Übungsblatt zur Einheit "Mengenlehre"

Institut für Stochastik,
Fernstudienzentrum
Vorkurs Mathematik für die Fachrichtung
Wirtschaftswissenschaften im Herbst 2014
Präsenzwoche
Übungsaufgaben zum Thema Mengenlehre
Aufgabe 8
Gegeben seien Teilmengen A, B, C einer Grundmenge Ω. Welche der folgenden Aussagen sind
stets richtig, welche sind falsch? Die richtigen Aussagen sind zu begründen, für die falschen
Aussagen ist ein Gegenbeispiel anzugeben.
1. Gilt A ⊂ B, so gilt (Ω \ B) ⊂ (Ω \ A).
2. Gilt (A ∩ B = ∅) und (B ∩ C = ∅), so gilt A ∩ C = ∅.
3. Gilt A ⊂ B, so gilt A ∩ B = A.
4. Gilt A ∩ B ∩ C = ∅, so gilt (A ∩ B = ∅) oder (B ∩ C = ∅).
5. Genau dann gilt A ∪ B = Ω, falls A ∪ (B\A) = Ω gilt.
Aufgabe 9
Es seien Ω eine nichtleere Grundmenge und A, B ⊂ Ω zwei Teilmengen von Ω. Beweisen Sie die
beiden folgenden Aussagen.
1. A △ (A ∪ B) = B \ A,
2. A △ (A ∩ B) = A \ B,
3. Unter der Voraussetzung A ⊂ B gilt: B △ (A ∪ B) = ∅.
Aufgabe 10
Es seien Ω eine endliche Grundmenge und A, B, C, D ⊂ Ω vier Teilmengen der Grundmenge Ω.
1. Zeigen Sie die Identität
|A \ B| = |A| − |A ∩ B|.
2. Zeigen Sie die Identität
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
3. Finden Sie eine entsprechende Rechenregel für die vier Mengen A, B, C, D.
Aufgabe 11
Ein Lastwagenhersteller beziehe die Produkte P1 , P2 , . . . , P8 von insgesamt 5 Zulieferfirmen
Z1 , Z2 , . . . , Z5 . Genauer gelte:
• Die Zulieferfirma Z1 stelle die Produkte P1 , P2 , P3 und P6 her.
• Die Zulieferfirma Z2 stelle die Produkte P2 und P5 her.
• Die Zulieferfirma Z3 stelle die Produkte P2 , P3 und P7 her.
• Die Zulieferfirma Z4 stelle die Produkte P7 und P8 her.
• Die Zulieferfirma Z5 stelle nur das Produkt P4 her.
1. Fassen Sie die Zulieferfirmen Z1 , Z2 , . . . , Z5 als Teilmengen der Produktmenge
Ω = {P1 , P2 , . . . , P8 }
auf, und zeichnen Sie ein Venndiagramm des Hypergraphen, welche die Beziehung Produkt - Zulieferfirma darstellt. Bestimmen Sie weiter die zugehörige Inzidenzmatrix, welche
diese Beziehung beschreibt.
2. Zwei verschiedene Produkte heißen benachbart, wenn es eine Zulieferfirma gibt, welche
diese beiden Produkte produziert. Zeichnen Sie den Graphen dieser Nachbarschaftsbeziehung.
3. Zwei verschiedene Zulieferfirmen heißen benachbart, wenn es ein Produkt gibt, was beide
produzieren. Zeichnen Sie den Graphen dieser Nachbarschaftsbeziehung.
Aufgabe 12
An einer Umfrage zur Untersuchung der Frage, welche Zeitung A, B oder C sie an einem bestimmten Tag gelesen hatten, nahmen 1000 Personen Teil. Die Antworten zeigten, dass 420
Zeitung a, 316 Zeitung B und 160 Zeitung C gelesen hatten. Diese Zahlen schließen ein diejenigen 116 Personen, die Zeitung A und Zeitung B gelesen hatten. 100 Personen hatten Zeitungen
A und C gelesen und 30 Personen hatten die Zeitungen B und C gelesen. 16 Personen hatten
alle drei Zeitungen gelesen.
1. Wieviele Personen hatten A, aber nicht B gelesen?
2. Wieviele Personen hatten C, aber weder A noch B gelesen?
3. Wieviele Personen hatten weder A noch B noch C gelesen?
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