Computeralgebra

Computeralgebra
Udo Hebisch
WS 2002
Dieses Skript enthält nur den “roten Faden”
der Vorlesung. Wesentliche Inhalte werden ausschließlich
in der Vorlesung vermittelt. Daher ist dieses
Skript nicht zum Selbststudium gedacht, sondern
nur als “Erinnerungsstütze”.
1
0
Zur Motivation
Viele mathematische Probleme lassen sich so formulieren, daß zu ihrer Beantwortung eine Gleichung der Form
(1)
f (x) = 0
mit einer geeigneten Funktion f (x) zu lösen ist. Dabei sind in der Regel systematische Verfahren gesucht, die für eine ganze Klasse gleichartiger Funktionen das
Auffinden derartiger Nullstellen gestatten. So liefert etwa im Fall der quadratischen Gleichung
f (x) = x2 + px + q = 0
die bekannte Formel
s
p
p2
x1,2 = − ±
−q
2
4
ein Verfahren, die gesuchten Nullstellen exakt (oder, mit geeigneten numerischen
Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel, näherungsweise mit beliebiger Genauigkeit) zu finden, bzw. die Formel gibt an, ob innerhalb des zulässigen Zahlenbereiches (etwa Z, Q oder R) überhaupt eine solche Nullstelle existiert.
Das Newtonsche Iterationsverfahren gestattet es, auch für Funktionen, bei denen
eine Nullstelle nicht exakt durch “Wurzelausdrücke” angebbar ist, vorgegeben
genaue numerische Näherungen zu finden, falls f (x) gewisse analytische Eigenschaften hat.
Wiederum bei anderen Funktionen, etwa bei
f (x) = cos(x),
gibt man sich damit zufrieden, die Nullstellen
xk =
π
+k·π k ∈Z
2
mit Hilfe “symbolischer” Zahlen, hier also π, auszudrücken.
Die Werte der Variablen x in der Funktion f (x) liegen bei vielen Problemen aber
nicht nur in geeigneten Zahlenbereichen (ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle
Zahlen, komplexe Zahlen), sondern es darf sich dabei beispielsweise auch um
Vektoren (im Falle linearer Gleichungssysteme) oder Funktionen (im Falle von
Differentialgleichungen) handeln.
2
In der Algebra beschäftigt man sich nun hauptsächlich mit der Lösung solcher
Gleichungen (1), bei denen die Funktion ein “Polynom (in eventuell mehreren Unbestimmten)” ist. Man verallgemeinert dann aber insofern, als man gleichzeitige
Nullstellen von endlich vielen Polynomen betrachtet, also anstelle einer einzelnen
Gleichung (1) ein Gleichungssystem der Form
(2)
f1 (x) = 0, . . . , fm (x) = 0.
Dabei ist natürlich zunächst einmal der Begriff des Polynoms präzis zu definieren,
wobei auch die “Rechenregeln” für solche Polynome anzugeben sind. (Darf man
etwa Polynome durcheinander dividieren, und wenn ja, wie geschieht das?) Weiterhin ist jeweils genau anzugeben, in welchen “Rechenbereichen” die Nullstellen
dieser Polynome zu suchen sind, bevor man beantworten kann, ob ein Polynom
überhaupt eine Nullstelle hat, und wenn ja, mit welchem Verfahren man sie “berechnen” kann.
In der Computeralgebra kommen dann noch die Fragen hinzu, wie man die Funktionen fi (x) und die Werte x im Computer darstellt, um die Verfahren zur Nullstellenberechnung auch effektiv zu machen.
In der Vorlesung werden daher zunächst allgemein Ringe (speziell Polynomringe
in mehreren Unbestimmten) betrachtet, zusammen mit Konstruktionsverfahren
zur Gewinnung weiterer Nullstellen von Polynomen (wie etwa beim Übergang
von Z nach Q oder von R nach C) sowie mit Zerlegungsverfahren von “komplizierteren” Polynomen in “einfache” (etwa die Division mit Rest oder die Primfaktorzerlegung für Polynome). Danach wird dann auf die Frage eingegangen, wie
Polynome in Computeralgebrasystemen dargestellt und behandelt werden, um
ihre Nullstellen effektiv berechnen zu können.
Zum Abschluß dieser Einführung sollen noch einige bereits aus den Grundvorlesungen bekannte Methoden angesprochen werden, bei denen es sich im wesentlichen um die (simultane) Nullstellenbestimmung von Polynomen in mehreren
Unbestimmten gehandelt hat.
Betrachtet man zunächst ein einzelnes Polynom f (x) in einer Unbestimmten x,
so kann man die “Schwierigkeit” des Problems der Nullstellenfindung nach dem
Grad des Polynoms einordnen.
Für ein lineares Polynom f (x) = ax + b mit a 6= 0 lernt man die Berechnung der
Lösung x = − ab bereits in der Mittelschule, wobei man gleichzeitig den Übergang
von dem natürlichen Rechenbereich der “natürlichen” Zahlen zu dem Rechenbereich der rationalen Zahlen vollzieht.
3
Für ein quadratisches Polynom wurde die Lösung oben bereits angegeben, wobei man zur Berechnung von beliebigen Quadratwurzeln den Übergang von den
rationalen zu den reellen (oder gar den komplexen) Zahlen vollziehen muß.
Für Polynome dritten und vierten Grades kann man innerhalb der komplexen
Zahlen noch allgemeine Lösungsformeln angeben, für Polynome ab dem Grad
fünf konnte man schließlich zeigen, daß keine allgemeine Formel existieren kann,
obwohl andererseits durch den Fundamentalsatz der Algebra gesichert ist, daß
für ein beliebiges reelles Polynom n-ten Grades innerhalb der komplexen Zahlen
(bei geeigneter Zählung) stets n Nullstellen existieren. (In der klassischen Algebra
überträgt man dieses Ergebnis auf Polynome über viel allgemeinere Rechenbereiche, als es die reellen Zahlen darstellen.)
Betrachtet man ein einzelnes Polynom in n > 1 Unbestimmten, so kann man
zunächst wiederum nach dem Grad des Polynoms klassifizieren.
Kommen alle Unbestimmte nur einzeln und in höchstens erster Potenz vor, so
handelt es sich um eine lineare Gleichung in n Unbestimmten und aus der Linearen Algebra ist bekannt, daß die Nullstellen eine Hyperebene bilden (für n = 2
eine Gerade in der Ebene, für n = 3 eine Ebene im Raum).
Kommen alle Unbestimmte in höchstens zweiter Potenz vor, so handelt es sich
um eine Quadrik, die ebenfalls in der Linearen Algebra untersucht wurden. (Bei
n = 2 handelt es sich um Kegelschnitte in der Ebene, bei n = 3 um Flächen
zweiter Ordnung im Raum.)
Für höhere Grade k und n = 2 oder n = 3 erhält man viele interessante und (unter
Einsatz analytischer Methoden) gut untersuchte Kurven und Flächen höherer
Ordnung (von denen einige in den Übungen behandelt werden sollen).
