s : [0, 1] → R zwischen
ρ(qinit ) und ρ(qgoal ). Dann gibt es einen freien Weg
zwischen qinit und qgoal , der sich aus folgenden Teilwegen
zusammensetzt:
einem Weg zwischen qinit und ρ(qinit )
dem Weg s zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) sowie
einem Weg zwischen ρ(qgoal ) und qgoal .
Literatur
Anwendung auf das Pfadplanungsproblem
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Beweis.
Sei τ : [0, 1] → Cfree ein freier Weg zwischen qinit und qgoal .
Verknüpfung von ρ mit τ gibt aufgrund der Stetigkeit von ρ
einen Weg ρ ◦ τ : [0, 1] → R zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ).
Es gebe umgekehrt einen Weg s : [0, 1] → R zwischen
ρ(qinit ) und ρ(qgoal ). Dann gibt es einen freien Weg
zwischen qinit und qgoal , der sich aus folgenden Teilwegen
zusammensetzt:
einem Weg zwischen qinit und ρ(qinit )
dem Weg s zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) sowie
einem Weg zwischen ρ(qgoal ) und qgoal .
Literatur
Anwendung auf das Pfadplanungsproblem
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Beweis.
Sei τ : [0, 1] → Cfree ein freier Weg zwischen qinit und qgoal .
Verknüpfung von ρ mit τ gibt aufgrund der Stetigkeit von ρ
einen Weg ρ ◦ τ : [0, 1] → R zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ).
Es gebe umgekehrt einen Weg s : [0, 1] → R zwischen
ρ(qinit ) und ρ(qgoal ). Dann gibt es einen freien Weg
zwischen qinit und qgoal , der sich aus folgenden Teilwegen
zusammensetzt:
einem Weg zwischen qinit und ρ(qinit )
dem Weg s zwischen ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) sowie
einem Weg zwischen ρ(qgoal ) und qgoal .
Literatur
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Ist ein Beispiel für eine Retraktion für den Fall C = IR2 und
Cfree ist Inneres eines beschränkten polygonalen Gebiets.
Definition
Sei β = ∂Cfree . Für jedes q ∈ Cfree sei
Definition
clearance(q) := min kq − pk .
Pfade in C
p∈β
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Sei zudem
near(q) := {p ∈ β mit kq − pk = clearance(q)} .
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Das Voronoi Diagramm R von Cfree ist die Menge
Vor(Cfree ) = {q ∈ Cfree mit card(near(q)) > 1} .
Beispiel Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
qinit
qgoal
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
CB
Potentialfelder
Literatur
Cf ree
Beispiel Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
qinit
qgoal
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
CB
Potentialfelder
Literatur
Cf ree
Beispiel Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
ρ(qinit )
ρ(qgoal )
qinit
qgoal
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
CB
Potentialfelder
Literatur
Cf ree
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Die Retraktion ρ : Cfree → R ist wie folgt definiert:
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Ist q ∈ Cfree \Vor(Cfree ), so ist card(near(q)) = 1. Es gibt
folglich einen eindeutigen Punkt p in ∂Cfree , der näher
an q liegt, als jeder andere Punkt aus ∂Cfree , also mit
kq − pk = clearance(q). Sei L die Halbgerade die von
p ausgehend durch q geht. Es sei ρ(q) gerade der
erste Schnittpunkt von L mit Vor(Cfree ).
Für q ∈ Vor(Cfree ) setzt man dagegen entsprechend
ρ(q) := q.
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Die Retraktion ρ : Cfree → R ist wie folgt definiert:
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Ist q ∈ Cfree \Vor(Cfree ), so ist card(near(q)) = 1. Es gibt
folglich einen eindeutigen Punkt p in ∂Cfree , der näher
an q liegt, als jeder andere Punkt aus ∂Cfree , also mit
kq − pk = clearance(q). Sei L die Halbgerade die von
p ausgehend durch q geht. Es sei ρ(q) gerade der
erste Schnittpunkt von L mit Vor(Cfree ).
Für q ∈ Vor(Cfree ) setzt man dagegen entsprechend
ρ(q) := q.