Der Fall mehrerer Polynome in einer Unbestimmten ist uninteressant, da jedes
einzelne Polynom nur endlich viele Nullstellen hat und man unter diesen nur
diejenigen identifizieren muß, die allen Polynomen gemeinsam sind.
Es bleibt der allgemeine Fall mehrerer Polynome in n > 1 Unbestimmten. Dabei
wird wiederum der Spezialfall, daß es sich ausschließlich um lineare Polynome
handelt, in der Linearen Algebra mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens umfassend gelöst. Der Fall schließlich, daß auch nichtlineare Gleichungen
vorkommen, wird in einem besonderen Teilgebiet der Algebra, der Algebraischen
Geometrie ausführlich untersucht.
Literatur
4
William W. Adams, Philippe Loustaunau, An Introduction to Gröbner Bases,
AMS Graduate Studies in Mathematics Vol. 3, 1994.
Joachim von zur Gathen, Jürgen Gerhard, Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, 1999.
Maurice Mignotte, Mathematics for Computer Algebra, Springer, 1992.
Attila Pethö, Algebraische Algorithmen, Vieweg, 1999.
5
1
Elementare Konstruktionen für Ringe
Definition 1.1 Unter einer Halbgruppe (S, ·) versteht man eine nichtleere Menge S zusammen mit einer binären Verknüpfung (der Multiplikation) ·, die also
je zwei Elementen a, b ∈ S genau ein Produkt a · b ∈ S zuordnet, so daß das
Assoziativgesetz gilt:
(3)
a · (b · c) = (a · b) · c
für alle a, b, c ∈ S.
Besitzt die Halbgruppe ein Einselement e ∈ S gemäß
(4)
e·a=a·e=a
für alle a ∈ S,
so spricht man von einem Monoid. Besitzt in einem Monoid jedes a ∈ S ein
Inverses a−1 gemäß
(5)
a−1 · a = e = a · a−1 ,
so nennt man das Monoid eine Gruppe. Gilt in (S, ·) das Kommutativgesetz
(6)
a·b=b·a
für alle a, b ∈ S,
so nennt man die Halbgruppe (das Monoid, die Gruppe) kommutativ. Kommutative Gruppen heißen auch abelsche Gruppen.
Definition 1.2 Ein (assoziativer) Ring (R, +, ·) besteht aus einer nichtleeren
Menge R, auf der zwei binäre Verknüpfungen (eine Addition + und eine Multiplikation ·) erklärt sind, so daß die folgende Axiome gelten:
(7)
(8)
(9)
(R, +) ist eine kommutative Gruppe mit dem Nullelement o.
(R, ·) ist eine beliebige Halbgruppe.
Die Multiplikation · ist distributiv gegenüber der Addition +,
d. h. es gelten die Distributivgesetze
(10)
(11)
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c
Ist auch (R, ·) kommutativ (bzw. ein Monoid (R, ·)), so heißt (R, +, ·) ein kommutativer Ring bzw. ein Ring mit Einselement.
6
Bemerkung 1.3 Wie in der Definition schon angedeutet, werden manchmal
auch nichtassoziative Ringe betrachtet, bei denen man auf die Forderung (8)
verzichtet. Derartige Ringe werden auch Alternativringe genannt. Sie spielen im
Rahmen dieser Vorlesung aber keine Rolle.
Weiterhin wurde bei der Formulierung der Distributivgesetze davon Gebrauch
gemacht, daß die Multiplikation “stärker binden” soll, als die Addition. Wir werden im folgenden das Multiplikationssymbol oft auch fortlassen und a · b einfach
als ab schreiben.
Beispiel 1.4 Die ganzen Zahlen (Z, +, ·) sind, ebenso wie jeder Restklassenring
(Z/(n), +, ·) modulo n, ein kommutativer Ring mit Einselement, die geraden Zahlen (2Z, +, ·) sind, ebenso wie ganz allgemein (nZ, +, ·) für n = 2, 3, . . ., ein Beispiel für einen kommutativen Ring ohne Einselement.
Die Matrizenringe Mn,n (R) für R = Z, R = Q oder R = R sind für n ≥ 2 Beispiele
für nichtkommutative Ringe mit Einselement.
Lemma 1.5 Für alle Elemente x, y eines Ringes (R, +, ·) und ihre “Entgegengesetzten” −x, −y in der Gruppe (R, +) gelten:
(12)
(13)
(14)
o·x=o=x·o
x · (−y) = (−x) · y = −(x · y)
(−x) · (−y) = x · y.
Besitzt (R, +, ·) ein Einselement e, so gilt noch
(15) (−e) · x = −x.
Definition 1.6 Ist (R, +, ·) ein Ring und S eine nichtleere Teilmenge von R, so
daß (S, ⊕, ) mit den auf S eingeschränkten Verknüpfungen ⊕ von + und von
· selbst ein Ring ist, so heißt (S, ⊕, ) ein Unterring von (R, +, ·) bzw. (R, +, ·)
ein Oberring von (S, ⊕, ). Man schreibt dann auch einfach wieder + für ⊕ und
· für .
7
Beispiel 1.7 Es sei R = M2,2 (Z) der Matrizenring aller 2 × 2-Matrizen über dem
Ring Z der ganzen Zahlen. Dieser Ring hat bekanntlich die 2 × 2-Einheitsmatrix
als Einselement. Nun bilden
a 0
S1 = {
0 0
| a ∈ Z}
und
0 0
S2 = {
0 a
| a ∈ Z}
Unterringe von R, welche die Matrizen
1 0
0 0
bzw.
0 0
0 1
als Einselemente besitzen. Diese drei Ringe mit Einselement haben also verschiedene Einselemente, obwohl S1 und S2 Unterringe von R ist. Im Unterschied dazu
bilden
a 0
S3 = {
0 a
| a ∈ Z}
und
a 0
S4 = {
0 a
| a ∈ Z, a ist gerade}
ebenfalls Unterringe von R, wobei S3 dasselbe Einselement besitzt wie R, dagegen
S4 gar keins.
Bemerkung 1.8 Der nächste Satz, der hier nicht bewiesen wird, zeigt, daß man
sich bei der Untersuchung von Ringen “im Prinzip” auf Ringe mit Einselement
beschränken kann. Wie eben gesehen, kann es dann durchaus Unterringe solcher
Ringe geben, die kein Einselement besitzen. Spätestens bei der Betrachtung von
Idealen (vgl. Definition 1.19) lassen sich derartige Unterringe nicht vermeiden.
Satz 1.9 Zu jedem Ring (R, +, ·) existiert ein Oberring (R0 , +, ·), der ein Einselement besitzt. Ist (R, +, ·) kommutativ, so existiert auch ein kommutativer Oberring mit Einselement.
Definition 1.10 Elemente a 6= o 6= b eines Ringes (R, +, ·) heißen Nullteiler (genauer: a heißt linker und b rechter Nullteiler), wenn a · b = o gilt. Einen kommutativen Ring mit Einselement e 6= o ohne Nullteiler nennt man Integritätsbereich.
Ein (kommutativer) Ring (R, +, ·), für den (R \ {o}, ·) eine Gruppe ist, heißt
(Körper) Schiefkörper.
Lemma 1.11 Jeder Körper ist ein Integritätsbereich, jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper.
8
Beispiel 1.12 Im Restklassenring Z/(n) sind genau die Elemente x 6= 0 Nullteiler, für die ggT(x, n) 6= 1 gilt. Also ist Z/(n) genau dann ein Integritätsbereich
und damit ein Körper, wenn n eine Primzahl ist. Es gibt aber weitere endliche
Körper, z. B. auf R = {0, 1, α, α + 1} mit folgenden Strukturtafeln:
+
0
1
α
α+1
0
0
1
α
α+1
1
1
0
α+1
α
α
α
α+1
0
1
α+1 α+1
α
1
0
·
0
1
α
α+1
0
1
α
α+1
0
0
0
0
0
1
α
α+1
0
α
α+1
1
0 α+1
1
α
Bezüglich der Kommutativität endlicher Körper gilt der folgende Satz.
Satz 1.13 (Wedderburn) Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper.
Ähnlich wie man den Ring der ganzen Zahlen Z zum Körper Q der rationalen
Zahlen erweitern kann, geht dies auch bei einer größeren Klasse von Ringen. Es
gilt nämlich der folgende Satz, der hier ebenfalls nicht bewiesen wird.
Satz 1.14 Ist (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement, dann gibt es
einen Obering Q = Q(R) von R mit Einselement, der Q(R) = {p · q −1 | p ∈
R, q ∈ N } mit N = {q ∈ R | q 6= o ist kein Nullteiler von R} erfüllt.
Bemerkung 1.15 Der Oberring Q(R) von R ist (bis auf Isomorphie) eindeutig
bestimmt. Man nennt ihn auch den (vollen) Quotientenring von R. Offensichtlich ist dieser genau dann ein Körper, der Quotientenkörper von R, wenn R ein
Integritätsbereich ist.
Definition 1.16 Es sei (R, +, ·) ein Ring. Eine Äquivalenzrelation κ auf R heißt
eine Kongruenzrelation von (R, +, ·), wenn für alle a, a0 , b, b0 ∈ R gelten
(16) a κ a0 und b κ b0
(17) a κ a0 und b κ b0
=⇒
=⇒
a + b κ a0 + b0
ab κ a0 b0 .
9
sowie
Bemerkung 1.17 a) Für jeden Ring (R, +, ·) sind die identische Relation und
die Allrelation Kongruenzen auf (R, +, ·), die sogenannten trivialen Kongruenzen.
b) Die Bedingung (17) ist gleichwertig zu
(18) a κ a0 und c ∈ R
=⇒
ac κ a0 c und ca κ ca0 .
Satz 1.18 Es seien (R, +, ·) ein Ring, κ eine Kongruenzrelation auf (R, +, ·)
und R/κ = {[a]κ | a ∈ R} die Menge aller Äquivalenzklassen (auch: Restklassen)
[a]κ = {b ∈ R | a κ b}. Dann werden durch
(19) [a]κ + [b]κ = [a + b]κ und
(20) [a]κ · [b]κ = [ab]κ
zwei Verknüpfungen auf R/κ definiert, so daß (R/κ, +, ·) ein Ring ist, der Restklassenring oder Faktorring von R nach κ.
Definition 1.19 Eine nichtleere Teilmenge I eines Ringes (R, +, ·) heißt ein Ideal
von R, wenn gelten
(21)
a, b ∈ I =⇒ a − b ∈ I, d. h. (I, +) ist Untergruppe von (R, +),
(22) a ∈ I, x ∈ R =⇒ ax, xa ∈ I.
Lemma 1.20 Für jedes Ideal I eines Ringes (R, +, ·) wird durch
(23) x ≡ y mod I ⇐⇒ x − y ∈ I
für alle x, y ∈ R eine Kongruenzrelation ≡ mod I auf (R, +, ·) definiert. Umgekehrt bestimmt jede Kongruenz κ von (R, +, ·) ein Ideal I = [o]κ . Hierbei gilt für
alle x, y ∈ R
(24) x κ y ⇐⇒ x ≡ y mod I.
10
Bemerkung 1.21 a) Die Ideale eines Ringes (R, +, ·) bilden ebenso wie seine
Kongruenzen einen vollständigen Verband. Zu jeder Teilmenge A von R existiert
T
daher (A) = {I | I Ideal von R mit A ⊆ I}, das von A in R erzeugte Ideal.
Gilt I = (A) für ein Ideal eines Ringes, so heißt die Menge A auch eine Basis
von I. Speziell für A = {a} schreibt man (a) für dieses Ideal und nennt (a)
ein Hauptideal von R. Ein Integritätsbereich (R, +, ·), in dem sich jedes Ideal
I als Hauptideal I = (a) mit einem geeigneten a ∈ I schreiben läßt, heißt ein
Hauptidealring.
b) Jeder Ring (R, +, ·) besitzt die trivialen Ideale R und {o} = (o). Besitzt R ein
Einselement e, so ist auch R = (e) ein Hauptideal. Ein Ring heißt einfach, wenn
er nur diese trivialen Ideale besitzt. Insbesondere gilt dies für jeden Schiefkörper,
der damit auch ein Hauptidealring ist.
Lemma 1.22 Für ein Element a eines kommutativen Ringes (R, +, ·) mit Einselement gilt (a) = Ra = {ra | r ∈ R}.
Beispiel 1.23 Für den Ring (Z, +, ·) sind die Unterringe I = nZ aus Beispiel 1.4
für n = 0, 1, 2, . . . Ideale von (Z, +, ·) und zwar die Hauptideale I = (n). Die
gemäß (23) zugehörigen Kongruenzrelationen sind gerade die bekannten Kongruenzen modulo n, und Satz 1.18 liefert die Restklassenringe Z/(n).
Definition 1.24 Es seien (R, +, ·) und (R0 , +, ·) Ringe. Eine Abbildung ϕ : R →
R0 mit
(25) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)
(26)
ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)
und
für alle a, b ∈ R heißt ein Homomorphismus von R in R0 . Ein injektiver (surjektiver, bijektiver) Homomorphismus heißt Monomorphismus (Epimorphismus,
Isomorphismus).
Lemma 1.25 Es seien (R, +, ·) und (R0 , +, ·) Ringe und ϕ : R → R0 ein Homomorphismus. Dann ist das homomorphe Bild ϕ(R) = {ϕ(a) | a ∈ R} ein
Unterring von (R0 , +, ·). Mit (R, +, ·) ist auch (ϕ(R), +, ·) kommutativ. Besitzt
(R, +, ·) ein Einselement e, so ist ϕ(e) Einselement von (ϕ(R), +, ·) (aber nicht
notwendig auch von (R0 , +, ·), wie man aus dem Beispiel 1.4 leicht sehen kann).
Ist U Unterring von R, so ist ϕ(U ) Unterring von ϕ(R) und damit auch von R0 .
11
Satz 1.26 (Homomorphiesatz) Ist ϕ : R → R0 ein surjektiver Ringhomomorphismus, dann gibt es eine Kongruenzrelation κ auf (R, +, ·), so daß R0 zum
Faktorring R/κ isomorph ist. Dabei gilt x κ y ⇐⇒ ϕ(x) = ϕ(y) ⇐⇒ ϕ(x − y) =
o ⇐⇒ x − y ∈ Kern(ϕ) = {a ∈ R | ϕ(a) = o} für alle x, y ∈ R.