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Die Retraktion ρ : Cfree → R ist wie folgt definiert:
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Ist q ∈ Cfree \Vor(Cfree ), so ist card(near(q)) = 1. Es gibt
folglich einen eindeutigen Punkt p in ∂Cfree , der näher
an q liegt, als jeder andere Punkt aus ∂Cfree , also mit
kq − pk = clearance(q). Sei L die Halbgerade die von
p ausgehend durch q geht. Es sei ρ(q) gerade der
erste Schnittpunkt von L mit Vor(Cfree ).
Für q ∈ Vor(Cfree ) setzt man dagegen entsprechend
ρ(q) := q.
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Proposition
Die dadurch definierte Abbildung ρ : Cfree → R ist stetig.
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Also ist ρ eine Retraktion von Cfree auf Vor(Cfree ). Nach
Konstruktion erhält ρ zudem den Zusammenhang von Cfree .
Damit folgender Algorithmus:
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Proposition
Die dadurch definierte Abbildung ρ : Cfree → R ist stetig.
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Also ist ρ eine Retraktion von Cfree auf Vor(Cfree ). Nach
Konstruktion erhält ρ zudem den Zusammenhang von Cfree .
Damit folgender Algorithmus:
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Proposition
Die dadurch definierte Abbildung ρ : Cfree → R ist stetig.
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Also ist ρ eine Retraktion von Cfree auf Vor(Cfree ). Nach
Konstruktion erhält ρ zudem den Zusammenhang von Cfree .
Damit folgender Algorithmus:
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
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Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Algorithmus (Voronoi-Diagramm)
(1.) Berechne das Voronoi Diagramm Vor(Cfree ).
(2.) Berechne die Punkte ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) und
identifiziere zu welchen Bögen von Vor(Cfree ) diese
beiden Punkte gehören.
(3.) Durchsuche Vor(Cfree ) nach einer Folge von Bögen
A1 , . . . , Ap , so dass ρ(qinit ) ∈ A1 , ρ(qgoal ) ∈ Ap und für
alle i = 1, . . . , p − 1 gilt, dass Ai und Ai+1 einen
gemeinsamen Endpunkt besitzen.
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Falls die Suche erfolgreich war, gibt ρ(qinit ) und ρ(qgoal )
sowie A1 , . . . , Ap zurück, ansonsten gebe FEHLER zurück.
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
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Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Algorithmus (Voronoi-Diagramm)
(1.) Berechne das Voronoi Diagramm Vor(Cfree ).
(2.) Berechne die Punkte ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) und
identifiziere zu welchen Bögen von Vor(Cfree ) diese
beiden Punkte gehören.
(3.) Durchsuche Vor(Cfree ) nach einer Folge von Bögen
A1 , . . . , Ap , so dass ρ(qinit ) ∈ A1 , ρ(qgoal ) ∈ Ap und für
alle i = 1, . . . , p − 1 gilt, dass Ai und Ai+1 einen
gemeinsamen Endpunkt besitzen.
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Falls die Suche erfolgreich war, gibt ρ(qinit ) und ρ(qgoal )
sowie A1 , . . . , Ap zurück, ansonsten gebe FEHLER zurück.
Das Voronoi-Diagramm
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Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Algorithmus (Voronoi-Diagramm)
(1.) Berechne das Voronoi Diagramm Vor(Cfree ).
(2.) Berechne die Punkte ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) und
identifiziere zu welchen Bögen von Vor(Cfree ) diese
beiden Punkte gehören.
(3.) Durchsuche Vor(Cfree ) nach einer Folge von Bögen
A1 , . . . , Ap , so dass ρ(qinit ) ∈ A1 , ρ(qgoal ) ∈ Ap und für
alle i = 1, . . . , p − 1 gilt, dass Ai und Ai+1 einen
gemeinsamen Endpunkt besitzen.
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Falls die Suche erfolgreich war, gibt ρ(qinit ) und ρ(qgoal )
sowie A1 , . . . , Ap zurück, ansonsten gebe FEHLER zurück.
Das Voronoi-Diagramm
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Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Algorithmus (Voronoi-Diagramm)
(1.) Berechne das Voronoi Diagramm Vor(Cfree ).