Bemerkung 1.27 a) Ist I Ideal eines Ringes R und κ die Kongruenzrelation ≡
mod I, dann schreibt man auch R/I für den Faktorring R/κ. Die Elemente von
R/I sind also die Kongruenzklassen von R modulo I und lassen sich in der Form
a + I für a ∈ R schreiben. Dabei gilt a + I = b + I ⇐⇒ a − b ∈ I.
b) Ist ϕ : R → R0 ein Ringhomomorphismus, dann ist I = Kern(ϕ) = {a ∈ R |
ϕ(a) = o} ein Ideal von (R, +, ·) und R/I ist isomorph zum homomorphen Bild
ϕ(R).
Definition 1.28 Ein Ideal I eines Ringes (R, +, ·) heißt maximal, wenn I 6= R
gilt und es kein Ideal J ⊃ I von (R, +, ·) mit J 6= R gibt.
Definition 1.29 Ein Ideal I 6= R eines kommutativen Ringes (R, +, ·) heißt
Primideal, wenn für alle a, b ∈ R aus a · b ∈ I stets a ∈ I oder b ∈ I folgt.
Satz 1.30 Es sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement und I 6= R
ein Ideal von R. Genau dann ist R/I ein Körper (Integritätsbereich), wenn I ein
maximales Ideal (Primideal) ist.
Folgerung 1.31 a) Ein kommutativer Ring mit Einselement ist genau dann ein
Körper, wenn er nur die trivialen Ideale besitzt.
b) In einem kommutativen Ring mit Einselement ist jedes maximale Ideal auch
ein Primideal.
Aufgabe 1.32 Beweisen Sie, daß das Einselement in einem Monoid stets eindeutig bestimmt ist und daß in einer Gruppe das Inverse a−1 zu jedem Element
a ebenfalls eindeutig bestimmt ist.
12
Aufgabe 1.33 Beweisen Sie Lemma 1.5.
Aufgabe 1.34 Beweisen Sie die in Bemerkung 1.17 enthaltenen Behauptungen.
Aufgabe 1.35 Beweisen Sie Lemma 1.20.
Aufgabe 1.36 Beweisen Sie Lemma 1.22.
Aufgabe 1.37 Beweisen Sie Lemma 1.25.
Aufgabe 1.38 Es sei ϕ : R → R0 ein Epimorphismus. Zeigen Sie, daß für jedes
Ideal I von R das homomorphe Bild ϕ(I) ein Ideal von R0 ist. Umgekehrt ist das
vollständige Original ϕ−1 (I 0 ) ein Ideal von R für jedes Ideal I 0 von R0 .
13
2
Polynomringe
Definition 2.1 Es sei (R, +, ·) ein Ring mit Einselement e. Ein Element x eines
Oberringes (R0 , +, ·) von R heißt eine Unbestimmte über R, wenn es folgende
Eigenschaften hat:
a) Es gilt ax = xa für alle a ∈ R und ex = x.
b) x ist transzendent über R, d. h. für alle aν ∈ R gilt
(27) a0 + a1 x + . . . + an xn = o =⇒ a0 = . . . = an = o.
Jedes Element der Form
(28) f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn =
n
X
aν x ν
(mit x0 = e)
ν=0
aus R0 heißt dann ein Polynom in x mit Koeffizienten aus R. Dabei nennt man
n den formalen Grad und den höchsten Index ν mit aν 6= o den Grad von f (x),
in Zeichen: grad(f (x)). Für das Nullpolynom f (x) = o werde grad(f (x)) = −∞
gesetzt. Mit R[x] werde die Menge aller Polynome in x mit Koeffizienten aus R
bezeichnet.
Beispiel 2.2 Für R = Z oder R = Q ist x = π aus R0 = R (ebenso wie jede
andere transzendente Zahl) Unbestimmte über R. Mit x ist stets auch jede Potenz
xk für k = 2, 3, . . . Unbestimmte über R.
Bemerkung 2.3 a) Wir werden im folgenden oft davon Gebrauch machen, daß
man zwei Polynome aus R[x] durch geeignete Addition von Summanden der Form
oxν stets mit demselben formalen Grad schreiben kann.
b) Stets ist R in Form der konstanten Polynome f (x) = a0 ∈ R in R[x] enthalten.
c) Mit R ist auch R[x] abzählbar, da man dann alle Polynome mit demselben
festen Grad n abzählen kann.
14
Satz 2.4 Es sei (R, +, ·) ein Ring mit Einselement und R0 ein Oberring von R,
der eine Unbestimmte x über R enthält. Dann bildet R[x] einen R umfassenden
Unterring von R0 , in dem folgende Rechenregeln gelten.
a) Koeffizientenvergleich:
n
X
aν x ν =
ν=0
b) Polynomaddition:
aν x +
n
X
aν x ν ) · (
ν=0
c) Cauchy-Produkt: (
ν=0
bν xν ⇐⇒ aν = bν für ν = 0, . . . , n,
ν=0
n
X
ν
n
X
n
X
ν
bν x =
ν=0
m
X
n
X
(aν + bν )xν ,
ν=0
bµ x µ ) =
µ=0
m+n
X
λ=0
(
X
aν bµ )xλ .
ν+µ=λ
Insbesondere ist das Einselement e von R auch Einselement von R[x] und mit R
ist auch R[x] kommutativ.
Definition 2.5 Der Ring (R[x], +, ·) aus Satz 2.4 heißt ein Polynomring in einer
Unbestimmten über R.
Satz 2.6 Zu jedem Ring (R, +, ·) mit Einselement existiert ein Polynomring in
einer Unbestimmten über R.
Lemma 2.7 Es seien R[x] und R[y] jeweils Polynomringe in einer Unbestimmten (x bzw. y) über dem Ring R. Dann sind R[x] und R[y] isomorph. Man spricht
daher von dem Polynomring in einer Unbestimmten über R.
Bemerkung 2.8 Man sagt auch, der Polynomring R[x] entstehe durch Adjunktion der Unbestimmten x zum Ring R. Da mit R auch R[x] ein Ring mit Einselement ist, existiert auch über R[x] der Polynomring (R[x])[y] in einer (von x unabhängigen) Unbestimmten y, welcher ebenfalls wieder ein Ring mit Einselement
ist. Daher kann man auf diese Weise fortfahren und gelangt zu dem folgenden
Satz über Polynomringe in endlich vielen voneinander unabhängigen Unbestimmten x1 , . . . , xn . Dabei heißen diese Unbestimmte voneinander unabhängig, wenn
die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
a) exi = xi und axi = xi a für alle a ∈ R sowie xi xj = xj xi für alle i, j = 1, . . . , n.
b) Aus
X
aν1 ...νn xν11 . . . xνnn = o folgt aν1 ...νn = o für alle Indices ν1 , . . . , νn .
ν1 ,...,νn
15
Satz 2.9 Es sei R ein Ring mit Einselement. Dann gibt es zu jedem n ∈ N
den Polynomring R[x1 , . . . , xn ] in n voneinander unabhängigen Unbestimmten
x1 , . . . , xn über R, dessen Elemente alle Polynome
(29) f (x1 , . . . , xn ) =
X
aν1 ...νn xν11 . . . xνnn
ν1 ,...,νn
mit Koeffizienten aus R sind.
Definition 2.10 Es sei f (x1 , . . . , xn ) ∈ R[x1 , . . . , xn ] wie in (29). Dann heißt ein
einzelner (nicht verschwindender) Summand
(30) aν1 ...νn xν11 . . . xνnn 6= o
ein Monom und ν1 +. . .+νn dessen Grad. Unter dem (totalen) Grad von f (x1 , . . . , xn ) 6=
o versteht man dann das Maximum der Grade seiner Monome und schreibt hierfür
grad(f (x1 , . . . , xn )). Besitzen alle Monome eines Polynoms denselben Grad m, so
heißt das Polynom homogen oder eine n-äre Form m-ten Grades.
Unter dem Grad von f (x1 , . . . , xn ) relativ zu xj gradj (f (x1 , . . . , xn )) versteht man
das Maximum von {νj | aν1 ...νn 6= o}.
Folgerung 2.11 In beliebigen Polynomringen gelten die Aussagen:
a) Der Grad der Summe f + g von Polynomen f und g ist höchstens so groß wie
das Maximum der Grade der Summanden.
b) Der Grad des Produktes f · g von Polynomen f und g ist höchstens so groß
wie die Summe der Grade der Faktoren.
Für nullteilerfreie Ringe gilt in b) sogar stets die Gleichheit und ebenso gradj (f ·
g) = gradj (f ) + gradj (g) für alle xj .
Satz 2.12 Der Polynomring R[x1 , . . . , xn ] ist genau dann kommutativ bzw. nullteilerfrei, wenn dies für den Ring R gilt. Insbesondere ist also jeder Polynomring
K[x1 , . . . , xn ] über einem Körper K ein Integritätsbereich.
16
Beispiel 2.13 Da der Polynomring K[x1 , . . . , xn ] für jeden Körper K ein Integritätsbereich ist, existiert der Quotientenkörper
Q(K[x1 , . . . , xn ]) = K(x1 , . . . , xn ).
Dieser rationale Funktionenkörper in den Unbestimmten x1 , . . . , xn über K besteht aus den rationalen Funktionen
f (x1 , . . . , xn )
g(x1 , . . . , xn )
mit f (x1 , . . . , xn ), g(x1 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ], g(x1 , . . . , xn ) 6= o.
Definition 2.14 Es sei f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn ∈ R[x], an 6= o Polynom
in einer Unbestimmten über dem Ring R. Dann heißt an der Leitkoeffizient von
f (x). Im Fall an = e nennt man f (x) ein normiertes Polynom.
Satz 2.15 (Einsetzungsprinzip) Es sei R ein Ring mit Einselement e und R0
ein Oberring von R. Dann vermittelt jedes Polynom
f (x1 , . . . , xn ) =
X
aν1 ...νn xν11 . . . xνnn
ν1 ...νn
aus R[x1 , . . . , xn ] durch Einsetzen von Elementen α1 , . . . , αn aus R0 anstelle von
x1 , . . . , xn eine eindeutige Abbildung ϕf : R0n → R0 gemäß
ϕf (α1 , . . . , αn ) =
X
aν1 ...νn α1ν1 . . . αnνn = f (α1 , . . . , αn ).
ν1 ...νn
Falls dabei die Elemente αν untereinander und mit allen Elementen aus R vertauschbar sind sowie eαν = αν erfüllen, so gelten die folgenden Aussagen.
a) Aus f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn ) folgt f (α1 , . . . , αn ) = g(α1 , . . . , αn ).
b) Aus f (x1 , . . . , xn ) + g(x1 , . . . , xn ) = h(x1 , . . . , xn ) folgt
f (α1 , . . . , αn ) + g(α1 , . . . , αn ) = h(α1 , . . . , αn ).
c) Aus f (x1 , . . . , xn ) · g(x1 , . . . , xn ) = h(x1 , . . . , xn ) folgt
f (α1 , . . . , αn ) · g(α1 , . . . , αn ) = h(α1 , . . . , αn ).
Ist insbesondere R0 ein Integritätsbereich, so gelten diese Aussagen für sämtliche
Elemente αν ∈ R0 .
17
Definition 2.16 Es sei R Ring mit Einselement und f (x) = f (x1 , . . . , xn ) aus
R[x1 , . . . , xn ]. Ein Element α = (α1 , . . . , αn ) ∈ R0n für einen Oberring R0 von R
heißt Nullstelle von f (x), wenn f (α) = f (α1 , . . . , αn ) = o gilt.
Definition 2.17 Es sei R = K[x1 , . . . , xn ] der Polynomring in n Unbestimmten über einem Körper K und I = (A) das von der endlichen Teilmenge A =
{f1 , . . . , fm } von R erzeugte Ideal. Dann heißt
V (I) = {α ∈ K n | f (α) = 0 für alle f ∈ I}
die Varietät von I.
Bemerkung 2.18 Wichtige Fragen für I und V (I) aus Definition 2.17 sind:
a) Wie entscheidet man f ∈ I für ein beliebiges f ∈ R?
b) Gilt bereits I = R?
c) Gilt V (I) 6= ∅?
d) Wie “groß” ist V (I)?
Die allgemeine Untersuchung der Struktur derartiger Varietäten geschieht in der
Algebraischen Geometrie, in der Computeralgebra ist man mehr an der “Praxis”
der Beantwortung dieser Fragen interessiert. Dazu benötigt man Kenntnisse über
geeignete spezielle Basen eines Ideals I aus R, die wir uns verschaffen werden,
nachdem wir einiges über Teilbarkeit in Integritätsbereichen gelernt haben.
Aufgabe 2.19 Beweisen Sie Lemma 2.7.
Aufgabe 2.20 Ist f (x) ∈ R[x] ein normiertes Polynom und g(x) 6= o aus R[x]
beliebig, so gilt grad(f · g) = grad(f ) + grad(g).
Aufgabe 2.21 Beweisen Sie Satz 2.15.
18
3
Teilbarkeitslehre
In diesem Abschnitt bezeichne R stets einen kommutativen Ring mit Einselement
e 6= o.
Definition 3.1 Gilt b = ca für Elemente a, b, c ∈ R, so sagt man a teilt b oder a
ist ein Teiler von b, in Zeichen: a | b. Gilt a | b und b | a, so heißen a und b assoziert
zueinander, in Zeichen: a ∼ b. Unter einer Einheit ε von R versteht man ein in
dem Monoid (R, ·, e) invertierbares Element. Man bezeichnet die Menge aller
Einheiten von R auch mit R∗ . Ein Teiler a von b heißt echter Teiler von b, wenn
a weder Einheit von R noch zu b assoziiert ist.