(2.) Berechne die Punkte ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) und
identifiziere zu welchen Bögen von Vor(Cfree ) diese
beiden Punkte gehören.
(3.) Durchsuche Vor(Cfree ) nach einer Folge von Bögen
A1 , . . . , Ap , so dass ρ(qinit ) ∈ A1 , ρ(qgoal ) ∈ Ap und für
alle i = 1, . . . , p − 1 gilt, dass Ai und Ai+1 einen
gemeinsamen Endpunkt besitzen.
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Falls die Suche erfolgreich war, gibt ρ(qinit ) und ρ(qgoal )
sowie A1 , . . . , Ap zurück, ansonsten gebe FEHLER zurück.
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
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Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Algorithmus (Voronoi-Diagramm)
(1.) Berechne das Voronoi Diagramm Vor(Cfree ).
(2.) Berechne die Punkte ρ(qinit ) und ρ(qgoal ) und
identifiziere zu welchen Bögen von Vor(Cfree ) diese
beiden Punkte gehören.
(3.) Durchsuche Vor(Cfree ) nach einer Folge von Bögen
A1 , . . . , Ap , so dass ρ(qinit ) ∈ A1 , ρ(qgoal ) ∈ Ap und für
alle i = 1, . . . , p − 1 gilt, dass Ai und Ai+1 einen
gemeinsamen Endpunkt besitzen.
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Falls die Suche erfolgreich war, gibt ρ(qinit ) und ρ(qgoal )
sowie A1 , . . . , Ap zurück, ansonsten gebe FEHLER zurück.
Beispiel Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
ρ(qinit )
ρ(qgoal )
qinit
qgoal
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
CB
Potentialfelder
Literatur
Cf ree
Das Voronoi-Diagramm
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Man kann zeigen, dass dieser Algorithmus Komplexität
O(n log n) hat, wobei n die Anzahl der Ecken von ∂Cfree
bezeichnet.
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Zellenzerlegungen
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Idee: zerlege Cfree in einfache Gebiete (sog. Zellen), so
dass ein Pfad innerhalb einer Zelle leicht generiert werden
kann. Für die Zellen wird dann ein ungerichteter Graph
(connectivity graph), der die Nachbarschaftsrelationen
zwischen den Zellen angibt, generiert und durchsucht.
Durchsuchen des Graphen liefert eine Folge von Zellen
(sog. Kanal), woraus dann ein freier Weg konstruiert
werden kann.
Zellenzerlegungen
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Grundsätzliche Unterscheidung in:
exakte Zellenzerlegungen (Vereinigung der Zellen
liefert wieder genau Cfree )
approximative Zellenzerlegungen (Zellen fester Form,
Vereinigung der Zellen strikt in Cfree enthalten)
Zellenzerlegungen
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Grundsätzliche Unterscheidung in:
exakte Zellenzerlegungen (Vereinigung der Zellen
liefert wieder genau Cfree )
approximative Zellenzerlegungen (Zellen fester Form,
Vereinigung der Zellen strikt in Cfree enthalten)
Zellenzerlegungen
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Grundsätzliche Unterscheidung in:
exakte Zellenzerlegungen (Vereinigung der Zellen
liefert wieder genau Cfree )
approximative Zellenzerlegungen (Zellen fester Form,
Vereinigung der Zellen strikt in Cfree enthalten)
Zwei Beispiele
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
In den nächsten Abbildungen zwei Beispiele für
Zellenzerlegungen:
Eine exakte für den Fall C = IR2 und C-Hindernis
Region CB polygonales Gebiet des IR2 . Zudem ist der
freie Konfigurationsraum durch ein Polygon beschränkt.
Eine approximative für den Fall Fall C = IR2 und
C-Hindernis Region CB polygonales Gebiet des IR2 .
Hier ist der freie Konfigurationsraum druch ein
Rechteck R beschränkt.
Zwei Beispiele
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
In den nächsten Abbildungen zwei Beispiele für
Zellenzerlegungen:
Eine exakte für den Fall C = IR2 und C-Hindernis
Region CB polygonales Gebiet des IR2 . Zudem ist der
freie Konfigurationsraum durch ein Polygon beschränkt.