Lemma 3.2 a) Für Elemente a, b, c, d ∈ R gelten:
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
a | b ⇐⇒ (b) ⊆ (a),
a | a,
a | b und b | c =⇒ a | c,
e | a und a | o,
a | b und c | d =⇒ ac | bd,
a | b und a | c =⇒ a | b + c,
ε | e ⇐⇒ ε ist Einheit,
a ∼ b ⇐⇒ (a) = (b).
Die Assoziiertheit ∼ ist also eine Äquivalenzrelation auf R.
b) Ist R sogar ein Integritätsbereich, so gilt außerdem für alle c 6= o
(39)
ac | bc =⇒ a | b,
und a ∼ b gilt genau dann, wenn es ein ε ∈ R∗ mit b = εa gibt.
Beispiel 3.3 a) Für jeden Körper K ist K ∗ = K \ {o}.
b) Ist R ein Integritätsbereich, so gilt (R[x])∗ = R∗ .
19
Definition 3.4 Es sei A eine nichtleere Teilmenge von R. Ein Element d ∈ R
heißt ein größter gemeinsamer Teiler (der Elemente) von A, wenn folgende zwei
Bedingungen erfüllt sind:
(i) d ist gemeinsamer Teiler (der Elemente) von A, d. h. d | a für alle a ∈ A,
(ii) für jeden gemeinsamen Teiler t von A gilt t | d.
Man schreibt dafür auch d = ggT(A) und nennt A teilerfremd, wenn e = ggT (A)
gilt. Analog wird das kleinste gemeinsame Vielfache k = kgV (A) von A definiert.
Lemma 3.5 Es sei d ∈ R ein größter gemeinsamer Teiler von A. Genau dann
ist auch d0 ∈ R ein größter gemeinsamer Teiler von A, wenn d ∼ d0 gilt. Entsprechendes gilt für kleinste gemeinsame Vielfache von A.
Lemma 3.6 Für endlich viele Ideale I1 , . . . , In von R ist auch I1 + · · · + In =
{a1 +· · ·+an | aν ∈ Iν } ein Ideal von R und zwar das kleinste Ideal von R, welches
S
jedes Iν enthält, also gerade das von der Vereinigung Iν erzeugte Ideal.
Bemerkung 3.7 Im Falle von Hauptidealen Iν = (aν ) schreibt man kurz (a1 , . . . , an ) =
(a1 ) + · · · + (an ).
Lemma 3.8 Ist R ein Hauptidealring, so existiert zu beliebigen Elementen a1 , . . . , an
von R stets ein größter gemeinsamer Teiler. Ist d ein solcher größter gemeinsamer Teiler, so gibt es x1 , . . . , xn ∈ R mit
(40) d = x1 a1 + · · · + xn an .
Definition 3.9 Ein Integritätsbereich R heißt euklidischer Ring, wenn es eine
Grad-Funktion d : R \ {o} → No gibt, so daß für a und b 6= o aus R stets
Elemente q, r ∈ R existieren mit
(41) a = qb + r und r = o oder d(r) < d(b).
Man nennt (41) auch Division mit Rest (“a/b = q Rest r”).
20
Beispiel 3.10 a) Jeder Körper K ist ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion
d(k) = 1 für alle k 6= o aus K.
b) Der Ring der ganzen Zahlen (Z, +, ·) ist ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion d(a) = |a| für alle a 6= 0 aus Z.
c) Ist K ein Körper, so ist der Polynomring R = K[x] ein euklidischer Ring mit
der Gradfunktion d(f ) = grad(f ) für jedes Polynom f 6= o aus R.
Satz 3.11 Es sei R ein euklidischer Ring mit der Gradfunktion d. Für a, b 6= o
aus R liefert der folgende euklidische Algorithmus einen größten gemeinsamen
Teiler an von a und b und Elemente x, y ∈ R mit xa + yb = an . Setze a0 = a und
a1 = b und bilde mittels (41) die Kette
a0 = q1 a1 + a2 mit (a2 = o oder) d(a2 ) < d(a1 )
a1 = q2 a2 + a3 mit (a3 = o oder) d(a3 ) < d(a2 )
..
.
an−2 = qn−1 an−1 + an mit (an = o oder) d(an ) < d(an−1 )
an−1 = qn an .
Satz 3.12 Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, also speziell der Ring
der ganzen Zahlen Z und jeder Polynomring K[x] über einem Körper K.
Definition 3.13 Ein Element p 6= o von R, das keine Einheit von R ist, heißt
irreduzibel oder unzerlegbar, wenn
(42) p = ab =⇒ a ∈ R∗ oder b ∈ R∗
gilt. Dagegen nennt man p prim oder ein Primelement von R, wenn gilt
(43) p | ab =⇒ p | a oder p | b.
21
Bemerkung 3.14 In einem Integritätsbereich R ist p 6= o also genau dann irreduzibel, wenn p keine Einheit ist und keine echten Teiler besitzt. Insbesondere ist also jedes prime Element auch irreduzibel. Die
√ Umkehrung hiervon gilt
nicht,√ denn in dem
√ Integritätsbereich R = Z + Z −5 ⊆ C gilt 2 · 3 = 6 =
(1 + −5)
·
(1
−
−5), aber√das auch in R irreduzible Element 2 ist weder Teiler
√
von 1 + −5 noch von 1 − −5.
Folgerung 3.15 Genau dann ist p 6= o aus R prim, wenn das Hauptideal (p) ein
Primideal ist.
Folgerung 3.16 Ist p irreduzibles Element eines Hauptidealringes R, so ist R/(p)
ein Körper. Insbesondere ist p also prim.
Folgerung 3.17 Der Polynomring R[x] ist genau dann ein Hauptidealring, wenn
R ein Körper ist.
Definition 3.18 Ein Element a ∈ R besitzt eine Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenn a eine Darstellung der Form
(44) a = εp1 · · · pn mit ε ∈ R∗ und irreduziblen pν
besitzt. Man sagt a besitzt eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenn
a eine Zerlegung gemäß (44) besitzt und für jede andere derartige Zerlegung
(45) a = ε0 p01 · · · p0m
bereits n = m und nach geeigneter Umnumerierung pν ∼ p0ν für ν = 1, . . . , n gilt.
Ein Integritätsbereich, in dem jedes a 6= o eine eindeutige Zerlegung in irreduzible
Faktoren besitzt, heißt faktoriell oder ZPE-Ring oder Gaußscher Ring.
Lemma 3.19 Es sei R ein Integritätsbereich, in dem jedes a 6= o eine Zerlegung
in irreduzible Faktoren besitzt. Dann sind äquivalent:
a) R ist faktoriell.
b) Jedes irreduzible Element von R ist prim.
22
Definition 3.20 Der Ring R erfüllt die Teilerkettenbedingung oder aufsteigende
Kettenbedingung für Hauptideale, wenn jede Kette (a1 ) ⊆ (a2 ) ⊆ . . . ⊆ (an ) ⊆
(an+1 ) ⊆ . . . von Hauptidealen stationär ist, d. h. es gibt ein n ∈ N mit (aj ) = (an )
für alle j ≥ n.
Satz 3.21 Ein Integritätsbereich R ist genau dann faktoriell, wenn er die Teilerkettenbedingung erfüllt und jedes irreduzible Element von R prim ist.
Folgerung 3.22 Jeder Hauptidealring ist faktoriell.
Aufgabe 3.23 Beweisen Sie Lemma 3.5.
Aufgabe 3.24 Beweisen Sie Lemma 3.6.
23
4
Der Hilbertsche Basissatz
Satz 4.1 Für einen kommutativen Ring (R, +, ·) sind die folgenden Bedingungen
äquivalent.
(i) Zu jedem Ideal I von R gibt es endlich viele Elemente a1 , . . . , an in R, die I
erzeugen, also mit I = (a1 , . . . , an ).
(ii) Für jede aufsteigende Kette von Idealen I1 ⊆ I2 . . . ⊆ Ik ⊆ . . . aus R gibt es
einen Index n, so daß In = In+1 = . . . gilt, d. h. die Kette wird stationär.
Definition 4.2 Die Bedingung (ii) nennt man aufsteigende Kettenbedingung für
Ideale und ein kommutativer Ring, in dem die aufsteigende Kettenbedingung für
Ideale erfüllt ist, heißt ein Noetherscher Ring.
Ein Ideal I wie in (i) heißt endlich erzeugt.
Bemerkung 4.3 Der Satz 4.1 besagt also gerade, daß ein kommutativer Ring
genau dann noethersch ist, wenn jedes seiner Ideale endlich erzeugt wird.
Satz 4.4 Ist R ein noetherscher Ring mit Einselement, so auch der Polynomring
R[x].
Da in jedem Körper K die beiden einzigen Ideale I = (o) und I = K von einem
Element, nämlich a1 = o bzw. a1 = e erzeugt werden, ist K stets noethersch.
Dann folgt aber sofort durch mehrfache Anwendung von Satz 4.4 der folgende
Satz.
Satz 4.5 (Hilbertscher Basissatz) Ist K ein Körper und I ein Ideal des Polynomringes K[x1 , . . . , xn ], so ist I endlich erzeugt.
24
5
Termordnungen und Reduktionen
In diesem Abschnitt sei K[x1 , . . . , xn ] ein Polynomring in den n voneinander
unabhängigen Unbestimmten x1 , . . . , xn über einem Körper K. Die Menge der
Unbestimmten sei gemäß x1 > x2 > . . . > xn total geordnet.
Definition 5.1 Die Teilmenge T = {xα1 1 . . . xαnn | αi ∈ N0 für i = 1, . . . , n} von
K[x1 , . . . , xn ] heißt die Menge der Terme von K[x1 , . . . , xn ]. Der Term xα1 1 . . . xαnn
wird im folgenden kurz als X α mit α = (α1 , . . . , αn ) notiert.
Eine totale Ordnung < auf T heißt Termordnung, wenn die beiden folgenden
Bedingungen erfüllt sind.
(i) e < X α für alle X α 6= e aus T.
(ii) X α < X β impliziert X α X γ < X β X γ für alle X γ aus T.
Beispiel 5.2 a) Die lexikographische Ordnung wird definiert durch
X α < X β ⇐⇒ α1 = β1 , . . . , αi−1 = βi−1 , αi < βi für ein i ∈ {1, . . . , n}.
Offensichtlich sind (i) und (ii) erfüllt. Im Falle von zwei Unbestimmten hat man
e < x2 < x22 < . . . < x1 < x2 x1 < x22 x1 < . . . < x21 < . . .
b) Die Totalgrad-dann-lexikographische Ordnung wird definiert durch
X α < X β ⇐⇒
αi < ni=1 βi oder
Pn
α
β
i=1 αi =
i=1 βi und X < X
bezüglich der lexikographischen Ordnung.
Pn
Pn
i=1
P
Die Bedingung (i) ist offensichtlich erfüllt, (ii) prüft man leicht nach. Im Falle
von zwei Unbestimmten hat man also
e < x2 < x1 < x22 < x2 x1 < x21 < x32 < . . .
c) Die Totalgrad-dann-invers-lexikographische Ordnung wird definiert durch
X α < X β ⇐⇒
P
Pn
αi < ni=1 βi oder
Pn
Pi=1
n
αi = i=1 βi und
= βi+1 , αi > βi für ein i ∈ {1, . . . , n}.
i=1
αn = βn , . . . , αi+1
Die Bedingung (i) ist offensichtlich erfüllt, (ii) prüft man leicht nach. Im Falle
von zwei Unbestimmten stimmen die Totalgrad-dann-lexikographische Ordnung
und die Totalgrad-dann-invers-lexikographische Ordnung überein.
25
Folgerung 5.3 Ist < eine Termordnung auf T und gilt X α | X β für zwei Elemente aus T, so folgt X α ≤ X β .
Satz 5.4 Jede Termordnung < ist eine Wohlordnung auf T, d. h. jede nichtleere
Teilmenge von T besitzt ein bezüglich < kleinstes Element.
Definition 5.5 Es sei < eine Termordnung auf T. Ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom f = f (x1 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ] werde als Summe seiner
Monome geschrieben gemäß
2
f (x1 , . . . , xn ) = a1 X α1 + a2 X α + . . . + ar X αr
mit Koeffizienten ai 6= o und Termen X αi , die
X α1 > X α2 > . . . > X αr
erfüllen. Dann heißt
Lt(f ) = X α1 der Leitterm von f ,
Lk(f ) = a1 der Leitkoeffizient von f ,
Lm(f ) = a1 X α1 das Leitmonom von f .
Für das Nullpolynom werde Lt(o) = Lk(o) = Lm(o) = o gesetzt.
Definition 5.6 a) Es seien f, g, h ∈ K[x1 , . . . , xn ] und f 6= o. Dann läßt sich f
g
modulo g zu h reduzieren, in Zeichen: f −→
h, wenn Lt(g) ein von o verschiedenes
α
a
X
α
g gilt.
Monom aα X α von f teilt und h = f −
Lm(g)
b) Es seien f, h und f1 6= o, . . . , fk 6= o Polynome aus K[x1 , . . . , xn ] sowie F =
F
{f1 , . . . , fk }. Dann läßt sich f modulo F zu h reduzieren, in Zeichen: f −→
h,
+
wenn eine Folge von Indizes i1 , . . . , is aus {1, . . . , k} existiert sowie eine Folge
von Polynomen h1 , . . . , hs−1 mit
f
fi1
fi
fi
fi
fi
h1 2 h2 3 . . . s−1 hs−1 s h.
−→ −→ −→
−→
−→
26
Definition 5.7 a) Ein Polynom r heißt reduziert bezüglich einer Menge nichtverschwindender Polynome F = {f1 , . . . , fk }, wenn r = o gilt oder wenn sich r
nicht mehr modulo F reduzieren läßt.
F
b) Gilt f −→
r und ist r modulo F reduziert, dann heißt r ein Rest von f bezüglich
+
F.
Satz 5.8 Es seien f, f1 6= o, . . . , fk 6= o aus K[x1 , . . . , xn ]. Dann berechnet der
folgende Algorithmus q1 , . . . , qk , r aus K[x1 , . . . , xn ], so daß r bezüglich {f1 , . . . , fk }
reduziert ist, f = q1 f1 + . . . + qk fk + r gilt sowie
max{Lt(q1 )Lt(f1 ), . . . , Lt(qk )Lt(fk ), Lt(r)} = Lt(f ).