Eine approximative für den Fall Fall C = IR2 und
C-Hindernis Region CB polygonales Gebiet des IR2 .
Hier ist der freie Konfigurationsraum druch ein
Rechteck R beschränkt.
Zwei Beispiele
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
In den nächsten Abbildungen zwei Beispiele für
Zellenzerlegungen:
Eine exakte für den Fall C = IR2 und C-Hindernis
Region CB polygonales Gebiet des IR2 . Zudem ist der
freie Konfigurationsraum durch ein Polygon beschränkt.
Eine approximative für den Fall Fall C = IR2 und
C-Hindernis Region CB polygonales Gebiet des IR2 .
Hier ist der freie Konfigurationsraum druch ein
Rechteck R beschränkt.
Beispiel exakte Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
qinit
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
qgoal
Beispiel exakte Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
3
12
11
qinit
Grundproblem
2
20
4
5
Konfigurationsraum
8
7
9
19
14
10
Definition
qgoal
13
Pfade in C
Hindernisse in C
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
15
6
Umformulierung P
1
16
18
17
Beispiel exakte Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
3
12
11
qinit
Grundproblem
2
20
4
5
Konfigurationsraum
9
8
7
19
14
10
Definition
qgoal
13
Pfade in C
Hindernisse in C
15
6
Umformulierung P
Spezialfälle
1
18
17
16
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
11
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
3
Potentialfelder
Literatur
1
2
8
4
5
9
7
10
12
19
14
13
18
15
6
16
17
20
Beispiel exakte Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
3
12
11
qinit
Grundproblem
2
20
4
5
Konfigurationsraum
9
8
7
19
14
10
Definition
qgoal
13
Pfade in C
Hindernisse in C
15
6
Umformulierung P
Spezialfälle
1
18
17
16
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
11
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
3
Potentialfelder
Literatur
1
2
8
4
5
9
7
10
12
19
14
13
18
15
6
16
17
20
Beispiel exakte Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
3
Konfigurationsraum
12
11
qinit
Definition
2
Pfade in C
20
4
Hindernisse in C
5
Umformulierung P
Spezialfälle
8
7
Spezialfall
9
19
14
10
13
qgoal
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
15
6
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
1
16
18
17
Beispiel exakte Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
3
Konfigurationsraum
12
11
qinit
Definition
2
Pfade in C
20
4
Hindernisse in C
5
Umformulierung P
Spezialfälle
8
7
Spezialfall
9
19
14
10
13
qgoal
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
15
6
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
1
16
18
17
Beispiel approximative Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
qgoal
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
qinit
Literatur
R
Beispiel approximative Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
qgoal
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
qinit
Literatur
R
Beispiel approximative Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
qgoal
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
qinit
Literatur
R
Beispiel approximative Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
qgoal
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
qinit
Literatur
R
Beispiel approximative Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
qgoal
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
qinit
Literatur
R
Beispiel approximative Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
qgoal
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
qinit
Literatur
R
Beispiel approximative Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
qgoal
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
qinit
Literatur
R
Beispiel approximative Zellenzerlegung
Robotersteuerung
Christoph
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Grundproblem
qgoal
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
qinit
Literatur
R
Inhalt
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
1
Das Grundproblem P
2
Formulierung mit dem Konfigurationsraum
Definition Konfigurationsraum
Präzisierung des Pfadbegriffs
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle für den Konfigurationsraum
3
Berechnung der C-Hindernisse im Spezialfall
4
Elementare Pfadplanungsmethoden
Der Sichtbarkeitsgraph
Das Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Potentialfelder
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
→ Siehe Handout
Literatur
Robotersteuerung
Christoph
Wopperer
Grundproblem
Konfigurationsraum
Definition
Pfade in C
Hindernisse in C
Umformulierung P
Spezialfälle
Spezialfall
Pfadplanung
Sichtbarkeitsgraph
Voronoi-Diagramm
Zellenzerlegungen
Potentialfelder
Literatur
Jean-Claude Latombe
Robot Motion Planning
1991, Kluwer Academic Publishers

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