1. Setze q1 = o, . . . , qk = o, r = o und h = f .
2. Solange h 6= o gilt, wiederhole:
Wenn ein i mit Lt(fi ) | Lt(h) existiert, dann
wähle das kleinste i mit dieser Eigenschaft und setze
qi = qi +
Lm(h)
Lm(h)
, h=h−
fi
Lm(fi )
Lm(fi )
sonst setze r = r + Lm(h), h = h − Lm(h).
27
6
Gröbner-Basen
In diesem Abschnitt sei K[x1 , . . . , xn ] ein Polynomring in den n voneinander
unabhängigen Unbestimmten x1 , . . . , xn über einem Körper K und < sei eine
Termordnung auf T. Für eine Teilmenge F von K[x1 , . . . , xn ] sei
Lm(F ) = ({Lm(f ) | f ∈ F }).
Definition 6.1 a) Eine Menge G = {g1 , . . . , gk } nicht-verschwindender Polynome, die in einem Ideal I von K[x1 , . . . , xn ] enthalten ist, heißt eine GröbnerBasis von I, wenn für alle f 6= o aus I ein Index i ∈ {1, . . . , k} existiert, so daß
Lt(gi ) | Lt(f ) gilt.
b) G heißt Gröbner-Basis, wenn G eine Gröbner-Basis des Ideals (G) ist.
Satz 6.2 Es sei I 6= (o) Ideal von K[x1 , . . . , xn ] und G = {g1 , . . . , gk } ⊆ I eine
Teilmenge nicht-verschwindender Polynome. Dann sind gleichwertig:
(i) G ist eine Gröbner-Basis von I.
G
(ii) f ∈ I ⇐⇒ f −→
o.
+
(iii) f ∈ I ⇐⇒ f =
Pk
i=1 qi gi
mit Lm(f ) = max{Lm(qi )Lm(gi )}.
(iv) Lm(G) = Lm(I).
Folgerung 6.3 Ist G eine Gröbner-Basis von I, dann gilt I = (G).
Satz 6.4 Das Ideal I werde von einer Menge G nicht-verschwindender Monome
erzeugt. Ein Polynom f ∈ K[x1 , . . . , xn ] liegt genau dann in I, wenn zu jedem
Monom aα X α von f ein Monom aβ X β ∈ G existiert mit X β | X α . Weiterhin
existiert eine endliche Teilmenge G0 von G mit I = (G0 ).
Folgerung 6.5 Jedes Ideal I 6= (o) besitzt eine Gröbner-Basis.
Satz 6.6 Es sei G eine endliche Menge nicht-verschwindender Polynome aus
K[x1 , . . . , xn ]. Genau dann ist G eine Gröbner-Basis, wenn für alle f aus K[x1 , . . . , xn ]
der Rest der Division von f durch G eindeutig ist.
28
7
Der Buchberger-Algorithmus
In diesem Abschnitt sei K[x1 , . . . , xn ] ein Polynomring in den n voneinander
unabhängigen Unbestimmten x1 , . . . , xn über einem Körper K und < sei eine
Termordnung auf T.
Definition 7.1 Es seien f 6= o und g 6= o Polynome aus K[x1 , . . . , xn ] und
X α = kgV (Lt(f ), Lt(g)). Dann heißt
S(f, g) =
Xα
Xα
f−
g
Lm(f )
Lm(g)
das S-Polynom von f und g.
Lemma 7.2 Es seien f1 , . . . , fk ∈ K[x1 , . . . , xn ] mit Lt(fi ) = X α 6= o für i =
P
1, . . . , k und f =
ci fi mit ci ∈ K. Gilt dann Lt(f ) < X α , so ist f eine
Linearkombination von S(fi , fj ) für 1 ≤ i < j ≤ k mit Koeffizienten aus K.
Satz 7.3 (Buchberger) Eine Menge G = {g1 , . . . , gk } nicht-verschwindender
Polynome aus K[x1 , . . . , xn ] ist genau dann eine Gröbner-Basis von I = hGi,
wenn für alle i 6= j gilt
G
o.
S(gi , gj )
−→ +
Folgerung 7.4 Es sei G = {g1 , . . . , gk } nit gi 6= o für i = 1, . . . , k. Genau dann
ist G eine Gröbner-Basis, wenn für alle i 6= j gilt
S(gi , gj ) =
k
X
hijν gν mit Lt(S(gi , gj )) = max{Lt(hijν )Lt(gν )}.
ν=1
Satz 7.5 Zu einer gegebenen Menge F = {f1 , . . . , fl } nicht-verschwindender Polynome aus K[x1 , . . . , xn ] berechnet der folgende Algorithmus eine Gröbner-Basis
G = {g1 , . . . , gk } von I = hF i.
1. Setze G = F und G0 = {{fi , fj } | fi 6= fj ∈ G}
2. Solange G0 6= ∅ ist, wiederhole:
29
Wähle {f, g} ∈ G0 , setze G0 = G0 \ {f, g} und berechne
G
S(f, g) −→
h, wobei h bezüglich G reduziert ist.
+
Wenn h 6= o ist, setze
G0 = G0 ∪ {{u, h} | u ∈ G}, G = G ∪ {h}.
Lemma 7.6 Ist {g1 , . . . , gk } Gröbner-Basis des Ideals I mit Lt(g2 ) | Lt(g1 ), so
ist auch {g2 , . . . , gk } eine Gröbner-Basis von I.
Definition 7.7 Eine Gröbner-Basis {g1 , . . . , gk } heißt minimal, wenn für alle
i = 1, . . . , k gilt: Lk(gi ) = e und Lt(gi ) ist kein Teiler von Lt(gj ) für j 6= i.
Satz 7.8 Sind G = {g1 , . . . , gk } und F = {f1 , . . . , fl } minimale Gröbner-Basen
desselben Ideals I, so gilt k = l und (bei geeigneter Numerierung) Lm(fi ) =
Lm(gi ) für i = 1, . . . , k.
Definition 7.9 Eine Gröbner-Bais G = {g1 , . . . , gk } heißt reduziert, wenn für
i = 1, . . . , k gilt: Lk(gi ) = e und gi ist reduziert bezüglich G \ {gi }.
Lemma 7.10 Es sei G = {g1 , . . . , gk } eine minimale Gröbner-Basis für ein Ideal
I. Dann liefern die folgenden Reduktionsschritte eine reduzierte Gröbner-Basis
H = {h1 , . . . , hk } von I. Es sei
H1
g1 −→
h1 , wobei h1 reduziert bezüglich H1 = {g2 , g3 . . . , gk } ist,
H2
g2 −→
h2 , wobei h2 reduziert bezüglich H2 = {h1 , g3 , . . . , gk } ist,
..
.
Hk
gk −→
hk , wobei hk reduziert bezüglich Hk = {h1 , . . . , hk−1 } ist.
Satz 7.11 (Buchberger) Jedes Ideal I 6= (o) besitzt bezüglich jeder Termordnung eine eindeutig bestimmte reduzierte Gröbner-Basis
30